第12讲 分式方程（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

第12讲 分式方程（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式方程的概念 1.分式方程：等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程 叫作分式方程. 2.分式方程必须满足的条件： （1）是方程; （2）含有分母; （3）分母中含有未知数. 三者缺一不可. 【知识点02】分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路： 2.解分式方程的一般步骤： 3.增根:将分式方程变形为整式方程，若整式方程的解使得原分式方程的分母为0，则这个解称为原分式方程的增根. 4.分式方程产生增根的原因: 去分母时，方程两边同时乘的最简公分母是含有未知数的整式，当这个整式的值为0时，所得的整式方程的解会使原分式方程出现分母为0的现象.因为当分母为0时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的根. 注意：（1）增根是去分母后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根； （2）若一个分式方程有增根，则此增根必使最简公分母的值为零 【知识点03】列分式方程解应用题 1.列分式方程解应用题的步骤： （1）审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量. （2）设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性. （3）列：根据相等关系列出分式方程. （4）解：解所列的分式方程. （5）验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，还要检验是否符合实际意义. （6）答：写出答案. 2.分式方程应用题的主要类型： （1）行程问题：路程= 速度×时间. （2）工程问题：工作量= 工作效率×工作时间. （3）利润问题：利润=售价-进价，利润率=×100% . 【题型一】分式方程的定义 例1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）下列方程中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·江苏南京·月考）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．请你利用代数式3，，，组成一个分式方程：__________． 【题型二】解分式方程（化为一元一次） 例2．（25-26八年级下·江苏南京·月考）解分式方程，去分母后的结果是（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是______． 例4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）解分式方程： (1)； (2)． 变式1．（22-23八年级下·江苏无锡·月考）已知方程，且关于x的不等式组只有2个整数解，那么b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·江苏淮安·一模）分式方程的解是_____． 变式3．（25-26八年级下·江苏南京·月考）形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 【题型三】根据分式方程解的情况求值 例5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．4 B．3 C． D．2 例6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 例7．（22-23八年级下·江苏宿迁·月考）已知关于的分式方程有增根，求的值． 变式1．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为（   ） A．且 B． C． D．且 变式2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）若关于的分式方程的解是，则的值为___________． 变式3．（22-23八年级下·江苏常州·期中）阅读： 对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解．分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为、，则______， ______； (2)方程的两个解中较大的一个为______； (3)关于x的方程的两个解分别为（），求的值． 【题型四】分式方程无解问题 例8．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）关于x的方程会产生增根，那么k的值（   ） A．3 B． C．1 D． 例9．（22-23八年级下·江苏扬州·月考）已知关于的方程无解，则的值为________． 例10．（24-25八年级下·江苏镇江·月考）若关于的方程无解，求的值． 变式1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的方程无解，则m的取值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若关于的方程有增根，则________________． 变式3．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）已知关于x的分式方程． (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求m的值． 【题型五】列分式方程 例11．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）施工队要铺设5000米的管道，因为天气原因需要停工2天，这样之后每天要比原计划多施工30米才能完成任务，设原计划每天施工米，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 例12．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则所列方程为______． 变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动，已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同，求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子，若设乙组每小时包x个粽子，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）某校学生到离学校处植树，部分学生骑自行车出发后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的倍，他们同时到达，设自行车的速度是，可列方程 _________________． 变式3．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）某中学在商店购进了A、两种品牌的篮球购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花元． (1)求购买一个A品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ (2)购买后仍供不应求，学校决定再次购进A、两种篮球共个，恰逢该商店对这两种品牌售价进行调整，A品牌售价比第一次购买时提高了元，品牌按第一次购买时售价的折出售如果学校要求此次购买的总费用不超过元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌篮球？ 【题型六】分式方程的行程问题 例13．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 例14．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）中国国家铁路集团有限公司宣布，2024年12月27日，盐城至宜兴高铁（以下简称盐宜高铁）开工建设，这将大大加快盐城城市群建设与发展．铁路建成后，盐城与泰州铁路运行里程由现在的缩短至，预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． (1)设该铁路建成前在盐城与泰州两地运行的现行时间是x小时，则该城际铁路建成后在盐城与泰州两地的运行时间是_____小时（用含x的式子表示）： (2)根据（1）中的设未知数x，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间． 变式1．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意列出方程 ____________________． 变式2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）一辆货车从北京开往乌鲁木齐，路线总长是，为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速，提速后的平均速度是原来的倍，提速后比提速前可提前到达． (1)提速前的平均速度是多少？ (2)如果全程运行时间控制内，那么提速后的平均速度至少应为多少？ 【题型七】分式方程的工程问题 例15．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡惠山泥人厂接到一批定制“熊有成竹”泥塑订单，需制作1000件．若原计划每天制作件，实际每天多制作50件，结果提前5天完成任务．下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 例16．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 变式1．（25-26八年级下·江苏南京·月考）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前40天完成了这一任务．如果设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，那么可列方程为：______． 变式2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）李师傅计划生产720个零件．当生产任务完成一半时，为了提前完成任务，李师傅将工作效率提高，结果比原计划提前了24分钟完成任务，求李师傅原计划每小时生产多少个零件？ 【题型八】分式方程的经济问题 例17．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 例18．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）“给垃圾一个分类的归宿，还我们一个清洁的世界”，柘城县某小区积极响应号召，准备购买两种类型的分类垃圾桶，在市场上了解到种类型的垃圾桶比种类型的垃圾桶贵元，用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同．求购买一个种类型的垃圾桶和购买一个种类型的垃圾桶各需要多少元？ 变式1．（22-23八年级下·江苏·期末）某汽车测评机构对A款电动汽车与B款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每公里充电费用比B款燃油车平均每公里燃油费用少0.6元．当充电费和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍．则A款电动汽车平均每公里充电费用为_______元． 变式2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为am，其中． (1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 【题型九】分式方程和差倍分问题 例19．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记载了“关于油、漆的交易和调和”的一个问题：今有漆三得油四，油四和（huo，即调和）漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和（huo）余漆．若设分出x斗漆去得（换）油，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 例29．（24-25八年级下·江苏南京·期中）一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 变式1．（2024八年级下·江苏苏州·月考）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为______个． 变式2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【题型十】分式方程的其它实际问题 例21．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）某鱼塘里养了条鲤鱼，若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，则该鱼塘捕捞到鲤鱼的概率约为（    ） A． B． C． D． 例21．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）兴化具有独特的旅游资源．其中千岛样式形成的垛田景观享誉全国，每年四月份，油菜花开，蓝天、碧水、“金岛”织就了“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”的奇丽画卷．来自世界各地的游客都会来观赏游玩，体验兴化的人文风情．油菜花谢了之后会留下油菜荚，其中包含油菜籽．油菜花开花后会慢慢结出果实，这些果实就是油菜籽，油菜籽可以用于榨油．已知千岛菜花风景区内，2015年油菜籽的总产量达到400万千克，更新技术后，到2024年油菜籽的总产量达到了600万千克，平均每亩产量比2015年多了200千克，2024年每亩产量达到多少千克？ 变式1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）一个分数的分母比它的分子大3，如果将这个分数的分子加上11，分母加上2，那么所得分数是原分数的倒数．若设原分数的分子为，则可列分式方程为________． 变式2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下面是小亮学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时多做2朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间 解法二 设…等量关系：小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数 任务： (1)解法一所列方程中的表示______，解法二所列方程中的表示______； A．小明每小时做朵 B．小丽每小时做朵 C．小明做了小时 (2)请选择一种解法求出小明、小丽每小时各做小红花的朵数． 一、单选题 1．方程的方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如果关于x的分式方程无解，则a的值为（    ） A． B．1 C．0或1 D．或1 4．“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景．通过查阅资料岭南到长安相距里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚小时到达，用快马比预定时间早小时到达，已知快马的速度是慢马的倍，求预定的时间．设预定的时间为小时，由题意可列方程（    ）． A． B． C． D． 5．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 6．若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 7．方程 的正整数解（x，y）有（   ）组 A．1 B．2 C．3 D．4 8．甲乙两个工程队修建某段公路．如果甲乙两队合作，12天可以完成；如果甲队单独做3天后，乙队加入．两队继续工作6天，共完成了总工作量的．设甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天，那么根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．分式方程的解为_____________． 10．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个与乙检测200个所用的时间相等，甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个？设甲机器人每小时检测x个，根据题意可列方程__________． 11．有一道题：“甲队修路与乙队修路所用天数相同，若……，求甲队每天修路多少米？“根据图中的解题过程，省略号”……“表示的条件应是________，________． 解：设甲队每天修路米， 依题意得： …… 12．关于的分式方程有增根，则的值为________． 13．已知关于的方程的解是正整数，则正整数的值是______． 14．分式方程的解不大于1，则的取值范围是_____________． 15．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数多盒，且每盒花的进价比第一批的进价少元．设第一批盒装花的进价是元，则根据题意可列方程为________． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)． 17．某校八年级两个班的“班级小书库”中各有图书本．已知2班比1班人均图书多2本，1班的人数比2班的人数多．求两个班各有多少人？ 18．（1）我们知道，盐水加盐后浓度会增加．请你用数学的方法证明这个结论； （2）化学实验室一容器内的40克食盐水中含盐4克．在实验室无食盐的情况下，如何处理，可使该容器内的食盐水浓度提高到原来的2倍？ 19．某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，求乙型号分拣机器人每小时分拣的数量． 20．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入、两款物理实验套装，其中款套装单价比款套装单价贵，用7200元购买的款套装数量比用5000元购买的款套装数量多5套．求、两款套装的单价分别是多少元． 21．甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司分别有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 22．科研机构试验采集的某样本须在4小时内（含采集时间）送达检测中心，使超过时问，样本就会失效．已知甲、乙两科研机构到检测中心的路程分别为30千米，36千米，两科研机构的送检车有如图所示的信息．根据信息，请解答下列问题： (1)求甲科研机构送检车的平均速度； (2)若乙科研机构从开始采集样本到送检车出发用了3.2小时，则它采集的样本会不会失效？ 23．请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 我校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的倍，且甲组单独售完所有产品比乙组少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次． 问题解决 (1)求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． (3)现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的k倍． ①若k为整数，求整数x的值． ②k的取值范围_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 分式方程（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式方程的概念 1.分式方程：等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程 叫作分式方程. 2.分式方程必须满足的条件： （1）是方程; （2）含有分母; （3）分母中含有未知数. 三者缺一不可. 【知识点02】分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路： 2.解分式方程的一般步骤： 3.增根:将分式方程变形为整式方程，若整式方程的解使得原分式方程的分母为0，则这个解称为原分式方程的增根. 4.分式方程产生增根的原因: 去分母时，方程两边同时乘的最简公分母是含有未知数的整式，当这个整式的值为0时，所得的整式方程的解会使原分式方程出现分母为0的现象.因为当分母为0时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的根. 注意：（1）增根是去分母后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根； （2）若一个分式方程有增根，则此增根必使最简公分母的值为零 【知识点03】列分式方程解应用题 1.列分式方程解应用题的步骤： （1）审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量. （2）设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性. （3）列：根据相等关系列出分式方程. （4）解：解所列的分式方程. （5）验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，还要检验是否符合实际意义. （6）答：写出答案. 2.分式方程应用题的主要类型： （1）行程问题：路程= 速度×时间. （2）工程问题：工作量= 工作效率×工作时间. （3）利润问题：利润=售价-进价，利润率=×100% . 【题型一】分式方程的定义 例1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）下列方程中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断． 【详解】A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B、方程分母中含未知数x，故是分式方程； C、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； D、方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：B． 【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数． 变式1．（23-24八年级下·江苏南京·月考）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 变式2．请你利用代数式3，，，组成一个分式方程：__________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】分式方程的定义 【分析】明确分式方程的分母必须含有未知数，通过合理组合给定代数式构造等式即可求解． 【详解】解：根据题意可得到，或或． 【题型二】解分式方程（化为一元一次） 例2．（25-26八年级下·江苏南京·月考）解分式方程，去分母后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】先将互为相反数的分母变形，再给方程两边同乘最简公分母得到去分母后的结果． 【详解】解：原方程为 ， ， 原方程可变形为， ∴方程的最简公分母为， ∴方程两边同时乘，去分母得． 例3．（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是______． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程、新定义运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键．根据题意确定关于的分式方程，再在等号两边同时乘以，将分式方程化为一元一次方程，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 等号两边同时乘以，， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是该方程的解， ∴该方程的解为． 故答案为：． 例4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解； (2)． 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）先整理分式方程，然后方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解并检验即可． （）先整理分式方程，然后方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解并检验即可． 【详解】（1）解： ， 检验：当时，， ∴原分式方程无解； （2）解： ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 变式1．（22-23八年级下·江苏无锡·月考）已知方程，且关于x的不等式组只有2个整数解，那么b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先解分式方程，得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可． 【详解】解：解方程，得， 经检验，是该分式方程的解， ∵关于x的不等式组，即只有2个整数解， ∴． 故选：D． 变式2．（2025·江苏淮安·一模）分式方程的解是_____． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验，当时，， ∴分式方程的解是， 故答案为：． 变式3．（25-26八年级下·江苏南京·月考）形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 【答案】(1)2；5 (2)7 (3)或或或 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】（1）根据，结合题意可得答案； （2）原方程变形为，则根据定义可得，再根据计算求解即可； （3）原方程可变形为，可证明方程是“十字分式方程”，则，进而得到，则，根据是整数，得到是整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴方程是“十字分式方程”， ∵关于x的方程的两个解是，， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是的整数，即是整数， 又∵k是整数， ∴或， ∴或或或． 【题型三】根据分式方程解的情况求值 例5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程可得，再根据分式方程有增根可得，从而得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 例6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的定义即可求解． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 例7．（22-23八年级下·江苏宿迁·月考）已知关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母得， 当，即或时，分式方程有增根， 当时，，解得； 当时，，解得； 故m的值是或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键． 变式1．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，先去分母解分式方程可得，再根据分式方程的解为正数可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵， 去分母得：， 解得：， ∵方程的解为正数，且， ∴且， 解得：且； 故选A． 变式2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）若关于的分式方程的解是，则的值为___________． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，将解代入原方程，从而求出． 【详解】解：将代入分式方程 得： 解得： 故答案为：． 变式3．（22-23八年级下·江苏常州·期中）阅读： 对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解．分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为、，则______， ______； (2)方程的两个解中较大的一个为______； (3)关于x的方程的两个解分别为（），求的值． 【答案】(1)，2 (2)3 (3)2 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】（1）根据材料可得：，，计算出结果； （2）设方程的两个解为a，b，同理得，，解出可得结论； （3）将原方程变形后变为：，未知数变为整体，根据材料中的结论可得：，，代入所求式子可得结论． 【详解】（1）解：∵方程的两个解分别为、， ∴，， 故答案为：，2； （2）解：设方程的两个解为a，b， 则，， ∴或， ∴两个解中较大的一个为3； 故答案为：3； （3）解：∵， ∴， 即， ∴或， 或， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 【题型四】分式方程无解问题 例8．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）关于x的方程会产生增根，那么k的值（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 例9．（22-23八年级下·江苏扬州·月考）已知关于的方程无解，则的值为________． 【答案】1或/或1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】先将分式方程去分母，化为整式方程，再进行分类讨论：①当整式方程无解时，②当分式方程有增根时，即可求解． 【详解】解： 当整式方程无解时：即，解得：； 当分式方程有增根时：增根为，即，解得． 例10．（24-25八年级下·江苏镇江·月考）若关于的方程无解，求的值． 【答案】或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，掌握“分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0”是解题的关键； 解分式方程得出，再分两种情况：当整式方程无解时，和增根两种情况求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 当整式方程无解时，，即； 当产生增根时，即时，，解得：； 综上，当方程无解时，或． 变式1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的方程无解，则m的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 当时，方程无解， ， ． 故选：B． 变式2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若关于的方程有增根，则________________． 【答案】1 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程有增根的概念，解题的关键在于理解增根的概念． 根据增根的概念，即增根是使分式方程的分母为0的根，然后通过将分式方程化为整式方程，再结合增根即可求解． 【详解】解：对于分式方程，其分母为， ∵关于的方程有增根， ∴，解得， ∴该分式方程的增根为， 对于分式方程， 化简可得， 将代入上式，可得， 解得． 故答案为：1 ． 变式3．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）已知关于x的分式方程． (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求m的值． 【答案】(1) (2)m的值是或6或1 【知识点】分式方程无解问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）先把代入分式方程，再方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘，得出①，整理后得出②，再分别把，，代入①求出m，由②得出当时，方程无解，最后代入答案即可． 【详解】（1）把代入方程得： ， 方程两边都乘，得 ， 解得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 即当时，方程的解是； （2）， 方程两边都乘，得 ①， 整理得：②， 有三种情况： 第一种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得：； 第二种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得：； 第三种情况：②， 当，即时，方程无解； 所以该分式方程无解时，m的值是或6或1． 【题型五】列分式方程 例11．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）施工队要铺设5000米的管道，因为天气原因需要停工2天，这样之后每天要比原计划多施工30米才能完成任务，设原计划每天施工米，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据实际与原计划工作效率间的关系，可得出实际每天施工米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划少用2天（因为天气原因需要停工2天）完成任务，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵原计划每天施工x米， ∴实际每天施工米． 根据题意得： 故选：A． 例12．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则所列方程为______． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查分式方程的应用，总工作量为1，用含x的式子表示出和每小时工作量，之和为，由此列方程即可． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理需要小时， 总工作量为1，每小时工作量为，每小时工作量为，两者每小时工作量和为， 因此可列方程， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动，已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同，求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子，若设乙组每小时包x个粽子，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了由实际问题列出分式方程，设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设乙组每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子， ， 故选：A． 变式2．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）某校学生到离学校处植树，部分学生骑自行车出发后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的倍，他们同时到达，设自行车的速度是，可列方程 _________________． 【答案】或 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的运用，理解数量关系，正确列式方程是关键． 根据题意，汽车速度为，由此汽车行驶的时间加上自行车提前走的时间等于自行车行驶的时间，由此列式即可． 【详解】解：设自行车的速度是，则汽车速度为， ∴，或， 故答案为：或 ． 变式3．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）某中学在商店购进了A、两种品牌的篮球购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花元． (1)求购买一个A品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ (2)购买后仍供不应求，学校决定再次购进A、两种篮球共个，恰逢该商店对这两种品牌售价进行调整，A品牌售价比第一次购买时提高了元，品牌按第一次购买时售价的折出售如果学校要求此次购买的总费用不超过元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌篮球？ 【答案】(1)购买一个A品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元 (2)该中学此次至少可购买个A品牌篮球 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，根据购买A品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，列出分式方程，解方程即可． （2）设中学此次可购买个A品牌篮球，则购买个品牌篮球，根据学校要求此次购买的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：购买一个A品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元． （2）设中学此次可购买个A品牌篮球，则购买个品牌篮球， 由题意得：， 解得：， 是整数， 的最小值是， 答：该中学此次至少可购买个A品牌篮球． 【点睛】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 【题型六】分式方程的行程问题 例13．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 例14．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）中国国家铁路集团有限公司宣布，2024年12月27日，盐城至宜兴高铁（以下简称盐宜高铁）开工建设，这将大大加快盐城城市群建设与发展．铁路建成后，盐城与泰州铁路运行里程由现在的缩短至，预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． (1)设该铁路建成前在盐城与泰州两地运行的现行时间是x小时，则该城际铁路建成后在盐城与泰州两地的运行时间是_____小时（用含x的式子表示）： (2)根据（1）中的设未知数x，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间． 【答案】(1) (2)小时 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了用含未知数的式子表示数量关系，行程问题中的数量关系及分式方程的求解． （1）根据现行时间与建成后时间的关系，直接用含x的式子表示建成后的运行时间； （2）先根据“建成后的速度−现行速度”列出方程，求解x后，再计算建成后的运行时间． 【详解】（1）解：∵该铁路建成后，运行时间是现行时间的，且该铁路建成前在盐城和泰州两地运行的现行时间是x小时， ∴该铁路建成后在盐城和泰州两地的运行时间是小时． （2）解：根据题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（小时）， 答：该铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间为小时． 变式1．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意列出方程 ____________________． 【答案】 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．设运输这批公粮原计划每日行，根据“运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站”，列出分式方程，即可求解． 【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得， ， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）一辆货车从北京开往乌鲁木齐，路线总长是，为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速，提速后的平均速度是原来的倍，提速后比提速前可提前到达． (1)提速前的平均速度是多少？ (2)如果全程运行时间控制内，那么提速后的平均速度至少应为多少？ 【答案】(1)提速前的平均速度是 (2)提速后的平均速度至少应为 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设提速前的平均速度，则提速前的平均速度是，根据提速后比提速前可提前到达，列出分式方程，解出方程即可； （2）设提速后的平均速度应为，根据全程运行时间控制内，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设提速前的平均速度是，则提速前的平均速度是， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：提速前的平均速度是； （2）设提速后的平均速度应为， 由题意得：， 解得：， 答：提速后的平均速度至少应为． 【题型七】分式方程的工程问题 例15．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡惠山泥人厂接到一批定制“熊有成竹”泥塑订单，需制作1000件．若原计划每天制作件，实际每天多制作50件，结果提前5天完成任务．下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据题意，原计划每天制作件，总天数为天；实际每天制作件，总天数为天，因实际提前5天完成，故原计划天数减去实际天数等于5，据此列方程. 【详解】解：原计划天数：总任务量1000件除以每天制作量，即天， 实际天数：每天多制作50件，即每天制作件，总天数为天， 时间差：原计划天数比实际天数多5天， 故方程为：， 故选：A 例16．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 【答案】原计划每天种棵树 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】设原计划每天种棵树，根据提前天完成任务，列分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天种棵树， 根据题意得：， 解这个方程得：， 经检验，是方程的解， 答：原计划每天种棵树． 变式1．（25-26八年级下·江苏南京·月考）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前40天完成了这一任务．如果设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，那么可列方程为：______． 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】根据工作效率的关系求出原计划每天绿化的面积，再根据原计划工作时间减去实际工作时间等于提前的天数列方程即可． 【详解】解：由题意知，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了， 原计划每天绿化的面积为万平方米， 原计划完成任务所需天数为， 实际完成任务所需天数为， 可列方程：． 变式2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）李师傅计划生产720个零件．当生产任务完成一半时，为了提前完成任务，李师傅将工作效率提高，结果比原计划提前了24分钟完成任务，求李师傅原计划每小时生产多少个零件？ 【答案】李师傅原计划每小时生产180个零件 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】该题考查了分式方程的应用，设李师傅原计划每小时生产x个零件，根据“结果比原计划提前了24分钟完成任务，”即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设李师傅原计划每小时生产x个零件， 由题意得， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：李师傅原计划每小时生产180个零件． 【题型八】分式方程的经济问题 例17．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】设这批椽有x株，根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这批椽有x株，根据题意得： 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 例18．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）“给垃圾一个分类的归宿，还我们一个清洁的世界”，柘城县某小区积极响应号召，准备购买两种类型的分类垃圾桶，在市场上了解到种类型的垃圾桶比种类型的垃圾桶贵元，用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同．求购买一个种类型的垃圾桶和购买一个种类型的垃圾桶各需要多少元？ 【答案】购买一个种类型的垃圾桶需要元，购买一个种类型的垃圾桶需要元 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】设购买一个种类型的垃圾桶需要元，则购买一个种类型的垃圾桶需要元，根据“总价单价数量”，利用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同，建立分式方程求解即可． 【详解】解：设购买一个种类型的垃圾桶需要元，则购买一个种类型的垃圾桶需要元， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ， 答：购买一个种类型的垃圾桶需要元，购买一个种类型的垃圾桶需要元． 【点睛】解分式方程后必须检验，既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义． 变式1．（22-23八年级下·江苏·期末）某汽车测评机构对A款电动汽车与B款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每公里充电费用比B款燃油车平均每公里燃油费用少0.6元．当充电费和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍．则A款电动汽车平均每公里充电费用为_______元． 【答案】0.2/ 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】设B款燃油车平均每公里燃油费用为x元，则A款电动汽车平均每公里充电费用为元，再结合题意可列出关于x的分式方程，解出x的值，再检验，即可求出A款电动汽车平均每公里充电费用． 【详解】解：设B款燃油车平均每公里燃油费用为x元，则A款电动汽车平均每公里充电费用为元， 根据题意有：， 解得：， 经检验该解是原方程的解， ∴A款电动汽车平均每公里充电费用为（元）． 故答案为：0.2． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 变式2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为am，其中． (1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 【题型九】分式方程和差倍分问题 例19．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记载了“关于油、漆的交易和调和”的一个问题：今有漆三得油四，油四和（huo，即调和）漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和（huo）余漆．若设分出x斗漆去得（换）油，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】理解题意：今有漆三斗，设分出x斗漆去得(换)油，所以余下漆(3- x)斗，因为漆三得油四，所以x斗漆得油x斗，根据油四和(huo， 即调和)漆五，可以列方程为． 【详解】∵今有漆三斗，分出x斗漆去得(换)油， ∴余下漆(3- x)斗， ∵漆三得油四， ∴x斗漆得油x斗， ∵油四和(huo， 即调和)漆五， ∴列方程为： 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式方程，解题的关键是理解题意，假设未知数，找出等量关系，列分式方程． 例29．（24-25八年级下·江苏南京·期中）一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 【答案】第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查分式方程的应用，设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用可列方程求解． 【详解】解：设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，根据题意得 ， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为． 变式1．（2024八年级下·江苏苏州·月考）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为______个． 【答案】 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】设乙每小时做零件个，则甲每小时做零件个，由题意：甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设乙每小时做零件个，则甲每小时做零件个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 即乙每小时做零件个． 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 变式2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【答案】(1)甲：160元/个，乙：200元/个 (2)甲至少需要购买10个 【知识点】分式方程和差倍分问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设甲元/个，乙元/个，根据“用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列方程求解即可； （2）设需购买甲个，乙个，根据“计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲元/个，乙元/个， ， ， 经检验是原方程的解， ， ， 答：甲：160元/个，乙：200元/个． （2）解：设需购买甲个，乙个， ， ， 答：甲至少需要购买10个． 【题型十】分式方程的其它实际问题 例21．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）某鱼塘里养了条鲤鱼，若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，则该鱼塘捕捞到鲤鱼的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用频率估计概率的综合应用、分式方程的其它实际问题 【分析】因为通过多次捕捞试验，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，所以，可以把捕捞到草鱼的频率作为捕捞到草鱼的概率，设草鱼的数量为条，可得到关于的分式方程，求解可得到草鱼的数量，进而可求得答案． 【详解】因为通过多次捕捞试验，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，所以，可以把捕捞到草鱼的频率作为捕捞到草鱼的概率． 设草鱼的数量为条． 根据题意，得 ． 解得， 经检验是所列方程的解且符合题意， 所以鱼塘捕捞到鲫鱼的概率． 故选：C． 【点睛】本题主要考查用频率估计概率、实际问题与分式方程，牢记用频率估计概率的条件（对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键． 例21．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）兴化具有独特的旅游资源．其中千岛样式形成的垛田景观享誉全国，每年四月份，油菜花开，蓝天、碧水、“金岛”织就了“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”的奇丽画卷．来自世界各地的游客都会来观赏游玩，体验兴化的人文风情．油菜花谢了之后会留下油菜荚，其中包含油菜籽．油菜花开花后会慢慢结出果实，这些果实就是油菜籽，油菜籽可以用于榨油．已知千岛菜花风景区内，2015年油菜籽的总产量达到400万千克，更新技术后，到2024年油菜籽的总产量达到了600万千克，平均每亩产量比2015年多了200千克，2024年每亩产量达到多少千克？ 【答案】2024年每亩产量达到600千克 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】设2024年每亩产量达到千克，则2015年每亩产量为千克，根据题意，得解答即可． 本题考查了分式方程的应用，抓住田地的亩数不变是解题的关键． 【详解】解：设2024年每亩产量达到千克，则2015年每亩产量为千克 ， 经检验，是所列方程的解． 答：2024年每亩产量达到600千克． 变式1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）一个分数的分母比它的分子大3，如果将这个分数的分子加上11，分母加上2，那么所得分数是原分数的倒数．若设原分数的分子为，则可列分式方程为________． 【答案】 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，先表示出原分数的分母，再列出等量关系即可． 【详解】解：原分数的分子为 原分数的分母为 依题得． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下面是小亮学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时多做2朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间 解法二 设…等量关系：小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数 任务： (1)解法一所列方程中的表示______，解法二所列方程中的表示______； A．小明每小时做朵 B．小丽每小时做朵 C．小明做了小时 (2)请选择一种解法求出小明、小丽每小时各做小红花的朵数． 【答案】(1)A，C (2)小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，理解题意是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择一个方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间，可得：解法一所列方程中的表示小明每小时做朵，由小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数可得： 解法二所列方程中的表示小明做了小时； 故答案为：A，C； （2）解：选择解法一，根据题意， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ， 答：小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵． 选择解法一，根据题意， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ， 答：小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵． 一、单选题 1．方程的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分式方程化为一般方程，再根据一元一次方程的步骤计算即可，最后要检验是否符合． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 经检验，是原方程的解 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程，将分式方程转化为一般方程是解题的关键，解分式方程最后要记得检验． 2．在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是判断方程中分母是否含有未知数． 逐一分析每个方程，判断分母中是否含有未知数，统计满足分式方程定义的个数． 【详解】解：：分母为，不含未知数，不是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母为（常数），不含未知数，不是分式方程． 综上，分式方程共3个． 故选：B． 3．如果关于x的分式方程无解，则a的值为（    ） A． B．1 C．0或1 D．或1 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解．根据分式方程无解分两种情况，一是方程有增根，得出或，求出a的值，二是去分母后的方程无解．即可求解． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 化简得， 关于x的分式方程无解， 或或， 或或， 当时，此时a不存在； 当时，，此时， ∴a的值为或1， 故选：D． 4．“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景．通过查阅资料岭南到长安相距里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚小时到达，用快马比预定时间早小时到达，已知快马的速度是慢马的倍，求预定的时间．设预定的时间为小时，由题意可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式方程的实际应用问题，根据速度、路程和时间之间的关系，分别表示出快马与慢马的速度，再结合快马速度是慢马的倍，即可列出对应方程． 【详解】解：∵预定时间为小时，慢马比预定时间晚小时到达， ∴慢马行驶时间为小时，慢马速度为， ∵快马比预定时间早小时到达， ∴快马行驶时间为小时，快马速度为， 又∵快马速度是慢马的倍， ∴可得方程． 5．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵无解， ∴或， 当，， 当，即，将代入，解得：， ∴当无解，则的值为或． ∴根据选项，故选：A． 6．若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先解分式方程，根据解为非负数且不是增根得到a的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、三象限的性质得到a的另一个范围，找出范围内所有符合条件的整数a，求和得到结果． 【详解】解分式方程， 得． ∵方程的解为非负数，且分母不为0 ∴且， 解得且． ∵一次函数的图象经过一、二、三象限，根据一次函数性质可得 解得， 综上可得且， 又是整数，因此符合条件的为， 计算所有符合条件的的和：． 7．方程 的正整数解（x，y）有（   ）组 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的正整数解． 将方程变形，利用分式方程的正整数解条件，结合因数分解求解． 【详解】解：原方程为， 通分得，即， 化简得， ∵为正整数， ∴需为整数且， ∴为的正因数，且， 的正因数为1，2，4，8，16，32，64， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 其余因数导致非正整数，舍去， 综上，共有3组正整数解． 故选：C． 8．甲乙两个工程队修建某段公路．如果甲乙两队合作，12天可以完成；如果甲队单独做3天后，乙队加入．两队继续工作6天，共完成了总工作量的．设甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天，那么根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程组．根据“甲乙两队合作，12天可以完成；甲队独做3天后，乙队加入，两队继续工作了6天，共完成了总工作量的”，可得出关于，的方程组，此题得解． 【详解】解：甲乙两队合作，12天可以完成， ； 甲队独做3天后，乙队加入，两队继续工作了6天，共完成了总工作量的， ，即． 根据题意可列出方程组． 故选：C． 二、填空题 9．分式方程的解为_____________． 【答案】/ 【分析】先去分母，然后再进行求解，最后验根即可． 【详解】解：方程两边乘以2(x-1)，得：2x=3-6(x-1)， 解得x=， 检验：当x=时，2(x-1)≠0， 所以，分式方程的解是x=， 故答案为：x=． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 10．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个与乙检测200个所用的时间相等，甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个？设甲机器人每小时检测x个，根据题意可列方程__________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．由甲机器人每小时检测x个及甲比乙每小时多检测10个，可得出乙机器人每小时检测零件个，再利用工作时间=工作总量÷工作效率结合甲检测300个与乙检测200个所用时间相等，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：∵甲机器人每小时检测x个，甲比乙每小时多检测10个， ∴乙机器人每小时检测零件个． 依题意，得：． 故答案为：． 11．有一道题：“甲队修路与乙队修路所用天数相同，若……，求甲队每天修路多少米？“根据图中的解题过程，省略号”……“表示的条件应是________，________． 解：设甲队每天修路米， 依题意得： …… 【答案】 乙队每天修路比甲队的2倍少 22.5 【分析】本题考查分式的实际应用，根据所列方程，表示的含义即为省略号“……”表示的条件，解分式方程，求出的值即可． 【详解】解：设甲队每天修路米，则表示乙队每天修路比甲队的2倍少， ，解得：； 经检验，是原方程的解； 故答案为：乙队每天修路比甲队的2倍少，22.5 12．关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程有增根，则增根为，把分式方程化为整式方程后，把代入整式方程中，即可求得的值． 【详解】由题意知，分式方程的增根为， 分式方程去分母得：， 把代入上述整式方程中，解得． 故答案为：． 13．已知关于的方程的解是正整数，则正整数的值是______． 【答案】或 【分析】根据解方式方程的方法解出分式的解，再根据解是正整数，判断正整数的值，由此即可求解． 【详解】解： 移项， 即， ∴， ∴且， ∵解是正整数， ∴，且， ∵正整数， ∴，即， 此时（舍去）或或，符合题意； 综上所述，正整数的值是或． 【点睛】本题主要考查解分式方程，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 14．分式方程的解不大于1，则的取值范围是_____________． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不为0． 先将方程两边都乘以，将分式方程化为整式方程，再根据分式有意义的条件得出，以及该分式方程的解不大于1，列出不等式，即可求解． 【详解】解：两边都乘以，得， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵， ∴，解得：， ∵该分式方程的解不大于1， ∴，解得：， 综上：a的取值范围是且． 故答案为：且． 15．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数多盒，且每盒花的进价比第一批的进价少元．设第一批盒装花的进价是元，则根据题意可列方程为________． 【答案】 【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量+100可得方程． 【详解】解：设第一批盒装花的进价是元/盒，则 ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键． （1）方程两边同乘以化成整式方程，解一元一次方程，然后代入检验即可得； （2）方程两边同乘以化成整式方程，解一元一次方程，然后代入检验即可得． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，不是原分式方程的解， 所以方程无解． （2）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得，即， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 17．某校八年级两个班的“班级小书库”中各有图书本．已知2班比1班人均图书多2本，1班的人数比2班的人数多．求两个班各有多少人？ 【答案】1班有人，2班有人 【分析】本题考查了分式方程的应用，设2班有人，则一班有人，根据2班比1班人均图书多2本，列方程求解． 【详解】解：设2班有人， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意， 则． 答：1班有人，2班有人． 18．（1）我们知道，盐水加盐后浓度会增加．请你用数学的方法证明这个结论； （2）化学实验室一容器内的40克食盐水中含盐4克．在实验室无食盐的情况下，如何处理，可使该容器内的食盐水浓度提高到原来的2倍？ 【答案】（1）见解析；（2）蒸发掉20克的水 【分析】（1）设盐水中含盐a克，含水b克，再加盐c克，则原浓度为，加盐后的浓度为，二者做差后即可证出结论； （2）用蒸发的方法，设蒸发x克水，根据要使该容器内的食盐水浓度提高到原来的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】（1）设盐水中含盐a克，含水b克，再加盐c克， 则原浓度为，加盐后的浓度为， ∴>0， 故加盐后浓度变大． （2）用蒸发的方法，设蒸发x克水， 依意题有， 解得x=20， 经检验，x=20是原方程的解，且符合题意． 答：蒸发掉20克的水即可达到要求． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a，b，c的代数式表示出浓度；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 19．某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，求乙型号分拣机器人每小时分拣的数量． 【答案】乙型号分拣机器人每小时分拣200件 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可设乙型号分拣机器人每小时分拣x件，则甲型号每小时分拣件；然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设乙型号分拣机器人每小时分拣x件，则甲型号每小时分拣件，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解； 答：乙型号分拣机器人每小时分拣200件． 20．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入、两款物理实验套装，其中款套装单价比款套装单价贵，用7200元购买的款套装数量比用5000元购买的款套装数量多5套．求、两款套装的单价分别是多少元． 【答案】款套装的单价是240元、款套装的单价是200元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设款套装的单价是元，则款套装的单价是元，利用“用7200元购买的款套装数量比用5000元购买的款套装数量多5套．”再建立方程求解即可． 【详解】解：设款套装的单价是元，则款套装的单价是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：款套装的单价是240元、款套装的单价是200元． 21．甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司分别有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 【答案】(1)甲公司有人，乙公司有人 (2)有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲公司有x人，则乙公司有人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程组，再结合且m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设乙公司有人，则甲公司有人． 由题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲公司有人，乙公司有人． （2）（2）设购买A种物资箱，购买B种物资箱， 由题意，得， 整理，得． 又，且为正整数， ∴，． 答：有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资． 22．科研机构试验采集的某样本须在4小时内（含采集时间）送达检测中心，使超过时问，样本就会失效．已知甲、乙两科研机构到检测中心的路程分别为30千米，36千米，两科研机构的送检车有如图所示的信息．根据信息，请解答下列问题： (1)求甲科研机构送检车的平均速度； (2)若乙科研机构从开始采集样本到送检车出发用了3.2小时，则它采集的样本会不会失效？ 【答案】(1)甲科研机构送检车的平均速度为30千米/小时 (2)采集的样本会失效 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数除法的应用， （1）设甲科研机构送检车的平均速度为千米/小时，则乙科研机构送检车的平均速度为千米/小时，根据题意列分式方程求解即可； （2）由（1）可得乙科研机构送检车的平均速度，进而求得乙科研机构送检车行驶的时间，再将科研机构总用时与4小时比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲科研机构送检车的平均速度为千米/小时，则乙科研机构送检车的平均速度为千米/小时， 根据题意，得． 解得， 经检验，是原方程的根， 答：甲科研机构送检车的平均速度为30千米/小时． （2）解：由（1）可知，乙科研机构送检车的平均速度为千米/小时， 则乙科研机构送检车行驶的时间为小时， ， 它采集的样本会失效． 23．请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 我校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的倍，且甲组单独售完所有产品比乙组少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次． 问题解决 (1)求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． (3)现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的k倍． ①若k为整数，求整数x的值． ②k的取值范围_______． 【答案】(1)甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖4件产品； (2)“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高，理由见解析 (3)①；② 【分析】（1）设乙组每分钟售卖x件产品，则甲组每分钟售卖件产品，根据甲组单独售完所有产品比乙组少用20分钟建立方程求解即可； （2）分别求出两个区域的平均单位面积人流量，再利用作差法比较大小即可； （3）①求出扩建前后该区域的面积，则可用含x的式子表示出k，再根据k和x都为整数求解即可；②根据（3）①所求，结合x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：设乙组每分钟售卖x件产品，则甲组每分钟售卖件产品， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖4件产品； （2）解：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高，理由如下： “盲盒抽取区”的面积为，则“盲盒抽取区” 的平均单位面积人流量为， “手工体验区”的面积为，则“手工体验区”的平均单位面积人流量为， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高； （3）解：①由题意得，原来的面积为， 扩建后的面积为， ∵扩建后的面积是原来面积的k倍， ∴ ， ∵， ∴， ∵k为整数， ∴或或或或或， 解得（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）； ②由（3）①得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $