专题08 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理了三角形倒角模型的知识体系，将燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型的条件、结论及证明过程按“模型来源-核心结论-拓展应用”的逻辑组织，清晰呈现各模型的内在联系与角度计算重难点。 讲义亮点在于“真题现模型”的练习设计，如2025山东济宁模拟题探究“规形图”角度关系，结合“内翻腋下和等上下和”等口诀强化模型意识，通过基础例题与拓展题分层训练，帮助学生发展推理能力，教师可据此实施精准复习教学。

专题08 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （2025·山东济宁·模拟检测）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． （2025·广东汕头·模拟检测）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 初步运用 （2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则 ．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）． 拓展提升 （3）如图④，在四边形中， ，分别平分外角，，设，试说明与的数量关系． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，点、分别在线段、上，连接、，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 例3（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，某工人加工一个机器零件， ，则_______． 例4（2026七年级下·江苏·专题练习）如图（1），点D在内部．求证： (1)； (2) (3)如图（2）如果点D在内部，且在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 例5（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)若，判断的形状，并说明理由． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 例2（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    例3（24-25七年级下·四川资阳·期末）在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由． 模型3.翻角模型 例1（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是(　　) A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在中，，，点、分别在、上，将沿直线翻折得到，点的对应点为点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为___________°． 例4（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 例5（25-26七年级下·全国·单元测试）发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在边、上，将沿着折叠压平使A与重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025九年级·全国·专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．118° C．100° D．90° 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，将三角形纸片沿折叠．当点A落在四边形的外部时，测量得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 8．（2025九年级·全国·专题练习）如图，若，则____________． 9．（2025八年级上·山东济宁·专题练习）如图，沿折叠后，点落在边上的处，若点为边的中点，，则的度数为___________． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为______． 11．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 12．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 13．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，，，，若，则的度数为________． 14．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 15．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 16．（25-26七年级下·重庆万州·期中）如图，在中，为中点，点、分别在、边上，且满足，，连接、，若的面积为，则四边形的面积为____． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，线段，垂足为，线段分别交，于点，，连接，．则的度数为__________． 18．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则_____． 19．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）完成下列题目 【初步感知】 (1)如图1，，连接．若，求的度数； 【拓展延伸】 (2)如图2，，连接，点E、F在与之间，且位于的异侧，连接、、，过点F作交于点G，试说明； 【类比探究】 (3)如图3，，点E、F、P在与之间，连接、、、，交于点O，，，若，，求的度数． 20．（25-26七年级下·河南周口·期中）在三角形中，，，平分交于点为射线上一点，过点向直线的右侧作射线，使，作的平分线交射线于点． (1)如图1，点在的延长线上， ①若，的度数为__________； ②求的度数（用含的式子表示）； (2)点在线段上滑动，当存在时，直接写出的度数（用含α的式子表示）． 21．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，平分交于点，且． (1)若，且，求的度数． (2)过点作的角平分线，角平分线所在的直线与所在直线交于点． ①如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由． ②若为直线上的一个动点（不与重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）． 22．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线，射线，交于点，点为直线之间左侧一点，连接． (1)求证：； (2)试探究、与这三个角之间的数量关系，并说明理由； (3)点为直线上的一个动点，平分交直线于点，若，，请直接写出的度数． 23．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读下列材料，回答问题． 如图①所示的图形，像我们生活中的物品--回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： (1)如图①，试猜想、、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则___________； (3)如图③，在四边形中，与的角平分线交于点，若，，则___________． 24．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，直线，分别交，于点M、N，射线、分别从、同时开始绕点M顺时针旋转，分别与直线交于点E、F，射线每秒转，射线每秒转，，分别平分，，设旋转时间为t秒（）． (1)①用含t的代数式表示：________，________． ②当时，________； (2)当时，求出t的值； (3)试探索与之间的数量关系，并说明理由． (4)若的角平分线与直线交于点K，的度数是________． 25．（25-26七年级上·重庆·期末）已知，，． (1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示） (2)如图2，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，点为射线上一动点，交直线于点，若，，直接写出的度数． 26．（25-26七年级下·全国·单元测试）【课本再现】（1）如图①，直线经过点，，，．则的度数为_________，的度数为_________，的度数为_________； 【类比探究】（2）在（1）中，如果不知道，的度数，你能说明为什么三角形的内角和是吗？请写出你的证明过程； 【拓展应用】（3）如图②，已知是三角形外一点．猜想，，，之间的数量关系，并说明理由． 27．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）【模型探究】（1）如图1，已知线段相交于点O，连接，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型． 甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵，∴ 同理可得，_____． 又∵， ∴． 乙同学证明：∵是的外角，∴， 同理可得，______． ∴． 【模型应用】 （2）如图2，已知线段相交于点O，连接分别平分． ①若，求的度数． 解：∵分别平分， ∴． 由“八字”模型知……（求解过程缺失） 请补全上面的求解过程； ②若，直接写出______（用含有和的代数式表示）． （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，则的度数为______． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，，，试问与、之间的数量关系为：______．（用、表示）； 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （2025·山东济宁·模拟检测）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． （1）根据题意连接并延长至点，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由可知，根据、的平分线交于点P，得出，，求出，因为，即可求解；     ②由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， 根据外角的性质，可得，， 又 ∵， ． （2）解：①由（1）可得，， ∵、的平分线交于点P， ∴，， ∴， 又 ∵， ． ②由（1）可得，， ， 又 ∵平分平分， ， ． （2025·广东汕头·模拟检测）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 初步运用 （2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则 ．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）． 拓展提升 （3）如图④，在四边形中， ，分别平分外角，，设，试说明与的数量关系． 【答案】（1） （2）， （3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，四边形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． (1)根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． (2)先由邻补角性质求出，再根据三角形外角性质、角平分线的定义计算即可． (3)利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可． 【详解】（1），， ， ； （2）， ， ， ， ，分别平分外角，， ，， 即， 故答案为：，； （3），分别平分外角，， ，， 即． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，点、分别在线段、上，连接、，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∴． 例2（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 【答案】60 【分析】过点H作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：过点H作，设与交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 例3（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，某工人加工一个机器零件， ，则_______． 【答案】50 【分析】连接，利用三角形内角和定理得出，接着求得，再在中利用三角形内角和定理求出的度数，根据对顶角相等得到的度数，最后在 中利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接， ∵在中，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 例4（2026七年级下·江苏·专题练习）如图（1），点D在内部．求证： (1)； (2) (3)如图（2）如果点D在内部，且在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，由此即可证明问题； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此即可证明问题； （3）由三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：延长，交于点E，如下图 ， ． （2）证明：如图（1） ， ． （3）解：，理由如下： 连接，如下图 ，， ， ． 例5（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）先求出，再根据三角形外角的性质计算即可； （2）设，则，根据三角形外角的性质得到，，可知，根据得到，计算的和即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【答案】/125度 【详解】解：连接，∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，∵， ∴， ∴．故答案为：． 例2（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过点作，∵，，，          ，． （2），，．故答案为：． （3），，，；答案：； （4），，， ，， ．故答案为：． （5）如图，连接，，， ， ，， ．故答案为：． （6）如图，过点作，则， 由（1）知，，， ，，，， 、分别是和，， ，．故答案为：． （7），理由如下：由（1）知，，，、分别为和的角平分线， ，， ，， ，即． 例3（24-25七年级下·四川资阳·期末）在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，见解析(3)，见解析 【详解】（1）连接，∴， ∵是的外角，∴，∵是的外角，∴， ∴，即， ∵，，∴； （2）∵，，∴， ∵，∴，即， （3）∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，即 模型3.翻角模型 例1（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，折叠变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， ， ． 故选：D． 例2（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在中，，，点、分别在、上，将沿直线翻折得到，点的对应点为点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠性质，平行线的性质，三角形内角和性质，三角形的外角性质，根据三角形的内角和性质得，再结合折叠得出，然后结合得出，最后运用三角形的外角性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 例3（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为___________°． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，把握折叠的不变性是解题的关键． 分两种情况讨论，画出示意图，根据折叠的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当点在上时， 由折叠得， ， 那么此时，记与交于点G， ∴， ∵， ∴； 当点在上时， 由折叠知， 当点在上时，则， ∴， ∴， 综上：当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为或， 故答案为：或． 例4（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 例5（25-26七年级下·全国·单元测试）发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 【答案】（1），见解析 （2） （3），见解析 【分析】本题主要考查三角形的折叠问题，熟知三角形的内角和定理的折叠的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，结合整体思想即可解决问题． （2）根据（1）中结论求出的度数，再根据三角形内角和定理得出的度数，最后用整体思想即可解决问题． （3）根据与及与的关系即可解决问题． 【详解】解：．理由如下： 由折叠可知， ，，． ， ，， ． ， ， ． 故与的关系是：． ，， ， ， ． 平分，平分， ，， ， ． ． 证明：，， ，． ， ， ， ， 即． 又， ， 即． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出，，再根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在边、上，将沿着折叠压平使A与重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据折叠的性质得到，，最后利用平角的定义表示出和，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴在中，， 由折叠的性质可得，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ． 4．（2025九年级·全国·专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 5．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．118° C．100° D．90° 【答案】B 【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论． 【详解】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°． 由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED， ∴∠CED＝＝99°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°， ∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，将三角形纸片沿折叠．当点A落在四边形的外部时，测量得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四边形内角和定理得到，利用折叠的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解： ． 故选： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，四边形内角和定理和三角形内角和定理，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 7．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB， ∵∠BA'C=120°， ∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A， ∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'， ∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型． 8．（2025九年级·全国·专题练习）如图，若，则____________． 【答案】230° 【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论． 【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质． 9．（2025八年级上·山东济宁·专题练习）如图，沿折叠后，点落在边上的处，若点为边的中点，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】先通过折叠和中点的性质分别得出、，等量代换得到，再通过等腰三角形等边对等角性质求出角度，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点为边的中点， ∴． ∵沿折叠， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵内角和为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、三角形中线的性质、等腰三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为______． 【答案】/32度 【分析】利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 11．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 【答案】 【分析】先由三角形外角的性质求得，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ 在中， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，正确识图是解题的关键． 12．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①110；②260 (2)①85；②99；③142；④ 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得，代入计算即可； （2）①同理可得，代入计算可得； ②同理可得，代入计算即可； ③利用计算可得； ④根据两个凹四边形和得到两个等式，联立可得结论． 【详解】（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④， ， 联立得：． 所以． 【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 13．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，，，，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，设，，，，根据平行线性质得出，求出，求出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，设，，，， ， ， ， ， ， ， ． 14．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质利用三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：， 中，， 又，， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·重庆万州·期中）如图，在中，为中点，点、分别在、边上，且满足，，连接、，若的面积为，则四边形的面积为____． 【答案】 【分析】连接，过点作，过点作，由为中点得到，根据，，推出，，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，过点作， 为中点， ， ，， ， ，， 四边形的面积为， 故答案为：． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，线段，垂足为，线段分别交，于点，，连接，．则的度数为__________． 【答案】/270度 【分析】根据三角形的内角和定理和对顶角的性质可求出，，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为： 18．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质和判定，证明平分是解题的关键． 首先在中根据三角形的内角和定理求出的度数，再构造角平分线向角两边的垂线进而得到即可证明平分，因此可以求出的度数，最后在中根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 如图，作于点H，作于点I，作于点J， ∵平分，交的平分线于点， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 19．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）完成下列题目 【初步感知】 (1)如图1，，连接．若，求的度数； 【拓展延伸】 (2)如图2，，连接，点E、F在与之间，且位于的异侧，连接、、，过点F作交于点G，试说明； 【类比探究】 (3)如图3，，点E、F、P在与之间，连接、、、，交于点O，，，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，，根据，得出，再根据角度间的数量关系，得出答案即可； （3）根据解析（2）可得：，结合，，求出，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）解：因为，， 所以， 所以，， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． （3）解：同（2）可得：， 所以， 因为，， 所以， 因为，， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以的度数为． 20．（25-26七年级下·河南周口·期中）在三角形中，，，平分交于点为射线上一点，过点向直线的右侧作射线，使，作的平分线交射线于点． (1)如图1，点在的延长线上， ①若，的度数为__________； ②求的度数（用含的式子表示）； (2)点在线段上滑动，当存在时，直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）首先解得的值，结合角平分线的定义可得，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，再求得的值，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）分为点在线段上和当点在线段上两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ①当，则； ②； （2）解：当点在线段上时，如下图， ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如下图， 此时的平分线与射线没有交点． 综上所述，的度数为． 21．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，平分交于点，且． (1)若，且，求的度数． (2)过点作的角平分线，角平分线所在的直线与所在直线交于点． ①如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由． ②若为直线上的一个动点（不与重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）由题意得，根据平行线的性质得，，再根据角平分线的性质得，即可求解； （2）①设，则，根据平行线的性质得，，根据角平分线的性质得，，过点作直线，得到，即可得出结论； ②分两种情况：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ，， ，， ∵平分， ， ； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 设，则， ∵， ，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， 过点作直线，如图： ，， ， ∵， ∴； ②当点在点右侧时，过点作，如图： 设，则， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， ，， ， ∵， ∴； 当点在点左侧时，如图，在延长线上取点K， 设，则， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴， ∵， ， 综上，或． 22．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线，射线，交于点，点为直线之间左侧一点，连接． (1)求证：； (2)试探究、与这三个角之间的数量关系，并说明理由； (3)点为直线上的一个动点，平分交直线于点，若，，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由平行线的性质得到，可证，再由，进而证明即可； （2）由，，可得到，再利用三角形内角和求解即可； （3）设，则，利用建立方程得到，再由，列式运算出的值，分类讨论点的位置，过点作出平行线，利用角的等量代换运算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 由（2）可得：， ∴， ①在点左侧时， ∵平分， ∴， 过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴； ②在点右侧时，， ∵平分， ∴， 过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上的度数为或． 23．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读下列材料，回答问题． 如图①所示的图形，像我们生活中的物品--回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： (1)如图①，试猜想、、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则___________； (3)如图③，在四边形中，与的角平分线交于点，若，，则___________． 【答案】(1)，理由见详解； (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质：（1）连接并延长至E，根据三角形内角和定理得到，，再结合即可得到答案；（2）根据三角板得到，由（1）的结论同理即可得到答案；（3）根据（1）的结论先求出，再结合角平分线，即可得到答案； 【详解】（1）解：，理由如下， 连接并延长至E，如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵三角尺的两条直角边、恰好经过点、， ∴， 由（1）得， ， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由（1）可得， ，， ∵，， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，直线，分别交，于点M、N，射线、分别从、同时开始绕点M顺时针旋转，分别与直线交于点E、F，射线每秒转，射线每秒转，，分别平分，，设旋转时间为t秒（）． (1)①用含t的代数式表示：________，________． ②当时，________； (2)当时，求出t的值； (3)试探索与之间的数量关系，并说明理由． (4)若的角平分线与直线交于点K，的度数是________． 【答案】(1)①，；② (2) (3)，证明见解析 (4) 【分析】（1）①由题意不难得出，继而得到； ②由平行线的性质可得，再结合平分，即可求解； （2）由平行线的性质可得，再结合与平行线的性质，从而求得，结合已知条件，即可求解； （3）分别用含t的代数式表示出和的度数，再结合三角形内角和，可表示出，进行比较即可求解； （4）可把的和用含t的代数式表示出来，再结合三角形内角和，求出的度数即可． 【详解】（1）解：①由题意得：， ，， ， ②， ， 平分， ， 当时，． （2）解：， ， ，，， ， ， 即， 解得 ． （3）解：，理由如下： 分别平分，由（2）得， ， 由（1）得， 在中， ， ． （4）解：如图所示： 由（2）得， ， 是的平分线， ， 由（1）得， ， 在中， ． 25．（25-26七年级上·重庆·期末）已知，，． (1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示） (2)如图2，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，点为射线上一动点，交直线于点，若，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)的度数为或 【分析】（1）首先构造，根据，得到，再根据得到，再利用得到即可求解的度数； （2）首先构造，根据的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点得到，，再根据，得到，，即可求解的度数； （3）分为点K在角平分线上和点K在角平分线的反向延长线上两种情况进行讨论，当点K在角平分线上时，根据（1）（2）中的结论得到，， 再根据和对顶角相等得到，进而结合三角形的内角和定理得到即可求解的度数；当点K在角平分线的反向延长线上时，根据得到，进而得到结合三角形的内角和定理即可求解的度数． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点G作， 由（1）得：， ∵的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①：如图，当点K在角平分线上时，设交于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∵， ∴； ②：如图，当点K在角平分线的反向延长线上时， 由①得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的度数为或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理，构造辅助线、分类讨论是解题的关键． 26．（25-26七年级下·全国·单元测试）【课本再现】（1）如图①，直线经过点，，，．则的度数为_________，的度数为_________，的度数为_________； 【类比探究】（2）在（1）中，如果不知道，的度数，你能说明为什么三角形的内角和是吗？请写出你的证明过程； 【拓展应用】（3）如图②，已知是三角形外一点．猜想，，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；；（2）证明见解析（3）．理由见解析 【分析】（1）利用平行线的内错角相等性质，先求出和，再根据平角为求出； （2）通过作平行线，将三角形的三个内角转化到一个平角中，从而证明三角形内角和为； （3）通过连接，利用三角形内角和定理及角的和差关系，推导出、、、之间的数量关系． 【详解】解：（1）∵， ∴，． ∵，，共线，， ∴． 故：，，． （2）， ，． ， ，即三角形的内角和为． （3）．理由如下： 由（2）知，三角形内角和为， ，． ，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理及角的和差关系，解题关键是通过作辅助线，将分散的角转化到同一平角或三角形中，利用平行线性质和内角和定理进行推导． 27．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）【模型探究】（1）如图1，已知线段相交于点O，连接，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型． 甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵，∴ 同理可得，_____． 又∵， ∴． 乙同学证明：∵是的外角，∴， 同理可得，______． ∴． 【模型应用】 （2）如图2，已知线段相交于点O，连接分别平分． ①若，求的度数． 解：∵分别平分， ∴． 由“八字”模型知……（求解过程缺失） 请补全上面的求解过程； ②若，直接写出______（用含有和的代数式表示）． （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，则的度数为______． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，，，试问与、之间的数量关系为：______．（用、表示）； 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及对顶角相等． （1）通过三角形内角和定理以及外角建立角之间的关系； （2）①根据“八字”模型可知，，结合即可得到度数； ②将①中所求的整理一下即可； （3）设，，在两个三角形内，根据对顶角相等找到等量关系，得到，在另外两个三角形中，根据同样的办法得出新的等量关系，将代入即可； （4）通过识别图形中的 “飞镖” 结构，建立角的等式，再结合题目给出的角的比例关系，联立方程消去中间角，最终推导出数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴ 同理可得，． 又∵， ∴． 乙同学证明：∵是的外角， ∴， 同理可得，． ∴． 故答案为：；． （2）解：①∵分别平分， ∴． 由“八字”模型知： 在和中，， 在和中，， 将两式相减得：， ， ． ， 解得：． ②， ． 故答案为：． （3）解：直线平分平分， 设，， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 即． 故答案为：． （4）， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $