15.3 可化为一元一次方程的分式方程 第2课时 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦分式方程的应用，涵盖工程、行程、商业等问题类型。课堂导入先回顾已学应用题公式，通过探究活动搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点是以真实情境为载体，用表格梳理数量关系培养数学眼光，典例分步推理强化数学思维，“审设列解验答”步骤和“321法”总结提升数学语言表达。如工程问题通过设元列方程比较施工速度，助力学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

华师版 八年级 数学（下） 第15章 分式 15.3 可化为一元一次方程的分式方程 第2课时 分式方程的应用 1 学 习 目 标 1 2 3 进一步掌握分式方程的解法，理解分式方程产生增根的原因； 能够分析题意找出等量关系，会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题； 通过实际问题的分析，提高阅读理解能力，培养方程思想。 我们学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？ 基本上有以下4种： （1）行程问题： 路程=速度×时间以及它的两个变式； （2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法； （3）工程问题： 工作量=工时×工效以及它的两个变式； （4）利润问题： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价；利润率=利润÷进价. 探究一：列分式方程解决工程问题 活动1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 分析：设乙单独完成这项工程需要x天，列表格如下： 工作时间（月） 工作效率 工作总量（1） 甲队 乙队 等量关系： 甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1” 解：设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得 即 方程两边都乘以2x,得 解得 x=1. 检验：当x=1时，6x≠0.所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月 才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 探究一：列分式方程解决工程问题 活动1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 探究新知 知识模块一 行程问题 思考： 用计算机处理数据时，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，两人各输入2640 个数据，已知甲的输入速度是乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？ 解：设乙每分钟能输入 x 个数据，则甲每分钟能输入 2x 个数据. 根据题意，得 60 解得 x = 11. 经检验，x = 11 是原方程的解. 并且当 x = 11时，2x = 2×11 = 22，所以乙用了 240 min，甲用了 120 min，甲比乙少用了 120 min，符合题意. 答：甲每分钟能输入 22 个数据，乙每分钟能输入 11 个数据. 典例分析 例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个的施工队速度快？ 分析：将工作总量看成“1”。则甲队的工作效率为 ，设乙队单独完成工程需要为个月，则乙队的工作效率为 ，那么甲队半个月（ 个月）完成总工程的 ，乙队半个月完成总工程的 ，两队半个月完成总工程的________。 分式方程的应用-工程问题 典例分析 1.关键是找等量关系：甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1” 2.有“单独”字眼通常可知工作效率； 3.间接设元，如××单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率。 例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个的施工队速度快？ 方法技巧 解：设乙单独完成这项工程需要x个月。根据题意得 即 方程两边都乘以6x,得 解得 . 检验：当时，所以，原分式方程的解为. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快。 分式方程的应用-工程问题 1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率； 2.通常间接设元，如××单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率； 3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”. 解决工程问题的方法： 小 结 行程问题基本关系：路程＝速度×时间 变式关系：速度＝ 列分式方程解应用题的一般步骤： 审—设—列—解—验—答 解分式方程应用题时，需要对方程的根进行检验，确定是否为增根，并且要符合实际意义。 探究新知 知识模块二 工效问题、其他问题 思考： 某工程由乙工程队单独先做 10 天后，再由甲、乙两个工程队合作 20 天就能全部完成，已知甲工程队单独完成此工程所需天数是乙工程队单独完成此工程所需天数的. 甲、乙两工程队单独完成此工程各需多少天？ 解：设乙工程队单独完成任务需 3x 天，则甲工程队单独完成任务需 2x 天，依题意得 ＋〔＋〕×20 解得 x = 20 经检验，x = 20 是原方程的解，且符合题意. 所以 2x = 2×20 = 40，3x = 3×20 = 60. 答：甲工程队单独完成此工程需要 40 天，乙工程队单独完成此工程需要 60 天. 归纳总结 工程问题的解题思路 1. 核心思路：把总工程看作单位1。 ①工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间。②合作效率 = 各队效率之和。 2. 常见题型与解法 ①单独完成型：已知单独完成时间，直接求效率（效率 =1÷ 时间）。 ②合作完成型：先算各队效率，再算合作效率，最后用总工作量 ÷ 合作效率得到合作时间。 ③分段完成型：像这道题，先单独做再合作做，把各阶段工作量相加等于总工作量（单位1），列方程求解。 3.注意事项 ①注意时间单位统一。②解方程后要检验结果是否符合实际（如时间不能为负数）。 14 典例分析 例2：某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5,求该市今年居民用水的价格? 分式方程的应用-商业问题 分析：此题的主要等量关系是： 小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量= 5m3. 活动2：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200km时，发现小轿车只行驶了180km，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,问面包车，小轿车的速度分别为多少？ 探究二：列分式方程解决行程问题 0 180 200 路程 速度 时间 面包车 小轿车 200 180 x+10 x 分析：设小轿车的速度为xkm/h， 列表格如下： 面包车行驶的时间=小轿车行驶的时间 等量关系： 探究二：列分式方程解决行程问题 活动2：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200km时，发现小轿车只行驶了180km，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,问面包车，小轿车的速度分别为多少？ 小结 1．工效问题基本关系式：工作量＝工时×工效． 变式关系：工时＝ 2．数字问题：如果一个几位整数的某一位上含有字母，那么这个整数用代数式表示为：个位×1＋十位×10＋百位×100＋…. 典例分析 例2：某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5,求该市今年居民用水的价格? 分式方程的应用-商业问题 解：设去年居民用水的价格为元， 则今年水价上涨后，今年的水价为元。根据题意，得： 解得： 今年水价为 经检验，符合题意。 答：该市今年居民用水的价格是2元。 归纳总结 列分式方程解应用题的步骤 1.审题：弄清题意，找出问题中已知量、未知量之间的关系；借助图表分析过程. 2.设元：根据题中的数量关系，将某一未知量用字母表示，并用含该字母的代数式表示相关未知量. (可设直接元、间接元、辅助元) 3.列式：根据题中的相等关系列出一元一次方程. 4.求解: 解出一元一次方程的根. 5.检验: 看所得的解是否符合题意. 6.作答: (完整性，注意单位). 简记：审、设、列、解、验、答 20 解决行程问题的方法： 1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别； 2.明确行程问题中两个“主人公”，如小轿车和面包车；行程问题中的三个量，即路程、速度和时间，分别用代数式表示出来； 3.行程问题中的等量关系通常是抓住“时间线”来建立. 21 探究三：列分式方程解决商业问题 活动3: 某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨1/3,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格? 分析：此题的主要等量关系是： 小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5m3. 解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年的水价为 元/m3,根据题意，得 解得 经检验， 是原方程的根. 所以，该市今年居民用水的价格为2元/m3. 课堂小结 用分式方程解决实际问题的步骤： 1 设未知数为 x； 2 根据等量关系列出分式方程； 3 解分式方程； 4 检验. 课堂小结 分式方程的应用 类型 行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等 方法 步骤 一审二设三列四解五验六答 321法： 3指工程问题中的三量关系，即工作效率，工作时间，工作量；2指工程问题中的“两个主体”，如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指工程问题中的一个等量关系，即两个主体工作总量之和=全部工作总量. $