命题大赛 湖北2025-2026学年高一下学期期中测试数学试题

**基本信息** 高一数学期中卷聚焦平面向量、复数、立体几何，以新情景题（如阿基米德多面体、奔驰定理）和原创题（费马点应用）实现基础巩固与创新应用的梯度设计，培养数学抽象、逻辑推理与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量垂直、复数象限、解三角形|第2题三棱柱容器盛水情景，考查空间几何体识别| |多选|3/18|复数性质、解三角形命题|第11题奔驰定理应用，强化数学语言表达| |填空|3/15|直观图面积、测量问题、线面关系|第13题测量塔高，体现数学眼光观察现实世界| |解答|5/77|复数应用、向量运算、立体几何证明、解三角形综合、费马点探究|第19题原创费马点问题，结合数学文化，考查创新思维与问题解决能力|

《2025-2026学年高一下期中考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D C C C B AD ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】由. 2．C 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 3．A 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 4．D 【详解】由得， 所以，又，所以. 由，根据正弦定理可得， 又，， 所以，又，所以， 由正弦定理可得.因为，所以是等边三角形. 故选：D. 5． C. 【详解】复数z满足，表示到原点O（0，0）的距离等于1的圆上的点Z， 表示点Z到点A（1，1）的距离，则最大值为点A到点O的距离，再+1， ，故选：C. 6．C 【详解】由分别表示与向量同向的单位向量， 所以表示的角平分线上的向量， 因为，可得， 又因为，可得， 因为，可得， 如图所示，过点作，垂足为，可得，即， 所以向量在向量上的投影向量为. 7． C 【详解】A选项，该石凳由6个正方形和8个正三角形围成，它的表面积为，A正确； B选项，如图， 该石凳由一个棱长为的正方体截去8个全等的正三棱锥，其体积为 ，B正确； C选项，该多面体由6个正方形和8个正三角形围成，到这6个正方形距离相等的点为原正方体的中心， 设该点为，到这6个正方形距离为， 设到8个正三角形的距离为，则，解得， 所以该多面体不存在内切球，C错误； D选项，该多面体存在外接球，其球心为原正方体的中心，它到每个点的距离为原正方体面对角线的一半，即2， 所以球表面积为，D正确. 8． B 【详解】在中，设 ，由于，则 ， ， 因为，故, 在中，由正弦定理得, 即； 在中，由正弦定理得, 即； 故 ， 因为，所以，则， 故当，即时，取到最小值， 即的最小值为， 故选：B. 9． AD 【详解】因为，A正确； 复数的虚部为，B不正确； 若，则，，C不正确； 设，所以， ，D正确. 故选：AD. 10． ABD 【详解】A选项：根据大角对大边，，根据正弦定理可得，其中R为三角形外接圆半径，于是，A正确； B选项：若为钝角三角形，则，所以，则，B正确； C选项：因为， 所以，所以， 因为，所以中有0个或2个为负数， 又因为中最多一个为钝角，所以， 即都是锐角，所以为锐角三角形，C错误． D选项：因为三角形有两解，所以，即 所以a的取值范围为，D正确． 故选：ABD. 11． ABD 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 12． 【详解】由于 边长为1的正六边形的面积为， 故其直观图的面积为. 13． 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 14．①②④ 【详解】对①：与两个平行平面分别平行的两条直线的位置关系不能确定，故①错误； 对②：根据条件，要想确定，还需要直线，相交这个条件，故②错误； 对③：根据线面平行的性质定理，可得③正确； 对④：如图， 可以满足所有条件，但，故④错误. 15．(1)1 (2) 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以.………2分 由，解得或. ………4分 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； ………6分 （2）当时，复数， ………7分 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数 .………9分 所以由韦达定理可得， ………11分 解得 . ………13分 16．(1) (2). 【详解】（1）由题意得，，………2分 则， ………4分 又，所以，解得；.………7分 （2）， ………9分 由与的夹角是钝角，可知且与不共线， 由得，解得；………11分 又由与共线可得，得，………13分 故的取值范围为.. ………15分 17．【详解】（1）如图，连接交于点，连接， 因为是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以，………2分 又平面，平面，………6分 所以平面.………7分 （2）因为分别是的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，故，………9分 又平面，平面，所以平面.………11分 又平面，且平面，，………13分 所以平面平面. ………15分 18．(1)(2)(3) 【详解】（1）因为,根据正弦定理, 即, 即,又, ………2分 所以,因为,所以． ………4分 （2）由及余弦定理得,即, 又因为,所以, ………6分 所以,………8分 所以,即．………9分 （3）因为是的中点,所以,………10分 则,………11分 由正弦定理得, 即,………11分 因为,所以,所以,………13分 所以, 所以,所以, ………15分 所以,即边上的中线的取值范围为．………17分 19．(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内， 满足，且，如图， 过作于，则，，………2分 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．………4分 （2）（i）由正弦定理得，而，得：， 则，即，得，则的三个角都小于， 由费马点定义知，， 设，， 由得：，………6分 整理得，………8分 则 ．………10分 （ii）由（i）知，点在内部，且， 设，，………11分 由得：，………12分 由余弦定理得，， ， ，………14分 而，即，………15分 整理得，即，则， ………16分 当且仅当，即时取等号，所以t的最小值为. ………17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末 2025-2026学年高一数学下学期期中考试 考试范围：第六章 平面向量及其应用——第八章 空间直线、平面的平行 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，且，则（    ） A． B． C．4 D．1 2．（新情景题）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 3．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 5．已知复数是虚数单位，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 6．已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 7．（新情景题）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的十四面体，且它所有的棱长都为2.则下列结论中，错误的是（    ） A．该石凳的表面积为 B．该石凳的体积为 C．有内切球，且内切球的体积为 D．有外接球，且外接球的表面积为 8．在中，角 ，，，所对的边分别为，，，，点为上一点且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（    ） A． B．复数的虚部为 C．若复数为纯虚数，则 D． 10．在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若，则一定为钝角三角形 D．若的三角形有两解，则a的取值范围为 11．（新情景题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．边长为1的正六边形的直观图的面积是__________. 13．（新情景题）如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 14． （原创题）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是____________ ①．若，，，则 ②．若，，，，则 ③．若，，，则 ④．若，，，且，，则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16．（15分）在平面直角坐标系中，，设. (1)若，求的值； (2)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 17．（15分）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 18．（17分）在中,内角所对的边分别是且. (1)求角; (2)若,求边上的角平分线长; (3)求边上的中线的取值范围． 19．（原创题）（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题： (1)若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点. （i）若，求的值； （ii）求t的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 考查知识点 难度系数（预估） 1 单项选择题 5 平面向量的坐标平行运算 0.85 2 单项选择题 5 空间几何体的结构特征 0.75 3 单项选择题 5 复数的几何意义及乘除运算 0.8 4 单项选择题 5 正余弦定理及三角形形状判断 0.75 5 单项选择题 5 复数的加减、模及几何意义 0.5 6 单项选择题 5 平面向量坐标运算、数量积的应用 0.6 7 单项选择题 5 空间几何体表面积、体积、外接球、内切球 0.45 8 单项选择题 5 正余弦定理、三角形面积与边最值问题 0.4 9 多项选择题 6 复数的概念、几何意义、模的运算 0.55 10 多项选择题 6 正弦定理、三角恒等变化与解的个数问题 0.45 11 多项选择题 6 平面向量的线性运算、数量积及最值 0.35 12 填空题 5 立体图形的直观图 0.75 13 填空题 5 正余弦定理应用举例 0.65 14 填空题 5 空间线面、面面平行的判定与证明 0.7 15 解答题 13 复数概念及综合运算 0.75 16 解答题 15 平面向量的坐标运算、数量积 0.7 17 解答题 15 空间线面、面面平行的判定与证明 0.65 18 解答题 17 正余弦定理、三角恒等变换与边角范围问题 0.5 19 解答题 17 平面向量的基本定理、三点共线、数量积及最值 0.35 Sheet2 Sheet3 $