专题06 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理了三角形双角平分线模型的知识体系，将双内角、一内角一外角、双外角三类基础模型及凸多边形拓展模型按“条件-结论-证明”逻辑呈现，配合“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”口诀化总结，清晰展现角平分线夹角与原角的数量关系及内在联系。 讲义的亮点在于“模型提炼-真题应用-拓展探究”的分层练习设计，如以安徽马鞍山期中题为例，直接应用模型结论快速求解三类夹角度数，培养学生数学思维中的推理能力和模型意识。例题涵盖选择、填空、解答等题型，基础学生可掌握结论应用，优秀学生能探究累计平分线、旁心等拓展模型，教师可据此实施精准分层教学，有效提升单元复习效率。

专题06 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 三角形中的倒角模型是考试中经常出现的题型，尤其是在压轴题中，该模型主要考查的有高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角和定理等）；对于初学者来说，设角的未知数，再通过设的角表示其他角，就可以搭建关联角之间关系的桥梁；本专题主要讲解双角平分线模型，可以帮助学生快速得到角的关系，求出所需的角，运用结论做题，事半功倍，但需要注意特殊题型要特殊分析。 1 模型趣事 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到24-25世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）（1）在中，，图1，是两内角平分线的夹角；图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1，______；如图2，______；如图3，______； （2）如图4所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，，求的度数． （25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线，的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，已知分别平分和， ，则的度数为______． 例3（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 例4（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，是的角平分线，点D在边上（点D不与点A，B重合），与交于点O． (1)若，是高，求的度数； (2)若，是角平分线，求的度数． 例5（2026七年级下·江苏·专题练习）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 例2（25-26七年级下·广西桂林·期末）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 例3（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 例4（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 例5（25-26七年级下·山东潍坊·期中）已知，直线，点为平面上一点，连接与． (1)如图1，点在直线，之间，当，时，求的度数； (2)如图2，点在直线，之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点落在直线的下方，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？请说明理由． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·安徽·月考）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 例3（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点．有下列结论：①；②；③；④；⑤．所有正确结论的序号是________． 例4（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 例5（25-26七年级下·山东淄博·期中）综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用．问题情境：学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点P是和的角平分线的交点，则． 证明如下：∵是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∴ 拓展创新： (1)如图2，若点P是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗?若成立，给出证明：若不成立，写出正确的结论并证明． 应用计算： (2)如图3，已知，点，分别在射线，上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．试问的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围． 1．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，、分别平分，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点P；和的平分线交于点，…以此类推得到，若度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在中，，的平分线相交于点O， 、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，点在延长线上，，分别平分，，，垂足为．若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，的两外角，的平分线交于点P，．则_______． A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的外角，和分别是和的平分线，反向延长和交于点．若，则的度数为（   ） A．60° B．55° C．50° D．45° 8．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，外角的平分线交的延长线于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26八年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，已知、分别平分和，，则______． 10．（24-25七年级下·山东烟台·阶段检测）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，延长线交的外角平分线于点，若比大，则的度数是______． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的度数为 ________ ． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，的角平分线相交于点P，则__________． 13．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，的两个外角平分线和相交于点，连接，若，则_____． 14．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则_____． 15．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图，，直线与直线分别交于点与点，平分平分． (1)求证：； (2)是直线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点，设． ①当点在点的左侧时，依据题意在图中补全图形，若，则_____． ②当点在运动的过程中，直接写出和之间的数量关系_____． 16．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 17．（25-26七年级下·江苏盐城·开学考试）研究不同情况下角的大小关系，并完成下列各题： (1)如图1，小宝画了一个角，点、分别在射线、上移动，的角平分线与交于点．试问：随着点、位置的变化，的大小是否会变化？若不变，请求出的度数；若变化，求出变化范围． (2)聪明的小宝想出了一个画角的方法：如图，①画两条相交的直线、，使，②在射线、上分别再任意取、点，③作的平分线，的反向延长线交平分线于点，则就是的角．你认为小宝的方法正确吗？请你说明理由． (3)聪明的小宝自编了一道题：如图，、、三点共线，、分别平分、，若，，请用含，的代数式来表示．(直接写结果) 18．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 19．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则___________；若，则________； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： (2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 21．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线，且、相交于点D．    (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若的角平分线交于点O，，求的度数． 22．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 三角形中的倒角模型是考试中经常出现的题型，尤其是在压轴题中，该模型主要考查的有高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角和定理等）；对于初学者来说，设角的未知数，再通过设的角表示其他角，就可以搭建关联角之间关系的桥梁；本专题主要讲解双角平分线模型，可以帮助学生快速得到角的关系，求出所需的角，运用结论做题，事半功倍，但需要注意特殊题型要特殊分析。 1 模型趣事 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到24-25世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）（1）在中，，图1，是两内角平分线的夹角；图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1，______；如图2，______；如图3，______； （2）如图4所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，，求的度数． 【答案】（1），，；（2）． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）如图1，由角平分线的定义得出，，再结合三角形的内角和定理得出计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，由角平分线的定义得出，，由邻补角结合三角形内角和定理求出，从而得到，再运用三角形内角和定理求解即可； （2）由题意得出，，，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得出，再由三角形内角和定理得出，即可得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：（1）如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 如图2： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 如图3， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∴． 故答案为：，，． （2）解：∵的三等分线、和的平分线相交于点和点， ∴，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线，的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得的结果，再由角平分线的定义可推出的结果，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）①设，由三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，由角平分线的定义可推出，则，据此由三角形内角和定理可得答案；②同（2）①求解即可； （3）由角平分线的定义和三角形外角的性质可证明；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可求出， 则可得到；再分和两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 例2（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，已知分别平分和， ，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴． 例3（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 【答案】/125度 【分析】首先由三角形内角和定理求出，然后结合角平分线求出，然后证明，即可得到． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 例4（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，是的角平分线，点D在边上（点D不与点A，B重合），与交于点O． (1)若，是高，求的度数； (2)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的角平分线的定义求出的度数，再根据三角形的外角定理即可求解； （2）根据三角形的角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和定理得到即可求解． 【详解】（1）解：在中，为角平分线，， ∴（角平分线的定义）， ∵为高， ∴， ∴， 则的度数为； （2）解：， ∵在中，为角平分线，为角平分线， ∴，（角平分线的定义）， ∴， 在中，． 例5（2026七年级下·江苏·专题练习）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) ；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题关键是利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和的关系进行转化．本题先求出，再利用即可求解． 【详解】解：如图，延长和交于点G， ∵， ∴ ， ∴， ∵的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∴ 故选：C． 例2（25-26七年级下·广西桂林·期末）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得即可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确． ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 综上正确的有：①②④． 故选：D． 例3（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 例4（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再结合三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分外角， ∴，． ∵，， ∴． 例5（25-26七年级下·山东潍坊·期中）已知，直线，点为平面上一点，连接与． (1)如图1，点在直线，之间，当，时，求的度数； (2)如图2，点在直线，之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点落在直线的下方，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，进而得到，同理可得，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，进而得到，同理可得，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵，∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 如图2，过作， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作， 同理可得， ∵与的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 如图3，过作， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作， 同理可得， ∵与的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 例2（25-26八年级上·安徽·月考）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 例3（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点．有下列结论：①；②；③；④；⑤．所有正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【分析】根据角平分线的定义及三角形外角的性质可求出的度数，判定①；根据角平分线的定义及三角形内角和定理可求出的度数，判定②；根据内外角平分线的性质求出，进而求出，再求出，判定③；根据邻补角的角平分线互相垂直判定④；根据平行线的判定条件分析⑤． 【详解】解：平分，平分， ，， ，， ， ， ，故①正确； ，分别平分，， ，， ，故②错误； 平分，平分， ， ， 如图， 平分，平分 ，， ， ，故③正确； 平分，平分， ， ，故④正确； 若，则， ， ，即，题目未给出，故⑤不一定正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 例4（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和，推导出． （2）先证，然后根据求出，再根据三角形的外角性质得到关系式，求解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ． （2）解：平分，平分， ，， ， ，即， ， ，解得， 设，， ∴，， 解得． 例5（25-26七年级下·山东淄博·期中）综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用．问题情境：学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点P是和的角平分线的交点，则． 证明如下：∵是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∴ 拓展创新： (1)如图2，若点P是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗?若成立，给出证明：若不成立，写出正确的结论并证明． 应用计算： (2)如图3，已知，点，分别在射线，上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．试问的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围． 【答案】(1)前进小组的结论不成立，理由见解析 (2)的大小不发生变化且始终为． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据三角形的外角性质可得，根据角的平分线定义可得，；推得；根据三角形的外角性质可得，推得，即可求解． 【详解】（1）解：前进小组的结论不成立，理由如下， ∵点P是两外角平分线的交点， ∴ ， 在中，； （2）解：的大小保持不变．理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 即， 又∵， ∴， 故的大小不发生变化且始终为． 1．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，、分别平分，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义推出，则可由三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点P；和的平分线交于点，…以此类推得到，若度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的外角性质．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵的内角与外角的平分线交于点P， ∴，， ∵，， ∴， 同理可得，… 以此类推，得到， 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在中，，的平分线相交于点O， 、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线，三角形的高，三角形的内角和以及外角的性质等，根据三角形高的定义，三角形外角的性质求出，再根据三角形高的定义，三角形内角和定理求出，，根据三角形角平分线的定义可求出，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，是高， ∴，即， 又是高， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 4．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，点在延长线上，，分别平分，，，垂足为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线性质、三角形外角定理和三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由题意得，，利用三角形外角定理得求得，即可求得答案． 【详解】解：，分别平分，， ，． ， ． ． ， ． 故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 先利用角平分线得到相关角的度数，再结合三角形外角性质求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分的外角，， ∴, ∵是的外角, ∴, ∴． 故选：． 6．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，的两外角，的平分线交于点P，．则_______． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，涉及了三角形的外角的定义及性质，由题意得：，求出，推，进而得，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 7．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的外角，和分别是和的平分线，反向延长和交于点．若，则的度数为（   ） A．60° B．55° C．50° D．45° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和与角平分线．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线有关计算，是解题的关键． 根据三角形的外角性质得，根据角平分线定义和对顶角性质得再根据三角形的内角定理即可得到． 【详解】解：∵和是的外角， ∴， ∴． ∵和分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，外角的平分线交的延长线于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 根据角平分线的定义可得，再根据，得出，先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理即可判断②正确；先根据三角形的外角性质可得，再结合结论①即可判断②正确；根据角平分线定义和结论①即可判断③正确；假设④正确，从而可得，再根据结论①可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵平分为外角的平分线， ， ， ， 平分， ， ，故②正确； ∴， 故③正确； 又 ∵， ， ∴，结论①正确； 假设， 解得， ∴，由已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论④错误； 故①②③正确，共3个， 故选：C． 9．（25-26八年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，已知、分别平分和，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得出， 根据角平分线的定义得出，在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， 、分别平分和， ，， ， 在中，． 10．（24-25七年级下·山东烟台·阶段检测）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，延长线交的外角平分线于点，若比大，则的度数是______． 【答案】/80度 【分析】先由、分别是及其外角平分线，得出，再由比大，根据三角形内角和定理求出然后由角平分线及外角的性质即可得出的度数． 【详解】解：平分， ，， 平分的外角， ， ， 即， ， ， ，． 平分， ， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的度数为 ________ ． 【答案】/64度 【分析】首先利用平分，平分，，得出平分，，，进而求得，根据折叠可知，得出，，进而得出，最后利用解答即可． 【详解】解：如图，连接，作于点L，于点M，于点N， 平分，平分， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∵将纸片沿折叠， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，的角平分线相交于点P，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由是的平分线，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，的两个外角平分线和相交于点，连接，若，则_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形的外角的性质，根据题意得出，，进而根据三角形的外角的性质得出，即可求解．． 【详解】解：∵的两个外角平分线和相交于点， ∴， ∴ 故答案为：． 14．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质和判定，证明平分是解题的关键． 首先在中根据三角形的内角和定理求出的度数，再构造角平分线向角两边的垂线进而得到即可证明平分，因此可以求出的度数，最后在中根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 如图，作于点H，作于点I，作于点J， ∵平分，交的平分线于点， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 15．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图，，直线与直线分别交于点与点，平分平分． (1)求证：； (2)是直线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点，设． ①当点在点的左侧时，依据题意在图中补全图形，若，则_____． ②当点在运动的过程中，直接写出和之间的数量关系_____． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的性质得到，最后再由三角形内角和定理求证即可； （2）①由角平分线得到，即，再由平行线得到，，而，即可等量代换求解； ②分两种情况，利用平行线的性质和角平分线的定义推导之间的数量关系即可． 【详解】（1）证明：∵平分平分， ∴， 即 ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：①如图， ∵平分 ∴，即 ， ∴ 又， ， ∵ ∴ ， ∵， ∴； ②当点在点的左侧时，由①知：； 当点在点的右侧时，如图： ∵平分 ∴，即 ， ∴ 又， ， ∴ ∵ ∴ ， 综上：或． 16．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）通过角平分线定理，再结合三角形内角和为，推导出各图中与的关系； （2）若选择图1，由角平分线定理得，，再结合内角和，可推出；若选择图2，由角平分线定理得，，再结合三角形内角和为，可推出；若选择图3，由角平分线定理得，，可推出． 【详解】（1）解：如图1，； 如图2，； 如图3，； （2）证明：选择图1， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 或选择图2， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴. ∵， ∴； 或选择图3， ∵平分，平分 ∴，. ∴， ∴. 17．（25-26七年级下·江苏盐城·开学考试）研究不同情况下角的大小关系，并完成下列各题： (1)如图1，小宝画了一个角，点、分别在射线、上移动，的角平分线与交于点．试问：随着点、位置的变化，的大小是否会变化？若不变，请求出的度数；若变化，求出变化范围． (2)聪明的小宝想出了一个画角的方法：如图，①画两条相交的直线、，使，②在射线、上分别再任意取、点，③作的平分线，的反向延长线交平分线于点，则就是的角．你认为小宝的方法正确吗？请你说明理由． (3)聪明的小宝自编了一道题：如图，、、三点共线，、分别平分、，若，，请用含，的代数式来表示．(直接写结果) 【答案】(1)不会变化， (2)正确，理由见解析 (3) 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）先根据角平分线的定义可得，，再利用外角的性质可得，，然后整理可得答案； （3）由（2）得，再利用三角形外角的性质整理可得答案． 【详解】（1）解：的大小不会变化． ， ． 点是两条内角平分线的交点， ， ； （2）解：正确．理由如下， 、分别平分和， ，， 由三角形外角的性质可得， ，， ， ， ； （3）解：由（2）可得，， ， ， ， ， ， ． 18．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 19．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则___________；若，则________； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) ； ； (2)，证明见解析； (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， ∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． 若， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： (2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；②当时，则是钝角三角形；当时，则是直角三角形；当时，则是锐角三角形. 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键. （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理即可得解； （3）①延长交于点Q，由（2）可知，，则，又由即可得到；②根据α的值的情况，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵是的内角与的平分线和的交点， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）； 理由：∵是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ， 在中， ； （3）①， 如图，延长交于点Q， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则，则是钝角三角形； 当时，则，则是直角三角形； 当时，则， ∵是四边形的外角与的平分线和的交点， ∴， ∴是锐角三角形． 21．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线，且、相交于点D．    (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若的角平分线交于点O，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、角平分线的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义得，，再根据外角的定义得，则，，进而可得结论； （2）根据外角的定义得，根据角平分线的定义得，，则，根据三角形内角和定理求出，再结合（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵为的角平分线，为的角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为的一个外角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， 由（1）得， ∴． 22．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $