精品解析：辽宁大连市某校2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

长海县高级中学2025-2026年度第二学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【详解】已知，故角为第二象限角． 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逆用两角差的正弦公式化简计算． 【详解】 3. 若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由公式可得结果. 详解： 故选B. 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】由，只需把函数的图象向右平移个单位长度. 5. 在中，，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由. 6. 下列函数中，既是偶函数又是最小正周期为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和周期逐项验证即可求解. 【详解】对于A：是偶函数，但不是周期函数，故A错误； 对于B：是偶函数，最小正周期为，故B错误； 对于C：的最小正周期为，且是偶函数，故C正确； 对于D：的最小正周期为，故D错误. 7. 已知、是关于的方程的两根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合两角和的正切公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为、是关于的方程的两根， 可得， 又因为，可得 由，所以，解得，经检验符合. 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，，解得. ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算公式，可判定A正确；根据共线向量的坐标表示，列出方程，可判定B正确；利用向量垂直的坐标表示，列出方程，可判定C正确；根据且与不共线，求得的范围，可判定D错误. 【详解】由向量 ， 对于A，由向量数量积的坐标运算，可得，所以A正确； 对于B，由，可得，解得，所以B正确； 对于C，由，可得，解得，所以C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，则向量满足且与不共线， 由，可得， 当与共线时，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为，所以D错误. 10. 已知的内角的对边分别为，以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则为等腰直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理和大边对大角可判断A；利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断B；利用可判断C；边化角，利用二倍角公式化简，结合正弦函数性质可判断D. 【详解】对A，由和正弦定理可得，由大边对大角可知，正确； 对B，由和正弦定理可得， 所以，又，所以，正确； 对C，若，则， 即，所以符合条件的有两个，正确； 对D，若，则，即， 因为，所以或， 即或， 当时，，此时为直角三角形； 当时，为等腰三角形. 所以为直角三角形或等腰三角形，错误. 故选：ABC 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上不单调 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，先通过图象算出周期，从而确定的值，再根据图象的最高点确定的值，从而得到解析式；B选项，将代入解析式，即可计算函数值；C选项，通过正弦函数的取值范围即可推导不等式的解集；D选项，平移后得到新的函数，当时，，包含正弦函数的极值点，即可判断出不单调. 【详解】对于A：由图象可知，，所以， 因为图象过，所以，又，所以， 所以，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：令，则， 所以，解得：， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D：将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象， 当时，，该区间包含（正弦函数的极值点）， 所以函数在区间上不单调，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由正切函数周期公式得： . 13. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】. 14. 已知，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题中的角可以看成，而所求角可以看成．令，，则已知条件变为，，所求为．利用两角和与差的余弦公式，并把化为，即可求出结果． 【详解】令，，则，． 因为，所以与均有意义，从而，． 由两角和的余弦公式，得． 又因为，，所以． 因此． 把代入，得． 又因为，所以，解得． 由两角差的余弦公式，得． 同理，，所以． 于是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系计算可得结果； （2）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式直接计算可得结果. 【小问1详解】 ∵，，∴， 可得，； 【小问2详解】 易知，， ∴. 16. 在中，所对的边分别为，已知 （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理列式求解. （2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，得. 【小问2详解】 由余弦定理，得，即， 而，解得，所以的面积. 17. 已知向量，满足：，，与的夹角． （1）求； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积可得，根据数量积的运算律求模长； （2）根据向量垂直可得，根据数量积的运算律运算求解； （3）根据向量平行可知存在实数满足，结合平面向量基本定理运算求解. 【小问1详解】 因为，，与的夹角，则， 可得，所以. 【小问2详解】 因为，则， 即，解得. 【小问3详解】 因为，则存在实数满足， 可得，解得， 所以. 18. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）求函数的对称轴方程； （3）若函数在区间上恰有2个零点，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助辅助角公式将原函数化为正弦型函数后，利用正弦型函数单调性计算即可得； （2）利用正弦型函数对称性计算即可得； （3）由题意可得，结合三角函数性质可计算出，的关系，即可得. 【小问1详解】 ， 令， 解得， 即函数的单调增区间为； 【小问2详解】 令，解得， 所以函数的对称轴方程为； 【小问3详解】 ，即，所以， 由，则， 若在区间上恰有2个零点，， 则，即，故， 又因为，所以． 19. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． （1）请用，表示平行四边形中线段，的长度； （2）请用，表示平行四边形的面积； （3）若，求平行四边形面积的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义结合图形即可求得； （2）利用（1）中结论列式即得； （3）借助三角恒等变换公式可用表示出平行四边形面积，结合范围与正弦函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由图知，在中，，， 在中，易得，则，则， 所以； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 若，由题意可得， 则 ， 由于，故， 则，所以， 所以平行四边形面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长海县高级中学2025-2026年度第二学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则 A. B. C. D. 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 在中，，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 下列函数中，既是偶函数又是最小正周期为的函数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是关于的方程的两根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量 ，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是 10. 已知的内角的对边分别为，以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则为等腰直角三角形 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上不单调 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为_________． 13. 已知，则_________． 14. 已知，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值 16. 在中，所对的边分别为，已知 （1）求的值； （2）求的面积． 17. 已知向量，满足：，，与的夹角． （1）求； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的值． 18. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）求函数的对称轴方程； （3）若函数在区间上恰有2个零点，，求的值． 19. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． （1）请用，表示平行四边形中线段，的长度； （2）请用，表示平行四边形的面积； （3）若，求平行四边形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $