5.3 平面向量的数量积【题型突破】-2027届高三数学一轮复习讲义

该高中数学讲义聚焦平面向量数量积核心考点，涵盖定义运算、坐标求解、夹角模长与投影计算，按“考向预测-双基自测-核心梳理-题型突破-限时训练”逻辑架构，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，助力学生系统突破高考高频难点。 资料融入极化恒等式等解题技巧微拓展，题型突破采用“命题点分类+典例精讲+跟踪训练”模式，培养学生数学思维与数形结合能力。限时训练分层设计，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用支撑。

第五章 平面向量与复数 §5.3　平面向量的数量积 【高考考向预测】 平面向量数量积涵盖定义运算、坐标求解、夹角模长与投影计算，常结合几何图形、最值范围综合考查；近三年为填空选择高频考点，考查频次稳定；预测2027 年依旧以小题命题为主，侧重图形载体下数量积转化、参数求值及最值求解，着重考查公式活用与数形结合解题思维。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是. (　 　) (2)若a，b共线，则a·b=|a||b|. (　 　) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量. (　 　) (4)若a·b=a·c，则b=c. (　 　) 【答案】（1）×（2）×（3）√（4）× 2.(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(　　) A.(a+b)·c=a·c+b·c B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b≤|a||b| D.|a-b|≤|a|+|b| 【答案】ACD 【解析】根据数量积的分配律可知A正确； B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，等式不一定成立，故B不正确； C中，根据数量积的定义可知a·b=|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确； D中，|a-b|2-(|a|+|b|)2=-2a·b-2|a||b|=-2|a||b|(cos〈a，b〉+1)≤0，故|a-b|2≤(|a|+|b|)2，即|a-b|≤|a|+|b|，故D正确. 3.(2025·青岛检测)设x∈R，向量a=(x，1)，b=(1，-2)，且a⊥b，则cos〈a-b，a〉等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为a=(x，1)，b=(1，-2)， 又a⊥b，所以x-2=0，x=2， 所以a=(2，1)，a-b=(1，3)， 所以cos〈a-b，a〉===. 4.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，且a+b+c=0，则|c|=　　　　　　.  【答案】 【解析】因为a+b+c=0，所以c=-a-b，所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=22+2×2×3×cos +32=4-6+9=7，所以|c|=. 【核心梳理●明考点】 1.向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.  3.平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，=a，=b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.  4.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R). (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 5.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b=|a||b|cos θ a·b=x1x2+y1y2 模 |a|= |a|= 夹角 cos θ= cos θ= a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ 熟记以下常用结论 (1)平面向量数量积运算的常用公式 ①(a+b)·(a-b)=a2-b2. ②(a±b)2=a2±2a·b+b2. ③a2+b2=0⇒a=b=0. (2)有关向量夹角的两个结论 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. (3)a在b上的投影向量为·，a在b上的投影向量的模为. 【题型突破●明方向】 题型一　平面向量数量积的基本运算 例1　(1)(2025·齐齐哈尔模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，建立如图所示的平面直角坐标系，且A(0，3)，C(3，0)，B(0，0)，=，=，则·等于(　　) A.3 B.1 C.2 D.4 【答案】C 【解析】由题意知A(0，3)，C(3，0)，B(0，0)，设M(x，y)， 因为=，所以(x，y-3)=(3-x，-y)， 则解得所以M(1，2)， 又==(1，2)，所以D(2，4)，所以=(1，-4)，=(-2，-1)， 所以·=(-2)×1+(-1)×(-4)=2. (2)(2025·天津)在△ABC中，D为AB边的中点，=，=a，=b，则=　　　　(用a，b表示)，若||=5，AE⊥CB，则·=　　　　.  【答案】a+b　-15 【解析】如图，因为=，所以-=-)， 所以=+. 因为D为线段AB的中点， 所以=+=a+b； 因为||=5，AE⊥CB，=a-b，所以==a2+a·b+b2=25， ① ·=·(a-b)=a2+a·b-b2=0，所以a2+3a·b=4b2， ② 由①②得a2+4a·b=180， 又=-=-=a-b， 所以·=·=a2+a·b-b2= =(a2+2a·b-2a2-6a·b)=(-a2-4a·b)=×(-180)=-15. 【思维升华】计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b=|a||b|cos〈a，b〉. (2)利用坐标运算，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a·b=x1x2+y1y2. (3)利用基底法求数量积. (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义. 【跟踪训练】1　(1)(2026·合肥模拟)在△ABC中，已知AB=4，点O是△ABC的外心，则·等于(　　) A.16 B.8 C.4 D.-8 【答案】B 【解析】如图，过点O作OD⊥AB于D，可知AD=AB=2， 则·=(+)·=·+·=2×4+0=8. (2)(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|=1，|b|=3，则(2a+b)·b=　　　　.  【答案】11 【解析】由题意可得a·b=1×3×=1，b2=9， 则(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11. 极化恒等式 1.极化恒等式 在平面向量中：(a+b)2=a2+b2+2a·b，(a-b)2=a2+b2-2a·b， 两式相减可得极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. 2.极化恒等式的几何解释 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即a·b=[(a+b)2-(a-b)2](如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即·=-(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 【典例】　(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·=4，·=-1，则·的值是　　　　　　.  【答案】 【解析】方法一　(极化恒等式法) 设BD=DC=m，AE=EF=FD=n， 则AD=3n. 由向量的极化恒等式，知 ·=||2-||2=9n2-m2=4， ① ·=||2-||2=n2-m2=-1， ② 联立①②解得n2=，m2=， 因此·=||2-||2=4n2-m2=， 即·=. 方法二　(坐标法)以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设A(3a，3b)，B(-c，0)，C(c，0)， 则E(2a，2b)，F(a，b)， 所以·=(3a+c，3b)·(3a-c，3b)=9a2-c2+9b2=4， ·=(a+c，b)·(a-c，b) =a2-c2+b2=-1， 则a2+b2=，c2=， 所以·=(2a+c，2b)·(2a-c，2b) =4a2-c2+4b2=. 方法三　(基向量法) ·=(-)·(-) ===4， ·=(-)·(-) ==-1， 因此||2=，||2=， 所以·=(-)·(-) ===. (2)在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则·的取值范围是(　　) A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6] 【答案】D 【解析】方法一　(极化恒等式) 记AB的中点为M，连接CM(图略)，则|CM|=， 由极化恒等式可得· =-=-， ∵|PM|max=|CM|+1=， ∴(·)max=-=6， ∵|PM|min=|CM|-1=， ∴(·)min=-=-4， 即·的取值范围是[-4，6]. 方法二　(建系法) 依题意建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)， 因为PC=1，所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上运动， 设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)， 所以=(3-cos θ，-sin θ)， =(-cos θ，4-sin θ)， 所以·=(-cos θ)×(3-cos θ)+(4-sin θ)×(-sin θ) =cos2θ-3cos θ-4sin θ+sin2θ =1-3cos θ-4sin θ=1-5sin(θ+φ)， 其中sin φ=，cos φ=， 因为-1≤sin(θ+φ)≤1， 所以-4≤1-5sin(θ+φ)≤6， 即·的取值范围是[-4，6]. 题型二　平面向量数量积的应用 命题点1　向量的模 例2　(1)(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　 .  【答案】 【解析】a-b=(1，1-2x)，因为a⊥(a-b)，则a·(a-b)=0， 则x+1-2x=0，解得x=1. 则a=(1，1)，则|a|=. (2)(2025·北京)已知平面直角坐标系xOy中，||=||=，||=2，设C(3，4)，则|2+|的取值范围是(　　) A.[6，14] B.[6，12] C.[8，14] D.[8，12] 【答案】D 【解析】方法一　因为||=||=，||=2， 所以||2+||2=||2，则⊥，即·=0，所以|+|===2. 2+=2(-)+-=+-2，因为=(3，4)，所以||==5， 所以|2+|2=++4-4(+)· =2+2+4×25-4(+)·=104-4(+)·， 又|(+)·|≤|+|||=2×5=10，即-10≤(+)·≤10， 所以64≤≤144，即8≤|2+|≤12. 故|2+|的取值范围为[8，12]. 方法二　因为||=||=，||=2， 所以||2+||2=||2，即OA⊥OB. 取AB的中点M，则|OM|=||=1，所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上. 2+=++=+=2， 又||-1≤||≤||+1，||==5， 所以4≤||≤6， 所以8≤|2+|≤12，即|2+|的取值范围是[8，12]. 命题点2　向量的夹角 例3　(1)(2025·汉中模拟)向量|a|=|b|=1，|c|=，且a+b-c=0，则cos〈a，c〉等于(　　) A.- B.- C. D. 【答案】D 【解析】因为a+b-c=0，则b=c-a，则b2=c2-2a·c+a2， 即1=3-2a·c+1，解得a·c=， 所以cos〈a，c〉===. (2)若向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，已知2a-3b与c的夹角为钝角，则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　　　　.  【答案】∪ 【解析】因为2a-3b与c的夹角为钝角， 所以(2a-3b)·c<0， 即(2k-3，-6)·(2，1)<0， 所以4k-6-6<0，所以k<3. 若2a-3b与c反向共线，则=-6， 解得k=-，此时夹角不是钝角， 综上所述，实数k的取值范围是∪. 命题点3　向量的垂直 例4　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 【解析】因为b⊥(b-4a)， 所以b·(b-4a)=0， 所以b2-4a·b=0， 即4+x2-4x=0，解得x=2. (2)(2026·青岛模拟)已知在△ABC中，A=120°，且AB=3，AC=4，若=λ+，且⊥，则实数λ的值为(　　) A. B. C.6 D. 【答案】A 【解析】因为=λ+，且⊥， 所以·=(λ+)·(-) =λ·-λ+-· =(λ-1)·-λ+=0， 整理可得(λ-1)×3×4×cos 120°-9λ+16=0， 解得λ=. 命题点4　向量的投影 例5　(1)(2025·西安模拟)已知向量a，b满足a=(1，1)，b=(0，-1)，则(b-2a)在b上的投影向量为(　　) A.(-3，0) B.(0，-3) C.(3，0) D.(0，3) 【答案】B 【解析】因为向量a，b满足a=(1，1)，b=(0，-1)， 所以b-2a=(0，-1)-2(1，1)=(-2，-3)， 所以(b-2a)·b=-2×0+(-3)×(-1)=3，|b|==1， 则(b-2a)在b上的投影向量为·=b=3(0，-1)=(0，-3). (2)(2025·毕节模拟)在△ABC中，点O是BC的中点，且AO=BC，则在上的投影向量为(　　) A. B.- C.- D. 【答案】C 【解析】由题意知在△ABC中，点O是BC的中点，且AO=BC， 故∠BAC=， 则在上的投影向量为||cos(π-B)=-||cos B =-||··=-. 【思维升华】(1)求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2； ②几何法：利用向量的几何意义. (2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ=； ②坐标法. (3)两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|(其中a≠0，b≠0). (4)求投影向量的方法 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉=·b. 【跟踪训练】2　(1)(多选)(2025·宝鸡模拟)已知向量a=(，1)，b=(cos α，sin α)，则下列结论正确的有(　　) A.若a∥b，则tan α= B.若a⊥b，则tan α=- C.若a与b的夹角是，则|a-b|= D.若a与b的方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是 【答案】ABC 【解析】因为向量a=(，1)，b=(cos α，sin α)， 若a∥b，则sin α-cos α=0，解得tan α=，A正确； 若a⊥b，则cos α+sin α=0，解得tan α=-，B正确； 若a与b的夹角是，因为|a|==2，|b|==1， 所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos+|b|2=3， 所以|a-b|=，C正确； 若a与b的方向相反，所以a·b=|a||b|cos π=-2， 所以b在a上的投影向量为a=-a=，D错误. (2)(2026·长沙模拟)已知向量a，b满足|a|=3，|b|=2，且a⊥(a+b)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵a⊥(a+b)，|a|=3，∴a·(a+b)=|a|2+a·b=0， ∴a·b=-|a|2=-9，∴cos〈a，b〉==-，故a与b的夹角为. 题型三　平面向量的实际应用 例6　(多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|=|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　　) A.|F1|的最小值为|G| B.θ的范围为[0，π] C.当θ=时，|F1|=|G| D.当θ=时，|F1|=|G| 【答案】ACD 【解析】由题意知，F1+F2+G=0， 可得F1+F2=-G，两边同时平方得 |G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ =2|F1|2+2|F1|2cos θ， 所以|F1|2=. 当θ=0时，|F1|min=|G|； 当θ=时，|F1|=|G|； 当θ=时，|F1|=|G|，故A，C，D正确； 当θ=π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误. 【思维升华】用向量方法解决实际问题的步骤 【跟踪训练】3　冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中，以力F=(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(-1，-1)移动到点B(1，-1)，则F对冰球所做的功为(　　) A.-18 B.18 C.-12 D.12 【答案】D 【解析】因为A(-1，-1)，B(1，-1)， 所以=(2，0)，又F=(6，24)， 故力F对冰球所做的功为W=F·=12. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·山西联考)已知向量a，b满足a=(1，-1)，|b|=2，且a与b的夹角为，则a·(a-b)等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D. 【答案】B 【解析】因为|a|==，|b|=2，且a与b的夹角为， 故a·(a-b)=|a|2-|a||b|cos=()2-×2×=0. 2.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则(　　) A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件 C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件 【答案】C 【解析】对A，当a⊥b时，则a·b=0， 所以x(x+1)+2x=0，解得x=0或x=-3， 即必要性不成立，故A错误； 对C，当x=0时，a=(1，0)，b=(0，2)， 故a·b=0，所以a⊥b， 即充分性成立，故C正确； 对B，当a∥b时，2(x+1)=x2，解得x=1±， 即必要性不成立，故B错误； 对D，当x=-1+时，不满足2(x+1)=x2， 所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误. 3.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于(　　) A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】因为(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0， 即b2=2a·b， 又因为|a|=1，|a+2b|=2， 所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，从而|b|=. 4.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|=6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　) A.- B.- C.- D. 【答案】B 【解析】由题意知(v1+v2)·v2=0， 则v1·v2+=|v1||v2|·cos θ+ =60cos θ+36=0， 所以cos θ=-. 5.(2025·武汉模拟)已知向量a=(1，0)，b=(0，1)，a·c=b·c=1，则向量a在向量c上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设c=(x，y)，因为a=(1，0)，b=(0，1)，a·c=b·c=1， 所以解得 所以c=(1，1)，则向量a在向量c上的投影向量为·=·=. 6.(2025·呼伦贝尔模拟)在△ABC中，AB⊥AC，=(-1)，·=6，则AC等于(　　) A. B.6 C.2 D.3 【答案】A 【解析】由AB⊥AC，得·=0， 由=-=(-1)， 得=. 由·=·(+)=· =·=·(-) ==6， 所以||=，即AC=. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知向量a=(1，-2)，b=(1，3)，则下列结论正确的是(　　) A.b在a上的投影向量是(1，-2) B.|2a+b|=|b| C.a与b的夹角为 D.(a+b)⊥a 【答案】BD 【解析】因为|a|=，|b|=，a·b=1-6=-5，所以cos〈a，b〉==-，所以〈a，b〉=，故C错误； 所以b在a上的投影向量是|b|·cos〈a，b〉·=××=-a=(-1，2)，故A错误； 因为a=(1，-2)，b=(1，3)，所以2a+b=(3，-1)，所以|2a+b|===|b|，故B正确； a+b=(2，1)，所以(a+b)·a=2-2=0，故D正确. 8.(2025·泉州期末)已知向量a=(，1)，b=(cos θ，sin θ)，则下列命题正确的是(　　) A.若a⊥b，则tan θ= B.若b在a上的投影向量为-a，则向量a与b的夹角为 C.存在θ，使得|a+b|=|a|+|b| D.a·b的最大值为 【答案】BCD 【解析】因为向量a=(，1)，b=(cos θ，sin θ)， 对于A选项，若a⊥b，则a·b=cos θ+sin θ=0，可得sin θ=-cos θ， 故tan θ=-，A错误； 对于B选项，因为|a|=，|b|==1，b在a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉=a=-a，所以cos〈a，b〉=-， 因为0≤〈a，b〉≤π，则〈a，b〉=，即向量a与b的夹角为，B正确； 对于C选项，若|a+b|=|a|+|b|，则a，b方向相同，所以解得 故当b=时，|a+b|=|a|+|b|，C正确； 对于D选项，a·b=sin θ+cos θ=sin(θ+φ)≤， 其中φ为锐角，且tan φ=，故a·b的最大值为，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·天津检测)已知点A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，与方向相同的单位向量为e，若向量在方向上的投影向量为λe(λ∈R)，则实数λ=　　　　.  【答案】3 【解析】由题意知=(2，1)，=(5，5)， 则·=15，||=， 向量在方向上的投影向量为·e， 所以λ===3. 10.(2026·徐州模拟)已知AB是圆O的一条直径，且|AB|=4.C，D是圆O上的任意两点，|CD|=2，点P在线段CD上，则·的取值范围是　　　　　　.  【答案】[-1，0] 【解析】如图，O为圆心，连接OP，则·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=-4， 因为点P在线段CD上且|CD|=2，则圆心O到弦CD的中点的距离d==，这也是OP的最小值. 所以≤||≤2，所以3≤≤4， 则-1≤-4≤0，即·的取值范围是[-1，0]. 四、解答题(共27分) 11.(13分)(2025·南京模拟)已知|a|=4，|b|=2，且a与b的夹角为. (1)求|a+2b|；(6分) (2)若向量(2a-λb)⊥(λa+3b)，求实数λ的值.(7分) 【解析】(1)a·b=|a||b|cos=4×2×=4， ∴(a+2b)2=a2+2a·2b+4b2 =16+4×4+16=48， ∴|a+2b|==4. (2)∵(2a-λb)⊥(λa+3b)， 则(2a-λb)·(λa+3b)=0， 即2λa2+(6-λ2)a·b-3λb2=0， ∴32λ+4×(6-λ2)-12λ=0，即λ2-5λ-6=0， ∴λ=-1或λ=6. 12.(14分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，=λ，BC=2AB=2AD=2. (1)若⊥，求实数λ的值；(7分) (2)若λ=，求与的夹角θ的余弦值.(7分) 【解析】(1)分别以，的方向为x轴、y轴的正方向，点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 所以B(0，0)，A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)， 所以=(2，-1)，=(λ，1)， 因为⊥， 所以·=2λ-1=0， 所以λ=. (2)当λ=时，||==， ||==， 因为·=2λ-1=， 所以cos θ===. [13题6分，14题5分，共11分] 13.(多选)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量=a=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，a=(2，1)，b=(λ，5)，则下列结论正确的是(　　) A.|a|= B.当λ=-时，a⊥b C.|a+b|min=3 D.当λ=-4时，a+b与a的夹角为 【答案】ACD 【解析】依题意e1·e2=|e1||e2|cos 60°=1×1×=， 对于A，因为a=(2，1)，所以a=2e1+e2， 所以|a|== ==，故A正确； 对于B，当λ=-时，b=， 则b=-e1+5e2， 所以a·b=(2e1+e2)· =-5+e1·e2+5 =-5×12+×+5×12=， 所以a与b不垂直，故B错误； 对于C，a+b=2e1+e2+λe1+5e2=(2+λ)e1+6e2， 所以|a+b|= = =， 所以当λ=-5时，|a+b|取得最小值，且|a+b|min=3，故C正确； 对于D，由C可知|a+b|=， 当λ=-4时，|a+b|=2，a+b=-2e1+6e2， 所以(a+b)·a=(-2e1+6e2)·(2e1+e2)=-4+10e1·e2+6=7， 设a+b与a的夹角为θ， 则cos θ===， 又θ∈[0，π]，所以θ=，即a+b与a的夹角为，故D正确. 14.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(+)的最小值是(　　) A.-2 B.- C.- D.-1 【答案】B 【解析】方法一　(极化恒等式) 取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE， 由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点， 得AE=AD=， 则·(+)=·2=2·=2(||2-||2)=2 ≥2×=-， 当且仅当点P与点E重合时，等号成立， 所以=-. 方法二　建立如图所示的坐标系，以BC的中点D为坐标原点， 则A(0，)，B(-1，0)，C(1，0)， 设P(x，y)，则=(-x，-y)， =(-1-x，-y)，=(1-x，-y)， 则·(+)=2x2-2y+2y2 =2， 所以当x=0，y=时，·(+)取得最小值2×=-. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数 §5.3　平面向量的数量积 【高考考向预测】 平面向量数量积涵盖定义运算、坐标求解、夹角模长与投影计算，常结合几何图形、最值范围综合考查；近三年为填空选择高频考点，考查频次稳定；预测2027 年依旧以小题命题为主，侧重图形载体下数量积转化、参数求值及最值求解，着重考查公式活用与数形结合解题思维。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是. (　 　) (2)若a，b共线，则a·b=|a||b|. (　 　) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量. (　 　) (4)若a·b=a·c，则b=c. (　 　) 2.(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(　　) A.(a+b)·c=a·c+b·c B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b≤|a||b| D.|a-b|≤|a|+|b| 3.(2025·青岛检测)设x∈R，向量a=(x，1)，b=(1，-2)，且a⊥b，则cos〈a-b，a〉等于(　　) A. B. C. D. 4.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，且a+b+c=0，则|c|=　　　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.  3.平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，=a，=b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.  4.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R). (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 5.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b=|a||b|cos θ a·b=x1x2+y1y2 模 |a|= |a|= 夹角 cos θ= cos θ= a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ 熟记以下常用结论 (1)平面向量数量积运算的常用公式 ①(a+b)·(a-b)=a2-b2. ②(a±b)2=a2±2a·b+b2. ③a2+b2=0⇒a=b=0. (2)有关向量夹角的两个结论 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. (3)a在b上的投影向量为·，a在b上的投影向量的模为. 【题型突破●明方向】 题型一　平面向量数量积的基本运算 例1　(1)(2025·齐齐哈尔模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，建立如图所示的平面直角坐标系，且A(0，3)，C(3，0)，B(0，0)，=，=，则·等于(　　) A.3 B.1 C.2 D.4 (2)(2025·天津)在△ABC中，D为AB边的中点，=，=a，=b，则=　　　　(用a，b表示)，若||=5，AE⊥CB，则·=　　　　.  【跟踪训练】1　(1)(2026·合肥模拟)在△ABC中，已知AB=4，点O是△ABC的外心，则·等于(　　) A.16 B.8 C.4 D.-8 (2)(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|=1，|b|=3，则(2a+b)·b=　　　　.  极化恒等式 1.极化恒等式 在平面向量中：(a+b)2=a2+b2+2a·b，(a-b)2=a2+b2-2a·b， 两式相减可得极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. 2.极化恒等式的几何解释 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即a·b=[(a+b)2-(a-b)2](如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即·=-(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 【典例】　(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·=4，·=-1，则·的值是　　　　　　.  (2)在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则·的取值范围是(　　) A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6] 题型二　平面向量数量积的应用 命题点1　向量的模 例2　(1)(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　 .  (2)(2025·北京)已知平面直角坐标系xOy中，||=||=，||=2，设C(3，4)，则|2+|的取值范围是(　　) A.[6，14] B.[6，12] C.[8，14] D.[8，12] 命题点2　向量的夹角 例3　(1)(2025·汉中模拟)向量|a|=|b|=1，|c|=，且a+b-c=0，则cos〈a，c〉等于(　　) A.- B.- C. D. (2)若向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，已知2a-3b与c的夹角为钝角，则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　　　　.  命题点3　向量的垂直 例4　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (2)(2026·青岛模拟)已知在△ABC中，A=120°，且AB=3，AC=4，若=λ+，且⊥，则实数λ的值为(　　) A. B. C.6 D. 命题点4　向量的投影 例5　(1)(2025·西安模拟)已知向量a，b满足a=(1，1)，b=(0，-1)，则(b-2a)在b上的投影向量为(　　) A.(-3，0) B.(0，-3) C.(3，0) D.(0，3) (2)(2025·毕节模拟)在△ABC中，点O是BC的中点，且AO=BC，则在上的投影向量为(　　) A. B.- C.- D. 【跟踪训练】2　(1)(多选)(2025·宝鸡模拟)已知向量a=(，1)，b=(cos α，sin α)，则下列结论正确的有(　　) A.若a∥b，则tan α= B.若a⊥b，则tan α=- C.若a与b的夹角是，则|a-b|= D.若a与b的方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是 (2)(2026·长沙模拟)已知向量a，b满足|a|=3，|b|=2，且a⊥(a+b)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 题型三　平面向量的实际应用 例6　(多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|=|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　　) A.|F1|的最小值为|G| B.θ的范围为[0，π] C.当θ=时，|F1|=|G| D.当θ=时，|F1|=|G| 【跟踪训练】3　冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中，以力F=(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(-1，-1)移动到点B(1，-1)，则F对冰球所做的功为(　　) A.-18 B.18 C.-12 D.12 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·山西联考)已知向量a，b满足a=(1，-1)，|b|=2，且a与b的夹角为，则a·(a-b)等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D. 2.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则(　　) A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件 C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件 3.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于(　　) A. B. C. D.1 4.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|=6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　) A.- B.- C.- D. 5.(2025·武汉模拟)已知向量a=(1，0)，b=(0，1)，a·c=b·c=1，则向量a在向量c上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 6.(2025·呼伦贝尔模拟)在△ABC中，AB⊥AC，=(-1)，·=6，则AC等于(　　) A. B.6 C.2 D.3 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知向量a=(1，-2)，b=(1，3)，则下列结论正确的是(　　) A.b在a上的投影向量是(1，-2) B.|2a+b|=|b| C.a与b的夹角为 D.(a+b)⊥a 8.(2025·泉州期末)已知向量a=(，1)，b=(cos θ，sin θ)，则下列命题正确的是(　　) A.若a⊥b，则tan θ= B.若b在a上的投影向量为-a，则向量a与b的夹角为 C.存在θ，使得|a+b|=|a|+|b| D.a·b的最大值为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·天津检测)已知点A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，与方向相同的单位向量为e，若向量在方向上的投影向量为λe(λ∈R)，则实数λ=　　　　.  10.(2026·徐州模拟)已知AB是圆O的一条直径，且|AB|=4.C，D是圆O上的任意两点，|CD|=2，点P在线段CD上，则·的取值范围是　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)(2025·南京模拟)已知|a|=4，|b|=2，且a与b的夹角为. (1)求|a+2b|；(6分) (2)若向量(2a-λb)⊥(λa+3b)，求实数λ的值.(7分) 12.(14分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，=λ，BC=2AB=2AD=2. (1)若⊥，求实数λ的值；(7分) (2)若λ=，求与的夹角θ的余弦值.(7分) [13题6分，14题5分，共11分] 13.(多选)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量=a=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，a=(2，1)，b=(λ，5)，则下列结论正确的是(　　) A.|a|= B.当λ=-时，a⊥b C.|a+b|min=3 D.当λ=-4时，a+b与a的夹角为 14.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(+)的最小值是(　　) A.-2 B.- C.- D.-1 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $