利用导数证明不等式 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

利用导数证明不等式讲义 利用导数证明不等式讲义 知识点解析 一、核心原理 将不等式证明转化为函数单调性、极值、最值的判定问题，核心依据：若函数在定义域内的最小值，则恒成立；若最大值，则恒成立。通过导数分析函数的增减、极值与最值，验证函数值的符号范围，完成不等式证明。 二、通用解题思路（四步法，核心：构造函数→求导分析→求最值→证符号） 1. 等价变形，构造核心函数 将原不等式移项作差化为（或）的标准形式，令不等号左侧右侧，简化构造（优先消常数、约正项、指对变形，避免复杂函数）；若为双变量不等式，先通过换元（比值/差值）化单变量再构造。 【关键】变形保证等价性（注意定义域、乘除正负数对不等号的影响）。 1. 确定定义域，求导化简 明确的定义域（推导的前提，如对数、分式分母≠0）；对求导得，并化简为易判符号的形式（因式分解、分离定号项，如（），只需分析符号）。 1. 分析导数，确定函数单调性与极值 令，求解导函数零点（含隐零点，可设表示）；根据零点将定义域划分子区间，逐区间判定的正负，确定的单调区间，进而找到极值点（唯一零点通常为最值点）。 【技巧】若符号不易判，可对再次求导（二阶导），分析其单调性与最值，间接判定符号。 1. 求函数最值，验证符号得证 根据的单调性，求其在定义域内的最值（闭区间验证端点+极值，开区间求端点极限+极值）： · 证：只需证； · 证：只需证。 若最值为0，需说明等号成立条件（如）；若为严格不等号，验证最值点处函数值严格大于/小于0。 三、高频考向及专属解法 考向1：单变量不含参不等式（如时，） · 解法：直接按通用四步法构造，求导分析单调性，求最值证符号；若有隐零点，设零点，利用建立关系代回消元，求的最值。 考向2：单变量含参不等式（如，） · 解法：分离参数优先（化为/），构造求其最值，证参数范围满足不等式；若参数无法分离，分类讨论参数范围，分别分析的最值。 考向3：双变量不等式（如，，证） · 解法：先换元化单（令/，或构造对称函数，为极值点），转化为单变量不等式后，按通用方法证明；也可直接用对数均值不等式/切线放缩辅助简化。 考向4：不等式恒成立/存在性证明（如，；，） · 恒成立：证； · 存在性：证； · 解法：分别构造、，求各自最值，验证最值关系。 四、常用辅助技巧（提效关键） 1. 切线放缩：复杂指对/三角不等式，先通过函数切线放缩为简单不等式，再用导数验证（如证，可直接用切线放缩，或构造求导）； 1. 拆分构造：将拆为，证（避免单一函数求导复杂）； 1. 先猜后证：先代入特殊点（/）确定等号成立点，围绕该点分析函数单调性，减少盲目性； 1. 放缩预处理：用常见不等式（如、）对复杂项放缩，缩小证明范围。 五、关键提醒 1. 定义域优先：所有分析均在的定义域内进行，零点超出定义域直接舍去； 1. 隐零点处理：导函数零点不可解时，设为，保留的关系，代回原函数求最值，无需解出； 1. 二阶导的应用：一阶导符号不明时，用二阶导分析一阶导的单调性，确定一阶导的零点与符号； 1. 等号条件必说明：证明/时，需指出等号成立的值，保证证明严谨性。 例题分析 例1．（2026·北京房山·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，分别讨论函数与在上的单调性； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，在上单调递减． (3)证明见解析 【详解】（1）由，得， 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由（1）知， 令，得；令，得．. 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减. （3）因为，所以， ①当时，，由（2）知在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以， ②当时，令， 则，， 由（2）知在上单调递增，所以， 所以， 所以在上单调递减，所以， 即当时， 综上，当时，． 例2．（2026·青海西宁·模拟预测）已知函数． (1)求在区间上的值域； (2)证明：； (3)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题得， 所以在上单调递增， 所以，当时，， 所以在区间上的值域为． （2）由（1）知，当时，， 所以， 要证， 只需证， 只需证， 令， 则， 所以在上单调递增，，所以， 令，代入得成立， 所以． （3）令，则， 当时， 令，则， 令，则， 令，则， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，则在上单调递增， 所以，则在上单调递增，， 即， ②当时，，， 所以， 综上①②，当时，对任意，都有成立，不符合题意． 当时，， 则必存在，使得当时，， 所以在上单调递减，，即，符合题意， 所以的取值范围为． 例3．（25-26高二下·天津·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)讨论方程实数根的个数. (4)求证：. 【答案】(1)； (2)极大值为，无极小值； (3)当时，方程无实根；当或时，方程有一个实根； 当时，方程有两个实根； (4)证明见详解. 【详解】（1）根据题意，函数的定义域为，， 所以切点为， 又， 所以， 则曲线在点处的切线方程为， 即； （2）由（1）得，， 令，解得， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以为函数的极大值点，极大值为，无极小值； （3）由（2）得，函数在上单调递增，在上单调递减，且极大值为，同时也为函数的最大值， 当时，，所以， 当时，，但增长速度慢于的增速，所以， 方程实数根的个数即函数与的交点个数， 所以当时，函数与无交点，即方程无实根， 所以当时，函数与有一个交点，即方程有一个实根， 所以当时，函数与有两个交点，即方程有两个实根， 所以当时，函数与有一个交点，即方程有一个实根， 综上所述，当时，方程无实根， 当或时，方程有一个实根， 当时，方程有两个实根； （4）由函数，所以不等式，即， 因为，所以不等式等价于， 即， 令函数，即证恒成立， 则， 令，即，解得或（舍）， 所以当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也为最大值， 所以， 所以当时，恒成立， 即，即， 又，所以恒成立，即，得证. 例4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，． (1)若，分析的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)在区间上单调递减． (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，则． 设，则， 当时，，所以单调递减，， 当时，，所以. 所以当时，，，即， 故在区间上单调递减． （2）当时，， 要证，只需证， 又当时，，即证． ． 令，则当时，， 所以在上单调递减，因此， 所以，因此在区间上单调递减，所以． 综上，原不等式得证，即当时，． 变式训练 变式1．（2026·广西河池·模拟预测）已知函数． (1)讨论的极值； (2)当时，证明：． 【答案】(1)当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值. (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为，求导得： ， 当时，对任意恒成立，故，在上单调递减，无极值； 当时，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故当时取得极大值，无极小值. 综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值. （2）因为， 所以原不等式等价于，因，两边除以得：只需证. 当时，不等式显然成立； 当时，，只需证，因为，故只需证. 令，求导得： ， 令，在上单调递减，且，， 故存在唯一，使得，即. 当时，，，单调递增；当时，，，单调递减. 故当时，取得极大值也是最大值. 代入得：，令， 则恒成立，则在上单调递减， 故，即成立. 综上，原不等式得证. 变式2．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由条件得，令，则． ① 当时，，在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故此时有1个极小值点为0，无极大值点； ②当时，令可得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， （i）当时，，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极大值点，是的极小值点． （ii）当时，，即恒成立，所以无极值点． （iii）当，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极小值点，是的极大值点． 综上所述：当时，有一个极值点；当时，没有极值点；当或时，有两个极值点. （2）由（1）得，①当时，在上，，单调递增， 所以，即， 所以在上为增函数，所以，所以时满足条件． ②当时，在上，单调递减， 所以当时，有，即， 在上为减函数，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为． （3）由（1）得，当时，，即， 要证不等式，故只需证明， 只需证明，只需证， 设，则， 所以当时，恒成立，故在上单调递增， 又，所以恒成立，所以原不等式成立． 变式3．（2026·江西·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值； (3)当时，证明不等式恒成立． 【答案】(1)当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. (2) (3)证明见解析. 【详解】（1），定义域为， ， 当时，，在上单调递增，无极值. 当时，令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. （2）由（1）可得当时，在区间上单调递增，所以，解得：，满足条件； 当时，若，即时，在区间上单调递增， ，解得：，与矛盾，舍去； 若，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，解得：，与矛盾； 综上，实数a的值为. （3）可化为， 即证， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 则， 只需证对恒成立， 令，， 令，， 因为，，当且仅当时，等号成立，故，所以，即在上单调递增， 则，则在上单调递增， 则，则对恒成立， 故不等式恒成立. 变式4．（25-26高二上·湖南怀化·期末）设函数，其中． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，记为，且，求证：． (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）法一：因为，， 所以，． ①当时，，函数在上单调递增， 且当时，．所以此时不可能恒成立． ②当时，由，得． 且当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减． 从而函数． 要使恒成立，则，解得． 综合上述：a的取值范围为． 法二：由题意对于恒成立，所以 令，，则． 由得,且当时，单调递增， 当时，单调递减． 所以的最大值为． 所以．即a的取值范围为． （2）因为，， 所以．又因为有两个极值点， 所以，且． 欲证，即证． 因为，所以上式等价于证明  ① 由，，得，则  ② 由①、②可知原问题等价于求证， 即证． 令，上式等价于求证． 令， 则， 所以在上单调递增．所以，即． 故原不等式成立，即． （3）， 则，函数在上单调递增， 所以，即有，令，则， 由（2）问证明过程可知，其中． 所以，． 综上所述， 实战演练 1．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数,且恒成立. (1)求实数； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）∵，∴恒成立， ∴，所以， ∵，∴，∴， 当时，， ∴时，，单调递减，时，，单调递增， ∴，∴恒成立， 所以． （2）由（1）知对任意实数有，令（）， 则，即，故， 要证明，即证明， 由，可得， 因此只需证明当时，即可. 令函数， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以当时，， 即当时，． 2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由 得 ， 。 可化为 ， 令 ，则 。 令  得 ，  得， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 的最小值为 ， 所以 ； （2）法一：由(1)可知 ，即 ，故（时，等号成立）， 下证 ，即证 , 因为， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 又不能同时取“”，所以 . 法二：要证明不等式；令，， 只需证， 由，得， 当时，，当时，， 所以在单增，在单减， 所以， ，因为， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用导数证明不等式讲义 利用导数证明不等式讲义 知识点解析 一、核心原理 将不等式证明转化为函数单调性、极值、最值的判定问题，核心依据：若函数在定义域内的最小值，则恒成立；若最大值，则恒成立。通过导数分析函数的增减、极值与最值，验证函数值的符号范围，完成不等式证明。 二、通用解题思路（四步法，核心：构造函数→求导分析→求最值→证符号） 1. 等价变形，构造核心函数 将原不等式移项作差化为（或）的标准形式，令不等号左侧右侧，简化构造（优先消常数、约正项、指对变形，避免复杂函数）；若为双变量不等式，先通过换元（比值/差值）化单变量再构造。 【关键】变形保证等价性（注意定义域、乘除正负数对不等号的影响）。 1. 确定定义域，求导化简 明确的定义域（推导的前提，如对数、分式分母≠0）；对求导得，并化简为易判符号的形式（因式分解、分离定号项，如（），只需分析符号）。 1. 分析导数，确定函数单调性与极值 令，求解导函数零点（含隐零点，可设表示）；根据零点将定义域划分子区间，逐区间判定的正负，确定的单调区间，进而找到极值点（唯一零点通常为最值点）。 【技巧】若符号不易判，可对再次求导（二阶导），分析其单调性与最值，间接判定符号。 1. 求函数最值，验证符号得证 根据的单调性，求其在定义域内的最值（闭区间验证端点+极值，开区间求端点极限+极值）： · 证：只需证； · 证：只需证。 若最值为0，需说明等号成立条件（如）；若为严格不等号，验证最值点处函数值严格大于/小于0。 三、高频考向及专属解法 考向1：单变量不含参不等式（如时，） · 解法：直接按通用四步法构造，求导分析单调性，求最值证符号；若有隐零点，设零点，利用建立关系代回消元，求的最值。 考向2：单变量含参不等式（如，） · 解法：分离参数优先（化为/），构造求其最值，证参数范围满足不等式；若参数无法分离，分类讨论参数范围，分别分析的最值。 考向3：双变量不等式（如，，证） · 解法：先换元化单（令/，或构造对称函数，为极值点），转化为单变量不等式后，按通用方法证明；也可直接用对数均值不等式/切线放缩辅助简化。 考向4：不等式恒成立/存在性证明（如，；，） · 恒成立：证； · 存在性：证； · 解法：分别构造、，求各自最值，验证最值关系。 四、常用辅助技巧（提效关键） 1. 切线放缩：复杂指对/三角不等式，先通过函数切线放缩为简单不等式，再用导数验证（如证，可直接用切线放缩，或构造求导）； 1. 拆分构造：将拆为，证（避免单一函数求导复杂）； 1. 先猜后证：先代入特殊点（/）确定等号成立点，围绕该点分析函数单调性，减少盲目性； 1. 放缩预处理：用常见不等式（如、）对复杂项放缩，缩小证明范围。 五、关键提醒 1. 定义域优先：所有分析均在的定义域内进行，零点超出定义域直接舍去； 1. 隐零点处理：导函数零点不可解时，设为，保留的关系，代回原函数求最值，无需解出； 1. 二阶导的应用：一阶导符号不明时，用二阶导分析一阶导的单调性，确定一阶导的零点与符号； 1. 等号条件必说明：证明/时，需指出等号成立的值，保证证明严谨性。 例题分析 例1．（2026·北京房山·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，分别讨论函数与在上的单调性； (3)证明：当时，． 例2．（2026·青海西宁·模拟预测）已知函数． (1)求在区间上的值域； (2)证明：； (3)若存在，使得，求的取值范围． 例3．（25-26高二下·天津·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)讨论方程实数根的个数. (4)求证：. 例4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，． (1)若，分析的单调性； (2)证明：当时，． 变式训练 变式1．（2026·广西河池·模拟预测）已知函数． (1)讨论的极值； (2)当时，证明：． 变式2．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明． 变式3．（2026·江西·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值； (3)当时，证明不等式恒成立． 变式4．（25-26高二上·湖南怀化·期末）设函数，其中． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，记为，且，求证：． (3)求证：． 实战演练 1．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数,且恒成立. (1)求实数； (2)证明：当时，． 2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $