精品解析：吉林省吉林市第四中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

吉林市第四中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一年级数学学科试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设 是平面向量的一组基底，那么 “ ” 是 “ 是钝角” 的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2. 已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 5. 在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 8. 已知正方形的边长为4，点E在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 11. 将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，下列叙述正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆锥侧面展开图扇形圆心角为 D. 过圆锥顶点的截面面积的最大值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______. 13. 已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于____________． 四、解答题 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 已知复数，其中． （1）若为实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若对应的点位于第四象限，求的取值范围． 17. 在中，. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 18. 如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. （1）求圆锥的表面积与体积； （2）设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少. 19. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，且，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第四中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一年级数学学科试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设 是平面向量的一组基底，那么 “ ” 是 “ 是钝角” 的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】 是钝角时，，必要性满足， 是平面向量的一组基底，则， 时，， 时，，充分性也满足， 所以应为充要条件. 2. 已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助投影向量定义计算即可得. 【详解】， 故向量在向量方向上的投影向量为. 3. 在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过 三点共线，即可求解. 【详解】由，可得： ，即， ， 因为 共线，则 . 4. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A，若，，则与平行或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误； 对于D，因为，所以在内存在直线∥，又，所以∥； 又是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线；又，所以；故D正确. 故选：D. 5. 在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理结合得，利用正弦定理得，进而得，由已知求得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理有：，又，所以， 又由正弦定理有：， 又， 所以， 又为三角形的内角， 所以或（舍去），所以，又， 所以 ，所以， 所以， 故选：D. 6. 已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，即可求得此扇形的面积，得到答案. 【详解】由题意知，扇形的半径为，圆心角为， 根据扇形的面积公式，可得， 所以此扇形的面积为． 故选：A． 7. 三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱锥的体积公式即可求解. 【详解】解：因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4， 所以该三棱锥的体积为， 故选：A. 8. 已知正方形的边长为4，点E在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律以及二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意，在边长为4的正方形中，. 设，，则. 因为， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助共轭复数与模长定义计算即可得A；虚数不能比较大小可得B；借助共轭复数定义计算可得C；借助共轭复数定义及复数乘法运算法则计算可得D. 【详解】对A：，则，故A正确； 对B：虚数不能比较大小，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，则，故D正确. 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 11. 将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，下列叙述正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆锥侧面展开图扇形圆心角为 D. 过圆锥顶点的截面面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题中等边三角形就是圆锥轴截面，得出圆锥母线长，底面半径，高，然后计算体积、侧面积，圆锥侧面展开图扇形圆心角，过圆锥顶点的截面面积的最大值判断各选项． 【详解】由题意圆锥的母线长为，底面半径为，高为， ，A错； 侧，B正确； 圆锥侧面展开图扇形圆心角为，C正确； 由题意圆锥轴截面是等边三角形，任意两条母线夹角的最大值为轴截面顶角， 因此过圆锥顶点的截面面积的最大值，D正确． 故选：BCD． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则复原原图，确定相关线段长，即可求得答案. 【详解】由题意可知，，斜边，，∴， 由斜二测画法的规则可知，在中，，，， ∴的面积是， 故答案为： 13. 已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】研究圆锥与内切球的轴截面，由题可得内切球半径，在轴截面中解直角三角形分别求出圆锥的高与底面半径即可. 【详解】如图所示，设内切球与相切于点，因为，所以， 由内切球的表面积为，可得球的半径， 在直角中得，则圆锥的高为， 在直角中得，即圆锥的底面半径为3， 所以该圆锥的体积． 故选：A． 14. 如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得，根据，以及E、B、D三点共线，可求出． 【详解】因为，所以， 则， 因为E、B、D三点共线，所以，所以． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 向量与的夹角为锐角需满足， 且向量与不共线，即，由（1）有，所以 ，由得，所以的取值范围为. 16. 已知复数，其中． （1）若为实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由虚部为0列式求值. （2）由实部为0，虚部不为0列式求值. （3）由实部大于0，虚部小于0列式求的取值范围. 【小问1详解】 由为实数，所以虚部为0， 即或. 【小问2详解】 由是纯虚数，所以， 所以. 【小问3详解】 由对应的点位于第四象限，所以， 所以. 所以的取值范围为. 17. 在中，. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，即可得出的周长. 【小问1详解】 解：在中，设内角、、的对边分别为、、， 因为，即， 由题意得： 由正弦定理得，即， 所以，，又因为，所以，. 【小问2详解】 解：，代入，则，即， 因为，所以，， 则，可得，因此，的周长为. 18. 如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. （1）求圆锥的表面积与体积； （2）设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可； （2）根据相似计算出圆柱的高，再写出表面积公式再结合二次函数得出最大值. 【小问1详解】 如图：圆锥的母线； ； 【小问2详解】 记圆柱的表面积为，圆柱高为，则. ，即， 解得，其中； 所以， 当时，. 19. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，且，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式求解可得； （2）边化角，结合（1）可求得，然后由三边比值结合周长可求得各边，即可求得面积. 【小问1详解】 ， ， 由正弦定理可得， 又， 所以， 因为，则，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 ，， 又， 即，解得， ， ， 又的周长为，， 解得， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $