第10章 分式 章节（16知识详解+41典例分析） 2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

第10章 分式 章节（16知识详解+41典例分析） 【知识点01】分式的概念 分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式叫作分式，其中A是分式的分子，B 是分式的分母，且B≠0 . 注意：分式必须满足三个条件：①具备的形式；②A,B 都是整式；③分母B中含有字母且B≠0 .三个条件缺一不可. 示例 分式 【知识点02】求分式的值 用具体的数值代替分式中的字母，那么分式就变成了分数的算式，运算结果就是相应的分式的值. 说明： 分式属于代数式，求分式的值的步骤和求代数式的值的步骤一样. 【知识点03】分式有（无）意义的条件 条件 举例说明 分式 有意义 分母不为零，即𝐵≠0 . 有意义，是指𝑥−1≠0 . 分式 无意义 分母等于零，即𝐵=0 . 无意义，是指𝑥−1=0 . 【知识点04】分式的值为零的条件 【知识点05】分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.（只是改变了分式的形式，不故变分式值的大小） 字母表示 =,=,其中𝐴，𝐵是整式，𝐶 是不等于0的整式. 注意：（1）分子和分母要同时进行“乘法（或除法）”运算； （2）乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式. 【知识点06】分式的约分和最简分式 1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫作分式的约分. 2.约分的依据：分式的基本性质=(C≠0)，其中C为A，B 的公因式. 3.约分的方法： （1）若分式的分子、分母都是单项式，则直接约去分子、分母的公因式. （2）若分子、分母中有多项式，应先分解因式，找出公因式，再进行约分. 4.最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这样的分式叫作最简分式. 【知识点07】分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫作分式的通分，变形后的分母叫作这几个分式的公分母. 2.通分的依据：分式的基本性质=(C≠0) . 3.最简公分母：如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数时）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫作这几个分式的最简公分母. 4.确定最简公分母的一般方法： 类别 示例 方法总结 各分母为单项式 各分母能因式分解的先因式分解.将各分母系数的最小公倍数、相同字母（因式）的最高次幂和单独出现的字母（因式）的幂的乘积作为最简公分母. 各分母中有多项式 辨析：约分和通分的相同点和不同点 约分 通分 不同点 分式的个数 1个 多于1个 变形过程 =(C≠0) =(C≠0) 关键环节 确定分子、分母的公因式 确定几个分式的最简公分母 分式的个数 约分 通分 目的 将分式化为最简分式或整式 把几个异分母的分式化为同分母的分式 相同点 依据 分式的基本性质 分式的值 不变 【知识点08】分式的加减 1.同分母分式加减运算的法则： 法则 式子表示 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 示例1 同分母分式的加法运算 2.异分母分式加减运算的法则： 法则 式子表示 异分母的分式相加减，先通分，再加减. 示例2 异分母分式的减法运算 【知识点09】分式的符号法则 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身，这三处的正负号同时改变两处，分式的值不变. 用式子表示：,. 说明： 在分式的加减运算中，常利用分式的符号法则将异分母分式转化为同分母分式或便于通分的形式. 【知识点10】分式的乘除 1.分式的乘法法则： 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母. 示例1 分式的乘法 2.分式的除法法则： 法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 示例2 分式的除法 【知识点11】分式的乘方法则 法则 式子表示 分式的乘方要把分式的分子、分母分别乘方. 说明：分式的乘方法则可根据分式的乘法法则推理得到，即 敲黑板 进行分式的乘方运算时，一定要先确定乘方结果的符号，它与实数的乘方运算相同，即正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数． 【知识点12】分式的乘除混合运算 1.运算法则：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. 2.运算顺序：分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即按照从左到右的顺序计算，有括号时先算括号里面的. 示例3 分式的乘除混合运算 【知识点13】分式的混合运算 分式的混合运算顺序：分式的混合运算顺序与分数的混合运算类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 说明：有理数的运算律对分式同样适用，在运算过程中，如果能用运算律，要尽量运用运算律简化运算. 【知识点14】分式方程的概念 1.分式方程：等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程 叫作分式方程. 2.分式方程必须满足的条件： （1）是方程; （2）含有分母; （3）分母中含有未知数. 三者缺一不可. 【知识点15】分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路： 2.解分式方程的一般步骤： 3.增根:将分式方程变形为整式方程，若整式方程的解使得原分式方程的分母为0，则这个解称为原分式方程的增根. 4.分式方程产生增根的原因: 去分母时，方程两边同时乘的最简公分母是含有未知数的整式，当这个整式的值为0时，所得的整式方程的解会使原分式方程出现分母为0的现象.因为当分母为0时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的根. 注意：（1）增根是去分母后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根； （2）若一个分式方程有增根，则此增根必使最简公分母的值为零 【知识点16】列分式方程解应用题 1.列分式方程解应用题的步骤： （1）审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量. （2）设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性. （3）列：根据相等关系列出分式方程. （4）解：解所列的分式方程. （5）验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，还要检验是否符合实际意义. （6）答：写出答案. 2.分式方程应用题的主要类型： （1）行程问题：路程= 速度×时间. （2）工程问题：工作量= 工作效率×工作时间. （3）利润问题：利润=售价-进价，利润率=×100% . 【题型一】分式的判断 1．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的判断 【分析】若A、B是两个整式，且B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此可得答案． 【详解】解：由分式的定义可知，只有式子是分式． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【答案】 【知识点】分式的判断 【分析】分式的定义为：若，表示两个整式，，且中含有字母，则是分式，逐个判断后统计分式个数即可． 【详解】解：，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； ，是圆周率，属于常数，分母为常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； 综上可得：分式共有个． 【题型二】分式的规律性问题 3．（25-26八年级·云南怒江·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查规律探究，观察代数式的系数和x的指数，第1个代数式为，第2个代数式为，第3个代数式为，据此找出规律，即可求解． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， ... 第n个代数式为； 故选：A． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、分式的规律性问题 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 【题型三】按要求构造分式 5．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，则这个分式是_____．（写出一个正确的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】按要求构造分式 【分析】本题考查的是分式的定义以及分式的值的含义，只需要构建一个分子与分母同号且分子不为0的分式即可． 【详解】解：∵一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数， ∴这个分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型四】分式无意义的条件 6．（2023八年级下·江苏泰州·期中）当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，即分式的分母不能为0，牢记分式有意义的条件是解题的关键． 分式若有意义，则分式的分母不能为0，据此逐项判定可得到答案． 【详解】解： A、当时，分式的分母，分式有意义，故此选项不符合题意； B、当时，分式的分母，分式无意义，故此选项符合题意； C、当时，分式的分母，分式有意义，故此选项不符合题意； D、当时，分式的分母，分式有意义，故此选项不符合题意． 故选：B． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）若分式没有意义，则x的值是__________． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】此题主要考查了分式无意义的条件，解此类问题，只要令分式中分母等于0，求得字母的值即可． 要使分式无意义，分式的分母为0，即，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式没有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型五】分式有意义的条件 8．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母，列出不等式计算即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件得：， ∴， 故答案为：． 【题型六】分式值为零的条件 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列分式的取值结果可以是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0成为解题的关键． 根据分式的值为0的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．分子恒为1，不可能为0，不符合题意； B．（），当分子时，分母，分式无意义，不符合题意； C．，当分子时，分母，分式值为，符合条件； D．．当分子（即）时，分母也为0，分式无意义，不符合题意． 故选：C． 11．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值为0，则的取值是________． 【答案】4 【知识点】分式值为零的条件 【分析】根据且，计算即可． 本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键． 【详解】解：分式的值为0， 故且， 解得， 故答案为：4． 【题型七】分式的求值 12．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知，则代数式的值为_____． 【答案】/ 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由可得，再代入计算即可. 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 13．（22-23八年级·江苏扬州·期末）若，则的值为多少？ 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【题型八】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 14．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）若的值为负数，则x的取值范围是____________． 【答案】且 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】分式有意义的条件是，再根据分式的值为负数，且，可得，最后求解可得x的取值范围． 【详解】解：∵的值为负数， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式的值，属于基础题型，注意分式有意义的条件是分母不能为0． 【题型九】求使分式值为整数时未知数的整数值 15．（22-23八年级下·江苏常州·期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值． 【详解】解：， ∵x为非正整数，分式的结果正整数， ∴x取值为，0， ∴x的个数有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键． 16．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数：____． 【答案】1（不唯一） 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了求分式的值， 将的值代入分式，求出结果为整数即可． 【详解】解：当时，，其值为整数， 所以． 故答案为：1（答案不唯一）． 【题型十】判断分式变形是否正确 17．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】A选项：，变形错误； B选项：，变形错误； C选项：分式中b作为分母，隐含，分子分母同乘，符合分式基本性质，可得，变形正确； D选项：，变形错误， 只有选项C正确． 【题型十一】求使分式变形成立的条件 18．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 19．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）已知实数，若，则的最大值为________． 【答案】3 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的性质，将原式变形为，结合，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【题型十二】利用分式的基本性质判断分式值的变化 20．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）把分式中的x、y都扩大4倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大4倍 C．扩大8倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大后的x、y代入原分式，根据分式的基本性质化简，再和原分式对比即可得到结果． 【详解】解：将、都扩大为原来的倍后，变为，变为，代入原分式得， 新分式为， ∴新分式的值和原分式的值相等，即分式的值不变． 故选：A． 21．（23-24八年级下·江苏南京·期末）把分式中的值都扩大倍，则的值_______________． 【答案】扩大为原来的倍 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了用分式的基本性质判断分式值的变化，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行计算化简即可． 【详解】解：把分式中的值都扩大倍， 可得：， ∵， ∴如果把分式中的值都扩大倍，那么的值扩大为原来的倍． 故答案为：扩大为原来的倍． 【题型十三】将分式的分子分母的最高次项化为正数 22．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数． (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【题型十四】将分式的分子分母各项系数化为整数 23．（25-26八年级·江苏连云港·月考）不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握基本性质是解题关键．直接利用分式的基本性质将分子与分母分别乘以，进而得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型十五】约分 24．（25-26八年级·江苏苏州·月考）如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】约分 【分析】本题考查了圆柱体体积公式在实际问题中的应用，解题的关键是明确饮料瓶正放时饮料的体积与倒放时空置部分的体积均可用“底面积高度”表示，且瓶的容积等于饮料体积与空置部分体积之和． 设瓶底底面积为，先根据圆柱体体积公式分别求出正放时饮料体积为、倒放时空置部分体积为，进而得出瓶的容积为，最后计算饮料体积与容积的比值即可得到结果． 【详解】解：设瓶底的底面积为S，正立时，饮料的体积，倒立时， 空置部分的体积， 则瓶子的总体积， 所以瓶内剩余饮料的体积占总体积的比例为：． 故选：A． 25．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的约分： （1）先把分子分母因式分解，再约分即可； （2）先把分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十六】最简分式 26．（2025八年级·江苏苏州·专题练习）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的概念，解题的关键是判断分子与分母是否存在公因式（含可因式分解的多项式）． 依次分析各选项分子分母是否有公因式，能约分的不是最简分式，不能约分的是最简分式． 【详解】解：A、，分子分母有公因式2，可约分为，此选项不符合题意； B、，分子分母无公因式，不能约分，此选项符合题意； C、，分子分母有公因式，可约分为，此选项不符合题意； D、，分子分母有公因式，可约分为，此选项不符合题意； 故选：B． 27．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）分式①；②；③；④中，属于最简分式的有______（填序号）． 【答案】② 【知识点】最简分式 【分析】根据最简分式的定义逐个分式进行判断，若能约分，则不是最简分式． 本题考查了最简分式的相关知识，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①因为，所以①不是最简分式； ②因为分子分母没有公因式，所以②是最简分式； ③因为，所以③不是最简分式； ④因为，所以④不是最简分式． 故答案为：②． 【题型十七】最简公分母 28．（25-26八年级下·江苏南京·月考）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简公分母 【分析】按照规则分别确定系数的最小公倍数和各字母的最高次幂，相乘后即可得到结果． 【详解】解：① 取各分母系数的最小公倍数，两个分母系数均为，最小公倍数为； ② 取各分母中所有出现字母的最高次幂，出现的字母为 ，，，每个字母的最高次数都是， 将所得结果相乘，最简公分母为 ． 29．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）分式，的最简公分母是______． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】根据最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积即可得到结果． 【详解】解：确定最简公分母时，先求各分母系数的最小公倍数，两个分式分母的系数分别为和，最小公倍数为，再找各字母因式的最高次幂，的最高次幂是，的最高次幂是， 因此分式，的最简公分母是． 【题型十八】通分 30．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 31．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分：与． 【答案】见解析 【知识点】通分 【分析】本题主要考查了通分，掌握分式的基本性质成为解答的关键． 先确定两分式的最简公分母，然后根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：∵与的最简公分母是， ∴ ，． 【题型十九】同分母分式加减法 32．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 【答案】A 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法运算．由于两个分式分母相同，可直接将分子相减，再约分即可． 【详解】解： ． 故选：A． 33．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是______． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】先将原式化为同分母分式，再根据分式加减法法则计算，约分得到结果． 【详解】解： ． 【题型二十】异分母分式加减法 34．（2024八年级下·江苏·专题练习）化简的结果是（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查异分母的分式的减法，掌握分式加减法的法则是解题的关键． 先分解因式并约分，再加减即可． 【详解】 故选：D． 35．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）我们知道，一些分数可以写成两个分子为1、分母为正整数的分数的差，如，我们把具有这种性质的分数称为“可拆分数”．类似的，若一个分式可以拆为两个分子是1、分母为整系数整式的分式之差，我们就将其称为“可拆分式”．如因为，所以是“可拆分式”． 【初步感受】（1）________（是或不是）“可拆分数”，________（是或不是）“可拆分数” ________（是或不是）“可拆分式”． （2）证明是“可拆分式”． 【深入探究】记（为正整数）．当时，我们发现：，因此当时，是“可拆分式”． （3）是否始终为“可拆分式”？若是，请说明理由．不是则举出反例． 【答案】（1）是、不是、是；（2）见解析；（3）是，证明见解析 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减运算，有理数的运算，理解新定义是解题的关键； （1）根据“可拆分数”和“可拆分式”的定义，逐个判断，即可求解； （2）按照例题，计算，即可求解； （3）将拆为两个分子是1、分母为整系数整式的分式之差，即可求解． 【详解】解：（1），是“可拆分数”， 不是“可拆分数”， 是“可拆分式”． 故答案为：是、不是、是 （2） ∴是“可拆分式” （3）答：是 证明： ∴始终为“可拆分式” 【题型二十一】整式与分式相加减 36．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“祥和分式”．如：，则是“祥和分式”． (1)下列分式中，属于“祥和分式”的是：　 　（填序号）； ①；②；③． (2)根据定义填空 . (3)判断分式是否为祥和分式，并说明你的理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)是祥和分式，理由见解析 【知识点】整式与分式相加减 【分析】（1）先根据分式的性质化简，根据新定义进行判定即可求解． （2）根据新定义将分式写成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即可求解； （3）根据新定义将分式写成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即可求解． 【详解】（1）解：①，故①是祥和分式； ②不能写成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，故②不是祥和分式； ③，故③是祥和分式； 故答案为：①③． （2）解：， 故答案为：． （3）解：是祥和分式，理由如下， ∵， ∴是祥和分式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对祥和分式的定义的理解． 【题型二十二】已知分式恒等式，确定分子或分母 37．阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】探索：；总结：；应用：2或0 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确分析计算是解题的关键． 探索：把已知式子展开成求解即可； 总结：根据条件化式子为计算即可； 应用：根据已知条件得到，再根据代数式的值为整数计算即可； 【详解】解：探索：， 所以； 总结：， ∴； 应用：∵， 又∵代数式的值为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或0． 【题型二十三】分式加减混合运算 38．（22-23八年级下·江苏泰州·月考）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式，如：． 解决下列问题： (1)分式是________（填“真分式”或“假分式”）； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (4)若分式的值为，求的取值范围． 【答案】(1)真分式； (2)0、1、3、4； (3)、、； (4)． 【知识点】分式加减混合运算 【分析】（1）根据新定义求解； （2）先把分式化为带分式，再根据整除的意义求解； （3）先把分式化为带分式，再根据整除的意义求解； （4）先把分式化为带分式，再根据非负数的意义求解． 【详解】（1）分式是真分式， 故答案为：真分式； （2）是整数， 的值为：，， 的值为：0、1、3、4； （3）为整数， 的值为：、， 的值为：、、； （4）， ， ， ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，理解新定义是解题的关键． 【题型二十四】分式加减的实际应用 39．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【知识点】分式加减的实际应用 【详解】解： 40．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“复分式”如：；；则和都是“复分式”． （1）下列分式属于“复分式”的是________（填序号）；①；②；③ （2）将复分式化成一个整式与一个分子为常数的和的形式； （3）应用：若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】（1）①③；（2）；（3）x＝－4，－2，0，2 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】（1）①根据分式通分的逆运算将一个分式分裂为两部分和，②=1+，③，然后根据定义判断即可； （2）先把分子与分母字母相同部分配方变成分母的幂形式后，裂项即可； （3）先把分子化为分母的倍数然后裂项即可，利用是3的约数即可． 【详解】解：（1）①，②=1+，③ 属于“复分式”的是①，③； （2）； （3）， ∵分式的值为整数， ∴是3的约数， ∴=-3，-1，1，3， 解得x=-4，-2，0，2． 【点睛】本题考查新定义分式问题，仔细阅读掌握其实质，会利用新定义来构造复分式是解题关键． 【题型二十五】分式乘法 41．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）化简：_________． 【答案】 【知识点】分式乘法、约分 【分析】根据分式的性质约分计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是掌握约分法则． 【题型二十六】分式除法 42．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）化简：______． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题主要考查了分式的化简，熟练掌握分式的分子分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变是解决此题的关键．根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 43．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘法、分式除法 【分析】本题考查分式的乘除运算， （1）先将分式的分子、分母分解因式，然后进行约分即可； （2）先将分式的分子、分母分解因式，同时将除法转化为乘法，然后进行约分即可； 掌握分式的乘除运算法则是解题的关键，注意：计算结果应该化为最简形式． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型二十七】分式乘除混合运算 44．（22-23八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算、分式除法 【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式乘除运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算． 【题型二十八】分式乘方 45．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）定义：任意两个数a、b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“才艺展示数”． (1)若，，求a、b的“才艺展示数”c； (2)若，，且，求a、b的“才艺展示数”c； (3)若，，且a、b的“才艺展示数”c的值为一个整数，求整数n的值． 【答案】(1) (2) (3)4或－2或2或0 【知识点】分式乘方、分式化简求值、分式的求值、有理数乘除混合运算 【分析】（1）根据“才艺展示数”的定义直接列式计算即可； （2）根据“才艺展示数”的定义直接列式得到，再根据，可得，进而可得，问题得解； （3）根据“才艺展示数”的定义直接列式得到，再根据整数的特点即可作答． 【详解】（1）根据题意，有， 即a、b的“才艺展示数”c为； （2）根据题意，有，                                              ， ， ， ； （3）根据题意，有， ∵c、n均为整数， ∴或或或， ∴或或或． 【点睛】本题考查了分式的运算，完全平方公式等知识，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答． 【题型二十九】分式加减乘除混合运算 46．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）小明从家骑车到学校，路上经过一座桥，上桥速度为a米/秒，下桥速度为b米/秒，若上桥和下桥路程相同，则小明上、下桥的平均速度为（    ）米/秒． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】设上桥路程为米，则下桥路程也为米，总路程为，根据时间=路程÷速度，可求出上桥和下桥的总时间，从而由平均速度=总路程÷总时间求解即可． 【详解】解：设上桥路程为米，则下桥路程也为米，总路程为， ∴上桥时间为，下桥时间为， ∴总时间为， ∴小明上、下桥的平均速度为． 故选A． 【点睛】本题考查分式混合运算的实际应用．掌握速度=路程÷时间是解题关键． 47．（24-25八年级下·江苏南京·期末）计算． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先根据分式加减运算法则计算括号里面的，然后再根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【题型三十】分式化简求值 48．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式化简求值．先把题目给的式子变形，然后将得到的结果进行倒数运算即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 49．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）先化简再求值：其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式化简求值，先算括号内的运算，再把除法化为乘法，然后化简得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型三十一】分式最值 50．（24-25八年级·江苏南通·月考）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 【答案】(1)分式被拆分成了一个整式与一个分式的和 (2) (3)8 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式最值、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键． （1）参照例题材料，设−，然后求出a、b的值，从而即可得出答案； （2）由，结合它为整数得到为整数，因此，，求解即可； （3）由得到，进而，，即可解答． 【详解】（1）解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立， ， ，． ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． （2）解：， ∵的值为整数， ∴为整数， ∵x为整数， ∴，， ∴ （3）解：由（1）得， 当时，， ∴，， ∴， 即， ∴的最小值为8． 【题型三十二】分式方程的定义 51．（23-24八年级下·江苏南京·月考）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 【题型三十三】解分式方程（化为一元一次） 52．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解分式方程时，去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查解分式方程，解题关键在于利用转化的思想，解分式方程注意要检验．将分式方程两边乘以最简公分母，转化为整式方程即可． 【详解】解：两边同乘最简公分母，得： 故选：B． 53．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】根据“去分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验”的步骤求解即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘， 得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：方程两边同乘， 得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【题型三十四】根据分式方程解的情况求值 54．（23-24八年级下·江苏常州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查解含有字母的分式方程，解题的关键是注意最后得到的结果，一定要考虑增根的情况．先将m视为常数，求解出分式方程的解(包含m)，然后根据解的条件判断m的取值范围． 【详解】解∶去分母，得， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， 解得且， 故选∶C． 55．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)A (2) (3)1． 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程，有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当时，分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； （2）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得， ， 解得． （3）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 当时，解得， 将化简得， ， 解得， 关于x的方程，x有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）， ， ． 【题型三十五】分式方程无解问题 56．（23-24八年级下·江苏无锡·月考）若有增根，则m的值是（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程无解的问题，解分式方程得，由分式方程有增根可得，求解即可． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， ∵原方程有增根， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 57．（22-23八年级下·江苏·课后作业）关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】或3 【知识点】分式方程无解问题 【分析】方程两边同时乘以，消去分母得出，然后分两种情况进行讨论，求出m的值即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得，， 整理得：， ①当，即， 原方程无解； ②，解得， ∵方程增根为， ∴， 解得， 综上分析可知，或3． 【点睛】本题主要考查了分式方程的无解问题，解题的关键是理解题意，注意分类讨论． 【题型三十六】列分式方程 58．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）暑假期间八（1）班的学生在社区开展志愿服务，他们分成5个小组，共需制作360面彩旗，已知每组人数相同，人均工作量相同，现在因1个小组另有任务，其余4个小组的每名学生要比原计划多做2面彩旗才能完成任务，如果设每个小组有学生名，那么可以列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．设每个小组有学生名，根据题意“其余4个小组的每名学生要比原计划多做2面彩旗才能完成任务”列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设每个小组有学生名，根据题意可列方程得， ， 故选：C． 59．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）已知甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等，且乙比甲每小时多做9个零件，问：甲、乙两个人每小时各做多少个零件？若设甲每小时做个零件则可列方程为_______． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．设甲每小时做x个零件，则乙每小时做个零件，然后根据“甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等”列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做个零件， 根据题意得，， 故答案为：． 【题型三十七】分式方程的行程问题 60．（2024·江苏徐州·模拟预测）小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是、，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是，根据题意可列方程为________． 【答案】； 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，根据时间方程列式即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 小刚骑自行车的速度是：， ∵若二人同时到达，则小明需提前出发， ∴， 故答案为：． 61．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）2024金鸡湖万人健步走活动赛道是堪称苏州Citywalk“天花板”的金鸡湖沿岸，参与者可以身临其境地欣赏沿途美景，享受运动的喜悦与美好，甲、乙两人参加全程为的“环湖走”活动，并安全完赛，运动手环显示甲的平均速度是乙的平均速度的倍．甲所用时间比乙所用时间少．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程． 【答案】见解析 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙的平均速度是，则甲的平均速度为，根据甲所用时间比乙所用时间少．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：提出问题：乙的平均速度是多少？ 设乙的平均速度是，则甲的平均速度为， 由题意得：， 解得：x， 经检验，x是原方程的解，且符合题意， 答：乙的平均速度是． 【题型三十八】分式方程的工程问题 62．（22-23八年级下·江苏·期中）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设实际每天铺xm管道，则原计划每天铺m管道， 根据题意，得， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 63．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务． (1)求原计划每小时播种多少万平方米？ (2)若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？ 【答案】(1)原计划每小时播种8万平方米 (2)甲播种机至少要播种20小时 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验． （1）设原计划每小时播种万平方米，根据题意列出方程解答即可; （2）设甲播种机播种小时，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设原计划每小时播种x万平方米， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解， 答：原计划每小时播种8万平方米． （2）解：设甲播种机播种a小时， 则乙播种机播种小时， 根据题意得 解得 答：甲播种机至少要播种20小时． 【题型三十九】分式方程的经济问题 64．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【答案】(1)一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元 (2)该商品获得的最小利润为5500元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元． （2）解：设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元，根据题意，得， 由，得w随a的增大而减小， 由得， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故该商品获得的最小利润为5500元． 【题型四十】分式方程和差倍分问题 65．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）某社区计划对固定区域进行绿化，经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲工程队每天能完成绿化的面积． 【答案】甲工程队每天能完成绿化的面积为． 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合两队独立完成面积为区域的绿化时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积． 66．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图的《千里江山图》是中国十大传世名画之一在我市润州段的长江江堤上，《千里江山图》以壁画的形式悄然出现挡浪墙上，它的局部画面是一个长为米，宽为米的矩形，在其四周装上宽度相等的木质边衬，整幅外框矩形的宽与长之比即 ，那么请问边衬的宽度为多少米？    【答案】米 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】设边衬的宽度为x米，根据题意，得，，结合，建立分式方程解答即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】设边衬的宽度为x米， 根据题意，得，， ∵， ∴． 解得， 经检验，是原方程的根． 答：边衬的宽度为米． 【题型四十一】分式方程的其它实际问题 67．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）问题：“为了改善生态环境，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，_________，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？” 条件：①实际每天种树的棵树是原计划的倍；②实际每天比原计划多种20棵． 在上述的2个条件中选择1个条件补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】原计划每天种树棵． 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用． 选择①，设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵，根据结果提前4天完成任务为等量关系建立方程，求出其解即可； 选择②，设原计划每天种树x棵，实际每天植树棵，根据结果提前4天完成任务为等量关系建立方程，求出其解即可． 【详解】解：选择①， 设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天种树棵； 解：设原计划每天种棵，根据题意得 ， 整理得． 解得，， 经检验，，都是原方程的根，但不合题意，舍去， 答：原计划每天种树棵． 68．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜 (2)的值为或 【知识点】分式方程的其它实际问题、按要求构造分式 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可得出x的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的n倍，可建立关于n的一元一次方程，解方程即可得出用含a的代数式表示的n的值，再结合“，a为整数，且n为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 分式 章节（16知识详解+41典例分析） 【知识点01】分式的概念 分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式叫作分式，其中A是分式的分子，B 是分式的分母，且B≠0 . 注意：分式必须满足三个条件：①具备的形式；②A,B 都是整式；③分母B中含有字母且B≠0 .三个条件缺一不可. 示例 分式 【知识点02】求分式的值 用具体的数值代替分式中的字母，那么分式就变成了分数的算式，运算结果就是相应的分式的值. 说明： 分式属于代数式，求分式的值的步骤和求代数式的值的步骤一样. 【知识点03】分式有（无）意义的条件 条件 举例说明 分式 有意义 分母不为零，即𝐵≠0 . 有意义，是指𝑥−1≠0 . 分式 无意义 分母等于零，即𝐵=0 . 无意义，是指𝑥−1=0 . 【知识点04】分式的值为零的条件 【知识点05】分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.（只是改变了分式的形式，不故变分式值的大小） 字母表示 =,=,其中𝐴，𝐵是整式，𝐶 是不等于0的整式. 注意：（1）分子和分母要同时进行“乘法（或除法）”运算； （2）乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式. 【知识点06】分式的约分和最简分式 1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫作分式的约分. 2.约分的依据：分式的基本性质=(C≠0)，其中C为A，B 的公因式. 3.约分的方法： （1）若分式的分子、分母都是单项式，则直接约去分子、分母的公因式. （2）若分子、分母中有多项式，应先分解因式，找出公因式，再进行约分. 4.最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这样的分式叫作最简分式. 【知识点07】分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫作分式的通分，变形后的分母叫作这几个分式的公分母. 2.通分的依据：分式的基本性质=(C≠0) . 3.最简公分母：如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数时）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫作这几个分式的最简公分母. 4.确定最简公分母的一般方法： 类别 示例 方法总结 各分母为单项式 各分母能因式分解的先因式分解.将各分母系数的最小公倍数、相同字母（因式）的最高次幂和单独出现的字母（因式）的幂的乘积作为最简公分母. 各分母中有多项式 辨析：约分和通分的相同点和不同点 约分 通分 不同点 分式的个数 1个 多于1个 变形过程 =(C≠0) =(C≠0) 关键环节 确定分子、分母的公因式 确定几个分式的最简公分母 分式的个数 约分 通分 目的 将分式化为最简分式或整式 把几个异分母的分式化为同分母的分式 相同点 依据 分式的基本性质 分式的值 不变 【知识点08】分式的加减 1.同分母分式加减运算的法则： 法则 式子表示 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 示例1 同分母分式的加法运算 2.异分母分式加减运算的法则： 法则 式子表示 异分母的分式相加减，先通分，再加减. 示例2 异分母分式的减法运算 【知识点09】分式的符号法则 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身，这三处的正负号同时改变两处，分式的值不变. 用式子表示：,. 说明： 在分式的加减运算中，常利用分式的符号法则将异分母分式转化为同分母分式或便于通分的形式. 【知识点10】分式的乘除 1.分式的乘法法则： 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母. 示例1 分式的乘法 2.分式的除法法则： 法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 示例2 分式的除法 【知识点11】分式的乘方法则 法则 式子表示 分式的乘方要把分式的分子、分母分别乘方. 说明：分式的乘方法则可根据分式的乘法法则推理得到，即 敲黑板 进行分式的乘方运算时，一定要先确定乘方结果的符号，它与实数的乘方运算相同，即正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数． 【知识点12】分式的乘除混合运算 1.运算法则：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. 2.运算顺序：分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即按照从左到右的顺序计算，有括号时先算括号里面的. 示例3 分式的乘除混合运算 【知识点13】分式的混合运算 分式的混合运算顺序：分式的混合运算顺序与分数的混合运算类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 说明：有理数的运算律对分式同样适用，在运算过程中，如果能用运算律，要尽量运用运算律简化运算. 【知识点14】分式方程的概念 1.分式方程：等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程 叫作分式方程. 2.分式方程必须满足的条件： （1）是方程; （2）含有分母; （3）分母中含有未知数. 三者缺一不可. 【知识点15】分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路： 2.解分式方程的一般步骤： 3.增根:将分式方程变形为整式方程，若整式方程的解使得原分式方程的分母为0，则这个解称为原分式方程的增根. 4.分式方程产生增根的原因: 去分母时，方程两边同时乘的最简公分母是含有未知数的整式，当这个整式的值为0时，所得的整式方程的解会使原分式方程出现分母为0的现象.因为当分母为0时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的根. 注意：（1）增根是去分母后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根； （2）若一个分式方程有增根，则此增根必使最简公分母的值为零 【知识点16】列分式方程解应用题 1.列分式方程解应用题的步骤： （1）审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量. （2）设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性. （3）列：根据相等关系列出分式方程. （4）解：解所列的分式方程. （5）验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，还要检验是否符合实际意义. （6）答：写出答案. 2.分式方程应用题的主要类型： （1）行程问题：路程= 速度×时间. （2）工程问题：工作量= 工作效率×工作时间. （3）利润问题：利润=售价-进价，利润率=×100% . 【题型一】分式的判断 1．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【题型二】分式的规律性问题 3．（25-26八年级·云南怒江·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【题型三】按要求构造分式 5．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，则这个分式是_____．（写出一个正确的答案即可） 【题型四】分式无意义的条件 6．（2023八年级下·江苏泰州·期中）当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）若分式没有意义，则x的值是__________． 【题型五】分式有意义的条件 8．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【题型六】分式值为零的条件 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列分式的取值结果可以是的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值为0，则的取值是________． 【题型七】分式的求值 12．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知，则代数式的值为_____． 13．（22-23八年级·江苏扬州·期末）若，则的值为多少？ 【题型八】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 14．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）若的值为负数，则x的取值范围是____________． 【题型九】求使分式值为整数时未知数的整数值 15．（22-23八年级下·江苏常州·期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 16．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数：____． 【题型十】判断分式变形是否正确 17．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型十一】求使分式变形成立的条件 18．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）已知实数，若，则的最大值为________． 【题型十二】利用分式的基本性质判断分式值的变化 20．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）把分式中的x、y都扩大4倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大4倍 C．扩大8倍 D．缩小为原来的 21．（23-24八年级下·江苏南京·期末）把分式中的值都扩大倍，则的值_______________． 【题型十三】将分式的分子分母的最高次项化为正数 22．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数． (1)； (2) (3)． 【题型十四】将分式的分子分母各项系数化为整数 23．（25-26八年级·江苏连云港·月考）不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________． 【题型十五】约分 24．（25-26八年级·江苏苏州·月考）如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）约分： (1)； (2)． 【题型十六】最简分式 26．（2025八年级·江苏苏州·专题练习）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 27．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）分式①；②；③；④中，属于最简分式的有______（填序号）． 【题型十七】最简公分母 28．（25-26八年级下·江苏南京·月考）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）分式，的最简公分母是______． 【题型十八】通分 30．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 31．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分：与． 【题型十九】同分母分式加减法 32．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 33．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是______． 【题型二十】异分母分式加减法 34．（2024八年级下·江苏·专题练习）化简的结果是（　　） A． B． C． D．1 35．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）我们知道，一些分数可以写成两个分子为1、分母为正整数的分数的差，如，我们把具有这种性质的分数称为“可拆分数”．类似的，若一个分式可以拆为两个分子是1、分母为整系数整式的分式之差，我们就将其称为“可拆分式”．如因为，所以是“可拆分式”． 【初步感受】（1）________（是或不是）“可拆分数”，________（是或不是）“可拆分数” ________（是或不是）“可拆分式”． （2）证明是“可拆分式”． 【深入探究】记（为正整数）．当时，我们发现：，因此当时，是“可拆分式”． （3）是否始终为“可拆分式”？若是，请说明理由．不是则举出反例． 【题型二十一】整式与分式相加减 36．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“祥和分式”．如：，则是“祥和分式”． (1)下列分式中，属于“祥和分式”的是：　 　（填序号）； ①；②；③． (2)根据定义填空 . (3)判断分式是否为祥和分式，并说明你的理由． 【题型二十二】已知分式恒等式，确定分子或分母 37．阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【题型二十三】分式加减混合运算 38．（22-23八年级下·江苏泰州·月考）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式，如：． 解决下列问题： (1)分式是________（填“真分式”或“假分式”）； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (4)若分式的值为，求的取值范围． 【题型二十四】分式加减的实际应用 39．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 40．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“复分式”如：；；则和都是“复分式”． （1）下列分式属于“复分式”的是________（填序号）；①；②；③ （2）将复分式化成一个整式与一个分子为常数的和的形式； （3）应用：若分式的值为整数，求整数x的值． 【题型二十五】分式乘法 41．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）化简：_________． 【题型二十六】分式除法 42．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）化简：______． 43．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）化简： (1) (2) 【题型二十七】分式乘除混合运算 44．（22-23八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) 【题型二十八】分式乘方 45．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）定义：任意两个数a、b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“才艺展示数”． (1)若，，求a、b的“才艺展示数”c； (2)若，，且，求a、b的“才艺展示数”c； (3)若，，且a、b的“才艺展示数”c的值为一个整数，求整数n的值． 【题型二十九】分式加减乘除混合运算 46．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）小明从家骑车到学校，路上经过一座桥，上桥速度为a米/秒，下桥速度为b米/秒，若上桥和下桥路程相同，则小明上、下桥的平均速度为（    ）米/秒． A． B． C． D． 47．（24-25八年级下·江苏南京·期末）计算． 【题型三十】分式化简求值 48．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 49．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）先化简再求值：其中． 【题型三十一】分式最值 50．（24-25八年级·江苏南通·月考）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 【题型三十二】分式方程的定义 51．（23-24八年级下·江苏南京·月考）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型三十三】解分式方程（化为一元一次） 52．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解分式方程时，去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 53．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【题型三十四】根据分式方程解的情况求值 54．（23-24八年级下·江苏常州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 55．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 【题型三十五】分式方程无解问题 56．（23-24八年级下·江苏无锡·月考）若有增根，则m的值是（    ） A． B．2 C．3 D． 57．（22-23八年级下·江苏·课后作业）关于x的分式方程无解，求m的值． 【题型三十六】列分式方程 58．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）暑假期间八（1）班的学生在社区开展志愿服务，他们分成5个小组，共需制作360面彩旗，已知每组人数相同，人均工作量相同，现在因1个小组另有任务，其余4个小组的每名学生要比原计划多做2面彩旗才能完成任务，如果设每个小组有学生名，那么可以列方程（   ） A． B． C． D． 59．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）已知甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等，且乙比甲每小时多做9个零件，问：甲、乙两个人每小时各做多少个零件？若设甲每小时做个零件则可列方程为_______． 【题型三十七】分式方程的行程问题 60．（2024·江苏徐州·模拟预测）小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是、，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是，根据题意可列方程为________． 61．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）2024金鸡湖万人健步走活动赛道是堪称苏州Citywalk“天花板”的金鸡湖沿岸，参与者可以身临其境地欣赏沿途美景，享受运动的喜悦与美好，甲、乙两人参加全程为的“环湖走”活动，并安全完赛，运动手环显示甲的平均速度是乙的平均速度的倍．甲所用时间比乙所用时间少．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程． 【题型三十八】分式方程的工程问题 62．（22-23八年级下·江苏·期中）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 63．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务． (1)求原计划每小时播种多少万平方米？ (2)若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？ 【题型三十九】分式方程的经济问题 64．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【题型四十】分式方程和差倍分问题 65．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）某社区计划对固定区域进行绿化，经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲工程队每天能完成绿化的面积． 66．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图的《千里江山图》是中国十大传世名画之一在我市润州段的长江江堤上，《千里江山图》以壁画的形式悄然出现挡浪墙上，它的局部画面是一个长为米，宽为米的矩形，在其四周装上宽度相等的木质边衬，整幅外框矩形的宽与长之比即 ，那么请问边衬的宽度为多少米？    【题型四十一】分式方程的其它实际问题 67．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）问题：“为了改善生态环境，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，_________，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？” 条件：①实际每天种树的棵树是原计划的倍；②实际每天比原计划多种20棵． 在上述的2个条件中选择1个条件补充在问题的横线上，并完成解答． 68．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $