第六章 导数及其应用（复习讲义）数学人教B版选择性必修第三册

该高中数学导数及其应用复习讲义以“基础-进阶-拓展”三级目标构建知识体系，通过十大知识模块系统梳理导数定义、几何意义、求导法则及应用，用步骤化框架呈现切线方程、单调性判断等核心方法，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖13类典型问题，从导数定义应用到含参函数零点综合题，通过例题与变式训练培养数学思维与逻辑推理能力。配套基础巩固与能力提升通关测，适配不同层次学生，助力教师实施精准分层教学。

第六章 导数及其应用（复习讲义） 基础目标 能复述平均变化率、瞬时变化率与导数的定义，准确说出导数的几何意义为曲线在某点处切线的斜率；能复述基本初等函数的导数公式与导数四则运算法则；会求简单函数的导数及曲线在指定点处的切线方程；能根据导数符号判断函数在给定区间上的单调性，会求基本初等函数的单调区间，完成基础选择、填空与简单计算题。 进阶目标 会推导导数的运算法则与复合函数求导法则，理解并应用求导公式解决含多项式、分式、根式的函数求导问题；理解并应用导数与函数单调性的关系，能由单调性确定参数取值范围；会求函数的极值与最值，区分极值与最值的概念；能解决切线方程、单调性、极值、最值的综合解答题，规范书写解题步骤，满足阶段考与高考中档题要求。 拓展目标 理解并应用导数研究函数的零点、不等式证明及恒成立问题，能构建函数模型解决实际应用问题；会处理含参导数的分类讨论，掌握数形结合、等价转化等思想方法；能综合运用导数与函数、方程、不等式知识解决高考压轴难度的综合题；能对复杂问题进行思路拆解、条件转化与严谨论证，达到高考高分与选拔性考查要求。 一、导数的定义及变化率问题 （1）在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有： （2）用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限 二、求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 三、求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 四、求不含参数函数单调区间的步骤： ①确定函数的定义域；②求导数.③由 (或),解出相应的x的范围， 当时, 在相应的区间上是增函数;当时, 在相应区间上是减函数；④结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用“,”隔开即可. 五、求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 六、函数与导函数图象间的关系 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 七、已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立. 八、由函数的极值确定参数的方法及注意事项： （1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值:； （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 九、不等式恒成立与存在性问题 (1)不等式恒成立问题的转化技巧 ① (或)恒成立⇔ (或)； ② (或)恒有解⇔ (或)； ③恒成立⇔ (其中); ④恒有解⇔ (其中). (2)对于函数,若存在,使得或成立,则或. 十、求含参数函数的单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点:①二次项系数a:②判别式Δ:③方程f′(x)=0根的大小: （4）结合定义域,画数轴、标根；（5）判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间. 注意:①讨论参数要全面,做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解. 题型1 导数定义的理解与应用 例1．已知函数，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】根据题意，故． 变式1-1．某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，运动员的滑雪瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，所以. 变式1-2．在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度（单位：m）是，则运动员的速度______m/s，加速度______． 【答案】 【详解】函数在处的瞬时速度，速度. 已知，   . . . 加速度， . ， . 变式1-3．设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因， 则， 于是． 题型2 导数的基本运算 例2．（多选）下列求导不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 变式2-1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，可得， 故. 变式2-2．（多选）下列求导数运算正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A：，故A正确； 选项B： ，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D： ， 故D正确. 变式2-3．设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 解得. 题型3 函数的切线问题 例3．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则， ，所以切线方程为，化简可得， 即函数的图象在点处的切线方程为. 变式3-1．若直线是曲线的一条切线，则___________． 【答案】 【详解】设切点为， 由于，则，解得， 于是切点为，则，解得． 变式3-2．函数在处的切线方程为______． 【答案】 【详解】由函数， 可得，且， 即切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. 变式3-3．已知函数． (1)求在上的最大值和最小值； (2)求过原点的切线方程． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)和 【分析】 【详解】（1）由得， 令得或， ，，，， 当在上变化时，的变化情况如下表： 0 2 3 0 + 0 0 因为， 所以在上的最大值为，最小值为． （2）因为， 所以在定义域上处处可导，即过原点的切线的斜率存在. 设过原点的切线与曲线的切点为，则切线斜率， 所以切线方程为， 由切线过原点得，即，解得或. 当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为； 当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． 综上，所求切线方程为和． 题型4 两函数的公切线问题 例4．若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 【答案】 【详解】由，得，，故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线重合，则，解得． 变式4-1．已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________. 【答案】 【详解】设曲线上的切点为，因为， 所以直线为，即. 设曲线上的切点为， 因为，所以直线为，即， 所以，解得， 所以， 所以在轴上的截距为. 变式4-2．若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 【答案】 【详解】对曲线函数求导得，对曲线函数求导得， 设切点，， 因为直线与曲线相切于点P，所以. 因为直线与曲线相切于点Q，所以. 所以，得到， 化简得，解得，所以. 变式4-3．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】2 【详解】由，则，则在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 设切线与曲线的切点为， 又，得， 则切点处的斜率必为1，且切点在切线上， 则，解得， 所以． 题型5 用导数求/判断函数的单调性 例5．下列函数中，在内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A项，在上单调递减，故A项错误； 对于B项，，由得，，则在内为增函数，故B项正确； 对于C项，，则在内单调递减，故C项错误； 对于D项，，由得，，则在内单调递减，故D项错误． 变式5-1．函数的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R. . 当或时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以排除B，C. 又当时，.所以排除A. 又当时，；当时，. 所以D选项符合. 变式5-2．函数的单调递增区间为________． 【答案】 【详解】由导函数，得， 所以， 即函数的单调递增区间为． 变式5-3．已知函数，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，且. 即为上的奇函数. 求导得. 故在上单调递增. 原不等式等价于. 由单调性得，即，解得或. 题型6 由函数的单调性求参数 例6．已知函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围为_________． 【答案】 【详解】由题意得：，所以在恒成立， 所以，即，所以. 变式6-1．函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数， 可得， 因为在区间上是减函数，可得在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 根据二次函数的性质，则满足，解得， 变式6-2．已知函数，若对于任意，都有，则实数取值范围是______. 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 由题意可知，对于任意，都有， 则函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，即恒成立， 由幂函数性质可知，当时，，所以， 故实数取值范围是. 变式6-3．已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数是增函数，得，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在R上单调递增，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 题型7 用导数求函数的极值、最值 例7．函数在上的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时，函数取得极大值，即函数在上的最大值为3. 变式7-1．函数的极小值为________. 【答案】 【详解】， 当时，，当时，， 故在处取极小值，且极小值为. 变式7-2．已知函数. (1)当时，求证：是单调递增函数； (2)已知函数的一个零点为2，求的极值. 【答案】(1)证明见解析 (2)极大值为，极小值为 【分析】 【详解】（1）当时， 以下两种解法： 解法一： 所以，在上是单调递增函数； （使用配方法和判别式法同等给分） 解法二：是开口向上的二次函数. ，所以 （2）如果函数的一个零点是， 则，即，所以 所以， 令得：或 列表如下： 1 （1，3） 3 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ （列表确认导函数零点是原函数极值点） 所以的极大值为，极小值为 变式7-3．已知函数，且为函数的极值点. (1)求的值； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）对求导得： ， 因为是的极值点，极值点处导数值为0， 所以代入得： ，解得， 验证：当时，， 当时，，当时，， 所以左右导数符号改变，满足为函数的极值点，故； （2）由（1）得，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 因此的最小值为极小值， 计算端点函数值：， 比较得最大值为, 故在上的值域为. 题型8 利用导数解决实际问题 例8．用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么， 因此，，所以， 令得，当时，；当时，. 所以函数在时单调递增，在时单调递减， 故当时，取得极大值，并且这个极大值是最大值． 把代入，得， 由，得，即圆心角为弧度时，圆锥形容积最大. 故选：D. 变式8-1．将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为___________． 【答案】1024 【详解】由题意可知，无盖方盒的底面为边长是的正方形，高为， 则满足，即定义域为， 因此方盒的容积为. . 令，结合定义域，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因此在处取得最大值，则. 变式8-2．设球的体积为，球的内接圆柱（圆柱的上､下底面圆周均在球面上）的体积的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为， 由球的内接圆柱性质，球心到圆柱底面的距离为，根据勾股定理得. 所以，所以圆柱的体积为. 求导得，当，即时，；当，即时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值为， 而球的体积为，所以. 故选：B. 变式8-3．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值为______. 【答案】 【详解】如下图所示： 由题意知，无盖方盒的底面为正方形，边长为，高为， 所以方盒的容积， 由，可得，即函数的定义域为， ，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以函数的最大值为，即该方盒容积的最大值为. 题型9 由函数的极值求参数 例9．函数在时有极小值，那么的值为____. 【答案】30或6 【详解】，， 由题，又， 则 则或. 当，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则； 当，，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则. 故答案为：或. 变式9-1．若函数在处有极值，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 因为函数在处有极值，所以，解得. 此时当时，；当时，. 所以在上单调递增，在单调递减. 所以是函数的极大值点.故满足题意. 所以的单调递增区间是． 变式9-2．已知函数在处取得极大值，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】函数在处取得极大值， 则，所以， 解得或， 当时，， 所以当时，当时，， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，， 所以当时，，当时， 所以在处取得极大值， 所以. 变式9-3．已知函数在处取得极值. (1)求，的值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 因为函数在处取得极值， 所以，且， 解得； 经检验，时，， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极值，符合题意，所以； （2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，取得极小值， 在时，取得极大值， 又，， 所以在的最小值为，最大值为. 题型10 由函数的最值求参数 例10．若函数的最小值为1，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】， 令，原式可化为，， 当，，单调递增；当，，单调递减， 则时，取得最小值1，所以有解，即有解. 记，， 当，，在单调递增， 当，，在单调递减. 故，且当，，，， 所以，得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 变式10-1．已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题意得； （2）由题对恒成立， 当时，为增函数，所以函数在上单调递增，且， 则函数无最小值，不符合，所以， 所以为增函数，令， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，所以. 综上所述，. 变式10-2．已知函数． (1)若，求的极值； (2)当时，在上的最小值为，求在区间上的最大值． 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)； 【分析】 【详解】（1）当时，． 则，随的变化情况如表所示． 3 — 0 + 0 — 单调递减 单调递增 单调递减 所以的极大值为，的极小值为． （2），因为，所以； 令，得，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值在处取得，最小值在端点处取得； ，； 而，故， 所以在上的最小值为； 解得，代入得， 故在上的最大值为． 变式10-3．已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意函数的定义域为， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 只需，即实数的取值范围是. （2）令，得或， ①当时，恒成立，在单调递增， 所以，不合题意，舍去； ②当时， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，所以，解得； ③当时，恒成立，在单调递减， 所以，解得与矛盾，故舍去； 综上所述，. 题型11 构造法解函数不等式 例11．已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数， 则． 由对任意，，得，则函数在上单调递减． 因为，所以，即． 由，得，所以，解得， 所以不等式的解集为，选项A正确. 变式11-1．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，已知不等式，则，即， 设，求导得， 函数是实数集上的减函数， 又，即， ，故不等式的解集为． 变式11-2．已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数​，， 求导得： ，​ 由题，且， 因此，即在上单调递减， 又，因此， 则不等式等价于， 两边同除以得： . 因为在上单调递减，所以，解得， 即解集为. 变式11-3．已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】因为且，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 对于不等式， 整理得，即， 根据函数的单调性及其定义域得， 解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 题型12 导数与函数零点的综合 例12．函数，其中． (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，递增区间为，递减区间为. (2) 【分析】 【详解】（1）由题可知的定义域为，. 当时，恒成立，因此在上单调递增，无递减区间； 当时，令，解得. 时，，单调递增； 时，，单调递减. 综上，时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，递增区间为，递减区间为. （2）在上有两个零点，即方程在上有两个不同实根， 变形得. 令，求导得. 当时，，单调递减；时，，单调递增. 则，，，且. 即与在有两个交点，需满足， 综上，. 变式12-1．已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为R，求导得 ，而， 当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，当时，， 函数有两个零点，当且仅当，令函数， 而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增， 又，因此不等式的解集为. 所以实数m的取值范围是. 变式12-2．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)0 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，定义域是， 可得， 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. （2）当时，，定义域是 可得 令，定义域是， 而，当时，， 因此在上是增函数，则， 所以，即在上是增函数， 所以. （3）由，定义域是， 令，得在上有解， 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，，时，， 则的取值范围为. 变式12-3．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 【答案】(1) (2)当时，无零点；当时，个零点；当时，个零点 【分析】 【详解】（1），则， 又，所以在处的切线方程为. （2）讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点， 当时，与有1个交点， 当 时，与有2个交点， 综上：当时，无零点；当时，个零点；当时，个零点. 题型13 导数与不等式的综合 例13．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)判断的单调性； (3)若不等式在上无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增 (3) 【分析】 【详解】（1）因为， ，， 所以在处的切线方程为， 即. （2）因为，令，则， 令，则，又， 1 0 + 单调递减 0 单调递增 所以在处取得极小值（也是最小值）0，即， 所以（当且仅当时为零）， 因此在上单调递增. （3）不等式无解，即对任意有，即恒成立， 令，则， 则在上，，单调递减， 因此， 因此的取值范围是. 变式13-1．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】 【详解】（1）．   当时，恒成立，故函数在单调递增；   当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； （2）令，，， ，，． 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾；   综上，实数的取值范围是． 变式13-2．已知函数. (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即； （2）， 所以当时，，当时，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 又， 所以在上的最大值为， 对任意，恒成立等价于， 即，解得或，所以的取值范围为. 变式13-3．已知函数. (1)若函数存在两个零点，求的取值范围； (2)求证：当且时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）令， 因为函数存在两个零点， 所以直线与曲线有两个不同的交点， 由， 令，解得，所以函数在单调递增， 令，解得，所以函数在单调递减， 所以， 且当时，， 函数的图象如下图所示； 当时，即当时，直线与曲线有两个不同的交点，因此的取值范围为； （2）设， 设， 令，解得，所以函数在上单调递增， 令，解得，所以函数在上单调递减， 因为， 所以， 即，所以，因此， 所以在上单调递增， 因此当时，有， 所以， 所以当且时，. 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2025·26高二下·福建泉州·期中）若函数的导函数为，且，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．1 【答案】A 【详解】由，得到， 又因为，所以 ， 解得 2．（2025·26高二下·辽宁鞍山·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 设切线斜率为，则， 又因为切线与直线垂直， 所以，即，解得. 3．（2025·26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以，且， 根据图象得． 4．（2025·26高二下·北京·期中）如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 【答案】D 【详解】由图象可知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以在处取极大值，故A正确； 由当时，， 可得在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和， 所以在上存在最小值，故C正确； 若，，，，， 函数在上至多有4个零点，故D错误. 5．（2025·26高二下·广东汕头·期中）若圆锥的母线长为，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的半径为，则高为， 所以该圆锥的体积为， 令，则， 因为，所以， 所以， 令， 所以，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 6．（2025·26高二下·甘肃兰州·期中）已知函数在处有极大值，则a＝（    ） A．2 B．14 C．－2或2 D．2或14 【答案】A 【详解】， 由题可知，解得a＝2或a＝14. 当a＝14时，，时，，递减，时，，递增，因此在处有极小值，不符合题意； 当a＝2时，，时，，递增，时，，递减，在处有极大值，符合题意. 7．（2025·26高二下·河南郑州·期中）已知函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设且， 令且，则， 所以在上单调递减，时， 所以，而， 要使在上存在唯一的极值点，则，即. 8．（2025·26高二下·云南德宏·期中）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数有两个不同的零点， 则方程有两个不同的实根，也即函数的图象与直线有两个交点. 由求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，， 当时，，且，当时，取得极小值. 作出函数的图象： 由图可知，当且仅当时，函数与直线有两个交点， 故实数的取值范围是. 二、多选题 9．（2025·26高二下·陕西榆林·期中）下列关于导数的运算不正确的有（   ） A． B．（且） C． D． 【答案】BCD 【详解】，所以A正确； （且），所以B不正确； 因为是常数，所以，所以C不正确； ，所以D不正确. 10．（2025·26高二下·四川成都·期中）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．若，则 【答案】AB 【详解】，， 令，得，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以极大值，极小值，， 对于A，有两个极值点，分别是，，A正确； 对于B，，其中， 要使，需使且，解得，B正确； 对于C，当时， 因为，所以， 又在上单调递增，所以，C错误； 对于D，取，得， 为使，需要，即， 化简得，解得，， 若取，，满足，但此时，D错误． 三、填空题 11．（2025·26高二下·上海长宁·期中）已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为_____． 【答案】 【详解】由图可得时，；，， 又由图可得在上单调递减，在上单调递增， 从而时，；时，， 则或， 对于，可得； 对于，可得； 综上可得的解集为：. 12．（2024·25高二下·北京·期中）函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为在单调递增， 所以在恒成立， 所以在恒成立，令，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数的取值范围是. 13．（2025·26高二下·河北唐山·期中）若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 四、解答题 14．（2025·26高二下·黑龙江佳木斯·期中）求下列函数导数 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以； （2）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得： 。 所以. 15．（2025·26高二下·辽宁抚顺·期中）已知是函数的导函数，且． (1)求的解析式； (2)若曲线存在过点的切线，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）已知，令，得. 即，解得. 因此. 对求导：. 令，结合，得，即，解得. 代入得的解析式：. （2）由（1）得，. 设切点为，切线斜率为，切线方程. 因为切线过点，代入得. 约去并整理得一元二次方程. 曲线存在这样的切线等价于关于的一元二次方程有实数解. 故判别式，化简得。 解不等式得或，所以实数的取值范围是. 16．（2025·26高二下·山东菏泽·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， 所以 由，得；由，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增. 所以， 因为对任意的，都有成立， 所以， 所以实数的取值范围为. 17．（2025·26高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，都有，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）函数求导得， 又，， 曲线在处的切线方程为：，即， 所求的切线方程为． （2）由，求导得， ①当时，由，得，，所以，则恒成立， 此时在上单调递增，故， 当时，对任意的，都有； ②当时，令，解得， 则有在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 则，不满足题意； 综上，的取值范围为． 能力提升进阶练 1．（2025·26高二下·吉林通化·期中）（多选）对于函数，下列说法正确的有（ ） A．在 处取得极大值 B．只有一个零点 C． D．若 在上恒成立，则 【答案】ABC 【详解】对于A，函数，， 令，即，解得， 当时，，故在上为单调递增函数， 当时，，故在上为单调递减函数， 在时取得极大值，故A正确； 对于B，在上为单调递增函数，，函数在上有唯一零点， 当时，恒成立，即函数在上没有零点，故有唯一零点，故B正确； 对于C，在上为单调递减函数，，，故C正确； 对于D，由在上恒成立，即在上恒成立， 设，则，令，解得：， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误． 2．（2025·26高二下·北京朝阳·期中）已知函数，给出以下四个结论，其中结论正确的有______： ①有且仅有一个零点；②在区间上单调递减；③既有最小值，又有最大值；④存在实数，使方程有3个实数根. 【答案】①②④ 【详解】函数可分段表示为： 对于①，令，即，解得， 所以有且仅有一个零点，故①正确； 对于②，当时，， 求导得（仅时取等号）， 所以在区间上单调递减，故②正确； 对于③，当 时，，求导得， 则在上单调递减，当，，当，； 当 时，，求导得， 当时，，上在单调递增，且； 当时，，在上单调递减，且，当，； 因此的值域为，故有最小值，没有最大值，故③错误； 对于④，画出函数的图象如图所示， 要使方程有3个实数根，即函数与有三个交点，即时，满足条件，故④正确. 3．（2025·26高一下·上海闵行·期中）已知．对满足等式的实数a、b、c得出结论： ①； ②． 对这两个结论的判断，正确的是（    ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】A 【详解】令， 则.令，则， 从而在上单调递增，结合，则. 对于①，由基本不等式， 即，又注意到，则，即①为真命题； 对于②，因，则， 两式相加可得：. 由①分析可得，，则，即②为真命题. 4．（2025·26高二下·黑龙江绥化·期中）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 设， 依题意，当时，恒成立， 故函数在上单调递减， 因，求导得， 则在上恒成立，即， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 故当时，， 故实数的取值范围为. 5．（2025·26高二下·北京·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为_______． 【答案】 【详解】设，， 当时，，即， 所以在上单调递减， 所以， 所以，即， 所以． 6．（2025·26高二下·广东汕头·期中）已知函数. (1)证明：； (2)若对任意的，，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， （2）因为， 所以， 令， 所以对任意的，，都有恒成立等价于在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以恒成立， 又当时，的最大值为， 所以. 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 导数及其应用（复习讲义） 基础目标 能复述平均变化率、瞬时变化率与导数的定义，准确说出导数的几何意义为曲线在某点处切线的斜率；能复述基本初等函数的导数公式与导数四则运算法则；会求简单函数的导数及曲线在指定点处的切线方程；能根据导数符号判断函数在给定区间上的单调性，会求基本初等函数的单调区间，完成基础选择、填空与简单计算题。 进阶目标 会推导导数的运算法则与复合函数求导法则，理解并应用求导公式解决含多项式、分式、根式的函数求导问题；理解并应用导数与函数单调性的关系，能由单调性确定参数取值范围；会求函数的极值与最值，区分极值与最值的概念；能解决切线方程、单调性、极值、最值的综合解答题，规范书写解题步骤，满足阶段考与高考中档题要求。 拓展目标 理解并应用导数研究函数的零点、不等式证明及恒成立问题，能构建函数模型解决实际应用问题；会处理含参导数的分类讨论，掌握数形结合、等价转化等思想方法；能综合运用导数与函数、方程、不等式知识解决高考压轴难度的综合题；能对复杂问题进行思路拆解、条件转化与严谨论证，达到高考高分与选拔性考查要求。 一、导数的定义及变化率问题 （1）在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有： （2）用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限 二、求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 三、求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 四、求不含参数函数单调区间的步骤： ①确定函数的定义域；②求导数.③由 (或),解出相应的x的范围， 当时, 在相应的区间上是增函数;当时, 在相应区间上是减函数；④结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用“,”隔开即可. 五、求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 六、函数与导函数图象间的关系 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 七、已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立. 八、由函数的极值确定参数的方法及注意事项： （1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值:； （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 九、不等式恒成立与存在性问题 (1)不等式恒成立问题的转化技巧 ① (或)恒成立⇔ (或)； ② (或)恒有解⇔ (或)； ③恒成立⇔ (其中); ④恒有解⇔ (其中). (2)对于函数,若存在,使得或成立,则或. 十、求含参数函数的单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点:①二次项系数a:②判别式Δ:③方程f′(x)=0根的大小: （4）结合定义域,画数轴、标根；（5）判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间. 注意:①讨论参数要全面,做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解. 题型1 导数定义的理解与应用 例1．已知函数，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式1-1．某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，运动员的滑雪瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度（单位：m）是，则运动员的速度______m/s，加速度______． 变式1-3．设函数，则（   ） A． B． C． D． 题型2 导数的基本运算 例2．（多选）下列求导不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2-1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（多选）下列求导数运算正确的有（   ） A． B． C． D． 变式2-3．设函数，则（   ） A． B． C． D． 题型3 函数的切线问题 例3．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．若直线是曲线的一条切线，则___________． 变式3-2．函数在处的切线方程为______． 变式3-3．已知函数． (1)求在上的最大值和最小值； (2)求过原点的切线方程． 题型4 两函数的公切线问题 例4．若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 变式4-1．已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________. 变式4-2．若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 变式4-3．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 题型5 用导数求/判断函数的单调性 例5．下列函数中，在内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．函数的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．函数的单调递增区间为________． 变式5-3．已知函数，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 题型6 由函数的单调性求参数 例6．已知函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围为_________． 变式6-1．函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知函数，若对于任意，都有，则实数取值范围是______. 变式6-3．已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型7 用导数求函数的极值、最值 例7．函数在上的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 变式7-1．函数的极小值为________. 变式7-2．已知函数. (1)当时，求证：是单调递增函数； (2)已知函数的一个零点为2，求的极值. 变式7-3．已知函数，且为函数的极值点. (1)求的值； (2)求在区间上的值域. 题型8 利用导数解决实际问题 例8．用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 变式8-1．将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为___________． 变式8-2．设球的体积为，球的内接圆柱（圆柱的上､下底面圆周均在球面上）的体积的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 变式8-3．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值为______. 题型9 由函数的极值求参数 例9．函数在时有极小值，那么的值为____. 变式9-1．若函数在处有极值，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式9-2．已知函数在处取得极大值，则（    ） A． B． C．或 D． 变式9-3．已知函数在处取得极值. (1)求，的值； (2)求函数在上的最值. 题型10 由函数的最值求参数 例10．若函数的最小值为1，则实数a的取值范围为______. 变式10-1．已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 变式10-2．已知函数． (1)若，求的极值； (2)当时，在上的最小值为，求在区间上的最大值． 变式10-3．已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 题型11 构造法解函数不等式 例11．已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式11-1．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式11-2．已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式11-3．已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为___________． 题型12 导数与函数零点的综合 例12．函数，其中． (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 变式12-1．已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式12-2．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 变式12-3．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 题型13 导数与不等式的综合 例13．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)判断的单调性； (3)若不等式在上无解，求的取值范围． 变式13-1．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 变式13-2．已知函数. (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 变式13-3．已知函数. (1)若函数存在两个零点，求的取值范围； (2)求证：当且时，. 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2025·26高二下·福建泉州·期中）若函数的导函数为，且，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．1 2．（2025·26高二下·辽宁鞍山·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（2025·26高二下·北京·期中）如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 5．（2025·26高二下·广东汕头·期中）若圆锥的母线长为，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·26高二下·甘肃兰州·期中）已知函数在处有极大值，则a＝（    ） A．2 B．14 C．－2或2 D．2或14 7．（2025·26高二下·河南郑州·期中）已知函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·26高二下·云南德宏·期中）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·26高二下·陕西榆林·期中）下列关于导数的运算不正确的有（   ） A． B．（且） C． D． 10．（2025·26高二下·四川成都·期中）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．若，则 三、填空题 11．（2025·26高二下·上海长宁·期中）已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为_____． 12．（2024·25高二下·北京·期中）函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 13．（2025·26高二下·河北唐山·期中）若直线与曲线相切，则的最小值为________． 四、解答题 14．（2025·26高二下·黑龙江佳木斯·期中）求下列函数导数 (1)； (2)； 15．（2025·26高二下·辽宁抚顺·期中）已知是函数的导函数，且． (1)求的解析式； (2)若曲线存在过点的切线，求实数的取值范围． 16．（2025·26高二下·山东菏泽·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 17．（2025·26高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，都有，求m的取值范围． 能力提升进阶练 1．（2025·26高二下·吉林通化·期中）（多选）对于函数，下列说法正确的有（ ） A．在 处取得极大值 B．只有一个零点 C． D．若 在上恒成立，则 2．（2025·26高二下·北京朝阳·期中）已知函数，给出以下四个结论，其中结论正确的有______： ①有且仅有一个零点；②在区间上单调递减；③既有最小值，又有最大值；④存在实数，使方程有3个实数根. 3．（2025·26高一下·上海闵行·期中）已知．对满足等式的实数a、b、c得出结论： ①； ②． 对这两个结论的判断，正确的是（    ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 4．（2025·26高二下·黑龙江绥化·期中）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·26高二下·北京·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为_______． 6．（2025·26高二下·广东汕头·期中）已知函数. (1)证明：； (2)若对任意的，，都有恒成立，求的取值范围. 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $