第23章 专题特训 一次函数与特殊三角形、四边形综合的存在性问题【选做】（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

专题特训 一次函数与特殊三角 1.(南岸区期末)如图，在平面直角坐标系中， 函数y=kx十b(k≠0)与函数y=一kx一1的 图象交于点A(2,1). (1)求k,b的值； (2)若函数y=一kx一1的图象与y轴交于 点B,函数y=kx十b的图象与y轴交于 点C,求线段BC,AB的长； (3)在x轴上存在点P,使△ABP是以AB 为直角边的直角三角形，求满足条件的 点P坐标. 形、四边形综合的存在性问题【选故】 2.如图，一次函数y=.x十b与x轴相交于点 A(-2,0),与y轴相交于点B(0,4). (1)求一次函数的解析式. (2)已知点C(1,1),平面内是否存在一点D, 使A,B,C,D四点构成平行四边形？若 存在，求出点D的坐标；若不存在，请说 明理由. 第二十三章-次函数113 3.如图，直线y=kx十b交两坐标轴于点A(4, 0),B(0,3) (1)直线y=kx+b的函数解析式为 (2)点C的坐标为(-3，一1)，连接BC.求 证：AB⊥BC,且AB=BC (3)在(2)的条件下，D为平面直角坐标系内 一点，当四边形ABCD为正方形时，求点 D的坐标. 4.(重庆八中期中)如图①，在平面直角坐标系 中，直线l1:y=一x十b与x轴交于点A,与 y轴交于点B,与直线2：y=kx交于点C(2, 4).点D(4,0)是x轴上一点，过点D作x轴 的垂线交l1于点E,交2于点F. (1)求直线11，l2的关系式； (2)如图②，P是线段EF上一动点，H为OB 的中点，连接CH,HD,PC,当四边形 PCHD的面积为9时，求出点P的坐标； (3)如图③，M是x轴上一点，N是平面内一 点，在(2)问的条件下，是否存在以点M, O,P,N为顶点的四边形是菱形，若存 在，直接写出点N的坐标；若不存在，请 说明理由， 114数学八年级下册人教版 图② 图③P(号，号)由勾股定理，得BC=4中D+2- =√/26，AB=√(2+1)2+(0-1)严=√10.∴.△PAB的周 长为PA十PB十AB=BC十AB=√26+W√10.(2)设直线 BC与x轴交于点R对于y=吉x十号，令)y=0,则号十 号=0，解得x=-6∴点F的坐标是(-60)，AF=2 (-6)=8,∴SB=Sw-Sae=号A·0-AF: 1 =AF(p-)=×8X(-1)=号.4解： (1)4(2)如图， △ABC即为所求. (3)设P(0,a),由勾股定理，得PA2=(0十5)2十(a十1)= 25十(a十1)2，PC2=(0+1)2+(a+3)2=1+(a+3)2 PA=PC,∴.PA2=PC,∴.25+(a+1)2=1+(a+3)2, 解得a=4,.P(0,4).(4)AC长为定值，.当QA十QC 的值最小时，△QAC的周长最小.作点A关于x轴的对称 点E,连接CE,CE与x轴的交点即为求作的点Q,连接 AQ,如答图.QA=EQ,.QA十QC 1V4 =EQ十QC=CE,即当C,Q,E三点 在同一直线上时，QA十QC的值最 小.：点A,E关于x轴对称，A(-5, -1),.E(-5,1).设直线CE的函 答图 数解析式为y=kx十b,把C(-1,-3),E(-5,1)代入，得 1-k+b=-3, 解得一1， 直线CE的函数解析式为 1-5k+b=1, b=-4. y=一x一4.令y=一x一4=0，解得x=一4，.点Q的坐标 为(-4,0). 专题特训一次函数与特殊三角形、四边形 综合的存在性问题【选做】 1.解：(1)把A(2,1)代入y=-kx-1,得1=-2k-1,解得 k=-1,∴y=-x十b,再把A(2,1)代入y=-x+b,得1= 一2十b,∴.b=3.(2)由(1)可知两个函数解析式分别为y= x-1和y=-x十3.对于y=x-1,令x=0,得y=-1, ∴.B(0,一1).对于y=-x十3，令x=0,得y=3,∴.C(0, 3),.BC=3-(-1)=4.A(2,1),AB= √(2-0)+[1-(-1)]=2√2.(3)若点P在x轴上，令 P(t,0).则根据勾股定理，可得BP=十1，AP2=1十(2 一t).当BP是直角三角形ABP的斜边时，则有BP2= AP2+AB,即t+1=(22)2+1+(2-t)2,解得t=3,即 点P(3,0):当AP是直角三角形ABP的斜边时，则有AP =BP2十AB2.即t十1十(2√2)=1十(2-t),解得t= 一1，即点P(一1,0).综上所述，满足条件的点P坐标为(3， 0)或(-1,0).2.解：(1)将A(-2,0),B(0,4)代入y=kx 参考答案第} 一2k十b=0, +b,得 解得 1b=4. k=2.一次函数的解析式为y 1b=4. =2x十4.(2)存在.由已知得A(-2,0),B(0,4),C(1,1). 设D(p,q).如图，分三种情况讨论： ①若AB,CD是对角线，则AB,CD的中点重合， 21十解得 p=一3， .D(一3,3)；②若AC,BD 4=1十q, 9=3. 为对角线，则AC,BD的中点重合， 2+1=P解得 11=4十g, D=-1:D-1,-3):③若AD,BC为对角线，则AD, q=-3. BC的中点重合厂2+p=1 g=4+1, 解得/p=3, .D(3,5).综 q=5. 上所述，点D的坐标为(-3,3)或(-1，-3)或(3,5). 3.1)解：y=-子x十3(2)证明：过点C作CE1y轴于 点E,∴.∠C+∠CBE=90°.：A(4,0),B(0,3),C(-3, -1),∴.OB=CE=3,BE=OA=4.∴.AB=√OB2+OA= 5,BC=√CE+BE=5.∴.AB=BC.∴.△ABO≌△BCE (SSS).∴.∠C=∠ABO.∴.∠ABO+∠CBE=90°，即 ∠ABC=90°..AB⊥BC.(3)解：：四边形ABCD为正方 形，AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC.:将点B(0, 3)向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度可得 到点A(4,0),∴.将点C(-3,-1)同样平移可得到点D(1, -4).4.解：(1)把C(2,4)代入4：y=-x十b,得4=-2 十b,.b=6,l:y=-x十6.把C(2,4)代入l2:y=kx,得 4=2k,.k=2,.l2:y=2x.(2)连接CD,设P(4,m).当x =0时，l1:y=-0十6=6，.OB=6.H为OB的中点， ∴0H=3.:Sam=号XnX2=m,SamD=Sam+ Saaw-Sam=号×4X4+2X3X2-号×3X4=5. :四边形PCHD的面积为9，∴.S四边形CHD=S△CPD十S△cHD =m十5=9，∴.m=4,.P(4,4).(3)存在.点N的坐标为 (0,4)或(4，-4)或(4十4√2,4)或(4-4√2,4).[解析： P(4,4),∴.OP=√4+4=4√2，PD=4.D(4,0), ∴OD=4.当OP为对角线时，如答图①，作PN∥OD交 OB于点N..PD∥OB,.四边形ODPN是平行四边形. :PD=OD=4,∴.四边形ODPN是菱形，即四边形 OMPN是菱形，.ON=OD=4,.N(0,4).当OP为边，点 N在点P的下方时，如答图②.，四边形OPMN是菱形， .PN与OM互相垂直平分，点N在直线PD上，且PD =DN=4,.N(4,-4).当OP为边，点N在点P的右边 时，如答图③.四边形OPMV是菱形，.PN=OP= 9页（共55页） 4√2，.N(4十4√2,4).当OP为边，点N在点P的左边 时，如答图④.：四边形OMNP是菱形，PN=OP=4 √2，N(4-4√2,4).综上所述，点N的坐标为(0,4)或(4， -4)或(4十4√2,4)或(4-4√2,4) 答图① 答图② 答图③ 答图④ 专题特训一次函数中常见的易错题 1.B2.0或E3.C4.-2≤m<35.D6.y= 2.4(0t3), 7.y=7x-4或y=-÷x一38.解： t-0.6(t≥3) (0,3)(2)由B(0,3),得OB=3.:S△ABP AP.OB=只，号AP=只，∴AP=多设P(m, 1 5 0,则m-(号)=号，或-三-m=吾，解得m=1,或 m=-4..点P的坐标为(1,0)或（一4,0）.9.解：(1)y= 2x十4 (2)设点P的坐标为(t,0),分两种情况考虑，如 图所示 ①当点P在x轴上原点的左侧 B 8 P O P'x 时，·∠APO=2∠ABO,∠APO=∠ABO+∠BAP, .∴.2∠ABO=∠ABO+∠BAP,∴.∠ABO=∠BAP,∴.BP =AP.在Rt△APO中，AP=BP=t-(-8)=t+8,AO= 4,PO=-t,由勾股定理，得AP2=AO+PO,即(t十8) =42十(-t)2,解得t=-3,.BP=8-3=5,∴.S△BP= 号BP·A0=号×5X4=10,②当点P在x轴上原点的右 侧，即点P时，易得点P的坐标为(3,0)，此时，BP'=8十3 =11,SAMBP 合Bp·A0=×11×4=2.综上所 述，△ABP的面积为10或22. 数学活动水龙头的滴水量与 纸杯的高度【落实课标】 1.解：任务1：如图所示，，ymL 任务2：由所描 01234567i/mim 点在同一条不过原点的直线上可知，y=kt十b能正确反映 总水量y与时间t的函数关系.把(1,10)，(2,15)代入，得 k+b=10, 1k=5, 解得 .y=5t+5,任务3：①在y=5t十 2k+b=15, b=5. 参考答案第 5中，令y=65,得65=5t十5，解得t=12.∴所需的时间是 12min.②24×60=1440(min).由任务2可知每分钟漏水 5mL,∴这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用1 440×5÷1600=4.5(天).③建议水龙头要定期检查，对漏 水的水龙头要及时更换，（答案不唯一，合理即可）2.解： (1)如图所示.，十h/cm 根据点的分布规律可知，h 6 15 12 1 10￥ 01234567x1个 与x满足一次函数关系.设h关于x的函数解析式为h= 1k+b=10, kx十b.把(1,10)，(2,11.4)代入，得 解得 2k+b=11.4, [k=1.4:h关于工的函数解析式为h=1.4红十8.6 b=8.6. (2)当x=15时，y=1.4×15十8.6=29.6，.这摞杯子的总 高度为29.6cm.(3)由题意，得1.4x十8.6≤39，解得x≤ 21号.”x为整数，x=21.一摞最多叠21个杯子可以 一次性放进柜子里。 第二十三章归纳与提升 1.C2.D3.D4.C5.A6y=-x7.-<a <28.解：(1)在y=-2x+4中，当y=0时，x=2, .B(2,0).OB=OC,.C(-20).把C(-2,0),A(1,2) (k二 2 -2k+b=0, 代入y=kx十b,得 解得 .直线l2的 k十b=2, 4 \b3 函数解析式为y=号十青(2)在y=-2x十4中，当=0 2 时y=4,∴E0,40.在y=号x十专中，当x=0时y D(0,)DE=4-号=号SauE=×号 X1=3.(3)1<x≤2.9.C10.K=2, 11.解：(1)x (y=3 1x=3, =-2(2)x>3(3) 1y=-2 (4)√312.B13.解： (1)设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件 16x+8y=1760, 需y元.根据题意，得 解得/x30, 答： 9x十3y=750, y=160. 购进A种纪念品每件需30元，购进B种纪念品每件需160 元.(2)根据题意，得300-m≤7m,解得m≥37.5,0=(60 -30)(300-m)+(180-160)m=-10m+9000.-10 <0,∴.w随着m的增大而减小.：m≥37.5，m是整数， .当m=38时，最大，此时300-m=300-38=262,.利 润最高时的进货方案为购进A种纪念品262件，B种纪念 品38件. 0页（共55页）