模块双测卷 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂单元双测卷（人教B版）

数 新高考 学 同步单元双测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知等差数列{an}中，a2=1,a3十a;=4,则该数 整 列公差为 1 A.2 B.1 c D.2 2.若函数f(x)=-x2十ax+2lnx在(1,2)上有最 如 大值，则实数a的取值范围为 A.(0,+o∞) B.(0,3) C.(3,+∞) D.(1,3) 3.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n 项和为Sn,若a1十a, =0,则1 7 A.3 B. C.-3 D- 4.已知a,b为正实数，若直线y=x一a与曲线y 1 1 (x+D)相切，则，4的取值范围为 A0,2) B.(0,1) C.(0,十∞) D.[1,+∞) 5.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了 126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层 的 灯数都多n(n为常数)盏，底层的灯数是顶层的 13倍，则塔的底层共有灯 ( ) 盖 A.2盏 B.3盏 C.26盏 D.27盏 6.若函数f(x)= 号x2一2.x+alnx有唯一一个极 值点，则实数a的取值范围是 A.a<0 B.a<0或a=1 C.a≤0 D.a≤0或a=1 模块双测卷 B卷·素养提升卷 7.已知数列{an}满足a1十2a2十3a3十…十nam a 2”,设bn= n十)2一，S,为数列{6，}的前n项 和.若S,<t对任意n∈N恒成立，则实数t的 最小值为 ( A.1 B.2 c号 n号 8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时， 2f(x)一f(x)<0(其中f(x)为f(x)的导函 数)，若f(2)=e,则f(x)>()的解集为 ( A.(-2,2) B(3) c.-22) n(22 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选 错的得0分) 9.已知正项数列{an}的前n项和为S。,若对于任 意的m,n∈N“,都有am+n=am十an,则下列结 论正确的是 () A.a1+a12=a8十as B.asasaao C.若该数列的前三项依次为x,1一x,3x,则a10 10 D.数列 为递减的等差数列 37 10.已知函数f(x)=一z3十ax2十bx十c,下列结 论中正确的是 () A.3x∈R,f(x)=0 B.若f(x)有极大值M,极小值m,则必有M >m C.若x。是f(x)极小值点，则f(x)在区间 (一∞，x。)上单调递减 D.若f'(x)=0,则x。是f(x)的极值点 11.已知数列{an}是等比数列，有下列四个命题， 其中正确的命题有 A.数列{an}是等比数列 B.数列{ana+1}是等比数列 C.数列{lga}是等比数列 D.数列{上}是等比数列 ta. 12.函数y=xe的最小值不可能是 A.-1 B.-e C.-1 D.不存在 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共 20分。) 13.设f'(x)是函数f(x)的导函数，且f'(x)> f(x)(x∈R),f(2)=e(e为自然对数的底 数)，则不等式f(x)<e的解集为 14.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=一1，an+1 =2SnSn+1,则a2= ,S,= (本题第一空2分，第二空3分) 15.朱载堉(1536-1611)是中国明代一位杰出的 音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学 新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平 均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分 成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的 频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一 个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比 相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2 倍.设第三个音的频率为f,第七个音的频率 为f则 16.已知函数f(x)=(e是自然对数的底数)，则 函数f(x)的最大值为 ；若关于x的 方程[f(x)]+2tf(x)+2t一1=0恰有3个不 同的实数解，则实数t的取值范围为 三、解答题：（本题共7小题，共70分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)设函数f(x)=e2x-alnx. 讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数； 18.(本小题满分12分)设数列{a.}的前n项和为 Sn,从条件①nan+1=（n+1)an,②S.= (n+1)a,③a+a.=2S。中任选一个，补充到 2 下面问题中，并给出解答.已知数列{an}的前n 项和为Sm,a1=1, (1)求数列{a,}的通项公式； (2)若bn=一2”am,求数列{bn}的前n和T. 8 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a·e一 名-2aeR. (1)若函数f(x)有两个极值点，求a的取值 范围； (2)证明：当>1时，e·lnx>x-子 20.(本小题满分12分)各项均为正数的数列 {an}前n项和为Sn,且4Sn=a+2an十1，n∈ N*. (1)求数列{an}的通项公式： (2)已知公比为q(q∈N)的等比数列bn}满 足b1=a1,且存在m∈N米满足bm=am,bn+1= am+3,求数列{bn}的通项公式. 39 21.(本小题满分12分)已知{a,}为等差数列，{bn} 为等比数列，a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b=4 (b-b3). (1)求{an}和{bn}的通项公式； (3a2+4b+,n为奇数， (2)对任意的正整数n,设cn= aran+2 a。,n为偶数， (n∈N"), 求数列{cn}的前2n项和. 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax一e+ 2,其中a≠0. (1)讨论f(x)的单调性. (2)是否存在a∈R,对任意x1∈[0,1]，总存在 x2∈[0,1]，使得f(x1)+f(x2)=4成立？若 存在，求出实数a的值；若不存在，请说明 理由 40参考答案 21.解：)证明：由aua13n∈N*)…知十字 令函数h(a)=a-lna(a>1),易得h'(a)=1- an+l 0(a>1), 所以h(a)>h(1)=0,所以a>lna,即-a<-lna. 又+-+号}是以受为首项8为公 又f-a)=ae“>0,所以函数f(x)在(-a,-lna) 比的等比数列 上也有一个零点，所以，当Q>1时，函数f(x)有两个 相异零点 (2)由(1)知1+ 3 .a= 2 3-1 综上所述，当a∈(0,1)U(1,+)时，函数f(x)有 两个相异零点. bm2 模块双测卷B卷·素养提升卷 1=1x+2x分+3x+…+a-1 2-2十 1.A[:等差数列{an}中，a2=1,a3十a5=4, a2=a1+d=1 nX2-' (a+2d+a1+4d=4 解得d=名1=7d该数 27+2 22++(n-1X 1 27+nX 21 列公差为2] 两式相减得安++0+…十 1 2T-nX 2.B[f(x)=-2x+a+2=-2x2+ax+2 x 2 2-1+2 要使函数f(x)=-x2+ax+2lnx在(1,2)上有最 2 大值， T=4导 则函数f(x)=-x2+ax+2lnx在(1,2)上有 2M-1· 极大值. 22.解：(1)因f(x)=ae-x-a,所以f'(x)=ae-1. 即方程-2x2十ax十2=0有两个不等实根，且较大根 ①当a≤0时，f'(x）=ae-1<0, 在区间(1,2). 所以x∈(-o∞，十∞)时，f'(x)<0,所以函数f(x) /-2×12+a·1+2>0 在（一∞，十∞）上单调递减.此时，函数f(x)无极值. 解得0<a<3.] ②当a>0时，令f(x)=aex-1=0,得x=-lna, ÷{2×20+a2+20 3.D[设数列{a}是公差为d,(d≠0)，首项为a1,因为 当x∈(-o∞，-lna)时，f(x)<0,所以函数f(x)在 (-o∞，-lna)上单调递减； 7a,+7x(?-1Dd a+a?+7=0,所以a1+a1+6d 2 当x∈(-lna,十o∞)时，f'(x)>0,所以函数f(x)在 (-lna,十oo)上单调递增. 此时，函数f(x)有极小值为f(-lna)=lna一a十1， =0,所以3a1十9d=0,所以a1=-3d,所以 无极大值. a1+4d 子 d (2)存在实数a,使得f(x)有两个相异零点. 6a1+6x9-Da 由(1)知：①当a≤0时，函数f(x)在(-∞，十∞)上 2 单调递减； 又f(0)=0,所以此时函数f(x)仅有一个零，点： 4A[函量的务数为y=中61=1-6：切点为 ②当0<a<1时，-lna>0. -b,0),代入y=x-a,得a十b=1,a、b为正实数， 因为f(0)=0,则由(1)知f(-lna)<0;取 f-2ha)=日+2ha-a(0<a<1,令ga)= a∈0.则2千号。令ga)=3。则ga a2 a(6-a +2In a-a, (3-a) >0,则画载风@)为增西最，∴行(0， 易得g(aw)=-+2-1=-a-1)2 -a2a a2 <0,所以g 2 (a)在(0,1)上单调递减，所以g(a)>g(1)=0, 5.C[设最顶层有x盏灯，则最下面一层有(x十8)盏， 所以f(-21na)=1+21na-a>0. a +8m=18x,8=18x-2,8n=12x=号x+(x十 此时，函数f(x)在(-lna,-2lna)上也有一个 n)+(x+2n)+(x+3n)+…+(x+8n)=126,9x+(1 零点. 所以，当0<a<1时，函数f(x)有两个相异零，点. +2+3++8)n=126,9.x+36m=126,9× 31+36n ③当a=1时，-lna=0,f(x)≥f(0)=0,此时函数 =126,61+361=126,42n=126,n=126÷42=3,x f(x)仅有一个零点. ④当a>1时，-lna<0,因为f(0)=0,则由(1)知f 3X号-2（盖，所以装下面-层有灯13×2=26（差） (-lna)<0: 故选C.] 61 数学B版·选择性必修第三册 6.C[高载f)=22-2x+alnr有嶂-个极位 故a10= +x日-号故C正确： 3 点，则导函数有唯一的大于0的变号零点，f(x)=x a1+n。1Dd -2+g=0,变形为-Q=x2-2.x(x>0). 2 号+(a一号)因为号> 画出y=x2-2x(x>0),y=-a的图象， 0,所以 ↑y 倍}是说增的等鉴数列，截D给民] 10.ABC[因为当x→+∞时，f(x)→-∞，当x→-∞ 时，f(x)→十o∞，由零点存在性定理知了x0∈R f(x0)=0,故A正确；因为f'(x)=-3.x2十2a.x十 0 b,若f(x)有极大值M,极小值m,则f'(.x)=0有两 根x1,x2,不妨设x<x2,易得f(x)在(x1,x2)上单 使得两个函数图象有唯一一个交点，并且交点的横坐 调递增，在（一∞，x1),(x2,十∞)单调递减，所以 标大于0，故-a≥0或-a=一1，化简为a≤0或a= f(x2)=M>f(x1)=m,故B、C正确；导数为0的 1.因为a=1时f'(x)=1D2≥0不特合题意，所 点不一定是极值点，故D错误.故选ABC.] 11.ABD[根据题意，数列{an}是等比数列，设其公比 以a≤0.故选C.] 为q,则”1=q,对于A,对于数列{引an},则有 7.C[n=1时，1=2，因为a十2a2十3a3+…+1aw= a 2",所以n≥2时，a1+2a2+3a3+…+(-1)a1-1 Q=g,为等比数列，A正确；对于B,对于数列 a 2,两式相减得到m,=21,故a,=2 ,1=1时 和+1，有0=q,为等比数列，B正确：对 不适合此式， an-1an an 1,n=1 于C,对于数列lga品}，若an=1,数列{an}是等比 所以bn= 1 数列，但数列{lga品}不是等比数列，C错误； (n+1)2"-1 n(n+1)n≥21 当n=1时，S1=b1=1, 对于D对于数列{侣}有受==为等比 1 an g 当≥2时s,=1+[(合3)十（令-）十… an-1 数列，D正确.门 l2.ABD[y'=e+x·er, 所以≥号：所以：的最小位为受 令y=0,则x=-1, x<-1时，y'<0,x>-1时，y'>0, 8A当≥0时，由[号打 2f(x)-f2,而 ∴x=一1是函数的唯一极小值点，即为最小值点， (le)z 2f(r)-f()<0知：f在[0，+o)上单调减， =-1时m=-故接ABD.] (e)r 13.解析：构造F(r)=f卫.F'Cx)=f)e-ef er 而f(2)=e,即f2)=l,又fx>0知：f》 e (ve)l fm)=fD由于f'(x)>f(x),故F'(x)>0,即 >1=f2) F(x)在R上单调递增.又f(2)=e2,故F(2)= (e)21 .在[0，十∞)上有0≤x<2,又f(x)是定义在R上的 f2-l,f)<e,即F(x)=八2<1=F(2, e 品在R上为锅画数， 偶函数，则x) 即x<2. 答案：(-o∞，2) f）在(-0,0)上单调递增，即f）> 14.解析：S,是数列{a,}的前n项和，且a1=一1，an+1= (√) (ve)al 2S,Sw+1,令n=1,则a2=2a1(a1+a2),.a2=-2 《得 （-1十a.郎得a=号.又S1-S=2S,51整 综上，有-2<x<2.] 理得1 1 9.AC[令m=1,则a+1-an=a1,因为a1>0,所以 Sa+1 {an}为等差数列且公差d>0,故A正确； 数，：数到行}以宁1为有观-2为 由a5a6-a1a10=(a+9a1d+20dl)-(a1+9a1d) 20d>0,所以a5a6>a1a10,故B错误；根据等差数列 公差的等差发列.所以5-1-2(0-1)-1一2， 的性质可得21-2)=1十3，所以2=言1- 故S=1-2i 2 3 答案：号$，已2 62 参考答案 15.解析：由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间 的频率之比相等， (1)由于Sn= n十1)a,所以2Sn=(十1)an①，当n 2 .可以将每个音的频率看作等比数列{an},一共13 ≥2时，2Sw-1=1aw-1②， 项，且=g, ①-②得：2a=（n+1)an-1a1-1,（n-1)an a力-1 =10w-1· 最后一个音是最初那个音的频率的2倍， a13=2a1,a1gl2=2a1→g2=2, 整理裕受-号气=1，所以4，= 2=41=a19 …7agag=g-g2)=2,2=2. (2)由(1)得：bn=-n·2”, 设cn=n·2”,其前n项和为C, 答案：2 所以Cn=1×21+2×22+.+n·2"①， 16.解析：1)f(x)的定义城为R,f(x)=1工，故f(x) 2C,=1×22+2×23+…+1·2+1②， er ①-②得：-Cw=(21+2+…+2")-n·2+1= 在(-∞，1)上递增，在(1，十∞)上递减，所以f(1)= 2X(20-1D-n…2+1, 已是f)的板大值也即是最大值 2-1 故Cn=(n-1)·2”+1十2，所以 (2)由(1)知f(x)在(-o∞，1)上递增，在(1，+o∞)上 Tn=(1-)·2+1-2. 递减，最大值为f)=是，当>0时f)>0,当 选条件③时， 由于，a7十an=2S,① =0时，f(x)=0,当x<0时，f(x)<0.由[f(x)]2+ 当n≥2时，a号-1+au-1=2S,w-1② 2tf(x)+2t-1=0,即[f(x)+2t-1]·[f(x)+1] =0,由上述分析可知f(x)十1=0，f(x)=一1有一 ①-②时，a-a员-1=(a,十a,-1),整理得an一a,-1 =1(常数)， 个解x1.故需f(x)+2t-1=0,f(x)+1=0有两个 所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列. 不同的解由上远分折可如0<1-21<日每得园 所以an=l. (2)由(1)得：bn=-n·2”, <分所以实数1的取值范因是（品，宁。 设cn=1·2”,其前n项和为Cn, 答案日（是》 所以Cn=1×21+2×22+…+n·2"①， 2C=1X22+2X23+…+n·2"+1②， 17.解析：f(x)的定义域为(0，十oo),f(x)=2e2x-4(x> ①-②得：-Cn=(21+22+…+2”)-1·2"+1= 0). 2×(2"-D-n·2+1, 2-1 当a≤0时，f(x)>0,f(x)没有零点. 故Cn=(1-1)·2+1+2,所以 当a>0时，设u(x)=e2,u(x)=-a T,=(1-)·2"+1-2. 19.解：(1)f(x)的定义域为R,f'(x)=a·e2-x-1, 因为u(x)=e2x在(0，十o∞)上单调递增，u(x)=一a 若函数f(.x)有两个极值点，则f(x)=a·e-x-1 在(0，十∞)上单调递增，所以f(x)在(0，十∞)上单调 =0有两个变号零点， 递增。 等同于Q=十，即水平直线y=a与曲线y=十1 又f广a)>0,当b满足0<<号且时，fb) 有两个交点(y=1不是y=十1的切线)， 0(讨论a≥1或a<1来检验)， 故当a>0时，f(x)存在唯一零点. 18.解：选条件①时，(1)1a+1=(n十1)a时，整理得 am1=01=41=1, n+1n1 所以an=1. (2)由(1)得：bn=-1·2”, 设c,=n·2”,其前n项和为Cw, 令h(x)=+1,()的定义战为R,则(x) 所以C,n=1×21+2×22+…+1·2"①， 2Cn=1×22+2×23+…+n·21+1②， 亡令N()=0,解得1=0， ①-②得：-Cw=(21+22十…+2")-n·2+1= 当x>0时，h'(x)<0,h(x)在(0，十∞)上单调递减， 2×(2"-D-·2”+1, 当x<0时，h'(x)>0,h(x)在(-o∞，0)上单调递减， 2-1 则h(0)=1为h(x)的极大值，也为最大值， 故C=(n-1)·2”+1+2,所以 当h(x)=0时，x=-1,当x→-o∞时，h(x)→-∞， T,=(1-n)·2n+1-2. 当x十∞时，h(x)→0且为正数，则h(x)的图像如 选条件②时， 图所示，则此时0<a<1: 63 数学B版·选择性必修第三册 (2)证明：令g)=en-x+子（>1D,则只需 3·255·27 5 7 证明当x>1时g(x)>0恒成立即可， C21-3)·22-11(21-1)·22w+1 则ga)=elnx+兰-1-◆x)=gx)= 21-1 2m+1 (21-1)·22m+1 e,In x+er-1 1 2+1 +2， x T= 则t(x)=e.lnx+e兰+e·x-e+ 2 +++20 4” 3 当>1时elh>0>0,已>0， 由x将+是+3+@ 4” 2-1 4+7 则>0，则x)=g)=en+号-1-子 2m-1 4 1- 4"+7 在x>1时单调递增， 又g'(1)=e-2>0, 14 161+5 5 61+5 在 463·4w+2 3·4,化简得 .x>1时，g'(x)>0,则g(x)=e·lnx-x十 x T=5_6m+5 x>1时单调递增， 99·4" .当x>1时g(x)>g(1)=0,即当x>1时，e·lnx 因此，数列{cu〉的前21项和为S十T= (21-1)·2m+_6n+5+23 2+1 9·4" 9 20.解：(1)当n=1时，4S1=4a1=a?十2a1+1,整理得 22.解：(1)由f(x)=ax-e+2,得f(x)=a-e, (a1-1)2=0,.a1=1. 当a<0时，对任意x∈(-∞，十∞)，f(x)<0,所以 4Sn=a7+2an+1,∴.4Sm+1=a7+1+2an+1+1, f(x)单调递减： 两式相减得4a+1=a7+1-a+2au+1-2aw,即a7+1 当a>0时，令f(x)=0,得x=lna, -a7-2an+1-2an=0, 当x∈(-o∞，lna)时，f'(x)>0,当x∈(lna,+o∞) 时f(x)<0, 即(a+1十an)(aw+1-am-2)=0, 所以f(x)在（一oo,na)上单调递增，在(lna,十o∞） 数列{an}各项均为正数，.an+1十an>0,a+1 上单调递减， -a=2, 综上所述，当a<0时，f(x)在（一∞，十o∞）上单调 .数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，故an 递减， =1+2(n-1)=2n-1. 当a>0时，f(x)在(-o∞，lna)上单调递增，在(lna, (2)b1=a1=1,.bn=b1g"-1=g"-1, 十o∞)上单调递减； 、依题遮程2”5相除得9孤+ (2)存在满足条件的实数a,且实数a的值为e十1， 2m-1 理由如下： 2m-7∈V*, 6 ①当a≤1，且a≠0时，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调 递减， 2m-1=1或2m-1=3,所以m=1,或{m=2, 则x∈[0,1]时，f(x)max=f(0)=1, (g=7 g=3, 则f(x1)+f(x2)≤2f(0)=2<4, 当m=1时，b,=7”-1;当m=2时，bn=3”】 所以此时不满足题意： 综上所述，b,=7”-1或bn=3”-1 ②当1<a<e时，由(1)知，在[0，lna]上，f(x)单调 21.解：(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的 递增， 公比为q, 在(na,1)上，f(x)单调递减， 由a1=1,a5=5(a4-a3),则1+4d=5d,可得d=1, 则当x∈[0，l]时，fx)max=flna)=alna-a+2, 所以an=1十1-1=， 当x1=0时，对任意x2∈[0,1]， 因为b1=1,b5=4(b4-b3),所以q=4(q3-q2),整 f(z1)+f(x2)<f(0)+f(In a)=1+a Ina-a+2= 理得(q-2)2=0,解得g=2, a(lna-1)+33, 所以bn=1X2”-1=2-1: 所以此时不满足题意： (2)设数列{c,}的前21项和中奇数项的和为S,偶数 ③当a≥e时，令g(x)=4-f(x)(x∈[0,1])， 项的和为T, 由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增，进而知g(x)在 [0,1」上单调递减， 当n为奇数时，cn= (3a2+4)bm+1=(32+4)2” 所以g(x)max=g(0)=4-f(0),g(x)mim=g(1)=4 a,n+2 n(n+2) -f(1), [4n2-(n2-4)]·2” _(1-2)·2”+1·2"+2 若对任意的x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得 n(n+2) n +2 f(x1)+f(x2)=4, 当n为偶数时，==" b+12 N)o-9m+0 {f1)+f0)≤41 对任意的正整数，S= (+号)+（号+3） 所以f(0)+f(1)=a-e十3=4，解得a=e十1， 综上，存在满足题意的实数a,且实数a的值为e十1. 64