第六章 导数及其应用（单元自测·提升卷）数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 高二数学第六章导数及其应用单元复习卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，全面考查导数几何意义、极值、单调性等核心知识，注重数学思维与应用能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|导数计算、切线方程、函数图像识别|基础巩固如第1题导数计算，能力提升如第7题方程解的个数分析| |多项选择|3/18|函数零点、对称性、极值点|多维度辨析如第9题综合判断零点与切线条数| |填空题|3/15|切线斜率、曲线公切线、单调区间|情境简洁如第13题曲线公切线求解| |解答题|5/77|极值求法、不等式证明、零点问题|综合应用如第19题单调性讨论与零点性质证明，体现逻辑推理与创新意识|

2025-2026学年高二第二学期数学单元自测 第六章 导数及其应用·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D D A A D A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ACD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13．或 14．1 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）， 由题意得，即，解得， 2分 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 5分 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 7分 单调递增区间为，单调递减区间为， 8分 （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 11分 又， 故的最大值为2，最小值为. 13分 16．【详解】（1）当时， ，定义域， 由，即切点为， 2分 求导得，代入得，即斜率， 4分 由点斜式得，即. 6分 （2）由， 求导得：，， 7分 当时， ， 当时，单调递减；时，单调递增， 故仅有极小值，无极大值， 9分 当，即时， ， 和时，， 时，， 故在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为， 11分 当时， 恒成立， 在定义域内单调递增，无极值， 12分 当时， ，​， 和时，，时，， 在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为， 14分 综上：当时，极小值，无极大值， 当时，极大值为，极小值为， 当时，无极值， 当时，极大值为，极小值为. 15分 17．【详解】（1）因为. 若对任意非负实数恒成立，则对任意，有. 2分 当从正数一侧趋近于时，得. 又，所以. 4分 从而. 下面证明当时，原不等式恒成立． 令. 则. 令. 则. 当时，，又，所以，即． 又，所以当时，，即. 6分 因此当时，. 若，则，所以． 又，故对任意非负实数恒成立． 综上，的取值范围为. 9分 （2）先证明. 由第（1）问中的证明可知，当时，. 所以. 11分 再证明. 令. 则. 且. 13分 当时，，所以． 因此. 由于，上面两个不等式右边都为正数，所以两式相乘，得. 即. 故原不等式成立． 15分 18．【详解】（1）函数的定义域为，， 1分 因为1是的极值点，所以，即， 3分 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意，所以. 5分 （2）当时，，记. ，令，有， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 从而，所以，即. 8分 （3）因为，， 9分 当，即时，， 所以在上单调递减， 因为， 所以在上无零点，符合题意； 11分 当时，令，则， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间是；单调递增区间是， 的最小值为， 当，即时，无零点，符合题意； 13分 当时，有一个零点，不符合题意； 14分 当时，，的最小值， 因为， 所以，使得，不符合题意； 16分 综上，. 17分 19．【详解】（1）， 1分 当时，在时，在上单调递减； 2分 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 4分 综上：当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 5分 （2）由（1）知，若函数有两个不等实根， 则，又当时，知， 要使函数有两个不等实根， 则，故． 7分 不妨设，由可得， 故要证明， 即证明， 即证明 ，结合 ， 可得只需证明 ， 11分 令，两边同除以得， 再同除以得，移项即证． 所以转化为证明当时，成立． 14分 令，，， 对于，对应二次方程的， 所以当时，，故， 所以函数在上单调递减，故， 即，故不等式得证. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二第二学期数学单元自测 第六章 导数及其应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．若函数在处有极值，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 4．已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 5．已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．设，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意，，下列不等式中一定成立的有（    ） ①；②； ③；          ④． A．①②③ B．②④ C．②③ D．③ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 10．已知函数，则（    ） A．若为奇函数，则且 B．当时，在上单调递增 C．当时，有两个极值点 D．当时，的图象关于点对称 11．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上有解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为__________. 13．若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 14．若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 16．（15分）已知函数 (1)时，求在处切线方程； (2)讨论的极值． 17．（15分）已知函数，. (1)若对任意的恒成立，求的取值范围； (2)证明：当时，. 18．（17分）已知函数，. (1)若1是的极值点，求实数的值； (2)若，求证：； (3)已知函数在上无零点，求的取值范围. 19．（17分）已知函数 (1)讨论函数 的单调性； (2)若函数 有两个不同的零点 为 的导函数，试证明: . 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第二学期数学单元自测 第六章 导数及其应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为， 所以， 则， 解得. 2．若函数在处有极值，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 因为函数在处有极值，所以，解得. 此时当时，；当时，. 所以在上单调递增，在单调递减. 所以是函数的极大值点.故满足题意. 所以的单调递增区间是． 3．已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：由题知，，，∴， ∴曲线在处的切线方程为，即． ∵，∴， 设直线与曲线的切点为， 则，得，∴， 又，∴． 4．已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知，函数定义域为，是奇函数，且没有零点； 对于A，的定义域为，不合题意，A不正确； 对于B，，，有零点，不合题意，B不正确； 对于C，，，是偶函数，不合题意，C不正确； 对于D，定义域为，，是奇函数，符合题意. 故选：D 5．已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可设梯形的高为， 易知该几何体为圆柱体挖掉两个相同的锥体， 欲使表面积最大，则下底长要大于1，即， 则该几何体侧面积为，两个锥体的侧面积均为， 所以该几何体表面积， 设， 记，令，此时， 又定义域内单调递减， 所以时，时， 即，则. 故选：A 6．设，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，， ， 因为，所以， 故选：A 7．设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】（i）当时，，代入方程整理得： ，两根为和， 因此，当且时，则有2个不同根； 当时，则有1个根；当时，仅存在根； 当时，，故恒有1个根. （ii）当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得， 当时，，得，有1个根， 若，，在单调递增， 时，时，故恒有1个根； 当时，，，单调递增；，单调递减， 时，时，故恒有1个根； 故在取最大值， 令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 8．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意，，下列不等式中一定成立的有（    ） ①；②； ③；          ④． A．①②③ B．②④ C．②③ D．③ 【答案】A 【详解】已知定义域上，两边乘正数得. 构造，则，因此在上单调递减. 对①，令，则，由单调递减知 ，， 将第一个式子乘以：，第二个式子乘以：， 相加得，故 ① 成立. 对②，由单调递减，不妨设，则 ， 即，整理得：. 将不等式②移项整理得 ， 因为，且单调递减， 若，则，且，即，乘积为负，不等式成立； 若，则，且，即，乘积为负，不等式成立. 故②成立. 对③，因为，所以，由递减得， 即，故③成立. 对④，取（常数函数），满足，符合题设条件. 取，则，，不成立，故④不成立. 综上，①②③成立. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 【答案】ACD 【详解】A：令，或， 因为方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根，显然不是该一元二次方程的实数根， 因此有3个零点，所以本选项说法正确； B：因为 所以的图象关于点对称，因此本选项说法不正确； C：， 令，解得，或，所以函数在区间，上单调递增； 令，解得，所以函数在区间上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以本选项说法正确； D：设函数的切点为， 所以过该切点的切线斜率为， 切线方程为，把代入，得 ，化简，得 ， 解得，或，所以经过点且与的图象相切的直线有3条，因此本选项说法正确. 10．已知函数，则（    ） A．若为奇函数，则且 B．当时，在上单调递增 C．当时，有两个极值点 D．当时，的图象关于点对称 【答案】BCD 【详解】A：因为函数的定义域为全体实数，且为奇函数， 所以，因此本选项不正确； B：， 当，时， 显然，所以在上单调递增，因此本选项正确； C：由上可知， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是该函数的极大值点，是该函数的极小值点，所以该函数有两个极值点，因此本选项正确； D：当时，， 因为， ， 所以有，所以的图象关于点对称，因此本选项正确. 11．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上有解，则 【答案】ACD 【详解】A选项，，定义域为， ，令，解得， 当时，，∴函数在上单调递增， 当时，，∴函数在上单调递减， ∴函数在时取得极大值也是最大值，故A对； B选项，∵时，，，， 当时，，如图所示： ∴函数有且只有唯一一个零点，故B错； C选项，∵当时，为单调递减函数，∴， ∵，所以，故C对； D选项，若在上有解，即在上有解， 由上可知函数在上单调递减，所以， 于是有，故D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为__________. 【答案】 【详解】根据导数的定义可知，所以， 根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率为. 故答案为： 13．若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【答案】或 【详解】由，所以，又由，所以， 设公共点为， 所以，由，即，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得. 14．若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 【答案】 1 【详解】设， 则在上恒成立， 则需要与在上始终保持符号相同，所以， 设，则对称轴，得， 且，即，得， 综上，实数a的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【详解】（1）， 由题意得，即，解得， 2分 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 5分 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 7分 单调递增区间为，单调递减区间为， 8分 （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 11分 又， 故的最大值为2，最小值为. 13分 16．（15分）已知函数 (1)时，求在处切线方程； (2)讨论的极值． 【详解】（1）当时， ，定义域， 由，即切点为， 2分 求导得，代入得，即斜率， 4分 由点斜式得，即. 6分 （2）由， 求导得：，， 7分 当时， ， 当时，单调递减；时，单调递增， 故仅有极小值，无极大值， 9分 当，即时， ， 和时，， 时，， 故在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为， 11分 当时， 恒成立， 在定义域内单调递增，无极值， 12分 当时， ，​， 和时，，时，， 在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为， 14分 综上：当时，极小值，无极大值， 当时，极大值为，极小值为， 当时，无极值， 当时，极大值为，极小值为. 15分 17．（15分）已知函数，. (1)若对任意的恒成立，求的取值范围； (2)证明：当时，. 【详解】（1）因为. 若对任意非负实数恒成立，则对任意，有. 2分 当从正数一侧趋近于时，得. 又，所以. 4分 从而. 下面证明当时，原不等式恒成立． 令. 则. 令. 则. 当时，，又，所以，即． 又，所以当时，，即. 6分 因此当时，. 若，则，所以． 又，故对任意非负实数恒成立． 综上，的取值范围为. 9分 （2）先证明. 由第（1）问中的证明可知，当时，. 所以. 11分 再证明. 令. 则. 且. 13分 当时，，所以． 因此. 由于，上面两个不等式右边都为正数，所以两式相乘，得. 即. 故原不等式成立． 15分 18．（17分）已知函数，. (1)若1是的极值点，求实数的值； (2)若，求证：； (3)已知函数在上无零点，求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 1分 因为1是的极值点，所以，即， 3分 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意，所以. 5分 （2）当时，，记. ，令，有， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 从而，所以，即. 8分 （3）因为，， 9分 当，即时，， 所以在上单调递减， 因为， 所以在上无零点，符合题意； 11分 当时，令，则， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间是；单调递增区间是， 的最小值为， 当，即时，无零点，符合题意； 13分 当时，有一个零点，不符合题意； 14分 当时，，的最小值， 因为， 所以，使得，不符合题意； 16分 综上，. 17分 19．（17分）已知函数 (1)讨论函数 的单调性； (2)若函数 有两个不同的零点 为 的导函数，试证明: . 【详解】（1）， 1分 当时，在时，在上单调递减； 2分 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 4分 综上：当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 5分 （2）由（1）知，若函数有两个不等实根， 则，又当时，知， 要使函数有两个不等实根， 则，故． 7分 不妨设，由可得， 故要证明， 即证明， 即证明 ，结合 ， 可得只需证明 ， 11分 令，两边同除以得， 再同除以得，移项即证． 所以转化为证明当时，成立． 14分 令，，， 对于，对应二次方程的， 所以当时，，故， 所以函数在上单调递减，故， 即，故不等式得证. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第二学期数学单元自测 第六章 导数及其应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．若函数在处有极值，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 4．已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 5．已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．设，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意，，下列不等式中一定成立的有（    ） ①；②； ③；          ④． A．①②③ B．②④ C．②③ D．③ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 10．已知函数，则（    ） A．若为奇函数，则且 B．当时，在上单调递增 C．当时，有两个极值点 D．当时，的图象关于点对称 11．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上有解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为__________. 13．若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 14．若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 16．（15分）已知函数 (1)时，求在处切线方程； (2)讨论的极值． 17．（15分）已知函数，. (1)若对任意的恒成立，求的取值范围； (2)证明：当时，. 18．（17分）已知函数，. (1)若1是的极值点，求实数的值； (2)若，求证：； (3)已知函数在上无零点，求的取值范围. 19．（17分）已知函数 (1)讨论函数 的单调性； (2)若函数 有两个不同的零点 为 的导函数，试证明: . 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $