训练4 基本不等式-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

进一步对其分子利用基本不等式可 得a+b-√ab≥2√ab-√ab= √ab,当且仅当a=b时，等号成立， 将其代入原式得十b一√b ≥1. √ab b 综上所述6+6≤后+后（当且 仅当a=b时取等号). 训练4基本不等式 1.D 对于A,当Q=1,b=-1时， b =一2，故A错误；对于B,因为(a b b)2≥0，所以a2+b2≥2ab,所以 a2+b2+2ab 4 ≥ab,脚(）≥ ab,当且仅当a=b时取等号，故B错 误：对于C,当a=-1,b=-1时，a十 b=-2<2√abT=2,故C错误；对 于D,因为(a十b)2≥0，所以a2十b2十 2ab≥0，即a2+b2≥-2ab,当且仅当 a=一b时取等号，故D正确.故选D. 2.C 当x>0时， 1=x+1≥2 当且仅当工=】，即工=1时取等号， 当x+1 ≥2时，x+1-2≥0，可得 x2-2x ≥0，即x-1)≥0，解 x 得x>0,所以“x>0”是工十] 2”的充要条件.故选C. 3.C对于A,y=x2+2x+4=(x十 1)2十3≥3，当且仅当x=-1时取等 号，所以其最小值为3，A不符合题意； 对于B,因为0<|sinx,所以y= 4 sin x ≥2√4=4，当且 sin x 仅当|sinx|=2时取等号，等号取不 到，所以其最小值不为4，B不符合题 意：对于C,因为函数定义域为R,而 2>0,y=2x+22=2+ 4 2√4=4，当且仅当2=2，即x=1时 取等号，所以其最小值为4，C符合题 意：对于D,y=lnx十 4 ，函数定义 域为(0,1)U(1,十o∞)，而lnx∈R且 lnx≠0，当lnx=-1时，y=-5,D 不符合题意.故选C 4B()≤ 1 ,即 √m十√n≤√2，当且仅当m=n= 1 2 时，等号成立，故选B 5.A由a十b=ab(a>1,b>1)得 ab一a一b+1=1,因式分解得(a 1)(b-1)=1,则(a-1)2十(b-1)2≥ 2(a-1)(b-1)=2,当且仅当a= b=2时，等号成立.故选A 6.B由题意知，x,ya>0,则(x十 w(}+品)=1+a…+￥+a≥ 1+a+2a=(a+1)2,当且仅当a· 工=义，即ax”=y时，等号成立. :十（位+品）≥9对程意正实 数x,y恒成立，.（√a十1）2≥9， a≥4，即正实数a的最小值为4.故 选B. 7.BCa2+b2≥2ab成立的条件是a, b∈R,A错误，B正确；a+b≥2√ab 成立的条件是a≥0，b≥0，C正确，D 错误.故选BC. 8.BD对于Aa>0,b>0,由2a+b= 1≥2V,得b≤g,当且仅当 2如=b=子时，等号成立，故A错误： 对于B,因为a>0,b>0,2a+b=1, 1 所以0<a<2a2+b=a2+(1- 2ay=5(a-号)+号所以当a= 号时a+公有最小值日故B正确： 对于c日+-（日+）2a+ 1 1=3+号≥8+2吾 a b 3+22,当且仅当 b 公，即= 2-E.b=2-1时，等号成立，故C 2 2:因为0<。三子·所以=13 a-1< 2,所以-2< 1 -71, 1 所以0-2。己<2，所以41 2 a-1 (0,2),故D正确.故选BD. 9.ABC因为实数a,b是方程x2一(k一 3)x十k=0的两个根，所以(k一3)2 4k≥0，所以k≥9或k1,由根与系 数的关系得，a十b=k-3,ab=k,又 a>1,b>1,所以k-3>2,即k>5, 综上得k≥9.由ab=k,得ab≥9，当 且仅当a=b=3时取等号，所以ab的 最小值为9，故A正确；因为a2十b2≥ 2ab≥18，当且仅当a=b=3时取等 号，所以a2十b2的最小值为18，故B正 确：由a十b=k一3，ab=k,得ab=a十 b十3，所以(a-1)(b-1)=4,所以 3 1 31 。十≥26= a-1=6-即a=25十 当且仅当3 1 1b=25+1时取等号，所以3 3 -1 b-7的最小值为，故C正确：因为 1 (a一1)(b一1)=4，所以a+4b=a一 1+4(b-1)+5≥ 2√(a-1)·4(b-1)+5=13,当且 仅当a-1=4(b-1),即a=5,b=2 时取等号，所以Q十4b的最小值为13， 故D错误.故选ABC. 10.[36,+o∞) 解析：因为a>0,b>0,所以ab= 4a+b+12≥2√/4ab+12=4√ab+ 12,即ab-4√ab-12≥0，解得 √ab≥6，即ab≥36，当且仅当 b。86中份二让时，等号成2 lab =36, 故ab的取值范围是[36，十∞). 11.7+26 4 +点{ 解析：3 1 6+)(2a+2+b+1)= 1 ++ 7+26 4 当且仅当6b十1) 2a+2 6+,即6(6+1)2-(2a+2),即 2a+2 a= 7-25,6=45-9时，等号成 5 5 立，所以3 1 中十6十的最小值 为7+26 4 12.2√2 解析：由“≤√ 2 +b,得a十 2 a2十b b≤22 ，则y=2x-1十 √5-2x≤2 /2x-1+5-2x 2 2√2，当且仅当√2x-I=√5-2z, 即红=子时：管号或立，所以画数 y=√2x一1十√5一2x的最大值 为2√2. 13.证明：因为0<a<b,所以0<a十 6<所以兰6>1 因为a>0,所以2a afb>a. 因为0<a<b,所以a十b-2ab= (a-√6)2>0， 所以a十b>2√ab, 所以a十b>Vab, 1 1 2 2√aba+b' 所以ab 2 Vab > 所以√ab> 2ab a十b' 因为0<a<b,所以a2+b2>2ab, 所以2(a2+b2)>a2+b2+2ab, 所以2(a2+b2)>(a+b)2, 所以十6 a+b)2 2 4 a2+b 所以2 :>a+b 2 因为0<a<b, 2b2 a2+b2 所以b=√2之√ 2 参考答案509 缘上a<。<历<生< 2 a十b <b. 14.解：(1)由题意得y=0.2x+ x于5r>0), 80 令y7.2,即0.2x +2≤2 整理得x2-31x十220≤0， 即(x-11)(x-20)0, 解得11≤x≤20， 所以x的取值范围为[11,20]. (2)y=0.2x+80 =+5 x+5 5 80 ,E+5x80 十5-1≥2√。 x十5 1=2√16-1=7， 当且仅当行 个=+5，即x=15 时，等号成立， 所以x为15时，y的值最小. 训练5一元二次方程、不等式 1.A由-x2十3x十10>0得x2- 3x-10<0,解得-2<x<5.故 选A. 2.C不等式3-5≥0，可化为工-3 x+2 x+2 0,所以x-3=0或一3 E十2<0，所以 x一3=0或(x-3)(x十2)0，所以 x=3或-2<x<3,即一2<x≤ 3,所以A={x一2<x≤3}，由不等 式(x十3)(x-1)≤0得一3x1, 所以B={-3,一2，一1,0,1}，所以 A∩B=-1,0,1,所以A∩B的真 子集个数为7.故选C. 3.C由条件可知，方程x2十bx十c=0 的两个实数根是x=一2或x=5,所 以文解培伦二i利 不等式cx2十bx十1>0即-10x2- 3x十1>0，即10x2+3x-1<0,即 (2x+1)(5x-1)<0,解得-2 1 工<方，所以不等式的解集为 (是）故选C 4.A根据方程x2十x十2a=0有两个 根，其中一个大于1，另一个小于1，可知 1十1十2a<0,解得a<-1.故选A. 5.Df(x)=x2-2ax+4<0有解，即 对于方程x2一2ax十4=0的△= 4a2-16>0,则a>2,可知D选项 为一个必要不充分条件.故选D. 6.C由题意可知-2和3是方程ax2十 bx十c=0的两根，且a>0,.-2十 3= b ,(-2)×3=￡，b=-a, c=一6a,a>0,故A正确；不等式 bx十c>0等价于a(x十6)<0， x<-6,故B正确；：不等式ax2十 bx十c>0的解集为(-o∞，-2)U (3,十o∞)，∴.当x=1时，有a十b十 c<0,故C错误；不等式cx2-bx a<0等价于a(6.x2-x-1)>0,即 510红对闪·讲与练·高三数学· a(3x+1)(2x-1)>0,解得x< 或x> ，故D正确.故选C 1 7.BD不等式x2+(a-2)x-2a<0, 即(x十a)(x-2)<0,显然a≠-2， 当a<一2时，原不等式的解集为(2， 一a),由于解集中恰有两个整数，则 4<-a≤5，解得-5≤a<-4,当 a>一2时，原不等式的解集为（一a, 2),由于解集中恰有两个整数，则 -1-a<0,解得0<a1,因此a 的取值范围是[-5，一4)U(0,1].故 选BD. 8.ACD对于一元二次不等式a(x a)(x十1)>0，则a≠0，当a>0时， 函数y=a(x-a)(x十1)的图象开口 向上，与x轴的交点的横坐标为a, 一1，故不等式的解集为x∈(-∞， -1)U(a,十∞)；当a<0时，函数 y=a(x一a)(x十1)的图象开口向 下，若a=一1，不等式的解集为☑， 若-1<a<0,不等式的解集为(-1， a),若a<一1，不等式的解集为(a, -1).故选ACD. 9.ACD原不等式等价于 1(ax十b)(x-c)≥0，因为其解集 x一c≠0， 为(-，-2]U(1,+o),所以a> 0且c=1,一2a十b=0,故A正确；因 为a>0,b=2a>0,则，点(a,b)在第 一象限，故B错误；由b=2a>0可得， 1 2a十b 1 1 =2a+2a≥2√2a2a =2, 1 当且仅当2a=2a'即a=2 1 时，等 a>0, 号成立，所以2a十方的最小值为2，数 C正确；由b=2a>0可得，不等式 ax2十ax-b≥0即为ax2十ax 2a≥0，化简可得x2十x-2≥0，所以 (x十2)(x一1)≥0，则其解集为 (-∞，一2]U[1,十∞)，故D正确.故 选ACD. 10.1-2 解析：因为不等式x2+bx十c<0的 解集为{x一2<x<1},所以 仁二2211解得二2 lc=-2X1, -2. 11.(4,+∞) 解析：若函数f(x)=x2十(m 2)x十(5-m)有两个小于2的不同零 点，则 4=(m-2)2-4(5-m)>0, f(2)=4+2(m-2)+5-m>0, -m22<2, 2 解得m>4,所以实数m的取值范围 是(4，十∞). 12.(-0∞，-2] 解析：令f(a)=x(x十2)a一(x十 2),由题意得 f(0)=-(x+2)≥0， f(1)=x(x十2)-(x十2)≥0， 解得x一2，所以x的取值范围为 (-∞，-2]. 13.解：(1)根据题意得 16-4a+b=0, {-4+2a+b=0, 基础版 解得份二总2， (2)当b=a十1时，-x2+a.x十b> 0台x2-a.x-(a+1)<0, 即[x-(a+1)](x十1)<0. 当a+1=-1,即a=-2时，原不等 式的解集为☑； 当a十1<一1，即a<-2时，原不等 式的解集为(a+1,一1)； 当a十1>-1，即a>-2时，原不等 式的解集为(-1，a十1). 综上，当a<-2时，原不等式的解集 为(a十1，-1)： 当a=一2时，原不等式的解集为☑； 当a>-2时，原不等式的解集为 (-1,a+1). 14.解：(1)不存在.理由如下：对于不等 式2x-1>m(x2-2),当m=0时， 2x-1>0,此时x>2,不符合 要求， 当m≠0时，mx2-2x-2m+1<0, 若不等式对任意x∈R恒成立，则 有四三4’4m-2m+1)<0. m<0, 即 十8 2m-）2上L <0,该不等 式组无解， 故不存在实数m,使不等式对任意 x∈R恒成立. (2)当x∈(2，十)时，x2-2>0, 则m<2红恒成立， x2-2 令t=2x一1∈(3，十o∞)，则x= 2，则21 t+1 t x”-2 2)2 4 t+2、⑦ t 由y=t+2 在(3，+∞)上单调 t 78 递增，故t十2->3， t 则2红二1 4 x2-2 t 故n0. (3)设f(m)=(x2-2)m-(2x-1), 由题意可得f(m)<0在m∈[-1， 1]上恒成立， 则有侣侣8 即212390 由①得x>1或x<-3, 由②得1-2<x<1十2， 所以1<x<1十√2. 第二章函数的概念与 基本初等函数 训练6函数的概念及其表示 1D由题意得作二。≥0所以 2≤x≤2，所以f(x)的定义城为 x≠0， [-2,0)U(0,2].故选D.班级： 姓名： 训练4基本不等式 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分）》 A.2 B.4 1.下列不等式恒成立的是 C.6 D.8 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 7.下列说法中正确的是 ab≥) A.a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B.a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R C.a+b≥2TabT C.a+b≥2√ab成立的条件是a≥0，b≥0 D.a2+b2≥-2ab 2.若x∈R,则x>0”是十1≥2”的《 D.a+b≥2√ab成立的条件是ab>0 8.已知实数a>0,b>0,且2a+b=1,则下列结论 A.充分不必要条件 正确的是 () B.必要不充分条件 C.充要条件 A6的最小值为日 D.既不充分也不必要条件 B.a2+b2的最小值为 3.(2021·全国乙卷文)下列函数中最小值为4的是 1 ( C. a 工的最小值为6 A.y=x2+2x+4 D b-1 a-1 ∈(0,2) 4 B.y=l sin x+T sin T 9.已知实数a,b是方程x2一(k一3)x十k=0的两 C.y=2x+22 个根，且a>1,b>1,则 4 D.y=Inx+i A.ab的最小值为9 B.a2+b2的最小值为18 4.已知正实数m,n满足m十n=1,则√m十√n的最 大值是 ( ) C。+。7的最小值为后 A.2 B.√2 D.a+4b的最小值为12 三、填空题（每小题5分，共15分） c n号 10.已知a>0,b>0,ab=4a+b+12,则ab的取值 5.已知实数a,b满足a+b=ab(a>1,b>1),则 范围为 得分 (a一1)2+(b-1)2的最小值为 11.已知2a+b=1(a>0,b>0),则 1 A.2 B.1 a+16+的 C.4 D.5 最小值为 得分 6已知不等式红十（侵+）≥9对狂意正实数 12.当1 《x≤时，函数y2x-1士5=2 x,y恒成立，则正实数a的最小值为 的最大值为 得分 (横线下方不可作答) 267 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 四、解答题（共37分） 14.(20分)某企业为响应国家节水号召，决定对污水 13.(17分)已知0<a<b,求证：a< 2ab 进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测 atb 算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化 a2+62 ab<a十b∠2 <b 得分 设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设 2 备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系 数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费 C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关 系为C(x)=20 十5(x>0)·将该企业的净水设 备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为 y(单位：万元) 得分 (1)要使y不超过7.2，求x的取值范围； (2)x为多少时，y的值最小？ 红对勾·讲与练 268 高三数学·基础版 ■