专题06：二次函数综合题 2026年中考数学三轮满分冲刺一卷过（江苏专用）

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数综合题，覆盖参数范围、最值问题、图形变换等中考核心考点，按题型系统梳理函数值比较、参数求解、面积最值等六大专题，通过考点分析、方法归纳、真题训练构建知识网络，助力学生突破难点。 亮点在于“题型归类+核心素养”融合教学，如“新定义问题”培养抽象能力，“翻折平移变换”强化几何直观，配合分层练习与真题溯源。特设5分钟限时测试与即时反馈，确保高效复习，帮助学生提升数学思维与应考能力，为教师提供精准复习节奏指导。

2026年中考数学三轮满分冲刺一卷过（江苏专用） 专题06 二次函数综合题 题型一、函数值的大小比较求参数范围 1．已知抛物线． (1)若，求抛物线的对称轴； (2)若，且抛物线的对称轴在y轴右侧，点，，在抛物线上．若，求b的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求该抛物线的对称轴； (2)若，在抛物线上，且满足，当抛物线对称轴为直线时，求t的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求y的值； (2)当，时，求抛物线的对称轴； (3)若对于，，都有，求t的取值范围． 4 在平面直角坐标系中，已知抛物线：． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）当时，y的最大值与最小值的差为10，求该二次函数的表达式； （3）对于二次函数图像上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图像，直接写出t的取值范围； （4）若，，为抛物线上三点，且总有，求m的取值范围． 5. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点． （1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）； （2）①当，时，，求t的取值范围； ②若对于，，都有，则t的取值范围为 ． 题型二、求参数范围 6．在平面直角坐标系中，抛物线解析式为． (1)用含的式子表示抛物线的顶点坐标； (2)点为，点为． ①当时，若抛物线与线段有两个不同的交点，求的取值范围； ②当时，若抛物线与线段恰有一个交点，直接写出的取值范围． 7．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为． (1)求b，c的值（用含a，h的式子表示）； (2)将抛物线在直线右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，得到图形G．已知，，当时，对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点，求h的取值范围； (3)为抛物线上一点，在（2）的条件下，若m的最大值小于6，求a的取值范围． 8. 已知二次函数的图象为抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用表示）； （2）若，在抛物线上， ①若，求证：． ②若抛物线经过，且，，对于某一个实数，若最小值为1，则的最大值为_______． ③若对于任意的，，总有，则的取值范围是_______． 题型三、最值问题（线段与面积） 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 10．已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值． (2)求当时，二次函数的最大值． (3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式． 11．已知二次函数 (1)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 12．在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）当时， ①若，求该函数最小值； ②若，则此时对应的函数值的最小值是5，求的值； （2）当时，若对于任意的满足且此时所对应的函数值的最小值是12，直接写出的值． 13．已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； （2）若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值； （3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值． 14．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点为抛物线上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为． (1)求的值； (2)当线段与抛物线有两个公共点时，求出的取值范围； (3)过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上运动的过程中，若线段的长随的增大而增大，直接写出的取值范围． 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标； （3）当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围． 16. 已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上，且点的横坐标为 （1）直接写出该抛物线的顶点坐标______用含有的代数式表示 （2）当时，若， ①当时，求的取值范围； ②抛物线之间的最大值与最小值的差为，直接写出的取值范围______． （3）当点坐标为，点关于坐标原点的对称点为，以为对角线作矩形，且矩形的边平行于坐标轴．当抛物线与矩形的边有且只有两个公共点，且经过这两个公共点的直线将矩形分成面积比为的两部分时，求的值． 17. 已知二次函数的图像与轴交于点，顶点为点．直线的表达式为：． （1）填空：________；（用含的式子表示） （2）若该二次函数图像与轴的另一个交点为，与直线交于、两点．点为二次函数图像上任意一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点． ①若点是线段的中点，求点的坐标； ②设、的纵坐标分别为、，若，则的取值范围是_________； （3）若平移该二次函数图像，使其顶点落在直线上．设抛物线与直线的另一个交点为，点在直线l上方的二次函数图像上，求点到直线距离的最大值． 18. 抛物线的顶点为P，作轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧），交抛物线的对称轴于点H，且，则称为该抛物线的顶端三角形． （1）求抛物线的顶端三角形的面积； （2）下列说法正确的有 ；（ 填序号 ） ①抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形： ②当时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为； ③当时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为． （3）抛物线的顶端三角形面积为 ； （4）已知抛物线的顶端三角形面积为2，且点在的内部（含边界），求a的值及b、c的取值范围． 题型四、图形的翻折、平移、旋转问题 19. 已知抛物线（a为常数，且）． （1）求证：该抛物线的图像与x轴有公共点； （2）若时，此抛物线与x轴交于A，B两点，且． ①求该抛物线的函数表达式； ②将该抛物线在间的部分记为图象M，并将图象M在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象N，记N这个函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形G，点在图形G上． ①当时，求b的取值范围； ②若b的取值范围为全体实数，直接写出符合题意的t的取值范围． 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形． ①过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，已知点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围； ②若，且点，在图形上，对任意的，都有，直接写出实数的取值范围． 22．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式(用含a的式子表示)； (2)过点作y轴的垂线l，将抛物线在直线l下方的部分沿直线l翻折，与抛物线的其他部分组成的图形记为G，直线与直线交于点M，与图形G交于点N(不与点M重合)，若的长度随t的增大而减小，求所有满足题意的t的取值范围． 23. 如图，抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，作轴，垂足为D，连接． ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标； ②若点P在y轴左侧时，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标． 24. 如图，二次函数 的图象与轴交于两点，与轴交于点．点的坐标为，点的坐标为直线经过两点． （1） ， ； （2）点为轴上的动点，过点且平行于轴的直线，分别交该二次函数的图象于点（点在点的左边），交直线于点（如图）． 当点为线段的中点时，求点的坐标； 设的横坐标分别为，点的纵坐标为； 若，则的取值范围是 ． （3）若将该二次函数的图象进行适当平移，当平移后的图象与直线最多只有一个公共点时，请直接写出图象平移的最短距离，并求出平移后的二次函数图象的顶点坐标． 25. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点． （1）写出抛物线的对称轴为直线______，抛物线的解析式为______； （2）如图2，连结，若P在上方，作轴交于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为h，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值； （3）若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由． （4）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形为矩形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型五、新定义问题 26．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，﹣1），（﹣，），（，﹣），…都是“慧泉”点． （1）判断函数y＝2x﹣3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标； （2）若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）． ①求a，c的值； ②若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为﹣，求实数n的取值范围． 27. 在平面直角坐标系中，过点作垂直于x轴的直线l，将函数图像位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移个单位得到新的函数图像，我们称这种变换为轴移变换，记作：，由M与组成的新的图像对应的函数叫做“距美函数”，例如：图1是反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像如图2所示． （1）填空： ①在图2的“距美函数”中，当函数值时，x的值为_________； ②直线经过得到的“距美函数”的表达式为：； （2）抛物线经过得到“距美函数”，对于该“距美函数”，当时，，求t的值； （3）如图3，点，在x轴上，以为一边在x轴上方画矩形，使，抛物线经过得到“距美函数”的图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，直接写出k的取值范围______． 题型六、综合探究 28. 数学兴趣小组同学们对二次函数（n为正数）进行如下探究： （1）同学们在探究中发现，该函数图象除与y轴交点不变外，还经过一个定点A______； （2）有同学研究后认为，该二次函数图象顶点不会落在第一象限，你认为是否正确； （3）若抛物线与x轴有两个交点，且交点与顶点构成的三角形是直角三角形，请帮兴趣小组同学求出n的值． 29. “求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题． （1）思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，的图象与x轴、y轴交于点、，把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得，所以点C坐标为______，由此可求得直线BC的表达式． 承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线上一点，沿y轴翻折得点，则，，即，代入得翻折后所得直线的表达式为______． （2）请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式． （3）下列说法中正确的有______填序号 ①将一次函数的图象沿直线翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线翻折所得图象的表达式为；③将二次函数的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为；④将函数的图象沿直线翻折得到图象的表达式为 （4）将抛物线沿直线翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点，，且，求b的取值范围． 1．（2023淮安中考）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0）， ①b的值是 　　 ，点B的坐标是 　　 ； ②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围； （2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； （3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围． 2.（2024淮安中考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，8），顶点为P． （1）c＝　　 ； （2）当a＝时， ①若顶点P到x轴的距离为10，则b＝　　 ； ②直线m过点（0，2b）且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h．随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由； （3）若二次函数图象交x轴于B、C两点，点B坐标为（8，0），且△ABC的面积不小于20，求a的取值范围． 3.（2025淮安中考）已知二次函数y＝﹣mx+m﹣1（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，则m＝　2　 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 5. A，B是二次函数（a，b，c为常数，且，）图像上的点，且轴，C是该函数图像的顶点．顶点C到直线的距离为h，． （1）若顶点C的坐标为，，则a的值为_______； （2）当时，求证：； （3）点A的坐标为，当时，y的最小值为，则a的值是_______． 6. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由． 7. 已知抛物线与轴交于、两点，点在点左边，点的坐标为，且抛物线的对称轴是直线， （1）求此抛物线的表达式． （2）在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且，求的面积． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求的面积； （3）若点Р是抛物线上的一个动点，过点Р作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 9. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值； （3）已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学三轮满分冲刺一卷过（江苏专用） 专题06 二次函数综合题 题型一、函数值的大小比较求参数范围 1．已知抛物线． (1)若，求抛物线的对称轴； (2)若，且抛物线的对称轴在y轴右侧，点，，在抛物线上．若，求b的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是： （1）根据对称轴公式即可求得； （2）根据题意得出，即可得到． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的对称轴为直线． （2）当时，抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 点，，在抛物线上，且， ， ． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求该抛物线的对称轴； (2)若，在抛物线上，且满足，当抛物线对称轴为直线时，求t的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键． （1）先求得抛物线与y轴的交点坐标，根据二次函数的对称性求解即可； （2）先求得、、，再根据已知列不等式组，然后解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， 当时，，即抛物线与y轴的交点坐标为； 抛物线经过点， 又抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，即直线； （2）解：若抛物线对称轴为直线，则，即， 抛物线的解析式为， 在抛物线上， ， 又， ， ∴ ． 3．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求y的值； (2)当，时，求抛物线的对称轴； (3)若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将，代入解析式即可求解； （2）将，代入解析式，得出即可得解； （3）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解； 【详解】（1）解：当时，； （2）由题意得，解得， ∵ ∴抛物线的对称轴； （3）， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为，， 点在对称轴的右侧， ①当点在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向上， 在对称轴右侧，随的增大而增大． 由， ， ， 解得， ， ②当点在对称轴上或对称轴左侧时， 设抛物线上的点关于的对称点为， ，解得， ， ， ， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 由， ， ， 解得， ， 综上所述，的取值范围是或． 4 在平面直角坐标系中，已知抛物线：． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）当时，y的最大值与最小值的差为10，求该二次函数的表达式； （3）对于二次函数图像上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图像，直接写出t的取值范围； （4）若，，为抛物线上三点，且总有，求m的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据对称轴是直线求出对称轴即可； （2）根据二次函数的性质求出y的最大值和最小值，即可求解； （3）根据二次函数图象的性质可求解； （4）先根据已知条件得出A，B两点位于对称轴左侧，点C位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，点C到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，求出，再求出m的范围即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为：， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：∵，抛物线的对称轴为， ∴当时， 当时，有最小值，此时， 当时，有最大值，此时， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式； 【小问3详解】 解：∵，对称轴为， ∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，和时的函数值相等， ∵，时，均满足， ∴，， ∴； 【小问4详解】 解：∵，，为抛物线上三点，且总有， 又∵，抛物线的对称轴是直线， ∴A，B两点位于对称轴左侧，点C位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，点C到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离， ∴， 解得：． 5. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点． （1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）； （2）①当，时，，求t的取值范围； ②若对于，，都有，则t的取值范围为 ． 【答案】（1）t （2）① ；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系. （1）直接利用对称轴即可求解． （2）①先分别求出，，然后根据即可求出t的取值范围 ②先分别求出，，然后作差得出关于和的关系式，再根据已知条件得出，，，即可求解t得取值范围． 【小问1详解】 解：对称轴为：直线； 【小问2详解】 ①当时，， 当时，， ∵， ∴， 解得：． ②∵点，是抛物线上任意两点， ∴，， ， ∵，， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二、求参数范围 6．在平面直角坐标系中，抛物线解析式为． (1)用含的式子表示抛物线的顶点坐标； (2)点为，点为． ①当时，若抛物线与线段有两个不同的交点，求的取值范围； ②当时，若抛物线与线段恰有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质， （1）根据顶点坐标公式计算即可； （2）①将代入抛物线解析式得：，得到新的函数解析式，得出抛物线与线段有两个不同交点的条件，并求解即可； ②将代入抛物线解析式得：，得到新的函数解析式，得出抛物线与线段恰有一个交点的条件，并求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴， 把代入，得， ， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：①当时，点为，点为， 将代入抛物线解析式得：， 整理得：， 设，其开口向上，对称轴为． ∴， 综合以上条件，取交集得． 答：m的取值范围为． ②当时，点为，点为， 将代入抛物线解析式得：， 整理得：， 设，其开口向上，对称轴为． 当或 或（另一个根在区间外）或（另一个根在区间外） 解得：或或（根在范围内，在范围外），或（根在范围内，在范围外）． 综合以上情况，m的取值范围为或． 答：m的取值范围为或． 7．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为． (1)求b，c的值（用含a，h的式子表示）； (2)将抛物线在直线右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，得到图形G．已知，，当时，对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点，求h的取值范围； (3)为抛物线上一点，在（2）的条件下，若m的最大值小于6，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，，求解即可； （2）根据题意，得轴，且，在抛物线顶点的上方，当时，要使对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点，分两种情况讨论求解即可； （3）把代入抛物线解析式，化简得，时，m取得最小值1，当时，，由m的最大值小于6，故，再求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 故直线，， ， ，． （2）解：根据题意，得的对称轴为直线， ，的纵坐标相同， 轴，且， ， 在抛物线顶点的上方， 直线与抛物线的交点为， 当时，要使对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点， 当时， 只需满足， ∴， 当时， 同理可得：， ∴， 综上：且． （3）解：为抛物线上一点， ， ， ， ， 时，m取得最小值1， 由且． 当时，取得最大值，且， 由m的最大值小于6， 故， 解得， ， 故． 8. 已知二次函数的图象为抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用表示）； （2）若，在抛物线上， ①若，求证：． ②若抛物线经过，且，，对于某一个实数，若最小值为1，则的最大值为_______． ③若对于任意的，，总有，则的取值范围是_______． 【答案】（1） （2）①见解析；②2；③或 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得解； （2）①由题意可得：，，表示出，结合二次函数的性质即可得解；②求出抛物线的解析式为；从而可得，，求出，令，则，求出，求出当时对应，此时，求出当，时，、的值，计算即可得解；③由①可得，抛物线的对称轴为直线，结合题意得出，求出，得到或，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①∵，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵抛物线经过， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ∵，在抛物线上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 令，则， ∴， ∵对于某一个实数，若的最小值为1， ∴当时，，解得，此时对应，， 当，时，则，， 解得：或，或， ∴的最大值为； ③由①可得，抛物线的对称轴为直线， ∵对于任意的，，总有， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或， 解得：或， 综上所述，的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解二元一次方程组、解一元一次不等式、因式分解的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型三、最值问题（线段与面积） 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 【答案】(1) (2)h的最小值为16． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先求得对称轴为直线，再分当时，当时，两种情况讨论，根据抛物线的开口方向，进而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，且， ∴，， ∴； （2）解：对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时，抛物线开口向下，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时：抛物线开口向上，对称轴，在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴； 当时：抛物线开口向下，对称轴， 在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴， ∵， ∴h的最小值为16． 10．已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值． (2)求当时，二次函数的最大值． (3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，正确的理解题意是解题的关键． （1）把点，代入，即可求得b、c的值； （2）根据二次函数的性质即可求得； （3）平移后新的二次函数的表达式为，分三种情况讨论：①当，即时，在对称轴的右侧，②当，即时， ③当，即时，在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得解得 ，的值分别是，． （2）解：二次函数的表达式为， 二次函数图象的对称轴为直线． ， 二次函数图象的开口向上，当时，随的增大而减小． ， 当时，二次函数有最大值，最大值为． （3）解：平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线． 分三种情况讨论： ①当，即时，在对称轴的右侧， 二次函数在取得最小值， ，解得或，不符合题意． ②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意． ③当，即时，在对称轴的左侧， 二次函数在时取得最小值， ，解得或（舍去）， 此时二次函数的表达式为，即． 综上所述，平移后新的二次函数的表达式为． 11．已知二次函数 (1)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】(1)函数的最大值为，最小值为 (2)或 【分析】（1）根据二次函数的性质及自变量的取值范围即可解答； （2）根据二次函数的性质及自变量的取值范围对分类讨论，根据的取值范围列方程即可得到的值 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴是，顶点坐标为； ∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，． ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，． 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为； （2）解：当时，对进行分类讨论． ①当时，即时，随着的增大而增大． 当时，， 当时，， ∴， ∴， 解得(不合题意，舍去)； ②当时，顶点的横坐标在取值范围内， ∴， 当时，在时，， ∴ ∴，解得， (不合题意，舍去)； 当时，在时，， ∴， ∴，解得 (不合题意，舍去)； ③当时，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴， ∴， 解得(不合题意，舍去)． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，分类讨论思想，掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）当时， ①若，求该函数最小值； ②若，则此时对应的函数值的最小值是5，求的值； （2）当时，若对于任意的满足且此时所对应的函数值的最小值是12，直接写出的值． 【答案】（1）①3；②5；（2）或者 【分析】（1）①确定函数的解析式，根据解析式的特点求其最小值即可；②判断对称轴与自变量的取值范围大小关系，根据位置关系，利用函数的增减性计算即可； （2）分b≥0和b＜0两种情形求解即可． 【详解】解：（1）①当b=-2，c=4时，二次函数变形为： ， 当时函数的最小值为3； ②∵抛物线为． 此时抛物线开口向上，对称轴为． ∴当时，随增大而增大． ∵1＜， ∴取值范围位于对称轴的右侧， ∴当时，， ∴． ∴． （2）当b≥0时， ∵二次函数的对称轴为x=， ∴＜， ∴取值范围位于对称轴的右侧， ∴当x=b时，函数有最小值， ∴， 解得b=2或b=-3（舍去）； 当b＜0时， ∵二次函数的对称轴为x=， 当对称轴位于取值范围内时，， ∴x=时，函数有最小值， ∴，此时无解； 当对称轴不位于取值范围内时，， ∴位于对称轴的左侧， ∵随增大而减小， ∴x=b+2时，函数有最小值， ∴， 整理，得； 解得b=或b=（舍去）； ∴或者． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，函数的增减性，指定取值范围内的最值，准确判定对称轴与指定取值范围的关系是解题的关键． 13．已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； （2）若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值； （3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值． 【答案】（1）；（2）或4；（3）4． 【分析】（1）将点代入二次函数的解析式可得的值，根据二次函数的对称轴可得的值，由此即可得； （2）先求出二次函数的对称轴为，再分，和三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得； （3）先根据可得，令，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得． 【详解】解：（1）将点代入得：， 二次函数的对称轴为， ，解得， 则此二次函数的表达式为； （2），即， ， 则此二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： ①当，即时， 在内，随的增大而减小， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（不符题设，舍去）； ②当，即时， 在内，随的增大而减小；在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（均不符题设，舍去）； ③当，即时， 在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（不符题设，舍去）， 综上，的值为或4； （3）由（1）可知，， 由得：，即， 令， 在内，随的增大而增大， 要使得当时，总有，则只需当时，即可， 因此有， 解得， 则实数的最小值为4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键． 14．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点为抛物线上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为． (1)求的值； (2)当线段与抛物线有两个公共点时，求出的取值范围； (3)过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上运动的过程中，若线段的长随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入即可求出的值； （2）分两种情况：当时；当时，分别画图求解即可； （3）先求出，分两种情况：当或时，当时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为， ∴该抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵点为抛物线上任意一点，其横坐标为，轴，点的横坐标为， 设，，并设与抛物线的另一个交点为，则，， ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 当时，如图， ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 此时； 当时，如图， ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 此时； 综上所述，当线段与抛物线有两个公共点时，的取值范围为或； （3）解： 由（2）的解答可知：，，， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵轴交抛物线于点， 设， ∴， ∴， 当时，解得：或， 当或时，， 如图， ∵线段的长随的增大而增大， ∴， 此时； 当时，， 如图， ∵线段的长随的增大而增大， ∴， 此时； 综上所述，点在抛物线上运动的过程中，若线段的长随的增大而增大， 的取值范围为或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，函数图像上点的坐标特征，坐标与图形，二次函数的图像与性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标； （3）当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将 ，代入解析式，利用待定系数法求解； （2）由可得当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，由此可解； （3）分，，三种情况，结合二次函数图象求出最大值、最小值，作差判断否为定值即可． 【小问1详解】 解：将 ，代入， 得：， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 当时，， ， ， ，， ； ， 二次函数图象的顶点坐标为； ， 当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值， 此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）得， 二次函数图象的对称轴为直线， 当时，，y有最大值0， ，y有最小值， 最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意； 当时，，y有最小值， ，y有最大值0， 最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意； 当时，，y有最小值， ，y有最大值， 最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意； 综上可知，当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数中的面积问题，难度较大，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 16. 已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上，且点的横坐标为 （1）直接写出该抛物线的顶点坐标______用含有的代数式表示 （2）当时，若， ①当时，求的取值范围； ②抛物线之间的最大值与最小值的差为，直接写出的取值范围______． （3）当点坐标为，点关于坐标原点的对称点为，以为对角线作矩形，且矩形的边平行于坐标轴．当抛物线与矩形的边有且只有两个公共点，且经过这两个公共点的直线将矩形分成面积比为的两部分时，求的值． 【答案】（1） （2）①；②或 （3）1或或 【解析】 【分析】（）根据交点式可得：，配方后可得抛物线顶点的坐标； （）①先求出点的坐标，代入可得抛物线的解析式，根据图象即可得时，的取值范围是；②根据抛物线之间的最大值与最小值的差为，确定和时对应的的值，即可解答； （）先根据点坐标为可得，即得抛物线的解析式为，分三种情况，分别画出图形，根据中心对称图形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数与轴交于，两点， ， ∴顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ， ，， ， ， ∴， ， ， ，，， 当时，， 当时，即时，的取值范围是； ②，顶点的坐标为， 点的对称点是， 当时，， ， 解得， ∵抛物线之间的最大值与最小值的差为， 的取值范围是或； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：把点坐标为代入中得，， ， ∴抛物线的解析式为：， ①如图，当点是抛物线的顶点时，， ， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积，的面积， 此时，满足条件， ； ②如图，∵点关于坐标原点的对称点为， ∴当与轴交于点时，直线将矩形分成面积比为的两部分， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得（不合，舍去），； ③如图，点在边上，则点的横坐标为， ， ∴矩形的面积，的面积，满足条件，此时； 综上，的值是或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，矩形的性质，中心对称图形的性质，二次函数的几何应用等，掌握数形结合的思想，并灵活运用所学知识是解题的关键． 17. 已知二次函数的图像与轴交于点，顶点为点．直线的表达式为：． （1）填空：________；（用含的式子表示） （2）若该二次函数图像与轴的另一个交点为，与直线交于、两点．点为二次函数图像上任意一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点． ①若点是线段的中点，求点的坐标； ②设、的纵坐标分别为、，若，则的取值范围是_________； （3）若平移该二次函数图像，使其顶点落在直线上．设抛物线与直线的另一个交点为，点在直线l上方的二次函数图像上，求点到直线距离的最大值． 【答案】（1） （2）①或；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）代入点到，即可求解； （2）①代入，利用待定系数法求出二次函数的解析式是，设点的坐标是，由点是线段的中点，表示出点的坐标，再代入点到直线的表达式，求出的值即可解答；②根据二次函数的性质可得当时，；当或时，，由可知或，分别求出对应的取值范围即可； （3）设点，得到平移后的二次函数解析式为，联立二次函数与直线的表达式，求出点，利用勾股定理得到，过点作轴交直线于点，设点的坐标为，表示出，利用二次函数的性质求出的最大值，设点到直线距离为，利用等面积法表示出，结合的最大值即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图像与轴交于点， ， 整理得：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①由（1）知二次函数的解析式是， 二次函数图像与轴的另一个交点为， ， 解得：， 二次函数的解析式是， 设点的坐标是， 则点的坐标是， 点是线段的中点， 点的坐标是， 又点在直线上， ， 整理得：， 解得：，， 点的坐标是或； ②， 二次函数的图像开口向下， 二次函数的图像与轴的交点为和， 当时，；当或时，， ， 或， 当时，即， 不等式组无解，舍去； 当，即或， 解得：或； 综上所述，的取值范围是或． 故答案是：或． 【小问3详解】 解：顶点落在直线上， 设点， 平移后的二次函数解析式为， 联立， 解得：或， ， ； 过点作轴交直线于点， 设点的坐标为，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 设点到直线距离为， 则， 当取最大值时，有最大值，此时， 点到直线距离的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式、二次函数的平移、勾股定理、线段最值问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，同时涉及复杂的运算，适合有能力解决函数压轴题的学生． 18. 抛物线的顶点为P，作轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧），交抛物线的对称轴于点H，且，则称为该抛物线的顶端三角形． （1）求抛物线的顶端三角形的面积； （2）下列说法正确的有 ；（ 填序号 ） ①抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形： ②当时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为； ③当时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为． （3）抛物线的顶端三角形面积为 ； （4）已知抛物线的顶端三角形面积为2，且点在的内部（含边界），求a的值及b、c的取值范围． 【答案】（1）3 （2）①③ （3）当时，抛物线的顶端三角形面积为，当时，抛物线的顶端三角形面积为 （4）当时，，；当时，， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理， （1）根据顶端三角形的定义，即可求解． （2）①根据抛物线、等腰三角形的对称性，即可判断①，根据顶端三角形的定义判断②和③即可求解； （3）由点P的坐标为，分当和时，分别求得的坐标进而根据三角形的定义即可求解； （4）根据点在的内部（含边界），得出所在直线，根据二次函数的性质求得对称轴，进而得出的坐标，进而确定顶点位置，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点P的坐标为， ∵， ∴， ∴直线此时与x轴重合， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧）， ∴点M和点N关于对称轴对称， ∴， ∴抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形，故①正确； 当时，由于轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧）， ∴一点在定点P的下方， ∵，点P的纵坐标为k， ∴点H的纵坐标为，故②错误； 当时，由于轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧）， ∴一点在定点P的上方， ∵，点P的纵坐标为k， ∴点H的纵坐标为，故③正确； 故答案为：①③； 【小问3详解】 解：∵点P是抛物线的顶点， ∴点P的坐标为， 当时，由（2）的结论可得，点H的坐标为， ∴点M和点N的纵坐标为， 设， 令， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 当时，由（2）的结论可得，点H的坐标为， ∴点M和点N的纵坐标为， 设， 令， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述，当时，抛物线的顶端三角形面积为，当时，抛物线的顶端三角形面积为； 故答案为：当时，抛物线的顶端三角形面积为，当时，抛物线的顶端三角形面积为； 【小问4详解】 解：①当时， ∵抛物线的顶端三角形面积为2， ∴， ∴， ∵ ∴点P的坐标为，， ∴，， ∵点在的内部（含边界）， 当在上时，则顶点在轴上，即， 当点与点重合时，，解得：， 当点与点重合时， ，解得：， ∴当在上时，M在N的左侧，则 ∵ ∴ ∴ ∴当时，， ②当时，则 ∵ ∴点P的坐标为，， ∴，， 当上时，∵，则顶点在轴上，即， 当点与点重合时，，解得：， 当点与点重合时， ，解得：， ∴当在上时， ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴当时，， 综上所述：当时，，；当时，，． 题型四、图形的翻折、平移、旋转问题 19. 已知抛物线（a为常数，且）． （1）求证：该抛物线的图像与x轴有公共点； （2）若时，此抛物线与x轴交于A，B两点，且． ①求该抛物线的函数表达式； ②将该抛物线在间的部分记为图象M，并将图象M在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象N，记N这个函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，轴对称性质，二次函数的最值问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得证该抛物线的图像与x轴有公共点，即可作答． （2）①根据抛物线与x轴交于A，B两点，且，得，解得，，得，即可作答． ②先得该函数的顶点坐标D为，则D关于对称的点，算出，再进行分类讨论，作图，运用数形结合思想且根据二次函数的图象性质，进行列式计算，即可作答． 小问1详解】 证明：∵ ∴ ∴该抛物线的图像与x轴有公共点， 【小问2详解】 ①∵抛物线与x轴交于A，B两点，且， ∴， 则， ∴， 解得，， ∴，得（舍）；或，得 ∴； ②抛物线 则该函数的顶点坐标D为 则D关于对称的点， 当时，； 当时，， 即， Ⅰ、当在E上方时，， 解得 此时最大值，最小值为， 则， 解得， ∴ ； Ⅱ、当在E下方时，， 解得， 此时最大值，最小值为， 则， 解得， ∴； 综上：满足题意的t的取值范围为． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形G，点在图形G上． ①当时，求b的取值范围； ②若b的取值范围为全体实数，直接写出符合题意的t的取值范围． 【答案】(1) (2)①b的取值范围为全体实数② 【分析】（1）将抛物线的解析式转化为顶点式即可得出结果； （2）①求出时的函数解析式，数形结合求出的取值范围即可；②分抛物线的对称轴在轴上，轴左侧，轴右侧，分情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：①当时，，将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形G，如图：    ∵点在图形G上，由图象可知：的范围为全体实数； ②当对称轴为轴或对称轴在轴右侧时，即：，一定满足的取值范围为全体实数； 当对称轴在轴左侧，且顶点纵坐标等于抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折后与轴的交点的坐标时，满足的取值范围为全体实数， 即：，解得：或（舍去） 当对称轴在轴左侧，且顶点纵坐标小于抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折后与轴的交点的坐标时，满足的取值范围为全体实数， 即：， ∴综上：当时，b的取值范围均为全体实数， ∴的范围为． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形． ①过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，已知点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围； ②若，且点，在图形上，对任意的，都有，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①或 ② 【分析】（1）通过配方法将抛物线解析式化为顶点式，直接得出顶点坐标； （2）①分和两类讨论图形的解析式：当时，结合图像可直接判断随增大而增大；当时，写出，坐标并表示出关于的二次函数，利用二次函数的图像和性质解不等式得到的范围；②当时，先确定抛物线的解析式，设，则可转化为，则，结合，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：， 则抛物线的顶点坐标为． （2）①解：由（1）可知，抛物线的对称轴为， 当，图形如下图所示， 据图可知，当点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大； 当，图形如下图所示， 当，解析式为， 则点的坐标为，点的坐标为， 可得， 令，即当，随着的增加而增加， 的对称轴为， 则，解得， 综上，的取值范围为或． ②解：如图，当，抛物线为，当，，当，， 即在图形上，随着的增大而增大， 设，则，可转化为， 若对任意的，都有， 则，解得， 其中，则， 解得． 22．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式(用含a的式子表示)； (2)过点作y轴的垂线l，将抛物线在直线l下方的部分沿直线l翻折，与抛物线的其他部分组成的图形记为G，直线与直线交于点M，与图形G交于点N(不与点M重合)，若的长度随t的增大而减小，求所有满足题意的t的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了二次函数的表达式求解、图形翻折变换、函数单调性分析及区间分类讨论，解题的关键是代入点坐标求抛物线表达式，利用翻折性质确定分段解析式，结合二次函数单调性分析的变化趋势． （1）将点代入抛物线方程，化简求出，得到含的表达式； （2）确定直线，求出抛物线与的交点，推导翻折后解析式，分区间计算的表达式，结合单调性确定的取值范围，验证边界点排除重合情况． 【详解】（1）解：将代入，得， 化简得，即， 故抛物线表达式为． （2）解：直线为， 令，解得或，即抛物线与交于、， 翻折后部分解析式为， 故图形为：， 点． 分类讨论如下： 情况一: 当时，，，   因，对称轴，在时随增大而减小，满足条件（如下图）． 情况二: 联立,求得直线与抛物线的交点A的横坐标为, 当时，，, , ∵,, 则上述关于t的二次函数在时随增大而减小， 故满足条件的t值为． 情况三:当时，，, , ∵,则上述关于t的二次函数在时随增大而增大， 故此种情况不合题意,舍去. 情况四:当时，联立,求得直线与抛物线的交点B的横坐标为, 当时,， , ∵,则上述关于t的二次函数在时随增大而减小， 故满足条件的t值为(见上图)． 情况五: 当时，， ∵,对称轴为,则上述关于t的二次函数在时随增大而增大， 故此种情况不合题意,舍去. 验证时，、重合，不符合题意，排除． 综上，的取值范围为或或． 23. 如图，抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，作轴，垂足为D，连接． ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标； ②若点P在y轴左侧时，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）①；②点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①设，则，，如图1，过点C作于点E，则，，则，，由，可得，即，计算求出满足要求的解即可；②令，可求，待定系数法求直线的解析式为；由勾股定理得，，设，则，，当点P在第三象限时，作轴于F，如图2，由点E与关于对称，可得，由轴，可得，则，，证明，则，即，可求，则，计算求出满足要求的解即可；当点P在第二象限时，如图2，同理可得：，计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：将，代入得，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 ①解：设，则， ∴， 如图1，过点C作于点E，则，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴； ②解：令， 解得，或， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线解析式为； 由勾股定理得，， 设，则，， 当点P在第三象限时，作轴于F，如图2， ∵点E与关于对称， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴点P的坐标为； 当点P在第二象限时，如图2， 同理可得：， 解得，或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，正切，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，正切，勾股定理，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，二次函数 的图象与轴交于两点，与轴交于点．点的坐标为，点的坐标为直线经过两点． （1） ， ； （2）点为轴上的动点，过点且平行于轴的直线，分别交该二次函数的图象于点（点在点的左边），交直线于点（如图）． 当点为线段的中点时，求点的坐标； 设的横坐标分别为，点的纵坐标为； 若，则的取值范围是 ． （3）若将该二次函数的图象进行适当平移，当平移后的图象与直线最多只有一个公共点时，请直接写出图象平移的最短距离，并求出平移后的二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1），； （2）①；②； （3）最短距离为； 顶点坐标． 【解析】 【分析】（）把，两点坐标代入解析式，从而求得，； （）可推出R在抛物线的对称轴上，进一步得出结果； 可推出或，从而得出直线在直线，之间或在轴下方，进一步得出结果； （）可以根据相对运动，假设二次函数不动，平移直线，根据得 ，当时，平移后的直线与抛物线由一个公共点，此时，进而求得图象平移的最短距离，进一步求得移动后抛物线的顶点； 本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一元二次方程的解法等知识以及数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【小问1详解】 由题意得， ， ∴ ， 故答案为：，； 【小问2详解】 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵，关于对称轴对称，是的中点， ∴点的横坐标是， 当时，， 由得，，， ∵在的左边， ∴； 如图， ∵， ∴或 ， ∴或 ， ∵， ∴或， ∴直线在直线，之间或在轴下方， 由得函数的最大值是， ∴或； 【小问3详解】 如图， 根据相对运动，假设二次函数不动，平移直线， ∴，， ∴ 设平移后的直线的解析式为，与轴交于点， 由得，， 当时，平移后的直线与抛物线由一个公共点，公共点记作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图象平移最短距离为， 作轴，作于， ∴， ∴顶点向先平移个单位，向左平移个单位后为． 25. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点． （1）写出抛物线的对称轴为直线______，抛物线的解析式为______； （2）如图2，连结，若P在上方，作轴交于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为h，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值； （3）若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由． （4）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形为矩形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）h的最大值为 （3）不变，这个四边形的面积为16 （4）存在，点P的横坐标为， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可； （3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积； （4）分两种情况，点N在y轴上，点N在x轴上，分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为：， 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解；∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：，解得：， ∴一次函数解析式为：， 设平移后函数解析式为：， 建立方程组得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为：； 【小问3详解】 解：如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴， ∵，， ∴； 【小问4详解】 解：存在，理由如下： 如图1，当点N在y轴上时，四边形是矩形，此时点P的横坐标为：， 如图2，当四边形是矩形时，设，，则， 由题意得：，得，解得：， 综上所述，点P的横坐标为：，． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，运用分类讨论的思想，利用参数构建方程是解题的关键． 题型五、新定义问题 26．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，﹣1），（﹣，），（，﹣），…都是“慧泉”点． （1）判断函数y＝2x﹣3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标； （2）若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）． ①求a，c的值； ②若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为﹣，求实数n的取值范围． 【解答】解：（1）函数y＝2x﹣3的图象上存在“慧泉”点， 根据题意﹣x＝2x﹣3，解得x＝1， 故其“慧泉”点的坐标为（1，﹣1）； （2）①∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有“慧泉”点， ∴﹣x＝ax2+3x+c，即ax2+4x+c＝0， ∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）． ∴， 解得a＝﹣1，c＝﹣4； ②∵a＝﹣1，c＝﹣4， ∴二次函数为y＝﹣x2+3x﹣4， ∴x＝﹣1时，y＝﹣1﹣3﹣4＝﹣8， ∵y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x﹣）2﹣， ∴对称轴为直线x＝， ∴当x＝时，函数有最大值为﹣， ∵若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为﹣， ∴实数n的取值范围是≤n≤4． 27. 在平面直角坐标系中，过点作垂直于x轴的直线l，将函数图像位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移个单位得到新的函数图像，我们称这种变换为轴移变换，记作：，由M与组成的新的图像对应的函数叫做“距美函数”，例如：图1是反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像如图2所示． （1）填空： ①在图2的“距美函数”中，当函数值时，x的值为_________； ②直线经过得到的“距美函数”的表达式为：； （2）抛物线经过得到“距美函数”，对于该“距美函数”，当时，，求t的值； （3）如图3，点，在x轴上，以为一边在x轴上方画矩形，使，抛物线经过得到“距美函数”的图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，直接写出k的取值范围______． 【答案】（1）①或； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）①根据“距美函数”的概念得到，当时，代入求解即可；②根据“距美函数”的概念得到，据此即可求解； （2）根据“距美函数”的概念求得“距美函数”为，分当和，两种情况求解即可； （3）根据“距美函数”的概念求得“距美函数”为，分顶点在上，顶点在上，经过点时，三种情况讨论，画出图形，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①∵反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像， 即反比例函数的图像关于直线对称，再向左平移2个单位，函数解析式为， ∴， 当时，或， 故答案为：或； ②直线关于直线对称，再向左平移1个单位，得到新的函数图像， 令，则；令，则， 即直线与的交点为，还经过点， 点关于对称点为， 设经过点和的函数解析式为， 则，解得， 此函数解析式为，再向左平移1个单位，得到新的函数的解析式， 即， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点为，对称轴为直线， 由题意得，新抛物线的顶点为，对称轴为直线， ∴“距美函数”为， ∵当时，， ∴，将代入得， ∴， ∴关于的对称点为， 当，则，解得（舍去）； 当，则当时，， ∴，解得（舍去）或； 综上； 【小问3详解】 解：， 则顶点坐标为，顶点在的图象上， 则新抛物线的顶点坐标为， ∴“距美函数”为， 当顶点在上， 则， ∴， ∴，（舍去）， 此时，有2个交点；当顶点在上， 则， ∴，∴，（舍去）， 此时，有6个交点， ∴当时，恰好有4个交点； 当经过点时， 有6个交点， ∴， 解得， ∴当时，恰好有4个交点； 综上，k的取值范围为或． 【点睛】本题考查了与函数相关的变换，函数图像交点问题，二次函数图像与性质，一次函数图像与性质，反比例函数图像与性质，熟练掌二次函数图像与性质并采用分类讨论思想是解题关键． 题型六、综合探究 28. 数学兴趣小组同学们对二次函数（n为正数）进行如下探究： （1）同学们在探究中发现，该函数图象除与y轴交点不变外，还经过一个定点A______； （2）有同学研究后认为，该二次函数图象顶点不会落在第一象限，你认为是否正确； （3）若抛物线与x轴有两个交点，且交点与顶点构成的三角形是直角三角形，请帮兴趣小组同学求出n的值． 【答案】（1）； （2）正确，见解析 （3）或5． 【解析】 【分析】（1）由，当时，函数过定点，即或1，即可求解； （2）求出抛物线的顶点坐标为∶，即可求解； （3）由题意知，三角形是等腰直角三角形，且为直角，则，即，即可求解． 【小问1详解】 解∶， 当时，函数过定点， 即或1， 当时，当时，， 即函数图像除与轴交点不变，还有点． 故答案为∶； 【小问2详解】 正确，理由： 抛物线的对称轴为直线， 当时， 抛物线的顶点坐标为∶， 为正数，则，即对称轴在y轴右侧， 而，即顶点不在第一象限； 【小问3详解】 由（2）可大致画出抛物线的图象如下： 设抛物线和轴的另外一个交点为，抛物线对称轴交轴于点H，顶点为， 令，则或， 则点的坐标为， ， 由题意知，三角形是等腰直角三角形，且为直角， 则， 即， 解得∶(舍去)或1或5， 即或5． 【点睛】本题是二次函数综合题，二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质，去绝对值，解一元二次方程等知识，绝对值的运用是解题的关键． 29. “求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题． （1）思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，的图象与x轴、y轴交于点、，把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得，所以点C坐标为______，由此可求得直线BC的表达式． 承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线上一点，沿y轴翻折得点，则，，即，代入得翻折后所得直线的表达式为______． （2）请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式． （3）下列说法中正确的有______填序号 ①将一次函数的图象沿直线翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线翻折所得图象的表达式为；③将二次函数的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为；④将函数的图象沿直线翻折得到图象的表达式为 （4）将抛物线沿直线翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点，，且，求b的取值范围． 【答案】（1） （2）二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式为 （3）①③④ （4）b的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及一次函数，反比例函数，对称变换等知识，解题的关键是掌握关于某直线对称的两点的坐标关系． （1）由，即得，由，可得； （2）任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点，故，即可得； （3）设一次函数的图象上一点为，点沿直线翻折得到点，可得，从而，知，判断①正确；同理判断②错误，③正确，④正确； （4）任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点，即可得图象G的表达式为，联立，可得，由直线与图象G有两个公共点，有，故，解得，又，可得，即，得，解得；即知b的取值范围为 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点， ， ， ； 二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式为； 【小问3详解】 解：①设一次函数的图象上一点为， 点沿直线翻折得到点， ， ， ，故①正确； ②设反比例函数的图象上一点为， 点沿直线翻折得到点， ， ， ，故②错误； ③设二次函数的图象上一点为， 点沿y轴翻折得到点， ， ， ∴，故③正确； ④设函数的图象上一点为， 点沿直线翻折得到点， ∴，， ，故④正确； 正确的有①③④， 故答案为：①③④； 【小问4详解】 解：任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点， ， 将代入得， 图象G的表达式为， 联立， ∴， 整理得 直线与图象G有两个公共点， ， ∴\， 解得， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 的取值范围为 1．（2023淮安中考）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0）， ①b的值是 　　 ，点B的坐标是 　　 ； ②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围； （2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； （3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围． 【分析】（1）①依据题意，由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0）代入可得b，进而得二次函数解析式，从而可以求出B； ②依据题意，由①令y＝0，y＝5分别求出对应自变量进而可以得解； （2）依据题意，由不等式变形得x2+bx﹣3﹣t＞0，对于一切实数成立，即对函数y＝x2+bx﹣3﹣t与x轴无交点，可得Δ＜0，进而可以得解； （3）依据题意可得抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，从而求出b，进而得二次函数解析式，再由自变量x的取值范围是1＜x＜2，可得n的值，最后可以求出m的范围． 【解答】解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0）， ∴9+3b﹣3＝0， ∴b＝﹣2， ∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0， ∴x2﹣2x﹣3＝0， ∴解得，x＝﹣1或x＝3， ∴B（﹣1，0）； 故答案为：﹣2；（﹣1，0）； ②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5， ∴x＝4或x＝﹣2． 又∵a＝1＞0， ∴二次函数图象开口向上． ∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分， ∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4． （2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立， 即x2+bx﹣3＞t恒成立． 即x2+bx﹣3﹣t＞0． ∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上， ∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0， ∴t＜﹣． （3）由抛物线的对称性可知，抛物线与直线y＝n有两个交点， 若抛物线与直线y＝m也有两个交点，则x的解集有两部分， ∴抛物线与直线y＝m只有一个交点或没有， ∴直线y＝n与抛物线的交点为（1，n），（2，n），m小于等于抛物线的最小值， ∴对称轴x＝﹣＝， ∴b＝﹣3． ∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣）2﹣， ∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5， 由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2， ∴m＜﹣． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 2.（2024淮安中考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，8），顶点为P． （1）c＝　　 ； （2）当a＝时， ①若顶点P到x轴的距离为10，则b＝　　 ； ②直线m过点（0，2b）且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h．随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由； （3）若二次函数图象交x轴于B、C两点，点B坐标为（8，0），且△ABC的面积不小于20，求a的取值范围． 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线表达式即可求解； （2）①由10＝|yP|，即可求解；②由h＝|yP﹣2b|＝|8﹣b2﹣2b|＝|b2+2b﹣8|，即可求解； （3）由BC＝|m﹣n|＝＝＝|8﹣|，则△ABC的面积＝×BC×yA＝4BC≥20，即可求解． 【解答】解：（1）将点A坐标代入抛物线表达式得：c＝8， 故答案为：8； （2）①当a＝时，抛物线的表达式为：y＝x2+bx+8， 则10＝|yP|， 即|8﹣|＝10， 解得：b＝±3， 故答案为：±3； ②顶点P的纵坐标为：c﹣＝8﹣b2， 则h＝|yP﹣2b|＝|8﹣b2﹣2b|＝|b2+2b﹣8|， 令h＝0，则b＝2或﹣4， 函数h的大致图象如下： 从图象看，当b＞2或﹣4＜b＜﹣1时，h随b的最大而增大，当b＜﹣4或﹣1＜b＜2时，h随b的增大而减小； （3）设点C、B的横坐标为m，n， 将点B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+8得：0＝64a+8b+8， 则b＝﹣8a﹣1， 即抛物线的表达式为：y＝ax2+（﹣8a﹣1）x+8， 则m+n＝＝8+，mn＝， 则BC＝|m﹣n|＝＝＝|8﹣|， 则△ABC的面积＝×BC×yA＝4BC≥20， 即|8﹣|≥5， 则8﹣≥5或8﹣≤﹣5， 解得：a≥或0＜a≤或a＜0． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数作图、点到直线的距离、面积的计算等，数形结合和分类求解是解题的关键． 3.（2025淮安中考）已知二次函数y＝﹣mx+m﹣1（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，则m＝　2　 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围． 【分析】（1）将（2，﹣1）代入解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图象与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和单调性，确定p的取值范围． 【解答】解：（1）将（2，﹣1）代入， 得：， 解得m＝2， 故答案为：2； （2）由题可知， ∵（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2+1＞0， ∴Δ＞0， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）的对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴二次函数图象开口向上， ∵y1＜y2， ∴点A（m+1，y1）到对称轴的距离小于点B（m+p，y2）到对称轴的距离， ∴|m+1﹣m|＜|m+p﹣m|， 即|p|＞1， ∴p＞1或p＜﹣1． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）求出抛物线的对称轴为直线，再结合得出点，关于直线对称，即可得出结果； （2）分两种情况：若，则；若，则；结合二次函数的增减性，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点，关于直线对称． ∴． （2）解：若，则． 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 若，则． 当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 综上，的取值范围是或． 5. A，B是二次函数（a，b，c为常数，且，）图像上的点，且轴，C是该函数图像的顶点．顶点C到直线的距离为h，． （1）若顶点C的坐标为，，则a的值为_______； （2）当时，求证：； （3）点A的坐标为，当时，y的最小值为，则a的值是_______． 【答案】（1）1 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可设抛物线表达式为，再找出B点的坐标，代入解析式，即可求得a的值； （2）设顶点C的坐标为，则函数的表达式为，由题意可得B点坐标为，将点代入函数表达式，得，即得，即可解得a的范围； （3）抛物线的表达式为，代入点，得，故．最后再根据对称轴和区间的不同位置展开分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵顶点C的坐标为， ∴设抛物线表达式为， 且A、B两点关于y轴对称，， 故，点C到的距离为1， ∴点B坐标为，代入中，可得； 故答案为：1； 【小问2详解】 证明：设顶点C的坐标为，则函数的表达式为， ∵点C到直线的距离为h，， 设A在B的左侧，则B点坐标为， 将点代入函数表达式，得：， 故， 当时，则， 即； 【小问3详解】 解：∵点A的坐标为，，点C到直线的距离为h， ∴设，， 设抛物线的表达式为，代入点， 得， 故． 当时，不成立，故舍去； 当时，即时， 此时当时，，解得（舍去）； 当时，即时， 此时当时，，解得． 综上，a的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，包括顶点式，对称性，最值，掌握好以上知识点，特别注意分类讨论是解题关键． 6. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为10 （3）故点P坐标为：或或． 【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：，将点B的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG的周长，即可求解； （3），解得：，即可求解． 【详解】（1）二次函数表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：，解得：， 故函数表达式为：…①； （2）设点M的坐标为，则点， 则，， 矩形MNHG的周长， ∵，故当，C有最大值，最大值为10， 此时，点与点D重合； （3）的面积是矩形MNHG面积的， 则， 连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n， 过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即， 过点P作于点K， 将、坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD的表达式为：， ，∴，， 设点，则点， ， 解得：， 则， 解得：， 故点， 直线n的表达式为：…②， 联立①②并解得：， 即点、坐标分别为、； 故点P坐标为：或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 7. 已知抛物线与轴交于、两点，点在点左边，点的坐标为，且抛物线的对称轴是直线， （1）求此抛物线的表达式． （2）在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）存在点，使锐角三角形的面积等于3； （3）8 【解析】 【分析】（1）根据抛物线对称轴解析式列式求出，再把点的坐标代入求出，即可得解； （2）根据抛物线解析式求出点的坐标，再求出的长度，然后利用三角形的面积公式求出点到的距离，然后根据是锐角三角形判断点在轴下方，从而确定点的纵坐标，再代入抛物线解析式计算求出横坐标，从而得解； （3）根据点的坐标可得，然后求出，从而写出直线的解析式，与抛物线解析式联立求出点的坐标，再利用勾股定理求出、的长度，然后根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可得解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， 解得， 点在抛物线上， ， 解得． 所以此抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：存在． 理由如下：令，则， 解得，， 点在点左边， 点的坐标为， ， 设点到的距离为，则， 解得， 是锐角三角形， 点应该在轴的下方， 点的纵坐标为， 代入抛物线解析式得，， 即， 解得，， 又点在对称轴右边的图象上， 点的横坐标为2， 点的坐标为， 此时，过点作轴于点，则，， ，， ，是锐角， 是锐角三角形， 故存在点，使锐角三角形的面积等于3； 【小问3详解】 解：由（2）得， ， ， 点在直线上， 联立， 解得（舍去），， 点的坐标为， 根据勾股定理，， ， 所以的面积． 【点睛】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称轴，点在抛物线上，三角形的面积，直角三角形的面积以及直线与抛物线的交点的求解，难度不是很大，先求出抛物线的解析式是解题的关键，数据的巧妙设计也是本题的一大特点． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求的面积； （3）若点Р是抛物线上的一个动点，过点Р作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 【答案】（1）y＝−x2＋2x＋；（2）；（3）（，2）或（，2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的交点式，结合待定系数法即可求解； （2）△AMC的面积＝S△MHC＋S△MHA＝×MH×OA，即可求解； （3）点D在直线AC上，设点D（m，−m＋），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解． 【详解】解：（1）令x＝0，则y＝，即C（0，）， 设抛物线的表达式为y＝a（x−5）（x＋1）， 将点C的坐标代入上式得：＝a（0−5）（0＋1）， 解得a＝−， ∴抛物线的表达式为：y＝−（x−5）（x＋1）＝−x2＋2x＋； （2）由抛物线的表达式得：顶点M（2，）， 过点M作MH∥y轴交AC于点H， 设直线AC的表达式为y＝kx＋t， 则，解得：， ∴直线AC的表达式为：y＝−x＋， 当x＝2时，y＝，则MH＝−＝3， 则△AMC的面积＝S△MHC＋S△MHA＝×MH×OA＝×3×5＝； （3）点D在直线AC上，设点D（m，−m＋）， 由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可， ∴EF2＝OD2＝m2＋（−m＋）2＝m2−m＋， ∵＞0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1， ∴点D（1，2）， ∵点P、D的纵坐标相同， ∴2＝−x2＋2x＋，解得x＝ 故点P的坐标为（，2）或（，2）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，是解题的关键． 9. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值； （3）已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，取得最大值，最大值为 （3）是为定值， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点．设，则．得到．进而得出．由抛物线的对称性可知，得出．表示出，由二次函数的性质即可得出答案； （3）设直线的函数表达式为．，，联立，得．从而得出，．设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为．推出点坐标也可表示为，再分别求出，．即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点为， ∴可设抛物线的函数表达式为． 代入点，得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为，即； 【小问2详解】 解：对于，令，则，解得或3． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 如图，过点作轴，交于点． ∴． ∴． ∴． ∴． 设， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为． ∴． ∴． ∴． 由抛物线的对称性可知， ∴． ∴ ∵， ∴当时，取得最大值，最大值． 【小问3详解】 解：是定值，．理由如下： ∵直线过点， ∴可设直线的函数表达式为． 设，， 联立， 整理，得． ∴，． ∵直线，均过点， ∴设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为． 又∵点在直线上， ∴点坐标也可表示为． 将代入，可解得． 对于，令，则， ∴． 同理可得，． ∵， ∴，． ∴． 而 ， 又∵，， ∴． ∴． ∴，为定值． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数综合线段问题、坐标与图形、一元二次方程根与系数关系、锐角三角函数等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $