第11章 二次根式（12知识详解+20典例分析）2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

该初中数学讲义通过表格对比、步骤总结等工具系统梳理二次根式单元知识，12个知识点从定义、性质到运算层层递进，用对比表格明晰√a²与(√a)²等易混概念，以步骤图呈现化简、加减等操作流程，构建完整知识脉络。 讲义亮点在于20类典例覆盖识别、求值、应用等题型，如“高空抛物时间计算”题培养应用意识，“比较√10-3与3-√8大小”题发展推理能力，且每类题型含基础题与拓展题，助力分层教学，教师可精准把握重难点，学生能自主查漏提升运算能力。

第11章 二次根式（12知识详解+20典例分析） 【知识点01】二次根式的定义 二次根式：一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫作二次根式，a可以是一个数，也可以是一个代数式.当a是一个非负数时，表示a 的算术平方根. 示例 二次根式 说明：（1）二次根式是一种形式定义，即式子中必须含有“ ”. 如=2，是二次根式，2不是二次根式. （2）如果已知是二次根式，就意味着满足a≥0 这一隐含条件. 【知识点02】形如的式子有意义的条件 条件 字母表示 形如的式子有意义 被开方数为非负数 有意义⇔𝑎≥0  【知识点03】二次根式的性质 性质 文字表述 应用及拓展 ≥0（𝑎≥0）  一个非负数的算术平方根是非负数. （1）三类常见的非负数：（𝑎≥0）, ,𝑎². （2）若++𝑐²=0，则𝑎=0 ,𝑏=0,𝑐=0 ，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0. =𝑎（𝑎≥0）  一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身. （1）正用公式：如=2 ,=𝑎²+2 . （2）逆用公式：若≥0,则= ,如5=,=. =∣𝑎∣= 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. （1）正用公式：化简形如 的式子时，先转化为∣𝑎∣，再根据𝑎 的符号去掉绝对值符号，如==4−π . （2）逆用公式：若𝑎≥0 ，则𝑎=，如3= . 辨析： 与的不同点与相同点 不同点 表示的意义 表示非负数𝑎 的算术平方根的平方. 表示𝑎 的平方的算术平方根. 包含的运算顺序 先开方再平方. 先平方再开方. 𝑎 的取值范围 𝑎 为非负数. 𝑎 为全体实数. 结果的表达形式 =𝑎（𝑎≥0）  =∣𝑎∣= 相同点 和的结果都是非负数,且当𝑎≥0 时，= . 【知识点04】二次根式乘法的性质 二次根式乘法的性质： ，即两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根． 特别地，当,时， . 拓展：二次根式乘法性质的推广 （1） . （2） ，当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式的乘法法则进行运算，即把系数之积作为积的系数，被开方数的积作为积的被开方数. 【知识点05】二次根式乘法的性质的逆用 1.把 反过来，可以得到 ，即两个非负数的积的算术平方根， 等于这两个非负数的算术平方根的积.利用这个式子可以化简一些二次根式. 拓展 ：该性质可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，如 . 2.逆用二次根式乘法的性质化简的步骤 （1）将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 时，先把化成 的形式； （2）利用和 ，将能开得尽方的因数或因式开到根号外，如 . 【知识点06】二次根式除法的性质 二次根式除法的性质 ，即两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根. 注意：中，要特别注意b＞0.若b=0，则式子无意义。 拓展：二次根式除法性质的推广 （1） . （2） . 【知识点07】二次根式除法的性质的逆用 把 反过来，就得到 ， 即商的算术平方根等于被除数（必须非负）的算术平方根除以除数（必须为正）的算术平方根. 利用这个式子可以化简一些二次根式. 【知识点08】分母有理化 分母有理化 示例 使分母中不含根号的方法称为分母有理化. 当𝑎≥0，𝑏>0 时， 【知识点09】最简二次根式 1.一般地，化简二次根式就是使二次根式： （1）被开方数中不含分母； （2）分母中不含有根号; （3）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数，且因式的次数等于1. 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式. 2.化简二次根式的一般类型 类型 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方. 化去根 号下的 分母. 若被开方数中含有带分数，应先 将带分数化成假分数. 若被开方数中含有小数，应先将 小数化成分数. 被开方数是多项式的要先进行分解因式. 解题通法 将二次根式化成最简二次根式的一般步骤 【知识点10】同类二次根式 1.同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式.如与，由于=2，因此与是同类二次根式. 2.判断同类二次根式的一般步骤： （1）“化”：把不是最简二次根式的化为最简二次根式. （2）“看”：看被开方数是否相同，若被开方数相同，则它们是同类二次根式；若被开方数不同，则它们不是同类二次根式. 【知识点11】二次根式的加减 1.法则：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式. 说明：合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，将化简后根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，如 . 2.步骤： 步骤 示例： （1）化：将每个二次根式都化成最简二次根式. = （2）找：找出被开方数相同的二次根式. = （3）合：类似于合并同类项，合并同类二次根式. =. 辨析：二次根式的乘除与二次根式的加减的区别 二次根式的乘除 二次根式的加减 根号外的因数（式） 根号外的因数（式）相乘除 根号外的因数（式）相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化简每个二次根式，再合并同类二次根式 【知识点12】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算指二次根式的加、减、乘、除、乘方混合运算.其运算顺序为: 先乘方,再乘除,最后加减，有括号的先算括号里面的(或先去掉括号). 注意：二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序完全相同，其最终结果一定要化成最简形式. 示例 二次根式的混合运算 【题型一】二次根式的识别 1．（2026八年级下·江苏·专题练习）下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】求二次根式的值 3．的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 4．当时，二次根式的值为____________． 5．（2025八年级下·江苏·期中）当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 【题型三】求二次根式中的参数 6．（2023八年级下·江苏·专题练习）已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是_______． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【题型四】二次根式有意义的条件 9．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）要使二次根式有意义，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的平方根是______． 11．（22-23八年级下·江苏南京·月考）知识回顾 我们在学习《二次根式》这一章时，对二次根式有意义的条件和性质进行了探索，得到了如下结论： ．二次根式在实数范围内有意义的条件是． ．二次根式的性质：①；②． 类比推广 根据探索二次根式相关知识过程中获得的经验，解决下面的问题． (1)根式在实数范围内有意义的条件是 ， 根式在实数范围内有意义的条件是 ； (2)写出次根式（，是整数）在实数范围内有意义的条件和性质． 【题型五】利用二次根式的性质化简 12．（2026八年级下·江苏·专题练习）（ ） A． B． C．3 D． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，，，则______． 14．（25-26八年级下·江苏·单元测试）化简下列各式： (1) (2) (3) (4) 【题型六】二次根式的乘法 15．（25-26八年级·江苏苏州·月考）若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 16．（2025·江苏淮安·中考真题）计算：______． 17．二次根式计算：； 【题型七】二次根式的除法 18．计算的结果是（   ） A． B．3 C． D． 19．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如果一个长方形的面积为，它的一边长是，那么这个长方形另一边长是______． 20．（2024八年级下·江苏常州·月考）计算：÷． 【题型八】二次根式的乘除混合运算 21．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 22．（23-24八年级下·江苏常州·月考）计算：＝_____；＝_____． 23．计算 （1）； （2）×； （3）3×÷2； （4）； 【题型九】分母有理化 24．若a＝＋、b＝﹣，则a和b互为（    ） A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式 25．（24-25八年级·江苏苏州·阶段检测）计算：______． 26．（23-24八年级下·江苏南京·期中）像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式． 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 请完成下列问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)比较与的大小，并说明理由． 【题型十】最简二次根式的判断 27．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 28．（22-23八年级下·江苏·期末）若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是________． 【题型十一】化为最简二次根式 29．（2024八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26八年级·江苏南通·期末）如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则______ ． 31．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 【题型十二】已知最简二次根式求参数 32．若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 33．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若与最简二次根式能合并成一项，则________． 【题型十三】复合二次根式的化简 34．（23-24八年级下·江苏·期末）化简的结果为______． 35．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【题型十四】同类二次根式 36．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如果与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是_________． 38．化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式： (1)与 (2)与 (3)与 【题型十五】二次根式的加减运算 39．（2024八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 40．（23-24八年级下·江苏南京·期末）计算的结果是__________． 41．（2023八年级下·江苏南京·竞赛）计算： 【题型十六】二次根式的混合运算 42．（23-24八年级下·江苏南通·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照上述规律，计算：（   ） A． B． C． D． 43．（2024·江苏南京·一模）计算的结果是____． 44．（25-26八年级下·江苏·期中）计算： (1) (2) 【题型十七】已知字母的值，化简求值 45．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知，，则的值等于（　　） A．0 B．4 C． D．16 46．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）若，则代数式的值是______． 47．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）请阅读下列材料： 问题：已知 ，求代数式 的值． 小明的做法如下： ， ， 两边平方，得： ， ， ． 把 作为整体代入，得 ，即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 仿照上述方法解决下列问题： (1)已知 ，求代数式 的值； (2)已知 ，求代数式 的值． 【题型十八】已知条件式，化简求值 48．（22-23八年级下·江苏·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 49．（23-24八年级·江苏扬州·期中）已知，则______． 50．（22-23八年级下·江苏·期末）已知，求． 【题型十九】比较二次根式的大小 51．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 52．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）比较大小：________（填“>”或“<”或“=”）． 53．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测） 阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． (1)______； (2)_______； (3)计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【题型二十】二次根式的应用 54．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 55．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 56．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现．（不考虑阻力的影响） (1)直接写出物体从的高空落到地面的时间______s； (2)已知从高空坠落的物体所带能量E（单位：J）物体质量（）高度（m）．一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙落下对人体是否能造成伤害？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 二次根式（12知识详解+20典例分析） 【知识点01】二次根式的定义 二次根式：一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫作二次根式，a可以是一个数，也可以是一个代数式.当a是一个非负数时，表示a 的算术平方根. 示例 二次根式 说明：（1）二次根式是一种形式定义，即式子中必须含有“ ”. 如=2，是二次根式，2不是二次根式. （2）如果已知是二次根式，就意味着满足a≥0 这一隐含条件. 【知识点02】形如的式子有意义的条件 条件 字母表示 形如的式子有意义 被开方数为非负数 有意义⇔𝑎≥0  【知识点03】二次根式的性质 性质 文字表述 应用及拓展 ≥0（𝑎≥0）  一个非负数的算术平方根是非负数. （1）三类常见的非负数：（𝑎≥0）, ,𝑎². （2）若++𝑐²=0，则𝑎=0 ,𝑏=0,𝑐=0 ，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0. =𝑎（𝑎≥0）  一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身. （1）正用公式：如=2 ,=𝑎²+2 . （2）逆用公式：若≥0,则= ,如5=,=. =∣𝑎∣= 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. （1）正用公式：化简形如 的式子时，先转化为∣𝑎∣，再根据𝑎 的符号去掉绝对值符号，如==4−π . （2）逆用公式：若𝑎≥0 ，则𝑎=，如3= . 辨析： 与的不同点与相同点 不同点 表示的意义 表示非负数𝑎 的算术平方根的平方. 表示𝑎 的平方的算术平方根. 包含的运算顺序 先开方再平方. 先平方再开方. 𝑎 的取值范围 𝑎 为非负数. 𝑎 为全体实数. 结果的表达形式 =𝑎（𝑎≥0）  =∣𝑎∣= 相同点 和的结果都是非负数,且当𝑎≥0 时，= . 【知识点04】二次根式乘法的性质 二次根式乘法的性质： ，即两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根． 特别地，当,时， . 拓展：二次根式乘法性质的推广 （1） . （2） ，当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式的乘法法则进行运算，即把系数之积作为积的系数，被开方数的积作为积的被开方数. 【知识点05】二次根式乘法的性质的逆用 1.把 反过来，可以得到 ，即两个非负数的积的算术平方根， 等于这两个非负数的算术平方根的积.利用这个式子可以化简一些二次根式. 拓展 ：该性质可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，如 . 2.逆用二次根式乘法的性质化简的步骤 （1）将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 时，先把化成 的形式； （2）利用和 ，将能开得尽方的因数或因式开到根号外，如 . 【知识点06】二次根式除法的性质 二次根式除法的性质 ，即两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根. 注意：中，要特别注意b＞0.若b=0，则式子无意义。 拓展：二次根式除法性质的推广 （1） . （2） . 【知识点07】二次根式除法的性质的逆用 把 反过来，就得到 ， 即商的算术平方根等于被除数（必须非负）的算术平方根除以除数（必须为正）的算术平方根. 利用这个式子可以化简一些二次根式. 【知识点08】分母有理化 分母有理化 示例 使分母中不含根号的方法称为分母有理化. 当𝑎≥0，𝑏>0 时， 【知识点09】最简二次根式 1.一般地，化简二次根式就是使二次根式： （1）被开方数中不含分母； （2）分母中不含有根号; （3）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数，且因式的次数等于1. 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式. 2.化简二次根式的一般类型 类型 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方. 化去根 号下的 分母. 若被开方数中含有带分数，应先 将带分数化成假分数. 若被开方数中含有小数，应先将 小数化成分数. 被开方数是多项式的要先进行分解因式. 解题通法 将二次根式化成最简二次根式的一般步骤 【知识点10】同类二次根式 1.同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式.如与，由于=2，因此与是同类二次根式. 2.判断同类二次根式的一般步骤： （1）“化”：把不是最简二次根式的化为最简二次根式. （2）“看”：看被开方数是否相同，若被开方数相同，则它们是同类二次根式；若被开方数不同，则它们不是同类二次根式. 【知识点11】二次根式的加减 1.法则：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式. 说明：合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，将化简后根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，如 . 2.步骤： 步骤 示例： （1）化：将每个二次根式都化成最简二次根式. = （2）找：找出被开方数相同的二次根式. = （3）合：类似于合并同类项，合并同类二次根式. =. 辨析：二次根式的乘除与二次根式的加减的区别 二次根式的乘除 二次根式的加减 根号外的因数（式） 根号外的因数（式）相乘除 根号外的因数（式）相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化简每个二次根式，再合并同类二次根式 【知识点12】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算指二次根式的加、减、乘、除、乘方混合运算.其运算顺序为: 先乘方,再乘除,最后加减，有括号的先算括号里面的(或先去掉括号). 注意：二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序完全相同，其最终结果一定要化成最简形式. 示例 二次根式的混合运算 【题型一】二次根式的识别 1．（2026八年级下·江苏·专题练习）下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】根据二次根式的定义判断各选项的被开方数是否恒为非负数即可解答． 【详解】解：选项A中被开方数，即不是二次根式； 选项B中a的符号不确定，当时被开方数为负数，即不一定是二次根式； 选项C中，即，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，故 选项C是二次根式； 选项D中，当时，，被开方数为负数，故不一定是二次根式． 2．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 【题型二】求二次根式的值 3．的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】D 【知识点】求二次根式的值、无理数的大小估算 【分析】首先确定的范围，根据二次根式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较和二次根式的性质的应用，知道：，，． 4．当时，二次根式的值为____________． 【答案】 【知识点】求二次根式的值 【分析】把代入求解即可． 【详解】解：当时，． 5．（2025八年级下·江苏·期中）当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 【答案】(1)； (2)3； (3)2； 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式的值 【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可； （2）把x的值代入，计算求值即可； （3）把x的值代入，计算求值即可． 【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得： ＝； （2）解：把x＝2，代入二次根式得： ＝＝＝3； （3）解：把x＝﹣，代入二次根式得： ＝＝2； 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题关键． 【题型三】求二次根式中的参数 6．（2023八年级下·江苏·专题练习）已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式的性质以及结果为整数可确定的值． 【详解】解：∵是正整数，是整数， ∴的最小值是． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是_______． 【答案】3 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算、求二次根式中的参数 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 【题型四】二次根式有意义的条件 9．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）要使二次根式有意义，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 的值可以是， 故选：D． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的平方根是______． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，则有，然后根据平方根可进行求解． 【详解】解：由可知：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 11．（22-23八年级下·江苏南京·月考）知识回顾 我们在学习《二次根式》这一章时，对二次根式有意义的条件和性质进行了探索，得到了如下结论： ．二次根式在实数范围内有意义的条件是． ．二次根式的性质：①；②． 类比推广 根据探索二次根式相关知识过程中获得的经验，解决下面的问题． (1)根式在实数范围内有意义的条件是 ， 根式在实数范围内有意义的条件是 ； (2)写出次根式（，是整数）在实数范围内有意义的条件和性质． 【答案】(1)；为任意实数； (2)见解析 【知识点】二次根式有意义的条件、数字类规律探索、乘方运算的符号规律 【分析】（1）根据二次根式的相关知识，再结合乘方的性质即可得到答案； （2）分析（1）的结论，再根据二次根式的相关知识，即可得到答案． 【详解】（1）解：为偶数， 根式在实数范围内有意义的条件是； 为奇数， 根式在实数范围内有意义的条件是为任意实数， 故答案为：；为任意实数； （2）解：（，是整数）有意义的条件： 当为偶数时，； 当为奇数时，为任意实数． （，是整数）的性质： 当为偶数时，①，②； 当为奇数时，①，②． 【点睛】本题考查了数字类规律探究，解题关键是熟练掌握二次根式和乘方的相关知识． 【题型五】利用二次根式的性质化简 12．（2026八年级下·江苏·专题练习）（ ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，，，则______． 【答案】2 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】先根据二次根式的性质求出的所有可能值和的值，再根据确定的具体取值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据二次根式的性质可得：，解得； ， ， ∴， 代入得：． 14．（25-26八年级下·江苏·单元测试）化简下列各式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】（1）运用二次根式的性质化简； （2）运用进行化简，即可作答． （3）运用进行化简，即可作答． （4）运用进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【题型六】二次根式的乘法 15．（25-26八年级·江苏苏州·月考）若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 16．（2025·江苏淮安·中考真题）计算：______． 【答案】2 【知识点】二次根式的乘法 【详解】解：． 17．二次根式计算：； 【答案】16 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．运用二次根式的乘法法则计算即可；掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【题型七】二次根式的除法 18．计算的结果是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式的除法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选B 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法法则是解题的关键．次根式的除法法则是：（） 19．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如果一个长方形的面积为，它的一边长是，那么这个长方形另一边长是______． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据长方形的面积公式进行计算即可得． 【详解】解：∵一个长方形的面积为，它的一边长是， ∴这个长方形另一边长是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了长方形的面积公式，二次根式的除法，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算． 20．（2024八年级下·江苏常州·月考）计算：÷． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 【题型八】二次根式的乘除混合运算 21．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则化简，进而得出答案． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． 22．（23-24八年级下·江苏常州·月考）计算：＝_____；＝_____． 【答案】 6 3 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则化简求出即可． 【详解】解：， ， 故答案为：6；3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算法则，正确化简二次根式是解题关键． 23．计算 （1）； （2）×； （3）3×÷2； （4）； 【答案】（1）12；（2）；（3）；（4） 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】（1）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可； （2）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可； （3）先化简二次根式，根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可； （4）根据二次根式除运算法则转化为乘法计算，再化简即可． 【详解】解：（1）原式= =； （2）原式= =； （3）原式= = =； （4）原式=， =． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 【题型九】分母有理化 24．若a＝＋、b＝﹣，则a和b互为（    ） A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式 【答案】D 【知识点】分母有理化 【分析】运用平方差公式通过计算得出ab＝1，从而得出正确选项． 【详解】解：∵a＋b≠0， ∴a与b不是互为相反数，故A不正确； ∵ab≠±1， ∴a与b不是互为倒数、负倒数，故B、C不正确； ∵ab＝（）2－（）2＝2－7＝5， ∴a和b互为有理化因式； 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式，解题的关键是正确理解倒数、相反数、负倒数及分母有理化的概念． 25．（24-25八年级·江苏苏州·阶段检测）计算：______． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化和二次根式的混合运算．分子分母同乘以，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 26．（23-24八年级下·江苏南京·期中）像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式． 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 请完成下列问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）利用有理化因式，化去分母中的根号即可； （2）利用有理化因式，化去分母中的根号，再进行加减运算即可； （3）利用有理化分子，化去分母中的根号，再进行比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵ ， ， ， ∴ ∴． 【题型十】最简二次根式的判断 27．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：选项A：，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式； 选项B：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 28．（22-23八年级下·江苏·期末）若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是________． 【答案】2 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【题型十一】化为最简二次根式 29．（2024八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式 【分析】 根据最简二次根式是被开方数不含分母，不含能开得尽的因数或因式，可得答案． 【详解】 解：、被开方数含有分母，故不是最简二次根式； 、被开方数能开方，故不是最简二次根式； 、被开方数含有分母，故不是最简二次根式； 、被开方数不含分母，不含能开得尽的因数或因式，故是最简二次根式； 故选：D． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，解题的关键是：掌握最简二次根式是被开方数不含分母，不含能开得尽的因数或因式． 30．（25-26八年级·江苏南通·期末）如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则______ ． 【答案】/ 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可得到结论．熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 31．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键 （1）被开方数是小数，要把小数化成分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； （2）被开方数是带分数，要把带分数化为假分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； （3）分母是二次根式，要根据分式的基本性质将分母中的根号化去； 【详解】（1） （2） （3） 【题型十二】已知最简二次根式求参数 32．若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【答案】C 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式． 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 33．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若与最简二次根式能合并成一项，则________． 【答案】-2 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】先化简，因为它与最简二次根式能合并成一项，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程即可得到a的值． 【详解】解：∵，它与最简二次根式能合并成一项， ∴1-a=3， ∴a=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键． 【题型十三】复合二次根式的化简 34．（23-24八年级下·江苏·期末）化简的结果为______． 【答案】5 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 35．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 【题型十四】同类二次根式 36．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的判断．掌握几个二次根式，当它们化到最简形式后，根号里的部分相同，则它们是同类二次根式．将各数化为最简二次根式，再结合同类二次根式的定义即可解答． 【详解】解：A．，故与不是同类二次根式，故A不符合题意； B．，故与不是同类二次根式，故B不符合题意； C．与不是同类二次根式，故C不符合题意； D．，故与是同类二次根式，故D符合题意． 故选：D． 37．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如果与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是_________． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式和最简二次根式等知识点，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 根据同类二次根式的定义得出，求出即可． 【详解】， 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故答案为：． 38．化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式： (1)与 (2)与 (3)与 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的识别，几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． （2）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． （3）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与是同类二次根式； （2）解：∵， ∴与是同类二次根式； （3）解：∵， ∴与不是同类二次根式． 【题型十五】二次根式的加减运算 39．（2024八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；直接合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故选：C． 40．（23-24八年级下·江苏南京·期末）计算的结果是__________． 【答案】/ 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，原式先化简，，然后再合并即可． 【详解】解： ， 故答案为： 41．（2023八年级下·江苏南京·竞赛）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式的加减运算，正确分母有理化是解题的关键． 运用分母有理化把二次根式化简，再进一步运算即可得解． 【详解】解：， ． 【题型十六】二次根式的混合运算 42．（23-24八年级下·江苏南通·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照上述规律，计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用已知运算规律得出，进而利用二次根式的加减运算法则得出答案． 【详解】解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第个等式：， ∴按照上述规律，． 故选：A． 43．（2024·江苏南京·一模）计算的结果是____． 【答案】3 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：3． 44．（25-26八年级下·江苏·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十七】已知字母的值，化简求值 45．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知，，则的值等于（　　） A．0 B．4 C． D．16 【答案】D 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】根据完全平方公式可得，再将x和y的值代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式． 46．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）若，则代数式的值是______． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式，先将原式进行因式分解，然后将代入即可求出答案， 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 47．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）请阅读下列材料： 问题：已知 ，求代数式 的值． 小明的做法如下： ， ， 两边平方，得： ， ， ． 把 作为整体代入，得 ，即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 仿照上述方法解决下列问题： (1)已知 ，求代数式 的值； (2)已知 ，求代数式 的值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据求出，然后两边平方后求出，求出，再代入求出答案即可； （2）根据求出，再两边平方求出，求出，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， 两边平方得：，即， ， ； （2）解：， ， ， 两边平方，得，即， ，即， ． 【题型十八】已知条件式，化简求值 48．（22-23八年级下·江苏·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键． 49．（23-24八年级·江苏扬州·期中）已知，则______． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入原式，利用二次根式的性质化简可得答案． 【详解】解：∵ ∴，， 解得，， 所以，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算---化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算的顺序和运算法则． 50．（22-23八年级下·江苏·期末）已知，求． 【答案】． 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】根据得，则，，将原式化为，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题关键． 【题型十九】比较二次根式的大小 51．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 52．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）比较大小：________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 53．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测） 阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． (1)______； (2)_______； (3)计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【知识点】复合二次根式的化简、比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可； （4）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解：．理由如下， ， ， ∵， ∴． 【题型二十】二次根式的应用 54．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是数形结合，计算出两个小正方形的边长即可求解． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 两个小正方形的边长为：，， 原正方形边长为：， 故选：B． 55．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的应用 【分析】根据等高三角形面积比等于底边比，推导出对角线分成的四个三角形中，相对两个三角形面积的乘积相等，最后利用题干给出的不等式性质求解． 【详解】解：设，， 与等高，与等高， ，， ， ， ，， ， 四边形的面积， 由题干结论可知，当，为非负实数时，， ， ， 即四边形的面积的最小值为． 56．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现．（不考虑阻力的影响） (1)直接写出物体从的高空落到地面的时间______s； (2)已知从高空坠落的物体所带能量E（单位：J）物体质量（）高度（m）．一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙落下对人体是否能造成伤害？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)能造成伤害 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）将代入公式即可得； （2）先将代入公式，求得此时的高度，然后根据公式求得钥匙落在地上的能量，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意； （2）解：当时，，解得， ∴， ∵， ∴能造成伤害． 1 学科网（北京）股份有限公司 $