第23章 一次函数 微专题 讲义 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第23章一次函数 微专题1 利用一次函数图象求不等式解集 图象 条件 已知直线. 与直线 交于点 A 结论 不等式 的解集为. ；不等式. 的解集为 1.如图，一次函数 的图象与x轴交于点D，一次函数 的图象与x轴交于点A,且经过点 B(3,1),两函数图象交于点 C(m,2). (1)求m的值和一次函数. 的解析式； (2)根据图象，直接写出.kx+b>2x-2的解集. 2.一次函数. 和 的图象如图所示,且A(0,4),C(-2,0). (1)由图可知，不等式kx+b>0的解集是 ； (2)若不等式kx+b>-4x+a的解集是x>1. ①求点 B的坐标； ②求 a 的值. 微专题2 一次函数与三角形面积1 图象 条件 当所求三角形的一边在坐标轴上时 结论 如图①, 如图②， 1.如图，已知直线 与坐标轴交于A，C两点，直线 与坐标轴交于B，D两点，两直线的交点为 P. (1)求点 P 的坐标; (2)求 的面积； (3)利用图象求当 时，x的取值范围. 2.如图，一次函数 与 的图象相交于点 A. (1)求点 A 的坐标; (2)若一次函数 与 的图象与x轴分别相交于点B，C，求 的面积； (3)结合图象，直接写出 时，x的取值范围. 微专题3 一次函数与三角形面积2 图象 结论 如图①， )或 如图②， 1.如图,直线y= kx+b与坐标轴交于A(0,2),B(1,0)两点,直线 与坐标轴交于C,D两点. (1)求不等式 的解集； (2)求四边形OBEC的面积. 2.如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)不等式 kx+b<0的解集是 ; (2)求两个一次函数的解析式； (3)若直线l₁分别交x轴、y轴于点M,A,直线 l₂分别交x轴、y轴于点B,N,求点 M的坐标和四边形OMPN 的面积. 微专题4 一次函数与三角形面积3 【模型】由图形的面积为定值，求点的坐标. 【方法】(1)设出要求的点的坐标，一般用一个未知数表示； (2)用含有未知数的式子表示出已知图形的面积； (3)由已知图形的面积为定值列出关于未知数的方程； (4)解方程求出未知数的值，即可得到点的坐标. 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 AB: 与直线CD:y= kx-2相交于点 M(4,a),分别交坐标轴于点 A,B,C,D. (1)求a和k的值; (2)如图，点 P 是直线CD 上的一个动点，当 时，求点 P 的坐标； (3)直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点 N，使得以 BF 为一边，以点 B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，求点 N 的坐标. 2.如图①，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线 与x轴交于点A，与 y轴交于点B，与直线 交于点 P.点 C为直线 与x轴的交点. (1)求点 P的坐标; (2)点 D是y轴上一动点，当 时，求点 D的坐标； (3)如图②，点Q是线段CA上的一个动点(点Q不与点C，A重合)，过点Q作平行于y轴的直线l,分别交直线AB,PC于点M,点 N,设点Q的横坐标为m,当NQ=2MN时，求m的值. 微专题5 一次函数与三角形面积4 【模型】由图形间的面积的数量关系求点的坐标. 【方法】一般先由图形间面积的数量关系求得点的横坐标或纵坐标，再将求得的横坐标或纵坐标代入函数解析式求得点的坐标. 1.如图，直线 分别交x轴和y轴于点A 和点 B，直线 过点 B 且与x轴交于点C，且( OC=2OA. (1)求直线 BC的函数解析式； (2)若点 D 为线段CB 上一动点,当 时，求点 D 的坐标； (3)若P，Q为平面内两点，满足四边形 ABPQ为正方形，求所有满足条件的点 P 的坐标. 2.如图①，在平面直角坐标系中，直线AB: 与直线AC:y= kx-4相交于点 与x轴交于点B(4,0),直线AC与x轴交于点C. (1)求k,b,m的值. (2)如图②，P是y轴负半轴上一动点，过点 P作y轴的垂线，分别交直线AB，AC于点D,E,且DE=OB,连接AP.设点 P的坐标为(0,n). ①点 D的坐标为 ，点 E的坐标为 ；(用含 n的代数式表示) ②求点 P 的坐标. (3)在(2)的条件下，线段 BC上是否存在点Q，使 若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由. 微专题1 利用一次函数图象求不等式解集 1.解:(1)∵两函数图象交于点 C(m,2), ∴把点C的坐标代入y=2x-2,得2=2m-2,解得m=2,即C(2,2). ∵一次函数 的图象经过点B(3,1),C(2,2), 解得 ∴一次函数 的解析式是y=-x+4. (2)由图象得,不等式 kx+b>2x-2的解集是x<2. 2.(1)x>-2 (2)解:①∵A(0,4),C(-2,0)在一次函数y₁= kx+b上, 解得 ∵不等式 kx+b>-4x+a的解集是x>1, ∴点B的横坐标是x=1， 当x=1时, ∴点B的坐标为(1,6). ②∵直线 过点B(1,6), ∴6=-4×1+a,解得a=10,即a的值是10. 微专题2 一次函数与三角形面积1 1.解:(1)当. 时,有2x+1=-x-2, 解得x=-1,∴y=-1,∴P(-1,-1). (2)令x=0,得. ∴A(0,1),B(0,-2),∴AB=3, (3)由图象可知,当y₁>y₂时,x的取值范围是x>-1. 2.解:(1)解方程组 得 ∴点A 的坐标为(1,-3). (2)当y₁=0时,-x-2=0,∴x=-2, 则点B的坐标为(-2,0). 当 时,x-4=0,∴x=4,则点C的坐标为(4,0). ∴BC=4-(-2)=6, ∴△ABC的面积 (3)根据图象可知,y₁≥y₂时,x的取值范围是x≤1. 微专题3 一次函数与三角形面积2 1.解:(1)根据题意,得 解得 故直线AB的函数解析式是y=-2x+2. 由 解得 故点E的坐标是(2,-2). 由图象可知,x<2时,直线y= kx+b在直线. 的上方，故不等式 的解集是x<2. (2)在 中,当x=0时,y=-3, 当y=0时,x=6, ∴点C的坐标是(0,-3),点 D的坐标是(6,0), 2=4. 2.(1)x>3 (2)解:把A(0,-1),P(1,1)分别代入y= mx-n, 得 解得 所以直线l₁的函数解析式为y=2x-1. 把 P(1,1),B(3,0)分别代入y= kx+b, 得 解得 所以直线 l₂的函数解析式为 (3)解:当y=2x-1=0时,解得 所以点M的坐标为( ,0). 当x=0时, 则点 N的坐标为((0, ), 所以四边形OMPN的面积 微专题4 一次函数与三角形面积3 1.解：(1)将点 M的坐标代入 并解得a=1,故点M(4,1), 将点M的坐标代入y= kx-2,得4k-2=1,解得 (2)由(1)得直线CD的函数解析式为 则点 D(0,-2), ∴△PBM的面积 解得xp=-4或 xp=12, 故点 P 的坐标为(-4,-5)或(12,7). (3)设点F的坐标为 点N(a,b),由题易知,点 B,D的坐标分别为(0,3),(0,-2),则BD=5, 当 BD是边时， 若点 F 在点N 的上方,则BD=BF, 解得 则点 F的坐标为( 或 ∵BD=5,∴点 N在点F 的正下方5个单位长度, ∴点 或 若点 F在点N 的下方，则BF是对角线，不符合题意. 当 BD为对角线时，点F，N的纵坐标为 由 解得x=5, ∴点F(5, ),∴点 综上，点N 的坐标为 或 或 2.解:(1)∵直线 与直线 交于点P，∴联立方程组 解得 ∴点 P 的坐标为(4,9). (2)如答图,设点 D 的坐标为(0,d),点 E 为直线y= 与y轴的交点， 令x=0,则 令y=0,则 解得x=-8. ∴点C的坐标为(-8,0),点 E的坐标为(0,6), ∴DE=|d-6|, 由题意得 8)=9,解得 或 ∴点D的坐标为(0， )或( (3)∵MN∥y轴,点 Q的横坐标为m, ∴Q，M，N 三点的横坐标都为m，∴点 M 的坐标为 点N的坐标为 由题意得 整理得 或 解得m=8或- 微专题53 一次函数与三角形面积4 1.解:(1)由直线 分别交x轴和y轴于点A和点B,知A(2,0),B(0,4), 则OC=2OA=4,∴点C(-4,0). 设直线 BC的函数解析式为y=kx+4， 将点C的坐标代入上式得0=-4k+4,则k=1, ∴直线 BC 的函数解析式为y=x+4. (2)如答图①,过点O作OD∥l₁交l₂于点 D,∵OC=2OA,∴ ∴点 D为所求点. 可知直线OD的函数解析式为y=-2x, 联立上式和直线l₂的函数解析式得x+4=-2x， 解得 则点 (3)当点 P在点B 上方时,如答图②,过点 P 作PM⊥y轴于点M. 由(1)知OA=2,OB=4. ∵四边形ABPQ为正方形,∴BA=BP,∠ABP=90°, ∴∠MBP+∠OBA=90°,又∠OBA+∠OAB=90°, ∴∠MBP=∠OAB, ∵∠BOA=∠PMB=90°,∴△BOA≌△PMB(AAS), ∴MP=OB=4,BM=AO=2,则点 P(4,6). 当点 P(P')在点 B的下方时,同理可得,点 P(-4,2).综上,P(4,6)或(-4,2). 2.(1)解:把B(4,0)代入 得 解得b=-2，∴直线AB的函数解析式为 把 代入 得 解得 即 把 代入y= kx-4,得 解得k=-2. ②解：由①知 则 ∵B(4,0),∴OB=4, 由 DE=OB,得 解得n=-4或 ∴点 P 的坐标为((0,-4)或 (3)解:由(2)可知点 P 的坐标为(0,-4)或( 当点 P 的坐标为(0,-4)时,点 D(-4,-4),则DP=4, ∵S△ABQ=S△APD,点 Q在线段BC上,且 B(4,0), 即 解得 即 当点 P 的坐标为( 时，点 则 点Q在线段BC上,且B(4,0), 即 解得 即 综上，当点 P 的坐标为(0，-4)时，点Q 的坐标为( ,₀),当点 P 的坐标为 时，点Q 的坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $