第23章 一次函数—— 一次函数的应用：行程问题、利润问题讲义-2025-2026学年人教版八年级数学下册

一次函数的应用：行程问题、利润问题讲义 一次函数的应用：行程问题、利润问题讲义 考点目录 一次函数的应用：行程问题 一次函数的应用：利润问题 考点一 一次函数的应用：行程问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 核心公式： 1. 图像含义：x轴代表时间，y轴代表路程 1. 图像信息：倾斜程度=速度、水平线段=静止、交点=相遇、拐点=变速/停留 1. 常见模型：同向行驶、相向相遇、追及问题、往返行程 一、解题原理 把行程中的路程与时间关系转化为一次函数解析式，利用函数增减性、交点坐标、线段斜率求解速度、时间、距离。 三、解题思路 1. 看懂图像坐标轴与分段走势，确定运动状态 1. 利用两点坐标求出各段一次函数关系式 1. 由斜率算出速度，由纵坐标得路程，横坐标得时间 1. 相遇/追及利用函数联立求交点，得出对应时间与路程 1. 结合题意作答 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】(1)30；40 (2) (3) 【分析】（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度距离时间即可得； （2）由图象可知和，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，根据甲、乙两货车与配货站的距离相等，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为， ∴甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车到达配货站路程为， ∵到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地， ∴总路程为， ∴乙货车的速度为． （2）解：∵甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，比甲货车晚半小时到达B地． ∴和， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为． （3）解：设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，由题意可得，甲货车与配货站的距离为，乙货车与配货站的距离为， ∴， 解得：， 答：乙货车在到达配货站前，出发甲、乙两货车与配货站的距离相等． 例2．（2026·辽宁沈阳·一模）汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式； (2)如果加油前、加油后汽车都以的速度匀速行驶，加油站距离目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1) (2)油箱中的油够用，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解； （2）求出每小时消耗的油量，再求出加油后可行驶的路程，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：油箱中的油够用，理由如下： 每小时消耗的油量为， 加油后可行驶的路程为， ∵， ∴油箱中的油够用． 例3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为________米； ②龙舟比赛先到达终点的是________队．（填“甲”或“乙”） (2)求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 【答案】(1)①1000米；②乙 (2)开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 【分析】（1）①根据函数图象，即可求解； ②根据函数图象，可以得出甲乙到达终点时间，即可求解； （2）解法1：求出甲队和乙队当时的函数解析式，然后联立即可求解； 解法2：求出甲队和乙队当时的速度，设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，根据相遇时走的路程相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：①从图象可以看出，这次龙舟赛的全程是1000米； ②从图象可以看出，乙队先到达终点； （2）解：解法1．设甲队路程米与时间分钟之间的关系式是， 依题意，得， ， ∴， 当时，设乙队路程米与时间分钟之间的关系式， 依题意，得， 解得， ∴， 解，得， 所以开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 解法2．， 当时，， 设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，则依题意，得 ， 解这个方程，得． 答：开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求A，B两地之间的距离及a的值； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)货车出发多少小时两车第一次相距15千米？ 【答案】(1)A，B两地之间的距离是60千米，； (2) (3)货车出发小时两车第一次相距15千米 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地装货物耗时15分钟， ∴； （2）解：设线段所在直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）解：由题意得，巡逻车的速度为千米/小时， 设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则， 解得； 货车出发小时两车第一次相距15千米． 变式2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）4月22日，上万名大连球迷远征沈阳客场，为家乡球队助威，最终大连英博客场击败辽宁铁人，斩获中超五连胜．球迷甲、乙自驾从大连前往沈阳观赛，其中甲先出发并匀速前进，在熊岳服务区休息了一段时间后保持原来的速度前往目的地，乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进，最终乙先到达沈阳．如图是甲、乙距离大连的距离（单位：）与车辆行驶时间（单位：h）的函数的完整图象． (1)请直接写出甲车的速度为_____，图中_____，_____； (2)求乙车的行进过程中的与的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3)两车相遇时，距离沈阳的距离是多少？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象分析即可； （2）根据“乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进”即可写出函数表达式； （3）联立甲乙的函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：甲的速度为，； （2）解：由题意得， （3）解：由题意得，当时，， ∴， 解得 此时距离沈阳 变式3．（25-26八年级下·天津·期中）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，小丽从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小丽离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小丽离开宿舍的时间 1 10 20 60 小丽离宿舍的距离 1.2 (2)填空： ①文具店到体育场的距离为________； ②小丽从体育场到文具店的速度为________； ③当小丽离宿舍的距离为时，她离开宿舍的时间为________． (3)当小丽离开体育场时，同宿舍的小红也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果小红的速度为，那么她在回宿舍的途中遇到小丽时离宿舍的距离是多少千米？（直接写出结果即可） 【答案】(1)填表见详解 (2)①0.6，②0.06；③2.5或70 (3)0.3千米 【分析】（1）先求解小丽从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场的速度，再结合图象填表即可； （2）①直接利用文具店离宿舍的距离和体育场离宿舍的距离，二者相减即可； ②通过路程除以时间即可得到答案； ③先得出，观察图象可得出现在和中，分别求出两个区间的分段函数解析式，将代入即可得解； （3）先写出小红离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式并据此作出其图象，求出两图象交点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：， ， ∴小丽离开宿舍的时间为时，小丽离宿舍的距离为； 由图象可知，小丽离开宿舍的时间为时，小丽离宿舍的距离为； 小丽离开宿舍的时间为时，小丽离宿舍的距离为， 填表如下： 小丽离开宿舍的时间 1 10 20 60 小丽离宿舍的距离 0.12 1.2 1.2 0.6 （2）解：①∵文具店离宿舍，体育场离宿舍， ∴文具店到体育场的距离为； ②小丽从体育场到文具店的速度为； ③当小丽离宿舍的距离为时，， 由图象可知，出现在和中， 当时，设y与x的函数解析式为， 将代入得： ，解得， ∴， 当时，，解得； 当时，设y与x的函数解析式为， 将代入得： ，解得， ∴， 当时，，解得， ∴她离开宿舍的时间为或． （3）解：小红离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为， 当时，解得， ∴小红离宿舍的距离y关于时间x的函数图象如图所示： 当二人相遇时，得， 解得， ∴她在回宿舍的途中遇到小丽时离宿舍的距离是0.3千米． 考点二 一次函数的应用：利润问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 基础公式 单件利润=售价−进价 总利润=单件利润×销售数量 1. 变量关系：销量随单价变化成一次函数 1. 限制条件：成本限制、销量范围、整数取值 二、解题原理 先建立销量与售价的一次函数，再代入总利润公式，整理成一次函数形式，结合自变量取值范围求利润最值与方案。 三、解题思路 1. 设售价/销量为自变量，列出销量关于价格的一次函数 1. 代入利润公式，推导出总利润函数 1. 根据实际情况确定自变量取值范围 1. 利用一次函数增减性判断最大/最小利润 1. 求出对应定价、销量，确定最优销售方案 【例题分析】 例1．（2026·贵州·模拟预测）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】(1)款手表每块进价元，款手表每块进价元 (2)元 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； （2）解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 例2．（25-26八年级下·重庆·期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1) A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 (2) 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元 【分析】（1）设型台灯购进盏，则B型台灯购进盏，结合题意列出方程，求解即可获得答案； （2）根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”，列不等式并求解可得，设总利润为元，由题意可得，由一次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：设A型台灯购进盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； （2）解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 例3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）深圳某科技公司计划生产智能手表和智能手环两种产品共150件，用于参加“深圳国际智能硬件展”．已知生产一件智能手表的成本为2000元，生产一件智能手环的成本为1200元，智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍． (1)该公司最少生产多少件智能手表？ (2)假设该公司的生产总成本为w元，如何安排生产才能使总成本w最小？ 【答案】(1) 最少生产100件智能手表 (2) 安排生产100件智能手表，50件智能手环可使总成本w最小 【分析】本题考查了一元一次不等式与一次函数的实际应用；解题的关键是根据题意列出不等式和函数关系式，结合函数的增减性求解最值． （1）设智能手表的生产数量为件，根据“智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍”列出不等式求解； （2）根据成本公式建立总成本关于的一次函数，结合函数的增减性和（1）中的取值范围，求的最小值． 【详解】（1）解：设生产智能手表件，则生产智能手环件． 由题意得：, , , ∴， 答：该公司最少生产100件智能手表． （2）解：由题意得：， ， ， 随的增大而增大， 又， 当时，取得最小值， 此时． 答：当生产智能手表100件、智能手环50件时，总成本最小． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·湖南永州·期中）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价/（元/件） a b 售价/（元/件） 300 100 已知购进A配件4件和B配件3件需花费1280元，购进A配件1件和B配件2件需花费420元． (1)求a，b的值． (2)若该无人机配件销售公司某次购进A配件和B配件共300件，并全部售出，且B配件购进件数不低于A配件购进件数x的2倍，设本次销售获得的总利润为y元，求y的最大值． 【答案】(1)a的值为260，b的值为80 (2)y的最大值为8000 【分析】（1）根据“购进A配件4件和B配件3件需花费1280元，购进A配件1件和B配件2件需花费420元”，可列出关于a,b的二元一次方程组，解之即可得出a,b的值； （2）利用总利润=每件A配件的销售利润×购进A配件的数量+每件B配件的销售利润×购进B配件的数量，可找出y关于x的函数关系式，设购进A配件x件，且B配件的购进件数不低于A配件的2倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为260，b的值为80； （2）解：根据题意得：， 即， ∵设购进A配件x件，且B配件的购进件数不低于A配件的2倍， ∴， 解得：， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大值为． 答：y的最大值为8000． 变式2．（25-26八年级下·四川·期中）2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 变式3．（25-26八年级下·河北邢台·期中）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： (1)任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 (2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 (3)任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 【答案】(1) (2)种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元 (3)当时，总费用最少，最少费用元 【分析】（1）利用待定系数法可得甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式； （2）依据题意，求出，再根据一次函数性质可得答案； （3）依据题意，求出，再根据a的范围结合一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为， 根据函数图象可得：， 解得：， ∴甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为． （2）解：根据题意得：， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W取最小值，最小值为（元）， ∴种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元． （3）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W最小，最小值为：， ∴当时，总费用最少，最少费用元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数的应用：行程问题、利润问题讲义 一次函数的应用：行程问题、利润问题讲义 考点目录 一次函数的应用：行程问题 一次函数的应用：利润问题 考点一 一次函数的应用：行程问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 核心公式： 1. 图像含义：x轴代表时间，y轴代表路程 1. 图像信息：倾斜程度=速度、水平线段=静止、交点=相遇、拐点=变速/停留 1. 常见模型：同向行驶、相向相遇、追及问题、往返行程 一、解题原理 把行程中的路程与时间关系转化为一次函数解析式，利用函数增减性、交点坐标、线段斜率求解速度、时间、距离。 三、解题思路 1. 看懂图像坐标轴与分段走势，确定运动状态 1. 利用两点坐标求出各段一次函数关系式 1. 由斜率算出速度，由纵坐标得路程，横坐标得时间 1. 相遇/追及利用函数联立求交点，得出对应时间与路程 1. 结合题意作答 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 例2．（2026·辽宁沈阳·一模）汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式； (2)如果加油前、加油后汽车都以的速度匀速行驶，加油站距离目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 例3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为________米； ②龙舟比赛先到达终点的是________队．（填“甲”或“乙”） (2)求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求A，B两地之间的距离及a的值； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)货车出发多少小时两车第一次相距15千米？ 变式2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）4月22日，上万名大连球迷远征沈阳客场，为家乡球队助威，最终大连英博客场击败辽宁铁人，斩获中超五连胜．球迷甲、乙自驾从大连前往沈阳观赛，其中甲先出发并匀速前进，在熊岳服务区休息了一段时间后保持原来的速度前往目的地，乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进，最终乙先到达沈阳．如图是甲、乙距离大连的距离（单位：）与车辆行驶时间（单位：h）的函数的完整图象． (1)请直接写出甲车的速度为_____，图中_____，_____； (2)求乙车的行进过程中的与的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3)两车相遇时，距离沈阳的距离是多少？ 变式3．（25-26八年级下·天津·期中）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，小丽从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小丽离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小丽离开宿舍的时间 1 10 20 60 小丽离宿舍的距离 1.2 (2)填空： ①文具店到体育场的距离为________； ②小丽从体育场到文具店的速度为________； ③当小丽离宿舍的距离为时，她离开宿舍的时间为________． (3)当小丽离开体育场时，同宿舍的小红也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果小红的速度为，那么她在回宿舍的途中遇到小丽时离宿舍的距离是多少千米？（直接写出结果即可） 考点二 一次函数的应用：利润问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 基础公式 单件利润=售价−进价 总利润=单件利润×销售数量 1. 变量关系：销量随单价变化成一次函数 1. 限制条件：成本限制、销量范围、整数取值 二、解题原理 先建立销量与售价的一次函数，再代入总利润公式，整理成一次函数形式，结合自变量取值范围求利润最值与方案。 三、解题思路 1. 设售价/销量为自变量，列出销量关于价格的一次函数 1. 代入利润公式，推导出总利润函数 1. 根据实际情况确定自变量取值范围 1. 利用一次函数增减性判断最大/最小利润 1. 求出对应定价、销量，确定最优销售方案 【例题分析】 例1．（2026·贵州·模拟预测）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 例2．（25-26八年级下·重庆·期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 例3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）深圳某科技公司计划生产智能手表和智能手环两种产品共150件，用于参加“深圳国际智能硬件展”．已知生产一件智能手表的成本为2000元，生产一件智能手环的成本为1200元，智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍． (1)该公司最少生产多少件智能手表？ (2)假设该公司的生产总成本为w元，如何安排生产才能使总成本w最小？ 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·湖南永州·期中）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价/（元/件） a b 售价/（元/件） 300 100 已知购进A配件4件和B配件3件需花费1280元，购进A配件1件和B配件2件需花费420元． (1)求a，b的值． (2)若该无人机配件销售公司某次购进A配件和B配件共300件，并全部售出，且B配件购进件数不低于A配件购进件数x的2倍，设本次销售获得的总利润为y元，求y的最大值． 变式2．（25-26八年级下·四川·期中）2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 变式3．（25-26八年级下·河北邢台·期中）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： (1)任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 (2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 (3)任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 2 学科网（北京）股份有限公司 $