（讲义）第6章 6.1 6.1.4 求导法则及其应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

6.1.4　求导法则及其应用 1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用公式求简单函数的导数．(重点) 2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点) 3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点) 1．通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养． 2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养． 如何求下列函数的导数： (1)y＝＋ln x； (2)y＝2x2＋sin x． 由此你能类比联想一下已知函数f (x)，g(x)的导数f ′(x)，g′(x)，怎样求[f (x)＋g(x)]′呢？ 知识点1　导数的运算法则 (1)和与差的导数 [f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)． (2)积的导数 ①[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； ②[Cf (x)]′＝Cf ′(x)． (3)商的导数 ′＝，g(x)≠0． 拓展：①[f 1(x)±f 2(x)±…±f n(x)]′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． ②[af (x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)． (1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)中“＋”“－”前后一致；(2)区别记忆函数积与商的导数中f ′(x)g(x)与f (x)g′(x)的连接符号，函数积的导数中为“＋”，函数商的导数中为“－”；(3)一般来说，[f (x)g(x)]′≠f ′(x)g′(x)，≠． 1．函数f (x)＝xex的导数f ′(x)＝(　　) A．ex(x＋1)　　 B．1＋ex C．x(1＋ex) D．ex(x－1) A　[f ′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，故选A．] 2．若函数f (x)＝ax2＋c，且f ′(1)＝2，则a＝________． 1　[∵f (x)＝ax2＋c， ∴f ′(x)＝2ax，故f ′(1)＝2a＝2，∴a＝1．] 知识点2　复合函数的概念及求导法则 (1)复合函数的概念 一般地，已知函数y＝f (u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f (g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f (g(x))为函数f (u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量． (2)一般地，如果函数y＝f (u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f (g(x))，则可以证明，复合函数的导数h′(x)与f ′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f (g(x))]′＝f ′(u)g′(x)＝f ′(g(x))g′(x)． 这一结论也可以表示为y′x＝y′uu′x． 函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ [提示]　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成． 3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f (x)＝是复合函数． (　　) (2)函数f (x)＝sin(－x)的导数f ′(x)＝cos(－x)． (　　) (3)y＝e2x的导数y′＝2e2x． (　　) (4)[f (x)g(x)h(x)]′＝f ′(x)g′(x)h′(x)． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 类型1　导数四则运算法则的应用 【例1】　求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝； (4)y＝x2－sin cos． [解]　(1)y′＝2x－2x－3． (2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2． (3)y′＝． (4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x， ∴y′＝2x－cos x． 利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式． (2)如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． [跟进训练] 1．已知函数f (x)＝(2x＋1)ex，f ′(x)为f (x)的导函数，则f ′(0)＝________． 3　[因为f (x)＝(2x＋1)ex，所以f ′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，∴f ′(0)＝3．] 2．已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足f (x)＝2xf ′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________． －　[因为f (x)＝2xf ′(e