第2章 第8讲 函数的奇偶性与周期性（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数奇偶性与周期性专题，依据高考评价体系梳理定义、性质、判定及应用等核心考点，通过近五年真题分析明确奇偶性判定、周期性转化为高频考点，归纳选择、填空、解答三大常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”策略，如以2025新高考Ⅰ卷偶函数求值题为例，详解“定义法判定奇偶性”“周期转化求函数值”等方法，培养学生逻辑推理的数学思维和符号表达的数学语言。配套“易错警示”和“题型变式”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准开展专题复习，提升备考效率。

第二章 第8讲　函数的奇偶性与周期性 基本初等函数 1 知识整合·体系建构 1．(教材经典题改编)(多选)下列函数是奇函数的是 (　 　) A．f(x)＝2x4＋3x2　 B．f(x)＝x3－2x BC 2．若一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝ (　　) A．－1　 B．1 C．0　 D．2 A 激活思维 知识整合·体系建构 3．(教材经典题改编)已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，则y＝f(x)在[－b，－a]上单调________，且有最______值________． 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值是_______． 递减 小 －m 【解析】 　　　　由题知f(2)＝6，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－6． －6 激活思维 知识整合·体系建构 【解析】 1 激活思维 知识整合·体系建构 1．奇偶性 定义：若________________，则f(x)为偶函数；若________________，则f(x)为奇函数． 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称． 性质：(1) 奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于________对称； (2) 若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝_____；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)； f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 原点 y轴 0 聚焦知识 知识整合·体系建构 (3) 在关于y 轴对称的两个区间内，奇函数单调性_______，偶函数单调性_______． (4) 一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同． (5) 复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外． (6) 既奇又偶的函数只有一个y＝0，但定义域可以有无数个． 相同 相反 聚焦知识 知识整合·体系建构 2．周期性 (1) 对定义域内任意x，存在非零常数T(T＞0)，使_______________成立，则T为f(x)的周期； (2) 若T存在最小值，则该值为最小正周期． f(x＋T)＝f(x) 聚焦知识 知识整合·体系建构 题型突破·思维拓展 目标 1 函数奇偶性的判定 　　　(1) 判断下列函数的奇偶性． 1 【解答】 　　　　f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(x)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 举题说法 题型突破·思维拓展 【解答】 　　　　f(x)的定义域为R，关于原点对称．当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数． 举题说法 题型突破·思维拓展 【解答】 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　(2)(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数为奇函数的是(　 　) A．g(x)＝x＋f(x) B．g(x)＝xf(x) C．g(x)＝x2＋f(x) D．g(x)＝x2f(x) 【解析】 　　　　因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝x＋f(x)是奇函数； 对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以g(x)＝xf(x)是偶函数； 对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，所以g(x)＝x2＋f(x)为非奇非偶函数； 对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝x2f(x)是奇函数． AD 1 举题说法 题型突破·思维拓展 总 结 提 炼 A．f(x－1)－1　　　B．f(x－1)＋1　　　C．f(x＋1)－1　　　　D．f(x＋1)＋1 【解析】 B 举题说法 题型突破·思维拓展 目标 2 函数奇偶性的应用 视角1　求值 【解析】 2－1 A．1　 B．－1 C．2　 D．－2 B 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 2－1 (－∞，－5] 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　　　(3)(2025·杭州质检)设函数y＝f(x)－x2是奇函数，若函数g(x)＝f(x)＋5，f(4)＝9，则g(－4)＝ (　　) A．27　 B．28 C．29　 D．30 【解析】 　　　　由函数y＝f(x)－x2是奇函数可知f(x)－x2＋f(－x)－(－x)2＝0，因此可得f(x)＋f(－x)＝2x2．又g(x)＝f(x)＋5，因此g(4)＝f(4)＋5，g(－4)＝f(－4)＋5；两式相加可得g(4)＋g(－4)＝f(4)＋5＋f(－4)＋5＝2×42＋10＝42．又g(4)＝f(4)＋5＝14，因此g(－4)＝42－14＝28． B 2－2 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 2－2 A．a＋3　 B．6 C．2　 D．3－a B 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 B 举题说法 题型突破·思维拓展 变式 2－1　(2)(2025·泉州二检)已知定义在R上的函数f(x)＋1为奇函数，且f(－1)＝－2，则f(1)＝_____． 【解析】 　　　　因为函数f(x)＋1为奇函数，所以f(－x)＋1＝－[f(x)＋1]⇔f(－x)＋f(x)＝－2．令x＝1有f(－1)＋f(1)＝－2，又f(－1)＝－2，所以f(1)＝0． 0 (3)(2025·新乡二模)若f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，f(2)＋g(2)＝20，且f(x)－xg(x)＝x3，则f(－2)＋5g(－2)＝_____． 【解析】 　　　　依题意得f(2)－2g(2)＝8，又f(2)＋g(2)＝20，解得f(2)＝16，g(2)＝4，所以f(－2)＋5g(－2)＝－f(2)＋5g(2)＝－16＋20＝4． 4 举题说法 题型突破·思维拓展 视角2　解抽象不等式 【解析】 因为f(x)在R上为奇函数，所以g(－x)＝f(－x)－(－x)＝－f(x)＋x＝－[f(x)－x]＝－g(x)，所以g(x)在R上为奇函数，所以g(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，因为f(2)＝2，所以g(2)＝f(2)－2＝0，则g(－2)＝－g(2)＝0，所以g(x)＝f(x)－x＞0的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)，即f(x)＞x的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)． 2－3 (－2，0)∪(2，＋∞) 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 举题说法 题型突破·思维拓展 目标 3 函数的周期性 　　　(1)(2025·泰兴调研)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝x2＋x，则当x∈[4，6]时，f(x)等于 (　　) A．x2－7x＋12　 B．－x2＋9x－20 C．－x2＋7x－12　 D．－x2＋9x＋20 3 【解析】 　　　　由题意知f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数． 又当x∈[－2，0]时，f(x)＝x2＋x，且f(x)是定义在R上的奇函数，所以x∈[0，2]时，－x∈[－2，0]，f(x)＝－f(－x)＝－(x2－x)＝－x2＋x．所以当x∈[4，6]时，x－4∈[0，2]，f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)2＋(x－4)＝－x2＋9x－20． B 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　(2)(2025·武汉2月调研)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，若 f(1)＝2，f(11)＝3，则f(2 025)＝ (　　) A．1　 B．－1 C．5　 D．－5 【解析】 　　　　由题意可得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，用x＋1代替x得f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，两式相加得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(11)＝f(5)＝3． 又f(5)＝－f(2)，所以f(2)＝－3，所以f(3)＝f(2)－f(1)＝－3－2＝－5，所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝－5． 3 D 举题说法 题型突破·思维拓展 周期性的几个常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则： (1) f(x＋a)＝f(x＋b)⇒f(x)为周期函数，其周期T＝|b－a|； (2) f(x＋a)＝－f(x)⇒f(x)的周期T＝2a； (4) f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a； (5) f(x)f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a． 总 结 提 炼 【解析】 B 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 A 随堂内化 题型突破·思维拓展 1 2 3 2．(2024·全国甲卷理)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]上的大致图象为 (　　) 【解析】 　　　　由f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，又函数的定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，排除A，C． B 随堂内化 题型突破·思维拓展 1 2 3 3．(2025·苏锡常镇二模)已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R，若f(x＋1)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x－2)＝2－x，则f(g(－1))＝ (　　) A．－1　 B．0 C．1　 D．2 【解析】 　　　　由f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)．令x＝0，可得f(1)＝－f(1)，可得f(1)＝0．在f(x)－g(x－2)＝2－x中，令x＝1，得f(1)－g(－1)＝1，所以g(－1)＝－1；令x＝3，得f(3)－g(1)＝－1，所以f(3)＝g(1)－1＝g(－1)－1＝－2，所以f(g(－1))＝f(－1)＝f(－2＋1)＝－f(2＋1)＝－f(3)＝2． D 随堂内化 题型突破·思维拓展 1 2 3 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 B 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 B 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 3．(2026·镇江期初)下列函数为偶函数的是 (　　) 【解析】 　　　　对于A，函数定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A错误； 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【答案】C 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 4．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为 (　　) A．－5　 B．－1 C．－3　 D．5 【解析】 　　　　令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，则F(x)为奇函数．因为x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5，所以x∈(0，＋∞)时，F(x)＝h(x)－2≤3． 又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以F(－x)≤3⇔－F(x)≤3⇔F(x)≥－3，所以h(x)≥－3＋2＝－1． B 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 A 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 二、多项选择题 A．f(x－1)－2　 B．f(x－1)＋2 C．f(x＋1)＋2　 D．f(x＋1)－2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 【答案】BCD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【答案】ACD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 A．最小正周期为π B．是奇函数 C．在[0，π]上单调递增 D．最大值为1 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 由解析式，易得f(0)＝f(π)＝0，显然在[0，π]上不是单调递增，C错误． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【答案】BD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 10．(2026·黄冈期初)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－sin x为偶函数，y＝f(x)＋2cos x为奇函数，则f(x)的最大值为______． 【解析】 　　　　因为y＝f(x)－sin x为偶函数，则f(－x)＋sin x＝f(x)－sin x①，又y＝f(x)＋2cos x为奇函数，则f(－x)＋2cos x＝－f(x)－2cos x②． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 11．(2025·张家口一模)已知定义在R上的函数f(x)满足以下条件：①f(x)＝f(2－x)；②f(x)＝－f(6－x)；③f(5)＝1．则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝_______． 【解析】 　　　　由f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(6－x)，得f(x)＝f(2－x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，所以f(x)的周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(－1)＋f(0)＝[f(1)＋f(5)]＋[f(2)＋f(6)]＋[f(4)＋f(0)]＋[f(3)＋f(－1)]＝0，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝f(1)＋253[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)]＝－f(5)＝－1． －1 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 四、解答题 12．设函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2． (1) 求证：f(x)为奇函数； 【解答】 　　　　令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0．令y＝－x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)．因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 12．(2) 求证：f(x)在R上是减函数； 【解答】 　　　　任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，因为当x＞0时，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0，所以f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＜0，所以f(x2)－f(x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在R上是减函数． (3) 若f(2x＋5)＋f(6－7x)＞4，求x的取值范围； 【解答】 　　　　由(1)可知，f(－1)＝－f(1)＝2．令x＝y＝－1，则f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝4．因为f(2x＋5)＋f(6－7x)＞4，所以f(2x＋5＋6－7x)＞f(－2)，即f(11－5x)＞f(－2)． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 12．(4) 求f(x)在[－3，3]上的最大值与最小值． 【解答】 　　　　令x＝－2，y＝－1，则f(－3)＝f(－2)＋f(－1)＝4＋2＝6．因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3，3]上的最大值为6．因为奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，所以f(x)在[－3，3]上的最小值为－6． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 (1) 求f(x)与g(x)的解析式； 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 B组　能力提升练 14．(2025·福州二模)(多选)定义在R上的函数f(x)，g(x)满足：①当x＞0时，f(x)＞0，且g(x)＞0；②g(x＋y)＝g(x)g(y)＋f(x)f(y)；③g(x－y)＝g(x)g(y)－f(x)f(y)，则 (　　　) A．g(0)＝1　 B．g(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数　 D．f(x)为周期函数 【解析】 　　　　由g(x＋y)＝g(x)g(y)＋f(x)f(y)及g(x－y)＝g(x)g(y)－f(x)f(y)，两式相加可得g(x＋y)＋g(x－y)＝2g(x)g(y)．令x＞0，y＝0，可得2g(x)＝2g(x)·g(0)，因为x＞0，所以g(x)＞0，即可得g(0)＝1，A正确． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 再令x＝0，可得g(y)＋g(－y)＝2g(0)g(y)，又g(0)＝1，即g(－y)＝g(y)，由于y∈R，所以g(x)为偶函数，B正确． 再由g(x＋y)＝g(x)g(y)＋f(x)f(y)，令y＝－x，得g(0)＝g(x)g(－x)＋f(x)f(－x)，又g(x)为偶函数，所以g(0)＝g(x)g(x)＋f(x)f(－x)①．由g(x－y)＝g(x)g(y)－f(x)f(y)，令y＝x得g(0)＝g(x)g(x)－f(x)f(x)②．①②两式相减可得f(x)[f(x)＋f(－x)]＝0，又f(x)不恒为0，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(x)为奇函数，C正确． 因为f(x)为奇函数，且x＞0时，有f(x)＞0，则有x＜0时，f(x)＜0，且仅有f(0)＝0，所以不可能存在常数T满足f(0＋T)＝f(0)，即f(x)不是周期函数，D错误． 【答案】ABC 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 　　　　由f(x－1)＋f(x＋1)＝f(3)，得f(x)＋f(x＋2)＝f(3)，f(x＋2)＋f(x＋4)＝f(3)，所以f(x)＝f(x＋4)，故f(x)是周期为4的函数． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【答案】1 －2 026 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 $