专题09 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理三角形倒角模型知识体系，将“8”字模型、“A”字模型、三角板模型按“模型来源-提炼特征-结论证明”逻辑呈现，用对比表格归纳基础型与加角平分线等变式的条件及结论，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于“真题-模型-应用”的递进式练习设计，如三角板旋转求角度、“8”字模型结合角平分线证明等例题，培养几何直观与推理能力。基础题巩固模型应用，综合题提升解题技巧，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准分层教学。

专题09 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近几年各地的考试中出现不少的几何倒角模型，属于几何题型中较难的一类题目，主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·山东·模拟预测）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（   ） A． B． C． D． （2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，平分交的延长线于点，交于点，，过点作交于点，则的度数为 ． （2025·四川成都·一模）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）将一副三角板如图放置，，使点在上，，则是______度． 例2（25-26八年级上·全国·期末）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则________ ． 例3（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，平分平分，求的度数． 例4（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 例5（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与实践 已知直线，直线分别交、于点A、B．点C在直线上且在点B的左侧，点D在直线上且在点A的右侧，E是直线上的动点，且不与A、B重合．连接，设，． (1)如图1，当点E在线段上，且，时，求的值． (2)如图2，当点E在线段的延长线上，且时，请写出，之间的数量关系，并证明． (3)如图3，分别作和的平分线相交于点G，则________．（用含，的代数式表示） 模型2.“A”字模型 例1（2025八年级·江苏无锡·竞赛）如图，把一块三角板与一把直尺按如图方式摆放，若，则（   ） A． B． C． D． 例2（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，为中点，，若的面积为10，若的面积为________． 例4（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 例5（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，且， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 模型3.三角板模型 例1（24-25七年级下·全国·周测）将一副直角三角板按图所示的方式放置，使含角的三角板的较短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的角度为（    ） A． B． C． D． 例3（25-26七年级上·江西景德镇·期末）一副三角板如图放置，将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的任意一边所在的直线与的一边垂直，则的度数为______． 例4（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与三角板的一条边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 例5（2026七年级上·江苏南京·专题练习）如图1，在一副三角板中，，，． (1)如图2，若一副三角板的直角顶点重合． ①当时，求的大小；②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由；③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为 ． (2)如图3，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒（），若边与三角板的一条直角边平行时，的值为 ． 1．（2026·安徽·二模）与如图放置，点D在上，点E在上，，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽安庆·模拟预测）一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，，的平分线交于点，交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，线段，交于点O，点E在的延长线上，，分别平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东清远·二模）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为______． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点，，有下列结论：①；②若，则；③若，则；④，正确的是__________（填序号）： 7．（25-26八年级上·四川成都·期末）一副直角三角板如图放置，其中，，，点在的延长线上．若，则等于__________． 8．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，平分，点为延长线上一点，过点作交于点，，则________． 9．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为______； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为______． 11．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，沿射线平移得到、、、在同一直线上，平分，求的度数． 12．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，E，F分别在和上，，于点G． (1)试说明：与互余； (2)若，判定与的位置关系，并说明理由． 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）按要求完成下列各题： (1)如图①，在四边形中，，点是线段上一点．求证：； (2)如图②，若平分，． ①请动动你聪明的头脑，你会发现： _________； ②如图③，若的平分线与的延长线交于点，与交于点，且，求的度数． 14．（25-26八年级上·四川甘孜·期末）如图，中，，点在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)若，且比小，求的度数． 15．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，已知是的角平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 16．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如图1把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，斜边与交于点． (1)如图1，______，______； (2)如图，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，求出此时，的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图2，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，设旋转时间为（），在旋转过程中，当第一次时，的值为______． 17．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，点F是上一点，点E、N是上两点，连接、，过点E作交于点H，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，平分，过点F作于点K，，求的度数． 18．（25-26七年级下·天津·月考）如图1，已知直线，且和和分别相交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上． (1)若，，则______； (2)已知，点，在上，点，在上，连接，，，分别是，的平分线，，． ①如图2，的度数为______； ②如图3，将线段沿方向平移，其他条件不变，求的度数． 19．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，平分，是AC上一点，过点作交于点，点在上且满足． (1)在图中还存在一组平行线，请找出来，并说明理由； (2)若于点，，求的度数． 20．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）【模型探究】（1）如图1，已知线段相交于点O，连接，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型． 甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵，∴ 同理可得，_____． 又∵， ∴． 乙同学证明：∵是的外角，∴， 同理可得，______． ∴． 【模型应用】 （2）如图2，已知线段相交于点O，连接分别平分． ①若，求的度数． 解：∵分别平分， ∴． 由“八字”模型知……（求解过程缺失） 请补全上面的求解过程； ②若，直接写出______（用含有和的代数式表示）． （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，则的度数为______． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，，，试问与、之间的数量关系为：______．（用、表示）； 21．（25-26七年级上·山东聊城·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；：     (1)若，则的度数为_______________．若，则的度数为_____________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)当，且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出角度所有可能的值并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由；若不存在，请说明理由． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近几年各地的考试中出现不少的几何倒角模型，属于几何题型中较难的一类题目，主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·山东·模拟预测）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由，得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． （2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，平分交的延长线于点，交于点，，过点作交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据角平分线的定义可得，运用三角形外角的性质可得，最后利用角的和差以及垂直的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2025·四川成都·一模）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据同角的补角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用平行线的判定即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）将一副三角板如图放置，，使点在上，，则是______度． 【答案】 【分析】根据两直线平行，内错角相等求出，然后依据三角形内角和是求出的度数，结合等角的余角相等，即可求解． 【详解】解：根据题意可得在中，，在中，， ∵， ∴， 故在中，， 在中，， 又∵， 故． 例2（25-26八年级上·全国·期末）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则________ ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例3（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，平分平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和的性质得出，，两等式相减得到，由此可得出结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴． 例4（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由角平分线定义可得，从而有，然后通过平行线的判定方法即可求证； （）由平行线的性质可得，再通过三角形内角和定理求出，最后由角平分线定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 例5（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与实践 已知直线，直线分别交、于点A、B．点C在直线上且在点B的左侧，点D在直线上且在点A的右侧，E是直线上的动点，且不与A、B重合．连接，设，． (1)如图1，当点E在线段上，且，时，求的值． (2)如图2，当点E在线段的延长线上，且时，请写出，之间的数量关系，并证明． (3)如图3，分别作和的平分线相交于点G，则________．（用含，的代数式表示） 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）利用三角形内角和定理求得，再利用平行线的性质即可求解； （2）利用平行线的性质得到，再利用三角形内角和定理即可求解； （3）利用角平分线的定义求得，，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：．证明如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 模型2.“A”字模型 例1（2025八年级·江苏无锡·竞赛）如图，把一块三角板与一把直尺按如图方式摆放，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和可得，结合平角定理得，再相加即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ． 例2（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行性质得，，再根据得，整理变形得，根据三角形内角和定理得． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， ， ， ． 例3（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，为中点，，若的面积为10，若的面积为________． 【答案】 2.5/ 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例，根据三角形的中线的性质可得，根据平行线分线段成比例可得，再根据三角形中线平分三角形面积即可求解． 【详解】解：∵在中，为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5． 例4（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由已知的和邻补角利用同角的补角相等得到，从而判定；再结合的条件，分别运用两直线平行的性质，得到和，通过等量代换推出；最后利用平分得到，代换即可得； （2）代入第一问结论求，由且得，可得，最后在中用内角和定理即可算出． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 例5（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，且， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质及三角形内角和，解题关键是先利用“垂直于同一直线的两直线平行”和“等量代换”证明，再利用三角形内角和计算即可． （1）由、得，推出，结合已知等量代换得，由“同位角相等，两直线平行”得； （2）由得为直角三角形，先算出 ，再用即可求解的度数． 【详解】（1）证明： ， ， ， （2）解： 在中， ， ， ，， ， 故的度数为． 模型3.三角板模型 例1（24-25七年级下·全国·周测）将一副直角三角板按图所示的方式放置，使含角的三角板的较短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是三角形的内角和定理，对顶角相等，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 先通过三角形内角和为求出，然后通过对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：如图．由题意，得，，． 在中，， 所以． 故选：A． 例2（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】如图所示 由题意得∵ ∴ ∵ ∴ 故选：A． 例3（25-26七年级上·江西景德镇·期末）一副三角板如图放置，将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的任意一边所在的直线与的一边垂直，则的度数为______． 【答案】15°，45°或60° 【分析】分三种情况讨论：①当AD⊥BC时；②当DE⊥BC时；③当AC⊥DE时．根据平行线的性质及三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】①当AD⊥BC时，=90°-∠C=90°-30°=60°； ②当DE⊥BC时，∠BAD=180°-60°-45°=75°， ∴=90°-∠BAD=15°； ③当AC⊥DE时，DE//AB， ∴∠DAB=∠D=45°， ∴=90°-∠DAB=90°-45°=45°； 故答案为15°，45°或60°． 【点睛】本题考查了角度计算，注意分类讨论，保证分类的完整是成功解决本题的关键． 例4（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与三角板的一条边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①或；②1或4或7或13 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质得，结合角平分线求出，进而求出，最后由平角求出． （2）①分在右边和左边两种情况，根据旋转性质表示出，结合角平分线定义及角的和差关系列方程求解． ②分四种情况：当时，当，在下方时，当，在上方时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①依题意有以下两种情况： （ⅰ）当在的右边时，如图所示： 由旋转的性质得：， 由（1）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：； （ⅱ）当在的左边时，如图所示： 同理得：， ∴ 由得：， ∴， 解得：， 综上所述：的值为或； ②开始旋转时，如图所示： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∵平分， ∴绕点以每秒的速度逆时针旋转； ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴， 根据三角形内角和定理可得：， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当，在下方时，如图所示： 根据旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当，在上方时，如图所示： 根据旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上，的角平分线与三角板的一条边平行时，t的值为1或4或7或13． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及图形的旋转，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ）、角平分线的定义（将一个角分成两个相等的角 ）、三角形内角和定理（三角形内角和为 ）以及准确分析图形旋转过程中角的变化关系是解题的关键． 例5（2026七年级上·江苏南京·专题练习）如图1，在一副三角板中，，，． (1)如图2，若一副三角板的直角顶点重合． ①当时，求的大小；②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由；③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为 ． (2)如图3，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒（），若边与三角板的一条直角边平行时，的值为 ． 【答案】(1)①； ②，理由见详解； ③或； (2)或 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质是解题的关键． （1）①由题意易得，则有，然后问题可求解； ②由题意易得，然后可得，进而问题可求解； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，然后分两种情况进行分类求解即可； （2）由题意可分当时，当时，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，分两种情况： Ⅰ、如图，于，交于点， ∵， ∴， ∴； Ⅱ、如图，于，交于点， ∵，， ∴， ∴； ∴， 故答案为：或； （2）解：边与三角板的一条直角边平行时，分两种情况： ①当时，如图，延长交于点，延长交于点， 由题意得：，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ②当时，如图， 延长交于点，延长交于点， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：或． 1．（2026·安徽·二模）与如图放置，点D在上，点E在上，，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·安徽安庆·模拟预测）一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】∵，， ∴， 又∵， ∴． 3．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，，的平分线交于点，交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等得，，结合角平分线的定义推得，由三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：， ，， ， ， 平分， ， ， 中，， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握两直线平行内错角相等． 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，线段，交于点O，点E在的延长线上，，分别平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，先根据三角形内角和定理得出，结合，得出，根据角平分线的定义得出，，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，分别平分， ∴，， ∴． 故选：C． 5．（2025·广东清远·二模）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点，，有下列结论：①；②若，则；③若，则；④，正确的是__________（填序号）： 【答案】①②③ 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理，可判断①结论；根据角平分线的定义和平行线的判定和性质，可判断②③结论；根据三角形外角的性质，可判断④结论； 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ，②结论正确； ，且， ， ， ， ，③结论正确； ，且是的外角， ， 但由已知条件无法得出，即无法得出，④结论错误． 7．（25-26八年级上·四川成都·期末）一副直角三角板如图放置，其中，，，点在的延长线上．若，则等于__________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，关键是熟练运用平行线的角的性质以及三角板的固定角度进行角度计算．首先利用三角形内角和定理求出中的度数；再根据平行线的内错角相等，结合等腰直角三角板的角度求出的度数；最后通过角度的差计算出的度数． 【详解】解：在中，，， ； ，， ， ∵， ∴； ； 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，平分，点为延长线上一点，过点作交于点，，则________． 【答案】46 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，先证明，求解，进一步利用三角形的内角和定理计算即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴. 故答案为： 9．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___． 【答案】/40度 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用三角形内角和得到，再利用对顶角得到得到，所以①，同理可得②，接着把两式相加，然后利用角平分线的定义得到，从而可确定的度数． 【详解】解：∵， 而， ∴①， 同理可得②， 得， ∵和的平分线和相交于P点， ∴，， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为______； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，解题的关键是利用“8字型”图形中对顶角相等，结合三角形内角和推导角度关系． （1）利用三角形内角和定理，结合对顶角相等，推导、、、的等量关系； （2）设角平分线分成的角为相等的两部分，结合“8字型”角度关系，联立方程求解 【详解】（1）解：在和中， ∵ （对顶角相等），， ， ∴ ， 故答案为：． （2）解：设，， 由（1）得：， 两式相加得：，代入，，得， 解得， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，沿射线平移得到、、、在同一直线上，平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据平移的性质得出，则，求出，根据平分，求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵平移得到， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，E，F分别在和上，，于点G． (1)试说明：与互余； (2)若，判定与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质证明，再由三角形内角和定理说理即可； （2）先由平行得到，再由等量代换得到，即可证明平行． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴， 与互余； （2）解：，理由如下： ∵ ∴ 由（1）知 ∴， ∵ ∴ ∴． 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）按要求完成下列各题： (1)如图①，在四边形中，，点是线段上一点．求证：； (2)如图②，若平分，． ①请动动你聪明的头脑，你会发现： _________； ②如图③，若的平分线与的延长线交于点，与交于点，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）过点E作，则，由平行线的性质可得，，即可得证； （2）①由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理计算得出，即可得出结果；②由①知，则，先求出，再结合角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，最后由平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：过点E作，如图： ， ，     ，， ； （2）解：①， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②由①知， ， ，     ， 平分，平分， ， ， ， ， ． 14．（25-26八年级上·四川甘孜·期末）如图，中，，点在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)若，且比小，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，利用平行线的性质可知，已知，等量代换得，故可证与平行； （2）根据三角形内角和求出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ． （2）解：，， ， ． 由（1）知， ， ． 15．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，已知是的角平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到； （2）根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如图1把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，斜边与交于点． (1)如图1，______，______； (2)如图，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，求出此时，的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图2，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，设旋转时间为（），在旋转过程中，当第一次时，的值为______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先在直角三角形中求出的度数，再利用长方形直尺对边平行的性质，通过两直线平行，同位角相等，及邻补角性质求出、． （2）先根据平行线的性质和旋转角求出的度数，再结合平角定义表示；利用平行线的同位角相等求出，再通过邻补角关系表示． （3）先表示出旋转后和的度数，再根据平行线的同位角相等建立方程，求解的值． 【详解】（1）解：如图， ∵在中，，， ∴， 由题意可得， ∴，， ∵，， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图， ∵射线绕点以每秒逆时针旋转， ∴， ∴， ∵射线绕点以每秒顺时针旋转， ∴， ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴， 解得：． 17．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，点F是上一点，点E、N是上两点，连接、，过点E作交于点H，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，平分，过点F作于点K，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到、，进而得到，从而得出结论； （2）延长交于点，过点作交于点，根据平行线的性质得到，由角平分线定义得到，在中求出，进而得到，证明，进而得到和，根据得到，据此解答即可． 【详解】（1）证明：， 、， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：延长交于点，过点作交于点， 平分， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 18．（25-26七年级下·天津·月考）如图1，已知直线，且和和分别相交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上． (1)若，，则______； (2)已知，点，在上，点，在上，连接，，，分别是，的平分线，，． ①如图2，的度数为______； ②如图3，将线段沿方向平移，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出，再根据在中，，即可得到； （2）①利用平行线的定义结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案； ②利用平行线的性质结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ； （2）解：①过点作， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， 同理可求， ； ②过点作， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 19．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，平分，是AC上一点，过点作交于点，点在上且满足． (1)在图中还存在一组平行线，请找出来，并说明理由； (2)若于点，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质． (1)由可知，因为，根据同角的补角相等可得：，根据内错角相等，两直线平行可得； (2)根据垂直的定义可知，根据两直线平行，同位角相等，可得：，根据两直线平行，同位角相等，可得：，根据角平分线的定义可得，根据直角三角形两锐角互余，可得，再根据三角形内角和定理可得：． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 在中，， ． 20．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）【模型探究】（1）如图1，已知线段相交于点O，连接，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型． 甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵，∴ 同理可得，_____． 又∵， ∴． 乙同学证明：∵是的外角，∴， 同理可得，______． ∴． 【模型应用】 （2）如图2，已知线段相交于点O，连接分别平分． ①若，求的度数． 解：∵分别平分， ∴． 由“八字”模型知……（求解过程缺失） 请补全上面的求解过程； ②若，直接写出______（用含有和的代数式表示）． （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，则的度数为______． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，，，试问与、之间的数量关系为：______．（用、表示）； 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及对顶角相等． （1）通过三角形内角和定理以及外角建立角之间的关系； （2）①根据“八字”模型可知，，结合即可得到度数； ②将①中所求的整理一下即可； （3）设，，在两个三角形内，根据对顶角相等找到等量关系，得到，在另外两个三角形中，根据同样的办法得出新的等量关系，将代入即可； （4）通过识别图形中的 “飞镖” 结构，建立角的等式，再结合题目给出的角的比例关系，联立方程消去中间角，最终推导出数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴ 同理可得，． 又∵， ∴． 乙同学证明：∵是的外角， ∴， 同理可得，． ∴． 故答案为：；． （2）解：①∵分别平分， ∴． 由“八字”模型知： 在和中，， 在和中，， 将两式相减得：， ， ． ， 解得：． ②， ． 故答案为：． （3）解：直线平分平分， 设，， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 即． 故答案为：． （4）， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得． 21．（25-26七年级上·山东聊城·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；：     (1)若，则的度数为_______________．若，则的度数为_____________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)当，且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出角度所有可能的值并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，见解析 (3)存在，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 【分析】该题考查的是三角形内角和定理，平行线的判定与性质等知识．  （1）先根据直角三角板的性质求出及的度数，进而可得出的度数；由，，可得出的度数，进而得出的度数；  （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，可得出结论；  （3）分，，，及进行解答． 【详解】（1）解：，，  ，  ，  ．  故答案为；  ，，  ，  ．  故答案为； （2）猜想：．  理由如下：，  又，  ，  即； （3），，，，．  理由：当时，如图1所示：  ∴， ∴； 当时，如图2所示： ∴； 当时，如图3所示： ∴ ∴；  当时，如图4所示： ∴， ∴；  当时，延长交于F，如图5所示： ∴， ∵，， ∴， ∴． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $