8.6.2.2直线与平面垂直的性质课件 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直性质定理，通过复习定义、判定定理及线面角，类比初中平面几何垂直性质提出猜想并验证，构建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以情境猜想驱动探究，用反证法推理培养数学思维，典例涵盖线线平行证明、距离转化等，结合方法总结强化数学语言。助力学生提升逻辑推理与空间观念，为教师提供系统教学流程和实用例题。

人教A版必修第二册 8.6.2 直线与平面垂直性质定理 日期：2026年5月 第八章 立体几何初步 1 1 复习 请回忆并阐述直线和平面垂直的定义和判定定理、线面角的定义. 2 2 3 一、创设情境，引入新知 思考 已知直线和平面垂直的条件下能推出哪些结论？ 如果一条直线与平面垂直，那么它和平面内所有的直线都垂直. （3）垂直于同一个平面的两直线平行. （1）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于该平面； （2）如果一条直线和两个平行平面中的一个垂直，也必和另一个垂直； 猜想 初中学习平面几何中垂直直线的性质： 回忆 （3）垂直于同一条直线的两直线平行. （1）如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，则另一条直线也垂直于该直线； （2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，也必和另一条垂直； 猜想正确吗？ 3 4 一、创设情境，引入新知 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于该平面. 猜想 分析 已知，则设直线为平面内的任意两条相交直线， ∵ ∴ 又∵ ，∴ 又相交， ∴ 4 5 一、创设情境，引入新知 如果一条直线和两个平行平面中的一个垂直，也必和另一个垂直. 猜想 分析 已知，则设直线为平面内的任意两条相交直线， ∵ ∴ 过直线作平面与平面相交，交线为 过直线作平面与平面相交，交线为 ∵∴，∴ ， ∴ 同理’. 又’相交， ’都在平面内， ∴ 5 6 一、创设情境，引入新知 垂直于同一个平面的两直线平行. 猜想 分析 已知， ，设假设直线，则 过点可作直线与平行，则， ∵ ，∴ 可以确定一个平面，记为 设，∵ ， ，∴ ， ， 这与“平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直“ 矛盾， 因此，假设错误， ∴直线. 6 7 一、创设情境，引入新知 思考 已知直线和平面垂直的条件下能推出哪些结论？ 如果一条直线与平面垂直，那么它和平面内所有的直线都垂直. （3）垂直于同一个平面的两直线平行. （1）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于该平面； （2）如果一条直线和两个平行平面中的一个垂直，也必和另一个垂直； 猜想 初中学习平面几何中垂直直线的性质： 回忆 （3）垂直于同一条直线的两直线平行. （1）如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，则另一条直线也垂直于该直线； （2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，也必和另一条垂直； 猜想正确吗？ 7 8 线面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 二、问题驱动，构建新知 ， . 8 线面垂直 线线平行 三、典例分析，感受新知 9 例1 如图，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等. 证明 过直线上任意两点分别作平面的垂线， ， 垂足分别为， ∵ ∴ // 设直线， 确定的平面为， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， 由于是直线上任取的两点，可知直线上各点到平面的距离相等. 9 三、典例分析，感受新知 10 例1 如图，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等. 总结 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，该距离叫做两个平行平面间的距离. 转化 转化 10 直线到平面的距离、 两个平行平面间的距离 点到面的距离 点到点的距离 三、典例分析，感受新知 11 例2 如图，已知平面的一条垂线， 平面的一条斜线，， 求证： 证明 ∵ ， ， ∴ ， 又 ∴ 11 三、典例分析，感受新知 12 例2 如图，已知平面的一条垂线， 平面的一条斜线，， 求证： 总结 平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线.(三垂线定理） 平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影.(三垂线定理的逆定理） 12 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1. 例 1 13 如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1， ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD，DD1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1. 又BD1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C， 14 又AC∩B1C=C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1. 结论 正方体的体对角线，垂直于不与它相交的面对角线，继而垂直于面对角线组成的平面. 15 (1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点. (2)利用平面几何的知识：三角形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理等. (3)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线. (4)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (5)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (6)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 证明线线平行常用的方法 反 思 感 悟 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD=AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC. 求证：AE∥MN. 跟踪训练 1 17 因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， 所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD=AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD=C， PC，CD⊂平面PCD， 所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN. 18 如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：=. 例 2 19 ∵PA⊥平面ABD， PC⊥平面BCD， ∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF. 又PA∩PC=P，PC，PA⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. 又EF⊥AC，PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC， ∴EF⊥平面PAC， ∴EF∥BD，∴=. 20 要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题的有效方法. 反 思 感 悟 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积. 例 3 22 由长方体ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1， 所以B1C1⊥BE， 因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1， 所以BE⊥平面EB1C1， 因为EB1⊂平面EB1C1， 所以BE⊥EB1，所以∠BEB1=90°， 由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E， 所以∠AEB=∠A1EB1=45°， 所以AE=AB=3，AA1=2AE=6， 23 因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C， 所以点E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，且AB=3， 所以四棱锥E-BB1C1C的体积 V=AB·=×3×6×3=18. 24 (1)直接法：直接作出垂线段，通过解直角三角形求解. (2)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义转化为平行直线或平行平面上的其他点到平面的距离，这时经常利用中点构造中位线等方式证明线面平行或面面平行. (3)利用等体积法转化求解：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高. 求空间中点到平面的距离的常用方法 反 思 感 悟 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点. (1)求证：AE⊥平面PAD； 跟踪训练 3 26 因为底面ABCD为菱形， ∠ABC=60°， 所以△ABC为正三角形，因为E是BC的中点， 所以AE⊥BC， 因为AD∥BC，所以AE⊥AD， 因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD， 所以AE⊥平面PAD. 27 (2)若AB=AP=2，求点P到平面AMC的距离. 28 因为AB=AP=2，则AD=2，AE=， 所以VP-AMC=VC-PAM=S△PAM·AE=×××2×2×=. 设点P到平面AMC的距离为h， 即S△AMC·h=. 易知PD=2，PM=，PC=2，CD=2， 所以在△PCD和△PCM中，由余弦定理得 cos∠CPM==， 29 所以CM=2， 在△AMC中，AM=，AC=CM=2， 所以S△AMC=××=， 所以×h=，所以h=. 30 1.知识清单： (1)直线与平面垂直的性质定理及应用. (2)直线与平面垂直关系的综合应用. (3)直线与平面、平面与平面的距离. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：距离转化不当导致错误. 课堂小结 01 复习巩固 课本习题 02 综合应用 资料这一节 03 四、课后作业 32 拓展思考 预习 03 谢谢大家！ 33 $