精品解析：湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

数学试卷 命题学校：武汉市吴家山第四中学 命题人：续珍立 考试时间：2024年4月25日下午14：30-16：30 试卷满分：100分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式得到三角方程，利用同角的商数关系计算即得. 【详解】由可得：， 显然则得. 故选：B. 3. 的三内角所对边分别为，若，则角的大小（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】解：由余弦定理得， 因为，所以. 故选：B 4. 若向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的坐标公式求解即可 【详解】设向量夹角为，则在上的投影向量为 故选：A 5. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：C. 6. 已知的部分图象如图所示，则的表达式是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式. 【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，. 将点代入函数的解析式得，得， ，，则，， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解． 【详解】因为 ， 所以， 故选：D 8. 已知函数的图象关于对称，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式以及三角函数的性质可得，根据对称，可得将诱导公式与二倍角公式相结合即可得结果． 【详解】函数，其中，，， 由于它的图象关于对称， ，化简可得， ，， ，故． 再根据，可得， 则，故 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据辅助角公式即可求解A，根据正切的和差角公式即可求解BC，根据二倍角公式即可求解D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确． 对于C，，C错误； 对于D，，D错误； 故选：AB． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量可表示为 B. 若，则与的夹角θ的范围是 C. 若是等边三角形，则，的夹角为 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可判断A；根据数量积的计算公式即可判断B；根据向量夹角的定义即可判断C，根据数量积的计算公式即可判断D. 【详解】对于选项A，根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为，故A正确； 对于选项B，因为，所以， 又，所以，故B正确； 对于选项C，若是等边三角形，则，的夹角为，故C错误； 对于选项D，因为，所以或或，故D错误． 故选：AB. 11. 已知函数，则下列选项正确的是（） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数为偶函数 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】利用余弦型函数的周期公式即得A项，运用代入检验法将看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得B项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判C项，将看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断D项， 【详解】对于A项，函数的最小正周期为，故A项正确； 对于B项，当时，，而， 故点是函数图象的一个对称中心，即B项正确； 对于C项，函数图象向左平移个单位长度，得到 ， 由于不恒为零， 故该函数不是偶函数，即C项错误； 对于D项，当时，， 函数在区间上没有单调性，故D项错误. 故选：AB. 三、填空题：共题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积公式，求得的值，再根据夹角公式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 又因为，所以. 故答案为： 13. 把上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，接着把得到的曲线纵坐标扩大为原来的2倍，横坐标不变，最后把得到的曲线再向上平移1个单位长度得到，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据三角函数图象变换法则求得，然后结合诱导公式和特殊角的值即可求得. 【详解】把上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线， 再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线， 接着把得到的曲线纵坐标扩大为原来的2倍，横坐标不变，得到的曲线为， 最后把得到的曲线再向上平移1个单位长度得到，则， 所以. 故答案为： 14. 已知函数（）在区间上的最大值为2，则实数的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】由正弦型函数的性质，得到区间是函数的一个单调递增区间，结合题意，得到，即可求解. 【详解】由正弦型函数的性质，可得函数（）， 其中区间是函数的一个单调递增区间， 要使得函数在区间的最大值为2， 则，解得，所以实数的最小值为. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练掌握正弦型函数的图象与性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知是第二象限角，，求的值； （2）设，且，求角的值. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）结合角的象限，利用同角三角函数关系求得，进而求得； （2）结合角的象限，利用同角三角函数关系求得，，进而利用两角差的余弦公式求得，然后结合角的范围即可求解角. 【详解】（1）因为是第二象限角，， 所以， ； （2），且， ， 因为，， ， 又因为，所以. 16. 已知向量，，． （1）若与垂直，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，计算得出参数k的值即可； （2）由向量夹角的范围确定数量积的范围，进而求出x的范围. 【详解】（1）因为向量， 所以， 与垂直，， 计算得：. （2）与的夹角为锐角，故，故即， 又与不共线，故，故， 故的取值范围为 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设满足，其面积为. （1）求的值； （2）当D为AB中点时，求CD的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理化角为边得，然后利用余弦定理求解即可. （2）结合角及三角形的面积求得，由正弦定理得，再利用同角三角函数基本关系得，最后由余弦定理列方程求解CD的长. 【小问1详解】 因为满足， 所以由正弦定理得， 设， 利用余弦定理. 【小问2详解】 由于，所以，所以， 又，所以，解得（负值舍去）. 所以， D为AB的中点，如图所示： 由正弦定理，即，解得， 因为，所以， 所以， 利用余弦定理， 解得. 18. 如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点. （1）求； （2）当点为中点时，求：的余弦值； （3）当取得最小值时，设，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求解即可； （2）设，由中点可得，再由数量积的运算性质求解即可； （3）设则可转化为关于的二次函数，求最值，再由及三点共线得解即可. 【小问1详解】 ，由余弦定理知： ， . 【小问2详解】 设， 分别为的中点， ， ， ， 又. . 【小问3详解】 设 ， 当即时，取最小值， ， ， ， 三点共线， ， . 19. 已知向量，，且. （1）计算并化简：； （2）求的取值范围； （3）记函数，若的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算和余弦的两角和公式化简可得； （2）根据平面向量的模长公式，结合余弦函数的性质求解即可； （3）令，转化为二次函数，然后对分类讨论可得. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 由同角三角函数的平方关系可得， 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，函数， 令，则， ，其图象开口向上，对称轴方程为， 当，即时，最小值为，解得（舍去）； 当，即时，最小值为， 解得或（舍去）； 当，即时，最小值为. 综上可知，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 命题学校：武汉市吴家山第四中学 命题人：续珍立 考试时间：2024年4月25日下午14：30-16：30 试卷满分：100分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 的三内角所对边分别为，若，则角的大小（ ）． A. B. C. D. 4. 若向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的部分图象如图所示，则的表达式是 A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于对称，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量可表示为 B. 若，则与的夹角θ的范围是 C. 若是等边三角形，则，的夹角为 D. 若，则 11. 已知函数，则下列选项正确的是（） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数为偶函数 D. 函数在区间上单调递增 三、填空题：共题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则与的夹角为__________. 13. 把上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，接着把得到的曲线纵坐标扩大为原来的2倍，横坐标不变，最后把得到的曲线再向上平移1个单位长度得到，则______. 14. 已知函数（）在区间上的最大值为2，则实数的最小值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知是第二象限角，，求的值； （2）设，且，求角的值. 16. 已知向量，，． （1）若与垂直，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设满足，其面积为. （1）求的值； （2）当D为AB中点时，求CD的长. 18. 如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点. （1）求； （2）当点为中点时，求：的余弦值； （3）当取得最小值时，设，求的值. 19. 已知向量，，且. （1）计算并化简：； （2）求的取值范围； （3）记函数，若的最小值为，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $