专题09一次函数表达式.方程关系及应用易错必刷专练(17大题型共计51道题)2025-2026学年湘教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数与方程、几何及实际应用的17类易错题型，通过典题特征与易错点提炼，构建“概念-关系-应用”的逻辑体系，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数基础|1|待定系数法求解析式，关注k≠0及自变量范围|从定义出发，掌握表达式确定方法| |函数与方程不等式|7|图象法解（组）方程、判解集，利用交点坐标转化|建立函数与方程、不等式的数形联系| |几何应用|1|坐标求面积，注意线段长度正负处理|函数与几何图形性质结合| |实际应用|8|建模解决分配、利润等问题，关注取值合理性|运用函数模型解决跨学科及生活问题|

专题09一次函数表达式.方程关系及应用易错必刷专练 本专题汇总一次函数表达式.方程关系及应用章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.求一次函数解析式 题型02.直线与坐标轴交点求方程的解 题型03.方程的解判定直线与x轴交点 题型04.图象法解一元一次方程 题型05.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型06两直线交点与二元一次方程组的解 题型07.两条直线的交点求不等式解集 题型08.图象法解二元一次方程 题型09.求直线围成的图形面积 题型10.分配方案问题 题型11.最大利润问题 题型12.行程问题 题型13.梯度计价问题 题型14.方案选择问题 题型15.跨学科问题 题型16.工程问题 题型17.一次函数与几何综合 易错必刷题型01.求一次函数解析式 典题特征：由两点坐标、定点与斜率、图像交点或实际两组变量数据，求解一次函数表达式。 易错点：①代入坐标数值计算时正负号写错；②列式求解忽略k不等于0的基本要求；③实际题型没有标注自变量合理取值范围。 1．如图，若直线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点B，且的面积为6，则该直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是___________． 3．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数解析式； (2)画出该一次函数的图象． 易错必刷题型02.直线与坐标轴交点求方程的解 典题特征：根据一次函数图像交点位置，换算求出对应一元一次方程的解。 易错点：①分不清x轴与y轴交点求解步骤；②错把纵轴交点数值当成方程最终解。 4．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为______． 6．已知关于的函数： 为常数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． (1)求的取值范围； (2)为坐标原点，设的面积为，求直线的函数解析式． 易错必刷题型03.方程的解判定直线与x轴交点 典题特征：已知一元一次方程解，反向确定对应直线与x轴交点坐标。 易错点：只写出数字结果，没有按照坐标格式规范书写答案。 7．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 8．如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 易错必刷题型04.图象法解一元一次方程 典题特征：借助函数图像数形结合，直观算出一元一次方程的解。 易错点：①看错坐标轴对应交点位置；②读取图像刻度数值出现偏差。 10．已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 11．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为______． 12．函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 易错必刷题型05.直线与坐标轴交点求不等式解集 典题特征：依靠直线和x轴交点，判断对应一元一次不等式的取值范围。 易错点：①不会根据k值正负判断函数增减趋势；②书写不等式解集时不等号方向颠倒。 13．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 14．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 15．已知一次函数的图象经过点和． (1)在平面直角坐标系中画出该一次函数的图像； (2)直接写出不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 易错必刷题型06两直线交点与二元一次方程组的解 典题特征：两条直线相交点坐标，等同于对应二元一次方程组的解。 易错点：①解方程组过程加减运算出错；②无法对应交点坐标与方程组解的关系。 16．如图，直线（k≠0）与直线（m≠0）交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 17．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论中正确的是______（只填写序号）． ①，；②当时，；③；④． 18．已知：如图一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标． (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 易错必刷题型07.两条直线的交点求不等式解集 典题特征：对比两条直线上下分布位置，求解函数大小比较类不等式解集。 易错点：①判断直线高低位置出现失误；②不等号方向书写错误；③忽略题目自带的自变量取值限制。 19．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 20．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，直线和相交于点．则不等式的解集为____． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．    (1)求点A的坐标； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴向左平移，点C、A、D的对应点分别为，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 易错必刷题型08.图象法解二元一次方程 典题特征：把二元一次方程转化为函数直线，利用图像找点求出方程解。 易错点：①横纵坐标对应关系匹配错误；②误以为二元一次方程仅有一组固定解。 22．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 23．如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组，解是____________；当时，的取值范围是____________． 24．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    易错必刷题型09.求直线围成的图形面积 典题特征：多条直线相交，计算直线与坐标轴围成三角形、四边形的面积大小。 易错点：①计算交点坐标步骤出错；②选取图形底边长、高长度数值错误；③坐标换算线段长度忽略正负取值。 25．已知直线与直线，且．若两直线与轴围成的三角形面积为9，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 26．已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点、，若点在一次函数的图象上，则的面积为_____． 27．如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 易错必刷题型10.分配方案问题 典题特征：依据现有资源总量，划分分配数量，求取符合条件的分配方案。 易错点：①忘记分配数量必须为非负整数；②混淆题目里自变量和因变量；③统计可行方案数量出现漏算重算。 28．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 29．某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 30．暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 易错必刷题型11.最大利润问题 典题特征：结合商品成本、售价、销量关系，计算利润最大值与最小值。 易错点：①列式计算利润时遗漏扣除成本；②取值超出题目限定销售数量范围；③不会根据函数增减性判断最值。 31．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． (1)求与的函数解析式． (2)若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 32．为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元． (1)求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 33．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值． (2)在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？ 易错必刷题型12.行程问题 典题特征：以匀速行驶为背景，用一次函数刻画路程随时间变化规律。 易错点：①路程、速度、时间单位没有统一换算；②忽略中途停车、变速行驶状态；③读取行程图像坐标轴数据看错刻度。 34．一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加． (1)写出滚动的时间和小球的速度之间的函数关系式； (2)当小球滚动了时，其速度是多少？ 35．小方同学骑车上学，当他骑了一段路时，想起要带当天的报纸回班级分享每日时事，于是又折回到刚经过的报刊亭，买到报纸后继续去学校．以下是他离家距离（米）与上学所用的时间（分钟）的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小方在报刊亭停留了______分钟； (2)本次上学途中，小方一共行驶了多少米？ (3)通过计算说明，在整个上学的途中哪个时间段小方骑车速度最快，最快的速度是多少米／分钟？ 36．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：    (1)A，B两地之间的距离是______千米，______，巡逻车的速度为____千米／时； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可） 易错必刷题型13.梯度计价问题 典题特征：水费、电费、话费等分段收费，分段列出一次函数计算费用。 易错点：①划分计费区间边界数值出错；②不同区间误用收费单价计算；③套用错误区间函数式计算费用。 37．2025年3月1日，陕西省《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元． (1)求关于的函数表达式； (2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ 38．为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 39．水务公司对居民用水实行阶梯式收费，年用水量在108吨以内（含108吨）每吨收费元，超过108吨而不超过180吨的部分每吨收费元．如果用x（单位：吨，）表示一户居民年用水量，y（单位元）表示缴纳水费的金额． (1)请你写出缴纳水费金额y关于年用水量x的函数解析式； (2)小红家去年的用水量x是122，请你求出她家去年共缴水费y为多少？ (3)小明家去年的用水量满足，共缴水费元，请你算出他家去年用水多少吨？ 易错必刷题型14.方案选择问题 典题特征：对比多种收费优惠方案，计算费用后选出性价比最优方案。 易错点：①计算两种方案费用相等数值出错；②不会根据取值范围判定方案优劣；③忽略实际使用数量的限制条件。 40．暑假期间，小刚一家准备前往青岛旅游，为方便出行，计划第二天到甲，乙两个租车公司租用新能源汽车．甲公司：按日收取固定租金105元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，，分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图所示．根据以上信息，解决下列问题： (1)请直接写出关于x的表达式__________； (2)当租车时间为多少小时时，选择两个公司租车所需费用相同？ (3)当租车时间为5小时时，请直接写出选择哪个公司租车更合算？ 41．南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． (1)求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； (2)若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 42．春节假期结束后，为了吸引游客，某旅游景点推出了甲、乙两种购票方式． 甲：按照次数收费； 乙：购买一张该景点的年卡后，门票每人每次按五折优惠． 设某位游客一年内去该景点的次数为x，所需费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，y与x之间的函数关系式； (2)他选择哪种购票方式更划算？请说明理由． 易错必刷题型15.跨学科问题 典题特征：结合物理生活场景，利用线性变化规律列出一次函数求解。 易错点：①不理解场景对应的变化规律；②长度、重量、速度单位换算出错；③超出实际物理限定范围取值。 43．受持续降雨影响，某水库的水位在最近内持续上涨．下表记录了这内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度． t/h 0 1 2 3 4 5 … y/m 3.00 3.05 3.10 3.15 3.20 3.25 … (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并写出符合表中数据的y与t的函数解析式； (2)据估计这种上涨规律还会持续，请预测再过后水位的高度． 44．有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知（）与（）满足一次函数关系．解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； 45．杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)随着的变化而变化，求出关于的函数表达式． (2)在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离． (3)在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项） A．提纽的位置向左移        B．提纽的位置向右移 C．秤砣的质量变小        D．秤砣的质量变大 ②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________． 易错必刷题型16.工程问题 典题特征：依托施工加工场景，用函数表示工作量随工作时间变化关系。 易错点：①计算单人、团队工作效率数值出错；②分不清总工作量、已完成量、剩余量；③取值超出合理工作时长。 46．国产芯片经过多年的发展，已经逐渐走出了一条属于自己的道路：近年来；国产芯片制造商已经推出了7纳米和5纳米的芯片，可以说，在制程技术的发展上；中国芯片制造商已经取得了非常显著的进展．现有甲、乙两个工厂同时加工一批芯片，两厂每天加工的速度保持不变，合作一段时间后，乙厂因设备维修停工，甲厂单独完成了剩下的任务．甲、乙两厂加工芯片的总数量与甲厂加工时间的关系如图所示． (1)甲工厂比乙工厂多加工了________天； (2)求乙工厂停工后y与x之间的函数关系式； (3)第5天完成任务之后，通过计算说明甲、乙两个工厂哪个加工的芯片多． 47．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区计划购进两种型号自主移动机器人搬运化工原料，型号自主移动机器人比型号自主移动机器人每小时多搬运化工原料，型号自主移动机器人搬运化工原料所用时间与型号自主移动机器人搬运化工原料所用时间相等． (1)求两种型号自主移动机器人每小时分别搬运多少化工原料． (2)若该物流园计划购进两种型号自主移动机器人共台，设购进型号自主移动机器人台，这台机器人每小时搬运化工原料． ①求关于的函数关系式． ②若购进型号自主移动机器人的数量不超过型号自主移动机器人数量的倍，求这台机器人每小时最少可以搬运多少化工原料． 48．某工厂使用甲、乙两不同型号的自动机床加工零件，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机床工作一段时间后停工保养，保养结束后又和乙机床继续工作．甲、乙两机床加工零件总数量y（个）与乙机床工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机床停工保养的时间为______分钟；乙机床每分钟加工______个零件； (2)甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工______个零件；并求甲机床停工保养结束后，甲乙两机床继续工作期间，y关于x的函数解析式； (3)若两台机床加工零件的总数量为2700个，求乙机床工作时间为多少分钟？并求出甲、乙两机床各加工多少个零件？ 易错必刷题型17.一次函数与几何综合 典题特征：结合三角形、四边形图形性质，求解解析式、线段长、图形面积。 易错点：①几何图形判定性质使用错误；②坐标转化线段长度正负处理不当；③多情况题型缺少分类讨论造成漏解。 49．如图，矩形的对角线相交于点，动点沿以的速度运动，当点构成三角形时，设的面积为，连接． (1)写出的面积与点的运动时间（）之间的关系式； (2)求的最大值，并求出此时的值． 50．已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点B． (1)求一次函数的解析式； (2)点C是x轴上一点，若的面积为3，求点C的坐标． 51．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D是线段的中点，点，点E为x轴上一动点． (1)直接写出点A，B，D的坐标； (2)联结、，以、为边作，的顶点F恰好落在y轴上，求点F的坐标； (3)设点M是直线上一点，若以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09一次函数表达式.方程关系及应用易错必刷专练 本专题汇总一次函数表达式.方程关系及应用章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.求一次函数解析式 题型02.直线与坐标轴交点求方程的解 题型03.方程的解判定直线与x轴交点 题型04.图象法解一元一次方程 题型05.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型06两直线交点与二元一次方程组的解 题型07.两条直线的交点求不等式解集 题型08.图象法解二元一次方程 题型09.求直线围成的图形面积 题型10.分配方案问题 题型11.最大利润问题 题型12.行程问题 题型13.梯度计价问题 题型14.方案选择问题 题型15.跨学科问题 题型16.工程问题 题型17.一次函数与几何综合 易错必刷题型01.求一次函数解析式 典题特征：由两点坐标、定点与斜率、图像交点或实际两组变量数据，求解一次函数表达式。 易错点：①代入坐标数值计算时正负号写错；②列式求解忽略k不等于0的基本要求；③实际题型没有标注自变量合理取值范围。 1．如图，若直线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点B，且的面积为6，则该直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形面积公式求出得到，然后利用待定系数法求直线解析式． 【详解】解：， ， ，解得， ， 把，代入， ，解得， 直线解析式为． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是___________． 【答案】 【分析】连接、交于点，平分平行四边形面积的直线必定经过平行四边形的对称中心，利用中点公式求出点的坐标，代入直线解析式求出的值． 【详解】解：如图，连接、交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分，即点是的中点， ∵，， ∴点的坐标为， ∵直线平分的面积， ∴直线过点， 将代入，得， ， 解得． 3．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数解析式； (2)画出该一次函数的图象． 【答案】(1)； (2)图见解析 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，把点和点代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：由题意，画图如下： 易错必刷题型02.直线与坐标轴交点求方程的解 典题特征：根据一次函数图像交点位置，换算求出对应一元一次方程的解。 易错点：①分不清x轴与y轴交点求解步骤；②错把纵轴交点数值当成方程最终解。 4．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 5．如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键． 利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 6．已知关于的函数： 为常数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． (1)求的取值范围； (2)为坐标原点，设的面积为，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）根据一次函数的图象与系数的关系求解； （2）根据三角形的面积列方程求解． 【详解】（1）解：函数可化为：， 函数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， ； （2）∵函数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， 当时，， 解得：，则 当时，，则 ∴， 解得： ， ∴直线l的函数解析式为：． 易错必刷题型03.方程的解判定直线与x轴交点 典题特征：已知一元一次方程解，反向确定对应直线与x轴交点坐标。 易错点：只写出数字结果，没有按照坐标格式规范书写答案。 7．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 8．如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______． 【答案】/ 【分析】延长交x轴于点D，证明，求得点D坐标，运用待定系数法求直线的解析式，从而求得点C坐标． 【详解】解：如图所示，延长交x轴于点D， ∵这束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点， ∴设，由反射定律可知， ， ∴， ∵于， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则将点，点代入得 ， ∴， ∴直线为， 当时，， ∴点C坐标为． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 【答案】(1)， (2)， (3)12 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）利用勾股定理求得，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线l的距离； （3）根据三角形面积公式即可得到结论． 【详解】（1）直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 设点O到直线l的距离为h，则， ∴， ∴， ∴点O到直线l的距离为；； （3）如图，过O作于C，反向延长交于D， 将直线l向下平移20个单位长度得到直线， ∴直线为，， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线l与之间的距离为12． 易错必刷题型04.图象法解一元一次方程 典题特征：借助函数图像数形结合，直观算出一元一次方程的解。 易错点：①看错坐标轴对应交点位置；②读取图像刻度数值出现偏差。 10．已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直接得到方程的解． 【详解】解：∵ 点在直线上． ∴ 将代入，得 ． 又∵ 待求解方程为． ∴ 方程的解为． 11．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 12．函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)见解析． 【分析】（1）方程的解为函数的图象与的交点横坐标； （2）不等式的解集为函数的图象在轴下方部分的取值范围； （3）根据题意可得，即可得的取值范围； （4）从形式、图象、本质关系进行分析说明即可． 【详解】（1）解：根据图象可得方程的解为． （2）解：根据图象可得不等式的解集为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的关系： 形式关联：一次函数解析式为，令，得到一元一次方程，令，得到一元一次不等式，令，得到； 图象角度：一元一次方程的解为一次函数的图象与轴交点的横坐标，一次函数图象在轴上方部分对应一元一次不等式的解集，一次函数图像在轴下方部分对应一元一次不等式的解集； 本质关系：方程是一次函数函数值为0的特殊情况，不等式是一次函数函数值大于或小于的取值范围，三者可以相互转化，可用一次函数图像直观解方程、解不等式． 易错必刷题型05.直线与坐标轴交点求不等式解集 典题特征：依靠直线和x轴交点，判断对应一元一次不等式的取值范围。 易错点：①不会根据k值正负判断函数增减趋势；②书写不等式解集时不等号方向颠倒。 13．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象找到一次函数的函数值大于或等于1时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 14．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：已知一次函数过点， 将点坐标代入解析式：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围： 当时，代入，得 解得：，即直线与轴交点为， 当时，对应已知点 最终解集为：． 15．已知一次函数的图象经过点和． (1)在平面直角坐标系中画出该一次函数的图像； (2)直接写出不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用描点法画出一次函数图象即可； （2）利用待定系数法求出一次函数解析式，求出与轴的交点坐标，即可得出不等式的解集； （3）求出该一次函数图象与直线的交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵，， ∴一次函数的图象如图所示： （2）解：∵，， ∴， 解得：， ∴该一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴该一次函数与轴的交点坐标为， ∴由图象可知，不等式的解集为． （3）解：联立该一次函数解析式与得，， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴由图象可知，不等式的解集为． 易错必刷题型06两直线交点与二元一次方程组的解 典题特征：两条直线相交点坐标，等同于对应二元一次方程组的解。 易错点：①解方程组过程加减运算出错；②无法对应交点坐标与方程组解的关系。 16．如图，直线（k≠0）与直线（m≠0）交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：交点即为方程组的解， 即 17．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论中正确的是______（只填写序号）． ①，；②当时，；③；④． 【答案】②③ 【分析】根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：①因为正比例函数经过一、三象限， 所以， 一次函数经过一、二、四象限，所以，故①错误； ②由图像可得，当时，，故②正确； ③正比例函数与一次函数的图象交于点， 则，则，故③正确； ④由③可知，， ∴， ∴， 对于正比例函数，当时，，不能判断与3的大小关系，故④错误； 综上所述，正确的是②③． 18．已知：如图一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标． (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得， 所以点A坐标为． （2）解：当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． （3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 易错必刷题型07.两条直线的交点求不等式解集 典题特征：对比两条直线上下分布位置，求解函数大小比较类不等式解集。 易错点：①判断直线高低位置出现失误；②不等号方向书写错误；③忽略题目自带的自变量取值限制。 19．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数与一元一次不等式之间的关系，结合图像进行分析即可． 【详解】解：因为当时，直线在直线的上方， 所以，不等式的解集为． 20．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，直线和相交于点．则不等式的解集为____． 【答案】 【分析】先求出两条直线的交点坐标为，再结合函数图象即可解答． 【详解】解∶∵点在直线上， ∴，解得， ∴直线和的交点为， 由图象可得，不等式的解集为． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．    (1)求点A的坐标； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴向左平移，点C、A、D的对应点分别为，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）令直线中，求解x即可得到A点坐标； （2）①先计算的长度，因为以为底时，高为点C的纵坐标，结合三角形面积公式可求出点C的纵坐标，再代入直线即可求出点C的横坐标； ②如果，那么解集对应直线在x轴上方部分的x取值范围；如果，那么解集对应直线在直线上方部分的x取值范围，取两个范围的公共部分即可； ③结合图像，当只有两个顶点在外部时，可以确定点A、C在外部，点D在内部，因此点只能在上进行平移，从而确定m的取值范围． 【详解】（1）解：令，即， 解得， ∴． （2）∵，， ∴， ∵的面积是5， ∴， 解得， 在直线中，令， 即，解得， ∴． ②根据图像可知，的解集为． ③连接，    由题意可得，沿x轴向左平移， 且只有两个顶点在外部， ∴点A、C在外部，即点D在内部， ∴根据图像可得，． 易错必刷题型08.图象法解二元一次方程 典题特征：把二元一次方程转化为函数直线，利用图像找点求出方程解。 易错点：①横纵坐标对应关系匹配错误；②误以为二元一次方程仅有一组固定解。 22．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 23．如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组，解是____________；当时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】由函数和的图象交于点P得到二元一次方程组的解为；图象可得，当 时，． 【详解】 函数和的图象交于点P 二元一次方程组的解为 由图象可得，当 时，． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了利用图象解二元一次方程组的问题及数形结合的数学思想，熟练掌握一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式的关系是解题的关键． 24．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）作出函数和函数的图象，由二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标即可求解； （2）分别由图象得出两函数与轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可． 【详解】解：（1）在平面直角坐标系中作出函数和函数的图象：    ∵二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标， ∵由图象知：函数和函数的图象的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为； （2）由图象知：函数与轴的交点坐标为， 当时，即， ∴， ∴函数的图象与轴的交点坐标， ∴（1）中图象与轴所围成的三角形的面积为：． 易错必刷题型09.求直线围成的图形面积 典题特征：多条直线相交，计算直线与坐标轴围成三角形、四边形的面积大小。 易错点：①计算交点坐标步骤出错；②选取图形底边长、高长度数值错误；③坐标换算线段长度忽略正负取值。 25．已知直线与直线，且．若两直线与轴围成的三角形面积为9，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】联立两直线解析式可求得两直线交点的横坐标为，再求出两直线与轴的交点坐标，算出两交点间的距离为，以此可得，以此计算即可求解． 【详解】解：联立两直线解析式得：， 解得两直线交点的横坐标为， 直线与轴的交点坐标为， 直线与轴的交点坐标为， 两交点的距离为， 两直线与轴围成的三角形面积为9， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、直线与坐标轴围成图形的面积，联立两直线解析式得到两直线交点的横坐标为是解题关键． 26．已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点、，若点在一次函数的图象上，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．将两一次函数的解析式联立，求出点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出、、的坐标，然后根据的面积的面积的面积求解． 【详解】解：由，解得，则． 一次函数与的图象与轴分别交于点，， ，． 点在一次函数的图象上， ，解得， ． 的面积的面积的面积 ． 故答案为：3． 27．如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)或 【分析】（1）由待定系数法求函数解析式即可； （2）根据三角形面积公式可得的面积； （3）先求出的面积是，设点，根据三角形面积公式得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，将点，代入可得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）知：直线的解析式为， 当时， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：∵的面积是， ∴的面积是， 设点， 则， 解得：或， ∴点M的坐标为或． 易错必刷题型10.分配方案问题 典题特征：依据现有资源总量，划分分配数量，求取符合条件的分配方案。 易错点：①忘记分配数量必须为非负整数；②混淆题目里自变量和因变量；③统计可行方案数量出现漏算重算。 28．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【分析】（1）根据已知，列出函数关系式即可； （2）结合（1），求出时，两种套餐的费用，再比较即可． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 29．某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 【答案】(1)当时，甲乙两商店一样合算，当时，选择乙商店更合算，当时，选择甲商店更合算 (2)选择甲商店更合算，即到乙商店购买不合算 【分析】（1）分别求出该公司购买纪念品的件数是件时，、与之间的函数关系式，然后根据购买的件数分情况讨论； （2）分别求出在甲、乙两个商店购买件纪念品所需费用，通过比较选择确定哪个商店更合算． 【详解】（1）解：设该公司购买纪念品的件数是件，选择甲商店时所需的费用为元，选择乙商店时，所需的费用为元， 根据题意得：，， 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 当时，甲乙两商店一样合算， 当时，选择乙商店更合算， 当时，选择甲商店更合算； （2）解：当时， 可得：，， ， 到甲商店购买件纪念品更合算，到乙商店购买件纪念品不合算． 30．暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社，理由见解析 【分析】（1）根据甲旅行社的收费两名家长的全额费用学生的七折费用，可得到与x的函数关系式；再根据乙旅行社的收费两名家长的八折费用学生的八折费用，可得到与x的函数关系式； （2）首先分三种情况讨论：①，②，③，针对每一种情况，分别求出对应的x的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社． 【详解】（1）解：学生数为人，甲旅行社收费为元，则， 即； 学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即． 故答案为：；； （2）解：分三种情况比较费用： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社． 易错必刷题型11.最大利润问题 典题特征：结合商品成本、售价、销量关系，计算利润最大值与最小值。 易错点：①列式计算利润时遗漏扣除成本；②取值超出题目限定销售数量范围；③不会根据函数增减性判断最值。 31．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． (1)求与的函数解析式． (2)若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）根据利润公式得出表达式即可； （2）根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：每月销售甲特产吨，乙特产吨， ∴总利润 ． （2）解：若甲特产的销售量不超过20吨，即， ∵总利润为， 其中，故随的增大而增大， 若总利润最大，则应最大， 最大为， ∴总利润最大为万元 32．为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元． (1)求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 【答案】(1)购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元． (2)购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元． 【分析】 （1）设甲种路灯单价x元，乙种路灯单价元，根据题意列分式方程求解即可，注意检验． （2）设购买甲种路灯m盏，则乙种盏，得到，求出m的取值范围，设购买总费用为w元．根据题意得，根据w随m的增大而减小，求出w取最小值即可． 【详解】（1）解：设购买1盏甲种路灯是x元，则购买1盏乙种路灯是元． 根据题意得， 解得． 检验：当时，， 是此方程的解，且符合题意． ． 答：购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元． （2）解：设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯盏． 根据题意得， 解得． 设购买总费用为w元． 根据题意得， ， ∴w随m的增大而减小， 时，． 答：购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元． 33．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值． (2)在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？ 【答案】(1) (2)购进60千克甲种蔬菜、40千克乙种蔬菜时利润最大，最大利润为520元 【分析】（1）根据购买甲、乙两种蔬菜的金额列出二元一次方程组，求解m和n的值即可． （2）设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜为千克，根据投入资金范围列出不等式组，求解x的取值范围，得到购买方案；利润函数为一次函数，根据系数判断增减性，从而找到最大利润即可． 【详解】（1）解：根据题意，得方程组： ， 解得； ∴． （2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克， 投入资金为：， ∵投入资金不少于1160元又不多于1168元， ∴，即， 解得， x为正整数，即， 购买方案： 方案1：甲58千克，乙42千克； 方案2：甲59千克，乙41千克； 方案3：甲60千克，乙40千克； 设利润y元， 则利润， ∵，即y随x增大而增大， 当时，利润y最大为． 答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是520元． 易错必刷题型12.行程问题 典题特征：以匀速行驶为背景，用一次函数刻画路程随时间变化规律。 易错点：①路程、速度、时间单位没有统一换算；②忽略中途停车、变速行驶状态；③读取行程图像坐标轴数据看错刻度。 34．一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加． (1)写出滚动的时间和小球的速度之间的函数关系式； (2)当小球滚动了时，其速度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）把代入（）所得函数关系式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵小球由静止开始滚动，其速度每秒增加， ∴， 即； （2）解：当时，代入，得， 答：当小球滚动了时，其速度是． 35．小方同学骑车上学，当他骑了一段路时，想起要带当天的报纸回班级分享每日时事，于是又折回到刚经过的报刊亭，买到报纸后继续去学校．以下是他离家距离（米）与上学所用的时间（分钟）的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小方在报刊亭停留了______分钟； (2)本次上学途中，小方一共行驶了多少米？ (3)通过计算说明，在整个上学的途中哪个时间段小方骑车速度最快，最快的速度是多少米／分钟？ 【答案】(1)2 (2) (3)在分钟时，速度最快，速度是 【分析】本题考查一次函数的实际应用和一次函数与图形之间的关系．通过读题显然得知，小方同学在分钟时想起要带报纸开始折返，在分钟时到达报刊亭，在分钟时继续往学校走，在分钟时到达学校． 【详解】（1）解：小方在报刊亭停留时间是：． （2）解：小方行驶的路程是：． （3）解：小方在分钟时，速度是：； 在分钟时，速度是：； 在分钟时，速度是：； , 在分钟时，速度最快，速度是． 36．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：    (1)A，B两地之间的距离是______千米，______，巡逻车的速度为____千米／时； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)60，1；25 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地装货耗时15分钟， ∴， 由题意得，巡逻车的速度为千米/小时； （2）解：设线段所在直线的解析式为 将，代入，得 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为 （3）解：设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米， 则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米， 则， 解得； ∵， ∴货车装货过程中两车不可能相距15千米， 当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米， 则， 解得； 当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则， 解得； 综上所述，当货车出发小时或小时或小时时，两车相距15千米． 易错必刷题型13.梯度计价问题 典题特征：水费、电费、话费等分段收费，分段列出一次函数计算费用。 易错点：①划分计费区间边界数值出错；②不同区间误用收费单价计算；③套用错误区间函数式计算费用。 37．2025年3月1日，陕西省《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元． (1)求关于的函数表达式； (2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ 【答案】(1) (2)该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可分用水量在13立方米以内和超过13立方米，然后分别列出函数关系式即可； （2）根据（1）中函数关系式可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：当时，则； 当时，则有； 综上所述：关于的函数表达式为； （2）解：由（1）可知：当时，则，解得：； 当时，则，解得：； ∴（立方米）； 答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米． 38．为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【答案】(1) (2)9元 (3)最多骑行5小时 【分析】（1）根据收费标准求解即可； （2）将代入求解； （3）将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：骑行3.5小时按4小时算， ∴将代入得，（元） ∴应付9元； （3）解：令，得 解得 答：最多骑行5小时． 39．水务公司对居民用水实行阶梯式收费，年用水量在108吨以内（含108吨）每吨收费元，超过108吨而不超过180吨的部分每吨收费元．如果用x（单位：吨，）表示一户居民年用水量，y（单位元）表示缴纳水费的金额． (1)请你写出缴纳水费金额y关于年用水量x的函数解析式； (2)小红家去年的用水量x是122，请你求出她家去年共缴水费y为多少？ (3)小明家去年的用水量满足，共缴水费元，请你算出他家去年用水多少吨？ 【答案】(1) (2)小红家去年共缴水费394.3元 (3)小明家去年用水150吨 【分析】（1）根据年用水量在108吨以内（含108吨）每吨收费3.1元，超过108吨而不超过180吨的部分每吨收费4.25元，可以得到y与x的函数关系式； （2）把代入计算即可； （3）把代入计算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时， 答：小红家去年共缴水费394.3元； （3）解：当时， 解得： 答：小明家去年用水150吨． 易错必刷题型14.方案选择问题 典题特征：对比多种收费优惠方案，计算费用后选出性价比最优方案。 易错点：①计算两种方案费用相等数值出错；②不会根据取值范围判定方案优劣；③忽略实际使用数量的限制条件。 40．暑假期间，小刚一家准备前往青岛旅游，为方便出行，计划第二天到甲，乙两个租车公司租用新能源汽车．甲公司：按日收取固定租金105元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，，分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图所示．根据以上信息，解决下列问题： (1)请直接写出关于x的表达式__________； (2)当租车时间为多少小时时，选择两个公司租车所需费用相同？ (3)当租车时间为5小时时，请直接写出选择哪个公司租车更合算？ 【答案】(1) (2)当租车时间为小时，两个公司所需费用相同 (3)选择乙公司比较划算． 【分析】（1）设，把，代入计算即可求解； （2）把代入，求得，当，求出，即可； （3）求得时，求得和的值，即可判断． 【详解】（1）解：设， ∴把，代入， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设， 把代入， ∴， ∴， 由函数图象可知，当时，两个公司所需费用相同， ∴， 解得：； 当租车时间为小时，两个公司所需费用相同； （3）解：当时， ， ， ∵， ∴， ∴选择乙公司比较划算． 41．南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． (1)求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； (2)若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 【答案】(1) 购买1套“安心”充电桩需要4万元，购买1套“优电”充电桩需要6万元 (2) 采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元 【分析】（1）设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元，根据用20万元购买“安心”充电桩与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套，根据采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【详解】（1）解：设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：1套“优电”充电桩的单价是6万元，1套“安心”充电桩的单价是4万元； （2）解：设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴w取得最小值为140万元， 答：采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元． 42．春节假期结束后，为了吸引游客，某旅游景点推出了甲、乙两种购票方式． 甲：按照次数收费； 乙：购买一张该景点的年卡后，门票每人每次按五折优惠． 设某位游客一年内去该景点的次数为x，所需费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，y与x之间的函数关系式； (2)他选择哪种购票方式更划算？请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，选择甲种购票方式更划算；当时，选择两种购票方式同样划算；当时，选择乙种购票方式更划算． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出两直线交点，结合图象即可解答． 【详解】（1）解：设选择甲种购票方式时，关于的函数表达式为， 将代入得： ， 解得， ； 设选择乙种购票方式时，关于的函数表达式为， 将，分别代入，得： ， 解得， ； （2）解：联立得， 解得， 直线与直线的交点为． 当时，直线在直线的图象下方，即， 此时选择甲种购票方式更划算； 当时，直线与直线交于点，即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算； 当时，直线在直线的图象上方，即， 此时选择乙种购票方式更划算． 易错必刷题型15.跨学科问题 典题特征：结合物理生活场景，利用线性变化规律列出一次函数求解。 易错点：①不理解场景对应的变化规律；②长度、重量、速度单位换算出错；③超出实际物理限定范围取值。 43．受持续降雨影响，某水库的水位在最近内持续上涨．下表记录了这内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度． t/h 0 1 2 3 4 5 … y/m 3.00 3.05 3.10 3.15 3.20 3.25 … (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并写出符合表中数据的y与t的函数解析式； (2)据估计这种上涨规律还会持续，请预测再过后水位的高度． 【答案】(1)图见解析， (2)预测再过水位高度为． 【分析】（1）根据表格中的数据描点再连线，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入求出函数值即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 设， 把，代入，得：， 解得：， ∴符合表中数据的函数解析式为； （2）解：把代入中，得． ∴预测再过水位高度为． 44．有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知（）与（）满足一次函数关系．解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可. 【详解】（1）解：设，代入 和得： ，解得， ∴； （2）解：当时，. 45．杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)随着的变化而变化，求出关于的函数表达式． (2)在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离． (3)在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项） A．提纽的位置向左移        B．提纽的位置向右移 C．秤砣的质量变小        D．秤砣的质量变大 ②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________． 【答案】(1) (2)零刻度所对应的点与点之间的距离为. (3)①AD；②，③ 【分析】本题考查的是一次函数的应用，方程的应用，理解难度大. （1）根据公式代入已知数量可得答案. （2）由零刻度时，，可得. （3）①结合与逐一分析即可；②由，，，，，可得，再进一步解方程即可；③求解当一个物体的质量为，可得，设生锈的秤砣的质量为，结合，进一步建立方程可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴. （2）解：∵零刻度时，， ∴， ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为. （3）解：①∵，提纽的位置向左移， ∴变小，则最大， ∵， ∴最大，故A符合题意， 同理可得：提纽的位置向右移，减小，故B不符合题意， ∵，秤砣的质量变小， ∴变小，故C不符合题意； ∵，秤砣的质量变大， ∴变大，故D符合题意. 故答案为：AD ②∵，，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为. ③∵当一个物体的质量为， ∴， ∵，设生锈的秤砣的质量为， ∴， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． 易错必刷题型16.工程问题 典题特征：依托施工加工场景，用函数表示工作量随工作时间变化关系。 易错点：①计算单人、团队工作效率数值出错；②分不清总工作量、已完成量、剩余量；③取值超出合理工作时长。 46．国产芯片经过多年的发展，已经逐渐走出了一条属于自己的道路：近年来；国产芯片制造商已经推出了7纳米和5纳米的芯片，可以说，在制程技术的发展上；中国芯片制造商已经取得了非常显著的进展．现有甲、乙两个工厂同时加工一批芯片，两厂每天加工的速度保持不变，合作一段时间后，乙厂因设备维修停工，甲厂单独完成了剩下的任务．甲、乙两厂加工芯片的总数量与甲厂加工时间的关系如图所示． (1)甲工厂比乙工厂多加工了________天； (2)求乙工厂停工后y与x之间的函数关系式； (3)第5天完成任务之后，通过计算说明甲、乙两个工厂哪个加工的芯片多． 【答案】(1)2 (2) (3)甲工厂加工的芯片多 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由图象直接可得答案； （2）用待定系数法可得答案； （3）分别求出两个工厂生产的芯片数量，即可得到答案． 【详解】（1）∵（天）， ∴甲比乙多加工了2天； 故答案为：2； （2）设， 把，代入得：， 解得， ∴乙停工后y与x的函数关系式为； （3）甲每天加工（万片），合作每天加工（万片）， 乙每天加工（万片）， 甲一共加工芯片（万片），乙一共加工芯片（万片）， 甲生产的芯片多． 47．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区计划购进两种型号自主移动机器人搬运化工原料，型号自主移动机器人比型号自主移动机器人每小时多搬运化工原料，型号自主移动机器人搬运化工原料所用时间与型号自主移动机器人搬运化工原料所用时间相等． (1)求两种型号自主移动机器人每小时分别搬运多少化工原料． (2)若该物流园计划购进两种型号自主移动机器人共台，设购进型号自主移动机器人台，这台机器人每小时搬运化工原料． ①求关于的函数关系式． ②若购进型号自主移动机器人的数量不超过型号自主移动机器人数量的倍，求这台机器人每小时最少可以搬运多少化工原料． 【答案】(1)型号自主移动机器人每小时搬运化工原料，型号自主移动机器人每小时搬运化工原料 (2)①（且为整数）；② 【分析】（）设型号自主移动机器人每小时搬运化工原料，则型号自主移动机器人每小时搬运 化工原料，根据题意列出方程解答即可求解； （）①根据题意列出函数关系式即可；②根据题意列不等式求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设型号自主移动机器人每小时搬运化工原料，则型号自主移动机器人每小时搬运 化工原料， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：型号自主移动机器人每小时搬运化工原料，型号自主移动机器人每小时搬运化工原料； （2）解：①由题意得，购进型号自主移动机器人台， ∴， 即（且为整数）； ②根据题意，得， 解得， 在一次函数中，∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取最小值，， 答：这台机器人每小时最少可以搬运化工原料． 48．某工厂使用甲、乙两不同型号的自动机床加工零件，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机床工作一段时间后停工保养，保养结束后又和乙机床继续工作．甲、乙两机床加工零件总数量y（个）与乙机床工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机床停工保养的时间为______分钟；乙机床每分钟加工______个零件； (2)甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工______个零件；并求甲机床停工保养结束后，甲乙两机床继续工作期间，y关于x的函数解析式； (3)若两台机床加工零件的总数量为2700个，求乙机床工作时间为多少分钟？并求出甲、乙两机床各加工多少个零件？ 【答案】(1)30；15 (2)25； (3)120分钟；乙机床加工零件1800个；甲机床加工零件900个 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是结合图像信息，理清不同阶段甲、乙机床的工作状态与速度，利用一次函数的性质求解． （1） 利用图像中机床停工保养前后的时间差求保养时间，通过保养阶段乙机床的工作量求其速度； （2） 利用初始阶段的总加工量求甲乙同时工作的速度和，再用待定系数法求保养结束后函数解析式； （3） 代入总加工量到函数解析式求时间，再分别计算甲、乙的加工量． 【详解】（1）解：甲机床停工保养时间：（分钟）． 乙机床速度：（个/分钟）． 故答案为：30；15 （2）解：甲乙同时工作时每分钟共加工：（个）． 设保养结束后函数解析式为， 将代入，且，得， 解得． 故解析式为． 故答案为：25；． （3）解：当时， ， 解得． 乙机床加工零件：（个）． 甲机床加工零件：（个）． 答：乙机床工作时间为120分钟，甲机床加工900个零件，乙机床加工1800个零件． 易错必刷题型17.一次函数与几何综合 典题特征：结合三角形、四边形图形性质，求解解析式、线段长、图形面积。 易错点：①几何图形判定性质使用错误；②坐标转化线段长度正负处理不当；③多情况题型缺少分类讨论造成漏解。 49．如图，矩形的对角线相交于点，动点沿以的速度运动，当点构成三角形时，设的面积为，连接． (1)写出的面积与点的运动时间（）之间的关系式； (2)求的最大值，并求出此时的值． 【答案】(1) (2)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，函数解析式的求法，最大值的求法，理解相关知识是解答关键. （1）根据矩形的性质求出点到的距离，由题意求出的长度，再利用三角形面积公式求解； （2）根据函数关系式，结合正比例的最大值的求法来求解. 【详解】（1）解：矩形的对角线相交于点， 点是和的中点， 点到的距离为. 由题意可知， 点的运动时间为时 . （2）解：是正比例函数， ，随的增大而增大. 在范围内，当时，的值最大， . 50．已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点B． (1)求一次函数的解析式； (2)点C是x轴上一点，若的面积为3，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)C点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的综合，涉及到面积求解以及待定系数法求解析式，解题的关键是设点坐标，并表示的面积，得到方程． （1）将点代入一次函数，求解即可； （2）先求得点的坐标，设C点为，表示出的面积，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在一次函数的图象上， ∴解得， 则一次函数解析式为； （2）解：由（1）可知， 当时，由得， 即B点坐标为， ∵C是x轴上一点， ∴可设C点为，则 则， 解得或， ∴C点坐标为或． 51．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D是线段的中点，点，点E为x轴上一动点． (1)直接写出点A，B，D的坐标； (2)联结、，以、为边作，的顶点F恰好落在y轴上，求点F的坐标； (3)设点M是直线上一点，若以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)，，； (2)点F的坐标为； (3)符合条件的点的坐标为或或． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）由于以为边的四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质，对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论； （3）①为平行四边形的对角线也是这个平行四边形的对角线，平行四边形的对角线的交点是同一个点，把点E，M的坐标设出，利用中点坐标的确定方法，求出的中点和得中点，是同一个点，即可，②为以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形的边，利用且，即可求出． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则；令，则； ∴，， ∵点D是线段的中点， ∴； （2）解：如图，当点在点上方时， ∵，， 又以为边的平行四边形交x轴于E，交y轴于F， 设， ∴，， ∴， ∴； （3）解：第一种情况：为平行四边形的对角线， ∵，， ∴的中点坐标为， ∵点M在直线的图象上， 设， ∴中点坐标为， ∵为平行四边形的对角线， ∴，， ∴， 即； 第二种情况：为平行四边形的边，则也为边， 即，， ∵，， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的表达式可设为， 当时，， ∴， 设， ∴ ①， 又点M在直线的图象上， ∴②， 由①②有或， ∴， 故符合条件的点的坐标为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $