第7章 平行线中常考模型及辅助线作法 【常考题型讲义】 2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学讲义以平行线中的常考模型为核心构建知识体系，通过“猪蹄”“铅笔头”“靴子”“骨折”“蛇形”五大模型分类梳理，结合模型特征框架图呈现辅助线作法与角的数量关系，清晰展现平行线性质与判定的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于“模型-例题-变式-综合”的递进式练习设计，如例1通过作平行线证∠BPC与∠1、∠2的关系，变式练习结合直角三角尺摆放、折线角度计算等问题，培养几何直观与推理意识。综合练习涵盖多模型综合应用，基础学生可掌握模型应用方法，优秀学生能提升综合解题能力，为教师精准分层教学和学生自主复习提供有力支持。

平行线中的常考模型及辅助线作法 【模型总结】 1.“猪蹄”模型 2.“铅笔头”模型 3.“靴子”模型 4.“骨折”模型 5.“蛇形”模型 【例题讲解】 【例1．】如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°.求∠1的度数．解：如图，过点P作PE∥AB ∴∠1=∠BPE ∵AB∥CD ∴CD∥PE ∴∠2=∠CPE ∵∠BPC=∠BPE+∠CPE ∴∠BPC=∠1+∠2 ∵∠2=28°，∠BPC=58° ∴∠1=58°-28°=30° E 【变式练习1】如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　B　）． F A． ∠α+∠β＝180° B．∠β﹣∠α＝90° C．∠β＝3∠α D．∠α+∠β＝90° 解析：如图，过点C作CF∥AB，则∠BCF=∠α ∵∠BCD=90°，∴∠FCD=90°-∠α ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠β=180° ∴90°-∠α+∠β=180° ∴∠β-∠α=90° 【变式练习2】如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　C　） A．58° B．42° C．32° D．30° 【变式练习3】如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（　B　） H G A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝90° C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90° 解析：如图，过点D作DG∥AB, 根据“猪蹄”模型结论 ∠α＋∠CDG =∠C ∵∠C=90°，∴∠α+∠CDG=90° ∵AB∥EF，∴DG∥EF,∴∠GDH=∠γ ∴∠α+∠CDG+∠GDH=90°+∠γ ∵∠CDG+∠GDH=∠β ∴∠α+∠β=90°+∠γ 即∠α+∠β-∠γ=90° 【变式练习4】感知与填空：如图①，直线AB∥CD．来证：∠B+∠D＝∠BED． （1）阅读下面的解答过程，请填上适当的理由． 证明：过点E作直线EF∥CD ∴∠2＝∠D（ 　两直线平行，内错角相等 　） ∵AB∥CD（已知），EF∥CD ∴AB∥EF（ 　平行公理的推论 _） ∴∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等　） ∵∠1+∠2＝∠BED ∴∠B+∠D＝∠BED（ 　等量代换 _） （2）应用与拓展：如图②，直线AB∥CD．若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°， 求∠BEG+∠GFD的度数． （2）解析：依据“猪蹄”模型拓展结论：“朝右的角的和=朝左的角的和” ∴∠BEG+∠GFD=∠B+∠G+∠D 即∠BEG+∠GFD=23°+35°+25°=83° 【例题讲解】 【例2】如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数； 解析：如图，过点C作CF∥AB，则∠B+∠BCF=180° ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D+∠DCF=180° ∴∠B+∠BCF+∠D+∠DCF=360° ∵∠BCF +∠DCF=∠BCD ∴∠B +∠D+∠BCD=360° ∵∠B＝135°，∠D＝145° ∴∠BCD=360°-135°-145°=80° F 【变式练习1】 （1）如图，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图2，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 图1 图2[来源:学+科+网Z+X+X+K] 解析：（1）依据“铅笔头”模型结论，∠B+∠BCD+∠D=360° （2）依据“铅笔头”模型推论结论：∠B＋∠C＋∠D＋∠E=180°×3=540° 【变式练习2】 解析：（1）∠1+∠2=180° （2）∠1+∠2+∠3=180°×2=360° （3）∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540° （4）∠1+∠2+∠3+∠4+……+∠n=180×（n-1） 【例题讲解】【例3】 140° 解析：如图，过点P作PE∥CD,则∠D=∠DPE ∵AB∥CD，∴PE∥AB，∴∠ABP=∠BPE ∵∠BPE=∠P＋∠DPE ∴∠ABP=∠P+∠D=40°+100°=140° E 【变式练习】 如图，已知AB∥CD （1） 如图①，求证：∠A-∠C=∠E； （2） 如图②，EF平分∠AEC,CF平分∠ECD,∠F=105°，求∠A的度数G F （1）解析：如图,过点E作EF∥CD，则∠C=∠FEC ∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠FEA=∠A ∵∠FEA-∠FEC=∠E ∴∠A-∠C=∠E (2) 如图,过点E作EG∥CD，则∠ECD=∠GEC ∵AB∥CD，∴EG∥AB，∴∠GEA=∠A ∵∠GEA=∠GEC+∠AEC ∴∠A=∠ECD+∠AEC ∵EF平分∠AEC,CF平分∠ECD ∴∠AEC=2∠CEF,∠ECD=2∠ECF ∵∠CEF+∠ECF＋∠F=180°，∠F=105° ∴∠CEF+∠ECF=75° ∴∠ECD+∠AEC=2（∠CEF+∠ECF）=150° 即∠A=150° 四、“骨折”模型 1.模型特征 2.模型证明 【例题讲解】 【例4】如图，已知AB∥CD，若∠A=15°，∠E=25°，则∠C=___40°____ 【变式练习】如图，已知AB∥CD． （1）如图1，求证：∠B+∠E=∠D； （2）如图2，F为AB，CD之间的一点，∠E=30°，∠EFD=140°，DG平分∠CDF交AB于点G，若DG∥BE，求∠B的度数； H F 解析：(1)如图,过点E作EF∥CD，则∠D=∠FED，∠BED=∠E ∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠B=∠FEB ∵∠FEB+∠BED=∠FED ∴∠B+∠E=∠D (2) 如图,过点F作FH∥BE ∵DG∥BE，∴FH∥DG，∴∠E=∠EFH=30° ∵∠EFD=140°，∴∠HFD=110°，∴∠GDF=180°-∠HFD=70° ∵DG平分∠CDF，∴∠CDG=∠GDF=70° ∵AB∥CD，∴∠BGD=∠CDG=70° ∵DG∥BE ∴∠B=∠BGD=70° 五、“蛇形”模型 【题型讲解】 【例5】如图，已知AB∥CD，请你写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并证明． 解析：如图，过点P作PE∥AB，则∠A+∠APE=180° ∴∠APE=180°-∠A ∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE=∠C ∵∠APC=∠APE+∠CPE ∴∠APC=180°-∠A+∠C ∴∠APC+∠A-∠C=180° E 【变式练习】如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（D ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【综合练习】 1.如图，已知AB∥CD，且∠ABE=36°，∠BEF=60°，∠FCD=30°，则∠EFC的度数为 54° ． 解析：依据“猪蹄”模型结论， ∠ABE+∠EFC=∠BEF+∠FCD ∴∠ABE=∠BEF+∠FCD-∠EFC =60°+30°-36°=54° 2.如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°.求∠ABC的度数．[来源:Zxxk.Com]解析：如图，过点C作CF∥DE,则∠FCD=∠CDE ∵AB∥DE，∴CF∥AB，∴∠ABC+∠BCF=180° ∴∠BCF=180°-∠ABC ∵∠FCD=∠BCF+∠BCD ∴∠CDE=180°-∠ABC+∠BCD ∴∠ABC=180°+∠BCD-∠CDE=180°+30°-138°=72° F 3.如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为 20° ．解析：∵AB∥DE∥CF ∴∠ABC=∠BCF=70°，∠CDE+∠DCF=180° ∴∠DCF=180°-∠CDE=50° ∵∠BCF=∠BCD+∠DCF ∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=70°-50°=20° 4、①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠A＝∠P+∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A+∠E＝180°+∠1；④如图4，AB∥CD∥EF，则∠α+∠r＝180°+∠β以上结论正确的是（　C　） F E A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 解析：依据“铅笔头”模型结论，∠A+∠E+∠C＝180°×2=360°，故①错误 如图2，过点P作PE∥CD，则∠C=∠EPC，∠APC=∠P ∵AB∥CD，∴PE∥AB，∴∠A=∠EPA ∵∠EPC+∠APC=∠EPA ∴∠C+∠P=∠A故②正确 如图3，过点E作EF∥CD，则∠FEC =∠1， ∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠A+∠AEF=180° ∵∠AEF+∠FEC=∠E ∴∠A+∠AEF+∠FEC=180°+∠1 ∴∠A+∠E=180°+∠1故③正确 如图4∵AB∥CD∥EF ∴∠γ=∠COE，∠α+∠BOE=180° ∴∠α=180°-∠BOE ∴∠α+∠γ=180°-∠BOE+∠COE ∵∠COE=∠β+∠BOE ∴∠α+∠γ=180°-∠BOE+∠β+∠BOE 即∠α+∠γ=180°+∠β故④正确 所以选C 5.已知AB∥CD. (1)如图1，若∠ABE＝30°，∠BEC＝148°，则∠ECD的度数为 62° ； (2)如图2，若CF∥EB，CF平分∠ECD，试探究∠ECD与∠ABE之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）如图，过点E作EF∥AB,则 ∠ABE=∠BEF=30° ∴∠CEF=∠BEC-∠BEF=118° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CEF+∠ECD=180° ∴∠ECD=180°-∠CEF=62° （2）∠ABE=∠ECD，理由如下 如图，延长BE交CD的反向延长线于点H ∵AB∥CD，∴∠∠H=∠ABE, ∵CE∥EB，∴∠FCD=∠H ∴∠FCD=∠ABE ∵CF平分∠ECD∴∠FCD=∠ECD ∴∠ABE=∠ECD F 6.如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线。 （1）猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由。 （2）如图2,将折一次改为折二次,若∠1=40°,∠2=60°,∠3=70°,则 ∠4=_50°__。 解析：（1）依据“猪蹄”模型结论∠1+∠3=∠2 （2）依据“猪蹄”模型推论结论：“朝右的角的和=朝左的角的和”得：∠1+∠3=∠2+∠4 故∠4=∠1+∠3-∠2=50° 7.问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 70° 　． 【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数． 解析：（2）依据“猪蹄”模型结论，∠AEC=∠A+∠C=90° ∴∠BED=∠AEC=90° ∵EF平分∠BED ∴∠BEF=∠BED=45° 学科网（北京）股份有限公司 $平行线中的常考模型及辅助线作法 【模型总结】 1.“猪蹄”模型 2.“铅笔头”模型 3.“靴子”模型 4.“骨折”模型 5.“蛇形”模型 一、“猪蹄”模型 1、模型特征 A 条件：AB/CD 结论：∠B+∠D=∠E C 2、模型证明 证明：过点E作EF/AB ∴.LB=LBEF ∴.AB//CD E .∴.EF/CD .∴.∠D=∠DEF ,'∠BED=∠BEF+∠DEF .∴.∠BED=∠B+∠D 3、模型拓展 A 条件：l1/八2 &A2 结论：∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= ∠B1+∠B2+∠B3(朝右的角的和 A =朝左的角的和) “锯齿型 【例题讲解】 【例1.】如图，AB∥CD,P为AB,CD之间的一点，已知∠2=28°，∠BPC 58°.求∠1的度数. A B 【变式练习1】如图，∠BCD=90°，AB∥DE,则∠a与∠B满足(). A B a D E A.∠a+∠B=180 B.∠B-∠a=90 C.∠B=3∠a D.∠a+∠B=90 【变式练习2】如图，直线a∥b,将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°， 则∠2的度数为() A.58 B.42° C.32° D.30 【变式练习3】如图，AB∥EF,∠C=90°，则a、B、Y的关系为() A —B C BeD A.B-a+y B.+β-Y=90°C.c+B+y=180°D.B+y-a=90° 【变式练习4】感知与填空：如图 ①， ，直线 AB∥CD. .来证： ∠B+∠D=∠BED. (1)阅读下面的解答过程，请填上适当的理由. 证明：过点E作直线 EF∥CD ∴∠2=∠D( ∵AB∥CD (已知)， EF∥CD ∴AB//EF () ∴∠B=∠1( ∵∠1+∠2=∠BED ∴∠B+∠D=∠BED ( (2)应用与拓展：如图 ②， ，直线 AB∥CD. .若 $$\angle B = 2 3 ^ { \circ } ， \angle G = 3 5 ^ { \circ } ， \angle D = 2 5 ^ { \circ } ，$$ 求 ∠BEG+∠GFD 的度数. A B A B E E G F F C D C C D 图① 图② 二、“铅笔头”模型 1、模型特征 A E 条件：AB/ICD 结论：∠B+∠D+∠E=360 C D 2、模型证明 证明：过点E作EF//AB B .∴.∠B+∠BEF=1809 E .AB//CD ∴.EF/CD D .∴.∠D+∠DEF=180° .∴.∠B+∠BEF+∠DEF+∠D= 360° 即∠BED+∠B+∠D=360 3、模型拓展 A A2 条件：11/八2 A3 结论： /An-2 ∠A1+∠A2+∠A3+··+∠An-2+ An-I ∠Am-1+∠An=180°(n-1) An “橡皮擦”型 【例题讲解】 【例2】如图，若AB∥DE,∠B=135°，∠D=145°.求∠BCD的度数： E D 【变式练习1】 (1)如图，在AB∥DE.的条件下，你能得出∠B,∠BCD,∠D之间的数量关系吗？ 请说明理由； (2)如图2，AB∥EF,根据(2)中的猜想，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E的度数. A B D 图1 图2 【变式练习2】 如图，AB∥CD,试解决下列问题： (1)如图①，∠1+∠2= (2)如图②，求∠1+∠2+∠3的值： (3)如图③，求∠1+∠2+∠3+∠4的值； (4)如图④，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n的值. A B B A B E21 E21 62 Nn D D ① ② (④ 三、“靴子”模型 1、模型特征 E 条件：AB/CD 结论：∠B=∠D+∠E（∠E=∠B-∠D) D 2、模型证明 证明：过点E作EF/AB .∴.∠B=LBEF .AB//CD .∴.EF//CD ∴.∠D=LDEF .ZBED=ZBEF-ZDEF .∴.∠BED=∠B-∠D 【例题讲解】 【例3】 如图，AB∥CD,∠P-40°，∠D=100°，则∠ABP的度数是 【变式练 如图，已知AB∥CD (1)如图①，求证：∠A-∠C=∠E: (2)如图②，EF平分∠AEC,CF平分∠ECD,∠F=105°，求∠A的度数 B D D 图① 图② 四、“骨折”模型 1.模型特征 条件： AB∥CD 结论：∠E=LD-∠B D 2.模型证明 证明过程： E 过点E作EF∥AB 'AB∥CD,EF∥AB ∴CD∥EF B :'ABI∥EF .∠B=∠BEF .CD∥EF D .∠D=∠DEF '∠BED=∠DEF-∠BEF ∴.∠BED=∠D-∠B 【例题讲解】 【例4】如图，已知AB∥CD,若∠A=15°，∠E=25°，则∠C= E D 【变式练习】如图，己知AB∥CD. (1)如图1，求证：∠B+∠E=∠D; (2)如图2，F为AB,CD之间的一点，∠E=30°，∠EFD=140°，DG平分∠CDF 交AB于点G,若DG∥BE,求∠B的度数： 五、“蛇形”模型 已知：AB/DE,证：∠BCD+∠D-∠B=180° A B 证明：过点C作CF/∥AB ·∠B=∠BCF AB//DE ∴.CF//DE .∠FCD+∠D=1809 ∴.∠FCD=180°-∠D :∠BCD=∠BCF+∠FCD ∠BCD=∠B+180°-∠D .∠BCD+∠D-∠B=1809 已知：AB/DE,证：∠B+∠BCD-∠D=180° 证明：过点C作CF/IAB A B .∠B+∠BCF=180° ∠BCF=180°-∠B AB//DE ∴.CFI/DE ∴.∠FCD=∠D D E.ZBCD=LBCF+LFCD ∴.∠BCD=180°-∠B+∠D ∴.∠BCD+∠B-∠D=180° 【题型讲解】 【例5】如图，已知AB∥CD,请你写出∠APC,∠A,∠C之间的数量关系，并 证明. 【变式练习】如图，AB∥CD,∠ABE=125°，∠C=30°，则∠a=() A C A.70° B.75 C.80° D.85 【综合练习】 1.如图，己知AB∥CD,且∠ABE=36°，∠BEF=60°，∠FCD=30°，则∠EFC的度 数为 2.如图，已知AB∥DE,∠BCD=30°，∠CDE=138°.求∠ABC的度数， D 3.如图，己知AB∥DE∥CF,若∠ABC=70°，∠CDE=130°，则∠BCD的度数为 4、①如图1，AB∥CD,则∠A+∠E+∠C=180°；②如图2，AB∥CD,则∠A=∠P+∠C; ③如图3，AB∥CD,则∠A+∠E=180°+∠1；④如图4，AB∥CD∥EF,则∠a+∠r= 180°+∠B以上结论正确的是() D 图1 图2 图3 图4 A.①③④ B.①②④ C.②③④ D.①②③ 5.已知AB∥CD. (1)如图1，若∠ABE=30°，∠BEC=148°，则∠ECD的度数为 (2)如图2，若CF∥EB,CF平分∠ECD,试探究∠ECD与.∠ABE之间的数量关系， 并说明理由， B E ② 6.如图1，AB∥CD,EOP是直线AB、CD间的一条折线。 (1)猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由。 (2)如图2，将折一次改为折二次，若∠1=40°，∠2=60°，∠3=70°，则∠4=一。 B 02 —D 4 -D F 图1 图2 7问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形 的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系 【问题解决】(1)如图1，AB∥CD,E为AB、CD之间一点，连接AE、CE.若∠A=42 。,∠C=28°·则∠AEC=_ 【问题探究】(2)如图2，AB∥CD,线段AD与线段BC交于点E,∠A=36°，∠C= 54°，EF平分∠BED,求∠BEF的度数. B D D 猪蹄模型 图1 图2