7.1.2复数的几何意义 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 7.1.2《复数的几何意义》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“复数”主题，学生应能够：理解复数的几何意义，掌握复数与复平面内的点、平面向量的一一对应关系；理解复数模的概念及几何意义，能求复数的模；了解共轭复数的概念及其几何意义. 课标分析： 本节课是复数概念的深化，将复数与平面直角坐标系（复平面）建立联系，实现了数与形的统一.课标强调“理解”和“掌握”，教学中应通过类比实数与数轴上的点对应，自然过渡到复数与复平面上的点对应，明确实轴、虚轴的概念.复数的模对应向量的模，共轭复数对应点关于实轴对称.通过几何意义，学生可以直观理解复数相等、模的性质等.本节课对培养直观想象、数学抽象等核心素养有重要作用，也为后续学习复数的三角形式、代数运算的几何解释奠定基础. 2、 教材分析 “复数的几何意义”是人教A版必修第二册第七章第1.2节内容，是复数概念的重要拓展.教材从实数的几何表示（数轴上的点）出发，类比得到复数可以用平面直角坐标系内的点表示，从而引入复平面、实轴、虚轴的概念.进一步，复数也可以与以原点为起点的向量建立一一对应，从而定义复数的模（向量的长度）.同时，引入共轭复数，并指出其几何意义是关于实轴对称.教材通过例题和练习，让学生掌握用点或向量表示复数、求复数的模、判断复数对应的点所在象限等问题.本节内容是连接复数代数形式与几何形式的桥梁. 3、 学情分析 学生已经在上一节学习了复数的概念、代数形式、分类及复数相等的条件，对复数 的实部、虚部有了清晰认识.同时，学生熟悉平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系，也知道向量与坐标的对应.这些知识为学习复数的几何意义提供了良好基础.但是，将复数与点、向量对应时，学生容易混淆“点”与“向量”的区别，对复数的模与向量的模的等价性需要加深理解.此外，复数模的几何意义（到原点的距离）以及共轭复数关于实轴对称的直观认识，需要通过具体例子和图形巩固.教师应结合坐标纸或多媒体演示，帮助学生建立清晰的几何图像. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从复数的代数形式抽象出复平面上的点，建立复数与点、向量的一一对应关系，体会数形结合思想. 1. 逻辑推理素养：能根据复数对应的点或向量进行推理，如判断点的象限、模的大小比较等. 1. 直观想象素养：能在复平面上准确描点，理解模的几何意义，理解共轭复数的对称性，增强几何直观. 1. 数学运算素养：能熟练计算复数的模，能根据点的坐标写出对应的复数，能利用模的条件求参数. 1. 数学建模素养：能将复数问题转化为几何问题，利用几何意义解决简单的模的最值、轨迹等问题. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：复数与复平面内的点、以原点为起点的向量的一一对应关系；复数的模的定义与计算；共轭复数的概念及几何意义. 1. 难点：理解复数、点、向量三者之间的对应；复数模的几何意义的应用；利用几何意义求复数的模的取值范围. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做______，其中 轴叫做______， 轴叫做______. 答案：复平面；实轴；虚轴. （2）复数 与复平面内的点 （______）一一对应. 答案：. （3）复数 的模 定义为 ______，几何意义是复数对应的点到______的距离. 答案：；原点. （4）若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则它们互为______.在复平面内，它们对应的点关于______轴对称. 答案：共轭复数；实. 2. 请学生回答，教师点评并强调实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点）表示纯虚数. 环节二：引入课题 1. 教师提问： 实数可以用数轴上的点来表示，即每一个实数对应数轴上的唯一一个点.那么复数能否也用图形来表示呢？ 学生猜想：平面上的点. 2. 追问：一个复数由实部和虚部两个实数确定，正好对应平面直角坐标系中的一对有序实数.由此引入课题. 环节三：合作探究 1. 复数与复平面内的点（5分钟） 教师类比：实数与数轴上的点一一对应.复数 由有序实数对 唯一确定，因此可以用平面直角坐标系中的点 来表示.这种用来表示复数的平面叫做复平面. 轴叫做实轴，上面的点对应实数（虚部为0）. 轴叫做虚轴，上面的点对应纯虚数（实部为0，原点对应0）. 练习：在复平面内描出下列复数对应的点：、、、. 学生口头描述点的坐标. 2. 复数与平面向量（3分钟） 教师指出：在复平面内，以原点 为起点，点 为终点的向量 也与复数 一一对应.这样，复数集、复平面内的点集、以原点为起点的向量集之间建立了一一对应关系. 注意：向量可以平移，但通常我们取从原点出发的向量. 3. 复数的模（5分钟） 定义：向量 的模叫做复数 的模，记作 或 ，计算公式为 . 几何意义：复数对应的点到原点的距离. 性质：，且 . 例题：求下列复数的模： ，则 ； ，则 ； ，则 . 4. 共轭复数（2分钟） 定义：若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称它们互为共轭复数.复数 的共轭复数记作 . 几何意义：在复平面内，互为共轭的两个复数对应的点关于实轴对称. 注意：实数（虚部为0）的共轭是自身.. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：在复平面内，说出下列复数对应的点所在的象限： （1）； （2）； （3）； （4）. 答案：（1）第四象限；（2）第二象限；（3）第三象限；（4）实轴正半轴. 例2：已知复数 对应的点在虚轴上，求实数 的值. 解：点在虚轴上，则实部为0，且虚部不为0（原点除外，此处若虚部也为0则点对应0，0在实轴和虚轴交点，通常也认为是虚轴上的点，但一般题目说“在虚轴上”指除原点外）. 实部 ，得 或 . 当 时，虚部 ，此时复数 ，对应原点，原点在虚轴上； 当 时，虚部 ，对应点 在虚轴负半轴. 所以 或 . 例3：设复数 满足 ，求 对应的点的轨迹. 解：由模的几何意义， 表示复数对应的点到原点的距离为1，因此轨迹是以原点为圆心、半径为1的圆. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列关于复数几何意义的说法正确的是（ ） A. 复数 对应的点在虚轴上 B. 复数 对应的点在实轴上 C. 两个共轭复数对应的点关于原点对称 D. 若 ，则 与 对应的点都在以原点为圆心的同一个圆上 答案：A、B、D 解析：C错误，共轭复数关于实轴对称，不是关于原点对称. 例5：已知复数 ，，求 、，并判断 与 的大小关系. 解：，. ，. ，显然 （三角形两边之和大于第三边）. 例6：已知复数 满足 ，求复数 对应的点的轨迹. 解：设 ，则 . 所以轨迹是以点 为圆心、半径为1的圆. 例7：已知复数 ，求它的共轭复数 ，并计算 . 解：，. 例8：设 是两个复数，且它们的模相等，是否一定有 ？请说明理由. 解：不一定.例如 ，，则 ，但 与 既不相等也不互为相反数.模相等只说明它们在复平面上到原点的距离相等，即点在同一圆上.. 小试牛刀： 一、单选题 1．设复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．的模=（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知复数，则下列结论正确的是（    ） A．的实部是 B．的虚部为 C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 三、填空题 4．已知复数的模等于2，则实数的值为______. 四、解答题 5．已知复数，其中． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是纯虚数，求实数m的值； (3)若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 复平面、实轴、虚轴的概念. (2) 复数与点 、向量 的一一对应关系. (3) 复数的模的定义、计算公式及几何意义（点到原点距离）. (4) 共轭复数的定义及几何意义（关于实轴对称）. 2. 教师强调： (1) 实数对应实轴上的点，纯虚数对应虚轴上的点（除原点）. (2) 模可以比较大小，复数不能比较大小. (3) 共轭复数的乘积等于模的平方：. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第73页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《复数的几何意义》. 1. 拓展作业： (1) 已知复数 满足 ，求复数 对应的点的轨迹方程. 1. 预习引导： 预习下一节“复数的代数形式的加、减运算及其几何意义”，思考如何用向量的加法解释复数加法. 授课人个案修改记录： 本节课通过类比实数与数轴的对应，顺利建立了复数与复平面点的对应关系，学生接受度较好.通过具体描点、求模、共轭复数练习，学生掌握了基本技能.复数模的几何意义（圆的方程）的例题让学生体会了数形结合思想.不足之处：部分学生对向量与复数的对应理解不够深入，可结合向量坐标表示加深印象.另外，在模的比较和复数不能比较大小的辨析上，可再强调.整体上，本节课为后续复数的运算及几何解释打下了良好的基础. 学科网（北京）股份有限公司 $