期末压轴专题07 解答压轴题50练（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦初中数学期末压轴题，以“题型分类+方法提炼”构建系统训练体系，覆盖代数规律探究、几何性质应用及函数综合，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|5题|规律探究“特殊到一般”、新定义转化|概念生成→性质应用→规律推广| |勾股定理|10题|面积法验证、逆定理判定|定理推导→实际应用→综合证明| |特殊四边形|15题|折叠轴对称性质、判定定理综合|性质探究→判定应用→动态问题| |一次函数|20题|数形结合、实际问题建模|图象性质→实际应用→几何综合|

期末压轴专题07 解答压轴题50练 目录 类型一、二次根式的规律探究、新定义型问题 2 类型二、勾股定理的验证方法 9 类型三、勾股定理与逆定理的综合问题 19 类型四、矩形的性质和判定综合问题 26 类型五、菱形的性质和判定综合问题 37 类型六、正方形的性质和判定综合问题 50 类型七、特殊四边形中的折叠问题 65 类型八、一次函数的图象和性质综合问题 78 类型九、利用一次函数解决实际问题 85 类型十、一次函数与几何图形的综合问题 93 类型一、二次根式的规律探究、新定义型问题 1．（25-26七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】(1)，属于“族”的数 (2)；为“族”的数． 【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键． （1）根据二次根式的定义判断即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可． 【详解】（1）解：，属于“族”的数； （2）解：， ，为有理数，， 为“族”的数． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 3．（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关键． （1）将配方成，即可得到答案； （2）将配方成，即可得到答案； （3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 类型二、勾股定理的验证方法 6．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：∵长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处． ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 7．（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）解：在图中，， 在图中， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 8．（25-26八年级上·河南郑州·期末）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少1米 (3)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）为y米，在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， 又， 是同一图形的面积，面积相等， ， ． （2）解：设为米，则米，米， ， ∴， 在中，，米， ， 即， 解得：， （米）， （米）， 新路比原路少1米． （3）解：由题意设：为y米， 又米，米，米， 米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长度为米． 9．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【答案】(1)、、 (2)①见解析；②见解析 (3)97 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）解：证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴， 故答案为：、、． （2）解：①∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片（△△），按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为　　 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与△的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在△中，，于点，，．取边上的点，连接，使得．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，求的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键． （1）①根据，得，由三角形外角性质得，即得；②根据，得，根据，即得； （2）根据，得，推出，得，得，连接，得，结合，求得 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）∵在中，，，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 类型三、勾股定理与逆定理的综合问题 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由题意设，则，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， 所以． 12．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)是从工厂到河边最近的一条路，理由见解析； (2)的长为千米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （）根据勾股定理的逆定理判断即可； （）设的长为千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：是从工厂到河边最近的一条路，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴与垂直， 即是从工厂到河边最近的一条路； （2）解：设的长为千米，则千米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为千米． 13．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）运动不息，健康常在．如图，为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形环湖步道，已知，，，点B在点D的正西方向，点C在点D的正北方向处． (1)求证：； (2)修建完成后，市政部门派出无人机进行环境检测，无人机从点A飞到点C处，求无人机飞行的直线距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)无人机飞行的直线距离为 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理的应用． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． 【详解】（1）解： ∵点B在点D的正西方向，点C在点D的正北方向处． ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：如图作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． ∴无人机飞行的直线距离为． 14．（25-26八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】(1)A，C (2) (3)铺设管道所需的最少费用为910元． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 15．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 类型四、矩形的性质和判定综合问题 16．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 17．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，平行四边形的对角线与交于点O，点E是中点，连接交于点F，延长至点G，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先结合四边形是平行四边形，得，又因为，得出是的中位线，根据点E为中点，证明，得出，证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，以及证明四边形是矩形，过E作于点H，运用30度直角三角形所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理得，，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， 又， ∴是的中位线， ， 又 又点E为中点， ， ， ∴四边形是平行四边形 （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， 又∵， ∴， 四边形是矩形， ∴， ∴， 过E作于点H， 在中，， ∴, ∵， ， ， 又在中，， ∴， ． 18．（25-26九年级上·陕西西安·期末）[问题探究] 如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是 ； [尝试应用] 如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值． [实践创新] 如图3， ，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值． 【答案】[问题探究] ；[尝试应用] ；[实践创新] 【分析】[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接．解直角三角形求出，即可解决问题． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设．由垂直平分线段，推出，推出，利用勾股定理求出的值即可． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H．由题意，推出，推出当的值最小时，的值最大，如图4中，过点C作，使得，作点K关于直线的对称点J，连接交于E，连接交于T，此时的值最小，最小值的长，据此求出结论． 【详解】解：[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H． ∵的两个内角的角平分线相交于点F，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最大， 如图4中，过点C作，使得， 作点K关于直线的对称点J，连接交于E，在上截取，连接，连接交于T， 则四边形是平行四边形， ， 则， 此时的值最小，最小值的长． 由图3可知， 在中，∵， ∴， ∴的最小值， ∴的最大值． 19．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图的形状，连接，，，则 °； 【解决问题】（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接．如图2，当时，求证：平分； 【迁移应用】（3）如图，将矩形绕点顺时针转动，当点落在上时，连接，，交于点，过点作于点． ①求证：； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①见解析，② 【分析】（1）利用两个矩形完全相同的条件，得到对应边相等，从而证明三角形全等，结合全等三角形的角相等关系，推导出为直角，再由等腰直角三角形的性质得出的度数； （2）利用等边对等角得到角相等，结合矩形对边平行的性质，通过平行线的内错角相等完成角的等量代换，从而证明角平分线； （3）①先通过矩形性质与平行线性质得到角相等，证明三角形全等，推出对应边相等，再结合矩形的边相等关系，证明另一组三角形全等，从而得到与相等； ②先利用勾股定理求出线段长度，结合全等三角形的对应边相等，得到相关线段的长度，再通过勾股定理计算出的长度，最终得出的长度． 【详解】解：（1）两个完全相同的矩形纸片， ，，， ， ， ， ； （2）证明：， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分； （3）①， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ； ②，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 20．（25-26九年级上·江西九江·期末）（1）下题是北师大版九年级上册数学课本上的一道题； 如图1，在矩形中，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为．求的值． 如图2，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． （2）如图3，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合）．过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长． （3）如图4，当点是等边外一点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点．若，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）24；（3） 【分析】（1）连接，由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）连接，过点作于，证，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）连接，，，由，求得，由，得，从而求出． 【详解】解：（1）如图2，四边形是矩形， ，，，，， ，， ，， ， 解得； （2）四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于点，如图所示： 则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长； （3）如图，过点A作于点D，连接，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ． 类型五、菱形的性质和判定综合问题 21．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 22．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 23．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 24．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 【答案】(1)图见详解，； (2)，证明见详解； (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形即可；过点作交于点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，即，得出当时，，当时，四边形为菱形，得出，，得出当点在对角线的交点上时，符合题意，此时； （2）连接、， 证明，得出，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，，根据，即可得出； （3）连接，，证明，得出，证明，由（2）得四边形为平行四边形，得出，从而得出． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示： 过点作交于点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，即， 当时，， ， 四边形为菱形， ，， 当点在对角线的交点上时，符合题意， 此时， 故答案为：； （2）； 证明：连接、，如图所示： ， ， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ； （3）解：连接，，如图所示： 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 根据解析（2）可知，四边形为平行四边形， ， ， 即当时，将平行， 故答案为：． 25．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)如图1，当点在菱形内部时，连接交于F． ①直接写出与的数量关系，并求的度数． ②若，，求的长． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，延长交于，若，，则__________． 【答案】(1) ， ； ； (2) 【分析】（1）连接，根据证明，则可得，，再根据菱形的对角线平分一组对角可得，，则可得，，进而可得． 连接，过E点作于M点，则可得，，，进而可得．根据证明，则可得，由是等边三角形可得，则可得，根据等腰三角形三线合一可得，则可得，． （2）连接交与O点，连接交于点，连接，由菱形的性质，结合等边三角形的性质，证明，，平移至，连接，，则，，四边形是平行四边形，可得，设，可得，证明，可得，作于点，则，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， 即， ∴， ∴， ， ∵菱形中，， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，． 如图，连接，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 同得是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴（等腰三角形三线合一）， ∴， ∴． （2）解：连接交与点，连接交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，平分， 又∵，， ∴是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点在线段的延长线上， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 平移至，连接，，则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 类型六、正方形的性质和判定综合问题 26．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 27．（25-26八年级上·河北衡水·期末）点是正方形外一点，，，平分交于点，连接． (1)如图1，若，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，． ①求的度数（用含的式子表示）； ②仍是等腰直角三角形吗？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②是，理由见解析 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，再证明．可得出．再由四边形是正方形，可得．从而得出 得出最后证得结论； （2）由可得出由等腰三角形性质可得； ②由三角形内角和定理可得再得出．同（1）可得．可得．．从而得出是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明∶∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分交， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 是等腰直角三角形； （2）解： 仍然是等腰直角三角形，理由如下： 在中， ∴． 同（1）可得． ∴． ∴． 是等腰直角三角形． 28．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）正方形中，E为射线上一点 (1)如图1，E在延长线上，F为对角线上一点，连接、、、，若，求线段的长； (2)如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： (3)如图3，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明，得到，，再由，得到，，则有，利用三角形内角和定理得到，再利用勾股定理即可求解； （2）过点作交延长线于点，根据正方形的性质证明，得到，再证明，得到，，推出是等腰直角三角形，，最后利用线段的和差即可证明； （3）连接，设正方形的边长为，则，，根据翻折的性质得，，，根据线段中点的定义得到，根据两点之间线段最短得到，则有，当的长度最小时，共线，此时点也在线段上，再根据正方形和翻折的性质求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，设与交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点作交延长线于点， ∵正方形， ∴，， ∵E、G分别为、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴； （3）解：如图3，连接， 设正方形的边长为，则， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∵点N为的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∴当共线时，的长度有最小值，最小值为； 当共线时，点也在线段上， ∴， ∵正方形， ∴，即， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 29．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)2或8 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得垂直平分，证明即可； （2）连接，证明，可得，，再证，可得，进而即可得证； （3）分两种情况讨论，点Q在线段上或延长线上，设，由题易得，，，则或12，进而分别在中，，在中，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O， 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 30．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）问题发现： （1）如图，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图，若与交于点，连接，若，求证：． 迁移运用： （2）如图，四边形中，，垂足为，，过点作，垂足为，连接．若，且，求的值． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】（1）①利用翻折和正方形的性质证三角形全等即可求得结果；②利用翻折及平行线的性质找出角及边的等量关系，即可证明全等； （2）延长到点，使，连接，设，分别表示出，则的值可求． 【详解】（1）①解：由翻折可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴（）， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵由翻折可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（）； （2）解：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型七、特殊四边形中的折叠问题 31．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 32．（25-26八年级上·河北保定·期末）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键． （1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解； （3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 33．（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)折中线的长为 (3)或 【分析】（1）根据E是菱形的边的中点，即可解决问题； （2）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答； （3）当时，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H，交的延长线于点F，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：在菱形中， ∵E是的中点， ∴， ∴、、的面积之比为， （2）解：如图，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴折中线的长为； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G， 则四边形是矩形， 在菱形中，，E是的中点， ， ∴，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵，， 在中， ， ∴； 当时，如图，过点C作，交的延长线于点F，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H， ∴四边形是平行四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴H是的中点，即， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，折中线的长为或． 34．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)与平行，理由见解析 (4) 【分析】本题考查正方形半角模型以及勾股定理和面积的应用，解题关键是能够熟练运用这些知识去解题． （1）通过证明，，进而得到答案； （2）设，结合，利用勾股定理解直角三角形得到的值，再通过相似即可得到答案； （3）通过勾股定理得到为中点，得到，通过倒角得到答案； （4）利用正方形的面积与三角形面积与五边形的面积的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形， ，， 将沿直线翻折，得到， ，，，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）作，垂足为点，如图， 设，则， 为中点， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得， ， ， 整理得：， 解得：， ，， ， ， ； （3）与平行，理由如下， 设，则，如图， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得：， ∴ ， ， 由折叠可知，， 又， ， ， ， ； （4）设，，则，，如图， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 整理得：，① 由，② ∴把①代入②得， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 35．（24-25八年级下·江西南昌·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）①2；② 【分析】（1）由“十字架”模型可证，进而得解； （2）先证，再利用“十字架”模型构造全等，过点G作，可证，进而得解； （3）①过点D作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可．②构造平行四边形，可得，可证，可得，再利用逆等线模型，过K作于点K，且，证明，得到，所以，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图， 根据题意得：垂直平分， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）；证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴． （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接． 由折叠的性质得：D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， 根据勾股定理，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， 同理（2）证明， ∴， ∴， 在中， ， 即的最小值为． 类型八、一次函数的图象和性质综合问题 36．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设函数关系式为，把，代入求出k，即可求出结果； （2）将点代入，计算求解即可． 【详解】（1）解：设函数关系式为， ∵当时，， ∴， 所以， 把代入得， ， 故函数关系式为． （2）解：将点代入， 得， 解得． 37．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解； （2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解； （3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解． 【详解】（1）解：为正比例函数， ， ． （2）解：不经过第一象限， 可得， 解得． （3）解：分两种情况讨论， 当，即，随的增大而增大， 则当，， 可得， 解得； 当，即，随的增大而减小， 则当，， 可得， 解得； 综上或． 38．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点和点，且点在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若是该一次函数图象上的两点 ①请判断的大小关系，并说明理由． ②当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、一次函数表达式的求解、一次函数的增减性以及根据函数值的范围求自变量的取值范围，熟练掌握一次函数的性质与待定系数法是解题的关键． （1）先利用点在正比例函数上求出点的坐标，再将点和点的坐标代入一次函数，解方程组求出、的值，从而得到一次函数表达式． （2）①根据一次函数的值判断函数的增减性，再比较与的大小，进而判断与的大小关系．②先根据的取值范围求出的取值范围，再根据函数增减性求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， 解得， ∴， ∵过和， ∴， 解得，， ∴一次函数表达式为； （2）解：①∵， ∴中，随的增大而减小， ∵， ∴； ②∵， ， ∴，即， ∵中，随的增大而减小， ∴． 39．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴轴分别交于点C、B，两直线相交于点． (1)求，的值； (2)求的值； (3)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，若线段的长为2，求的值； (4)在轴上存在点，使得的值最小，则最小值是_____． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，再将点的坐标代入直线中，即可求出值； （2）根据解析式求得、、、的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得； （3）由点、的横坐标，即可得出点、的纵坐标，结合即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ； 点在直线上， ， ； （2）解：直线与x轴、y轴分别交于点D，A， ， 直线与x轴、y轴分别交于点C，B， ， ； （3）解：当时，； 当时，． ， ， 解得或； （4）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∵， ∴， 此时，的值最小，则最小值是， 故答案为：． 40．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数（为常数，）． (1)当时，在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图像，并求出该图像与坐标轴围成的三角形内（不含边界），横纵坐标都为整数的点共有 个； (2)当取不同值时，一次函数（为常数，）的图像是否都经过一个定点，若经过，求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由． (3)当时，自变量的负整数值恰好有个，求的取值范围． 【答案】(1)画图见解析，； (2)一次函数（为常数，）的图像都经过一个定点，理由见解析； (3)的取值范围是或． 【分析】本题主要考查了画函数图像，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，解题时熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解题的关键． （）当时，，然后通过画图像的方法即可画出图像，再结合图像可得横纵坐标都为整数的点的个数； （）由一次函数得，，当时，即时，，进而求解； （）根据题意，分当时，当时两种情形列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 列表： 描点： 连线：如图， ∴横纵坐标都为整数的点共有个， 故答案为：； （2）解：一次函数（为常数，）的图像都经过一个定点，理由， 由一次函数得，， ∴当时，即时，， ∴一次函数（为常数，）的图像都经过一个定点； （3）解：当时，随的增大而增大， ∴当时，可得， ∴， ∵自变量的负整数值恰好有个， ∴负整数值只能是，，，， ∴， 解得：； 当时，随的增大而减小， ∴当时，可得， ∴， ∵自变量的负整数值恰好有个， ∴负整数值只能是，，，， ∴， 解得：； 综上可得：的取值范围是或． 类型九、利用一次函数解决实际问题 41．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）某电信公司手机的A，B两类收费方式如图所示，，分别表示每月通话费（元）与通话时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)当通话时间是时，A，B两类收费方式的话费分别是_________元和___________元，直线的函数表达式是____________． (2)求直线的函数表达式，并写出对应的一次函数中的实际意义． (3)如果你每月的通话时间为分钟，应选择哪类收费方式更省钱？ 【答案】(1)25，32， (2)直线函数表达式是，k的实际意义是：B类收费方式为每分钟通话费用为元 (3)应选择B类手机收费方式，理由见详解 【分析】根据已知图象找到经过直线的点，代入解析式求解即可，把通话时间代入到解析式中求解即可得答案． 【详解】（1）解：根据所给图象可得：当通话时间是时，类收费方式的话费为元，类收费方式的话费为元， 设直线的解析式为， 直线过点， ， ， ； （2）解：把和代入，得： ， 解得：， 所以直线函数表达式是， k的实际意义是：B类收费方式为每分钟通话费用为元． （3）解：应选择B类手机收费方式，理由如下， ， 解得：， 由图知若通话时间大于，应选择类手机收费方式： 大于，应选择类手机收费方式． 42．（25-26八年级上·安徽六安·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离B地的距离与骑车时间的函数关系． (1)对应的函数表达式为_____，对应的函数表达式为_____； (2)求甲到达B地所用的时间； (3)求经过多少小时后两人相距． 【答案】(1)， (2)甲到达B地用了小时 (3)或小时 【分析】本题考查了一次函数的表达式求解及一次函数的实际应用． （1）设的函数表达式为，的函数表达式为，结合图象利用待定系数法即可求得函数表达式； （2）甲到达B地时，离B地的距离，将代入的函数表达式即可求得x的值； （3）分两种情况讨论：两人相遇前相距，两人相遇后相距，根据不同的情况列方程求解x的值即可． 【详解】（1）解：设的函数表达式为， 由图可知，过点和，代入， 得，解得， ∴的函数表达式为， 设的函数表达式为， 由图可知，过点和，代入， 得，解得， ∴的函数表达式为， 故答案为：，． （2）解：甲到达B地时，离B地的距离， 对于的函数表达式，令，则：， 解得， ∴甲到达B地用了小时． （3）解：分两种情况讨论： 情形一：两人相遇前相距10千米，则有， 解得； 情形二：两人相遇后相距10千米，则有， 解得． 43．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）综合实践 购买方案 问题背景 随着的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者， 市场调查 图书馆准备引进智能机器人，同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的机器人多3万元，经过调研发现购买100个甲种型号机器人和购买130个乙种型号的机器人所花费用一样． 解决问题 任务一 求甲乙两种型号的机器人的单价是多少万元？ 任务二 图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10个（两种型号均有），则有几种购买方案，购买乙种智能机器人多少个，所花资金最少？ 【答案】（1）甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元； （2）有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套，所花资金最少． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设甲种型号的机器人的单价是x万元，则乙种型号的机器人的单价是万元， 根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）设购买乙种智能机器人m套，则购买甲种智能机器人套，根据题意列出一元一次不等式，求出m可以为1，2，3，4，5，即有5种购买方案，设购买甲、乙两种型号的机器人共花费w万元，则，再由一次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲种型号的机器人的单价是x万元，则乙种型号的机器人的单价是万元， 根据题意得：， 解得：， ∴（万元）． 答：甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元； （2）解：设购买乙种智能机器人m套，则购买甲种智能机器人套， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴m可以为1，2，3，4，5， ∴有5种购买方案． 设购买甲、乙两种型号的机器人共花费w万元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值． 答：有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套，所花资金最少． 44．（25-26九年级上·云南昆明·期末）综合与实践 项目背景 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售． 项目素材 素材1 该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，进货价和销售价如表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 素材2第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变）、且第二次进货总价不高于16800元． 项目任务 任务1 求两款服装分别购进的件数． 任务2 该服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，并求出最大销售利润． 【答案】任务1：短款服装购进20件，长款服装购进30件；任务2：当购进120件短款服装，80件长款服装时获得最大销售利润，最大销售利润是4800元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质等知识，理解题意，列出方程和不等式是解题关键． 任务1：设短款服装购进x件，长款服装购进件，根据题意列出方程求解即可； 任务2：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据题意列出不等式得出，设利润为w元，则，再由一次函数的性质求解即可 【详解】解：任务1：设短款服装购进x件，长款服装购进件， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴短款服装购进20件，长款服装购进30件； 任务2：解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元， 根据题意得：， 当时，把代入（元） ∵， ∴w随m的增大而减小， 当时， （元）， ∴当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 45．（25-26七年级上·山东淄博·期末）小明在学习了“一次函数”后，从元旦期间甲、乙两家商场的促销信息中发现并提出问题，还进一步分析和解决了问题，请将小明分析、解决问题的过程补充完整． 【促销信息】 甲商场：所有商品打8折； 乙商场：一次性购物不超过300元不打折，超过300元时，超出的部分打6折． 【发现问题】 小明根据【促销信息】发现：分别在甲、乙两家商场的购物金额是分别购买商品原价的一次函数． 【提出问题】 在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？ 【分析问题】 （1）小明在【提出问题】中的条件下，设原价为x元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，请根据【促销信息】直接分别写出与x，与x之间的表达式； （2）小明按照下表中自变量x的值代入（1）中的表达式计算，分别得到了，的几组对应值： x/元 0 100 200 300 400 500 600 … 元 0 80 160 m 320 400 480 … 元 0 100 200 300 360 420 n … 则表格中，_____，_____； （3）在如图所示的同一平面直角坐标系中，描出（2）中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画出，函数的图象． 【解决问题】 （4）根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请帮助小明写出购物更省钱的方案． 【答案】（1）；； （2）；；（3）见解析； （4）①当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在甲商场购物更省钱； ②当时，，购买原价相同的同种商品时，在甲、乙商场购物花钱一样多； ③当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在乙商场购物更省钱 【分析】（1）根据题意，得；乙商场的费用：分类计算即可； （2）根据表达式代入计算即可； （3）根据表达式描点，画图，连线画图象即可； （4）根据题意，分类讨论即可； 本题考查了一元一次方程的应用，打折问题，画图象，列出一次函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：； ． （2）解：根据题意，得当时，（元）， 当时，（元）， 故答案为：240，480． （3）解：图表数据，画图如下： ． （4）解：根据题意，得， 解得， ①当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在甲商场购物更省钱； ②当时，，购买原价相同的同种商品时，在甲、乙商场购物花钱一样多； ③当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在乙商场购物更省钱． 类型十、一次函数与几何图形的综合问题 46．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）先求得点E坐标，C点坐标，从而得出B点坐标，设直线l1的解析式为：，将点E和点B坐标代入，进一步得出结果； （2）作轴于G，交于H，设，则，从而得出，可求得，，进一步得出结果； （3）先求得直线的解析式为：，设，作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接，，从而得出，当时，可求得的解析式，将点Q坐标代入的解析式，从而得出t，进而得出点Q坐标；同样得出当时的结果． 【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作轴于G，交于H， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：如图2-1， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设， 作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 当时， 由得，， ∴， ∴直线的解析式为：， 将点代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 如图2-2， 当时， ∵，， ∴直线的解析式为：， 将代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 综上所述：或． 47．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，D的坐标分别为，，，直线l的表达式为． (1)当直线l经过原点O时，求它的表达式； (2)通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C； (3)在（1）的条件下，直线l上是否存在点M使的面积等于矩形的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)说明见解析 (3)存在；或 【分析】（1）将原点坐标代入解析式可k的值，即可求解； （2）由题意可得点，当时，，则可得不论k为何值，直线l总经过点C； （3）由的面积等于矩形的面积的一半，即，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线l经过原点， ∴把点代入， 得：， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）由题意可知，点C的坐标为， 当时，， ∴不论k为何值，直线l总经过点C； （3）存在，理由： 设点，由点A、B、C、D的坐标知，，，， ∵的面积等于矩形的面积的一半，即， 即，则， 则点或． 48．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴和轴的正半轴上，且满足：．点为边上一点，连接．过点作于点，点在线段上，，连接交于点． (1)直接写出的形状； (2)若点的坐标为，求点的坐标； (3)①求证：； ②的面积_____．（用含的代数式表示．） 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) (3)①证明见解析；② 【分析】（1）由绝对值及完全平方的非负性可得，进而判断的形状即可； （2）将关于对称得到，过分别作轴、轴，先证，得到点，再根据中点坐标公式求点即可； （3）①过作，交延长线于点，先证，再证即可求解； ②设，则，利用中点公式列出方程组，得到，，再利用待定系数法得到直线的解析式，进而得到，得点的横坐标为，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：， ，解得， ，即， 为等腰直角三角形； （2）解：将关于对称得到，过分别作轴、轴， ， ，，即， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，即， 由对称可知为中点，则， 即； （3）①证明：过作，交延长线于点， 则， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即， ； ②解：由（2）知，设，则，又， ，解得，即，， 设直线的解析式为， ，解得， 即， 令，解得， 故，则， 又，且由①知为中点， 点的横坐标为 ． 49．（25-26八年级上·四川成都·期末）直线：交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点，的周长是，点是线段上一个动点，点在轴上．    (1)求直线的解析式． (2)如图，若的面积是，求点的坐标． (3)如图，过作轴的平行线交线段于点，垂直轴于点、连接，点是线段的中点，过点作，点在直线上，点运动过程中，判断线段的长度是否变化？证明你的结论． 【答案】(1)； (2)或； (3)为定值，见解析． 【分析】（1）先求出长度，易得，然后利用勾股定理建立方程求解即可； （2）先求出直线解析式，过作轴交延长线于点，设，则，可得长，再根据建立方程求解即可； （3）设，则，易得坐标，可求坐标，进而求出直线解析式，根据垂直可得直线解析式，可求出交点的坐标，进而得解． 【详解】（1）解：交轴于点， 令，得，即， ， 的周长是， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， 将，代入，得 , 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，过作轴交延长线于点，    对于，令，得， ， 设直线解析式为，则有 ， 解得， 直线解析式为， 设，则， ， ， ， 解得或， 或； （3）解：线段的长度不变化； 证明：设，则， ， 为中点， ， ， 由（1）中待定系数法可得直线解析式为， ， ，将点坐标代入得直线解析式为，联立 ， 解得， ， 点、均为定点， 线段的长度为定值． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、待定系数求直线解析式、坐标与图形性质、直线交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 50．（25-26八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称A的雅值点为B，例如：点的雅值点为点． (1)点的雅值点坐标是_________；若点A的雅值点为，则点A的坐标是_________； (2)如图1，直线l是一次函数的图像，已知点C和点D在y轴上，点D的雅值点E在直线l上，若为以为腰的等腰三角形时，求满足条件的点C的坐标； (3)点M是直线上一点，点N是点M的雅值点，若x轴上存在点P，使得，若的面积为，求出满足条件的P点坐标． 【答案】(1)； (2)或或或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，勾股定理，理解新定义熟练掌握勾股定理的计算和解方程组是解答本题的关键． （1）根据雅值点定义进行计算填空即可； （2）设点的坐标为，则点的雅值点，利用点在一次函数图象上求出值，得到点坐标，设点坐标为，分两种情况：当时，，当时，，分别列出方程，利用平方根定义，解方程即可； （3）过点N作，交于点A，过点N作轴，过点A作于点B，过点M作于点C，证明，得出，， 设点坐标为，点，则，得出，设直线的解析式为，把，代入求出直线的解析式为，根据点A在直线上，得出，求出，根据的面积为，得出，求出，得出，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：根据雅值点的定义，点的雅值点坐标是即：， 设，由点A的雅值点为，可知， 解得： ∴点的坐标为； （2）解：设点的坐标为，则点的雅值点， ∵点在直线图象上， ∴， 解得：， ∴，． 设点坐标为，则： ， ， ， 当时，， 即， 解得：， ∴此时点C的坐标为或； 当时，， 即， 解得：， 即或， ∴此时点C的坐标为或； 综上，点C的坐标为：或或或． （3）解：如图，过点N作，交于点A，过点N作轴，过点A作于点B，过点M作于点C， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设点坐标为，点，则， ∴，， ∴，即， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴设直线的解析式为， ∵点A在直线上， ∴把代入得： ， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题07解答压轴题50练 目录 类型一、二次根式的规律探究、新定义型问题..2 类型二、勾股定理的验证方法..9 类型三、勾股定理与逆定理的综合问题.，19 类型四、矩形的性质和判定综合问题..26 类型五、菱形的性质和判定综合问题..37 类型六、正方形的性质和判定综合问题. 类型七、特殊四边形中的折叠问题.·· 。。 65 类型八、一次函数的图象和性质综合问题.，… ……….78 类型九、利用一次函数解决实际问题. …85 类型十、一次函数与几何图形的综合问题. 93 类型一、二次根式的规律探究、新定义型问题 1,(2526七年级上山东泰安期末)定义：形物如m+5。的数称为“5族”数（其中m,W为有理数， n≠0.)，并规定：两个“3族”数之间可以进行“+，-，×，÷”等运算，运算符合二次根式的相关 要求. √5 ()试判断2-V5,3,V2+V6,2中哪些属于“5族”的数： (2)若1 A=a-3b (其中a,b为有理数，60)是“5族”数，求4的倒数的值，并判断其是香为。5 族”的数 2.(25-26八年级上陕西咸阳期未)定义：若二次根式a+26可以写成(Vm+的形式（其中a. 6、m、n为非负常数)，则称a+2 为完整根式，、 +是a+26 的完整平方根，例如： 1/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8+25=(5+5),:8+2W5是完整根式，5+V3是8+25的完整平方根. (1)若完整根式 a+2/b 的完整平方根 Vm+√n a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a 和b: 2诺a+221=(5+,且a、n为正整数，则a=一 (3)试判断 V2+V5 7+2W10 是否是完整根式 的完整平方根，并说明理由. 3.(25-26八年级上·北京石景山期末)小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般” 的方法探究下面二次根式的运算规律。 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律。 2-3- 第1个等式V22 .9 11 第5个等式V 6 (根据规律填空) (2)观察、归纳、得出猜想. 第n个等式为 (用含n的式子表示，n为正整数) (3)证明你的猜想： (4)应用运算规律. 2/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23 若a-后=b位(a,b均为正整数)，则b-a的值为 4.(25-26八年级上四川巴中期末)问题情境： 如图，在R△ABC ，∠C=90,Bc=1,4C=2+5,求4B的长度.小许同学利用勾股定理求出 B=8+2而，老师告诉他：8+2中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要维续化简 B ◇ 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 .va =lal. .5=V±3=3到=3 又“P+2y+y=x+y=+川， V7+26=1+26+6=1+6=1+6=1+6: 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的. 方法应用： （1)V3+2W5=V2+2W2+i= 问题解决： (2)AB=V8+212= 方法迁移： (3)计算： V8+2W7+V11-4√7 5.(25-26八年级上福建福州~期末)【问题初探】 3/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1111111 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：1×2-2,2×323,3×434，，在学习二 -=1 次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过 程补充完整： 1 11 特例1： 22=1+ 1 =1+ 1×2 12;特例2：V 22t31+、1 11 =1+ 11 +2×3-23: 特例3： (填写一个符合上述运算特征的式子) 【发现规律】 1 (n-1)n= ”十 （n≥2，且n为整数) 【应用规律】 11 11 .1+ (1)计算： V1+2++1++++ 2025220262: 2如果+后宁+小京++…-2可-可10且n为整数的小数部分是01 11 11 求出整数部分. 类型二、勾股定理的验证方法 6.(25-26八年级上广东梅州期末)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也 是正方形.已知直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为C.课堂上，老师结合图形，用不同的方 式表示大正方形的面积，证明了勾股定理a2+b2-c2 D b 图1 图2 图3 4/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程. (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若a=4,b=6,则空白部分的面积为· (3)如图3，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处.若AD=5,AB=3,求EF的长， 7.(25-26八年级上河南郑州期末)勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的 转化与求解。 D a b D c b 6 M M b Q B 图1 图2 图3 (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程. (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的a+b,a2,b2,ab之间的关系解决教材第18页第2题：两个正数 的和是12，求它们积的最大值.如图2，设两个正数a,b为直角三角形的两条直角边，且a+b=12, (a+b}2=a2+b2+2ab.a2+b=c2; .122=144=a2+b2+2ab=c2+2ab 要使ab最大，则c值应最小. 由图2可知，当点M在线段AC上时，6股小，此时，c=4C=一，即6股大为 (3)【迁移应用】如图3，正方形ABCD的边长为5，借助“反思拓展”思路，利用图3求代数式 2+3+V⑤-x}+2的最小值为 8.(25-26八年级上河南郑州期末)【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计 的几何图形.郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角 三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c,大正方形的面积可以表示为c, 也可以表示为4×)b+(a-b,由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c, 则a2+b2=c2. 5/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D b A/H B 图① 图② 图③ (I)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE与RtEBC按如图所示位置放 置，其中∠A=∠B=∠DEC=90°，请你利用图②推导勾股定理. (②)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C,操场边原有两个取水点AB( A,B,H AB=AC CA 在同一直线上)，其中 ，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修 新路CH,且CH⊥AB.测得CH=24米，HB=I8米，求新路CH比原路CA少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC时，CH⊥AB,AC=15米，BC=18米，AB=21米，求AH的 长度？ 9.(25-26八年级上山西临汾·期末)阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形.如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角 形较长直角边为a,较短直角边为b,斜边长c,用面积法得到直角三角形三边长a、b、c之间的一个重 要结论：a2+b2=c2 图1 图2 图3 (1)已知：∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.求证a2+b2=c2」 下面是小颗的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：，四个直角三角形全等，且BC=a,AC=b, ∴.正方形CFGH的边长为 B=C,且 E方形m=4S,c+S正方形CG(等面积法)， 6/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c2=4× =a2+b2 .a2+b2=c2 (2)如图2，四边形ACED是直角梯形，∠C=∠E=90°，BC=a,AC=b,AB=c, 其中AB=BD,∠ABD=90°. ①求证：△ABC≌aBDE: ②仿照(1)用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2 (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”， 若a=6,b=5,外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为 10.(25-26八年级上·上海杨浦期末)【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系.如图1，将两 张全等的直角三角形纸片（△ABC≌△DEF),按照图1的方式摆放，点C与点D重合，点B,C,D, E在一条直线上，连接AF,则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于a,b,c之间的等量关系，从而 验证勾股定理. 【变式探究】 (1)智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点C与点E重合，点D在BC边上，连接 AD,AF,线段DF与AC交于点G ①图2中线段AC与DF的位置关系为： ②智慧小组发现四边形ADCF的面积可以表示为以DF或AC为公共底边的两个三角形的面积之和，也可 表示为梯形ABCF与△ABD的面积之差.请按照这样的思路利用四边形ADCF的面积验证勾股定理： 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度 (2)如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD上AC于点D,AB=3,AC=5.取AC边上的点E,连 接BE,使得BE=CE.点P是BC边上的一个动点，过点P作BE和CE的垂线，垂足分别为点O,R.若 PR=2PO PO ，求的长 7/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D a C(E) C(Da 图1 图2 图3 类型三、勾股定理与逆定理的综合问题 11.(25-26八年级上·陕西咸阳期末)为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为 避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架AB与小腿支架BC需满足互相垂 直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下： AB=8dm,BC=6dm,AC=10dm,∠CAD=90° D 图1 图2 (I)AB与BC垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的CD比AD长2dm,求支架AD的长度 12.(24-25八年级上福建福州期末)如图，一工厂位于点C处，河边原有两个取水点A,B，其中 AB=AC,由于从工厂C到取水点A的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点H(点A,H,B 在一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=5km,CH=4km,BH=3km. B (I)请判断CH是否为从工厂C到河边最近的一条路（即CH与AB是否垂直）？并说明理由. (2)求AC的长， 13.(25-26八年级上·陕西咸阳·期末)运动不息，健康常在.如图，为了满足市民健身需求，市政部门在 8/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 某公园内沿湖边修建了四边形ABCD环湖步道，已知AB=16km,AD=2Okm,BC=I3km,点B在点D 的正西方向，点C在点D的正北方向5km处. 北 东 (I)求证：AB⊥BD: (2)修建完成后，市政部门派出无人机进行环境检测，无人机从点A飞到点C处，求无人机飞行的直线距离. 14.(25-26八年级上广西贵港期末)综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集 设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，AB=9m,BC=I2m,CD=I7m,AD=8m,在CD上选取两点E,F为浇灌点，从水源点G处铺 设管道引水， 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E,F: 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H,先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点 E,F铺设管道 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点 之间的距离为l5m,就可以快速确定∠ABC的度数. D 街 E 道 G B 街道 C (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离。 (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用. 9/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若∠EGF=90°，EF=10m,EG=8m,管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方 案中，哪一种方案所需的费用最少 15.(25-26八年级上河南南阳期末)勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基 石”·图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形 状，使点A、E、D在同一条直线上.利用此图的面积表示证明勾股定理. C D a E b D B 图1 图2 图3 (I)如图1，Rt△ABE≌Rt△DEC,∠A=∠D=90°，直角边分别为a,b,斜边为c,请根据图1证明勾股定 2+b2=c2; 理 (2)如图2，AD⊥CD,AB=13,BC=12,AD=4,CD=3,求阴影部分的面积： (③)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,该村为方便村民取水，决 定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,使CH上AB,现测得 CA=1.3千米，AB=1.4千米，BC=1.5千米，求新修路CH的长. 类型四、矩形的性质和判定综合问题 16.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在矩形ACBM中，连接AB,CM交于点D,E为线段CD 上一点，连接AE,BE,取BE的中点F,DC平分∠ADF. M D 10/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AE=AD: (2)若DF=2' 1C24 ,求矩形ACBM的面积. 17.(25-26九年级上四川成都期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E是CD 中点，连接AE交BD于点F,延长AE至点G,使FG=AF,连接CF,CG,DG. A D E (I)求证：四边形CFDG是平行四边形： (2)若AB=AF=4,∠ADC=60°，求AD的长度. 18.(25-26九年级上陕西西安·期末)[问题探究] 如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED LBD,连接AC、EC,己知 AB=2,DE=1,BD=8 AC+CE ,则 的最小值是_： [尝试应用] 如图2，矩形ABCD中，B=2,BC-3·点P是矩形HBCD内一动点，且Sm,求APCD周长 的最小值. [实践创新] sinO= 3 如图3， ,长度为2的线段DE在射线OB上滑动，点C在射线OA上，且OC=5,ACDE的两个 内角的角平分线相交于点F,过F作FG⊥DE,垂足为G,求FG的最大值. B 、E GD A 图1 图2 图3 19. (25-26九年级上：湖北孝感·期末)在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展 开探究活动： 11/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G G M D D O 图1 图2 图3 【实践探究】(I)小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接AG,AC,CG,则∠ACG=_: 【解决问题】(2)将矩形AOCF绕点A顺时针转动，边AF与边CD交于点M,连接BM.如图2，当 MB=AB时，求证：MA平分∠DMB; 【迁移应用】(3)如图3，将矩形AGF绕点A顺时针转动，当点F落在DC上时，连接BF,B0,B0 交AF于点O,过点B作BE⊥AF于点E. ①求证：OA=OE; ②若AB=10,AD=6,直接写出BQ的长 20.(25-26九年级上江西九江·期末)(1)下题是北师大版九年级上册数学课本上的一道题： P D A 图1 图2 M H 图3 图4 如图1，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD 的垂线，垂足分别为E,F,求PE+PF的值， 如图2，连接PO,利用△PAO与△PDO的面积之和是矩形面积的4，可求出PE+PF的值，请你写出求解 过程 12/28 ©学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图3，在矩形ABCD中，点M,N分别在边AD,BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D 恰好与点B重合，点C落在点C处.点P为线段MN上一动点（不与点M,N重合）.过点P分别作直 线BM,BC的垂线，垂足分别为E和F,以PE,PF为邻边作平行四边形PEGF,若DM=13,CN=5, 求平行四边形PEGF的周长. (3)如图4，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB,AC,BC的垂线，垂足分别为点 A,,A.若PH-PH,+PH=5 请直接写出△4BC的面积. 类型五、菱形的性质和判定综合问题 21.(25-26八年级上云南昆明期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD 相交于点E,与BC相交于点F,连接AF,CE. ○ B F (I)求证：四边形AFCE是菱形； (2)若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积. 22.(24-25八年级下·云南昆明期末)如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，点D、0分别是AC、 BC的中点，连接DO并延长至点E,使得EO=DO,连接BD、BE、CE. D ⊙ (I)求证：四边形DBEC是菱形： (2)若△ABC的周长为30，且AB+BC=17,求四边形DBEC的面积. 23.(25-26九年级上陕西榆林·期末)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,延长CD至点 13/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B使得CE=2BC,连接s交AD边于点E,点D、F分别是CE、BE的中点，DF=号4D, (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AC=6,OB+BC=9,求四边形ABCD的面积 24.(25-26九年级上山西太原期末)如图，点E是菱形ABCD对角线BD上一动点，BD=12.在线段 BD的同侧作线段DF=EC,使得∠CED=∠FDE,连接CF. (I)补全图形，并回答问题：当BE=时，DF⊥CF: (2)连接AF,交BD于点G,若EC⊥CD,探索AG与BE的数量关系，并证明： (3)直接写出当BE=_时，CE将平行AF. 25.(24-25八年级下湖北武汉·期末)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE, E G B C 图1 图2 (I)如图1，当点E在菱形ABCD内部时，连接CE交BD于F. ①直接写出BP与CE的数量关系，并求∠BFC的度数. ②若PF=4,EF=2,求FD的长. 14/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，当点P在线段BD的延长线上时，延长EA交BD于G,若GD=6,BP=9,则PG= 类型六、正方形的性质和判定综合问题 ABCD AB=3V2 26.(25-26九年级上江西景德镇期末)如图，已知四边形 为正方形， ,点E为对角线 AC上一动点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DEEF为邻边作矩形DEFG,连接CG. A D G (I)求证：矩形DEFG是正方形. (2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由， (3)直接写出DG的最小值. 27.(25-26八年级上河北衡水期末)点E是正方形ABCD外一点，AD=AE,∠DAE=a,AF平分 ∠EAD交BE于点F,连接DF」 B D 图1 图2 (1)如图1，若a=60°，求证：△DEF是等腰直角三角形： (2)如图2，a≠60° ①求∠AEB的度数（用含C的式子表示）： ②△DEF仍是等腰直角三角形吗？说明理由， 28.(25-26九年级上·重庆巫山期末)正方形ABCD中，E为射线AB上一点 15/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E 图1 图2 图3 (如图1，E在AB延长线上，F为对角线BD上一点，连接EF、AF、CF、CE,若EF=AF=3,求线 段CE的长； AO (2)如图2，E、G分别为AB、AD的中点，连接DE和CG交于点Q,连接10，求证： EQ+GO=240 (3)如图3，E在AB边上运动，将△ADE沿DE翻折到同一平面内得到△MDE.点N为DM的中点，连接 BN BM和BN,当BN的长度最小时，直接写出BM的值。 29.(25-26八年级上山东淄博·期末)在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题， 形成科学的思维习惯」 D D A D D E B A B A' B 图1 图2 图3 备用图 (1)观察发现 如图1，将正方形ABCD折叠，使点A的对应点A落在BC边上，折痕分别与AB,CD交于点E,F,则 折痕EF和AA的数量和位置关系分别是 (2)类比探究 在(I)的条件下，设EF与AA'交于点O,连接BD交EF于点G,如图2.求证：OG=OE+GF: (3)拓展应用 如图3，正方形ABCD的边长为9，点M是AB边上的一动点，点N在边CD上，且CN=4.连接MN, 将正方形ABCD沿MN折叠，使点A,D分别落在点P,Q处，当点Q落在直线BC上时，请直接写出线 段AM的长， 30.(25-26八年级上江苏泰州期末)问题发现： (I)如图1，在正方形ABCD中，AB=4,点E在边CD上（不与C、D重合），连接AE,将△ADE沿 16/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE翻折，得到△AD'E,连接DD'并延长交BC于点F. ①若DE=3,求DF的值 ②如图2，若AE与DF交于点G,连接BG,若BG∥D'E,求证：△ADD'≌△BAG. 迁移运用： (2)如图3，四边形ABCD中，AC⊥CD,垂足为C,AC=AB,过点C作CG⊥AD,垂足为G,连接 AB BG·若BG∥CD,且∠ACB-∠CAD=45,求AG的值. B D 图1 图2 图3 类型七、特殊四边形中的折叠问题 31.(25-26九年级上河南周口期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC边上的一点， 连接AE,将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B处，连接B'C. A D B E (I)若点BB'恰好落在AC上，求BE的长： 2考CE=号BE,判断△BEC的形状，并说明理由. 32.(25-26八年级上河北保定·期末)综合与实践 如图，在长方形纸片ABCD中，AD=3,DC=4,P为长方形纸片ABCD边BC上的一动点，连接AP,将 △ABP沿AP折叠，点B落在点B处. 17/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R B D DE C(P) B 图1 图2 图3 B (I)如图1，当点B落在边CD上时，CB的长为 (2)如图2，连接AC,当点B落在AC上时，求PB的长. (3)如图3，当点P与点C重合时，AB与CD交于点E,求△ACE的面积. 33.(25-26八年级上四川成都·期末)定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的 折线，叫做菱形的折中线，例如，如图I,在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE,BE,则折线 AEB叫做菱形ABCD的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长， 已知，在菱形ABCD中，AB=a,E是CD的中点，连接AE,BE. D 图1 图2 (I)如图1，已知折中线AEB将菱形的面积分为了三部分，△ADE、△AEB、△BEC的面积之比为： (2)如图2，若a=6,∠C=60°，求折中线AEB的长： (3)若a=4,且折中线AEB中的AE或BE与菱形ABCD的一条对角线相等，求折中线的长 34.(25-26八年级上辽宁沈阳·期末)正方形ABCD的边长为m,点E是边BC上一点（不与端点重合）， 将△ABE沿AE所在直线对折至△AGE,延长EG交边CD于点F,连接AF,可得△ADF≌△AGF,连接 CG B 图1 图2 (1)∠EAF=_°： (2)如图L,若m=9,点F为边CD的中点，求△CEG的面积： 18/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，若DF=3m,判断4E与CG是否平行？并说明理由： (4)请直接写出BEDF+AG·EF=（用含m的式子表示) 35.(24-25八年级下·江西南昌·期末)四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏. 【探究发现】 (1)如图1，小明将△ABE沿AE翻折得到△AB'E,点B的对应点B,将纸片展平后，连接BB并延长交 边CD于点F,小明发现折痕AE与BF存在特殊的数量关系，数量关系为_； 【类比探究】 (2)如图2，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG,点A的对应点为点 A,点B的对应点为点B',将纸片展平后，连接BB交边CD于点F,请你猜想线段AG,CE,DF之间的数量 关系并证明； 【拓展延伸】 (3)在(2)的翻折过程中，正方形ABCD的边长为9. ①如图3，若线段A'B恰好经过点D,CF=3,求CE的长： ②如图4，若F为CD中点，连接BG,EF,直接写出BG+EF的最小值， B B B 图1 图2 图3 图4 类型八、一次函数的图象和性质综合问题 36.(25-26八年级上安徽六安期末)己知y-2与x+1成正比例，当x=1时，y=4, (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点 P(-6,m+4) 在该函数图象上，求m的值. 19/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 37.(25-26八年级上江苏南京·期末)已知一次函 y=(m+1)x-(2m+4)(m为常数) (1)当函数是正比例函数时，m的值为 (2)当函数图象不经过第一象限时，m的取值范围是 (3)当-2≤x≤4时，一次函数的最大值为4，求m的值. 38.(25-26八年级上浙江杭州期末)己知一次函数y=r+b的图象经过点0,2)和点B(-a,3),且点B在 正比例函数y=-3x的图象上. (1)求该一次函数的表达式. P(m,y),Q(m-1,2) (2)若 是该一次函数图象上的两点 ①请判断 ”的大小关系，并说明理由 ≤2<5 ②当 时，求函数值的取值范围. 39.(25-26七年级上山东烟台期末)如图，直线 ：少=2+与轴、》轴分别交于点D、4,直线 2:y=mx+ 4与轴》轴分别交于点C、B,两直线相交于点 P(1,b) 11:y=2x+1 6 D 1:y=mx+4 (1)求b,m的值： (2) Soc+S的值： 112 (B)垂直于‘轴的直线=0与直线，分别交于点M,V,若线段MN的长为2，求“的值： (4)在y轴上存在点Q,使得+C的值最小，则最小值是一· 20/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.(25-26八年级上浙江宁波期末)已知一次函数y=r+4-a(a为常数，a≠0). 6 2 7-654321,101234567 2 3 (1)当a=-2时，在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y=心+4-a的图像，并求出该图像与坐标轴围 成的三角形内（不含边界），横纵坐标都为整数的点共有_个： 2)当a取不同值时，一次函数y=ar+4-a(a为常数，a≠0)的图像是否都经过一个定点，若经过，求 出此定点的坐标；若不经过，请说明理由 (3)当1≤y≤5时，自变量x的负整数值恰好有4个，求a的取值范围. x 0 y=-2x+6 2 0 类型九、利用一次函数解决实际问题 14.18分别表示 41.(25-26八年级上：宁夏银川期末)某电信公司手机的A,B两类收费方式如图所示，， 每月通话费'（元）与通话时间(mn)之间的关系.根据图象解答下列问题： 21/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 元 32 25 12 100 200 x/min 100min (1)当通话时间是 时，A,B两类收费方式的话费分别是」 元和 元，直线“的函 数表达式是 ya=kx+b k (2)求直线”的函数表达式，并写出”对应的一次函数 中的实际意义： (3)如果你每月的通话时间为400分钟，应选择哪类收费方式更省钱？ 42.(25-26八年级上·安徽六安·期末)A,B两地相距80km,甲、乙两人骑车分别从A,B两地同时相向 而行，他们都保持匀速行驶。如图，，分别表示甲、乙两人离B地的距离m) 与骑车时间 的函 数关系 y/km 80 l2 6 50 x/h (I)对应的函数表达式为， 对应的函数表达式为一： (2)求甲到达B地所用的时间： (③)求经过多少小时后两人相距10km 43.(25-26八年级上江苏泰州期末)综合实践 购买方案 deepseek 随着 的 技术开发，更大激活智能机器人应用市场， 问题背景 为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服 务读者， 22/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图书馆准备引进智能机器人，同时购进甲、乙两种型号的机器 人，已知甲种型号的单价比乙种型号的机器人多3万元，经过 市场调查 调研发现购买100个甲种型号机器人和购买130个乙种型号的 机器人所花费用一样. 解决问题 任务一 求甲乙两种型号的机器人的单价是多少万元？ 图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、 任务二 乙两种型号的机器人共10个（两种型号均有），则有几种购买 方案，购买乙种智能机器人多少个，所花资金最少？ 44.(25-26九年级上云南昆明期末)综合与实践 项目 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂 背景 购进长、短两款传统服饰进行销售 该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，进货价和销售价如表： 短 价格/类别 长款 款 素材1 项目 进货价（元/件） 80 90 素材 销售价（元/件) 100 120 素材2第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价 和销售价都不变)、且第二次进货总价不高于16800元. 项目 任务1 求两款服装分别购进的件数。 任务 任务2 该服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，并求出最大销售利润. 45.(25-26七年级上山东淄博期末)小明在学习了“一次函数”后，从元旦期间甲、乙两家商场的促销 信息中发现并提出问题，还进一步分析和解决了问题，请将小明分析、解决问题的过程补充完整.。 23/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【促销信息】 甲商场：所有商品打8折： 乙商场：一次性购物不超过300元不打折，超过300元时，超出的部分打6折. 【发现问题】 小明根据【促销信息】发现：分别在甲、乙两家商场的购物金额是分别购买商品原价的一次函数. 【提出问题】 在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？ 【分析问题】 )小明在【提出问题】中的条件下，设原价为x元，甲、乙两个商场的购物金额分别一，吃，请根据 【促销信息】直接分别写出甲与， 光与x之间的表达式： 年，产的几组对应值： (2)小明按照下表中自变量x的值代入(1)中的表达式计算，分别得到了， x元 0 100 200 300 400 500 600 yu/ 元 0 80 160 m 320 400 480 y2l 元 0 100 200 300 360 420 n … 则表格中，m= n= (3)在如图所示的同一平面直角坐标系xO少中，描出(2)中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画 出，函数的图象. 24/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 元 600- 500 400 300 200 100 0100200300400500600700800x/元 【解决问题】 (4)根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请帮助小明 写出购物更省钱的方案。 类型十、一次函数与几何图形的综合问题 n12y=-x+2 46.(24-25八年级上重庆北碚期末)如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线： 与坐标 轴交于C、D两点，山与交于点 E(1,n)20B=OC 图1 备用图 (1)用待定系数法求直线的解析式： (2)F是直线上一点， S.ce=2S.c,求点F的坐标： 3)点P是直线BC上一点，将点P沿直线6翻折得到点Q.问：是否存在点Q使 △QBE 是以BE为直角 边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由. 25/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 47.(24-25七年级上山东烟台期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,B,D的坐标 (0,5)(0,2)（4,5) y=+2-4k(k>0) 分别为 直线I的表达式为 A D B (1)当直线I经过原点O时，求它的表达式： (2)通过计算说明：不论k为何值，直线I总经过点C; (3)在(1)的条件下，直线I上是否存在点M使△OAM的面积等于矩形ABCD的面积的一半？若存在，请 求出点M的坐标，若不存在，请说明理由 48.(25-26八年级上湖北武汉期末)已知，在平面直角坐标系中，点1(0,0），点B(6.0 ,点 分别在'轴和x 轴的正半轴上，且a6满足：心-2a+r产+b-小=0 点C为边1B上一点，连接OC.过点B作BD1OC D(m川，点E在线段BD上，∠COE=45°，连接4E交DC于点F。 于 B B 备用图 (I)直接写出△OAB的形状： 2)若点E的坐标为 ，7），求点D的坐标 (3)①求证：BE=2DF; ②△OFA的面积=—· （用含m,n的代数式表示.) 26/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 49.(25-26八年级上四川成都期末)直线m:y=-x+6交y轴于点A,交x轴于点B,直线n: K03)在' y=+b交'轴于点4，交×轴于点C,△10C的周长是24，点D是线段1C上一个动点， 轴上. A D 图1 图2 (1)求直线n的解析式. 3 (②)如图1，若ABDK的面积是2，求点D的坐标. (3)如图2，过D作x轴的平行线交线段AB于点E,EF垂直x轴于点F、连接DF,点M是线段DF的中 点，过点C作CV⊥KM,点V在直线KM上，点D运动过程中，判断线段CN的长度是否变化？证明你 的结论， 50,(25-26八年级上四川成都期末)在平面直角坐标系中，对于点4(，)和点B(c刃，给出如下定义： x=a-3 若y=b+2,则称A的雅值点为B,例如：点(L,2)的雅值点为(-2,4)点. 图1 备用图 备用图 (-3,-1) (1)点 3,5) 的雅值点坐标是 若点A的雅值点为 ,则点A的坐标是 27/28 ©学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (2②)如图1，直线1是一次函数y=一2x+3的图像，已知点C和点D在y轴上，点D的雅值点E在直线上， 若△CDE为以DE为腰的等腰三角形时，求满足条件的点C的坐标； (3)点M是直线y=2x上一点，点N是点M的雅值点，若x轴上存在点P,使得∠NMP=45°，若△MOP的 9 面积为4，求出满足条件的P点坐标 28/28