2026年中考数学二轮复习：三角形

**基本信息** 以"概念-性质-应用"为逻辑主线，通过20道梯度题构建三角形全考点训练体系，融合几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|2题|三角形稳定性判定、直角三角形勾股定理逆定理|从图形属性到数量关系的转化| |性质应用|5题|角平分线性质（第4题）、中位线定理（第12题）、旋转性质（第5题）|性质定理→辅助线构造→问题解决| |计算推理|8题|网格中勾股定理应用（第3题）、坐标系几何计算（第15题）|几何直观→代数建模→精准运算| |综合证明|5题|全等判定（第18题）、角平分线与平行线综合（第19题）|条件拆解→模型识别→逻辑推理|

2026年中考数学二轮复习：三角形 一．选择题（共10小题） 1．下列图形不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 2．分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（　　） A． B．1.5，2，2.5 C．5，12，13 D．6，8，10 3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点D，则ED的长为（　　） A． B． C． D．3 4．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，先将直角△ABO放置在平面直角坐标系中，其中O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，∠ABO＝90°，BO＝1，再将△ABO绕点B顺时针旋转60°，得到△A'BO'，此时点O的对应点O'恰好落在OA上，则点A′的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B． C． D． 6．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点B，C都在格点上，点D，E分别是边AC，AB的中点，则线段DE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠DCE＝2∠A，E是斜边AB的中点，则∠BCD＝（　　） A．20° B．32.5° C．22.5° D．30° 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，延长BC至点D，使得BD＝AB．则AD的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点C为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点H；③以点H为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点G；④作射线CG，与BD相交于点M，与边AB相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABD＝∠ACM B．CN⊥AB C．CM＝CD D．AD＝CD 10．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．b2＝a2﹣c2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠C＝∠A﹣∠B D．a：b：c＝5：12：13 二．填空题（共5小题） 11．如图，等边△ABC的边长为2，点D在边AC上，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，若BD•BE＝8，则CD的长为　 　 12．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连结DE．若BC＝14，则线段DE的长为　 　 ． 13．如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC＝90°，若AC＝10，BC＝16，则DF的长为　 　 ． 14．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，∠CAD＝∠EBF＝90°，∠C＝45°，∠F＝30°，点A，E，D，F在同一条直线上，当CD∥AB时，则∠ABE的度数是　 　 °． 15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D在AC上，点E在BC上，CD＝3，分别连接BD，AE交于F点．若∠BFE＝45°，则CE的长为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点F．PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F． （1）求证：PE＝PF； （2）连接AP，若∠PAH＝18°，求∠BPC的度数． 17．如图，笔直的河流一侧有一个度假村G，河边有两个游船码头A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离、近期由于点G到点A的步道正在封闭施工，为方便游客，景区决定在河边新建一个码头C（点A、B、C在同一条直线上），并修建一条观光小径GC，测得BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km． （1）判断△BCG的形状，并说明理由； （2）求原步道GA的长． 18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF． （1）求证：∠B＝∠C． （2）若∠A＝∠B，BC＝6，求BE的长． 19．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，交边AB于点E，在AE上取点F，连接DF，使∠ACD＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝38°，∠DFE＝36°时，求∠AEC的度数． 20．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长． 2026年中考数学二轮复习：三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列图形不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【考点】三角形的稳定性． 【专题】三角形；几何直观． 【答案】D 【分析】三角形具有稳定性，由此即可判断． 【解答】解：A、B、C中的图形由三角形构成，三角形具有稳定性，故A、B、C不符合题意； D、此图形中的下方是四边形，四边形具有不稳定性，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性． 2．分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（　　） A． B．1.5，2，2.5 C．5，12，13 D．6，8，10 【考点】勾股定理的逆定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形． 【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，符合题意； B、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，不符合题意； C、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意； D、62+82＝102，能构成直角三角形，不符合题意．故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点D，则ED的长为（　　） A． B． C． D．3 【考点】勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】首先确定AB的长度，再利用“以A为圆心，AB为半径画弧”可知AD＝AB，接着结合网格确定AE的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理计算ED的长度． 【解答】解：如图，连接AD， 由网格图可知：AB＝3， ∵以A为圆心，AB为半径画弧， ∴AD＝AB＝3， 在Rt△AED中，， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理和网格中线段长度的计算，解题关键是根据半径相等确定点D的准确位置，再结合勾股定理计算目标线段的长度． 4．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】角平分线的性质． 【专题】计算题；运算能力． 【答案】A 【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH＝DE＝2，根据三角形的面积公式得2×AC2×4＝7，于是可求出AC的值． 【解答】解：作DH⊥AC于H，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC， ∴DH＝DE＝2， ∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD， ∴2AC2×4＝7， ∴AC＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长． 5．如图，先将直角△ABO放置在平面直角坐标系中，其中O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，∠ABO＝90°，BO＝1，再将△ABO绕点B顺时针旋转60°，得到△A'BO'，此时点O的对应点O'恰好落在OA上，则点A′的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B． C． D． 【考点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转． 【专题】平面直角坐标系；三角形． 【答案】D 【分析】连接AA′，推导出△ABA′，△OBO′是等边三角形，求出∠BAO＝90°﹣∠BOO′＝30°，，，进而证明∠OAA′＝∠OAB+∠BAA′＝90°，，则点A′的坐标为，即可解答． 【解答】解：连接AA′，如图： ∵将△ABO绕点B顺时针旋转60°，得到△A′O′B， ∴∠ABA′＝60°，AB＝A′B，∠OBO′＝60°，BO＝BO′， ∴△ABA′，△OBO′是等边三角形， ∴∠BAA′＝∠BOO′＝60°，AA′＝AB， ∵∠ABO＝90°，BO＝1， ∴∠BAO＝90°﹣∠BOO′＝30°，，， ∴∠OAA′＝∠OAB+∠BAA′＝90°，， ∴点A′的坐标为， 故选：D． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 6．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点B，C都在格点上，点D，E分别是边AC，AB的中点，则线段DE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【考点】三角形中位线定理；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】由勾股定理得到BC＝5，由三角形中位线定理推出DEBC＝2.5． 【解答】解：由勾股定理得到：BC5， ∵点D，E分别是边AC，AB的中点， ∴DEBC＝2.5． 故选：B． 【点评】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出BC的长，由三角形中位线定理得到DEBC． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠DCE＝2∠A，E是斜边AB的中点，则∠BCD＝（　　） A．20° B．32.5° C．22.5° D．30° 【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质求得，利用等边对等角求得∠ECA＝∠A，再证明△DCE是等腰直角三角形，求得∠ECA＝22.5°，据此求解即可． 【解答】解：∵E是斜边AB的中点， ∴， ∴∠ECA＝∠A， ∴∠DEC＝∠ECA+∠A＝2∠A， ∵∠DCE＝2∠A， ∴∠DCE＝∠DEC， ∴CD＝DE（等边对等角）， ∵CD⊥AB， ∴△DCE是等腰直角三角形， ∴∠DCE＝∠DEC＝45°， ∴， ∴∠BCD＝90°﹣∠DCE﹣∠ECA＝90°﹣45°﹣22.5°＝22.5°， 则∠BCD的度数为22.5°， 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形，关键是相关性质的熟练掌握． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，延长BC至点D，使得BD＝AB．则AD的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，由三线合一得到，然后利用勾股定理求解． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝AC＝5，BC＝4， ∴， ∴根据勾股定理得，， ∵BD＝AB＝5， ∴DE＝BD﹣BE＝5﹣2＝3， ∴根据勾股定理得，， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 9．如图，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点C为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点H；③以点H为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点G；④作射线CG，与BD相交于点M，与边AB相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABD＝∠ACM B．CN⊥AB C．CM＝CD D．AD＝CD 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的定义． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】由作法可得：∠BCN＝∠A，再结合三角形外角的性质，等角对等边解答即可． 【解答】解：由作法得：∠BCN＝∠A， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BCD＝∠BCN+∠ACN，根据题意无法得到∠BDC与∠BCD相等， ∴无法确定∠ABD与∠ACM的大小关系，故A选项错误； 根据题意无法证明CN⊥AB，故B选项错误； ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD．∠ABD+∠A＝∠CBD+∠BCM． ∴∠BDC＝∠CMD， ∴CM＝CD，故C选项正确， 根据题意无法得到AD，CD的大小关系，故D选项错误； 故选：C． 【点评】本题主要考查了尺规作图，等角对等边，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题关键． 10．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．b2＝a2﹣c2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠C＝∠A﹣∠B D．a：b：c＝5：12：13 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案． 【解答】解：A、∵b2＝a2﹣c2， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC为直角三角形．不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x， ∴3x+4x+5x＝180°， ∴x＝15°， ∴∠A＝3x＝45°，∠B＝4x＝60°，∠C＝5x＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； C、∵∠C＝∠A﹣∠B， ∴∠A＝∠B+∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形．不符合题意； D、∵a：b：c＝5：12：13，∴设a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∴a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝169k2，b2＝（13k）2＝169k2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形．不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，等边△ABC的边长为2，点D在边AC上，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，若BD•BE＝8，则CD的长为　　 【考点】等边三角形的性质；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力． 【答案】． 【分析】先根据平行线的性质和等边三角形的性质证明△ADE∽△CDB，利用相似比将 BD•BE＝8 转化为关于 CD的方程，然后通过作高利用勾股定理表示出BD2，联立求解即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2， ∵AE∥BC， ∴∠DAE＝∠ACB＝60°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ADE＝∠CDB， ∴△ADE∽△CDB， ∴（相似三角形对应边成比例）， 设CD＝x，则AD＝AC﹣CD＝2﹣x， ∴， ∴， ∴， ∵BD•BE＝8， ∴， 即BD2＝4x， 过点 B作BH⊥AC于点H， ∵△ABC是等边三角形，AC＝2， ∴，， ∴DH＝|CH﹣CD|＝|1﹣x|， 在Rt△BHD中，BD2＝BH2+DH2＝3+（1﹣x）2， ∴4x＝3+（1﹣x）2， 解得， ∵0＜x＜2， ∴， 即CD的长为， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 12．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连结DE．若BC＝14，则线段DE的长为　7　 ． 【考点】三角形中位线定理． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】7． 【分析】三角形的中位线等于第三边的一半，由此即可求解． 【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC14＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半． 13．如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC＝90°，若AC＝10，BC＝16，则DF的长为　3　 ． 【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线． 【专题】等腰三角形与直角三角形． 【答案】3． 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，计算即可． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝8， ∵∠AFC＝90°，E是AC的中点， ∴EFAC＝5， ∴DF＝DE﹣EF＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 14．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，∠CAD＝∠EBF＝90°，∠C＝45°，∠F＝30°，点A，E，D，F在同一条直线上，当CD∥AB时，则∠ABE的度数是　15　 °． 【考点】三角形的外角性质；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力． 【答案】15． 【分析】根据平行线的性质可得∠EAB，根据三角形外角的性质可得∠ABE的度数． 【解答】解：∵∠CAD＝90°，∠C＝45°， ∴∠ADC＝45°， ∵CD∥AB， ∴∠EAB＝∠ADC＝45°， ∵∠EBF＝90°，∠F＝30°， ∴∠FEB＝60°， ∴∠ABE＝∠FEB﹣∠EAB＝15°． 故答案为：15． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D在AC上，点E在BC上，CD＝3，分别连接BD，AE交于F点．若∠BFE＝45°，则CE的长为　3　 ． 【考点】勾股定理；直角三角形的性质． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】3． 【分析】将几何图形转化为坐标系中的代数问题，利用∠BFE＝45°这一条件建立关于CE长度的方程． 【解答】解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立平面直角坐标系． 则C（0，0），B（12，0），A（0，5），D（0，3），设CE＝x，则E（x，0）， 直线BD的斜率，直线AE的斜率， 因为∠BFE＝45°，所以直线BD与AE的夹角正切值为1， 由夹角公式得：， 代入得：， 化简得：， 解得x＝3或（舍去）， 所以CE的长为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查平面直角坐标系的应用、一次函数解析式的求法以及两条直线夹角公式（或斜率关系）．重点在于理解如何通过坐标计算直线的斜率，以及利用斜率关系处理45°的夹角条件． 三．解答题（共5小题） 16．如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点F．PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F． （1）求证：PE＝PF； （2）连接AP，若∠PAH＝18°，求∠BPC的度数． 【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】（1）作PM⊥BC于点M， ∵△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点F，PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F， ∴PE＝PM，PF＝PM， ∴PE＝PF． （2）∠BPC的度数是72°． 【分析】（1）作PM⊥BC于点M，由角平分线的性质得PE＝PM，PF＝PM，则PE＝PF． （2）连接AP，由PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F，且PE＝PF，证明AP平分∠DAH，则∠PAD＝∠PAH＝18°，求得∠BAC＝36°，则∠ABC+∠ACB＝144°，由∠CBD+∠ABC+∠ACB+∠BCH＝360°，求得∠CBD+∠BCH＝216°，则∠PBC+∠PCB（∠CBD+∠BCH）＝108°，所以∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝72°． 【解答】（1）证明：作PM⊥BC于点M， ∵△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点F，PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F， ∴PE＝PM，PF＝PM， ∴PE＝PF． （2）解：连接AP， ∵点P在∠DAH的内部，PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F，且PE＝PF， ∴点P在∠DAH的平分线上， ∴AP平分∠DAH， ∴∠PAD＝∠PAH＝18°， ∴∠BAC＝2∠PAH＝36°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝144°， ∵∠CBD+∠ABC+∠ACB+∠BCH＝2×180°＝360°， ∴∠CBD+∠BCH＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝216°， ∵∠PBC∠CBD，∠PCB∠BCH， ∴∠PBC+∠PCB（∠CBD+∠BCH）＝108°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝72°， ∴∠BPC的度数是72°． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17．如图，笔直的河流一侧有一个度假村G，河边有两个游船码头A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离、近期由于点G到点A的步道正在封闭施工，为方便游客，景区决定在河边新建一个码头C（点A、B、C在同一条直线上），并修建一条观光小径GC，测得BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km． （1）判断△BCG的形状，并说明理由； （2）求原步道GA的长． 【考点】勾股定理的应用． 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【答案】（1）△BCG是直角三角形，理由如下： 在△BCG中，BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km， ∵GC2+BC2＝42+32＝25，BG2＝52＝25， ∴GC2+BC2＝BG2， ∴△BCG是直角三角形； （2）km． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断； （2）设GA＝xkm，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）△BCG是直角三角形，理由如下： 在△BCG中，BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km， ∵GC2+BC2＝42+32＝25，BG2＝52＝25， ∴GC2+BC2＝BG2， ∴△BCG是直角三角形； （2）设GA＝xkm，则AB＝xkm， ∴AC＝AB﹣BC＝（x﹣3）km， 由勾股定理得：GA2＝AC2+GC2，即x2＝（x﹣3）2+42， 解得：x， ∴GAkm． 【点评】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF． （1）求证：∠B＝∠C． （2）若∠A＝∠B，BC＝6，求BE的长． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B＝∠C；（2）． 【分析】（1）证明Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠C； （2）根据等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B＝∠C； （2）∵∠B＝∠C，∠A＝∠B， ∴∠B＝∠C＝∠A， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠B＝60°， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD＝3， 在Rt△BED中，∠B＝60°， ∴∠BDE＝30°， ∴BEBD． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，交边AB于点E，在AE上取点F，连接DF，使∠ACD＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝38°，∠DFE＝36°时，求∠AEC的度数． 【考点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）见详解； （2）89°． 【分析】（1）根据CD平分∠ACB，得到∠DCB＝∠ACD，再由∠ACD＝∠D等量代换推出∠DCB＝∠D，根据“内错角相等，两直线平行”即可得证． （2）先根据平行线的性质求出∠B的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，由CD平分∠ACB推出∠ACD的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数． 【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠DCB＝∠ACD， 又∵∠ACD＝∠D， ∴∠DCB＝∠D， ∴DF∥BC； （2）解：∵DF∥BC，∠DFE＝36°， ∴∠B＝∠DFE＝36°， 在△ABC中，∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∠A＝38°，∠B＝36°， ∴∠ACB＝180°﹣38°﹣36°＝106°， 又∵CD平分∠ACB， ∴， ∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣53°﹣38°＝89°． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角和内角和定理以及平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 20．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长． 【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；运算能力；推理能力． 【答案】（1）∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠AED＝∠AFD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴DE＝DF，AE＝AF， ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）4． 【分析】（1）证明△AED≌△AFD，可得AE＝AF，DE＝DF，从而得到点A和点D在EF的垂直平分线上，即可． （2）首先求出AB+AC＝12，再证明DF＝DE，∠AED＝∠AFD＝90°，然后根据面积法进行求解即可． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠AED＝∠AFD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴DE＝DF，AE＝AF， ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵BC＝6，△ABC的周长为18， ∴AB+AC＝12， 由（1）得△ADE≌△ADF， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， ∴， ∴， ∴若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，则DE＝4． 【点评】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 学科网（北京）股份有限公司 $