-2025-2026学年人教版八年级数学下册 一次函数中的特殊三角形、特殊四边形存在性问题 讲义

该初中数学讲义通过考点目录表格与分层知识梳理构建一次函数中特殊图形存在性问题的系统体系，涵盖特殊三角形（等腰、直角、等腰直角）和特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的核心知识点、解题原理及步骤化思路，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于例题与变式训练的梯度设计，如等腰三角形分三边相等分类讨论、平行四边形用中点坐标公式求解等题型，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言（模型意识）。每个专题配套解题步骤与检验方法，基础学生可掌握规范思路，优秀学生能深化分类讨论能力，为教师实施精准分层教学提供有力支持。

一次函数中的特殊三角形、特殊四边形存在性问题讲义 一次函数中的特殊三角形、特殊四边形存在性问题讲义 考点目录 一次函数中的特殊三角形存在性问题 一次函数中的特殊四边形存在性问题 考点一 一次函数中的特殊三角形存在性问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 常见三角形：等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形 1. 必备公式：一次函数解析式、两点间距离公式 1. 定点+动点：已知两定点，第三点在直线/坐标轴上运动 1. 分类依据：等腰分三边两两相等；直角分三个顶点为直角顶点 二、解题原理 利用坐标表示线段长度，结合特殊三角形边角特征列方程，通过代数计算求出动点坐标。 三、解题思路 1. 求出已知点坐标与直线解析式，设出动点坐标 1. 分类讨论所有成立情况，不漏情况 1. 用距离公式/垂直斜率关系列等式 1. 解方程求出参数，算出坐标 1. 检验点是否在指定直线/线段上，舍去不合理解 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解，即可解题； （2）设点的坐标为，根据等腰三角形定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论计算即可． 【详解】（1）解：与轴交于点， ， 解得， 直线的表达式为； （2）解：存在，理由： ，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形， 当时， ∵， 点的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 当时， 设点的坐标为， 则， 解得， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或． 例2．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或或或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰三角形的定义是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据勾股定理可进行求解； （3）由题意可分当点P在x轴和在y轴上，然后结合等腰三角形的定义进行分类求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由题意得：， ∴； （3）解：由题意可分：①当点P在y轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； ②当点P在x轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； 综上所述：点P的坐标为或或或或或． 例3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先利用正比例函数的解析式求出点，再代入一次函数的解析式求出的值； （2）结合图象判断的取值范围即可； （3）分类讨论，当点为直角顶点时，由可直接得出点的坐标；点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则，利用勾股定理求出和，再构造方程求出的值． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得，， 解得； （2）解：由图可知，点的右侧部分，一次函数的图象低于正比例函数的图象， ∴当时，的取值范围为； （3）解：∵与轴不垂直， ∴点不是直角顶点， ①当点为直角顶点时，如图， ∵， ∴点的坐标为； ②当点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则， 由勾股定理可得，，， 在中，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线交x轴于点B． (1)求m，b的值； (2)点C是坐标轴上的点，当是等腰三角形时，求点C的坐标； 【答案】(1)， (2)或或或或或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的定义，勾股定理． （1）将代入求出，再代入求出即可； （2）根据勾股定理求出，分两种情况根据等腰三角形的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：已知：：和：交于点， ∴ ∴． 又A在上： ； （2）解：已知：A， 则 ∴ ∵点C在坐标轴上，分两种情况： 当点C在x轴上，设 ①： 解得：或， 当时点C和点B重合(舍去) ∴ ②： ∴ ∴ ③： ∴ 解得 ∴ 当C在y轴上，设， ④： ∴ ∴ 即 ⑤∶ ∴(无解) ⑥∶ 化简得 解得 综上所述，点C的坐标为或或或或或或 变式2．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点． (1)求一次函数的表达式． (2)点在一次函数的图象上．若是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据直角三角形确定点的坐标，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）分两种情况进行讨论，根据直角三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 一次函数的表达式为； （2）解：①当时， 点在一次函数图象上． 解得， ， 且是轴上的动点， ； ②当时， 过点作，垂足为， 由（1）得则，， 设，则， 由勾股定理得，， ， ，由勾股定理得， ， 解得， ， ； 综上，点的坐标为或． 变式3．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求k的值及点A的坐标； (2)在x轴上是否存在一点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）把代入，求出的值，待定系数法求出k的值，令，求出点A的坐标即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得，解得， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：存在； ①当时，则：轴， ∵， ∴； ②当，作轴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴， ∴； 综上：或． 考点二 一次函数中的特殊四边形存在性问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 常见图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形 1. 核心结论： · 平行四边形：对角线中点重合（中点坐标公式） · 矩形：邻边垂直+对边平行 · 菱形：四边相等+对角线垂直平分 · 正方形：兼具矩形与菱形性质 1. 题型：两定点找另外两点、三定点找第四个顶点 二、解题原理 依托平行四边形坐标核心性质，利用中点平分、平行、垂直、边长相等建立方程，确定未知顶点坐标。 三、解题思路 1. 确定已知点坐标，分清定点与动点 1. 确定线段为边还是对角线，分情况讨论 1. 用中点坐标公式优先解平行四边形 1. 加垂直/相等条件判定矩形、菱形、正方形 1. 计算坐标，验证位置与范围，整理答案 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 例2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A、C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位长度，得到平行四边形，其中边与x轴交于点G，边与交于点H． (1)请直接写出点N，M的坐标以及直线的表达式__________． (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形，请求出重叠部分的面积． (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使以点O、N、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）由平移的性质即可求得点N，M的坐标，根据待定系数法即可求得直线的表达式； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；对于直线的解析式为，令，求出，则，过点M作轴于F，则，，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 故答案为：， （2）解：过点M作轴于F， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 例3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形．    (1)请你直接写出点N，M的坐标； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是______，重叠部分的面积是______； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形 【分析】（1）由平移的性质进行求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为， 故答案为：平行四边形，；    （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【变式训练】 变式1．（24-25八年级下·湖南·期中）定义：对于给定的一次函数（，，为常数），把形如（，，为常数）的函数称为一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”．例如：一次函数，它的“沉毅函数”为． (1)若点在一次函数的“沉毅函数”图象上，求的值； (2)如图，平行四边形的顶点坐标分别为，，，，一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”图象与平行四边形交于M，N，P，Q四点，其中点坐标是，，的横坐标分别为，，请求出的值； (3)一次函数：（，，为常数），其中，满足． （ⅰ）若有另一个一次函数（），设函数，，函数的最大值为8，求的值； （ⅱ）当时，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，点在的“沉毅函数”图象上，是否存在以E，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)3 (3)（ⅰ）或；（ⅱ）存在，或或或 【分析】本题主要考查一次函数的基本性质，利用平行四边形的性质求解，理解新定义“沉毅函数”，进行分情况分析是解题关键． （1）根据题意确定，然后将点E代入求解即可； （2）根据题意整理得，然后代入一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”，确定点M和N的纵坐标分别为3和1，确定其横坐标为，即可求解； （3）（ⅰ）根据题意确定，分别代入两个一次函数得出，然后分两种情况分析：当时，即时，当时，即时，结合一次函数的性质求解即可； （ⅱ）根据题意确定，得出的“沉毅函数”为，然后分两种情况分析：当以为边，当以为对角线时，分别利用平行四边形的性质列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数为“沉毅函数”， ∴， 将点代入得：； （2）根据题意得：点坐标在上， ∴， ∴， ∴一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”为：， ∵，，，， ∴点M和N的纵坐标分别为3和1， ∴当时，解得， ∴； 当时，解得， ∴； ∴， ∴； （3）（ⅰ）∵， ∴， ∴，， ∴， 当时，即时，y随x的增大而增大， ∵，函数的最大值为8， ∴当时，， 代入得：，解得：； 当时，即时，y随x的增大而减小， ∵，函数的最大值为8， ∴当时，， 代入得：，解得：； 综上可得：或； （ⅱ）根据题意，联立得：， 解得：， ∴， ∴的“沉毅函数”为， 当以为边，当点H在上时， 设， ∵，， ∴，解得， ∴； 当点H在上时，同理得：； 当以为对角线时，点H在上时， ∴，解得， ∴； 当点H在上时，同理得：； 综上可得：或或或 ． 变式2．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，平行四边形的性质，一次函数与几何图形的综合应用： （1）根据平移规则，求出的坐标即可； （2）求出直线的解析式，设，分分别为对角线进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段，，， ∴，即：； 故答案为：； （2）存在， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，， ∴， 设，当以为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况进行讨论， 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 综上：或或． 变式3．（25-26八年级下·江苏淮安·月考）如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA=8，OB=6，AD=12，E是线段OD的中点． (1)直接写出点C，D的坐标； (2)求直线AE的关系式； (3)平面内是否存在一点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C（6，0），D（12，8） (2) (3)存在，F坐标为：（-6，4）或（18，4）或（6，12） 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，根据题意可得OC=6，点A的坐标为（0，8），点D的坐标为（12，8），即可得点C的坐标为（6，0）； （2）根据E是线段OD的中点得E（6，4），设直线AE的关系式为：，根据直线AE经过点A,点E，即可得，进行计算即可得； （3）分情况讨论：①当EF为平行四边形的边时，根据对边相等即可得；②当EF为平行四边形的对角线时，根据对角线互相平分即可得． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵点B、C都在x轴上，点A在y轴上，，， ∴，点A的坐标为（0，8），点D的坐标为（12，8）， ∴点C的坐标为（6，0）； （2）解：∵E是线段OD的中点， ∴E（6，4）， 设直线AE的关系式为：， ∵直线AE经过点A,点E， ∴ 解得，， ∴直线AE的关系式：； （3）存在，F坐标为（-6，4）或（18，4）或（6，12） 解：①如图所示，当EF为平行四边形的边时， ， ∴点F的坐标为：（-6，4）或（18，4）， ②如图所示，当EF为平行四边形的对角线时， 则， 即点F的坐标为：（6，12）， 综上，点F的坐标为：（-6，4）或（18，4）或（6，12）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数中的特殊三角形、特殊四边形存在性问题讲义 一次函数中的特殊三角形、特殊四边形存在性问题讲义 考点目录 一次函数中的特殊三角形存在性问题 一次函数中的特殊四边形存在性问题 考点一 一次函数中的特殊三角形存在性问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 常见三角形：等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形 1. 必备公式：一次函数解析式、两点间距离公式 1. 定点+动点：已知两定点，第三点在直线/坐标轴上运动 1. 分类依据：等腰分三边两两相等；直角分三个顶点为直角顶点 二、解题原理 利用坐标表示线段长度，结合特殊三角形边角特征列方程，通过代数计算求出动点坐标。 三、解题思路 1. 求出已知点坐标与直线解析式，设出动点坐标 1. 分类讨论所有成立情况，不漏情况 1. 用距离公式/垂直斜率关系列等式 1. 解方程求出参数，算出坐标 1. 检验点是否在指定直线/线段上，舍去不合理解 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 例3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线交x轴于点B． (1)求m，b的值； (2)点C是坐标轴上的点，当是等腰三角形时，求点C的坐标； 变式2．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点． (1)求一次函数的表达式． (2)点在一次函数的图象上．若是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 变式3．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求k的值及点A的坐标； (2)在x轴上是否存在一点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 一次函数中的特殊四边形存在性问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 常见图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形 1. 核心结论： · 平行四边形：对角线中点重合（中点坐标公式） · 矩形：邻边垂直+对边平行 · 菱形：四边相等+对角线垂直平分 · 正方形：兼具矩形与菱形性质 1. 题型：两定点找另外两点、三定点找第四个顶点 二、解题原理 依托平行四边形坐标核心性质，利用中点平分、平行、垂直、边长相等建立方程，确定未知顶点坐标。 三、解题思路 1. 确定已知点坐标，分清定点与动点 1. 确定线段为边还是对角线，分情况讨论 1. 用中点坐标公式优先解平行四边形 1. 加垂直/相等条件判定矩形、菱形、正方形 1. 计算坐标，验证位置与范围，整理答案 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A、C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位长度，得到平行四边形，其中边与x轴交于点G，边与交于点H． (1)请直接写出点N，M的坐标以及直线的表达式__________． (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形，请求出重叠部分的面积． (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使以点O、N、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形．    (1)请你直接写出点N，M的坐标； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是______，重叠部分的面积是______； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（24-25八年级下·湖南·期中）定义：对于给定的一次函数（，，为常数），把形如（，，为常数）的函数称为一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”．例如：一次函数，它的“沉毅函数”为． (1)若点在一次函数的“沉毅函数”图象上，求的值； (2)如图，平行四边形的顶点坐标分别为，，，，一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”图象与平行四边形交于M，N，P，Q四点，其中点坐标是，，的横坐标分别为，，请求出的值； (3)一次函数：（，，为常数），其中，满足． （ⅰ）若有另一个一次函数（），设函数，，函数的最大值为8，求的值； （ⅱ）当时，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，点在的“沉毅函数”图象上，是否存在以E，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26八年级下·江苏淮安·月考）如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA=8，OB=6，AD=12，E是线段OD的中点． (1)直接写出点C，D的坐标； (2)求直线AE的关系式； (3)平面内是否存在一点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $