命题大赛 海南高二数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版选择性必修第三册第六章

**基本信息** 以计数原理为核心，融合文化传承与现实情境，通过苏赋文物展志愿者选取、算盘算珠概率等新情境题及节目排列、比赛出场顺序等原创题，覆盖排列组合、二项式定理等核心知识，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|展开式常数项、排列数计算|基础巩固，如甲不站两端的排列问题| |多选题|3/18|二项式系数性质|多维度辨析，如展开式系数和判断| |填空题|3/15|组合数计算、古典概型|新情境结合传统工具，如算盘算珠概率| |解答题|5/77|排列组合综合应用、二项式定理|原创题注重实际应用，如节目相邻与不相邻排列|

应用场景：单元测 高二数学下学期阶段测试 第六章 计数原理 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（x2+2）（x﹣1）10的展开式中的常数项为（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 2．从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（    ） A．6种 B．9种 C．10种 D．15种 3．5位同学站成一排，其中甲不站两端，则不同的排法的种数为（    ） A．48 B．72 C．96 D．120 4．已知，则（    ） A． B．10 C． D．45 5．（新情境题）海南省旅游和文化广电体育厅携手故宫博物院，于2024年1月31日至4月30日在海南省博物馆联合举办“千古风流不老东坡——苏赋主题文物展”，332件文物展品穿越千年在琼展出，诠释中华优秀传统文化的底蕴与内涵．因此博物馆需要从5名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 6．在展开式中， 二项式系数的最大值为 ，含项的系数为，则 A． B． C． D． 7．的展开式中的系数为（    ） A． B．15 C． D．20 8．上一个层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为，则下列猜想正确的是(　　 ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．二项式系数最大的项为第3项 三、填空题：本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12．已知 ，则______． 13．（新情境题）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，则既有上珠又有下珠的概率为__________． 14．（原创）学校文艺汇演准备编排一张包含6个节目的演出顺序单，其中包含2个舞蹈节目、2个歌唱节目、2个小品节目。要求2个舞蹈节目必须相邻，2个歌唱节目不能相邻，则不同的排列方式共有__________个. 四、解答题 ：本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程. 15．4个男同学，3个女同学站成一排． （1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？ （2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ （3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ （4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？ 16. （原创）高二年级组织数学文化知识比赛，共有6支不同班级的队伍参赛，其中包含A班和B班，需要安排所有队伍的出场顺序，分别计算下列两种情况的不同出场安排方法数： (1) 要求A班和B班必须不相邻出场； (2) 要求A班的出场顺序排在B班前面（可以不相邻）。 17．已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2：5． (1)求n的值； (2)求展开式的常数项． (3)在的展开式中，求的项的系数． 18. 海口市某中学高二年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数： (2)若按照分层随机抽样的方法从成绩在，的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的成绩在内的概率． 19. 我们学过组合恒等式，实际上可以理解为. 请你利用这个观点快速求解： （1）.（计算结果用组合数表示） （2）（i）求证：； （ii）求值：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 二项式展开式的常数项计算 0.75 2 单选题 5 分类加法计数原理、组合数计算 0.8 3 单选题 5 排列数计算、有限制条件的排列问题 0.75 4 单选题 5 二项式系数的性质 0.7 5 单选题 5 古典概型、组合数计算、至少型概率求解 0.65 6 单选题 5 二项式系数的最值、展开式特定项系数计算 0.6 7 单选题 5 二项式展开式特定项的系数求解 0.6 8 单选题 5 递推计数、归纳推理 0.55 9 多选题 6 二项式展开式的系数与二项式系数性质 0.65 10 多选题 6 二项式展开式的赋值法应用 0.6 11 多选题 6 二项式系数和、系数和、常数项、二项式系数最值 0.55 12 填空题 5 二项式展开式的赋值法应用 0.7 13 填空题 5 古典概型、组合数计算、既有... 又... 型概率 0.65 14 填空题 5 相邻与不相邻结合的排列问题 0.6 15 解答题 13 有限制条件的排列问题（特殊位置、相邻、不相邻、间隔固定） 0.7 16 解答题 15 排列问题（不相邻、定序排列） 0.65 17 解答题 15 二项式系数性质、展开式常数项与特定项系数 0.6 18 解答题 17 频率分布直方图、百分位数、分层抽样、古典概型 0.55 19 解答题 17 组合数公式的应用，数列的周期性，数列求和. 0.45 $ 应用场景：单元测 高二数学下学期阶段测试 第6章 计数原理 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A B B B D 题号 9 10 11 答案 CD ACD BC 1．【答案】D 【解析】因为二项式（x﹣1）10的展开式的通项公式为， 令10﹣r＝0，解得r＝10， 故（x2+2）（x﹣1）10的展开式常数项为2×1＝2，故选：D. 2．【答案】C 【解析】从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加， 所得的最小值为， 最大值为， ，，，，， ，，，， 共有：10种不同结果．故选：C． 3．【答案】B 【解析】甲不站两端，则甲在中间4个位置中任选1个，其他人全排， 故不同的排法的种数为.故选：B. 4．【答案】A 【解析】 ，.故选：A 5．【答案】B 【解析】从5名男生和3名女生中选取4名志愿者的试验有个基本事件，它们等可能， 选出的志愿者中至少有2名女生的事件含有个基本事件， 所以选出的志愿者中至少有2名女生的概率. 6．【答案】B 【解析】在展开式中，二项式系数的最大值为 a，∴a==20． 展开式中的通项公式：Tr+1=，令6﹣r=5，可得r=1． ∴含x5项的系数为b==﹣12， 则．故选B． 7．【答案】B 【解析】展开式的通项公式：， 由得：， 所以的展开式中的系数为.故选：B 8．【答案】D 【解析】上一个层的台阶，所有不同上法的总数为， 那么可以从第个台阶上两层到第层的台阶， 也可以从第个台阶上一层到第层的台阶， 故，其中， 但，，故选：D. 9．【答案】CD 【解析】因为， 令，则，故A错误； 令代入， 得，故C正确； 令代入， 得， 因为二项式的展开式的第项为， 所以所以,故B错误； 所以当为奇数时，为负数；即（其中为奇数）， 所以；故D正确.故选：CD. 10．【答案】ACD 【解析】令， 对于A，，A正确； 对于B，展开式的第项为， 因此，B错误； 对于C，显然展开式的所有奇数项系数均为负数，所有偶数项系数均为正数， 因此，C正确； 对于D，因为，则，D正确.故选：ACD 11．【答案】BC 【解析】，可得二项式系数和为，故A错误； 令得所有项的系数和为0，故B正确；常数项，故C正确； ，二项式系数最大为，故二项式系数最大的项为第4项，故D错误. 故选：BC. 12．【答案】32 【解析】由已知得，，所以，可得，所以， .故答案为：32 13．【答案】 【解析】设事件表示“从一档的7颗算珠中任取3颗，既有上珠又有下珠”， 所以．故答案为： 14．【答案】144 【解析】本题使用捆绑法结合插空法分步计算： 第一步：将相邻的2个舞蹈节目捆绑为一个整体，内部两个舞蹈的排列顺序有种； 第二步：将捆绑后的舞蹈整体与2个小品节目进行全排列，共3个元素，排列方式有 种； 第三步：上述3个元素排完后，共形成个空位（包含排列的两端位置），从4个空位中任选2个插入不相邻的2个歌唱节目，排列方式有种； 根据分步乘法计数原理，总的排列方式为：种. 15．【答案】 （1）；（2） （3） （4）. 【解析】（1）男生甲必须排在正中间，只要其余的6人全排列：（3分） （2）（捆绑法）先让3女生“捆绑”成一整体，内部排序，再把女生看成整体与其余的男生排序：（6分） （3）先把4个男生排列，然后把3个女生向5个空挡插空：（9分） （4）先把 甲、乙排好，然后从余下的5人中选3人站在 甲、乙 之间，然后把 甲、乙以及中间的5人看成整体，和其余的2人看着3个整体进行排序.（13分） 16.【答案】(1) 种；(2) 种 【解析】(1) 对于A、B两班不相邻的问题，采用插空法求解： 第一步，先排没有限制要求的其余4支队伍，所有的排列数为 ；（2分） 第二步，排完4支队伍后，会形成5个空位（包含两端位置），从中选2个空位插入A班和B班，排列数为 ；（5分） 根据分步乘法计数原理，总的安排方法数为 种。（7分） (2) 对于A班顺序在B班前面的定序问题，采用缩倍法求解： 不考虑限制条件时，6支队伍的全排列数为 ；（10分） 所有排列中，A班在B班前面和A班在B班后面的排列数是相等的，各占总排列数的一半； 因此符合要求的安排方法数为 种。（15分） 17.【答案】(1) (2)60 (3)120 【解析】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，（2分） 所以，即，则，或（舍去）；（5分） （2）展开式的通项为 ，（7分） 令，解得，（8分） 所以，所以常数项为60，为第5项；（9分） （3）（1）知，， 展开式中项的系数分别为： （12分） 所以的展开式中项的系数为： ．（15分） 18．【答案】(1)，估计本次竞赛成绩的第80百分位数为85；(2) 【解析】（1）解：由频率分布直方图的性质得：，解得.（3分） 因为， 所以成绩在80分以下的频率为，成绩在90分以下的频率为，（6分） 所以估计本次竞赛成绩的第80百分位数为；（8分） （2）解：因为成绩在，的两组频率之比为，（10分） 所以从成绩在中抽人，从成绩在中抽人，（14分） 所以从这5人中随机抽取3人，至少有2人的成绩在内的概率为.（17分） 19.【答案】见解析. 【解析】（1） ​​（5分）​​​ （2） （i） （7分） （ii） 由条件可得： 由（1）得， 则有 （10分） 原式 构造数列，令 则 （8分） 所以 （10分） 所以，即，（13分） 即，所以，即数列是周期为6的数列.（15分） 又因为 所以：.（17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $