专题04 反比例函数（6常考2易错4压轴）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦反比例函数6类常考基础、2类易错辨析、4类压轴综合，构建从概念到综合应用的递进训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考|6题型（3-9小题）|概念辨析、图像象限判断、k几何意义基础、函数交点计算、实际应用建模|从概念生成（定义）到图像性质（象限、增减性），再到k几何意义及函数综合应用| |易错|2题型（3-8小题）|增减性条件判断、函数值大小比较|针对性质理解误区，强化“同一象限”条件及数形结合比较方法| |压轴|4题型（3-5小题）|k几何意义综合、双函数综合、几何存在性、动态问题|融合几何图形（正方形、三角形）、动点与平移，提升综合推理与模型应用能力|

专题04 反比例函数（6常考2易错4压轴） 题型1 反比例函数的概念（常考） 题型7 反比例函数的增减性（易错） 题型2 反比例函数的图像与象限（常考） 题型8 反比例函数值大小比较（易错） 题型3 反比例函数的基础性质（常考） 题型9 k几何意义综合（压轴） 题型4 反比例函数k的几何意义（常考） 题型10双反比例函数综合（压轴） 题型5 一次函数与反比例函数的交点（常考） 题型11几何存在性问题（压轴） 题型6 反比例函数的实际应用（常考） 题型12 反比例函数动态问题（压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 反比例函数的概念（共3小题） 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 2．（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如果点是反比例函数图象上一点，那么_____． 题型二 反比例函数的图像与象限（共3小题） 4．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）矩形面积为20，则长y与宽x的函数关系图象是（     ） A．第一象限的双曲线 B．第一象限的直线 C．第二象限的双曲线 D．全体象限的直线 5．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如果点在正比例函数的图像上，那么反比例函数的图像所在的象限是________． 6．若关于的一元二次方程没有实数根，则反比例函数的图象位于第_____象限． 题型三 反比例函数的基础性质（共5小题） 7．（24-25八年级上·上海长宁·期末）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（    ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值y随x的增大而增大 8．（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 9．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．百米赛跑中，运动员的平均速度与跑步成绩成反比例 B．反比例函数，当自变量逐渐增大时，的值随着逐渐减小 C．三角形三边垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等 D．直角三角形可以分割成两个等腰三角形 10．（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 11．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图像经过点 C．图像关于直线对称 D．图像位于第二、四象限 题型四 反比例函数k的几何意义（共9小题） 12．（24-25八年级上·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，点A在反比例函数图象上，轴，垂足为B，且，则___________． 14．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是______． 15．（24-25八年级上·上海·期末）反比例函数的图像如图所示，若的面积是2，则k的值为_____________． 16．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知点在双曲线上，过点向轴作垂线，垂足为．如果，那么_____________． 17．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向轴，轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”根据甲同学所描述，此反比例函数的解析式是________． 18．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，点为第一象限内一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、，为的中点，函数的图像经过点且交于，已知四边形的面积为，则的值为_____．    19．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，过点作轴，垂足为点，若在反比例函数图像上有一点，使的面积为10，则点的坐标是______． 20．（24-25八年级上·上海·期中）如图，轴于点A，点B在y轴的正半轴上，，点D为线段与反比例函数图象的交点，若直线将面积分成的两部分，则k的值为_________． 题型五 一次函数与反比例函数的交点（共8小题） 21．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 22．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·上海·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图像交于，，连接、． (1)求的值； (2)的面积． 24．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． (1)求k与m的值： (2)直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 25．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出和的交点D的坐标，并根据图像法观察，直接写出当时，求x的取值范围． 26．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求k与m的值； (2)求反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点B的坐标． 27．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上． (1)求点、的坐标； (2)点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式． 28．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系内，函数和交于、两点，已知． (1)求点的坐标； (2)点在坐标轴上，且时，求点的坐标． 题型六 反比例函数的实际应用（共5小题） 29．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加的洗衣粉数量不变．实验发现，每次漂洗用水量（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量（克）与漂洗次数（次）满足（为常数）． 已知使用升水，漂洗次后，衣服中残留的洗衣粉量为克，请回答下列问题： (1)求的值； (2)如果每次用水升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于克，那么至少要漂洗多少次？ 30．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： (1)施工过程中关于的函数解析式是______； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ (3)施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 31．（23-24八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 32．（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 33．（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流I（单位：安培）与电阻R（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻欧姆时，电流安培． (1)求出函数解析式． (2)当安培时，求出R的值． (3)如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？ 题型七 反比例函数的增减性（共3小题） 34．（23-24八年级上·上海长宁·期中）下列函数，y随x增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·上海宝山·期中）函数的图像在每一象限内，y的值随x的增大而__________． 36．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象经过点，那么当，这个函数中的函数值随自变量值的增大而_____．（填写“增大”或“减小”） 题型八 反比例函数值大小比较（共8小题） 37．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在反比例函数的图象上有三点，若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24八年级上·上海静安·期末）设为反比例函数图象上的两点，若，则（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·上海·期末）若是反比例函数图象上的两点，则____（填“”、“”或“”）． 40．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是：_____．（用“”连接）． 41．（24-25八年级上·上海·期末）如果反比例函数的图像经过点、、，且，那么与的大小关系是____________．（填“”，“”或“”） 42．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）反比例函数的图像上有两点，那么______0．（用“”，“”或“”填空） 43．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知点和点在反比例函数的图象上，如果，那么______．（填“”、“”、“”） 44．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数图像上三点的坐标分别是、、，且，试判断，，的大小关系______． 题型九 k几何意义综合（共4小题） 45．（25-26八年级上·上海·期中）如图，函数的图像经过点，为函数图像上除外任意一点，过点B作y轴的垂线段，垂足为C，若的面积为2，则点B坐标为___________． 46．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是______． 47．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 48．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如图：已知点A在函数的图像上，点A的纵坐标为，长方形的边在x轴上，且 (1)用m表示点D的坐标； (2)当四边形为正方形时，求m的值； 题型十 双函数综合（共4小题） 49．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 50．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 51．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）（1）用“”、“”、“”填空：_____；_____；_____； （2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数、，_____（填“”、“”、“”或“”）； （3）问题解决：如图，已知点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，过点作轴于点，过点作轴于点．那么矩形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 52．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 题型十一 几何存在性问题（共5小题） 53．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点． (1)求b的值和点B的坐标； (2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标； (3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 54．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求k和m的值； (2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标． (3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 55．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象都经过点，点 是正比例函数图象上的一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交反比例函数的图象于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 交正比例函数的图于点 ． (1)求正比例函数解析式、反比例函数解析式． (2)当点的纵坐标为6时，求 的面积． (3)在第（2）小题的条件下，若直线 上存在一点 ，且点 的横坐标为 ，的面积为 ，直接写出 关于 的解析式，并写出定义域． 56．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 57．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 题型十二 反比例函数动态问题（共3小题） 58．（23-24九年级下·上海·二轮复习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，，且．    (1)求点的坐标； (2)将沿轴向右平移，点、、的对应点分别是点、、，如果点、都落在双曲线上，求的值； (3)如果直线与第（2）小题中的双曲线有两个公共点和，求的值． 59．（24-25八年级上·上海长宁·期末）定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数．如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为， (1)如果， ①求这两个函数的特征数； ②如果点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，若的面积为1，求点的坐标； (2)如果点O绕点P顺时针旋转后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值： （无需写出过程）． 60．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． $专题04 反比例函数（6常考2易错4压轴） 题型1 反比例函数的概念（常考） 题型7 反比例函数的增减性（易错） 题型2 反比例函数的图像与象限（常考） 题型8 反比例函数值大小比较（易错） 题型3 反比例函数的基础性质（常考） 题型9 k几何意义综合（压轴） 题型4 反比例函数k的几何意义（常考） 题型10双反比例函数综合（压轴） 题型5 一次函数与反比例函数的交点（常考） 题型11几何存在性问题（压轴） 题型6 反比例函数的实际应用（常考） 题型12 反比例函数动态问题（压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 反比例函数的概念（共3小题） 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【答案】C 【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系,故A错误； B、等边三角形的面积与它的边长不成反比例关系；故B错误； C、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故C正确； D、长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b不成反比例关系；故D错误. 故选：C 2．（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 反比例函数的标准形式为， 选项A：，为一次函数，不符合； 选项B：，为正比例函数，不符合； 选项C：，为y与成反比，不符合； 选项D：，符合形式，其中； 故选：D． 3．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如果点是反比例函数图象上一点，那么_____． 【答案】 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ， ， 故答案为：． 题型二 反比例函数的图像与象限（共3小题） 4．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）矩形面积为20，则长y与宽x的函数关系图象是（     ） A．第一象限的双曲线 B．第一象限的直线 C．第二象限的双曲线 D．全体象限的直线 【答案】A 【详解】解：∵ 矩形面积=长×宽， ∴ ， 此为反比例函数，图象为双曲线． 又∵ （长和宽均为正数）， ∴ 函数图象仅位于第一象限． 故选：A． 5．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如果点在正比例函数的图像上，那么反比例函数的图像所在的象限是________． 【答案】第二，四象限 【详解】解：∵点在正比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数的图像所在的象限是第二，四象限， 故答案为：第二，四象限。 6．若关于的一元二次方程没有实数根，则反比例函数的图象位于第_____象限． 【答案】一、三 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限． 题型三 反比例函数的基础性质（共5小题） 7．（24-25八年级上·上海长宁·期末）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（    ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值y随x的增大而增大 【答案】D 【详解】解：解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意； B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意； C、当时，，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 8．（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 【答案】D 【详解】解：∵，比例系数为，故选项B错误，不符合题意； ∴图象在第二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 在每一个象限内，随着的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 如果点和点在该函数的图象上，那么；故选项D正确，符合题意； 故选D． 9．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．百米赛跑中，运动员的平均速度与跑步成绩成反比例 B．反比例函数，当自变量逐渐增大时，的值随着逐渐减小 C．三角形三边垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等 D．直角三角形可以分割成两个等腰三角形 【答案】B 【详解】解：A、百米赛跑中，运动员的平均速度与跑步成绩成反比例，是真命题,不符合题意； B、反比例函数，在同一象限内，当自变量逐渐增大时，的值随着逐渐减小，原说法错误,是假命题，符合题意； C、三角形三边垂直平分线的交点到该三角形三个顶点的距离相等,该说法正确,是真命题，不符合题意； D、因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以直角三角形可以被斜边上的中线分割成两个等腰三角形，原说法正确,是真命题，不符合题意． 故选：B． 10．（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 【答案】C 【详解】解：A选项，当时，选项不符合题意； B选项，反比例函数的，函数图像经过第二，四象限，B选项不符合题意； C选项，函数图像在第二，四象限内，随的增大的增大，C选项符合题意； D选项，函数图象关于直线对称，D选项不符合题意． 故选：C． 11．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图像经过点 C．图像关于直线对称 D．图像位于第二、四象限 【答案】A 【详解】解：由反比例函数的性质，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故A是不正确的，符合题意； 由点的坐标满足反比例函数，故B是正确的，不符合题意； 由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数的图象关于对称是正确的，故C是正确的，不符合题意； 由，双曲线位于二、四象限，故D是正确的，不符合题意； 故选：A． 题型四 反比例函数k的几何意义（共9小题） 12．（24-25八年级上·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，如图所示： ， ∴四边形是矩形， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴设点A的坐标为，其中， 又∵A在点B左侧，且A、B两点横、纵坐标都相差2， ∴点B的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点B， ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴点，点， ， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 故选：． 13．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，点A在反比例函数图象上，轴，垂足为B，且，则___________． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为， ∵轴，且点在第二象限， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是______． 【答案】 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 根据甲同学的说法可得：， ∴， 根据乙同学的说法可知：， ∴， ∴根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是满足甲乙两同学说法的反比例函数解析式是． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·上海·期末）反比例函数的图像如图所示，若的面积是2，则k的值为_____________． 【答案】 【详解】解：设点P的坐标为（，）， 则， ∴． 又∵点P在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为：． 16．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知点在双曲线上，过点向轴作垂线，垂足为．如果，那么_____________． 【答案】 【详解】当在第一象限或第三象限时，， 当在第二象限或第四象限时，． 故答案是：． 17．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向轴，轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”根据甲同学所描述，此反比例函数的解析式是________． 【答案】 【详解】解：根据题意，满足甲同学说法的反比例函数解析式为：， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，点为第一象限内一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、，为的中点，函数的图像经过点且交于，已知四边形的面积为，则的值为_____．    【答案】 【详解】连接，    ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点, ∴， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，过点作轴，垂足为点，若在反比例函数图像上有一点，使的面积为10，则点的坐标是______． 【答案】或 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图像交于点， ∴设，反比例函数解析式为， ∵过点作轴，垂足为点， ∴， ∴， ∴， 把代入反比例函数解析式得，解得， ∴反比例函数解析式为， ∴设， ∴， ∵的面积为10， ∴， 解得或， ∴或， 故答案为：或． 20．（24-25八年级上·上海·期中）如图，轴于点A，点B在y轴的正半轴上，，点D为线段与反比例函数图象的交点，若直线将面积分成的两部分，则k的值为_________． 【答案】或 【详解】解：连接， ∵直线将面积分成的两部分， ∴点D是线段的三等分点， 当时， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 当时， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 故答案为：或． 题型五 一次函数与反比例函数的交点（共8小题） 21．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，， 当函数值，即函数图象在函数图象下方时，所对应的横坐标的取值范围， ∴由图象可得：或， 故选：C． 22．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：A． 23．（25-26八年级下·上海·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图像交于，，连接、． (1)求的值； (2)的面积． 【答案】(1)3 (2)4 【详解】（1）解：直线交轴于点， ∴， ∴直线， ∵点，在上， ∴，， ∴， ∴，， ∵点在上， ∴； （2）解：∵， ∴， ． 24．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． (1)求k与m的值： (2)直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：把点代入得到， ∴， 把代入得到， 解得 （2）当时，，解得， ∴点B的坐标为， 由（1）可得，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ ∵， ∴的面积为． 25．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出和的交点D的坐标，并根据图像法观察，直接写出当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，或 【详解】（1）解：在中，，， 故点A、B的坐标分别为、， 将点A、B的坐标代入直线的表达式得，， 解得：， 故直线的表达式为； 当时，， 点C的坐标为， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得， 解得：， 故反比例函数的解析式； （2）解：直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D， 联立， 解得：或 ， 点C在第一象限，点D在第三象限， 点D坐标为， 观察图象知，当时，x的取值范围是或． 26．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求k与m的值； (2)求反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点B的坐标． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：把代入得， ∴． 把代入得． （2）解：联立得， 即， 解得或， 当时，， ． 27．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上． (1)求点、的坐标； (2)点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴代入得，故. ∵直线过点， ∴，解得 ∴直线的解析式为. ∵点在直线上， ∴代入得，故； （2）解：如图，点在点右侧，设点， ∵， ∴点到两坐标轴的距离相等， ∴. ∵， ∴轴， ∴点的横坐标与点的横坐标相同，即点的横坐标为， ∴将代入，得， ∴点的坐标为. 设平移后所得直线的解析式为， 将点代入解析式，得，解得， ∴平移后所得直线的表达式为． 28．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系内，函数和交于、两点，已知． (1)求点的坐标； (2)点在坐标轴上，且时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【详解】（1）解：∵函数和交于、两点，． 根据图象的中心对称性，得． （2）解：当点C在x轴上时，设，且，， ∴，，， ∴， ∵， ∴, ∴或， 故点C的坐标为或； 当点C在y轴上时，设，且， ∴或， 故点C的坐标为或． 故点C的坐标为或或或． 题型六 反比例函数的实际应用（共5小题） 29．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加的洗衣粉数量不变．实验发现，每次漂洗用水量（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量（克）与漂洗次数（次）满足（为常数）． 已知使用升水，漂洗次后，衣服中残留的洗衣粉量为克，请回答下列问题： (1)求的值； (2)如果每次用水升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于克，那么至少要漂洗多少次？ 【答案】(1)的值为 (2)至少要漂洗次 【详解】（1）解：当，，时，， 解得：， ∴的值为． （2）解：根据题意，代入中， 即， 又∵要求漂洗后残留的洗衣粉量小于克，为正整数， ∴， 即， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最小值为． 答：至少要漂洗次． 30．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： (1)施工过程中关于的函数解析式是______； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ (3)施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 【答案】(1) (2)个月 (3) 【详解】（1）当时，设直线解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工过程中关于的函数解析式是， （2）当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工结束后关于的函数解析式为， 当时，，解得， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住； （3）当时，， 当时，， 设这个降低的百分率为，根据题意得， ， 解得或（不合题意，舍去） ∴这个降低的百分率为． 31．（23-24八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； （2）骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地，理由： 从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度不超过40千米/小时， 骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地； （3）， 当时，， 解得， 平均速度v的取值范围为． 32．（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 33．（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流I（单位：安培）与电阻R（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻欧姆时，电流安培． (1)求出函数解析式． (2)当安培时，求出R的值． (3)如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？ 【答案】(1)I与R之间的函数关系式为 (2)（欧姆） (3)（欧姆） 【详解】（1）解：由题意设， ∵当电阻欧姆时，电流安培， ∴， ∴I与R之间的函数关系式为：； （2）解：把代入得： ， 解得：（欧姆）； （3）解：∵不得超过10安培， ∴， ∴R的取值范围是：（欧姆）． 题型七 反比例函数的增减性（共3小题） 34．（23-24八年级上·上海长宁·期中）下列函数，y随x增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．正比例函数中，，随的增大而增大，故本选项正确； B．反比例函数中，函数的图象在第一、三象限，此时在每一象限内随的增大而减小，故本选项错误； C．一次函数中，随的增大而减小，故本选项错误； D．反比例函数中，函数的图象在第二、四象限，此时在每一象限内随的增大而增大，故本选项错误； 故选：A 35．（24-25八年级上·上海宝山·期中）函数的图像在每一象限内，y的值随x的增大而__________． 【答案】增大 【详解】解：∵， ∴函数的图像在每一象限内，y的值随x的增大而增大， 故答案为：增大． 36．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象经过点，那么当，这个函数中的函数值随自变量值的增大而_____．（填写“增大”或“减小”） 【答案】增大 【详解】设反比例函数的图象解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 题型八 反比例函数值大小比较（共8小题） 37．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在反比例函数的图象上有三点，若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的图象上有三点， ∴此函数图像在二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第四象限，在第二象限， ∴，， ∴的大小关系为． 故选：B． 38．（23-24八年级上·上海静安·期末）设为反比例函数图象上的两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ，在第三象限，随着的增大而减小， ∴时，； 故选：A． 39．（24-25八年级上·上海·期末）若是反比例函数图象上的两点，则____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：反比例函数中，，在时，y随x增大而减小． ∵点的横坐标满足， ∴． 故答案为：． 40．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是：_____．（用“”连接）． 【答案】 【详解】解：∵函数， ∴函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 41．（24-25八年级上·上海·期末）如果反比例函数的图像经过点、、，且，那么与的大小关系是____________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵在第四象限， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵、在反比例函数的图象上，且， ∴； 故答案为：． 42．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）反比例函数的图像上有两点，那么______0．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【详解】解：∵， 反比例函数的图象在每一个象限内y随着x的增大而减小， ， ， ∴， 故答案为：． 43．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知点和点在反比例函数的图象上，如果，那么______．（填“”、“”、“”） 【答案】 【详解】解：∵， ∴函数图象的两个分支位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 44．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数图像上三点的坐标分别是、、，且，试判断，，的大小关系______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴双曲线分布在第一、三象限，在每一支曲线上，随的增大而减小，且时，，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型九 k几何意义综合（共4小题） 45．（25-26八年级上·上海·期中）如图，函数的图像经过点，为函数图像上除外任意一点，过点B作y轴的垂线段，垂足为C，若的面积为2，则点B坐标为___________． 【答案】或 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵的面积为2， ∴， 即， ∴， ∴ 解得或， ∵， ∴或， ∴点B的坐标为或． 故答案为：或． 46．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是______． 【答案】 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，即点的坐标为， 令一次函数中，则， ∴，即， ∴一次函数解析式为， 作于，于，如下图所示， ∵反比例函数，一次函数都是关于直线对称， ∴，，， 记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为， ∴， 由对称性可知：，，，， ∴， ∴， ∴点坐标，代入直线得， 整理得， ∴或， ∵， ∴， 故答案为：． 47．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) 【详解】（1）解：正方形的面积为， ， 点坐标为， 把代入得，， ； 设直线的解析式为， 把代入得， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：设正方形的边长为，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，（负值，舍去）， 正方形的边长为． 48．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如图：已知点A在函数的图像上，点A的纵坐标为，长方形的边在x轴上，且 (1)用m表示点D的坐标； (2)当四边形为正方形时，求m的值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵点A在函数的图像上，点A的纵坐标为 ∴ ∴； ∵ ∴，， ∴ （2）∵四边形为正方形 ∴ ∴ ∴(负值舍去) 经检验符合题意， ∴． 题型十 双函数综合（共4小题） 49．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：记交轴于点，如图所示： 由知，, 的面积是， , ， ， 故选：B． 50．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 【答案】(1)点，点，点 (2)三角形的面积不变， (3)存在以为直角边的三角形和三角形全等；或 【详解】（1）解：点是反比例函数图形上的动点， ， 点， 轴，轴， ，， 、在反比例函数的图象上， ，， 即：点，点； （2）解：三角形的面积不变；理由如下： 轴，轴， ， ，，， ，， ； （3）解：存在以为直角边的三角形和三角形全等；理由如下： 若以为直角边的△和△全等， ①，，如图1所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）； ②，，如图2所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）， 综上所述：存在以为直角边的三角形和三角形全等；或． 51．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）（1）用“”、“”、“”填空：_____；_____；_____； （2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数、，_____（填“”、“”、“”或“”）； （3）问题解决：如图，已知点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，过点作轴于点，过点作轴于点．那么矩形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，；（2）；（3）矩形的周长存在最小值；最小值为16，此时 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：，，； （2）， ， 故答案为：； （3）矩形的周长存在最小值；理由如下： 设，， 轴，轴， ，， 四边形的周长为， ， ， 当时，即时， 矩形的周长最小值为16，此时． 52．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 【答案】(1)，，； (2)不变， (3)或 【详解】（1）解：∵点是反比例函数图形上的动点， ∴， ∴点， ∵轴，轴， ∴，， ∵在反比例函数的图像上， ∴，， 即：点，点； （2）解：的面积不变，为，理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：若以为直角边的和全等， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴， 解得：，（舍）， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴，解得：，（舍）， 综上所述：或时，以为直角边的和全等． 题型十一 几何存在性问题（共5小题） 53．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点． (1)求b的值和点B的坐标； (2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标； (3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，    设点P的坐标为，则， 对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∵，的面积等于10， ∴， 解得：（舍去）， ∴点P的坐标为； （3）解：设点D的坐标为，点Q的坐标为， 若以为对角线时， ，解得：， ∴点Q的坐标为；此时，共线，经检验不符合题意； 若以为对角线时， ，解得：，经检验符合题意； ∴点Q的坐标为； 若以为对角线时， ，解得：，经检验符合题意； ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 54．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求k和m的值； (2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标． (3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【详解】（1）∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F， 设点D的坐标为， ∵， ∴， ， ， ，， 经检验均是方程的解， ∴点D的坐标为； （3）由题意得：函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：， 当时，， ∴， 分三种情况： 如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等， ∴设，， ∵， ∴， 解得：（舍），， 经检验：是原方程的解， ∴； 如图3，四边形是平行四边形， 由①知，， ∴， ∴，（舍）， 经检验：是原方程的解， ∴点P的坐标为； ③如图4，四边形是平行四边形， ∵B，C关于原点对称， ∴P，Q关于原点对称， 设点Q的坐标为，则点P的坐标为， ∵点P在直线上， ∴， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 55．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象都经过点，点 是正比例函数图象上的一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交反比例函数的图象于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 交正比例函数的图于点 ． (1)求正比例函数解析式、反比例函数解析式． (2)当点的纵坐标为6时，求 的面积． (3)在第（2）小题的条件下，若直线 上存在一点 ，且点 的横坐标为 ，的面积为 ，直接写出 关于 的解析式，并写出定义域． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点， ， ， 正比例函数解析式为，反比例函数解析式为； （2）当时，， ， 把代入，得， ， ， ； （3）由题意得，， ∴关于的解析式为． 56．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：在中，当时， ， ∴， 设直线的表达式为， 把代入中得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解；设点G为x轴坐标轴上一点， ∵轴，点的坐标为， ∴点B的纵坐标为4，， 在中，当时，， ∴， ∵； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为； （3）解：∵点是的中点，点的坐标为， ∴点P的纵坐标为2， 在中，当时，， ∴； 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴点的坐标为或； 当时，则 解得， ∴点C的坐标为； 当时，则， 解得（舍去）或， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或或． 57．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【详解】（1）解：由题意， ∵点E是中点， ∴， ∴把代入得到， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：①如图2中，当E在P右边时，作轴于M． 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵E在P右边， ∴， ∴此时； ②如图3中，当E在P左边时，作轴于M． 设，则， 同理可得， 解得：或， ∵E在P左边， ∴， ∴此时； 综上所述，当或时，的面积为面积的2倍． （3）解：设，则， ∵当E在P点左边， ∴； ①如图，当，时，作于S点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当，时，作轴于T点， 则同①可证得， ∴， ∴， ∴； ③如图，当，时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴此时 综上，或或． 题型十二 反比例函数动态问题（共3小题） 58．（23-24九年级下·上海·二轮复习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，，且．    (1)求点的坐标； (2)将沿轴向右平移，点、、的对应点分别是点、、，如果点、都落在双曲线上，求的值； (3)如果直线与第（2）小题中的双曲线有两个公共点和，求的值． 【答案】(1)点坐标为； (2) (3) 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示：    则， ， ， ， ， ， ， ， ，， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ，， 点坐标为； （2）解：设沿轴向右平移距离为， 则，， 点、都落在双曲线上， ， 解得， 点， ； （3）解：联立， 解得或， 点坐标为，点坐标为， ． 59．（24-25八年级上·上海长宁·期末）定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数．如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为， (1)如果， ①求这两个函数的特征数； ②如果点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，若的面积为1，求点的坐标； (2)如果点O绕点P顺时针旋转后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值： （无需写出过程）． 【答案】(1)①这两个函数的特征数为4；② (2) 【详解】（1）解：①， ， ， 则， 解得：（负值舍去），， 这两个函数的特征数为4； ②由①可知反比例函数解析式为，正比例函数解析式为， 设，则， ， ， 整理得， （负值舍去）， ； （2）解：如图，设落点为，过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ，， 点绕点顺时针旋转落在处， ，， ， ， ，， ， 点在上， ， ， 点和点均在上， ，， 将代入得，（负值舍去）， ，即， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 60．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：点在直线， ， ， 点在第一象限，且点的纵坐标为， 将点代入直线， ， ； （2）解：根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图， ， ， ， 由旋转可知，， ， ，， ， 设直线的函数解析式为， ，即， 直线的函数解析式为； （3）解：如图， ，， ， ，即， ， 设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：， ，，， ，， ，解得或， 点的坐标为或． $