7.1.2复数的几何意义 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦复数的几何意义，通过华罗庚数形结合诗句与G·波利亚类比名言导入，衔接复数概念与代数形式旧知，为后续复数运算铺垫，构建从实数到复数的知识支架。 以类比思想引导学生从实数几何表示探究复数的点与向量表示，结合评价检测题强化模与共轭复数理解，培养数学眼光与思维。小组合作探究模的几何图形，提升学生创新意识与应用能力，助力教师精准把握学情，高效落实教学目标。

§7.1.2复数的几何意义 【教学设计】 一、教学目标确立依据 1． 课程标准要求及解读 （1）课程标准要求 理解复数的代数表示及其几何意义。 （2）课程标准解读 课程标准对本节课的要求可以分为三个层次，一是理解，了解数系的发展史，理解数系扩充的必要性，理解数系从实数扩充到复数的必要性和几何性质的延续性，通过特殊到一般的引导，从实数出发来理解复数的几何意义；二是应用，通过几何意义的理解和认知来解决复数对应的点、向量和复数模的应用问题；三是思想升华，在理解和应用中进一步感受和体会类比思想和数形结合思想的重要性和实用性。 （二）教材分析 《数系的扩充与复数》本章节以数系扩充的发展史和数系扩充的必然性开篇，引出复数的概念，基于数形结合的思想理解并应用复数的几何意义解决复数的加减运算，基于实数范围内的运算法则在复数范围内的适用性学习乘除运算。 本节内容是在学生已掌握了复数的概念的基础上加深对复数的认知，从几何意义的角度认识和感受复数的几何意义，也为后面的加减运算做好铺垫，就所处的位置和对前后知识内容的作用来说是一节非常重要的，起到承前启后作用的课题。 （三）学情分析 在上一节学生已经初步认识了复数的概念和复数的代数形式，并对复数何时为实数，何时为虚数，何时为纯虚数进行了认真的学习和练习，实数是同学们非常熟悉的数系，也熟知实数的几何表示和绝对值的几何意义，为今天课程的开展打下了坚实的基础。 二、教学目标 1.掌握复数的两种几何表示并能在复平面内准确作出复数对应的点和向量，根据复数对应的点也能准确写出对应的复数； 2.理解复数模的几何意义，会求复数的模及共轭复数； 3.应用复数模的几何意义能够作出与模相关等式或不等式所对应的图形． 三、评价设计 目标1评价：学生能通过类比实数的几何表示得出复数的两种几何表示，能够快速准确的在复平面内作出复数所对应的点及向量，能够根据复平面中点的坐标快速准确的写出所对应的复数，90%以上的同学快速正确的完成评价检测1、评价检测2、评价检测3。 目标2评价：学生能够通过实数的绝对值及其几何意义类比出复数的模定义及其几何意义，并得出复数模的计算公式，能熟记公式完成评价检测4，通过观察对比得出共轭复数的概念，掌握共轭复数的写法和求法，完成评价检测5； 目标3评价：学生在小组讨论的情况下完成能力提升题目的讨论和探究，教师通过屏幕展示或演示结果，给予学生更直观的感受. 四、教学方法 整节课各环节的实施通过类比思想和问题探究的形式展开，教师通过合理设置的问题引导学生思考、探究、合作交流，为学生的探究搭建合理的梯度；学生通过问题的解决，思维步步推进，知识逐步拓展，能力得到提升. 五、教学流程设计 （一）情境引入 【情境1】数形结合是一种重要的数学思想，提及数形结合，中国著名的数学家华罗庚教授随机作诗一首；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非。” 【设计意图】：利用华罗庚教授关于数形结合的诗一首，感受数学大家对于数形结合思想的推崇，体会数形结合思想的重要形，为本节课设定的必然性做好铺垫。 （二）温故热身 【问题1】复数的代数表示是什么? 【预期回答】 【问题2】取何值时复数表示实数?何时表示虚数？ 【预期回答】， 【情境2】虚数是实数的补充，实数是虚数的基础，虚实结合合称复数，本是一家人，必有众多相似。另一位伟大的数学家G·波利亚曾说：“类比就是一种相似，相似的对象在某个方面彼此一致，类比是一个伟大的领路人.” 【设计意图】：利用美籍匈牙利数学家G·波利亚关于类比的名句，让学生感受类比对于发现问题解决问题的重要形，也为本节课我们将采用类比的方式引出复数的几何意义做好铺垫。 (三) 引出新知 【问题3】实数的几何表示是什么？ 【预期回答】数轴（数轴上的点）． 【问题4】实数集和数轴上的点的集合什么关系？ 【预期回答】一一对应关系。 【设计意图】做好思想引领，提示学生探究复数几何表示时也要做到一一对应。 【探究1】虚数能用数轴上的点来表示吗？你会怎么表示？ 【学生活动设计】独立思考，讨论探究，并最终达成共识。 【设计意图】体现学生主体地位，锻炼学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 【教师活动设计】关注聆听学生活动情况，随时准备为学生答疑解惑，课件展示加恰当的问题引导，引出复数的第一种几何表示。 【学生活动设计】做评价检测1，检测学生由复数描点的掌握情况。 【评价检测1】请同学们画出下列复数所对应的点 （1）（2）（3）（4） 【学生活动设计】将评价检测1左侧的复数遮挡，完成评价检测2？ 【评价检测2】请同学们根据画出的点的坐标，写出各点对应的复数。 【探究2】实轴和虚轴上的点表示怎样的复数？ 【预期回答】实轴上所有的点均表示实数，虚轴上所有的点均表示纯虚数。 【正确回答】实轴上所有的点均表示实数，虚轴上所有的点（除原点外）均表示纯虚数。 【设计意图】强调基础知识，0是实数，但同时在虚轴上，纠正易错点！ 【探究3】向量的坐标是多少？你有怎样的发现和结论？ 【设计意图】学生通过答案发现点的坐标还同时可表示始于坐标原点指向该点的向量，引出复数的第二种几何表示-向量。 【教师活动设计】做总结并板书复数与复平面内的点与向量彼此间均为一一对应关系。 【学生活动设计】继续做评价检测3，完成由复数到向量的第二种几何表示。 【评价检测3】请同学们画出下列复数对应的向量 （1）（2）（3）（4） 【问题5】实数的绝对值的几何意义是什么？ 【预期回答】在数轴上实数对应的点到原点的距离。 【类比】复数的绝对值叫做复数的模，记作，模长公式为，你能否用复数的几何表示做出解释？ 【学生活动设计】展开讨论和探究并完成求出评价检测4中各复数的求模。 【评价检测4】请同学们求出下列复数的模 （1）（2）（3）（4） 【设计意图】学生独立思考，利用数形集合思想探究出复数的模长公式，强化数形结合思想的重要性，培养学生能力和素养。 【探究4】观察图中的复数与有什么关系？ 【预期回答】点关于轴对称，向量关于轴对称，实部相同，虚部互为相反数。 【设计意图】引出共轭复数的概念和表示． 【评价检测5】请同学们求出下列复数的共轭复数 （1）（2）（3）（4） 【探究5】关于实数的共轭复数你能得到怎样的结论？ 【预期回答】实数的共轭复数还是它本身。 【设计意图】体现学生主体地位，培养学生观察和探究能力． (四)能力提升 【合作探究】设，满足下列条件的点的集合是什么图形？ （1） （2） （3） （4） 【评价检测6】设，满足下列条件的点的集合是什么图形？ （1） （2） (五)回归情境 我们在伟人的指引下，完成了本节课的学习，类比思想是思想引领，数形结合是问题解决的重要手段，通过本节课的学习和体会，感受两大重要思想的重要性，并在以后学习和做题中加以应用。 （六）归纳小结 两个几何表示、五个基本概念、一个模长公式、两个重要思想． （七）目标评价 请同学们对照学习目标，对照导学案，同桌互查，检验本节课的学习成果． 【设计意图】：帮助学生明晰学习目标，理清知识脉络，养成良好的学习习惯． （八）课后作业 作业：小册子p139页练习A、练习B 【设计意图】：使学生进一步巩固和应用所学知识，培养学生解决问题的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $