第23章 一次函数 单元复习（6大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年人教版八年级数学下学期

该初中数学单元复习讲义以一次函数为核心，通过知识框架图系统梳理概念、图象性质、平移等六大知识点，用对比表格呈现一次函数与正比例函数的关系及性质差异，借助思维导图归纳待定系数法步骤和实际应用类型，突出与方程不等式综合、最优方案等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如概念辨析强化抽象能力，培优题型如几何面积综合培养几何直观，压轴题型如最优方案问题发展模型意识。每个题型配解题技巧和变式题，帮助不同层次学生提升，易错点总结和巩固练习支持学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

第23章 一次函数 知识点1：一次函数与正比例函数的概念 1.一次函数 定义：形如（、为常数，）的函数叫做一次函数。 注意：，自变量次数为1，可为任意实数。 2.正比例函数 定义：形如（为常数，）的函数叫做正比例函数。 关系：正比例函数是特殊的一次函数（）。 知识点2：一次函数的图象与性质 函数类型 解析式 图象 性质 正比例函数 过原点的直线 1.，过一、三象限，随增大而增大 2.，过二、四象限，随增大而减小 一次函数 一条直线 1.，随增大而增大 2.，随增大而减小 3.，交轴正半轴；，交轴负半轴 知识点3：一次函数图象的平移 1.平移规律：上加下减（对），左加右减（对）。 2.示例：向上平移个单位→；向左平移个单位→。 3.平行条件：两条直线与平行⇨且。 知识点4：待定系数法求解析式 1.步骤：设→代→解→写 设：设解析式； 代：代入两点坐标，列方程组； 解：解方程组求、； 写：写出函数解析式。 2.正比例函数只需1个点，一次函数需2个点。 知识点5：一次函数与方程、不等式的关系 1.与一元一次方程：的解⇨直线与轴交点的横坐标。 2.与一元一次不等式： ⇨图象在轴上方的取值范围； ⇨图象在轴下方的取值范围。 3.与二元一次方程组：方程组的解⇨两条直线的交点坐标。 知识点6：一次函数的实际应用 1.常见类型：行程问题、利润问题、方案最优问题、分段计费问题。 2.解题步骤：审题→设变量→列函数式→确定取值范围→利用性质求解→检验作答。 【基础必考题型】 【题型1】一次函数与正比例函数的概念辨析 1.核心知识点: 一次函数定义： 正比例函数定义：，是特殊一次函数 2.解题方法技巧: 严格判断：次数为1、、无等项 记清关系：正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数 【例题1】.（2026八年级下·全国·专题练习）下列函数是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）当________时，函数是正比例函数． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·北京·课前预习）判断下列函数是否为一次函数：①；② ；③． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当________时，函数是关于x的一次函数． 【题型2】一次函数图象与象限判断 1.核心知识点: 定增减与倾斜方向，定与轴交点位置 由k、b符号判断图象经过象限 2.解题方法技巧: 口诀：上坡增，下坡减；交上半轴，交下半轴 快速判断：先看定增减，再看定上下，组合判断象限 【例题2】.（25-26八年级下·北京·期中）直线经过一、二、四象限，则直线的图象是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026·陕西渭南·一模）一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）一次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（   ） A．函数y随自变量x的增大而减小 B．， C．， D．图象与x轴的交点坐标为 【变式题2-3】.（2026·天津东丽·一模）把直线向上平移m个单位长度，平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 【题型3】一次函数的增减性与函数值比较 1.核心知识点: ，随增大而增大；相反 自变量大小推函数值大小，反之亦然 2.解题方法技巧: 先定的符号，明确增减规律 横坐标大⇒则函数值大，则函数值小 【例题3】.（25-26八年级下·北京·期中）已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 【变式题3-1】.（25-26八年级下·北京延庆·期中）若点和是一次函数图象上的两点，则____．（填“”“ ”“ ”） 【变式题3-2】.（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式题3-3】.（25-26八年级下·福建福州·期中）已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型4】待定系数法求一次函数解析式 1.核心知识点: 设，代入两点坐标列方程组 解方程组求k、b，写出解析式 2.解题方法技巧: 两点代入不混淆，计算准确 正比例函数只代一个点，直接求 【例题4】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图象经过，两点，则一次函数的解析式为___________． 【变式题4-1】.（22-23八年级下·湖北武汉·月考）如图，一次函数的图象经过点和点．    (1)求出这个一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·北京·课前预习）已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的解析式． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·广东梅州·月考）在平面直角坐标系中，一次函数图像经过点和．求该函数的解析式． 【题型5】一次函数图象的平移问题 1.核心知识点: 平移规律：上加下减、左加右减 平移不改变值，只改变值 2.解题方法技巧: 上下平移只变，左右平移只对变 平移后解析式快速写出，代入点验证 【例题5】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线，则下列平移方法正确的是（    ） A．将直线b向左平移3个单位长度得到直线a B．将直线b向右平移6个单位长度得到直线a C．将直线b向上平移1个单位长度得到直线a D．将直线b向下平移6个单位长度得到直线a 【变式题5-1】.（25-26八年级下·北京·期中）已知点，点，将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线，若点，在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式题5-2】.（2026·陕西西安·模拟预测）直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式题5-3】.（25-26八年级下·重庆万州·月考）一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【培优高频题型】 【题型6】一次函数与方程、不等式综合 1.核心知识点: 方程解⇨与轴交点横坐标 不等式解集⇨图象在轴上方/下方的范围 2.解题方法技巧: 数形结合：看图象位置直接写解集 方程解就是交点横坐标，不等式看上下位置 【例题6】.（2010·湖北咸宁·中考真题）如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既不小于函数的值，也不小于函数的值，直接写出的取值范围． 【变式题6-2】.（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)求直线与直线的交点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【题型7】两条直线的交点与平行问题 1.核心知识点: 两直线交点⇨联立解析式解方程组 平行条件：且 2.解题方法技巧: 求交点联立方程，解即为交点坐标 平行相等，用平行设解析式再代入点求 【例题7】.（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线，交于点，．若，直接写出的值． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·山西晋中·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．关于的不等式的解集，某同学绘制了直线与直线（，为常数，）如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集是_____________． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）由于直线与平行，则方程组的解的情况是（   ） A．有唯一解 B．无解 C．无数解 D．有限解 【变式题7-3】.（25-26九年级下·北京大兴·月考）在平面直角坐标系中，函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 当时，， 【题型8】一次函数与几何图形面积综合 1.核心知识点: 直线与坐标轴围成三角形面积计算 坐标与线段长度互化 2.解题方法技巧: 先求交点坐标，得直角三角形直角边长 面积公式：横截距绝对值×纵截距绝对值 【例题8】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知：正比例函数的图像经过点，过图像上一点作轴的垂线，垂足为，求的面积． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．正比例函数与一次函数交于点，连接．求的面积． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·北京·月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)画出一次函数的图象； (3)求的面积． 【压轴素养题型】 【题型9】一次函数最优方案与利润最大化问题 1.核心知识点: 建立一次函数模型，结合不等式求自变量范围 由符号求函数最值 2.解题方法技巧: 设变量→列函数→列不等式→定范围→用增减性求最值 自变量最大则函数最大，相反 【例题9】.（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元． (1)求A、B两种笔记本的单价； (2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用． 【变式题9-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元． (1)求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 【变式题9-2】.（25-26九年级下·山东菏泽·期中）今年端午节来临之际，某商场预测一品牌枣粽能够畅销．根据预测，每千克枣粽节前的进价比节后多2元，节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节前每千克枣粽的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共准备购进枣粽500千克，且总费用不超过4800元，并按照节前每千克16元，节后每千克12元全部售出，那么该商场节前购进多少千克枣粽获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式题9-3】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 【题型10】一次函数实际应用（计费/行程） 1.核心知识点: 从实际情境提取等量关系列一次函数 结合自变量实际意义确定范围 2.解题方法技巧: 找固定量（）与变量（），设 单位统一，结果检验是否符合实际 【例题10】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为________米； ②龙舟比赛先到达终点的是________队．（填“甲”或“乙”） (2)求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 【变式题10-1】.（2026·辽宁沈阳·一模）汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式； (2)如果加油前、加油后汽车都以的速度匀速行驶，加油站距离目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【变式题10-2】.（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·重庆·期中）某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动．如图①，“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动（两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶），两个社团同时出发且匀速行驶．已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图②表示的是两个社团离社区文化站的距离与行驶时间之间的函数图象．观察函数图象回答下列问题： (1)“书法社”骑自行车的速度为　　　； (2)求图象中a与b的值； (3)请求出P点的坐标，并说明点P表示的实际意义． 【题型11】分段一次函数的理解与计算 1.核心知识点: 不同自变量范围对应不同解析式 分界点处函数值连续 2.解题方法技巧: 先看范围，选对应解析式 分界点单独验证，确保两段衔接 【例题11】.（2026·陕西西安·模拟预测）为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 (1)若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； (2)若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 【变式题11-1】.（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【变式题11-2】.（2026·陕西渭南·一模）某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示： 时段 电价（元/千瓦时） 谷段（晚上~次日） 峰段（白天~） 某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元． (1)写出与之间的函数解析式； (2)若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费． 【变式题11-3】.（2026九年级·吉林·专题练习）某通信公司推出A，B两种套餐（按月计费），具体资费如下表所示： 套餐A 套餐B 套餐基础费/元 129 159 套餐内免费流量/GB 30 40 套餐外流量价格/（元/GB） 使用套餐A，B每月所需的费用（元），（元）关于每月使用的流量的函数图象如图所示，已知当时，两函数图象重合． 请你根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：_________，_________； (2)请分别求出，关于的函数解析式； (3)该通信公司决定推出一个免费流量为的新套餐C（按月计费），套餐外流量单价同套餐A．若要当时，使用套餐C每月的花费比使用套餐A每月的花费少30元，则套餐C的基础费应该定为多少元？ 【题型12】一次函数动点与图象探究问题 1.核心知识点: 动点运动过程中线段、面积的函数关系 分段分析不同运动阶段 2.解题方法技巧: 按运动路径分段，每段设时间表示线段长 用面积公式列函数，结合图象拐点分析 【例题12】.（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点． (1)求直线的函数表达式； (2)动点P的横坐标，纵坐标，则y关于x的函数关系式为_____； (3)若直线与线段（包含端点）有交点，求a的取值范围； (4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线与直线、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图，已知直线经过点，，直线与直线交于点A，直线与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)求点A的坐标； (3)如图，点P为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E．当为直角三角形时，求点P的坐标； (4)点M是直线上一动点，点N是直线上一动点，且满足为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【变式题12-2】.（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线与直线交于点E，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求点B与点E的坐标； (2)点P是线段上一动点，点F为x轴上一动点，连接，，，当面积为4时． ①求点P的坐标； ②直接写出的最小值； (3)如图2，点Q为线段的中点，连接和，在x轴是否存在动点M，使得，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点M的坐标． 【变式题12-3】.（24-25八年级下·河南洛阳·月考）【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 易错点 1.概念混淆：分不清一次函数与正比例函数，忽略条件。 2.平移出错：左右平移时只对变，漏加括号导致符号错误。 3.象限判断：只看或只看，未结合两者综合判断。 4.数形结合：方程解与交点、不等式解集与图象位置对应错误。 5.实际应用：忽略自变量非负、整数等实际意义限制。 重点 1.一次函数与正比例函数的定义、图象与性质。 2.待定系数法求一次函数解析式。 3.一次函数的增减性及函数值比较。 4.一次函数与方程、不等式的综合应用。 5.一次函数在实际问题中的建模与求解。 难点 1.含参数一次函数的分类讨论与图象分析。 2.一次函数与几何图形面积、动点问题综合。 3.最优方案、利润最值等实际问题建模。 4.数形结合思想在复杂题型中的灵活运用。 5.跨学科、新情境下一次函数关系的提取与应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各点中，在函数的函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（   ） x 0 2 3 y m 9 A．4 B．5 C． D． 4．已知一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 5．写出一个函数随自变量增大而增大的正比例函数解析式________． 6．若点在函数的图象上，则______． 7．将直线向下平移2个单位长度得到的直线解析式是______． 8．在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标___________溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线：描述，污染物浓度由直线：描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围___________． 三、解答题 9．某校初级为打造“书香校园”，准备购买一批图书．甲书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书的总价可打折：乙书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书的总价可打折． (1)设所购图书的原价为元，选择甲书店时，所需的费用为元，选择乙书店时，所需的费用为元，则，关于的一次函数关系式分别为：_________，_________． (2)你认为年级选择哪个书店购书更合算？ 10．某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 11．2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”．某校计划开展趣味数学活动，数学老师欲购买汉诺塔作为活动道具，已知文具店里汉诺塔售价为15元套，文具店的优惠方案如下：一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折．设数学老师购买套汉诺塔，购买费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买多少套汉诺塔？ 12．阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； (2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 一次函数 知识点1：一次函数与正比例函数的概念 1.一次函数 定义：形如（、为常数，）的函数叫做一次函数。 注意：，自变量次数为1，可为任意实数。 2.正比例函数 定义：形如（为常数，）的函数叫做正比例函数。 关系：正比例函数是特殊的一次函数（）。 知识点2：一次函数的图象与性质 函数类型 解析式 图象 性质 正比例函数 过原点的直线 1.，过一、三象限，随增大而增大 2.，过二、四象限，随增大而减小 一次函数 一条直线 1.，随增大而增大 2.，随增大而减小 3.，交轴正半轴；，交轴负半轴 知识点3：一次函数图象的平移 1.平移规律：上加下减（对），左加右减（对）。 2.示例：向上平移个单位→；向左平移个单位→。 3.平行条件：两条直线与平行⇨且。 知识点4：待定系数法求解析式 1.步骤：设→代→解→写 设：设解析式； 代：代入两点坐标，列方程组； 解：解方程组求、； 写：写出函数解析式。 2.正比例函数只需1个点，一次函数需2个点。 知识点5：一次函数与方程、不等式的关系 1.与一元一次方程：的解⇨直线与轴交点的横坐标。 2.与一元一次不等式： ⇨图象在轴上方的取值范围； ⇨图象在轴下方的取值范围。 3.与二元一次方程组：方程组的解⇨两条直线的交点坐标。 知识点6：一次函数的实际应用 1.常见类型：行程问题、利润问题、方案最优问题、分段计费问题。 2.解题步骤：审题→设变量→列函数式→确定取值范围→利用性质求解→检验作答。 【基础必考题型】 【题型1】一次函数与正比例函数的概念辨析 1.核心知识点: 一次函数定义： 正比例函数定义：，是特殊一次函数 2.解题方法技巧: 严格判断：次数为1、、无等项 记清关系：正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数 【例题1】.（2026八年级下·全国·专题练习）下列函数是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数形如（为常数，，的次数为1）的特征逐一判断选项． 【详解】解：A、是分式，不是整式函数，不符合正比例函数定义，故此选项不符合题意； B、中的次数为2，不符合正比例函数中次数为1的要求，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C、含有常数项，不符合的形式，故此选项不符合题意； D、符合（）的形式，是正比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）当________时，函数是正比例函数． 【答案】2 【分析】根据正比例函数的定义可得，即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， ∴． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·北京·课前预习）判断下列函数是否为一次函数：①；② ；③． 【答案】①是一次函数；②不是（是反比例函数）；③ 不是（是常数函数） 【分析】根据一次函数的定义，一次函数是函数的一种，一般形如． 【详解】解：①，是一次函数； ② ，不是（是反比例函数） ③，不是，（是常数函数） 【变式题1-3】.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当________时，函数是关于x的一次函数． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于的关系式，再求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可得， 解方程，得，即， 由，得， 因此． 【题型2】一次函数图象与象限判断 1.核心知识点: 定增减与倾斜方向，定与轴交点位置 由k、b符号判断图象经过象限 2.解题方法技巧: 口诀：上坡增，下坡减；交上半轴，交下半轴 快速判断：先看定增减，再看定上下，组合判断象限 【例题2】.（25-26八年级下·北京·期中）直线经过一、二、四象限，则直线的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直线经过一、二、四象限判断出k、b的符号，进而可得出直线经过的象限． 【详解】解：∵直线过第一、二、四象限， ∴，， ∴，， ∴直线经过第一、二、三象限． 【变式题2-1】.（2026·陕西渭南·一模）一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象不经过第三象限，结合一次函数性质确定的取值范围，再将各选项点坐标代入函数求出，判断是否符合的范围即可． 【详解】解：令得，， 一次函数与轴交于， 一次函数（）的图象不经过第三象限， ， 选项A、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项B、 将代入函数得：，解得，符合条件； 选项C、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项D、 将代入函数得： ，解得，不满足，不符合条件； 则点的坐标不可能为． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）一次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（   ） A．函数y随自变量x的增大而减小 B．， C．， D．图象与x轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，结合一次函数的性质一一判断各选项是否符合题意即可． 【详解】解：由函数图像可知，直线从左往右呈下降的趋势，因此函数y随自变量x的增大而减小，A选项不符合题意； 由函数图像可知，图像经过一、二、四象限，所以，，故B选项不符合题意，C选项符合题意； 令，即，解得，因此图像与x轴的交点为，D选项不符合题意． 【变式题2-3】.（2026·天津东丽·一模）把直线向上平移m个单位长度，平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限求参数的范围，先根据平移规则求出平移后的直线解析式，再根据一次函数图象经过的象限与系数的关系列不等式求解即可. 【详解】解：由题意，根据一次函数图象平移规则，平移后的解析式为： ， 平移后的直线经过第二、第一、第四象限，一次函数中，只需满足， ， 解得， 的值可以是. 【题型3】一次函数的增减性与函数值比较 1.核心知识点: ，随增大而增大；相反 自变量大小推函数值大小，反之亦然 2.解题方法技巧: 先定的符号，明确增减规律 横坐标大⇒则函数值大，则函数值小 【例题3】.（25-26八年级下·北京·期中）已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 【答案】 【分析】先得到一次函数的增减性，然后根据确定函数值的大小解答即可． 【详解】在函数 中， ∵ ， ∴随的增大而减小， ， 即 ， ∴． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·北京延庆·期中）若点和是一次函数图象上的两点，则____．（填“”“ ”“ ”） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性． 再比较两点横坐标的大小． 即可得到纵坐标与的大小关系． 【详解】解∶在一次函数中，， 随的增大而增大， 点和，且． ∴． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】将三个点的横坐标代入直线解析式，得到三个关于参数的表达式，再结合给定条件分析乘积的符号，即可判断选项． 【详解】∵ 点，，在直线上 将分别代入解析式得 分情况讨论： ①. 若，即 解得 ∵ ， ∴ ，故A正确，B错误 ②. 若，即 解得 或 当或时，与同号， 当时，与异号， 因此的符号不确定，故C，D错误 综上，答案选A． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·福建福州·期中）已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用一次函数的增减性，结合和的符号，确定直线与轴交点的位置，再根据的乘积关系判断的符号，得到结论． 【详解】解：∵，∴随增大而增大， ∵，∴， 令，得直线与轴交点横坐标， ∵，，∴，即交点在轴正半轴， 若，可得，因此， ∵，，∴，，可得，故C正确． A中可为负，可为正，， A错误； B中为负，为正，，B错误； D中可正可负，不一定小于，D错误． 【题型4】待定系数法求一次函数解析式 1.核心知识点: 设，代入两点坐标列方程组 解方程组求k、b，写出解析式 2.解题方法技巧: 两点代入不混淆，计算准确 正比例函数只代一个点，直接求 【例题4】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图象经过，两点，则一次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】设一次函数的一般形式（），利用待定系数法，将已知两点坐标代入该式，构建关于、的二元一次方程组，解方程组求得、的值后，即可确定一次函数的解析式． 【详解】解：设一次函数解析式为， 将，代入解析式，可得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 【变式题4-1】.（22-23八年级下·湖北武汉·月考）如图，一次函数的图象经过点和点．    (1)求出这个一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为： (2) 【分析】（1）根据直线的图象经过点和点，把，两点的坐标代入，解出，，即可； （2）由（1）得，函数的解析式：，根据，解出不等式，即可． 【详解】（1）∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）由（1）得，一次函数的解析式为：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求出解析式，一次函数的图象和性质． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·北京·课前预习）已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式即可． 【详解】解：设函数解析式为， 将点和点代入， 可得， 解得：， ∴函数解析式为：． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·广东梅州·月考）在平面直角坐标系中，一次函数图像经过点和．求该函数的解析式． 【答案】． 【分析】利用待定系数法求解析式方法即可求解． 【详解】解：设（）， 把点和， ∴，解得， ∴该函数的解析式． 【题型5】一次函数图象的平移问题 1.核心知识点: 平移规律：上加下减、左加右减 平移不改变值，只改变值 2.解题方法技巧: 上下平移只变，左右平移只对变 平移后解析式快速写出，代入点验证 【例题5】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线，则下列平移方法正确的是（    ） A．将直线b向左平移3个单位长度得到直线a B．将直线b向右平移6个单位长度得到直线a C．将直线b向上平移1个单位长度得到直线a D．将直线b向下平移6个单位长度得到直线a 【答案】D 【分析】用到一次函数平移规律“左加右减，上加下减”，计算不同平移方式得到的解析式，和目标直线对比即可得到正确结果 【详解】解：∵一次函数图象平移规律为“左加右减，上加下减”，原直线，目标直线， 若沿x轴平移， 设平移个单位，得平移后解析式为， 令， 解得，即直线向右平移3个单位得到直线，选项A、 B均不符合； 若沿y轴平移，设平移个单位，得平移后解析式为 令， 解得，即直线向下平移6个单位得到直线，符合选项D 【变式题5-1】.（25-26八年级下·北京·期中）已知点，点，将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线，若点，在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先设直线的解析式为，将、两点坐标代入解析式联立方程组，两式相减消去含的项，求出；再依据直线向右平移的特点，得到平移后直线倾斜度保持不变，设出平移后的直线解析式；最后将、两点坐标代入平移后的函数关系式，把两个等式再次作差，消去参数与常数项，即可算出的值． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得：， 两式相减得，解得． ∵将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线， ∴可设直线的解析式为． ∵点，在直线上， ∴， 两式相减，得． 【变式题5-2】.（2026·陕西西安·模拟预测）直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先求出平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到的取值范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：由平移规则可知，直线向上平移个单位长度后，解析式为． ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且一次项系数， ∴， 解得， 结合选项可知，只有D选项的7满足条件． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·重庆万州·月考）一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移规则求出新的函数解析式，待定系数法求出的值即可； （2）分和两种情况，结合一次函数的性质，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，平移后的解析式为， 把点代入，得， 解得； （2）解：当时，则随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 当时，则随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 综上：. 【培优高频题型】 【题型6】一次函数与方程、不等式综合 1.核心知识点: 方程解⇨与轴交点横坐标 不等式解集⇨图象在轴上方/下方的范围 2.解题方法技巧: 数形结合：看图象位置直接写解集 方程解就是交点横坐标，不等式看上下位置 【例题6】.（2010·湖北咸宁·中考真题）如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既不小于函数的值，也不小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）用待定系数法，将已知两点代入一次函数，列方程组求解和，得到函数解析式； （）先作差比较时两个一次函数的大小，确定更大；再将“不小于两个函数”转化为时恒成立，整理得，分析在的取值范围，得出． 【详解】（1）解：∵一次函数过点和， ∴， 解得； （2）解：由（）得： ， ， 当时，作差比较两个函数的大小：， ∴时， ， ∵不小于两个函数， ∴只要满足时，恒成立即可， 整理得：， ∵， ∴， ∴对所有恒成立， ∴． 【变式题6-2】.（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得，结合题意可得，再分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和点， ∴， 解得：； （2）解：由（1）可得， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， ∴， 当，即时，，不满足当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，故不符合题意； 当，即时，此时函数的图象与函数的图象平行，且在函数图象的下方，故满足当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，符合题意； 当，即时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的取值范围为． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)求直线与直线的交点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】(1) (2)交点坐标为 (3)的最小值为，的取值范围为 【分析】（1）将点代入一次函数解析式即可解决问题； （2）联立两个直线进行求解即可； （3）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为， 联立， 解得， ∴两直线的交点坐标为； （3）解：如图， 当时，， 把代入， 解得， 当时，， 把代入， 解得， 当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， 的最小值为，的取值范围是． 【题型7】两条直线的交点与平行问题 1.核心知识点: 两直线交点⇨联立解析式解方程组 平行条件：且 2.解题方法技巧: 求交点联立方程，解即为交点坐标 平行相等，用平行设解析式再代入点求 【例题7】.（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线，交于点，．若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设直线为，首先求出点坐标，然后将点坐标代入，求得的值，即可获得直线的函数解析式； （2）首先求点的坐标，然后用表示出点和点的坐标，用表示出的长，然后解方程即可． 【详解】（1）解：过点， ， ， ， 设直线为， 直线经过原点，且与直线交于点， ， 直线为； （2）解：将代入，则， ， ， 点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线交于点， 令，解得；令，解得， ，， ， ， ， 或． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·山西晋中·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．关于的不等式的解集，某同学绘制了直线与直线（，为常数，）如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集是_____________． 【答案】 【分析】先求出两条直线的交点坐标为，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，， 解得， ∴两条直线的交点坐标为， 结合函数图象可得：关于的不等式的解集为． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）由于直线与平行，则方程组的解的情况是（   ） A．有唯一解 B．无解 C．无数解 D．有限解 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，平行的两条直线无交点，对应的二元一次方程组无解，也可通过消元法验证方程组是否有解． 【详解】解：∵直线与平行，两直线没有交点 ∴方程组无解 故选：B． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·北京大兴·月考）在平面直角坐标系中，函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)m的取值范围是． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）结合（1）可得为，为，然后在同一坐标系中画出，的图象，又当时，，则，且当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵函数的图象与直线平行，且经过点， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，， 在同一坐标系中画出，的图象如下 当时，， 若经过，则， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 那么， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 则， 结合图象可得． 【题型8】一次函数与几何图形面积综合 1.核心知识点: 直线与坐标轴围成三角形面积计算 坐标与线段长度互化 2.解题方法技巧: 先求交点坐标，得直角三角形直角边长 面积公式：横截距绝对值×纵截距绝对值 【例题8】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知：正比例函数的图像经过点，过图像上一点作轴的垂线，垂足为，求的面积． 【答案】36 【分析】先设出正比例函数解析式，利用已知点坐标求出函数解析式， 再根据垂直于轴的直线上点的坐标特征得到点的纵坐标，最后利用三角形面积公式计算得到结果． 【详解】设正比例函数解析式为（）， 将点 代入解析式得：， 解得 ， ∴正比例函数解析式为 ， ∵ 轴，垂足为 ， ∴点 的纵坐标为， 将 代入得 ：， 解得， ∴点坐标为 ， ∴，， ∴ ． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．正比例函数与一次函数交于点，连接．求的面积． 【答案】15 【分析】先求出直线的解析式，联立两个函数的解析式，求出点坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 联立，解得， ∴， ∴的面积． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)4 (3) 【分析】（1）把代入解析式，求出m的值，把点A的坐标代入求出k的值即可； （2）先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可； （3）根据函数图象求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）得， 直线的解析式为， 当时，，则， 设直线与轴交点为，当时，，则， ∴； （3）解：根据图象得，不等式的解集为：． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·北京·月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)画出一次函数的图象； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)1 【分析】（1）把，分别代入，求出点A、B的坐标即可； （2）连接，画出一次函数解析式即可； （3）利用三角形面积公式求出三角形面积即可． 【详解】（1）解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，，解得， 所以点的坐标为． （2）解：一次函数图象，如图所示： （3）解：∵；， ∴，， ∴． 【压轴素养题型】 【题型9】一次函数最优方案与利润最大化问题 1.核心知识点: 建立一次函数模型，结合不等式求自变量范围 由符号求函数最值 2.解题方法技巧: 设变量→列函数→列不等式→定范围→用增减性求最值 自变量最大则函数最大，相反 【例题9】.（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元． (1)求A、B两种笔记本的单价； (2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用． 【答案】(1)A种单价6元，B种单价5元 (2)，最少费用为525元 【分析】（1）设A种笔记本单价为x元，B种为y元，根据购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元，列出方程组进行求解即可； （2）根据A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的列出不等式求出的取值范围，根据总费用等于购买两种笔记本的费用之和，列出函数关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设A种笔记本单价为x元，B种为y元． 由题意，得， 解得； 答：A种单价6元，B种单价5元． （2）解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本， 由题意，解得 ， ∴W随m增大而增大， 故当时，W最小，为525元． 答：函数关系式为，最少费用为525元． 【变式题9-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元． (1)求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 【答案】(1)购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元． (2)购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元． 【分析】 （1）设甲种路灯单价x元，乙种路灯单价元，根据题意列分式方程求解即可，注意检验． （2）设购买甲种路灯m盏，则乙种盏，得到，求出m的取值范围，设购买总费用为w元．根据题意得，根据w随m的增大而减小，求出w取最小值即可． 【详解】（1）解：设购买1盏甲种路灯是x元，则购买1盏乙种路灯是元． 根据题意得， 解得． 检验：当时，， 是此方程的解，且符合题意． ． 答：购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元． （2）解：设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯盏． 根据题意得， 解得． 设购买总费用为w元． 根据题意得， ， ∴w随m的增大而减小， 时，． 答：购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元． 【变式题9-2】.（25-26九年级下·山东菏泽·期中）今年端午节来临之际，某商场预测一品牌枣粽能够畅销．根据预测，每千克枣粽节前的进价比节后多2元，节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节前每千克枣粽的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共准备购进枣粽500千克，且总费用不超过4800元，并按照节前每千克16元，节后每千克12元全部售出，那么该商场节前购进多少千克枣粽获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该商场节前每千克枣粽的进价是10元 (2)该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元 【分析】（1）根据节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相等这一等量关系，列出分式方程求解即可； （2）根据总费用不超过4800元列出不等式得到节前购进数量的取值范围，再列出利润关于购进数量的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【详解】（1）解：设该商场节后每千克枣粽的进价是元，则节前每千克枣粽的进价是元， 由题意得： 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则节前进价为 （元）， 答：该商场节前每千克枣粽的进价是10元． （2）解：设该商场节前购进千克枣粽，则节后购进千克枣粽， 由题意得： 解得， 设总利润为元， 由题意得： ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为 （元）， 答：该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． (2)共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． (3)最大利润的购进方案为购进型个，型个，最大利润为元． 【分析】（1）根据表格中的总费用信息，列二元一次方程组求解、两种冰箱贴的购进单价． （2）设购进型冰箱贴个，根据总费用限制和数量要求列一元一次不等式，求出符合条件的正整数解，得到所有购货方案． （3）根据利润关系列出总利润关于的一次函数，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案． 【详解】（1）解：设型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元， ， 解得， ∴型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． （2）解：设购进型冰箱贴个，则购进型冰箱贴个， ， 解不等式组得， ∵为正整数， ∴，，． 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有种购货方案：方案一：购进型个，型个； 方案二：购进型个，型个； 方案三：购进型个，型个． 答：共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． （3）解：设总利润为元， 单个型冰箱贴利润：元，单个型冰箱贴利润：元， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ， 此时对应方案为购进型个，型个． 【题型10】一次函数实际应用（计费/行程） 1.核心知识点: 从实际情境提取等量关系列一次函数 结合自变量实际意义确定范围 2.解题方法技巧: 找固定量（）与变量（），设 单位统一，结果检验是否符合实际 【例题10】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为________米； ②龙舟比赛先到达终点的是________队．（填“甲”或“乙”） (2)求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 【答案】(1)①1000米；②乙 (2)开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 【分析】（1）①根据函数图象，即可求解； ②根据函数图象，可以得出甲乙到达终点时间，即可求解； （2）解法1：求出甲队和乙队当时的函数解析式，然后联立即可求解； 解法2：求出甲队和乙队当时的速度，设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，根据相遇时走的路程相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：①从图象可以看出，这次龙舟赛的全程是1000米； ②从图象可以看出，乙队先到达终点； （2）解：解法1．设甲队路程米与时间分钟之间的关系式是， 依题意，得， ， ∴， 当时，设乙队路程米与时间分钟之间的关系式， 依题意，得， 解得， ∴， 解，得， 所以开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 解法2．， 当时，， 设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，则依题意，得 ， 解这个方程，得． 答：开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 【变式题10-1】.（2026·辽宁沈阳·一模）汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式； (2)如果加油前、加油后汽车都以的速度匀速行驶，加油站距离目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1) (2)油箱中的油够用，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解； （2）求出每小时消耗的油量，再求出加油后可行驶的路程，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：油箱中的油够用，理由如下： 每小时消耗的油量为， 加油后可行驶的路程为， ∵， ∴油箱中的油够用． 【变式题10-2】.（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 【答案】(1)25 (2) (3)43.25或44.25或48 【分析】（1）观察图象根据路程除以时间得出答案； （2）将点代入关系式，求出解即可； （3）先求出小兴对应的函数关系式，再分两种情况列出方程 ，求出解即可． 【详解】（1）解：∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴（分钟）； （2）解：桐桐开始骑车的时间为（分钟）， 桐桐骑车到达C景点的时间为（分钟）， 设桐桐骑车时距景点A的路程与时间的关系式为，且经过点根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：设小兴距景点A的函数关系式为，且经过点， ∴， 解得， ∴． 桐桐到达A景点前，两人相距140米， ∴， 解得或； 桐桐到达景点A之后，两人相距140米， 则， 解得， 所以当t是43.25，或44.25或48分时，两人相距140米． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·重庆·期中）某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动．如图①，“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动（两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶），两个社团同时出发且匀速行驶．已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图②表示的是两个社团离社区文化站的距离与行驶时间之间的函数图象．观察函数图象回答下列问题： (1)“书法社”骑自行车的速度为　　　； (2)求图象中a与b的值； (3)请求出P点的坐标，并说明点P表示的实际意义． 【答案】(1) (2)， (3)，它表示“书法社”和“音乐社”同学相遇的时间和距离社区文化站的距离 【分析】（1）根据速度=路程÷时间求解即可； （2）根据图象，得中央广场与区少年宫的距离为，区少年宫与社区文化站的距离为，根据公式计算即可； （3）利用待定系数法，相遇的意义求解即可． 【详解】（1）解：根据图象，得中央广场与社区文化站的距离为，“书法社”骑自行车用时间为， 故速度为； （2）解：根据题意，得旅游观光车的速度是自行车速度的3倍， 故旅游观光车的速度为； 根据图象得区少年宫与社区文化站的距离为，社区文化站与中央广场的距离为， 故“音乐社”从少年宫到文化站用时为， 即； 因为“音乐社”从社区文化站与中央广场用时为， 所以； （3）解：设“书法社”运动的图象解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为； 设返回文化站运动的图形解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为； 根据题意，得， 解得， 故. 点P表示的实际意义是“书法社”同学骑自行车从中央广场到社区文化站的途中，与“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从社区文化站前往中央广场的途中相遇． 【题型11】分段一次函数的理解与计算 1.核心知识点: 不同自变量范围对应不同解析式 分界点处函数值连续 2.解题方法技巧: 先看范围，选对应解析式 分界点单独验证，确保两段衔接 【例题11】.（2026·陕西西安·模拟预测）为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 (1)若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； (2)若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 【答案】(1) (2)25 【分析】（1）根据阶梯水价制度，分段计算水费可得关系式； （2）根据水费可知用水量超过了20吨，再代入关系式求出答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 所以y与x的函数关系式为； （2）解：∵，且， ∴将代入，得， 解得， 所以小滨家3月份的用水量是25吨． 【变式题11-1】.（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 【变式题11-2】.（2026·陕西渭南·一模）某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示： 时段 电价（元/千瓦时） 谷段（晚上~次日） 峰段（白天~） 某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元． (1)写出与之间的函数解析式； (2)若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费． 【答案】(1) (2)每月总电费为元 【分析】（1）先根据表格计算出每天的电费，乘以即可得到与之间的函数解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意，每天消耗的谷段的电量为千瓦时，则消耗的峰段的电量为千瓦时， ∴每天的电费为（元）， ∴每月总电费； （2）解：当时，（元）． 答：每月总电费为元． 【变式题11-3】.（2026九年级·吉林·专题练习）某通信公司推出A，B两种套餐（按月计费），具体资费如下表所示： 套餐A 套餐B 套餐基础费/元 129 159 套餐内免费流量/GB 30 40 套餐外流量价格/（元/GB） 使用套餐A，B每月所需的费用（元），（元）关于每月使用的流量的函数图象如图所示，已知当时，两函数图象重合． 请你根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：_________，_________； (2)请分别求出，关于的函数解析式； (3)该通信公司决定推出一个免费流量为的新套餐C（按月计费），套餐外流量单价同套餐A．若要当时，使用套餐C每月的花费比使用套餐A每月的花费少30元，则套餐C的基础费应该定为多少元？ 【答案】(1)3；40 (2)； (3)套餐的基础费应该定为189元 【分析】（1）当时，两函数图象重合，此时满足套餐刚结束免费流量阶段，即可得；再根据套餐基础费为元，套餐内免费流量为，即可求出； （2）两直线均为分段函数，根据（1）中、的值可直接求出两直线的解析式； （3）设套餐的基础费为元，根据使用套餐每月的花费比使用套餐每月的花费少元可得关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：；． 根据图象可知，，． （2）解：当时，， 故 由题意，得当时，， 故 （3）解：设套餐的基础费为元， 根据题意，得， 解得． 答：套餐的基础费应该定为元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是根据表中数据画出函数图象并求出函数解析式． 【题型12】一次函数动点与图象探究问题 1.核心知识点: 动点运动过程中线段、面积的函数关系 分段分析不同运动阶段 2.解题方法技巧: 按运动路径分段，每段设时间表示线段长 用面积公式列函数，结合图象拐点分析 【例题12】.（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点． (1)求直线的函数表达式； (2)动点P的横坐标，纵坐标，则y关于x的函数关系式为_____； (3)若直线与线段（包含端点）有交点，求a的取值范围； (4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线与直线、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)7或1或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据点P的横纵坐标解答即可； （3）分别求出直线过点B，A是函数解析式，即可； （4）求出直线与直线、y轴及直线l有三个交点分别为，，，然后分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵动点P的横坐标，纵坐标， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：设直线的解析式为， 当直线过点时，， 解得：， ∴此时直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：； 当直线过点时，， 解得：， ∴此时直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：； ∴a的取值范围为； （4）解：由（1），（2）得：直线的函数表达式为，直线l的解析式为， ∴直线与直线、y轴及直线l有三个交点分别为，，， 当和关于点对称时，， 解得：； 当和关于点对称时，， 解得：； 当和关于点对称时，， 解得：； 综上所述，t的值为7或1或． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图，已知直线经过点，，直线与直线交于点A，直线与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)求点A的坐标； (3)如图，点P为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E．当为直角三角形时，求点P的坐标； (4)点M是直线上一动点，点N是直线上一动点，且满足为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）联立直线的函数表达式解方程组即可求解； （3）当为直角三角形有两种情况，讨论如下：①时，由翻折可得，，过点作于点，则为等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质求解；②时，即轴，则，由翻折可得，，，那么，设，则，，再对运用勾股定理建立方程求解； （3）分两种情况讨论，添加辅助线构造全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵直线与直线交于点A， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵直线与 x轴交于点C． ∴当，则， 解得， ∴ 当为直角三角形有两种情况，讨论如下： ①时，如图， ∴， 由翻折可得， 过点作于点，则为等腰直角三角形， ∵ ， ∴点的坐标为； ②时，即轴，如图， ∵， ∴， 由翻折可得，，， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上：点的坐标为或； （4）解：设 ①当点M在第二象限时，过点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，如图： 则， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入，则， 解得， ∴； ②当点M在第一象限时，过点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，如图： ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入，则， 解得， ∴， 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求解函数解析式，勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点． 【变式题12-2】.（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线与直线交于点E，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求点B与点E的坐标； (2)点P是线段上一动点，点F为x轴上一动点，连接，，，当面积为4时． ①求点P的坐标； ②直接写出的最小值； (3)如图2，点Q为线段的中点，连接和，在x轴是否存在动点M，使得，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）先求出点C的坐标，可得点B的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立两函数解析式，即可求出点E的坐标； （2）①根据图形得出，可得点P的坐标；②根据将军饮马即可求出最小值； （3）分两种情况：当点M在点C的左侧时，当点M在点C的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，，解得：， ∴点，即， ∵， ∴，即， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴点； （2）解：①∵，， ， ， ， 此时， ， ； ②如图，作关于轴对称点，则点， 此时，当且仅当、、三点共线时取等， 此时最小值为， 即最小值为； （3）解：∵点Q为线段的中点，， ∴点，即， 如图，当点M在点C的左侧时， 由（1）得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 如图，当点M在点C的右侧时， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【变式题12-3】.（24-25八年级下·河南洛阳·月考）【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①②8（2）（3）或 【分析】（1）①根据解析式确定，，得到，解答即可． ②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，利用三角形全等判定证明，利用勾股定理解答即可． （2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，则四边形为矩形，根据一线三直角全等模型解答即可． （3）分在x轴的上方，下方，结合全等模型解答即可． 【详解】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点． ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． ②解：根据垂线段最短，得到时, 取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． （2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， 解得． ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）解：当在x轴的上方时，过点P作于点M， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 当在x轴的下方时，过点P作于点N， 同理可证， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 综上所述，所有符合条件的点的坐标或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂线段最短，待定系数法，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 易错点 1.概念混淆：分不清一次函数与正比例函数，忽略条件。 2.平移出错：左右平移时只对变，漏加括号导致符号错误。 3.象限判断：只看或只看，未结合两者综合判断。 4.数形结合：方程解与交点、不等式解集与图象位置对应错误。 5.实际应用：忽略自变量非负、整数等实际意义限制。 重点 1.一次函数与正比例函数的定义、图象与性质。 2.待定系数法求一次函数解析式。 3.一次函数的增减性及函数值比较。 4.一次函数与方程、不等式的综合应用。 5.一次函数在实际问题中的建模与求解。 难点 1.含参数一次函数的分类讨论与图象分析。 2.一次函数与几何图形面积、动点问题综合。 3.最优方案、利润最值等实际问题建模。 4.数形结合思想在复杂题型中的灵活运用。 5.跨学科、新情境下一次函数关系的提取与应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各点中，在函数的函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入函数解析式，计算得到的纵坐标与点的纵坐标比较，相等即为所求． 【详解】解：A、将代入得，∴A不符合； B、将代入得，∴B不符合； C、将代入得，∴C不符合； D、将代入得，与点的纵坐标相等，∴D符合要求． 2．已知是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】对于一次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，结合两点横坐标的大小即可判断和的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而增大， 又， ． 3．已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（   ） x 0 2 3 y m 9 A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】利用已知的x与y的对应值求出一次函数解析式，再将代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：设该一次函数解析式为， 由表可知，当时，，可得， 将代入解析式得， 解得， 因此该一次函数解析式为， 将代入解析式得， 即． 4．已知一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】图象法求不等式的解集即可. 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为. 二、填空题 5．写出一个函数随自变量增大而增大的正比例函数解析式________． 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【分析】根据当时，随自变量增大而增大，取大于的值即可得到符合要求的解析式． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， ∵随自变量增大而增大， ∴， ∴可以取， ∴符合条件的正比例函数解析式为． 6．若点在函数的图象上，则______． 【答案】0 【分析】把点A的坐标代入函数解析式中计算求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴． 7．将直线向下平移2个单位长度得到的直线解析式是______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”规律求解即可． 【详解】解由题意得． 8．在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标___________溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线：描述，污染物浓度由直线：描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围___________． 【答案】 【分析】先将交点P的坐标代入直线：的解析式求出 m 的值，确定交点坐标，然后观察函数图像，找出直线 在直线 上方（包括交点）部分对应的自变量 x的取值范围即可． 【详解】解：∵点在直线：上， ∴，解得， ∴ 交点 P的坐标为由函数图像可知，当 时，直线 的图像在直线 的图像上方或重合，即溶解氧浓度不低于污染物浓度 ∴ x的范围是 ． 三、解答题 9．某校初级为打造“书香校园”，准备购买一批图书．甲书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书的总价可打折：乙书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书的总价可打折． (1)设所购图书的原价为元，选择甲书店时，所需的费用为元，选择乙书店时，所需的费用为元，则，关于的一次函数关系式分别为：_________，_________． (2)你认为年级选择哪个书店购书更合算？ 【答案】(1) ， (2) 当所购图书原价小于元时，选择甲书店购书更合算；当所购图书原价等于元时，两家书店购书费用相同；当所购图书原价大于元时，选择乙书店购书更合算 【分析】（1）根据两个书店的优惠规则，列出总费用关于图书原价的一次函数关系式； （2）通过比较两个函数值的大小，分情况讨论得到不同原价下更合算的购书方案． 【详解】（1）解：根据题意得，， ； （2）解：分三种情况讨论： 令，即，解得，此时选择甲书店购书更合算； 令，即，解得，此时两家书店费用相同； 令，即，解得，此时选择乙书店购书更合算． 答：当所购图书原价小于元时，选择甲书店购书更合算；当所购图书原价等于元时，两家书店购书费用相同；当所购图书原价大于元时，选择乙书店购书更合算． 10．某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 【答案】(1)当时，甲乙两商店一样合算，当时，选择乙商店更合算，当时，选择甲商店更合算 (2)选择甲商店更合算，即到乙商店购买不合算 【分析】（1）分别求出该公司购买纪念品的件数是件时，、与之间的函数关系式，然后根据购买的件数分情况讨论； （2）分别求出在甲、乙两个商店购买件纪念品所需费用，通过比较选择确定哪个商店更合算． 【详解】（1）解：设该公司购买纪念品的件数是件，选择甲商店时所需的费用为元，选择乙商店时，所需的费用为元， 根据题意得：，， 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 当时，甲乙两商店一样合算， 当时，选择乙商店更合算， 当时，选择甲商店更合算； （2）解：当时， 可得：，， ， 到甲商店购买件纪念品更合算，到乙商店购买件纪念品不合算． 11．2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”．某校计划开展趣味数学活动，数学老师欲购买汉诺塔作为活动道具，已知文具店里汉诺塔售价为15元套，文具店的优惠方案如下：一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折．设数学老师购买套汉诺塔，购买费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买多少套汉诺塔？ 【答案】(1) (2)能购买15套汉诺塔 【分析】（1）根据“一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折”进行求解即可； （2）先判断购买的数量是否大于10套，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，当时，费用为， 当时，费用为． 与之间的函数关系式为； （2）解：， 数学老师的购买数量大于10套． 令， 解得， 答：若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买15套汉诺塔． 12．阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； (2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）先根据等距点定义，得出线段的等距点在的垂直平分线上，筛选出横坐标为的；再根据完美等距点需满足 的要求，用勾股定理逆定理验证，做出判断； （）先根据点在直线上且在第三象限、的条件，代入直线方程和两点间距离公式求出点坐标；再根据在轴上且为线段的等距点，利用列方程，解出点的纵坐标，得到其坐标； （）根据“完美等距点”定义，先设出直线上点的坐标，再结合同时为线段 的“完美等距点”的条件，利用垂直平分线的几何关系利用数形结合可得． 【详解】（1）解：线段端点、，“等距点”满足 ， 因此等距点在的垂直平分线上， 四个点中横坐标为的是、 、 ， ∴这三个是等距点， “完美等距点”还需要满足 ， 由勾股定理逆定理：点： ，，，，符合； 同理可得： ： ，不符合； ： ，不符合； ∴完美等距点只有； （2）解：∵在上， ∴， ∵在第三象限， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ， 解得：， ∴ ，即 ， 设 ，是的等距点， ∴，即：， 整理，得 ， 解得：， ∴坐标为； （3）解：∵点是直线上， ∴ （，第一象限）， ∵点是线段的“完美等距点”， ∴满足，， 此时四边形为正方形， ∵是轴上一个动点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”． 如图：是的垂直平分线，是的垂直平分线，交于点， ∴点在过且与轴成的两条互相垂直的直线上， 当点与点重合时， ∵，点的坐标为， ∴，， ∴ ∴, ∴， ∴当正方形与过且与轴成的两条互相垂直的直线有交点时， ∴. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $