命题大赛 海南高二数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版选择性必修第三册第七章）

**基本信息** 立足高二数学第七章“随机变量及其分布列”单元复习，以原创情境题（如《九章算术》草木生长、冬奥会抽奖）为载体，覆盖分布列、期望方差等核心知识，注重数学眼光观察、思维推理与语言表达的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|两点分布、条件概率、二项分布|第2题原创《九章算术》情境，第3题结合冬奥会热点| |多选题|3/18|方差性质、正态分布、二项分布|第9题辨析统计概念，强化推理意识| |填空题|3/15|二项分布期望、方差计算|第14题考查正态分布对称性，培养数据观念| |解答题|5/77|分布列、期望方差综合应用|第16题滑雪费用、19题亚运会女排情境，体现数学应用意识|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 两点分布，概率的性质 0.85 2 单选题 5 条件概率 0.8 3 单选题 5 排列数计算、有限制条件的排列问题 0.75 4 单选题 5 求离散型随机变量的均值,利用随机变量分布列的性质解题 0.7 5 单选题 5 计算条件概率,利用全概率公式求概率 0.65 6 单选题 5 二项分布、正态分布数学期望与方差的性质 0.6 7 单选题 5 二项分布、二项式展开式的系数与二项式系数性质 0.6 8 单选题 5 递推计数、归纳推理 0.55 9 多选题 6 正态曲线的性质,残差的计算,计算几个数据的极差、方差、标准差,二项分布的方差 0.65 10 多选题 6 均值的性质,方差的性质,方差的期望表示 0.6 11 多选题 6 独立重复试验的概率问题,二项分布的均值,方差的性质,二项分布的方差 0.55 12 填空题 5 指定区间的概率 0.7 13 填空题 5 求离散型随机变量的均值,离散型随机变量的方差与标准差,利用随机变量分布列的性质解题 0.65 14 填空题 5 指定区间的概率 0.6 15 解答题 13 超几何分布的分布列,超几何分布的均值,计算古典概型问题的概率 0.7 16 解答题 15 求离散型随机变量的均值,独立事件的乘法公式,离散型随机变量的方差与标准差,互斥事件的概率加法公式 0.65 17 解答题 15 利用二项分布求分布列,求离散型随机变量的均值,计算古典概型问题的概率,写出简单离散型随机变量分布列 0.6 18 解答题 17 求离散型随机变量的均值,独立事件的乘法公式,写出简单离散型随机变量分布列 0.6 19 解答题 17 求离散型随机变量的均值,超几何分布的分布列,构造法求数列通项,计算古典概型问题的概率,累乘法求数列通项 0.45 $ 应用场景：单元测 高二数学下学期阶段考试 第七章 随机变量及其分布列 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B A C D B D 题号 9 10 11 答案 ACD ABD ABD 1．【答案】A 【解析】随机变量服从两点分布， . 故选：A． 2．【答案】B 【解析】根据正条件概率缩小样本空间法计算.第一次抽到蒲草，不放回，总数少一株，第二次抽取总数7株，菀草3株，抽一株菀草． 故选：B． 3．【答案】B 【解析】若事件为“第一次抽到卡片中奖”，事件为“第二次抽到卡片中奖”，则，，故．故选：B． 4．【答案】A 【解析】由分布列的性质可知，，故A正确； 因为Y的期望值为1，所以，所以C错. 若，不满足分布列性质，B错， 由上，有，显然D错.故选：A 5．【答案】C 【解析】设事件为这个人患流感，分别表示这个人来自A，B，C三个地区， 由已知可得， 又， 由全概率公式可得 .故选：C. 6．【答案】D 【解析】对于A，已知随机变量，则，故A错误； 对于B，根据互斥事件和对立事件的定义，“与是互斥事件”并不能推出“与互为对立事件”，相反“与互为对立事件”必能推出“与是互斥事件”，故B错误； 对于C，根据方差的计算公式，，故C错误； 对于D，根据正态分布的对称性，随机变量，， 所以，所以， 故D正确；故选：D. 7．【答案】B 【解析】因为，所以， 由组合数的性质可知，当时最大，此时取得最大值. 故选：B 8．【答案】D 【解析】5人中，至少有3人愿意种植甲，且至少有1人愿意种植乙的可能性共有3种： ①有3人愿意种植甲，愿意种植乙，丙的各有1人， ②有3人愿意种植甲，有2人愿意种植B， ③有4人愿意种植甲，有1人愿意种植B， 所求概率P．故选：D． 9．【答案】ACD 【解析】由于，所以A正确； 残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以B错误； 根据正态分布的概率分布特点知为定值，C正确； 由于， 标准差，故D正确.故选：ACD. 10．【答案】ABD 【解析】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，， 所以，故B正确； 对于CD，根据均值与方差的关系可得，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11．【答案】ABD 【解析】对于A选项，若，则，，所以，故A正确； 对于B选项，由，得，所以，故B正确； 对于C选项，若则， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以，即，故C错误； 对于D选项，若则， 所以， 所以为奇数的概率为，故D正确. 故选：ABD. 12．【答案】/ 【解析】，， . 故答案为：. 13．【答案】9 【解析】由题意可得：，解得， 因为，所以：，解得． ． ．故答案为：9． 14．【答案】0.15 / 【解析】∵， ∴． 故答案为： 15．【答案】(1) (2) 【解析】（1）＂从这 18 名研究员中随机抽取两人合作实验，两人来自同一实验室＂记作事件 ， 则 （6分） （2） 的所有可能取值为 ． （7分） ，，. （10分） 的分布列为： 0 1 2 （13分） 16．【答案】(1) (2) 【解析】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， （1分） 甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝． 两人都付0元的概率为P1＝×＝， 两人都付40元的概率为P2＝×＝， 两人都付80元的概率为P3＝×＝， （5分） 则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝． （6分） （2）ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160， （7分） 则P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝40)＝×＋×＝， P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝120)＝×＋×＝， P(ξ＝160)＝×＝． （12分） 所以ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80， （13分） D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．（15分） 17．（1）； （2） 【解析】（1）根据题意，参加社区服务在时间段的学生人数为人； 参加社区服务在时间段的学生人数为人；（4分） ∴抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人. ∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为. （6分） （2）由（1）可知，从全市高中学生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为，X～B（3，），由已知得，随机变量的可能取值为0,1,2,3，（8分） 则，， ，，（12分） 随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P(X) ∴. （15分） 18．【答案】(1) ， (2) 【解析】（1）记乙、丙各自发现故障为事件，，由于事件相互独立，（1分） 则有，（3分） ，（5分） 解得，，（7分） 所以乙、丙两人各自发现故障的概率分别为，． （2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3 （8分） ，（9分） （11分） ，（13分） ， （14分） X的分布列为 X 0 1 2 3 P ．（17分） 19．【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【解析】（1）设“抽到甲参与传球训练”记为事件，则. （2分） （2）由题意知的可能取值为0，1，2，3， （3分） ， ， （7分） 所以的分布列为： 0 1 2 3 即. （9分） （3）解法一：设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，， 易得：，， 当时，，，，（10分） 则， 由，得，，（12分） 代入，得， 则，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， ，（15分） 则时：，，， 由累加法得： ，可得， 又令时，，满足， 所以. （17分） 解法二：经过次传球后，排球被甲接到球的概率为． 则，即 （13分） 而， 所以是首项为，公比为的等比数列， （15分） 则，则 （6分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：单元测 高二数学下学期阶段考试 第七章 随机变量及其分布列 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 2．(原创)《九章算术》中有草木生长数理记载，古人常选取草木样本观测生长规律。现有样本袋中装有5株蒲草、3株莞草，所有样本外形完全相同，采用不放回依次抽取2株。已知第一次抽取到的是蒲草，则第二次抽到莞草的概率为（ ） A． B． C． D． 3．北京2022年冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融非常可爱，某教师用吉祥物的小挂件作为奖品鼓励学生学习，设计奖励方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为（    ） A． B． C． D． 4．随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 5．已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 6．下列说法中正确的是（    ） A．已知随机变量服从二项分布.则 B．“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件 C．已知随机变量的方差为，则 D．已知随机变量服从正态分布且，则 7．若，则取得最大值时，（    ） A．4 B．5 C．6 D．5或6 8．(原创）某县政府根据当地的地理优势计划从甲，乙，丙三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植甲，乙，丙作物的概率均分别为，若从当地村民中随机选取5人进行交流，则其中至少有3人愿意种值甲，且至少有1人愿意种植乙的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9．下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C．若随机变量，则当减小时，保持不变 D．一组数据的极差不小于该组数据的标准差 10．设离散型随机变量X，非零常数a，b，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 11．已知离散型随机变量，其中，则（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则为奇数的概率为 三、填空题：本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12．若随机变量，且，则等于_________． 13．若随机变量X的分布列如下表，且，则的值为______. X 0 2 a P p 14．已知随机变量服从正态分布，且，则_______. 四、解答题 ：本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程. 15．某科研机构为完成国家级课题，从四个实验室抽调18名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下： 实验室 人工智能实验室 生物医学实验室 量子计算实验室 环境工程实验室 人数 4 6 3 5 (1)从这18名研究员中随机抽取两人合作实验，求两人来自同一实验室的概率； (2)课题完成后需选派两人撰写结题报告，设被选中的人工智能实验室研究员人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望. 16．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)． 17． 某市教育部门规定,高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段,,． ,,（单位：小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示． （1）求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生,记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望． 18．在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立． (1)求乙、丙两人各自发现故障的概率； (2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望． 19．2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练 (1)求抽到甲参与传球训练的概率； (2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为，求的分布列及期望； (3)若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $