专题02 期末复习易错题37个考点（举一反三期末专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦期末37个高频易错考点，以题载知，覆盖几何基础、代数运算及数据统计，强化概念辨析与实际应用，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何基础|8考点|选择/填空/解答，含定义辨析（对顶角）、性质应用（平行线）|从相交线到平移，构建空间观念与推理意识| |代数运算|17考点|计算/应用，涉及方程（组）解法、不等式（组）整数解|从实数概念到代数模型，发展运算能力与模型意识| |数据统计|12考点|图表分析（扇形/条形统计图）、调查方法|从数据收集到趋势预测，培养数据意识与应用能力|

专题02 期末复习易错题37个考点 【新教材人教版】 【考点1 对顶角】 2 【考点2 点到直线的距离】 4 【考点3 同位角、内错角、同旁内角】 6 【考点4 平行线的判定】 9 【考点5 平行线的性质】 12 【考点6 平行线的判定与性质】 16 【考点7 定义、命题、定理】 22 【考点8 平移】 24 【考点9 平方根、算术平方根】 27 【考点10 立方根】 29 【考点11 实数的分类】 30 【考点12 无理数】 32 【考点13 坐标与图形性质】 35 【考点14 点的坐标规律探索】 39 【考点15 二元一次方程（组）的定义】 42 【考点16 二元一次方程（组）的解】 44 【考点17 代入消元法解二元一次方程组】 46 【考点18 加减消元法解二元一次方程组】 47 【考点19 由实际问题抽象出二元一次方程（组）】 50 【考点20 二元一次方程组的应用】 52 【考点21 解三元一次方程组】 54 【考点22 三元一次方程组的应用】 57 【考点23 认识不等式】 60 【考点24 不等式的基本性质】 61 【考点25 一元一次不等式（组）的定义】 63 【考点26 一元一次不等式（组）的解法】 64 【考点27 一元一次不等式（组）的整数解】 67 【考点28 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 70 【考点29 一元一次不等式（组）的应用】 72 【考点30 全面调查与抽样调查】 76 【考点31 总体、个体、样本、样本容量】 78 【考点32 统计表】 79 【考点33 条形统计图】 81 【考点34 扇形统计图】 84 【考点35 折线统计图】 86 【考点36 频数分布直方图】 89 【考点37 趋势图】 92 【考点1 对顶角】 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角定义即可求解． 【详解】解：、选项中与不是对顶角，不符合题意； 、选项中与是对顶角，符合题意； 、选项中与不是对顶角，不符合题意； 、选项中与不是对顶角，不符合题意． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，如果，则_____ 【答案】 【详解】解：由图可知 与是对顶角，根据对顶角相等可得， 因为 ， 所以 ， 又因为 与 互为邻补角， 所以， 所以 3．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线相交于点O，，，求的度数． 【答案】 【分析】由对顶角相等、邻补角互补可得、，则，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 4．如图，已知直线、相交于点，，平分，于点． (1)求的度数； (2)试判断射线是否平分？并说明理由． 【答案】(1) (2)射线平分，理由见解析 【分析】（1）根据对顶角相等得出，再由角平分线得出，结合垂直及图形即可求解； （2）根据题意得出，确定，再由角平分线的定义即可得出结果． 【详解】（1）解：， ． 平分， ． 又， ． ． （2）射线平分，理由如下： ∵， ． ， 又 ． 射线平分． 【考点2 点到直线的距离】 1．如图，点，在直线上，点在直线外，连接，，若，，则点到直线的距离可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：因为垂线段最短， ∴点P到直线l的距离小于3， 观察四个选项，只有选项A符合题意． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，利用等面积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 解得， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小，即最小值为． 4．如图，，于，，，，则点到的距离是______，点到的距离是______，的依据是______． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 【考点3 同位角、内错角、同旁内角】 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：A、与是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意； B、与是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意； C、与是同旁内角，故本选项符合题意； D、与不是同旁内角，故本选项不符合题意； 故选C． 2．若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_______对内错角． 【答案】24 【分析】本题考查了内错角的定义与计数，解题的关键是先确定线段数量，再根据每条线段两侧内错角的对数计算总对数． 先根据4条直线两两相交且无三线共点，求出线段数量，再结合每条线段两侧内错角的对数，计算内错角的总对数． 【详解】∵平面上4条直线两两相交且无三线共点， ∴共有条线段． 又∵每条线段两侧各有一对内错角， ∴共有内错角对． 故答案为：24． 3．如图所示，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对，则的值是____________ 【答案】6 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义分别得到a，b，c的值，即可求解． 【详解】∵同位角有：∠8与∠4，∠5与∠1，∠7与∠3，∠6与∠2，∠4与∠9，∠7与∠9，共6对；内错角有：∠7与∠1，∠6与∠4，∠5与∠9，∠2与∠9，共4对，同旁内角有：∠7与∠4，∠6与∠1，∠1与∠9，∠6与∠9共4对， ∴a=6，b=4,c=4， ∴=6， 故答案是：6． 【点睛】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握它们的定义，是解题的关键． 4．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点4 平行线的判定】 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、不能推出，不符合题意； B、不能推出，不符合题意； C、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； D、不能推出，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，若，则下列条件中，不能判定 的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据，结合各选项的条件逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴；故A不符合题意； ∵，， ∴不一定相等， ∴不能得到；故B符合题意； ∵．和互余且和互余， ∴， ∴， ∴；故C不符合题意； ∵，平分，且平分， ∴， ∴；故D不符合题意； 故选：B 3．如图，在中，，，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为，旋转角为，当时，旋转角为______． 【答案】70或250/250或70 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的判定，三角形内角和定理．当时，或时，，画出图形，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 当时，分两种情况： 当时，，此时； 当时，，此时； 故答案为：70或250． 4．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 【考点5 平行线的性质】 1．如图，已知​，​直角顶点在​上，已知​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】C 【分析】由平角和直角三角形的定义可求得的度数，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：直角顶点在上， ，， ， ， ． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【答案】 【分析】延长交于点，如图所示，先由平行线性质得到，在中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 在中，，，， ． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点C在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，则的度数为______． 【答案】/81度 【分析】过点作，可得，根据两直线平行内错角相等可得，，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 4．探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）小刚的证明：过点作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【详解】（1）解：小刚的证明如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ， 即； 小红的证明如下： 如图3，延长交于点， ， ， ∵，， ， 即； （2）证明：∵，， ， ， ， ； （3）解：∵平分，， ∴， 设，则， ， ∵在（2）的条件下， ， ， 解得， ， 设， ∵平分， ， ， ， ， ， ∵在（）的条件下， ， 同理可得，，即， 解得， ． 【考点6 平行线的判定与性质】 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先结合邻补角互补以及得，故，又因为对顶角相等得，进行等量代换得，故，运用平行线的性质进行分析，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 3．如图，直线与直线、分别交于点、，的平分线交于点，是直线上一点，若，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求得，即可得到； （2）根据三角形的外角性质求得，再根据，求得，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：的平分线交于点，， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 4．如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的度数不变，理由见解析 【分析】（1）先根据同角的补角相等得再根据“内错角相等，两直线平行”得，然后根据平行线的性质说明，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）作，根据平行线的性质得,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明，然后推导出，接下来设 ，再结合题意可得最后联立求出答案即可； （3）作设直线和直线相交于点G，先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后由（2）可知，即可得出，接下来根据平行线的性质得，最后根据 得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴, ∴平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 设 ． ∵比大， ∴ ∴， 解得， 所以的度数是； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图，过点E作设直线和直线相交于点G， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ． 【考点7 定义、命题、定理】 1．用三个不等式中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由题意得出三个命题，根据不等式的性质判断命题的真假. 【详解】若，则为假命题.反例：a=-1,b=-2 若，则为假命题.反例：a=2,b=-1 若，则为假命题.反例:a=-2,b=-1 故选：A 【点睛】本题考查了命题与不等式的性质，解题的关键在于根据题意得出命题，根据不等式的性质判断真假. 2．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（    ） A．5 B．12 C．14         D．16 【答案】C 【详解】解：∵5不是偶数，且也不是4的倍数， ∴不能作为假命题的反例，故A错误； ∵12是偶数，且是4的倍数， ∴不能作为假命题的反例，故B错误； ∵14是偶数但不是4的倍数， ∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例，故C正确； ∵16是偶数，且也是4的倍数， ∴不能作为假命题的反例，故D错误. 故选：C. 3．将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成________________，该命题是_________（填“真命题”或“假命题”）． 【答案】 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 真命题 【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；而题设成立，不保证结论成立的为假命题． 【详解】解：把“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；这个命题正确，是真命题， 故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 4．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到 ，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到 ，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 【考点8 平移】 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、不是由一个基本图形平移而成，故A选项不符合题意； B、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故B选项不符合题意； C、是由一个基本图形平移而成，故C选项符合题意； D、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，，然后根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图形平移的性质可得，，， ， ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得或与在同一条直线上，或与在同一条直线上，，故①②③正确， 根据现有条件无法证明，故④错误． 4．（24-25七年级上·四川眉山·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． (1)请画出平移后的； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是 ； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)7 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质即可得，； （3）利用补形法结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：如图， 由平移的性质可得：，． （3）解：． 的面积为． 【考点9 平方根、算术平方根】 1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）已知正数x的两个不同的平方根是和，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查平方根定义和性质，根据平方根的性质：一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，可得和互为相反数，再根据互为相反数的两个数和为0，求得m的值，再得出的值，从而得出x的值. 【详解】解：∵正数x的两个不同的平方根是和 ∴和互为相反数 ∴ 解得 则 ∴. 故答案为25. 2．的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据数字的变化找出规律求值是解本题的关键．找出规律，计算求值即可． 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ， 第行有个数， 前行包含第行数的总个数为：， 第八行数的个数为：， 前八行包含第八行数的总个数为：， 根据规律，可知第八行的最后一个数为：， ，， 第八行第十三个数是 故选：D． 【考点10 立方根】 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知，则，则 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的性质，根据被开方数的小数点每向左或向右移动3位，立方根的小数点向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数， 再取立方根，是有理数， 倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：B． 4．已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确地计算． （1）运用平方根知识列出方程并求解； （2）将该方程变形后，运用立方根知识进行求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得， ∴； （2）解：由（1）所求， ∴关于x的方程为， 移项，得， 化系数为1，得， 开立方，得． 【考点11 实数的分类】 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）下列计算结果是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无线循环小数是解题的关键． 根据有理数和无理数的定义，只有选项A是有理数，其他选项均为无理数． 【详解】A、是有理数，故A符合题意； B、是无理数，故B不符合题意； C、是无理数，故C不符合题意； D、是无理数，故D不符合题意． 故选：A． 3．在①  ②  ③0  ④3.14  ⑤  ⑥0.3  ⑦  ⑧  ⑨ 属于有理数的有：________________；（填序号） 属于无理数的有：________________；（填序号） 属于实数的有：________________．（填序号） 【答案】见解析 【分析】根据有理数、无理数和实数的定义分别填空即可． 【详解】解：∵=-7，=1.1， ∴属于有理数的有：①③④⑥⑦⑧⑨； 属于无理数的有：②⑤； 属于实数的有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨． 【点睛】本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是无限循环小数或有限小数，大于零的实数是正实数，小于零的实数是负实数． 4．把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【答案】(1)，，，，相邻的两个之间依次多一个 (2)，，，， (3)，， (4)， 【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数的定义求解即可． 【详解】（1）无理数集合： ，，，，相邻的两个之间依次多一个， 故答案为：，，，，相邻的两个之间依次多一个， （2）有理数集合： ，，，，， 故答案为：，，，，， （3）分数集合： ，，， 故答案为：，，， （4）负无理数集合： ，， 故答案为：，， 【考点12 无理数】 1．（25-26八年级上·上海·月考）如果，那么整数 ． 【答案】3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义，比较与相邻的完全平方数，确定其取值范围，从而得到答案． 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ． 又∵a为正整数， ∴． 故答案为3． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）在实数，，，，、，（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）中，无理数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，即无限不循环小数．逐一判断给定实数中哪些是无理数即可．掌握无理数的定义是关键，注意区分有限小数、循环小数和无限不循环小数． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； （位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）是无限不循环小数，属于无理数． ∴ 无理数有 、、（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”），共3个． 故选：B． 3．已知是的整数部分，是的整数部分，的值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，包括利用算术平方根的大小比较确定无理数的整数部分，解决本题的关键是对无理数估算方法的运用． 要确定的整数部分和的整数部分，需通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，得出无理数的范围，进而确定其整数部分，核心是对无理数估算方法的运用． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，即， 又∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴． 故选：D ． 4．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）求出，得到的整数部分是2，的小数部分是，的小数部分为a，则，求出，得到的整数部分是3，的小数部分是，的整数部分为b，则，代入即可得到答案； （2）求出，则，由，其中x是整数，得到，，则，即可得到的相反数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵的小数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为b， ∴， ∴． （2）∵ ，其中x是整数，且， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， 所以的相反数为． 【考点13 坐标与图形性质】 1．（24-25八年级下·江西赣州·期中）已知平面直角坐标系内有三个点，若四边形是平行四边形，则点C的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质． 利用平行四边形对边平行且相等，结合坐标平移规律求解． 【详解】解：如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴； ∵，沿轴方向， ∴点是点向左平移个单位（因为长度为3）． ∴向左平移个单位，横坐标，纵坐标不变，即， 故选：C． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴， ∴，， ∵点A坐标为， ∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点C坐标为， 故选：A． 3．（24-25九年级上·贵州安顺·期末）如图，正方形的两边、分别在轴，轴上，点在边上，以点为旋转中心，把顺时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形性质、坐标与图形旋转变换等知识点，掌握正方形的性质是解题的关键． 做题时分两种情况，顺时针和逆时针旋转，作出相应图形进行计算即可．作出图形分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：如图：以点为旋转中心，把顺时针旋转， ∵， ∴正方形的边长为3， ∴， ∵四边形是正方形， ， 由旋转性质可得：，， ∴在x轴上， ∴． 故选：A． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，若点在轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查的考试知识集中在平面直角坐标系和三角形全等首先根据点的坐标及中点性质，得出；再结合和直角条件用定理证 ，推得；最后因在轴上，分正负半轴讨论，得到的坐标． 【详解】解：∵点是的中点，点， ∴， ∵点， ∴ ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， 点在轴负半轴上时，坐标为； 点在轴正半轴上时，坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故选：C． 【考点14 点的坐标规律探索】 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，点第一次向上平移1个单位长度至点，第二次向右平移1个单位长度至点，第三次向上平移1个单位长度至点，第四次向右平移1个单位长度至点，……照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，数字规律探究．通过分析平移次数与坐标的关系总结规律是解题的关键． 先梳理每次平移后的坐标，发现平移规律为奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度，而进行了1013次向上平移，1013次向右平移，则的横坐标和纵坐标都加上1013即可求解． 【详解】解：观察平移规律，第一次向上平移1个单位长度至点， 第二次向右平移1个单位长度至点， 第三次向上平移1个单位长度至点， 第四次向右平移1个单位长度至点， 可以发现平移规律：奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度． 是偶数，所以是经过次平移得到的， 由于偶数次平移是向右平移，从点开始，经过次平移，横坐标的变化是向右平移了个单位长度，所以的横坐标为； 又因为奇数次平移是向上平移，从点开始，经过次平移，纵坐标的变化是向上平移了个单位长度，所以的纵坐标为； ． 故选D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的坐标变化规律，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律是解题的关键． 本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得的点在x的正半轴上（n为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴的点在轴的正半轴上（为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2， ∵， ∴在轴的正半轴上， ∴的横坐标为， ∴的坐标为， 故选：C． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间距离的计算及周期规律问题．先求出四边形的周长，再用细线的长度除以周长得到绕的圈数和余数，最后根据余数确定细线另一端所在的位置坐标． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴四边形的周长为， ∵， ∴细线从点A出发，按的顺序缠绕，在绕了201圈后，细线回到起点A，剩余的长度为5，从A点开始继续缠绕， ∴从A到B的长度是2，从B到C的长度是3， ∵， ∴剩余的5个单位长度刚好是从A点经过B点到达C点， ∴细线另一端所在位置的点的坐标是C点的坐标，即． 故选：C． 4．（25-26八年级上·山西太原·月考）横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为，根据这个规律，第2025的整点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据图形得出点的个数与横坐标之间存在的平方关系是解题的关键． 观察图中点的坐标可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，故可得当n为奇数时，第个点的坐标为，当n为偶数时，第个点的坐标为，然后按照规律求解即可． 【详解】解：观察图中点的坐标得：以最外边的长方形边长上点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横标的平方， 如：第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， …… 当n为奇数时，第个点的坐标为， 当n为偶数时，第个点的坐标为， ∵，45为奇数， ∴第2025个点的坐标为． 故答案为：． 【考点15 二元一次方程（组）的定义】 1．（24-25六年级下·上海青浦·期末）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，属于基础题，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，含有两个未知数且所有未知数的项的次数都是1，可直接选出正确选项． 【详解】解：A选项中的方程组有三个未知数，故不符合题意； B选项中的方程组属于二元一次方程组，故符合题意； C选项中的方程组中的不是一次方程，故不符合题意； D选项中的方程中的第一个方程的分母含未知数，不是整式方程，故不符合题意． 故选：B． 2．以下方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是二元一次方程，符合题意； B、方程中，含有未知数的项的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程中，含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：A． 3．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 4．观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键． 【考点16 二元一次方程（组）的解】 1．（24-25七年级下·广西河池·期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解的意义． 将方程的解代入原方程，然后进行求解即可． 【详解】解：将代入，得， 解得， 故选：A． 2．方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解二元一次方程组的解的意义，代入法求解． 把代入先求出y，再代入求出■即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴代入, 得， 解得， 把代入， 得， ∴被■盖住的数分别是1，． 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解的定义． 先将方程组的解代入方程组，得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值，最后代入计算． 【详解】 得：， 将代入得：， 因为是二元一次方程组得解， 所以， 所以． 故答案为：5． 4．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，根据题意，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：A． 【考点17 代入消元法解二元一次方程组】 1．（24-25七年级下·青海玉树·期末）对于二元一次方程组，把①代入②消去y后所得到的方程为，则①的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：根据题意可知，把①代入②消去y后所得到的方程为，即， ， ①的方程为 故答案为：． 2．对于方程，用y的代数式表示x，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数．熟练掌握相关运算方法，是解题的关键．移项，将的系数化为1，即可得解． 【详解】解：， 移项，得：， 将的系数化为1，得：． 故选：A． 3．已知方程组中互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解二元一次方程组，根据相反数的定义得出，把代入方程组得到一个新的二元一次方程组，利用代入法求解即可得出m的值． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， 把代入方程组， 得： 把②代入①得：， 解得： 4．对于关于，的 二元一次方程组，佳佳通过计算发现，无论取何值，的值始终不变．则这个值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用代入消元法解二元一次方程组得到，，然后代入，可得到结果． 【详解】解： 由①得， 将代入②， 解得 将代入①， 解得 方程组的解为： 那么 故答案为：． 【考点18 加减消元法解二元一次方程组】 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方及绝对值的非负性，加减消元法解二元一次方程组；根据平方与绝对值的非负性得到二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 得， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如果是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，先把代入得到关于、的方程组，解方程得到a、b的值，代入代数式即可得到答案． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ①②得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入法进行求解； （1）利用加减消元法进行求解； （2）利用加减消元法进行求解． 【详解】（1）解：方程组整理得： 得：，即， 把代入得：， 则方程组的解为． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组和代数式．若不论取何有理数，的值始终不变，则这个值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法求出，，代入，根据不论m取何有理数，的值始终不变，列出关于n的方程，解方程求出n，再代入化简后的进行计算即可． 【详解】解： 得， 解得：， 将代入得， 解得：， ∴， ∵不论m取何有理数，的值始终不变， ∴， 解得：， ∴这个值为：， 故选：C． 【考点19 由实际问题抽象出二元一次方程（组）】 1．某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用（配套问题），解题的关键是找出两个核心等量关系：一是加工机轴与轴承的总人数等于车间总人数，二是每天加工的轴承数量是机轴数量的2倍（根据“每根机轴配2个轴承”的配套要求）． 先根据总人数为98人，得到加工机轴的人数与加工轴承的人数的和为98，列出第一个方程；再根据“每根机轴配2个轴承”的配套规则，可知轴承总数（）是机轴总数（）的2倍，列出第二个方程，进而组成方程组． 【详解】解：根据题意，找两个等量关系： 加工机轴人数加工轴承人数总人数，即； 轴承总数机轴总数（每根机轴配2个轴承），其中机轴总数为，轴承总数为，故； 综上，组成的方程组为． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键． 设一只雀重斤，一只燕子重斤，根据“5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤”，可得二元一次方程组，即可选出答案． 【详解】解：设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为：， 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得时看到的数字为，时看到的数字为，时看到的数字为，再根据相同时间内所走的路程相同建立方程组即可． 【详解】解：设时看到的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得，， 故答案为：． 4．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 【详解】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ； 垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即； 综上，符合条件的二元一次方程组为， 故选：． 【考点20 二元一次方程组的应用】 1．为了防控流感，我校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？ (2)由于部分区域需要重点消毒，我校准备花60元再次购买这两种消毒液，有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶 (2)三种 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设买甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据“购买了甲，乙种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元”建立二元一次方程组求解； （2）设买甲种消毒液购买了m瓶，乙种消毒液购买了n瓶，根据(1)求得的单价以及“花60元再次购买这两种消毒液”得到二元一次方程，再求出其正整数解即可． 【详解】（1）解：设买甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据题意， 得， 解得， 答：甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶． （2）解：设买甲种消毒液购买了m瓶，乙种消毒液购买了n瓶，根据题意， 得，化简得， ∵m，n为正整数， ∴或或． ∴有三种购买方案． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 【答案】第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得：， 答：第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时． 3．为美化沿河风光带，某地将一段长为360米的河道整治任务交由甲乙两个工程队先后接力完成，共用20天．已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天比甲工程队少整治4米，求甲乙两工程队分别整治了多长的河道． 【答案】甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设好未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 4．快乐公司决定按如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A．已知这三个工厂生产的产品A的优等品率如表所示． 甲 乙 丙 优等品率 80％ 85％ 90％ (1)快乐公司从甲厂购买______件产品A； (2)快乐公司购买的200件产品A中优等品有_______件； (3)根据市场发展的需要，快乐公司准备通过调整从三个工厂所购买的产品A的比例，提高所购买的200件产品A中的优等品的数量．若从甲厂购买产品A的比例保持不变，那么应从乙、丙两工厂各购买多少件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 【答案】(1)50 (2)171 (3)应从乙工厂购买20件产品A，应从丙工厂购买130件产品A，才使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 【分析】本题主要考查了扇形统计图、百分比的应用、二元一次方程组的应用等知识点，能够从扇形统计图和表格中获得正确信息是解题的关键． （1）结合扇形统计图，得快乐公司从甲厂购买产品A的件数是件，据此即可解答； （2）根据扇形统计图分别求得甲、乙、丙三个工厂购买产品A的件数，再进一步根据这三个工厂生产的产品A的优等品率进行计算即可； （3）设应从乙、丙两工厂各购买x件、y件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件．联立解方程组即可． 【详解】（1）解：快乐公司从甲厂购买产品A的数量为（件）． 故答案为：50． （2）解（件）． 答：快乐公司购买的200件产品A中优等品有171件． 故答案为：171． （3）解：设应从乙、丙两工厂各购买x件、y件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 根据题意，得： ，解得：． 答：应从乙工厂购买20件产品A，应从丙工厂购买130件产品A，才使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 【考点21 解三元一次方程组】 1．已知实数满足则代数式的值是（     ） A． B．3 C． D．7 【答案】A 【分析】方程组两方程相减求出x-z的值，原式变形后代入计算即可求出值. 【详解】解： ②-①得：3x-3z=-3，即x-z=-1，则原式=4（x-z）+1=-4+1=-3. 故选A. 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 2．对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，新定义，根据新定义得到，再利用得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴ 得：， ∴， 故答案为：． 3．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，掌握将三元一次方程组转化成二元一次方程组求解是解题的关键． 观察到三个方程里的系数都是1或，故先用加减消元法消去，再把含、的方程联立方程组来解． 【详解】解：， 得：④， 得：⑤， 得：⑥， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， 原方程组的解为． 4．（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题考查利用“整体思想”和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可； （2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可． 【详解】（1）解： 得， ， 将原方程变形成 ， 将③代入④，得，， ． （2）解：， ①+②得： ， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得 ． 【考点22 三元一次方程组的应用】 1．我县推出、、三种土特产竹笋、黄花、芽菜组合成的礼盒，A种礼盒含竹笋4袋、黄花8袋；B种礼盒含竹笋3袋，黄花8袋，芽菜1袋；C种礼盒含竹笋2袋，黄花6袋，芽菜1袋．已知竹笋每袋20元，黄花每袋15元，芽菜每袋100元，某天卖这三种礼盒共9440元，其中竹笋的销售额为2320元，则芽菜的销售袋数为 ． 【答案】28 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出三元一次方程组，是解题的关键：设A、B、C三种礼盒的销售数量分别为 x、y、z，根据竹笋的销售额为2320元，求出卖出竹笋的袋数，进而得到销售的三个礼盒中竹笋的总袋数，再结合卖这三种礼盒共9440元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设A、B、C三种礼盒的销售数量分别为 x、y、z， ∵竹笋的销售额为2320元， ∴卖出竹笋的袋数为， ∴①， ∵卖这三种礼盒共9440元， ∴， 整理，得：②， ，得：， ∴， ∴芽菜的销售袋数为； 故答案为：28． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程的应用．设甲、乙、丙三种商品的单价分别为元、元、元，根据题意列出方程组，通过相加方程消去变量，直接求出的值． 【详解】解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为元、元、元．根据题意，可列方程组： 将方程①和②相加，得到： ， 化简得： ， 两边同时除以4，得： ， 因此，购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元． 故选：A． 3．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，但他身上的钱还差元；如果改成购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．设每盒甲种礼盒的价钱为元，每盒乙种礼盒的价钱为元，晓雨身上有元钱，根据题意列出关于，，的三元一次方程组，解之即可求解． 【详解】解：设每盒甲种礼盒的价钱为元，每盒乙种礼盒的价钱为元，晓雨身上有元钱， 根据题意得：， 得： ， ， ， ， 每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵元， 故选：B． 4．某公司装修需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．于是需将每张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)填空：上表中， ， ； (2)如果所购的标准板材为张，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的、两种型号的板材块数与所需块数相符．问按三种裁法各裁标准板材多少张？ 【答案】(1)， (2)按裁法一、裁法二和裁法三裁裁标准板材分别为张、张和张 【分析】（1）按裁法二裁剪时，块型板材块的长为，，所以无法裁出型板，按裁法三裁剪时，块型板材块的长为，，而块型板材块的长为所以无法裁出块型板，即可得出答案； （2）设按裁法一裁张，按裁法二裁张，按裁法三裁张，由题意等量关系列出一元三次方程组即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材块的长为，， 无法裁出型板，则； 按裁法三裁剪时块型板材块的长为，， 可以裁出块型板， 而块型板材块的长为，， 无法裁出块型板，则， 故答案为：，； （2）设按裁法一裁张，按裁法二裁张，按裁法三裁张， 根据题意：， 解得：， 答：按裁法一、裁法二和裁法三裁裁标准板材分别为张、张和张． 【点睛】主要考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是正确理解题意，在做题时要明缺所裁出型板材和型板材的总长度不能超过． 【考点23 认识不等式】 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． 2．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式． 先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案． 【详解】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意； B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意； C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键． 根据题意，列出不等式即可． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：． 4．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可求出答案，解题的关键是正确理解不等式的定义． 【详解】由于最高气温是，最低气温是， ∴， 故答案为：． 【考点24 不等式的基本性质】 1．如果，则a b（填“＞”、“＜”、“＝”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不改变是解题的关键． 根据不等式的基本性质直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）若，下列不等式变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】A．由可得，原不等式变形错误； B．由可得，即，原不等式变形错误； C．当时，，原不等式变形错误； D．由可得，即，原不等式变形正确； 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，，当时，A与B的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算的应用，不等式的性质，利用作差法求解是解此题的关键． 利用作差法求得，然后根据利用不等式的性质求解即可． 【详解】解： ∴当时， ∴ ∴． 故答案为：． 【考点25 一元一次不等式（组）的定义】 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 2．下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 4．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 【考点26 一元一次不等式（组）的解法】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的一元一次方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据原方程的解为负数，得到，解出m的取值范围即可． 【详解】解：， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， ∵的一元一次方程的解是负数， ∴， 即， 解得． 答：的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用加减消元法，解得，即可作答． （2）由，且根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（1）的结论代入可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， ，得， 解得， 综上所述：，； （2）解：由（1）得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键． 先根据不等式的解集确定的范围，再解方程组得到的表达式，结合解为整数的条件确定的可能值，最后计算这些的积． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴， 解得， 解方程组，得，， ∵ 方程组的解为整数， ∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数 ∵ ， ∴ ，即是负整数， 又∵ 是整数且为4的倍数， ∴ 是8的负约数，且是4的倍数， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（不是4的倍数），舍去， 当时，，（不是4的倍数），舍去， ∴符合条件的整数为、， ∴ 它们的积为， 故答案为：． 【考点27 一元一次不等式（组）的整数解】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再根据只有四个整数解的条件确定a的取值范围． 【详解】解：∵， 由①得： ； 由②得： ，即 ． ∴不等式组的解集为 ． 由于只有四个整数解，且，因此整数解为 1， 0， ， ． 为确保解集包含 但不包含 ， ∴． 故答案为： 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，解题的关键是先解不等式，再根据正整数解的个数确定不等式的取值范围． 1．解不等式，得到； 2．根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式； 3．解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解： 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． 且 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 故选C． 4．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示出来，根据整数解的和就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的所有整数解的和是18， 不等式组的整数解为6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、、， 或 ， 故选：C． 【考点28 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 故选：C． 2．某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用——销售问题．熟练掌握打折销售，“利润售价进价”，运用不等关系列不等式，是解决问题的关键． 根据打x折销售，利润率不低于，列出不等式即可． 【详解】∵这种品牌的运动鞋售价为每双300元，打折销售， ∴打折后实际售价为每双元， ∵利润率不低于， ∴利润不低于元， ∴能正确表示该商店的促销方式的不等式是：． 故选：B． 3．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 4．某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 型 型 价格（万无台） 12 10 月污水处理能力（吨月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可． 【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据题意，得： ， 故选A． 【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组． 【考点29 一元一次不等式（组）的应用】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 【答案】(1)选择甲复印社比较省钱，因为甲收费10元，乙收费10.5元。 (2)甲复印社收费：元；乙复印社收费：元。 (3)60 【分析】此题考查了一元一次不等式及列代数式的应用，找出题中的数量关系是解本题的关键． （1）根据甲、乙两家复印社收费标准即可求解； （2）根据题意，分别求出甲、乙两家复印社的收费即可； （3）根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：复印50页时： 甲复印社收费：(元) 乙复印社收费：前20页每页0.3元，超过部分每页0.15元， 即(元)， 因为， 所以选择甲复印社比较省钱． （2）解：设复印张数为页 甲复印社收费：元． 乙复印社收费：元． （3）解：要使乙复印社收费比甲便宜，需满足： 解不等式得： 所以当复印的页数超过60页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 故答案为：60． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)至少应安排15名工人去制造乙种零件 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）先求出有名工人制造乙种零件，再根据利润计算公式即可得； （2）根据建立不等式，解不等式，从而求出，由此即可得． 【详解】（1）解：车间每天安排名工人制造甲种零件，则有名工人制造乙种零件， 则此车间每天所获利润， ∵， ∴， 所以此车间每天所获利润元与名工人之间的函数表达式为（，且x为整数）． （2）解：由题意得：，即， 解得， 则， 答：至少应安排15名工人去制造乙种零件． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个 (2)该超市有8种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A礼盒的数量），再将其代入中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量； （2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超市共有8种进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒个，由题意得： 解得， 则 答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个； （2）解：由题意得 解得， ∴该超市有8种进货方案． 【考点30 全面调查与抽样调查】 1．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）下列调查中，适合采用全面调查（全面调查）方式的是（   ） A．对我市中学生观看电影《南京照相馆》情况的调查 B．调查琼江河的水质情况 C．调查某班学生视力情况 D．调查全国初一中学生的平均身高 【答案】C 【分析】本题考查了全面调查，全面调查（全面调查）适用于调查对象数量较少、易于全面进行的情况．选项C中，某班学生数量有限，适合全面调查；其他选项调查范围广、对象多，适合抽样调查． 【详解】解：∵全面调查需要对所有调查对象进行逐一调查， ∴适用于对象数量少、调查简便的情况． 选项A（全市中学生）、B（整条河流）、D（全国初一中学生）对象数量多或范围广，全面调查成本高、难度大，不适合；选项C（某班学生）对象数量少，易于全面调查， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．了解我校七年级（1）班全体同学周末时间安排情况 B．乘坐飞机时对旅客行李的检查 C．调查某班名同学的视力情况 D．了解一批汽车的抗撞击能力 【答案】D 【分析】本题考查抽样调查与全面调查的适用情况，掌握相关知识是解决问题的关键．全面调查适用于对象数量少、精确要求高或非破坏性调查；抽样调查适用于对象数量多、破坏性调查或全面调查不现实的情况． 【详解】解： A：班级人数较少，宜采用全面调查； B：行李检查涉及安全，必须全面检查； C：班级人数较少，宜采用全面调查； D：抗撞击能力测试具有破坏性，宜采用抽样调查． 故选：D． 3．木王森林公园位于商洛市镇安县境内，是秦岭南坡仅有的两个国家森林公园之一，被誉为“植物的世界，动物的王国”．为调查园内的水质情况，管理人员适合采用 调查．（填“全面”或“抽样”） 【答案】抽样 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：为调查园内的水质情况，管理人员适合采用抽样调查． 故答案为：抽样． 4．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列调查：①调查洗衣机的使用寿命；②调查“神舟十四号载人飞船”的零部件；③调查人们保护地球环境的意识；④调查全国初中生的视力情况．其中适合全面调查的是（填序号） ． 【答案】② 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：①调查洗衣机的使用寿命，适合抽样调查； ②调查“神舟十四号载人飞船”的零部件，适合全面调查； ③调查人们保护地球环境的意识，适合抽样调查； ④调查全国初中生的视力情况，适合抽样调查； 所以适合全面调查的是②． 故答案为：②． 【考点31 总体、个体、样本、样本容量】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）为了了解我县参加中考的名学生的体重情况，随机抽取了其中名学生的体重进行统计分析，下面叙述正确的有（    ）个 ①总体是3000名学生； ②样本是200名学生的体重； ③样本容量是200； ④以上是抽样调查． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查总体、个体、样本、以及全面调查和抽样调查，根据题意，利用总体、个体、样本的意义进行判断即可． 【详解】解：总体是名学生的体重，原说法错误； 样本是名学生的体重，说法正确； 样本容量是，说法正确； 以上是抽样调查，说法正确． 所以叙述正确的有个． 故选：C． 2．为了解全校九年级300名学生的视力情况，从中抽取50名九年级学生进行视力测量调查，在这个调查中，样本容量是 ． 【答案】50 【分析】本题考查了样本容量的定义，指一个样本中包含的个体数目，本题中，总体是九年级300名学生的视力情况，样本是从中抽取的50名学生的视力情况，从而得出样本容量． 【详解】解：样本为抽取的50名学生的视力情况， 样本容量是50， 故答案为：50． 3．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）为了掌握我校七年级男同学身高情况，从中抽测了50名男同学的身高，这个问题中的样本是 ． 【答案】抽测的50名男同学的身高 【分析】本题考查统计知识的样本概念，根据总体是所要考查对象的全体，样本是从总体中抽取的部分个体，即可解答． 【详解】∵为了掌握我校七年级男同学身高情况，从中抽测了50名男同学的身高， ∴这个问题中的样本是抽测的50名男同学的身高． 故答案为：抽测的50名男同学的身高． 4．为了解我市中学生中15岁女生的身高状况，随机抽查了10个学校的200名15岁女生的身高，则下列表述正确的是 A．总体指我市全体15岁的女中学生 B．个体是200名女生的身高 C．个体是10个学校的女生 D．抽查的200名女生的身高是总体的一个样本 【答案】D 【分析】本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象．本题中的研究对象是：我市中学生中15岁女生的身高． 【详解】解：本题中的总体是某总体指我市全体15岁的女中学生的身高状况，不是指“我市全体15岁的女中学生”故A错误； 个体是这10个学校中每名15岁女生的身高，而非指“10个学校的女生“，故B和C错误． 故选D． 【点睛】本题考查的是确定总体、个体和样本．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”A、B、C对概念理解不准确． 【考点32 统计表】 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（　　） 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 39 41 33 40 47 A．120 B．200 C．6960 D．9600 【答案】D 【分析】本题考查的是统计表，用样本估计总体，求出不低于4.8的人数所占的百分比是解决此题的关键．求出不低于4.8的人数所占的百分比再乘16000即可求出结论． 【详解】解：， ∴视力不低于4.8的人数是9600， 故选：D． 2．为了解学生心理健康情况，某学校在全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，根据竞赛成绩将各年级合格人数绘制了如图所示的统计表，则下列说法正确的是（    ） 各年级合格人数统计表 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数（人） 337 330 322 A．七年级学生的合格率最高 B．九年级学生的合格人数最少 C．八年级学生的人数为330人 D．九年级学生的合格率为 【答案】B 【分析】本题考查统计应用，涉及百分比、合格率计算，读懂题意，结合选项逐项判断即可得到答案，掌握统计知识的应用是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知： A、由于全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，无法计算七年级学生的合格率，该选项说法错误，不符合题意； B、由表可知，九年级学生的合格人数最少，该选项说法正确，符合题意； C、由于全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，无法计算八年级学生的人数，该选项说法错误，不符合题意； D、由于全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，无法计算九年级学生的合格率，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）下面是A，B两球从不同高度自由下落到地面后反弹高度的统计表．小明想要购买弹性较大的球，他应该选择 球． 起始高度 24 32 45 67 78 96 A球反弹高度 11 21 31 48 53 58 B球反弹高度 16 26 40 57 64 70 【答案】B 【分析】本题考查了统计表，正确阅读统计表信息是解答本题的关键．根据统计表数据判断即可． 【详解】解：由统计表可知，在起始高度相同的情况下，B球反弹高度比A球高， 所以小明想要购买弹性较大的球，他应该选择B球． 故答案为：B． 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）在曲阳县2025年中学生运动会跳高比赛中，各年龄组的参赛人数情况如下表所示：若小明所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的，则小明所在的年龄组是 年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁 参赛人数 5 19 12 14 【答案】14岁 【分析】本题主要考查数据统计与调查，关键是根据表格得到各年龄组的参赛人数，然后进行求解即可． 设小明所在年龄组的参赛人数为，则可根据题中的等量关系列出一元一次方程，解之即可． 【详解】解：根据各年龄组的参赛人数情况表可知： 参赛总人数， 设小明所在年龄组的参赛人数为， 根据题意可得：， 去分母，得：， 故小明所在的年龄组是岁， 故答案为：14岁． 【考点33 条形统计图】 1．（24-25六年级上·山东泰安·期末）学校期中考试后，随机抽取部分同学测试的成绩为样本（成绩为整数），绘制的成绩统计图如图所示，若这次测试成绩80分以上（不含80分）为优秀，则优秀率为 %． 【答案】 【分析】此题考查了条形统计图的相关知识，用优秀人数除以总人数并乘以即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 即优秀率为， 故答案为：． 2．某校随机调查了若干名家长与中学生对中学生带手机进校园的态度，并绘制了如图所示的统计图，已知调查家长的人数与调查学生的人数相等，则家长反对学生带手机进校园的人数有（   ） A．140 B．120 C．220 D．100 【答案】C 【分析】本题考查的是条形统计图．根据调查家长的人数与调查学生的人数相等，进而解答即可． 【详解】解：因为调查家长的人数与调查学生的人数相等，所以家长反对学生带手机进校园的人数有：（人）， 故选：C． 3．（24-25六年级下·上海青浦·期末）2024届巴黎奥运会落下帷幕，中国健儿斩获了境外奥运会的最好成绩．获奖情况如图所示，获得的金牌数占总奖牌数的 （填百分之几，百分号前保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题考查了条形统计图，根据图中信息得总奖牌数为，依题意，计算，即可作答． 【详解】解：由图得出，总奖牌数 ∴ 即获得的金牌数占总奖牌数的， 故答案为：． 4．某次考试中，某班级的数学成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图．下列说法错误的是（    ） A．得分在70～80分之间的人数最多 B．及格（不低于60分）的人数为26 C．得分在90～100分之间的人数占总人数的5% D．该班的总人数为40 【答案】B 【分析】根据频数分布直方图得出各分数段内的人数，再据此对各选项逐一判断即可． 【详解】A．得分在70～80分之间的人数最多，有14人，故此选项正确，不符合题意， B．及格（不低于60分）的人数为12＋14＋8＋2＝36（人），故此选项错误，符合题意， C．∵总人数为4＋12＋14＋8＋2＝40（人），得分在90～100分之间的人数为2人， ∴得分在90～100分之间的人数占总人数的百分比为×100%＝5%，故此选项正确，不符合题意； D．该班的总人数为40，故此选项正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查条形统计图，正确提取图中信息是解题关键． 【考点34 扇形统计图】 1．某班学生最喜欢的一项球类运动的统计表和扇形统计图如图所示，其中统计表不小心被撕掉一部分，下列推断不正确的是（   ） A．足球所在扇形的圆心角度数为 B．该班喜欢乒乓球的人数占总人数的 C．m与n的和为52 D．该班喜欢羽毛球的人数不超过13人 【答案】D 【分析】本题考查了扇形统计图与统计表信息关联，从扇形统计图与统计表中获取信息是解题的关键．根据乒乓球的人数与扇形统计图圆心角的度数求得总人数，根据足球的人数比上总人数，即可判断B选项，判断出足球所在扇形的圆心角度数，即可判断出A选项， 足球与乒乓球的人数的占比即可判断C选项，根据扇形统计图可知，进而即可判断D选项． 【详解】解：乒乓球的人数有14人，扇形统计图中圆心角的度数为，则总人数为：人， ，故B选项正确 足球有10人，则足球所在扇形的圆心角度数为，故A选项正确， ∴，故C选项正确， 根据扇形统计图可知， 所以该班喜欢羽毛球的人数超过人，故D选项不正确， 故选D． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）某学校全体学生来自A、B、C三个街道，其人数比为1：2：2．如图用扇形统计图来表示来自三个街道的学生所占的百分比，则来自A街道对应扇形的圆心角度数为 【答案】 【分析】本题考查了求扇形统计图的圆心角，根据乘以来自A街道对应的占比，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．幸福街道组织45岁以上居民进行慢性病筛查，根据筛查所得数据绘制的扇形统计图如图所示，其中患高血脂的有171人，该区45岁以上参加这次慢性病筛查的人中，患高血压的比患高血脂的多 人． 【答案】741 【分析】本题考查了扇形统计图，先求出患高血脂人占总调查人数的比例为，据此得出这次调查的总人数，进而可求出患高血压的比患高血脂的多的人数． 【详解】解：∵患高血脂的有171人，占总调查人数的比例为：， ∴这次调查的总人数为：（人）， ∴患高血压的比患高血脂的多的人数为：（人）， 故答案为：741． 4．某学校开设多门课外活动，为了解学生参与情况，进行了随机抽查．现将数据收集并整理后，绘制出如下不完整的统计图．经调查发现，选择面塑和中国结的学生人数相同，共40人，以下结论错误的是（     ） A． B．样本容量为100 C．选择中国结所对应的扇形圆心角为 D．选择面塑的学生比选择打印的学生数少10人 【答案】D 【分析】本题考查扇形统计图，根据统计图中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵选择面塑和中国结的学生人数相同，共40人，即选择面塑和中国结的学生人数均为20人， ∴样本容量为，故B选项正确； ，即，故A选项正确； 选择中国结所对应的扇形圆心角为，故C选项正确； 选择面塑的学生比选择打印的学生数少人，故D选项错误， 故选：D． 【考点35 折线统计图】 1．某购物中心对今年7-12月份中顾客使用“支付宝支付”和“微信支付”这两种支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线统计图．根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中说法不合理的是（   ） A．6个月中11月份使用手机支付的总次数最多 B．6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多 C．6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大 D．9月份平均每天使用手机支付的次数为0.314万次 【答案】C 【分析】本题考查了折线统计图；从折线统计图中得到每个月使用“微信支付”的次数、使用“支付宝支付”的次数，计算后即可判断． 【详解】解：月份每月使用手机支付的总次数分别为万次，万次，万次，万次，万次，万次， 月份使用手机支付的总次数最多，A项说法合理； 由折线统计图可看出， 个月中使用“微信支付”的总次数为（万次）， 个月中使用“支付宝支付”的总次数为（万次）， 所以个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多，B项说法合理； 从统计图中不能得到消费总额的信息，C项说法不合理； 月份平均每天使用手机支付的次数为（万次），D项说法合理 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图是某地某日至的气温变化趋势图，由此可估计当天时的气温约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折线统计图的运用，根据折线图信息，可估计当天时的气温约为，从折线图中得到必要的信息是解题的关键． 【详解】解：某地某日至的气温变化趋势图，由此可估计当天时的气温约为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是某班学生一周参加体育锻炼情况的折线统计图，则一周参加体育锻炼时间中人数最多的锻炼时间是 小时． 【答案】9 【分析】本题考查了折线统计图，从统计图中获取信息是解题的关键．折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况． 根据折线统计图可得一周参加体育锻炼人数最多的锻炼时间是9小时． 【详解】解：由图可知，一周参加体育锻炼的人数最多的锻炼时间是9小时， 故答案为：9． 4．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）甲、乙两家汽车销售公司2022年到2024年的销售量分别如图：从2022年到2024年的变化趋势可以得出，这两家公司销售量增长较快的是 公司． 【答案】甲 【分析】本题考查折线统计图的应用，关键是通过读取统计图中对应年份的销售量数据，计算增长量来比较增长快慢，折线统计图能直观反映数据的变化趋势．要判断甲、乙两家公司销售量增长快慢，需分别计算两家公司2022年到2024年销售量的增长量，通过比较增长量大小确定增长较快的公司． 【详解】甲公司销售量增长量 ：2022年销售量为100辆，2024年销售量为500辆， 增长量 2024年销售量 2022年销售量（辆）； 乙公司销售量增长量 ：观察乙公司统计图，2022年销售量为100辆，2024年销售量为400辆，增长量 2024年销售量 2022年销售量（辆）； 甲公司增长量为400辆，乙公司增长量为300辆，因为 ， 甲公司销售量增长较快． 故答案为：甲． 【考点36 频数分布直方图】 1．新冠肺炎在我国得到有效控制后，各校相继开学．为了检测学生在家学习情况，在开学初，我校进行了一次数学测试，如图是某班数学成绩的频数分布直方图，则由图可知，得分在分以上(包括分)的人数占总人数的百分比为 ． 【答案】 【分析】计算出总人数及成绩在70分以上（含70）的学生人数，列式计算即可． 【详解】解：∵总人数=4+12+14+8+2=40， 成绩在70分以上（含70）的学生人数=14+8+2=24， ∴成绩在70分以上（含70）的学生人数占全班总人数的百分比为 ． 故答案是：． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力及对信息进行处理的能力． 2．校运会前夕，校医对某班所有参加比赛的运动员进行了体检，这些运动员的身高（精确到）数据的频数分布直方图如图所示，据图可知下列说法正确的是（   ） A．参加比赛运动员人数为18人 B．参加比赛运动员身高最高段有8人 C．参加比赛运动员人数最多段有2人 D．参加比赛运动员身高最高段有2人 【答案】D 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 从频数分布直方图中获取信息分析即可． 【详解】解：A、（人），故本选项不符合题意； B、参加比赛运动员身高最高段有2人，故本选项不符合题意； C、参加比赛运动员人数最多段有8人，故本选项不符合题意； D、参加比赛运动员身高最高段有2人，故本选项符合题意， 故选：D． 3．（24-25七年级下·重庆巫山·期末）小明调查了全校同学近视度数的情况，他可以使用（　　）来表示情况． A．条形统计图 B．折线统计图 C．频数分布直方图 D．扇形统计图 【答案】C 【分析】本题考查了统计图的选择，频数（率）分布直方图，频数（率）分布折线图，选择合适的统计图需根据数据类型和展示需求，近视度数为连续数据，需展示不同区间的分布情况． 【详解】解：A、条形统计图：适用于比较不同类别的数据（如各班级人数），但近视度数为连续变量，需分组处理，条形图不适用； B、折线统计图：用于反映数据变化趋势（如温度随时间变化），而本题需展示分布，非趋势，故不适用； C、频数分布直方图：专用于连续数据的分组频数展示（如不同度数区间的人数），能直观体现数据分布特征，符合题意； D、扇形统计图：用于显示各部分占整体的比例（如各类支出占比），无法具体呈现各区间频数，故不适用． 故选：C． 4．（24-25七年级下·山西大同·期末）为了解赛跑后学生心率的分布情况，体育委员统计了全班50名学生赛跑后一分钟的脉搏次数，并根据收集到的数据画出如图所示的频数分布直方图．由于不小心，有一个长方形被墨水盖住了．根据统计图可知，下列说法中正确的是（   ）    A．脉搏次数在160~165之间的人数是11人 B．脉搏次数在155~160之间的人数占全班总人数的16% C．脉搏次数在165~170之间的人数最少 D．脉搏次数在130~150之间的人数有20人 【答案】A 【分析】本题主要考查频数分布直方图的性质，结合已知条件分别分析每个选项． 【详解】解：已知全班共有50名学生，从频数分布直方图中可以看出，除被墨水盖住的长方形（160∼165这一组）外，其他组的频数分别为： 130∼135组的频数是1；135∼140组的频数是2；140∼145组的频数是4；145∼150组的频数是6；150∼155组的频数是8；155∼160组的频数是16；165∼170组的频数是2； ∴160∼165组的频数人，故A选项正确． 由前面分析可知155∼160组的频数是16，全班总人数是50人， 则脉搏次数在155∼160之间的人数占全班总人数的百分比为​，故B选项错误． 由前面分析可知各小组的频数可知， 130∼135组：1人；是最少，故C选项错误． 130∼150包含130∼135、135∼140、140∼145、145∼150这四组， 这四组的频数分别为1，2，4，6，则人数共有人，故D选项错误． 故选A． 【考点37 趋势图】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）小明参加100m短跑训练，体育老师将小明今年月的训练成绩进行记录并绘制成如图所示的趋势图，请你根据趋势图预测小明8月份100m短跑的成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据统计图的发展趋势，延长线段，估算交点对应的数值解答即可． 本题考查了统计图的意义，正确理解统计图的意义是解题的关键． 【详解】解：根据统计图的发展趋势，延长线段，如图所示， 大约为， 故选：B 2．如图是北京市2019年3月1日至20日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良．那么在这20天中空气质量优良天数百分比是________． 【答案】55%或． 【分析】依据在这20天中空气质量优良天数是11天，即可得到在这20天中空气质量优良天数比例． 【详解】解：由图可得，在这20天中空气质量优良天数是11天， ∴在这20天中空气质量优良天数比例是55%或， 故答案为：55%或． 【点睛】本题主要考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况． 3．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）为了解八年级学生的数学成绩，老师对八年级全部学生的期末数学成绩（单位：分，满分100分，成绩均不低于60分）进行了统计和分析，把成绩分为4个等级（A：；B：；C：；D：），并根据分析结果绘制了如下尚不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 请根据统计图信息，回答下列问题． (1)八年级共有学生 人，a的值为 ． (2)补全频数分布直方图，并求扇形D的圆心角的度数． (3)老师又从上述同学中随机抽取一个容量为8的样本，根据他们的数学、物理成绩绘制了趋势图，其中横轴表示数学成绩，纵轴表示物理成绩，则根据趋势图可知，学生的物理成绩与数学成绩 明显关系．（填“存在”或“不存在”） 【答案】(1)200，8 (2)补全图见解析；扇形D的圆心角的度数为 (3)存在 【分析】本题考频数（率）分布直方图、扇形统计图，能够读懂统计图表，掌握频数分布直方图与扇形图之间的关系是解答本题的关键． （1）由C组人数及其所占百分比可得总人数，用A组人数除以总人数可得a的值； （2）根据各组人数之和等于总人数求出B组人数，据此可补全图形；利用乘以D组所占百分比即可求解； （3）由学生的物理成绩随数学成绩的增加而增加可得答案． 【详解】（1）解：八年级共有学生（人）， ，即， 故答案为：200，8； （2）解：B组人数为（人）， 补全图形如下： ； 扇形D的圆心角的度数为， 故答案为：； （3）解：根据趋势图可知，学生的物理成绩随数学成绩的增加而增加， 所以学生的物理成绩与数学成绩存在明显关系， 故答案为：存在． 4．（24-25七年级下·贵州黔西南·期末）2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多AI（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国AI事业得到了迅猛发展．为了解AI软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“deepseek”的用户记为A类，经常使用“豆包”的用户记为B类，经常使用“kimi”的用户记为C类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为D类，经常使用其他AI软件的用户记为E类． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)请计算本次被抽取的师生人数为______人，在扇形统计图中，“A”部分所对应扇形的圆心角度数是______，并补全条形统计图； (2)该校全年级师生共2000人，其中经常使用“deepseek”的约有多少人？ (3)为了分析AI软件使用趋势，数学活动小组进一步统计调查了2025年1-7月A类（deepseek）用户占比的月度数据，请你根据趋势图谈一谈随着月份增加，用户占比有怎样的变化趋势？并请你预测一下八月份用户占比为多少？ 【答案】(1)400，，图见解析 (2)500人 (3)逐渐上升的趋势， 【分析】本题考查统计综合，涉及条形统计图与扇形统计图数据关联、求样本容量、补全条形统计图、求扇形统计图某项圆心角、由样本估计总体等知识．熟练掌握条形统计图与扇形统计图相关知识是解决问题的关键． （1）由条形统计图与扇形统计图数据关联求解即可得到答案；由扇形统计图得到类人数占比，由可得到答案；结合条形统计图中前4类抽取人数即可得到类人数，从而即可补全条形统计图； （2）根据样本情况估计总体即可得到答案； （3）根据变化趋势，即可预测一下八月份用户占比． 【详解】（1）解：由条形统计图可知类人数为80；由扇形统计图可知类人数占比是， 本次被抽取的师生人数为人， 由扇形统计图可知类人数占比为， 在扇形统计图中，“”部分所对应扇形的圆心角度数是， 其中类有100人、类有80人、类有40人、类有60人， 类有人， 补全条形统计图如下： ； 故答案为：400，； （2）解：由（1）可知，经常使用“”人数占比为， 该校全年级师生共2000人， 其中经常使用“”的人数约为人； （3）解：随着月份的增加，用户占比大致呈现逐渐上升的趋势；预测八月份用户占比． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末复习易错题37个考点 【新教材人教版】 【考点1 对顶角】 2 【考点2 点到直线的距离】 2 【考点3 同位角、内错角、同旁内角】 3 【考点4 平行线的判定】 4 【考点5 平行线的性质】 5 【考点6 平行线的判定与性质】 7 【考点7 定义、命题、定理】 8 【考点8 平移】 8 【考点9 平方根、算术平方根】 10 【考点10 立方根】 10 【考点11 实数的分类】 11 【考点12 无理数】 11 【考点13 坐标与图形性质】 12 【考点14 点的坐标规律探索】 13 【考点15 二元一次方程（组）的定义】 14 【考点16 二元一次方程（组）的解】 15 【考点17 代入消元法解二元一次方程组】 15 【考点18 加减消元法解二元一次方程组】 16 【考点19 由实际问题抽象出二元一次方程（组）】 16 【考点20 二元一次方程组的应用】 17 【考点21 解三元一次方程组】 18 【考点22 三元一次方程组的应用】 18 【考点23 认识不等式】 19 【考点24 不等式的基本性质】 20 【考点25 一元一次不等式（组）的定义】 20 【考点26 一元一次不等式（组）的解法】 20 【考点27 一元一次不等式（组）的整数解】 21 【考点28 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 21 【考点29 一元一次不等式（组）的应用】 22 【考点30 全面调查与抽样调查】 23 【考点31 总体、个体、样本、样本容量】 24 【考点32 统计表】 24 【考点33 条形统计图】 25 【考点34 扇形统计图】 26 【考点35 折线统计图】 28 【考点36 频数分布直方图】 29 【考点37 趋势图】 31 【考点1 对顶角】 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，如果，则_____ 3．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线相交于点O，，，求的度数． 4．如图，已知直线、相交于点，，平分，于点． (1)求的度数； (2)试判断射线是否平分？并说明理由． 【考点2 点到直线的距离】 1．如图，点，在直线上，点在直线外，连接，，若，，则点到直线的距离可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 4．如图，，于，，，，则点到的距离是______，点到的距离是______，的依据是______． 【考点3 同位角、内错角、同旁内角】 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 2．若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_______对内错角． 3．如图所示，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对，则的值是____________ 4．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【考点4 平行线的判定】 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，若，则下列条件中，不能判定 的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 3．如图，在中，，，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为，旋转角为，当时，旋转角为______． 4．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【考点5 平行线的性质】 1．如图，已知​，​直角顶点在​上，已知​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点C在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，则的度数为______． 4．探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【考点6 平行线的判定与性质】 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，直线与直线、分别交于点、，的平分线交于点，是直线上一点，若，，． (1)求证：； (2)求的度数． 4．如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【考点7 定义、命题、定理】 1．用三个不等式中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（    ） A．5 B．12 C．14         D．16 3．将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成________________，该命题是_________（填“真命题”或“假命题”）． 4．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【考点8 平移】 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25七年级上·四川眉山·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． (1)请画出平移后的； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是 ； (3)求的面积． 【考点9 平方根、算术平方根】 1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）已知正数x的两个不同的平方根是和，则 ． 2．的算术平方根是 ． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【考点10 立方根】 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知，则，则 ． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）计算： ． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 4．已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【考点11 实数的分类】 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）下列计算结果是有理数的是（   ） A． B． C． D． 3．在①  ②  ③0  ④3.14  ⑤  ⑥0.3  ⑦  ⑧  ⑨ 属于有理数的有：________________；（填序号） 属于无理数的有：________________；（填序号） 属于实数的有：________________．（填序号） 4．把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【考点12 无理数】 1．（25-26八年级上·上海·月考）如果，那么整数 ． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）在实数，，，，、，（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）中，无理数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．已知是的整数部分，是的整数部分，的值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【考点13 坐标与图形性质】 1．（24-25八年级下·江西赣州·期中）已知平面直角坐标系内有三个点，若四边形是平行四边形，则点C的坐标为（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·贵州安顺·期末）如图，正方形的两边、分别在轴，轴上，点在边上，以点为旋转中心，把顺时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，若点在轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【考点14 点的坐标规律探索】 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，点第一次向上平移1个单位长度至点，第二次向右平移1个单位长度至点，第三次向上平移1个单位长度至点，第四次向右平移1个单位长度至点，……照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山西太原·月考）横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为，根据这个规律，第2025的整点的坐标为 ． 【考点15 二元一次方程（组）的定义】 1．（24-25六年级下·上海青浦·期末）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．以下方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 4．观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【考点16 二元一次方程（组）的解】 1．（24-25七年级下·广西河池·期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A． B．4 C． D．5 2．方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为 ． 4．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【考点17 代入消元法解二元一次方程组】 1．（24-25七年级下·青海玉树·期末）对于二元一次方程组，把①代入②消去y后所得到的方程为，则①的方程是 ． 2．对于方程，用y的代数式表示x，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知方程组中互为相反数，求的值． 4．对于关于，的 二元一次方程组，佳佳通过计算发现，无论取何值，的值始终不变．则这个值是 ． 【考点18 加减消元法解二元一次方程组】 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如果，则 ． 2．（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如果是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解方程组： (1) (2) 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组和代数式．若不论取何有理数，的值始终不变，则这个值为（   ） A． B． C．2 D．4 【考点19 由实际问题抽象出二元一次方程（组）】 1．某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组 ． 2．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组 ． 4．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【考点20 二元一次方程组的应用】 1．为了防控流感，我校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？ (2)由于部分区域需要重点消毒，我校准备花60元再次购买这两种消毒液，有多少种购买方案． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 3．为美化沿河风光带，某地将一段长为360米的河道整治任务交由甲乙两个工程队先后接力完成，共用20天．已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天比甲工程队少整治4米，求甲乙两工程队分别整治了多长的河道． 4．快乐公司决定按如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A．已知这三个工厂生产的产品A的优等品率如表所示． 甲 乙 丙 优等品率 80％ 85％ 90％ (1)快乐公司从甲厂购买______件产品A； (2)快乐公司购买的200件产品A中优等品有_______件； (3)根据市场发展的需要，快乐公司准备通过调整从三个工厂所购买的产品A的比例，提高所购买的200件产品A中的优等品的数量．若从甲厂购买产品A的比例保持不变，那么应从乙、丙两工厂各购买多少件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 【考点21 解三元一次方程组】 1．已知实数满足则代数式的值是（     ） A． B．3 C． D．7 2．对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ． 3．解方程组： 4．（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【考点22 三元一次方程组的应用】 1．我县推出、、三种土特产竹笋、黄花、芽菜组合成的礼盒，A种礼盒含竹笋4袋、黄花8袋；B种礼盒含竹笋3袋，黄花8袋，芽菜1袋；C种礼盒含竹笋2袋，黄花6袋，芽菜1袋．已知竹笋每袋20元，黄花每袋15元，芽菜每袋100元，某天卖这三种礼盒共9440元，其中竹笋的销售额为2320元，则芽菜的销售袋数为 ． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 3．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，但他身上的钱还差元；如果改成购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．某公司装修需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．于是需将每张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)填空：上表中， ， ； (2)如果所购的标准板材为张，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的、两种型号的板材块数与所需块数相符．问按三种裁法各裁标准板材多少张？ 【考点23 认识不等式】 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 3．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 4．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【考点24 不等式的基本性质】 1．如果，则a b（填“＞”、“＜”、“＝”）； 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）若，下列不等式变形正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，，当时，A与B的大小关系是 ． 【考点25 一元一次不等式（组）的定义】 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 4．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【考点26 一元一次不等式（组）的解法】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的一元一次方程的解是负数，求的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【考点27 一元一次不等式（组）的整数解】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【考点28 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 2．某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（   ） A． B． C． D． 3．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 4．某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 型 型 价格（万无台） 12 10 月污水处理能力（吨月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是　　 A． B． C． D． 【考点29 一元一次不等式（组）的应用】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【考点30 全面调查与抽样调查】 1．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）下列调查中，适合采用全面调查（全面调查）方式的是（   ） A．对我市中学生观看电影《南京照相馆》情况的调查 B．调查琼江河的水质情况 C．调查某班学生视力情况 D．调查全国初一中学生的平均身高 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．了解我校七年级（1）班全体同学周末时间安排情况 B．乘坐飞机时对旅客行李的检查 C．调查某班名同学的视力情况 D．了解一批汽车的抗撞击能力 3．木王森林公园位于商洛市镇安县境内，是秦岭南坡仅有的两个国家森林公园之一，被誉为“植物的世界，动物的王国”．为调查园内的水质情况，管理人员适合采用 调查．（填“全面”或“抽样”） 4．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列调查：①调查洗衣机的使用寿命；②调查“神舟十四号载人飞船”的零部件；③调查人们保护地球环境的意识；④调查全国初中生的视力情况．其中适合全面调查的是（填序号） ． 【考点31 总体、个体、样本、样本容量】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）为了了解我县参加中考的名学生的体重情况，随机抽取了其中名学生的体重进行统计分析，下面叙述正确的有（    ）个 ①总体是3000名学生； ②样本是200名学生的体重； ③样本容量是200； ④以上是抽样调查． A．个 B．个 C．个 D．个 2．为了解全校九年级300名学生的视力情况，从中抽取50名九年级学生进行视力测量调查，在这个调查中，样本容量是 ． 3．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）为了掌握我校七年级男同学身高情况，从中抽测了50名男同学的身高，这个问题中的样本是 ． 4．为了解我市中学生中15岁女生的身高状况，随机抽查了10个学校的200名15岁女生的身高，则下列表述正确的是 A．总体指我市全体15岁的女中学生 B．个体是200名女生的身高 C．个体是10个学校的女生 D．抽查的200名女生的身高是总体的一个样本 【考点32 统计表】 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（　　） 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 39 41 33 40 47 A．120 B．200 C．6960 D．9600 2．为了解学生心理健康情况，某学校在全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，根据竞赛成绩将各年级合格人数绘制了如图所示的统计表，则下列说法正确的是（    ） 各年级合格人数统计表 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数（人） 337 330 322 A．七年级学生的合格率最高 B．九年级学生的合格人数最少 C．八年级学生的人数为330人 D．九年级学生的合格率为 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）下面是A，B两球从不同高度自由下落到地面后反弹高度的统计表．小明想要购买弹性较大的球，他应该选择 球． 起始高度 24 32 45 67 78 96 A球反弹高度 11 21 31 48 53 58 B球反弹高度 16 26 40 57 64 70 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）在曲阳县2025年中学生运动会跳高比赛中，各年龄组的参赛人数情况如下表所示：若小明所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的，则小明所在的年龄组是 年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁 参赛人数 5 19 12 14 【考点33 条形统计图】 1．（24-25六年级上·山东泰安·期末）学校期中考试后，随机抽取部分同学测试的成绩为样本（成绩为整数），绘制的成绩统计图如图所示，若这次测试成绩80分以上（不含80分）为优秀，则优秀率为 %． 2．某校随机调查了若干名家长与中学生对中学生带手机进校园的态度，并绘制了如图所示的统计图，已知调查家长的人数与调查学生的人数相等，则家长反对学生带手机进校园的人数有（   ） A．140 B．120 C．220 D．100 3．（24-25六年级下·上海青浦·期末）2024届巴黎奥运会落下帷幕，中国健儿斩获了境外奥运会的最好成绩．获奖情况如图所示，获得的金牌数占总奖牌数的 （填百分之几，百分号前保留一位小数）． 4．某次考试中，某班级的数学成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图．下列说法错误的是（    ） A．得分在70～80分之间的人数最多 B．及格（不低于60分）的人数为26 C．得分在90～100分之间的人数占总人数的5% D．该班的总人数为40 【考点34 扇形统计图】 1．某班学生最喜欢的一项球类运动的统计表和扇形统计图如图所示，其中统计表不小心被撕掉一部分，下列推断不正确的是（   ） A．足球所在扇形的圆心角度数为 B．该班喜欢乒乓球的人数占总人数的 C．m与n的和为52 D．该班喜欢羽毛球的人数不超过13人 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）某学校全体学生来自A、B、C三个街道，其人数比为1：2：2．如图用扇形统计图来表示来自三个街道的学生所占的百分比，则来自A街道对应扇形的圆心角度数为 3．幸福街道组织45岁以上居民进行慢性病筛查，根据筛查所得数据绘制的扇形统计图如图所示，其中患高血脂的有171人，该区45岁以上参加这次慢性病筛查的人中，患高血压的比患高血脂的多 人． 4．某学校开设多门课外活动，为了解学生参与情况，进行了随机抽查．现将数据收集并整理后，绘制出如下不完整的统计图．经调查发现，选择面塑和中国结的学生人数相同，共40人，以下结论错误的是（     ） A． B．样本容量为100 C．选择中国结所对应的扇形圆心角为 D．选择面塑的学生比选择打印的学生数少10人 【考点35 折线统计图】 1．某购物中心对今年7-12月份中顾客使用“支付宝支付”和“微信支付”这两种支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线统计图．根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中说法不合理的是（   ） A．6个月中11月份使用手机支付的总次数最多 B．6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多 C．6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大 D．9月份平均每天使用手机支付的次数为0.314万次 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图是某地某日至的气温变化趋势图，由此可估计当天时的气温约为 ． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是某班学生一周参加体育锻炼情况的折线统计图，则一周参加体育锻炼时间中人数最多的锻炼时间是 小时． 4．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）甲、乙两家汽车销售公司2022年到2024年的销售量分别如图：从2022年到2024年的变化趋势可以得出，这两家公司销售量增长较快的是 公司． 【考点36 频数分布直方图】 1．新冠肺炎在我国得到有效控制后，各校相继开学．为了检测学生在家学习情况，在开学初，我校进行了一次数学测试，如图是某班数学成绩的频数分布直方图，则由图可知，得分在分以上(包括分)的人数占总人数的百分比为 ． 2．校运会前夕，校医对某班所有参加比赛的运动员进行了体检，这些运动员的身高（精确到）数据的频数分布直方图如图所示，据图可知下列说法正确的是（   ） A．参加比赛运动员人数为18人 B．参加比赛运动员身高最高段有8人 C．参加比赛运动员人数最多段有2人 D．参加比赛运动员身高最高段有2人 3．（24-25七年级下·重庆巫山·期末）小明调查了全校同学近视度数的情况，他可以使用（　　）来表示情况． A．条形统计图 B．折线统计图 C．频数分布直方图 D．扇形统计图 4．（24-25七年级下·山西大同·期末）为了解赛跑后学生心率的分布情况，体育委员统计了全班50名学生赛跑后一分钟的脉搏次数，并根据收集到的数据画出如图所示的频数分布直方图．由于不小心，有一个长方形被墨水盖住了．根据统计图可知，下列说法中正确的是（   ）    A．脉搏次数在160~165之间的人数是11人 B．脉搏次数在155~160之间的人数占全班总人数的16% C．脉搏次数在165~170之间的人数最少 D．脉搏次数在130~150之间的人数有20人 【考点37 趋势图】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）小明参加100m短跑训练，体育老师将小明今年月的训练成绩进行记录并绘制成如图所示的趋势图，请你根据趋势图预测小明8月份100m短跑的成绩为（    ） A． B． C． D． 2．如图是北京市2019年3月1日至20日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良．那么在这20天中空气质量优良天数百分比是________． 3．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）为了解八年级学生的数学成绩，老师对八年级全部学生的期末数学成绩（单位：分，满分100分，成绩均不低于60分）进行了统计和分析，把成绩分为4个等级（A：；B：；C：；D：），并根据分析结果绘制了如下尚不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 请根据统计图信息，回答下列问题． (1)八年级共有学生 人，a的值为 ． (2)补全频数分布直方图，并求扇形D的圆心角的度数． (3)老师又从上述同学中随机抽取一个容量为8的样本，根据他们的数学、物理成绩绘制了趋势图，其中横轴表示数学成绩，纵轴表示物理成绩，则根据趋势图可知，学生的物理成绩与数学成绩 明显关系．（填“存在”或“不存在”） 4．（24-25七年级下·贵州黔西南·期末）2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多AI（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国AI事业得到了迅猛发展．为了解AI软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“deepseek”的用户记为A类，经常使用“豆包”的用户记为B类，经常使用“kimi”的用户记为C类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为D类，经常使用其他AI软件的用户记为E类． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)请计算本次被抽取的师生人数为______人，在扇形统计图中，“A”部分所对应扇形的圆心角度数是______，并补全条形统计图； (2)该校全年级师生共2000人，其中经常使用“deepseek”的约有多少人？ (3)为了分析AI软件使用趋势，数学活动小组进一步统计调查了2025年1-7月A类（deepseek）用户占比的月度数据，请你根据趋势图谈一谈随着月份增加，用户占比有怎样的变化趋势？并请你预测一下八月份用户占比为多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $