解题大招04 基本不等式链和柯西不等式的四大妙用（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦基本不等式链与柯西不等式的判定、求最值四大应用，以题型为载体系统提炼配凑构造、结构匹配等解题策略，培养数学推理与运算能力，形成“概念-方法-应用”逻辑闭环。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式链判定|典例1+跟踪2|均值顺序比对+结构变形|从不等式链概念到大小关系判定，强化条件验证| |不等式链求最值|典例2+跟踪2|配凑定积/和+等号核验|以均值不等关系为依据，构建最值求解模型| |柯西不等式判定|典例1+跟踪2|结构匹配+放缩验证|从柯西公式到不等式证明，培养逻辑推理| |柯西不等式求最值|典例2+跟踪2|平方和构造+定值转化|利用柯西结构放缩，提升数学运算与模型应用能力|

解题大招04 基本不等式链和柯西不等不等式的四大妙用 知识点01 基本不等式链 对于任意的，都有, 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 知识点02 柯西不等式 1.二元柯西不等式 对于任意的，都有，当且仅当时取等号 2.元柯西不等式 对于任意的），都有， 取等号的条件：或（）． 题型01 利用不等式链判定不等式 熟记平方、算术、几何、调和均值不等式链顺序，对照式子结构匹配对应均值。统一式子形式，合理变形化简，依据均值大小顺序直接比对.严格满足各项为正，核对适用条件，结合放缩技巧推导大小关系，验证逻辑无误即可判定不等式成立与否. 【典例1】(多选)(2025·河南南阳模拟)已知正数m，n满足＋＝，则(　　) A.mn B.m2＋n2≥2 C.m＋n D.∃m，n∈(0，＋∞)，mn 【答案】AD 【详解】对于A，＋＝2，则mn，当且仅当m＝n＝时等号成立，故A正确；对于B，应用重要不等式得m2＋n2≥2mn(m＝n时取得等号)，由A中mn，当m＝n＝时取得等号，得m2＋n2≥2mn≥2×＝1，即m2＋n2的最小值为1，与m2＋n2≥2矛盾，故B错误；对于C，因为＋＝，则×＝×＝1，m＋n＝×(m＋n)＝×，其中＋2＝2，当且仅当m＝n＝时取得等号，则m＋n，即m＋n的最小值为，且m＋n＝＜，故C错误；对于D，mn⇔4mn⇔4mn＋，且＋＝，得mn＋≤2，而mn＋2＝2，当且仅当mn＝1时等号成立，即∃m，n∈(0，＋∞)，mn＝1，＝mn，故D正确.故选AD. 【跟踪训练】 1．（多选）（25-26高三上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：由不等式链得， 所以,当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：由不等式链得，当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 2．（多选）（2026·山东烟台·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A项，因，，且，则有， 当且仅当时取“=”，A正确； 对于B项，因，，且，则由不等式链得， 所以,B错误； 对于C项，因，，且，则， 得，， 设，， 得，得函数在上单调递增， 得，得， 即，得，故C正确； 对于D项，， 令， 得，得函数在上单调递增， 得，得，即，故D错误. 题型02 利用不等式链求最值 策略：依据均值不等式链，通过配凑、换元构造和定或积定，遵循和定积最大、积定和最小规律，灵活选用不同均值快速求最值。 注意事项：满足一正二定三相等；核验等号可取性；多次连用不等式需取等条件统一；负数先转化为正数，取不到最值改用函数单调性求解。 【典例2-1】已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　) A. B.＋ C. D. 【答案】B 【详解】因为a，b为互不相等的正实数，所以＋＞，＜＝＜，＜ ＝＜，所以最大的是＋.故选B. 【典例2-2】(多选)(2025·广西北海模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 【答案】ACD 【详解】对于A，由均值不等式可得＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，由＝＝，得＋，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，由 ＝，得a2＋b2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，由≤ ＝，得＋，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确.故选ACD. 【跟踪训练】 1.（多选）（24-25高二下·辽宁·阶段练习） 已知且，则下列选项正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABD 【详解】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误； 对于D项，令所以 所以， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D项正确． 故选：ABD． 2．设,则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由不等式链得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”）， 从而有（当且仅当,即时，“=”成立） 题型03 利用柯西不等式判定不等式 观察不等式结构，匹配柯西平方和、向量、分式等常用形式。通过拆项、凑系数、分组变形，构造柯西标准结构。保证式子各项有意义、同序适配，利用柯西放缩建立大小关系。再验证等号成立条件，依据放缩结果即可判定不等式是否成立。 【典例3】（25-26高一上·江西景德镇·期中）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据柯西不等式，等号成立条件为，对每个选项进行分析计算，判断其正误. 【详解】对于A选项，根据柯西不等式. 因为，所以，即. 所以，则，当且仅当时取等号， A选项正确. 对于B选项，令，，则. 根据柯西不等式. 即.当且仅当取等号， 所以，B选项错误. 对于C选项，根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误. 对于D选项，令，，则. 根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号. 所以，D选项正确. 故选：AD. 【跟踪训练】 1．(多选)（2026·河北廊坊·一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 【答案】ACD 【详解】，，又，，故A正确， 令，，故B错误， ，即，，又，，， ，当且仅当时，即等号成立，故C正确， ， 又，，则， 又，，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 2．（25-26高一上·湖南长沙·月考）设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数．如：．下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可. 【详解】A：，故A对； B：，故B错； C：，， 而，故C对； D：由柯西不等式，，故D错. 故选：AC. 题型04 利用柯西不等式求最值 策略：观察代数式结构，凑配成柯西标准形式，通过分组、添项、配系数构造平方和乘积结构；利用柯西不等式放缩，转化为定值从而求出最值。 注意事项：保证各项实数有意义；严格验证等号成立条件能否取到；多组连用柯西时，需保证等号条件一致；结构不匹配时先变形、换元再套用。 【典例4-1】（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【典例4-2】(多选) （2025高三·全国·竞赛）已知，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 则，且，可得， 当且仅当时，等号成立； 又因为，则， 可得． 且， 设点和标准单位圆面内点，则， 又因为，所以， 所以，可得， 则， 当且仅当时，等号成立. 综上所述：所求取值范围是． 故选：C. 【跟踪训练】 1.（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：因为， 所以，且， 又因为， 所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以的最小值为． 解法二：因为， 所以，且， 所以 ， 所以的最小值为． 故选：D． 2．（25-26高二下·河北·期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 由得，则，即， 则，得， 所以，代入得， 因为，所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即等号成立. 故选：B. 1．已知正数满足，则的最大值为（ ） A.1 B. C. D.3 【答案】B 【详解】由基本不等式链得，所以，故选B. 2．（25-26高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【详解】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 3．（2026·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 4．（多选）若x，y满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由基本不等式链: , 可得（R）， 对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；故选AC. 5．（多选）若x，y满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由基本不等式链: , 可得（R）， 对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；故选AC. 6．（多选）设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是（　　） A.a＋b＋≥2　 B.＞ C.≥a＋b　 D.（a＋b）（＋）≥4 【答案】ACD 【详解】因为a＞0，b＞0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时取等号，故A正确；因为a＋b≥2＞0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，故B错误；因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以＝＝a＋b－≥2－＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≥，即≥a＋b，故C正确；因为（a＋b）·（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号，故D正确. 故选：ACD 7．（2025高三·全国·竞赛）设，则的最小值为_____． 【答案】/0.4 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为． 8．（2025高三·全国·竞赛）设，且，则的最大值为_____． 【答案】/ 【分析】令，则，将已知条件变形为，根据柯西不等式可得的最大值.或者由对称性设，将条件变形为，再根据柯西不等式得，进而得到的最大值． 【详解】解法1：令，则. 所以已知条件可变形为． 于是， 当，即，即， 即时，取得等号． 解法2：由对称性，不妨设，则题设条件变形为． 又， 当且仅当时，取得等号． 所以． 故答案为：. 9．（25-26高一下·河南郑州·月考）在中，，，对应的边分别，，， (1)求； (2)柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式： ②已知三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，求的最小值 【答案】(1) (2)①证明见详解；② 【分析】（1）根据条件，边化角得到，再利用余弦定理，即可求出结果； （2）①利用数量积的定义，得到，再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根据条件及三角形面积公式，利用，得到，结合余弦定理，令，得到，再求出的范围，即可求出结果. 【详解】（1）由正弦定理得即 由余弦定理有， 若，等式不成立，则，所以， 因为，所以. （2）①设，，由，得， 从而，即 ②. 又，，，， . 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立. 由余弦定理得，所以即， 则，令，则. 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 令；则在上递减， 当即时，有最大值，此时有最小值. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招04 基本不等式链和柯西不等不等式的四大妙用 知识点01 基本不等式链 对于任意的，都有, 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 知识点02 柯西不等式 1.二元柯西不等式 对于任意的，都有，当且仅当时取等号 2.元柯西不等式 对于任意的），都有， 取等号的条件：或（）． 题型01 利用不等式链判定不等式 熟记平方、算术、几何、调和均值不等式链顺序，对照式子结构匹配对应均值。统一式子形式，合理变形化简，依据均值大小顺序直接比对.严格满足各项为正，核对适用条件，结合放缩技巧推导大小关系，验证逻辑无误即可判定不等式成立与否. 【典例1】(多选)(2025·河南南阳模拟)已知正数m，n满足＋＝，则(　　) A.mn B.m2＋n2≥2 C.m＋n D.∃m，n∈(0，＋∞)，mn 【跟踪训练】 1．（多选）（25-26高三上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026·山东烟台·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 题型02 利用不等式链求最值 策略：依据均值不等式链，通过配凑、换元构造和定或积定，遵循和定积最大、积定和最小规律，灵活选用不同均值快速求最值。 注意事项：满足一正二定三相等；核验等号可取性；多次连用不等式需取等条件统一；负数先转化为正数，取不到最值改用函数单调性求解。 【典例2-1】已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　) A. B.＋ C. D. 【典例2-2】(多选)(2025·广西北海模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 【跟踪训练】 1.（多选）（24-25高二下·辽宁·阶段练习） 已知且，则下列选项正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 2．设,则的最大值为 ． 题型03 利用柯西不等式判定不等式 观察不等式结构，匹配柯西平方和、向量、分式等常用形式。通过拆项、凑系数、分组变形，构造柯西标准结构。保证式子各项有意义、同序适配，利用柯西放缩建立大小关系。再验证等号成立条件，依据放缩结果即可判定不等式是否成立。 【典例3】（25-26高一上·江西景德镇·期中）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练】 1．(多选)（2026·河北廊坊·一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 2．（25-26高一上·湖南长沙·月考）设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数．如：．下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 题型04 利用柯西不等式求最值 策略：观察代数式结构，凑配成柯西标准形式，通过分组、添项、配系数构造平方和乘积结构；利用柯西不等式放缩，转化为定值从而求出最值。 注意事项：保证各项实数有意义；严格验证等号成立条件能否取到；多组连用柯西时，需保证等号条件一致；结构不匹配时先变形、换元再套用。 【典例4-1】（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【典例4-2】(多选) （2025高三·全国·竞赛）已知，则取值范围是（    ） A． B． 【跟踪训练】 1.（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北·期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 1．已知正数满足，则的最大值为（ ） A.1 B. C. D.3 2．（25-26高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 3．（2026·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（多选）若x，y满足，则（　　） A． B． C． D． 5．（多选）若x，y满足，则（　　） A． B． C． D． 6．（多选）设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是（　　） A.a＋b＋≥2　 B.＞ C.≥a＋b　 D.（a＋b）（＋）≥4 7．（2025高三·全国·竞赛）设，则的最小值为_____． 8．（2025高三·全国·竞赛）设，且，则的最大值为_____． 9．（25-26高一下·河南郑州·月考）在中，，，对应的边分别，，， (1)求； (2)柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式： ②已知三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，求的最小值。 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $