精品解析：山东聊城市阳谷县2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题

2025—2026学年第二学期期中学业水平检测与反馈 七年级数学问卷 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成．共150分．考试时间130分钟． 2．将姓名、准考证号、考场号、座号填写在答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束，只交答题卡． 一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 如图，∠1的对顶角是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角的意义结合具体图形进行判断即可．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 【详解】解：∠1的对顶角是． 故选：B． 【点睛】本题考查对顶角，理解对顶角的意义是正确判断的前提． 2. 下列调查适合普查的是（ ） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 对山东省中学生目前的睡眠时长进行调查 C. 检测某河流的水质污染情况 D. 中国嫦娥六号发射之前对各部分零部件进行检测 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和普查．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．一些调查项目并不适合普查，其一，调查者能力有限，不能进行普查；其二，调查过程带有破坏性；其三，有些被调查的对象无法进行普查． 【详解】解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，本选项不符合题意； B、对山东省中学生目前的睡眠时长进行调查，适合抽样调查，本选项不符合题意； C、检测某河流的水质污染情况，适合抽样调查，本选项不符合题意； D、中国嫦娥六号发射之前对各部分零部件进行检测，适合普查，本选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、若，，则（理由：平行公理推论），此项正确； B、若，则（理由：内错角相等，两直线平行），此项正确； C、若，则（理由：同位角相等，两直线平行），不能判定，此项错误； D、若，则（理由：同旁内角互补，两直线平行），此项正确． 4. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 5. 李老师要求四位同学各编一个二元一次方程组，那么下面各方程组符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．分母含有未知数，不是二元一次方程组； B．符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； C．最高项次数是2，不是二元一次方程组； D．最高项次数是2，不是二元一次方程组． 6. 下列命题是假命题的个数有（ ） ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．⑤P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知，，，点P到l的距离一定是． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、点到直线的距离、平行公理、同旁内角互补等数学概念，解题的关键是准确理解这些概念的定义和条件． 逐一分析每个命题，根据相关数学概念判断其真假，统计假命题的个数． 【详解】解：命题①：对顶角相等．这是基本定理，正确，为真命题； 命题②：点到直线的距离是垂线段的长度，而非线段本身．原命题混淆了“垂线段”和“距离”，错误，为假命题； 命题③：平行公理要求“过直线外一点”才有且只有一条平行线．命题未限定“直线外”，可能点在直线上，导致错误，为假命题； 命题④：同旁内角互补需两直线平行．原命题未说明条件，若两直线不平行则不成立，错误，为假命题； 命题⑤：点到直线的距离是垂线段的最短长度，PA=1可能是斜边，实际距离应≤1．命题断言“一定是1”错误，为假命题． 综上，假命题为②、③、④、⑤，共4个， 故选：D． 7. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了加减消元法，通过加减消元法，需将两个方程适当变形，使得其中一个未知数的系数相消． 【详解】解：对于方程组 选项A：②①，①得：，②①后为：，整理得： 和均未消去，故A错误． 选项B：①②，②得：，①②后为：，得出，和均未消去，故B错误． 选项C：①②，①得：，②得：，相减后为：，得出被消去，得到，故C正确． 选项D：①②×3，①得：，②得：，相加后为：，得出：，和均未消去，故D错误． 故选：C 8. 下列图形中，已知，可得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．由无法判断； B．∵，∴，无法判断； C．如图， ∵，， ∴ ∴； D．由无法判断． 9. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐是．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童人，竹竿根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设有牧童人，竹竿根，当每人分6根时，剩余14根，即；当每人分8根时，恰好用完，即．由此可列出方程组． 【详解】解：设有牧童人，竹竿根． 由题意得，， 故选：B． 10. 将一副三角尺按如图所示的方式放置，，，．给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】若，则，可推出，，即可判断①；若，则，即可判断②；由，得，即，即可判断③；若，由③得，由①得：，即可判断④． 【详解】解：若，则， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若，则； ∴，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； 若，由③得， 由①得：， ∴，故④正确； 即正确的结论有①②③④． 11. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过的顶点作直线，则，根据角的和差得到，利用平行线的传递性可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过的顶点作直线， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 12. 定义运算“*”，规定 ，其中a、b为常数，且，，则（ ） A. -3 B. 5 C. 25 D. 29 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义列出方程组，解方程组求得，代入规定的式子，将代入进而即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴， ． 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分，只要求填写最后结果） 13. 某县有2万名学生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，以下说法：①这万名考生的数学成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③名考生是总体的一个样本；④样本容量是名．其中说法正确的是______（填序号）． 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，本题调查的是学生的中考数学成绩，所以调查的总体是万名学生的中考数学成绩，个体是每个学生的中考数学成绩，样本是被抽取到的名学生的中考数学成绩，样本容量是． 【详解】解：①这万名考生的数学成绩的全体是总体，故①正确； ②每个考生的数学中考成绩是个体，故②不正确； ③名考生的中考数学成绩是总体的一个样本，故③不正确； ④样本容量是，故④不正确． 故答案为：①． 14. 已知方程，用含x的代数式表示y，则_______． 【答案】2x-5##-5+2x 【解析】 【分析】根据等式的性质，正确变形即可． 【详解】解：∵， ∴y=2x-5， 故答案为：2x-5． 【点睛】本题考查了等式的变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 15. 已知 是关于x、y的二元一次方程，则_____． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，二元一次方程需满足含有两个未知数，且未知数的项的次数为，含未知数的一次项系数不为，据此列出关于，的关系式，求解后计算即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且，, 解得，, 则． 16. 如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据折叠的性质作答即可． 【详解】解：如图，∵纸条两边平行， ∴， ∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠， ∴． 17. 如果 ，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】由非负数的性质得，解方程组求出，然后将x的值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴． 18. 当实数满足时，称点为“创新点”，若以关于的方程组的解为坐标的点为“创新点”，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义以及二元一次方程组的求解，正确理解新定义即可作答． 【详解】为“创新点”． 根据题目可知：满足，即 将代入方程组：中， 得到： 解得： 故答案为：． 三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答题应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 19. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【小问1详解】 解： 将①代入②，得 将代入①，得 ∴方程组的解为 【小问2详解】 解： ①两边同乘12，得 ②展开并化简，得 ，得 ，得 ，得 将代入③，得 ∴方程组的解为 20. 如图，直线，交于点O，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线性质得出，进而求出，再结合得到，最后根据平角关系算出． （2）先由求出，再依据与的比例关系算出，利用对顶角相等得到，最后根据角平分线性质求出． 【小问1详解】 解：由条件可知， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由条件可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 21. 希望中学做了如表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：h）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A．家政 B．烹饪 C．剪纸 D．园艺 E．陶艺 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）参与本次问卷调查的学生人数 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 度； （2）补全周家务劳动时间的频数直方图； （3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数． 【答案】（1）人， （2）补图见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图 ，扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （）用周家务劳动时间在的人数除以其百分比可求出参与本次问卷调查的学生人数，进而可求出扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数； （）求出周家务劳动时间在的学生人数，再补全频数直方图即可； （）求出被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用乘以喜欢“烹饪”课程的学生人数占比即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴参与本次问卷调查的学生人数为人， ∴扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数为， 故答案为：人，； 【小问2详解】 解：∵参与本次问卷调查的学生人数为人， ∴周家务劳动时间在的学生人数为， ∴补全周家务劳动时间的频数直方图如下： 【小问3详解】 解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为， （人）， 答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数为人． 22. 如图，， （1）试说明：与平行吗？并说明理由； （2）若是的平分线，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟知平行线和角平分线的性质． （1）先根据，得到，再根据得到故可求解； （2）先求出，得到，根据平行线的性质即可得到的度数． 【小问1详解】 证明：，理由如下： ∵， ， ∵， ， ∴； 【小问2详解】 ∵，， 平分 ， ∵， ． 23. 解答 题目主题 如何设计购买方案？ 素材1 某班同学暑假要去某景区参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知该景区有A、B两场历史演出活动，且购买2张A演出门票比1张B演出门票多10元，购买5张A演出门票和3张B演出门票的费用一样多 素材2 若购买门票的总预算为600元（全部花完），并且A演出、B演出两种门票都要购买． 问题解决 （1）任务1：确定演出门票价格，请分别求出A演出和B演出的门票单价． （2）任务2：拟定购买方案，请你设计出所有购买方案． 【答案】（1）一张A演出门票30元，一张B演出门票50元； （2）共有3种购买方案，购买A演出门票15张，购买B演出门票3张；购买A演出门票10张，购买B演出门票6张；购买A演出门票5张，购买B演出门票9张． 【解析】 【分析】（1）设一张A演出门票为x元，一张B演出门票为y元，根据“购买2张A演出门票比1张B演出门票多10元，购买5张A演出门票和3张B演出门票的费用一样多”列方程组求解即可； （2）设购买A演出门票m张，购买B演出门票n张，根据题意列出二元一次方程，结合实际取合适的解即可． 【小问1详解】 解：设一张A演出门票为x元，一张B演出门票为y元， 由题意得： 解得 答：一张A演出门票30元，一张B演出门票50元； 【小问2详解】 解：设购买A演出门票m张，购买B演出门票n张， 则依题意得：， 又均为正整数， 或或， ∴共有3种购买方案，购买A演出门票15张，购买B演出门票3张； 购买A演出门票10张，购买B演出门票6张； 购买A演出门票5张，购买B演出门票9张． 24. 定义：在解方程组时，我们可以先令，得，再令，得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． （1）用轮换对称解法解方程组． （2）如图，小亮和小莹一起搭积木，小亮所搭的“小塔”高度为，小莹所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求A、B型积木的高分别是多少厘米？ 【答案】（1），过程见解析； （2）A、B型积木的高分别是，． 【解析】 【分析】（1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【小问1详解】 解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②①，得， 解方程组得． A、B型积木的高分别是，． 25. 果园要运一批水果．用车信息如表： 第一次 第二次 甲种货车车辆数/辆 2 5 乙种货车车辆数/辆 3 6 累计运货量/吨 23 50 现在公司准备租用5辆甲种货车和4辆乙种货车，可一次刚好运完，如果每吨运费350元，果园应付车费多少元？ 【答案】果园应付运费14000元． 【解析】 【分析】设甲种货车每辆每次运货x吨，乙种货车每辆每次运货y吨，先列二元一次方程组求解的值，再求出总重量和运费即可． 【详解】解：设甲种货车每辆每次运货x吨，乙种货车每辆每次运货y吨， 根据题意，得 解得 所以这批水果的总重量为 (吨) ， 则果园应付运费为 (元) ， 答：果园应付运费14000元． 26. 【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 第1页/共1页 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B. C. D. 2. 下列调查适合普查的是（ ） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 对山东省中学生目前的睡眠时长进行调查 C. 检测某河流的水质污染情况 D. 中国嫦娥六号发射之前对各部分零部件进行检测 3. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 李老师要求四位同学各编一个二元一次方程组，那么下面各方程组符合要求的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的个数有（ ） ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．⑤P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知，，，点P到l的距离一定是． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 下列图形中，已知，可得到的是（ ） A. B. C. D. 9. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐是．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童人，竹竿根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 将一副三角尺按如图所示的方式放置，，，．给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 11. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 12. 定义运算“*”，规定 ，其中a、b为常数，且，，则（ ） A. -3 B. 5 C. 25 D. 29 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分，只要求填写最后结果） 13. 某县有2万名学生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，以下说法：①这万名考生的数学成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③名考生是总体的一个样本；④样本容量是名．其中说法正确的是______（填序号）． 14. 已知方程，用含x的代数式表示y，则_______． 15. 已知 是关于x、y的二元一次方程，则_____． 16. 如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则_____． 17. 如果 ，则_____． 18. 当实数满足时，称点为“创新点”，若以关于的方程组的解为坐标的点为“创新点”，则的值为______． 三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答题应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 19. 解下列方程组： （1）； （2）． 20. 如图，直线，交于点O，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 21. 希望中学做了如表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：h）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A．家政 B．烹饪 C．剪纸 D．园艺 E．陶艺 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）参与本次问卷调查的学生人数 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 度； （2）补全周家务劳动时间的频数直方图； （3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数． 22. 如图，， （1）试说明：与平行吗？并说明理由； （2）若是的平分线，，求的度数． 23. 解答 题目主题 如何设计购买方案？ 素材1 某班同学暑假要去某景区参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知该景区有A、B两场历史演出活动，且购买2张A演出门票比1张B演出门票多10元，购买5张A演出门票和3张B演出门票的费用一样多 素材2 若购买门票的总预算为600元（全部花完），并且A演出、B演出两种门票都要购买． 问题解决 （1）任务1：确定演出门票价格，请分别求出A演出和B演出的门票单价． （2）任务2：拟定购买方案，请你设计出所有购买方案． 24. 定义：在解方程组时，我们可以先令，得，再令，得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． （1）用轮换对称解法解方程组． （2）如图，小亮和小莹一起搭积木，小亮所搭的“小塔”高度为，小莹所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求A、B型积木的高分别是多少厘米？ 25. 果园要运一批水果．用车信息如表： 第一次 第二次 甲种货车车辆数/辆 2 5 乙种货车车辆数/辆 3 6 累计运货量/吨 23 50 现在公司准备租用5辆甲种货车和4辆乙种货车，可一次刚好运完，如果每吨运费350元，果园应付车费多少元？ 26. 【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $