专题02 期末复习易错题46个考点（举一反三期末专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 聚焦期末易错题，46个考点系统覆盖整式运算、图形变换等模块，以题载知，强化知识内在逻辑与易错点突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式运算|8考点|选择/填空/解答，含公式逆用、几何背景|从幂的运算到乘法公式，形成“法则-逆用-几何验证”逻辑链| |图形变换|10考点|作图与性质应用，结合生活情境|平移/轴对称/旋转性质及作图，体现空间观念与几何直观| |方程与不等式|15考点|定义辨析、解法及实际应用|从定义到解法，再到实际问题抽象，培养模型意识| |命题与证明|6考点|命题改写、举反例、推理证明|从命题结构到逻辑推理，发展推理能力与批判性思维| |几何计算与证明|7考点|三角形内外角、多边形计算与证明|基于平行线性质推导三角形、多边形关系，强化运算能力|

专题02 期末复习易错题46个考点 【新教材苏科版】 【考点1 同底数幂的乘法及其逆用】 2 【考点2 幂的乘方及其逆用】 3 【考点3 积的乘方及其逆用】 5 【考点4 同底数幂的除法及其逆用】 6 【考点5 整式的乘法】 8 【考点6 整式的除法】 11 【考点7 平方差公式】 13 【考点8 平方差公式的几何背景】 15 【考点9 完全平方公式】 19 【考点10 完全平方公式的几何背景】 22 【考点11 平移的性质】 26 【考点12 作图-平移变换】 28 【考点13 轴对称图形】 31 【考点14 轴对称的性质】 32 【考点15 线段的垂直平分线】 34 【考点16 作图-轴对称变换】 36 【考点17 生活中的旋转现象】 37 【考点18 旋转的性质】 39 【考点19 作图-旋转变换】 40 【考点20 中心对称和中心对称图形】 42 【考点21 图案设计】 45 【考点22 二元一次方程（组）的定义】 48 【考点23 二元一次方程（组）的解】 49 【考点24 代入消元法解二元一次方程组】 51 【考点25 加减消元法解二元一次方程组】 53 【考点26 由实际问题抽象出二元一次方程（组）】 55 【考点27 二元一次方程组的应用】 57 【考点28 解三元一次方程组】 60 【考点29 三元一次方程组的应用】 62 【考点30 认识不等式】 65 【考点31 不等式的基本性质】 67 【考点32 一元一次不等式（组）的定义】 68 【考点33 一元一次不等式（组）的解法】 70 【考点34 一元一次不等式（组）的整数解】 73 【考点35 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 75 【考点36 一元一次不等式（组）的应用】 77 【考点37 命题的改写】 81 【考点38 真假命题】 82 【考点39 举反例】 85 【考点40 互逆命题】 86 【考点41 构造命题并证明】 88 【考点42 逻辑推理与论证】 91 【考点43 与平行线有关的计算与证明】 94 【考点44 三角形的内角和定理】 100 【考点45 三角形的外角性质】 103 【考点46 与多边形有关的计算】 106 【考点1 同底数幂的乘法及其逆用】 1．（25-26八年级上·北京·期中）已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，根据即可求解． 【详解】解：已知 ，， 由同底数幂的乘法法则，得 ， 故答案为： 6． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）若，则的值为 . 【答案】45 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．逆用同底数幂的乘法法则，将转化为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：45． 3．（24-25七年级下·湖南·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，正确变形、熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算，则把x、y、z进行变形，然后比较即可． 【详解】解：∵， ∴，无法确定z与y的关系； ∴的大小关系不可能是， 故选：B． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据规定将符号转化为指数形式，再利用 和同底数幂相乘的法则求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：A． 【考点2 幂的乘方及其逆用】 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是幂的乘方，灵活运用幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方公式，将、、的指数化为相同，进而比较底数大小得出三者的大小关系． 【详解】，，， 且， ． 故选：． 2．（25-26八年级上·四川内江·月考）已知，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先根据，，，得出，，，根据，得出，根据同底数幂乘法得出，即可得出答案． 【详解】解： ，，， ∴，，， 即，，， ∵， ∴， ∴， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如果，，那么用的代数式表示y为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运用以及完全平方公式，由，，得，，然后消去即可求解，熟练掌握幂的乘方和完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方及其逆运算，掌握计算公式并灵活运用是解题的关键． 先将化为，再由幂的乘方及其逆运算将化为，再代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【考点3 积的乘方及其逆用】 1．（2025·四川泸州·二模）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，将原式进行正确地变形是解题的关键．逆用幂的乘方与积的乘方法则将原式变形后即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）若，则 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程两边化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ， 解得：． 故答案为：6． 3．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）计算是（      ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键． 根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 即， ， 解得； （2）解： ， ， 原式 ． 【考点4 同底数幂的除法及其逆用】 1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）已知（均为正整数），则的值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】C 【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方法则、同底数幂的除法法则等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将27和9分别表示为3的幂，利用同底数幂的运算法则简化表达式，再代入已知条件求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选C． 2．（2025·江苏泰州·三模）如果，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得，由题意可得，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：9． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，得到，代入化简解答即可． 本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4051． 4．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 【考点5 整式的乘法】 1．已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．－ D．0 【答案】D 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，根据整式不含x3项，可得三次项的系数为零． 【详解】（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）=-10x+6x2-2mx3+2nx4， 由（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）的结果中不含x3项，得-2m=0， 解得m=0， 故选D． 【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理． 2．（25-26八年级上·北京·期中）若，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算与代数式求值，运用整体代入思想，先化简代数式，再结合已知条件整体代入． 先将代数式化简为含的形式，再由已知条件得出的值，整体代入化简后的式子求值． 【详解】解： ∵ ∴ 则原式 ． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为5的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是 ． 【答案】24 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 根据图形中各线段的关系，用、的代数式表示相关线段的长，再根据，由矩形面积公式列出、的方程，求得便可求解． 【详解】设， 则， ， ， ， 整理得， 则长方形的周长是24， 故答案为：24． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为 ，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了平衡数与平衡因子概念，整式的混合运算，解题的关键在于正确理解平衡数与平衡因子概念． （1）根据建立等式求解，即可解题； （2）利用整式的混合运算法则，结合，整理得到 ，再根据，且为常数，推出一次项系数为零，即可解题； （3）根据题意列式，再进行整理得到，进而即可计算出的值． 【详解】（1）解：由题知， ； （2）解： ， ， 上式， ，且为常数， ， 整理得； （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 则． 【考点6 整式的除法】 1．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了单项式除以单项式，利用单项式与单项式除法，把它们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 2．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的除法及整式加减运算的应用．根据长方形的面积公式可得长方形的另一边长为，根据多项式除法法则进行计算． 【详解】解：∵长方形的面积为，且一边长为， ∴另一边长是：， 故选：D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意列出除法算式，掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键． 根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，求关于和的式子的值，（为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，非负性，根据非负性求出的值，根据多项式除以单项式的法则，进行计算，化简后，代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 【考点7 平方差公式】 1．（25-26八年级上·江西·期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点：，是解题的关键． 根据平方差公式，判断是否具有使用公式的条件，即看乘积中是否能写成的形式，是否可以整理或转化成这种形式，注意这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、，x相同，a与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； B、，两项都互为相反数，无相同项，不符合公式，故不能用平方差公式进行计算； C、，中x相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； D、，m相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算． 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，那么 ． 【答案】17 【分析】本题考查了平方差公式的应用，求代数式的值，利用换元法，设，将原方程转化为关于的方程，进而求解的值，即可得解，正确利用换元法是解此题的关键． 【详解】解：设，则， 代入原方程可得， 整理得：， ∴， ∴，即， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式． 设两个连续奇数为和（为正整数），，根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为的倍数，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：设两个连续奇数为和（为正整数）， ∵， 根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为8的倍数， A．，不是“凤凰数”，不符合题意； B．，不是“凤凰数”，不符合题意； C．，不是“凤凰数”，不符合题意； D．，是“凤凰数”，符合题意． 故选：D． 4．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式乘以和除以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】 ． 故答案为：2． 【考点8 平方差公式的几何背景】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】此题主要考查平方差公式、多项式乘法的几何背景，掌握组合图形的拼接方法与面积的计算方法是解决问题的关键． 利用割补的方法将原图形进行转化，结合面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图①，图①中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以整个图形的面积为； 如图②，一个长方形的面积是，另一个长方形的面积是，所以整个图形的面积为； 如图③，在图③中，拼成一个长方形，长为，宽为，则面积为． 综上所述：“L”形的图形的面积为①；②；③；共3种方法正确． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，阴影部分是在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键． 图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图②：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图③：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图④：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得． 【详解】解：图①：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图②：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 图③：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图④：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 综上，能够验证平方差公式的有4个， 故选：D． 3．（25-26七年级上·天津和平·期中）如下左图是在一个边长为的大正方形正中心挖去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成右图中的一个大平行四边形． （I）用两种方法表示右图平行四边形的面积，方法一： ，方法二： （均用含，的代数式表示）； （II）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是平方差公式的几何背景及应用． 在（I）中，通过图形的剪拼，用两种方法表示平行四边形的面积，直观地推导得出平方差公式，体现了平方差公式的几何意义，即从图形面积的角度理解公式； 在（II）中，运用（I）中得到的平方差公式，对进行简便计算，体现了平方差公式在数的运算中的应用，利用公式可以快速计算两个数的平方差． 【详解】（I）解：方法一 ∵大正方形的边长为，面积是；小正方形的边长为，面积是， 又∵平行四边形是由大正方形挖去小正方形后剩余部分拼成的， ∴平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 即． 方法二 观察拼成的大平行四边形，它的底边长为，高为.根 ∴据平行四边形的面积公式：面积底高， 可得其面积为 （II）根据（I）中得出的， 可将，代入公式， 则 ． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是分别表示出图①和图②中阴影部分的面积． （1）分别计算图①、图②阴影面积，根据面积相等得出恒等式． （2）分别算出原几何体（正方体挖去小长方体）和新长方体的体积，根据体积相等得恒等式． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积可表示为， 图②中阴影部分的面积可表示为， 恒等式， 故答案为：，，； （2）根据题意，得新长方体的长为，宽为x，高为， 新长方体体积为， 正方体挖去一个小长方体后的体积为， 根据变化前后几何体的体积相等， 可得， 代数恒等式为； 【考点9 完全平方公式】 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式混合运算，结合完全平方公式计算是解题的关键． 通过引入中间变量，将原方程转化为关于的方程，简化后直接求解． 【详解】 ，且， 。 设，则，， 代入得：， 展开：左边， 右边， ， 移项得：， 即， ，， ， ． 故选． 2．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知，，，则代数式的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的变形对代数式进行转化，再代入计算． 先求出的值，再利用恒等式 进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·北京·期中）已知．若，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． 根据题意将用含的式子表示，代入，利用完全平方公式建立等式求解即可． 【详解】，，， ，， ， ， ， ， ． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期中）（1）已知，，求下列各式的值： ①； ②． （2）代数推理：请运用所学知识，说明下列结论的正确性． ①两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ ②任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ 【答案】（1）①；②；（2）①一定，见解析；②一定，见解析 【分析】本题考查了代数式的求值，平方差公式，完全平方公式，掌握完全平方公式的变换，奇数用代数式如何表示是解题的关键． （1）①根据完全平方公式变换即可求解；②根据完全平方公式和变换即可求解． （2）①用含n的式子将两个连续奇数表示出来，计算出平方差，即可求解；②用含n、m的式子将两个奇数表示出来，计算出平方差，再根据n、m的奇偶分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ； ②，， ． （2）①设这两个连续奇数分别为，（为整数）， 则 ， 为整数， 一定能被8整除，即两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．             ②设这两个不同奇数分别为，（，均为整数，且）， ． 当、都为偶数时，则为奇数，为偶数，则一定为偶数； 当、都为奇数时，则为奇数，为偶数，则一定为偶数； 当、为一奇数一偶数时，则为偶数，为奇数，则一定为偶数； 综上所述，一定能被8整除． 即任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数． 【考点10 完全平方公式的几何背景】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）我们已知道可以用一些长方形（或正方形）硬纸片拼成的图形面积来解释代数恒等式． (1)如图1，根据标注，可解释的代数恒等式是 ； (2)如图2，点在上，以，为边分别作正方形和正方形，它们的面积分别为和．若，，求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用． （1）用两种方法表示面积，列出等式即可； （2）设正方形，的边长分别为，，可得，，代入（1）中结论求出，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1面积可表示为、， 即， 故答案为：； （2）解：设正方形，的边长分别为，， ，， ，， ， 即， ， ． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【教材回顾】选自教材图 （1）根据情境中的等量关系列出一个等式：如图，一张正方形纸片被分割成四个部分．从图中可以直观的看出正方形的面积表示为，还可以表示为______，所得等式为：__________________； 【探索活动】（2）简便计算：； 【拓展应用】（3）． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用、列代数式、完全平方公式的简便运算等知识点，灵活运用完全平方公式以及数形结合思想是解题的关键． （1）结合图形列代数式即可解答； （2）将写成，然后用完全平方公式求解即可； （3）将写成，然后解答即可． 【详解】解：（1）正方形的面积还可以表示为， 所得等式为：． 故答案为：，． （2） ． （3） ． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）【问题背景】七年级数学兴趣小组在一次数学活动课上，探索利用如图1所示的两个长方形和两个正方形拼接成一个大正方形，并探究相关问题． 【问题探究】（1）甲小组拼成了如图2所示的大正方形，发现大正形的面积有两种表示方法，请你帮他完成这两种表示方法． 方法1：______； 方法2：______； 【发现结论】（2）由上述“方法1”与“方法2”可列等式：______； 【尝试应用】（3）乙小组拼成了如图3所示的大正方形，若，，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）21 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，能从整体和部分两个角度求出图形的面积是解题的关键． （1）图2分别看成一个大正方形的面积和边长为a的正方形的面积加上4个长为a宽为b的长方形的面积，再加4个边长为b的正方形的面积，即可求得答案； （2）由（1）中的表示方法即可得到答案； （3）首先求出，然后表示出阴影部分的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）方法1：； 方法2：； （2）由（1）中面积的两种不同表示方法可得到等式为：； （3）∵，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 ． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)384 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用2种方法表示出正方形的面积，即可得出结论； （2）设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解正方形的面积，设，则，而，进而求出的长，再根据正方形与正方形的面积之差为进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设正方形的边长为， 则 ， 设，则：正方形的边长为， ∵， ∴， ∵长方形的面积等于80， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 【考点11 平移的性质】 1．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 2．（25-26七年级下·四川泸州·期末）有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 可得种花部分为长米，宽米的长方形， 所以种花的面积是平方米． 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】13 【分析】根据平移的性质得到，，，，则可证明，再利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质得，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 【考点12 作图-平移变换】 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）图中的图形2可以看作由图形1向下平移______ 格，再向左平移______ 格得到的． 【答案】 2 1 【详解】分析：将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.平移不改变图形的形状和大小,只改变图形位置. 详解：根据平移的定义，图中的图形2可以看作由图形1向下平移2格，再向左平移1 格得到的． 故答案为：2，1. 点睛：本题考核知识点：平移. 解题关键点：理解平移的定义. 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，把网格图中的五角星先向右平移6格，再把向右平移后的图形向下平移7格．请画出每次平移后的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟练掌握平移的定义是解题关键．根据平移的定义作图即可得． 【详解】解：画出每次平移后的图形如下： 3．（25-26七年级下·广东肇庆·月考）在网格中的位置如图所示，请根据下列要求作图． (1)过点A作的垂线段，垂足为； (2)将向下平移5格，再向右平移2格，画出平移后的； (3)的面积为_______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)15 【分析】（1）根据垂直的定义，借助网格即可作图； （2）把分别向下平移5格，向右平移两格，得到，连接即可； （3）根据三角形面积公式即可计算． 【详解】（1） （2）把分别向下平移5格，向右平移2格，得到，连接即可： （3） 由图可知，的面积为． 故答案为：15． 【考点13 轴对称图形】 1．（25-26七年级上·湖南张家界·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：是轴对称图形； 是轴对称图形； 是轴对称图形； 不是轴对称图形． 2．（25-26九年级下·天津·期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 3．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，判断每个图形是否为轴对称图形即可，轴对称图形的关键是确定对称轴． 【详解】解：线段是轴对称图形，有两条对称轴；角是轴对称图形，有一条对称轴；正方形是轴对称图形，有四条对称轴；圆是轴对称图形，有无数条对称轴．因此，所有四个图形都是轴对称图形，故个数为4． 故答案为：4 【考点14 轴对称的性质】 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知关于轴对称图形的相关性质是解题的关键，利用性质逐一对选项进行判断． 【详解】A选项，轴对称图形对应角相等A选项，所以，故A正确； B选项，轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分，因为，是对应点，所以线段被直线垂直平分，故B正确； C选项，由图可知，和为一组对应角，所以，故C错误； D选项，轴对称图形对应线段相等，所以，故D正确． 故答案选：C． 2．（25-26八年级上·北京·期中）将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，根据图示的裁剪，判定左上角，左下角，右下角的图示形状即可求解． 【详解】解：根据裁剪结合图示可得，左上角，即正方形垂直方向上是含有线段的图形，左下角，即正方形中间部分是含有线段的图形，右下角，即正方形水平方向是含有曲线的图形， ∴只有D选项符合题意， 故选：D ． 3．（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，在长方形中，E为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数是______． 【答案】/24度 【分析】本题考查角的和差计算以及用一元一次方程解决几何问题，关键是利用折叠的性质得到相等的角，结合直角的度数建立方程求解． 【详解】解：设， ∵沿线段对折， ∴； 又∵比大， ∴； ∵四边形是长方形， ∴，即， ∴，解得； 故答案为： 【考点15 线段的垂直平分线】 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，由是的垂直平分线，可得，，又的周长为，可得，然后通过的周长为即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长为， 故答案为：． 【考点16 作图-轴对称变换】 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）请按下列要求画图：在图中，直线m是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，根据轴对称的性质画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所求． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在镜子中看到的数字，则实际数字是___________ 【答案】 【分析】利用作轴对称图形即可求解． 【详解】解：如图所示：实际数字是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称，解题关键是会作轴对称图形． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 _____个． 【答案】13 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． 故答案为：13． 【考点17 生活中的旋转现象】 1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、平移的定义进行判断即可得． 【详解】解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 3．（25-26七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以________（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着________（填“顺”或“逆”）时针方向旋转________度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 【考点18 旋转的性质】 1．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕点逆时针旋转得到，得出，又因为，故进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为_____度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质． 由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2，进而用除以即可． 【详解】解：由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2， 即旋转角的度数最小为． 故答案为：． 【考点19 作图-旋转变换】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，绕点旋转后，顶点的对应点为点，试确定顶点的对应点的位置以及旋转后的三角形．    【答案】见解析 【分析】根据旋转的性质，作图即可． 【详解】解：设点的对应点为点，连接，则即为旋转角，作，且，如图，顶点的对应点的位置在点处，为绕点旋转后得到的三角形．    【点睛】本题考查旋转作图，熟练掌握旋转的三要素，是解题的关键． 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的； (2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离； （2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 【点睛】本题主要考查了平移变换、旋转变换作图，做这类题时，理解平移、旋转的性质是关键． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．    (1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C； (2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别作出A、B、的对应点A1、B1即可； （2）分别作出A1、B1、C的对应点A2、B2、C2即可； 【详解】（1）解：△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C如图所示；    （2）解：△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2如图所示； 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换、中心对称的性质，属于中考常考题型． 【考点20 中心对称和中心对称图形】 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（　　） A．乒乓球 B．篮球 C．排球 D．冲浪 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，解题的关键是依据“绕某点旋转180°后与原图形重合的图形是中心对称图形”逐一判断． 根据中心对称图形的定义，依次判断各选项图标绕某点旋转180°后是否与原图形重合，找出不重合的选项． 【详解】解：选项A（乒乓球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项B（篮球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项C（排球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项D（冲浪）：绕某点旋转180°后，图形的“叶片”方向与原图形不一致，无法重合，不是中心对称图形． 故选D． 2．（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 3．（25-26九年级·河北邯郸·月考）如图， 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立的是（   ）    A．点与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与是一组对称点，，，， ，都不合题意； ∴， ∴ ∴， C不符合题意； 与不是对应角， 不成立， D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 4．（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则 ， ， ， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 【考点21 图案设计】 1．如图①是正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有 种 【答案】6 【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案．根据折叠图形的性质可得可以添加的图形有6种不同的情况. 【详解】解：得到的不同图案有： 共6种． 故答案为：6． 2．小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，即为本题的选项． 【详解】解：∵将搭配①②③④组合在一起，正好能组合成九个空格的形状， ∴恰好能放入的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识． 3．（25-26九年级上·山西大同·期中）图1和图2都是由连接正八边形部分顶点或部分对边中点构成的图案，每个图案可看作由4个全等的直角三角形、8个全等的小矩形和4个全等的小正方形组成．按下列要求涂阴影． (1)在图1中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图2中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题考查图形设计，熟记轴对称图形、中心对称图形的定义是解决问题的关键． （1）由轴对称图形、中心对称图形的定义来设计即可得到答案； （2）由轴对称图形、中心对称图形的定义来设计即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示（答案不唯一）： ； （2）解：如图所示（答案不唯一）： ． 4．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【分析】本题考查了利用轴对称和中心对称设计图案，掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可（答案不唯一）； （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）； 【详解】（1）组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示， （2）组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示， 【考点22 二元一次方程（组）的定义】 1．（24-25六年级下·上海青浦·期末）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，属于基础题，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，含有两个未知数且所有未知数的项的次数都是1，可直接选出正确选项． 【详解】解：A选项中的方程组有三个未知数，故不符合题意； B选项中的方程组属于二元一次方程组，故符合题意； C选项中的方程组中的不是一次方程，故不符合题意； D选项中的方程中的第一个方程的分母含未知数，不是整式方程，故不符合题意． 故选：B． 2．以下方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是二元一次方程，符合题意； B、方程中，含有未知数的项的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程中，含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：A． 3．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 4．观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键． 【考点23 二元一次方程（组）的解】 1．（24-25七年级下·广西河池·期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解的意义． 将方程的解代入原方程，然后进行求解即可． 【详解】解：将代入，得， 解得， 故选：A． 2．方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解二元一次方程组的解的意义，代入法求解． 把代入先求出y，再代入求出■即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴代入, 得， 解得， 把代入， 得， ∴被■盖住的数分别是1，． 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解的定义． 先将方程组的解代入方程组，得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值，最后代入计算． 【详解】 得：， 将代入得：， 因为是二元一次方程组得解， 所以， 所以． 故答案为：5． 4．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，根据题意，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：A． 【考点24 代入消元法解二元一次方程组】 1．（24-25七年级下·青海玉树·期末）对于二元一次方程组，把①代入②消去y后所得到的方程为，则①的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：根据题意可知，把①代入②消去y后所得到的方程为，即， ， ①的方程为 故答案为：． 2．对于方程，用y的代数式表示x，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数．熟练掌握相关运算方法，是解题的关键．移项，将的系数化为1，即可得解． 【详解】解：， 移项，得：， 将的系数化为1，得：． 故选：A． 3．已知方程组中互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解二元一次方程组，根据相反数的定义得出，把代入方程组得到一个新的二元一次方程组，利用代入法求解即可得出m的值． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， 把代入方程组， 得： 把②代入①得：， 解得： 4．对于关于，的 二元一次方程组，佳佳通过计算发现，无论取何值，的值始终不变．则这个值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用代入消元法解二元一次方程组得到，，然后代入，可得到结果． 【详解】解： 由①得， 将代入②， 解得 将代入①， 解得 方程组的解为： 那么 故答案为：． 【考点25 加减消元法解二元一次方程组】 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方及绝对值的非负性，加减消元法解二元一次方程组；根据平方与绝对值的非负性得到二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 得， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如果是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，先把代入得到关于、的方程组，解方程得到a、b的值，代入代数式即可得到答案． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ①②得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入法进行求解； （1）利用加减消元法进行求解； （2）利用加减消元法进行求解． 【详解】（1）解：方程组整理得： 得：，即， 把代入得：， 则方程组的解为． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组和代数式．若不论取何有理数，的值始终不变，则这个值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法求出，，代入，根据不论m取何有理数，的值始终不变，列出关于n的方程，解方程求出n，再代入化简后的进行计算即可． 【详解】解： 得， 解得：， 将代入得， 解得：， ∴， ∵不论m取何有理数，的值始终不变， ∴， 解得：， ∴这个值为：， 故选：C． 【考点26 由实际问题抽象出二元一次方程（组）】 1．某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用（配套问题），解题的关键是找出两个核心等量关系：一是加工机轴与轴承的总人数等于车间总人数，二是每天加工的轴承数量是机轴数量的2倍（根据“每根机轴配2个轴承”的配套要求）． 先根据总人数为98人，得到加工机轴的人数与加工轴承的人数的和为98，列出第一个方程；再根据“每根机轴配2个轴承”的配套规则，可知轴承总数（）是机轴总数（）的2倍，列出第二个方程，进而组成方程组． 【详解】解：根据题意，找两个等量关系： 加工机轴人数加工轴承人数总人数，即； 轴承总数机轴总数（每根机轴配2个轴承），其中机轴总数为，轴承总数为，故； 综上，组成的方程组为． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键． 设一只雀重斤，一只燕子重斤，根据“5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤”，可得二元一次方程组，即可选出答案． 【详解】解：设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为：， 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得时看到的数字为，时看到的数字为，时看到的数字为，再根据相同时间内所走的路程相同建立方程组即可． 【详解】解：设时看到的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得，， 故答案为：． 4．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 【详解】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ； 垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即； 综上，符合条件的二元一次方程组为， 故选：． 【考点27 二元一次方程组的应用】 1．为了防控流感，我校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？ (2)由于部分区域需要重点消毒，我校准备花60元再次购买这两种消毒液，有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶 (2)三种 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设买甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据“购买了甲，乙种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元”建立二元一次方程组求解； （2）设买甲种消毒液购买了m瓶，乙种消毒液购买了n瓶，根据(1)求得的单价以及“花60元再次购买这两种消毒液”得到二元一次方程，再求出其正整数解即可． 【详解】（1）解：设买甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据题意， 得， 解得， 答：甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶． （2）解：设买甲种消毒液购买了m瓶，乙种消毒液购买了n瓶，根据题意， 得，化简得， ∵m，n为正整数， ∴或或． ∴有三种购买方案． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 【答案】第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得：， 答：第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时． 3．为美化沿河风光带，某地将一段长为360米的河道整治任务交由甲乙两个工程队先后接力完成，共用20天．已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天比甲工程队少整治4米，求甲乙两工程队分别整治了多长的河道． 【答案】甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设好未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 4．快乐公司决定按如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A．已知这三个工厂生产的产品A的优等品率如表所示． 甲 乙 丙 优等品率 80％ 85％ 90％ (1)快乐公司从甲厂购买______件产品A； (2)快乐公司购买的200件产品A中优等品有_______件； (3)根据市场发展的需要，快乐公司准备通过调整从三个工厂所购买的产品A的比例，提高所购买的200件产品A中的优等品的数量．若从甲厂购买产品A的比例保持不变，那么应从乙、丙两工厂各购买多少件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 【答案】(1)50 (2)171 (3)应从乙工厂购买20件产品A，应从丙工厂购买130件产品A，才使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 【分析】本题主要考查了扇形统计图、百分比的应用、二元一次方程组的应用等知识点，能够从扇形统计图和表格中获得正确信息是解题的关键． （1）结合扇形统计图，得快乐公司从甲厂购买产品A的件数是件，据此即可解答； （2）根据扇形统计图分别求得甲、乙、丙三个工厂购买产品A的件数，再进一步根据这三个工厂生产的产品A的优等品率进行计算即可； （3）设应从乙、丙两工厂各购买x件、y件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件．联立解方程组即可． 【详解】（1）解：快乐公司从甲厂购买产品A的数量为（件）． 故答案为：50． （2）解（件）． 答：快乐公司购买的200件产品A中优等品有171件． 故答案为：171． （3）解：设应从乙、丙两工厂各购买x件、y件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 根据题意，得： ，解得：． 答：应从乙工厂购买20件产品A，应从丙工厂购买130件产品A，才使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 【考点28 解三元一次方程组】 1．已知实数满足则代数式的值是（     ） A． B．3 C． D．7 【答案】A 【分析】方程组两方程相减求出x-z的值，原式变形后代入计算即可求出值. 【详解】解： ②-①得：3x-3z=-3，即x-z=-1，则原式=4（x-z）+1=-4+1=-3. 故选A. 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 2．对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，新定义，根据新定义得到，再利用得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴ 得：， ∴， 故答案为：． 3．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，掌握将三元一次方程组转化成二元一次方程组求解是解题的关键． 观察到三个方程里的系数都是1或，故先用加减消元法消去，再把含、的方程联立方程组来解． 【详解】解：， 得：④， 得：⑤， 得：⑥， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， 原方程组的解为． 4．（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题考查利用“整体思想”和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可； （2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可． 【详解】（1）解： 得， ， 将原方程变形成 ， 将③代入④，得，， ． （2）解：， ①+②得： ， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得 ． 【考点29 三元一次方程组的应用】 1．我县推出、、三种土特产竹笋、黄花、芽菜组合成的礼盒，A种礼盒含竹笋4袋、黄花8袋；B种礼盒含竹笋3袋，黄花8袋，芽菜1袋；C种礼盒含竹笋2袋，黄花6袋，芽菜1袋．已知竹笋每袋20元，黄花每袋15元，芽菜每袋100元，某天卖这三种礼盒共9440元，其中竹笋的销售额为2320元，则芽菜的销售袋数为 ． 【答案】28 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出三元一次方程组，是解题的关键：设A、B、C三种礼盒的销售数量分别为 x、y、z，根据竹笋的销售额为2320元，求出卖出竹笋的袋数，进而得到销售的三个礼盒中竹笋的总袋数，再结合卖这三种礼盒共9440元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设A、B、C三种礼盒的销售数量分别为 x、y、z， ∵竹笋的销售额为2320元， ∴卖出竹笋的袋数为， ∴①， ∵卖这三种礼盒共9440元， ∴， 整理，得：②， ，得：， ∴， ∴芽菜的销售袋数为； 故答案为：28． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程的应用．设甲、乙、丙三种商品的单价分别为元、元、元，根据题意列出方程组，通过相加方程消去变量，直接求出的值． 【详解】解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为元、元、元．根据题意，可列方程组： 将方程①和②相加，得到： ， 化简得： ， 两边同时除以4，得： ， 因此，购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元． 故选：A． 3．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，但他身上的钱还差元；如果改成购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．设每盒甲种礼盒的价钱为元，每盒乙种礼盒的价钱为元，晓雨身上有元钱，根据题意列出关于，，的三元一次方程组，解之即可求解． 【详解】解：设每盒甲种礼盒的价钱为元，每盒乙种礼盒的价钱为元，晓雨身上有元钱， 根据题意得：， 得： ， ， ， ， 每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵元， 故选：B． 4．某公司装修需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．于是需将每张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)填空：上表中， ， ； (2)如果所购的标准板材为张，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的、两种型号的板材块数与所需块数相符．问按三种裁法各裁标准板材多少张？ 【答案】(1)， (2)按裁法一、裁法二和裁法三裁裁标准板材分别为张、张和张 【分析】（1）按裁法二裁剪时，块型板材块的长为，，所以无法裁出型板，按裁法三裁剪时，块型板材块的长为，，而块型板材块的长为所以无法裁出块型板，即可得出答案； （2）设按裁法一裁张，按裁法二裁张，按裁法三裁张，由题意等量关系列出一元三次方程组即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材块的长为，， 无法裁出型板，则； 按裁法三裁剪时块型板材块的长为，， 可以裁出块型板， 而块型板材块的长为，， 无法裁出块型板，则， 故答案为：，； （2）设按裁法一裁张，按裁法二裁张，按裁法三裁张， 根据题意：， 解得：， 答：按裁法一、裁法二和裁法三裁裁标准板材分别为张、张和张． 【点睛】主要考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是正确理解题意，在做题时要明缺所裁出型板材和型板材的总长度不能超过． 【考点30 认识不等式】 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． 2．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式． 先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案． 【详解】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意； B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意； C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键． 根据题意，列出不等式即可． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：． 4．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可求出答案，解题的关键是正确理解不等式的定义． 【详解】由于最高气温是，最低气温是， ∴， 故答案为：． 【考点31 不等式的基本性质】 1．如果，则a b（填“＞”、“＜”、“＝”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不改变是解题的关键． 根据不等式的基本性质直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）若，下列不等式变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】A．由可得，原不等式变形错误； B．由可得，即，原不等式变形错误； C．当时，，原不等式变形错误； D．由可得，即，原不等式变形正确； 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，，当时，A与B的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算的应用，不等式的性质，利用作差法求解是解此题的关键． 利用作差法求得，然后根据利用不等式的性质求解即可． 【详解】解： ∴当时， ∴ ∴． 故答案为：． 【考点32 一元一次不等式（组）的定义】 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 2．下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 4．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 【考点33 一元一次不等式（组）的解法】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的一元一次方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据原方程的解为负数，得到，解出m的取值范围即可． 【详解】解：， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， ∵的一元一次方程的解是负数， ∴， 即， 解得． 答：的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用加减消元法，解得，即可作答． （2）由，且根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（1）的结论代入可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， ，得， 解得， 综上所述：，； （2）解：由（1）得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键． 先根据不等式的解集确定的范围，再解方程组得到的表达式，结合解为整数的条件确定的可能值，最后计算这些的积． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴， 解得， 解方程组，得，， ∵ 方程组的解为整数， ∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数 ∵ ， ∴ ，即是负整数， 又∵ 是整数且为4的倍数， ∴ 是8的负约数，且是4的倍数， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（不是4的倍数），舍去， 当时，，（不是4的倍数），舍去， ∴符合条件的整数为、， ∴ 它们的积为， 故答案为：． 【考点34 一元一次不等式（组）的整数解】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再根据只有四个整数解的条件确定a的取值范围． 【详解】解：∵， 由①得： ； 由②得： ，即 ． ∴不等式组的解集为 ． 由于只有四个整数解，且，因此整数解为 1， 0， ， ． 为确保解集包含 但不包含 ， ∴． 故答案为： 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，解题的关键是先解不等式，再根据正整数解的个数确定不等式的取值范围． 1．解不等式，得到； 2．根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式； 3．解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解： 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． 且 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 故选C． 4．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示出来，根据整数解的和就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的所有整数解的和是18， 不等式组的整数解为6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、、， 或 ， 故选：C． 【考点35 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 故选：C． 2．某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用——销售问题．熟练掌握打折销售，“利润售价进价”，运用不等关系列不等式，是解决问题的关键． 根据打x折销售，利润率不低于，列出不等式即可． 【详解】∵这种品牌的运动鞋售价为每双300元，打折销售， ∴打折后实际售价为每双元， ∵利润率不低于， ∴利润不低于元， ∴能正确表示该商店的促销方式的不等式是：． 故选：B． 3．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 4．某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 型 型 价格（万无台） 12 10 月污水处理能力（吨月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可． 【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据题意，得： ， 故选A． 【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组． 【考点36 一元一次不等式（组）的应用】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 【答案】(1)选择甲复印社比较省钱，因为甲收费10元，乙收费10.5元。 (2)甲复印社收费：元；乙复印社收费：元。 (3)60 【分析】此题考查了一元一次不等式及列代数式的应用，找出题中的数量关系是解本题的关键． （1）根据甲、乙两家复印社收费标准即可求解； （2）根据题意，分别求出甲、乙两家复印社的收费即可； （3）根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：复印50页时： 甲复印社收费：(元) 乙复印社收费：前20页每页0.3元，超过部分每页0.15元， 即(元)， 因为， 所以选择甲复印社比较省钱． （2）解：设复印张数为页 甲复印社收费：元． 乙复印社收费：元． （3）解：要使乙复印社收费比甲便宜，需满足： 解不等式得： 所以当复印的页数超过60页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 故答案为：60． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)至少应安排15名工人去制造乙种零件 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）先求出有名工人制造乙种零件，再根据利润计算公式即可得； （2）根据建立不等式，解不等式，从而求出，由此即可得． 【详解】（1）解：车间每天安排名工人制造甲种零件，则有名工人制造乙种零件， 则此车间每天所获利润， ∵， ∴， 所以此车间每天所获利润元与名工人之间的函数表达式为（，且x为整数）． （2）解：由题意得：，即， 解得， 则， 答：至少应安排15名工人去制造乙种零件． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个 (2)该超市有8种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A礼盒的数量），再将其代入中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量； （2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超市共有8种进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒个，由题意得： 解得， 则 答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个； （2）解：由题意得 解得， ∴该超市有8种进货方案． 【考点37 命题的改写】 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）“过一点作已知直线的平行线”这句话 _____命题．（选填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】根据命题的定义即可判断． 【详解】解：“过一点作已知直线的平行线”没有对一件事情作出判断，不是一个命题， 故答案为：不是． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义，即判断一件事情的语句叫命题． 2．（25-26七年级下·山西大同·月考）将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________，那么________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，由此即可得解． 【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 3．（25-26七年级·湖北黄冈·月考）请写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”的题设和结论： 题设：____________________， 结论：____________________． 【答案】 在同一平面内两条直线垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论；根据上步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论即可解答． 【详解】解：∵可改写为：如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． ∴题设是在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，结论是：这两条直线平行． 故答案为：在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行． 【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，找到相应的条件和结论是解答本题的关键． 【考点38 真假命题】 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列命题是真命题的是（      ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．若，，则 C．对顶角相等 D．相等的两个角是对顶角 【答案】C 【分析】分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故本选项不符合题意； 、若，，则，原命题是假命题，故本选项不符合题意； 、对顶角相等，原命题是真命题，故本选项符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故本选项不符合题意． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断命题真假：①为公理，是真命题；②为平行线判定定理，是真命题；③存在反例，是假命题；④存在反例，，，是假命题.，故真命题共2个，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两点之间线段最短，是真命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等则两直线平行，是真命题； ③取，则但，故是假命题； ④取，，，则且但，故是假命题； 故真命题有2个， 故选：B． 3．（25-26七年级下·河南信阳·期末）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可． 【详解】解：命题①，如果，，那么， ∵，∴， ∵， ∴，整理得， ∴该命题是假命题； 命题②，如果，，那么， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； 命题③，如果，，那么， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； 综上分析可知，组成真命题的个数为0，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键． 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）“在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的2倍少，则为”这个命题是_____（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查了命题真假的判断，平行线的性质，二元一次方程的解法．根据题意，作图分析，再建立方程组即可求解． 【详解】解：第一种情况，根据题意，作图如下， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得:， ∴； 第二种情况，如图所示， ∵，， ∴，， ∴，且， ∴， 解得:， ∴； 综上所述，的度数为或. 故答案为：假 ． 【考点39 举反例】 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质、举反例，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．找出满足，但的选项即可得． 【详解】解：A、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意； B、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意； C、此项中，但，能作为反例，则此项符合题意； D、此项中，不能作为反例，则此项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例：______． 【答案】中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了举例说明命题为假命题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理和三角形形状． 【详解】解：若中，，，则中有两个锐角，但是钝角三角形． 故答案为：中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 3．（25-26七年级下·江苏·期末）用一个整数的值说明命题“代数式的值一定大于代数式的值.”是错误的，这个整数的值可以是______.（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据题意找到一个使得命题不成立的m的值即可． 【详解】解：当m=0时，2m2-5=-5，m2-1=-1， 此时2m2-5＜m2-1， 故答案为m=0（答案不唯一） 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够根据题意举出反例，难度不大． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）为说明命题“如果a＞b，那么”是假命题，你举出的反例是_____． 【答案】当a=2，b=1时，a＞b，但． 【分析】为说明此命题是假命题，举反例时要在a＞b的前提下寻找，还要让小于即不支持命题的结论． 【详解】解：当a=2，b=1时，满足命题的题设a＞b的要求， 而=， =1，显然，不支持原命题的结论， 故填当a=2，b=1时，a＞b，但． 【点睛】举反例说明命题是假命题时，在反例的选取上要注意遵循这么一个原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设的要求，而不能满足命题的结论． 【考点40 互逆命题】 1．（25-26七年级下·吉林白城·期末）命题“若，则”的逆命题是________． 【答案】若a<b，则-3a>-3b 【分析】根据逆命题睥定义求解即可． 【详解】解：若，则的逆命题是若a<b，则-3a>-3b， 故答案为：若a<b，则-3a>-3b． 【点睛】本题考查逆命题，熟练掌握逆命题的定义“一个命题的题设是另一个命题结论，结论是另一个命题的题设，这样的两个命题互为逆命题”是解题的关键． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列命题内错角相等，两直线平行；若，则；末位数字是的数，能被整除；对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了原命题，逆命题，正确判断命题的真假是解题的关键．根据逆命题、原命题，和学习的数学知识，判断解答即可即可，判断一个命题是假命题，只要举反例即可． 【详解】解：内错角相等，两直线平行，是真命题， 它的逆命题是：两直线平行，内错角相等，也是真命题， 故符合题意； 若，则，是真命题， 它的逆命题是：若，则， 举反例：若，但是， 逆命题是假命题， 故不符合题意； 末位数字是的数，能被整除，是真命题， 它的逆命题是：能被整除的数，末位数字是， 举反例：能被整除，末位数字不是， 逆命题是假命题， 故不符合题意； 命题：对顶角相等，是真命题， 它的逆命题是：相等的角是对顶角， 举反例：如下图所示， ， 但是和不是对顶角， 逆命题是假命题， 故不符合题意． 综上所述，原命题和逆命题均是真命题的个数是个． 故选：A． 3．（25-26八年级上·广西桂林·期末）下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据性质定理进行判断，即可得出答案． 【详解】①若x=y，则|x|=|yt|的逆命题是如果|x|=|y|，则x=y，错误； ②两直线平行,内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，正确； ③对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误. 故选B. 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【考点41 构造命题并证明】 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 2．（25-26七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2)该命题是真命题，详见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到 ，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到 ，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 【考点42 逻辑推理与论证】 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布；③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了（   ）次． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查推理论证，需根据无平局的规则，结合双方出拳次数对应分析赢的情况． 【详解】解：∵10次对决无平局， ∴小华出石头（6次）时，小益只能出剪刀或布（小益共3次剪刀、3次布，总数6次，刚好对应）， ∵石头赢剪刀， ∴这6局中小华赢了3次， 又∵小华剩余1次剪刀、3次布，对应小益的4次石头（）， ∵布赢石头， ∴这4局中小华赢了3次， ∴小华共赢了次， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·期末）六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．从A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出F最终下了几局． 【详解】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过， 所以与D赛过的是A、C、E、F四人； 与C赛过的是B、D、E、F四人； 又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局， 所以与A赛过的是D、B、F； 而与B赛过的是A、C、F； 所以F共赛了4局． 故选：D． 3．（25-26七年级上·重庆·期末）初二年级10个班进行足球比赛，比赛分两轮进行，第一轮为淘汰赛，胜出的5支队伍进入第二轮的单循环赛（每两支队伍之间都要比赛一场），胜者获3分，负者得0分，若平局则两队各得1分．当单循环赛进行到某场结束时，经统计．此时A队共赛了4场、积8分：B队共赛了3场，积7分，C队共赛了2场积1分，D队只赛了1场、积0分．此时，E队应积______分．当全部比赛结束时，发现只有A队和B队积分相同，且恰有5局平局，那么E队在本轮单循环赛中共积______分． 【答案】 0 6 【分析】本题主要考查了关于足球比赛积分计算的逻辑推理题，根据各队比赛场次和积分情况并逐步分析出比赛的胜负平关系是解题的关键． 根据各队比赛场次和积分情况，逐步分析出比赛的胜负平关系，即可确定E队的积分． 【详解】解：第一轮是淘汰赛，10个班进行比赛，5个班胜出进入第二轮单循环赛． 第二轮单循环赛已知信息分析： A队：赛了4场，这意味着A队与B、C、D、E队都进行了比赛． D队：只赛了1场，由于A队与其他四队都赛了，所以D队只和A队比赛了． B队：赛了3场，因为D队只和A队赛，所以B队是与A、C、E队比赛． C队：赛了2场，是和A、B队比赛． 由此可知，E队与A、B队各赛了一场，共赛2场． 积分情况分析： A队：A队赛4场积8分，因为单循环赛中胜一场得3分，平一场得1分，若A队3胜1平，则分，不符合8分； 若A队2胜2平，则分，所以A队是2胜2平． B队：B队赛3场积7分，若B队2胜1平，则分，符合条件． C队：C对赛2场积1分，则1平1负． 确定E队与A、B队比赛结果： 因为A队有2平，B队有1平，且A与B比赛结果未知，若A与B平，那么A另一场平是与C队，B队另两场胜是对C和E，此时E队2负积0分； 全部比赛结束时的情况分析： 第二轮单循环赛共5个队，比赛场次为场，已知有5局平局，那么分出胜负的场次为5场． 总积分计算：平局两队共得2分，分出胜负两队共得3分，所以总积分为分． 因为A队和B队积分相同且最高，假设A、B队都积x分，若分（3胜1平），则总积分超过25分，不符合，所以A、B队最多积9分（3胜0平1负）． 若A、B队都积9分，此时总积分分，剩下C、D、E队总积分分，已知C队至少1分，D队至少0分，E队积分范围不确定； 若A、B队都积8分（2胜2平），此时总积分分，剩下C、D、E队总积分分． 因为C队积1分，D队积0分，所以E队积分分． 综上，当单循环赛进行到某场结束时，E队积1分；当全部比赛结束时，E队在本轮单循环赛中共积6分． 故答案为：0；6． 【考点43 与平行线有关的计算与证明】 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先结合邻补角互补以及得，故，又因为对顶角相等得，进行等量代换得，故，运用平行线的性质进行分析，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 3．如图，直线与直线、分别交于点、，的平分线交于点，是直线上一点，若，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求得，即可得到； （2）根据三角形的外角性质求得，再根据，求得，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：的平分线交于点，， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 4．如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的度数不变，理由见解析 【分析】（1）先根据同角的补角相等得再根据“内错角相等，两直线平行”得，然后根据平行线的性质说明，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）作，根据平行线的性质得,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明，然后推导出，接下来设 ，再结合题意可得最后联立求出答案即可； （3）作设直线和直线相交于点G，先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后由（2）可知，即可得出，接下来根据平行线的性质得，最后根据 得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴, ∴平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 设 ． ∵比大， ∴ ∴， 解得， 所以的度数是； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图，过点E作设直线和直线相交于点G， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ． 【考点44 三角形的内角和定理】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·月考）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可知：，，进而可得出，进而可得出，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：在中，， 则， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． 【详解】（1）解： 为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； （2）证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”． 【考点45 三角形的外角性质】 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义及三角形内角和定理，解题的关键是利用外角性质求出，再结合角平分线与内角和计算． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 答：的度数为． 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合三角形内角和定理可得，再求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵与是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，则的度数为 【答案】/270度 【分析】本题考查三角形外角的性质． 由三角形外角的性质推出，，即可求出． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，中，，，、、、、…都在的延长线上，、、、、…分别在、、、、…上，且满足，，，，…依次类推， ． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，找到到角度的变化规律是解题的关键．由题意得；根据得，结合得，以此类推，即可找到一般规律． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 同理可得：，，，， ∴， 故答案为：． 【考点46 与多边形有关的计算】 1．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】多边形内角和 且为整数）．先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：在五边形中，内角和为， ∵， ， ∵、分别平分、， ， 在中，． 2．（25-26九年级下·浙江舟山·月考）如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴． 3．一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为则原多边形的边数为（    ） A．5或6或7 B．6或7或8 C．7或8或9 D．8或9或10 【答案】C 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n， 根据题意得， 解得：， 若沿对角线截去一个角，则原来的是9边形；当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：（1）过多边形的一个顶点，则原来的是8边形；（2）不过多边形的顶点，则原来的是7边形. 则多边形的边数是7或8或9，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1． 4．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的一个内角与相邻的外角的度数之比为． (1)求这个n边形的边数； (2)求这个n边形的内角和． 【答案】(1)这个n边形的边数为6 (2) 【分析】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的每一个内角与其相邻的外角互补、及外角和的特征． （1）先根据多边形的内角和外角的关系，列式求解一个外角，再求解边数即可； （2）利用多边形的内角和公式求解即可． 【详解】（1）解： ， ．            ∴这个n边形的边数为6． （2）解：这个n边形的内角和为． 6．如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查三角形外角的性质及多边形的外角和，根据题意，利用三角形外角得出，然后利用多边形外角和求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末复习易错题46个考点 【新教材苏科版】 【考点1 同底数幂的乘法及其逆用】 2 【考点2 幂的乘方及其逆用】 2 【考点3 积的乘方及其逆用】 3 【考点4 同底数幂的除法及其逆用】 3 【考点5 整式的乘法】 3 【考点6 整式的除法】 4 【考点7 平方差公式】 4 【考点8 平方差公式的几何背景】 5 【考点9 完全平方公式】 7 【考点10 完全平方公式的几何背景】 7 【考点11 平移的性质】 9 【考点12 作图-平移变换】 10 【考点13 轴对称图形】 10 【考点14 轴对称的性质】 11 【考点15 线段的垂直平分线】 12 【考点16 作图-轴对称变换】 13 【考点17 生活中的旋转现象】 13 【考点18 旋转的性质】 14 【考点19 作图-旋转变换】 14 【考点20 中心对称和中心对称图形】 15 【考点21 图案设计】 16 【考点22 二元一次方程（组）的定义】 18 【考点23 二元一次方程（组）的解】 18 【考点24 代入消元法解二元一次方程组】 19 【考点25 加减消元法解二元一次方程组】 19 【考点26 由实际问题抽象出二元一次方程（组）】 19 【考点27 二元一次方程组的应用】 20 【考点28 解三元一次方程组】 21 【考点29 三元一次方程组的应用】 22 【考点30 认识不等式】 23 【考点31 不等式的基本性质】 23 【考点32 一元一次不等式（组）的定义】 23 【考点33 一元一次不等式（组）的解法】 24 【考点34 一元一次不等式（组）的整数解】 24 【考点35 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 25 【考点36 一元一次不等式（组）的应用】 25 【考点37 命题的改写】 27 【考点38 真假命题】 27 【考点39 举反例】 27 【考点40 互逆命题】 28 【考点41 构造命题并证明】 28 【考点42 逻辑推理与论证】 29 【考点43 与平行线有关的计算与证明】 30 【考点44 三角形的内角和定理】 31 【考点45 三角形的外角性质】 32 【考点46 与多边形有关的计算】 33 【考点1 同底数幂的乘法及其逆用】 1．（25-26八年级上·北京·期中）已知，则 ． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）若，则的值为 . 3．（24-25七年级下·湖南·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【考点2 幂的乘方及其逆用】 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川内江·月考）已知，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．3 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如果，，那么用的代数式表示y为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【考点3 积的乘方及其逆用】 1．（2025·四川泸州·二模）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）若，则 ． 3．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）计算是（      ） A．8 B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【考点4 同底数幂的除法及其逆用】 1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）已知（均为正整数），则的值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 2．（2025·江苏泰州·三模）如果，那么 ． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知实数满足，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【考点5 整式的乘法】 1．已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．－ D．0 2．（25-26八年级上·北京·期中）若，求代数式的值． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为5的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是 ． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为 ，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【考点6 整式的除法】 1．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，求关于和的式子的值，（为正整数）． 【考点7 平方差公式】 1．（25-26八年级上·江西·期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，那么 ． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 4．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【考点8 平方差公式的几何背景】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，阴影部分是在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（25-26七年级上·天津和平·期中）如下左图是在一个边长为的大正方形正中心挖去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成右图中的一个大平行四边形． （I）用两种方法表示右图平行四边形的面积，方法一： ，方法二： （均用含，的代数式表示）； （II）计算 ． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 【考点9 完全平方公式】 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 2．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知，，，则代数式的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（25-26八年级上·北京·期中）已知．若，则的值是 ． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期中）（1）已知，，求下列各式的值： ①； ②． （2）代数推理：请运用所学知识，说明下列结论的正确性． ①两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ ②任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ 【考点10 完全平方公式的几何背景】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）我们已知道可以用一些长方形（或正方形）硬纸片拼成的图形面积来解释代数恒等式． (1)如图1，根据标注，可解释的代数恒等式是 ； (2)如图2，点在上，以，为边分别作正方形和正方形，它们的面积分别为和．若，，求的面积． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【教材回顾】选自教材图 （1）根据情境中的等量关系列出一个等式：如图，一张正方形纸片被分割成四个部分．从图中可以直观的看出正方形的面积表示为，还可以表示为______，所得等式为：__________________； 【探索活动】（2）简便计算：； 【拓展应用】（3）． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）【问题背景】七年级数学兴趣小组在一次数学活动课上，探索利用如图1所示的两个长方形和两个正方形拼接成一个大正方形，并探究相关问题． 【问题探究】（1）甲小组拼成了如图2所示的大正方形，发现大正形的面积有两种表示方法，请你帮他完成这两种表示方法． 方法1：______； 方法2：______； 【发现结论】（2）由上述“方法1”与“方法2”可列等式：______； 【尝试应用】（3）乙小组拼成了如图3所示的大正方形，若，，求出图3中阴影部分的面积． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【考点11 平移的性质】 1．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川泸州·期末）有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【考点12 作图-平移变换】 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）图中的图形2可以看作由图形1向下平移______ 格，再向左平移______ 格得到的． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，把网格图中的五角星先向右平移6格，再把向右平移后的图形向下平移7格．请画出每次平移后的图形． 3．（25-26七年级下·广东肇庆·月考）在网格中的位置如图所示，请根据下列要求作图． (1)过点A作的垂线段，垂足为； (2)将向下平移5格，再向右平移2格，画出平移后的； (3)的面积为_______． 【考点13 轴对称图形】 1．（25-26七年级上·湖南张家界·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·天津·期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【考点14 轴对称的性质】 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 2．（25-26八年级上·北京·期中）将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，在长方形中，E为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数是______． 【考点15 线段的垂直平分线】 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C．D． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【考点16 作图-轴对称变换】 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）请按下列要求画图：在图中，直线m是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在镜子中看到的数字，则实际数字是___________ 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 _____个． 【考点17 生活中的旋转现象】 1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 2．（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 3．（25-26七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以________（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着________（填“顺”或“逆”）时针方向旋转________度． 【考点18 旋转的性质】 1．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为_____度． 【考点19 作图-旋转变换】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，绕点旋转后，顶点的对应点为点，试确定顶点的对应点的位置以及旋转后的三角形．    2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的； (2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．    (1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C； (2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 【考点20 中心对称和中心对称图形】 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（　　） A．乒乓球 B．篮球 C．排球 D．冲浪 2．（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 3．（25-26九年级·河北邯郸·月考）如图， 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立的是（   ）    A．点与点是对称点 B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【考点21 图案设计】 1．如图①是正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有 种 2．小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（25-26九年级上·山西大同·期中）图1和图2都是由连接正八边形部分顶点或部分对边中点构成的图案，每个图案可看作由4个全等的直角三角形、8个全等的小矩形和4个全等的小正方形组成．按下列要求涂阴影． (1)在图1中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图2中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 4．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【考点22 二元一次方程（组）的定义】 1．（24-25六年级下·上海青浦·期末）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．以下方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 4．观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【考点23 二元一次方程（组）的解】 1．（24-25七年级下·广西河池·期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A． B．4 C． D．5 2．方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为 ． 4．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【考点24 代入消元法解二元一次方程组】 1．（24-25七年级下·青海玉树·期末）对于二元一次方程组，把①代入②消去y后所得到的方程为，则①的方程是 ． 2．对于方程，用y的代数式表示x，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知方程组中互为相反数，求的值． 4．对于关于，的 二元一次方程组，佳佳通过计算发现，无论取何值，的值始终不变．则这个值是 ． 【考点25 加减消元法解二元一次方程组】 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如果，则 ． 2．（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如果是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解方程组： (1) (2) 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组和代数式．若不论取何有理数，的值始终不变，则这个值为（   ） A． B． C．2 D．4 【考点26 由实际问题抽象出二元一次方程（组）】 1．某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组 ． 2．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组 ． 4．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【考点27 二元一次方程组的应用】 1．为了防控流感，我校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？ (2)由于部分区域需要重点消毒，我校准备花60元再次购买这两种消毒液，有多少种购买方案． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 3．为美化沿河风光带，某地将一段长为360米的河道整治任务交由甲乙两个工程队先后接力完成，共用20天．已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天比甲工程队少整治4米，求甲乙两工程队分别整治了多长的河道． 4．快乐公司决定按如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A．已知这三个工厂生产的产品A的优等品率如表所示． 甲 乙 丙 优等品率 80％ 85％ 90％ (1)快乐公司从甲厂购买______件产品A； (2)快乐公司购买的200件产品A中优等品有_______件； (3)根据市场发展的需要，快乐公司准备通过调整从三个工厂所购买的产品A的比例，提高所购买的200件产品A中的优等品的数量．若从甲厂购买产品A的比例保持不变，那么应从乙、丙两工厂各购买多少件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 【考点28 解三元一次方程组】 1．已知实数满足则代数式的值是（     ） A． B．3 C． D．7 2．对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ． 3．解方程组： 4．（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【考点29 三元一次方程组的应用】 1．我县推出、、三种土特产竹笋、黄花、芽菜组合成的礼盒，A种礼盒含竹笋4袋、黄花8袋；B种礼盒含竹笋3袋，黄花8袋，芽菜1袋；C种礼盒含竹笋2袋，黄花6袋，芽菜1袋．已知竹笋每袋20元，黄花每袋15元，芽菜每袋100元，某天卖这三种礼盒共9440元，其中竹笋的销售额为2320元，则芽菜的销售袋数为 ． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 3．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，但他身上的钱还差元；如果改成购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．某公司装修需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．于是需将每张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)填空：上表中， ， ； (2)如果所购的标准板材为张，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的、两种型号的板材块数与所需块数相符．问按三种裁法各裁标准板材多少张？ 【考点30 认识不等式】 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 3．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 4．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【考点31 不等式的基本性质】 1．如果，则a b（填“＞”、“＜”、“＝”）； 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）若，下列不等式变形正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，，当时，A与B的大小关系是 ． 【考点32 一元一次不等式（组）的定义】 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 4．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【考点33 一元一次不等式（组）的解法】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的一元一次方程的解是负数，求的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【考点34 一元一次不等式（组）的整数解】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【考点35 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 2．某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（   ） A． B． C． D． 3．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 4．某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 型 型 价格（万无台） 12 10 月污水处理能力（吨月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是　　 A． B． C． D． 【考点36 一元一次不等式（组）的应用】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【考点37 命题的改写】 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）“过一点作已知直线的平行线”这句话 _____命题．（选填“是”或“不是”） 2．（25-26七年级下·山西大同·月考）将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________，那么________． 3．（25-26七年级·湖北黄冈·月考）请写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”的题设和结论： 题设：____________________， 结论：____________________． 【考点38 真假命题】 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列命题是真命题的是（      ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．若，，则 C．对顶角相等 D．相等的两个角是对顶角 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·河南信阳·期末）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）“在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的2倍少，则为”这个命题是_____（填“真”或“假”）命题． 【考点39 举反例】 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例：______． 3．（25-26七年级下·江苏·期末）用一个整数的值说明命题“代数式的值一定大于代数式的值.”是错误的，这个整数的值可以是______.（写出一个即可） 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）为说明命题“如果a＞b，那么”是假命题，你举出的反例是_____． 【考点40 互逆命题】 1．（25-26七年级下·吉林白城·期末）命题“若，则”的逆命题是________． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列命题内错角相等，两直线平行；若，则；末位数字是的数，能被整除；对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级上·广西桂林·期末）下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点41 构造命题并证明】 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 2．（25-26七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【考点42 逻辑推理与论证】 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布；③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了（   ）次． A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26八年级上·全国·期末）六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级上·重庆·期末）初二年级10个班进行足球比赛，比赛分两轮进行，第一轮为淘汰赛，胜出的5支队伍进入第二轮的单循环赛（每两支队伍之间都要比赛一场），胜者获3分，负者得0分，若平局则两队各得1分．当单循环赛进行到某场结束时，经统计．此时A队共赛了4场、积8分：B队共赛了3场，积7分，C队共赛了2场积1分，D队只赛了1场、积0分．此时，E队应积______分．当全部比赛结束时，发现只有A队和B队积分相同，且恰有5局平局，那么E队在本轮单循环赛中共积______分． 【考点43 与平行线有关的计算与证明】 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，直线与直线、分别交于点、，的平分线交于点，是直线上一点，若，，． (1)求证：； (2)求的度数． 4．如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【考点44 三角形的内角和定理】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·月考）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【考点45 三角形的外角性质】 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 3．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，则的度数为 4．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，中，，，、、、、…都在的延长线上，、、、、…分别在、、、、…上，且满足，，，，…依次类推， ． 【考点46 与多边形有关的计算】 1．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·浙江舟山·月考）如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为则原多边形的边数为（    ） A．5或6或7 B．6或7或8 C．7或8或9 D．8或9或10 4．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的一个内角与相邻的外角的度数之比为． (1)求这个n边形的边数； (2)求这个n边形的内角和． 6．如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $