浙江省解答题（3-3）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题

**基本信息** 以“方法引领-问题驱动”构建专项体系，融合数学抽象与推理，覆盖中考核心知识链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立方根|1|华罗庚三步定位法（位数-个位-十位）|立方根概念→估算技巧→应用迁移| |二次函数|4|对称轴分析、最值判定、参数分类讨论|定义→图象性质→综合应用| |圆综合|5|切线性质、垂径定理、相似转化|圆的基本性质→位置关系→综合证明| |相似形|3|判定定理、比例线段、模型构造|相似概念→性质应用→综合计算|

【三轮复习】2026年浙江省中考数学名校模拟优选好题-解答题（3-3） 一．立方根（共1小题） 1．（2026•浙江一模）跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　 　 位数； ②它的立方根的个位数字是　 　 ； ③19683的立方根是　 　 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 二．列代数式（共1小题） 2．（2026•金华一模）如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． （1）草坪的周长为　 　 米（含a的代数式表示）； （2）当a＝2.3米时，求草坪的周长． 三．规律型：数字的变化类（共1小题） 3．（2026•嘉兴一模）已知一列数，我们将第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，…，第n个数记为an，这n个数的和记为Sn（即Sn＝a1+a2+…+an），并且这列数从第3个数开始满足a3＝a1+a2，a4＝a2+a3，…，an＝an﹣2+an﹣1．例如，当a1＝1，a2＝1时，a3＝a1+a2＝1+1＝2，a4＝a2+a3＝1+2＝3，…；S3＝a1+a2+a3＝1+1+2＝4，S4＝a1+a2+a3+a4＝1+1+2+3＝7，… （1）当a1＝1，a2＝1时，求a5和S5的值； （2）若a2＝4，且S5＝18，求a1的值． 四．完全平方公式（共1小题） 4．（2026•绍兴一模）已知实数a，b满足a﹣b＝4，a2+b2＝14． （1）求ab的值． （2）阅读如图材料，求a3﹣b3的值． 五．二次根式的应用（共1小题） 5．（2026•温州一模）【阅读理解】 我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》，书中记载了“三斜求积术”，即根据三角形的三边长求面积的方法．如果将三角形的三边长分别记为a，b，c，那么三角形的面积． 【推导验证】 已知：如图，在△ABC中，记AB＝c，BC＝a，AC＝b． 求证：△ABC的面积 证明：过点A作AD⊥BC于点D， 设CD＝x，则BD＝a﹣x， ∴AD2＝b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2， … （1）请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 （2）已知△ABC的三边长分别为，2，，请用“三斜求积术”求△ABC的面积． 六．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 6．（2026•上城区一模）一次函数y＝kx+b（k≠0），当p≤x≤q时，记该函数在区间[p，q]上的最小值与最大值的和为F（p，q）． 如一次函数y＝x+1，当2≤x≤5时，F（2，5）＝（2+1）+（5+1）＝9． （1）若一次函数y＝kx+b满足F（1，3）＝10，F（2，4）＝14，求k和b的值； （2）已知一次函数的图象经过点（2，4），且F（m，m+2）＝8，证明：m＝1． 七．一次函数的应用（共1小题） 7．（2026•台州一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． （1）完成这个光缆铺设工程用了多少天？ （2）求乙队y关于x的函数关系式． （3）甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天？ 八．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 8．（2026•杭州一模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）． （1）当点P（2，0）在该二次函数图象上时，求a的值． （2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上． ①若a＜0时，有x1＜2＜x2且x1+x2＞4，求证：y1＞y2． ②若﹣a＜x1＜a，x2＝2a+1，存在y1＝y2，求a的取值范围． 9．（2026•枣庄模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线为y＝ax2﹣4ax+3a+1（a为常数，a＜0）． （1）当a＝﹣1时，求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线向下平移1个单位后与x轴交于A，B两点，求AB的长； （3）当t≤x≤t+2（0≤t≤1）时，y的最大值与最小值之差为5，求a的取值范围． 九．抛物线与x轴的交点（共1小题） 10．（2026•温州一模）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），B（x1，t）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当0≤x1≤k时，﹣4≤t≤﹣3，求k的最大值． （3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C（x2，t），若4≤x2﹣x1≤6，求t的取值范围． 十．二次函数的应用（共1小题） 11．（2026•上城区一模）某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长2.7m，球网位于球台正中间，球网高0.15m，球网与原点O的水平距离为1.35m．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当OA＝0.4m时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为0.5m，距离球台水平面的高度为0.45m． （1）求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； （3）乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为0.2m．若最佳击球高度为0.15m，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 十一．二次函数综合题（共1小题） 12．（2026•绍兴一模）已知抛物线y＝x2+bx﹣3的对称轴是直线x＝﹣1． （1）求b的值． （2）若点M（x，y）是抛物线上的动点． ①当﹣2≤x≤3时，求y的取值范围． ②当p≤y≤p+3时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围． 十二．全等三角形的判定（共1小题） 13．（2026•绍兴一模）对于题目“如图1，已知AC，BD相交于O，OA＝OB，OC＝OD，证明：△ABC≌△BAD．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 十三．勾股数（共1小题） 14．（2026•拱墅区一模）【阅读理解】定义：我们把满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c叫做一组勾股数．如3，4，5就是一组勾股数．小智同学利用图形探索勾股数的一般形式． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作DE⊥AB．设CD＝m，AC＝n（m＜n），BD＝p，BE＝q（其中m，n，p，q都为正整数）．易得DE＝m，AE＝n．由△DEB∽△ACB，可得，即，化简后，获得了关于直角三角形三边关系的漂亮结论：AC：BC：AB＝（n2﹣m2）：2mn：（n2+m2）． 【尝试探究】 （1）当m＝1，n＝4时，求AC：BC：AB． （2）设a＝n2﹣m2，b＝2mn，c＝n2+m2，根据前面的定义判断a，b，c是否为一组勾股数，说明理由． 【变式提升】 （3）小智发现，变换m，n的值，能得到无数组勾股数；也可以根据勾股数还原m，n的值，构造相应的图形．若已知一组勾股数a＝7，b＝24，c＝25，求m，n的值． 十四．正方形的性质（共1小题） 15．（2026•上城区一模）如图，某手工兴趣小组在正方形纸板ABCD上裁剪十字形装饰纸板，设计了正方形“十字架”结构：在BC上取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE，交AE于点G，交CD于点F． （1）请写出△ABE≌△BCF的证明过程． （2）若正方形纸板的边长AB＝4，且E为BC的中点，求线段GF的长． 十五．四边形综合题（共3小题） 16．（2026•台州一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点（不包含端点），AG⊥EF于点G，GM⊥AB于点M，EF＝AG． （1）如图1，求证：△AMG≌△ECF． （2）如图2，过点E作HE⊥BC分别交AG，MG于点H，N． ①求证：四边形BMNE为正方形； ②求证：HE+GN＝AB； ③若AB＝1，请直接写出HE的取值范围． 17．（2026•富阳区一模）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝10，点E为线段AB上一动点，点A′与点A关于DE的对称，连结AA′，DE与射线CA′交于点F． （1）如图2，当点E运动到AB中点时，点A′与B重合，求∠DFA′的大小； （2）点E在运动过程中，∠DFA′的大小是否会发生变化？若不变，请求出定值，若变化，请说明理由； （3）求FB+FC的最大值． 18．（2026•上城区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E为菱形ABCD内部一点，将△BCE绕B点顺时针旋转60°，使边BC与AB重合，得到△BAM，且点M、A、E在同一直线上．延长BE交射线AD于G点，延长CE交射线AD于F点． （1）求∠FEG的度数． （2）若FE＝2，EC＝4，求AF的长． （3）当E在内部运动时，求的最小值． 十六．切线的性质（共2小题） 19．（2026•台州一模）综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径（已知甲的直径小于乙的直径）． 工具：自制的矩形直尺ABCD（边AB长2cm，边AD从点A至点D标有刻度）． 小明的做法：如图1，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边AD，BC分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出AE＝6cm．小明认为线段BE就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出BE长度． 如图2，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边AD与薄板的边缘交于点M，边BC与薄板的边缘相切于点G，从直尺刻度中读出AM＝8cm．接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． （1）请你帮助小明说出图1中BE是圆形薄板甲的直径的理由，并求出BE的长度． （2）按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． 20．（2026•上城区一模）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且DC＝DB．DE与⊙O相切于点D，DE交CA的延长线于点E． （1）求证：DE⊥CE； （2）若∠ACD＝30°，CB＝4，求四边形DECB的面积． 十七．圆的综合题（共5小题） 21．（2026•杭州一模）如图，在▱ABCD中，以AD为直径作⊙O，交BC于点E，F，交CD于点G．过点E作EH⊥AD于点H，交⊙O于点P，连结PG，交AD于点Q． （1）如图1，若，． ①求∠P的度数． ②求证：． （2）如图2，AD＝2AB，点E为BC中点，若，CG＝3，求PG的长． 22．（2026•温州一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A，B，C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且AD＝AE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若，，AE＝6． ①求四边形ABCD的面积． ②延长BC至点G，连结DG，使．在线段CG上取点F，过点F作FH⊥AF交DG于点H，求GH的最大值． 23．（2026•金华一模）如图，在矩形ABCD中，以AB为直径的⊙O交CD于点E，F，连结OE，过点O作OG⊥OE交于点G，过点G作GH⊥CD于点H，连结GF，GC． （1）求证：GH＝FH； （2）若FH＝1，BC＝2，求AB的长； （3）若CG是⊙O的切线，求证：FH2＝BC•CF． 24．（2026•嘉兴一模）综合与实践： 【生活情境】如图1，要将一块形状为平行四边形的木板余料分割成相同的两部分，拼接成一块矩形木板，需要找到合适的分割线． 【数学问题】如图2，已知▱ABCD，AB＝40cm，BC＝60cm，∠B＝53°．作一条直线EF，使直线EF⊥BC，且将▱ABCD分成周长相等的两部分． 【实践操作】如图3，小嘉的作法：①连接AC，BD交于点O；②以AC为直径作半圆交边BC于点H；③连接AH，作∠HAC的角平分线交半圆O于点G；④作直线OG分别交边AD，BC于点E，F，直线EF就是所求作的直线． 【解决问题】 （1）求▱ABCD的面积；（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） （2）根据小嘉的作图过程，说明直线EF⊥BC且将▱ABCD分成周长相等的两部分的理由． 25．（2026•绍兴一模）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB为直径，CD＝CB，AC交BD于点G，CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F． （1）如图1，证明：FC＝FB． （2）如图2，连结OF，若∠CAD＝20°，求∠OFE的度数． （3）如图3，连结OG，若OG＝4，BO＝BG，求四边形OEFG的面积． 十八．作图—复杂作图（共1小题） 26．（2026•杭州一模）如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径作弧，交BC于点E，连结AE，DE． （1）如图1，若EC＝1，DC＝3，求AD的长． （2）如图2，分别以A，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于P，Q，作直线PQ交AE于点F，交BC于点G，连结AG．求证：∠AGB＝4∠EDC． 十九．相似三角形的判定（共1小题） 27．（2026•富阳区一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是BC上一点，⊙O是△ACD的外接圆．过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E． （1）若∠BCE＝26°，求∠CAD的度数； （2）求证：△ACE∽△BDA． 二十．相似形综合题（共2小题） 28．（2026•浙江一模）如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，连结AE，CD，DE，AB＝CD，EB＝ED，DE平分∠BDC． （1）求证：∠DEB＝∠AEC． （2）若BE＝4，CE＝6，求AC． （3）如图2，过点A作AB的垂线交ED延长线于点F，作CG⊥AE，垂足为G，求的值． 29．（2026•金华一模）某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法： ①以AB为边构造矩形ABCD，连结AC、BD交点为O； ②过O作OE1⊥AB于点E1，连结CE1交BD于点P1； ③过P1作P1E2⊥AB于点E2，连结CE2交BD于点P2； ④过P2作P2E3⊥AB于点E3，连结CE3交BD于点P3； … 则点E1、E2、E3即为线段AB的等分点； （1）求证：； （2）已知AB＝3BC， ①求∠ACE3的正弦值； ②按上述方法继续画图得到点En（n＞2），若△CBEn∽△DCB，则n的值为　 　 ． 二十一．完全平方数（共1小题） 30．（2026•杭州一模）小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式： （其中a2是与x接近的完全平方数，且a＞0） 其推理过程见表． 推理过程： ∵， ∴， ∴a， 若x接近于a2，则有a， ∴． 例如，估算的近似值，此时x＝5，取a2＝4，即a＝2，则． （1）请用上述方法估算的值． （2）在估算近似值时，小金发现a取6或7，所得估值都相同． ①请验证小金的发现． ②求a取13或14时，所得近似值相同的无理数． 【三轮复习】2026年浙江省中考数学名校模拟优选好题-解答题（3-3） 参考答案与试题解析 一．立方根（共1小题） 1．（2026•浙江一模）跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　两　 位数； ②它的立方根的个位数字是　7　 ； ③19683的立方根是　27　 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【解答】解：（1）①∵， ∵1000＜19683＜1000000， ∴10100， ∴能确定19683的立方根是个两位数． ②19683的个位数是3， ∵73＝343，能确定59319的立方根的个位数是7． ③若划去19683后面的三位683得到数19， 而， 则23， ∴2030， 由此确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． 故答案为：①两；②7；③27； （2）①∵， ∵1000＜110592＜1000000， ∴10100， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ②110592的个位数是2， ∵83＝512，能确定110592的立方根的个位数是8． ③若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则45， ∴4050， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 二．列代数式（共1小题） 2．（2026•金华一模）如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． （1）草坪的周长为　（54﹣8a）　 米（含a的代数式表示）； （2）当a＝2.3米时，求草坪的周长． 【解答】解：（1）草坪的长为（15﹣2a）米，宽为（12﹣2a）米， 所以草坪的周长为2[（15﹣2a）+（12﹣2a）]＝2（27﹣4a）＝（54﹣8a）米， 故答案为：（54﹣8a）； （2）当a＝2.3时，54﹣8a＝54﹣8×2.3＝35.6， 所以草坪的周长是35.6米． 三．规律型：数字的变化类（共1小题） 3．（2026•嘉兴一模）已知一列数，我们将第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，…，第n个数记为an，这n个数的和记为Sn（即Sn＝a1+a2+…+an），并且这列数从第3个数开始满足a3＝a1+a2，a4＝a2+a3，…，an＝an﹣2+an﹣1．例如，当a1＝1，a2＝1时，a3＝a1+a2＝1+1＝2，a4＝a2+a3＝1+2＝3，…；S3＝a1+a2+a3＝1+1+2＝4，S4＝a1+a2+a3+a4＝1+1+2+3＝7，… （1）当a1＝1，a2＝1时，求a5和S5的值； （2）若a2＝4，且S5＝18，求a1的值． 【解答】解：（1）由题知， 因为a1＝1，a2＝1， 所以a3＝1+1＝2，a4＝1+2＝3，a5＝2+3＝5， 则S5＝1+1+2+3+5＝12； （2）由题知， 因为a2＝4， 所以a3＝a1+4，a4＝a3+a2＝a1+8，a5＝a4+a3＝2a1+12． 因为S5＝18， 所以a1+4+a1+4+a1+8+2a1+12＝18， 解得a1＝﹣2． 四．完全平方公式（共1小题） 4．（2026•绍兴一模）已知实数a，b满足a﹣b＝4，a2+b2＝14． （1）求ab的值． （2）阅读如图材料，求a3﹣b3的值． 【解答】解：（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴2ab＝a2+b2﹣（a﹣b）2， ∴2ab＝14﹣42＝﹣2， ∴ab＝﹣1． （2）（a﹣b）（a2+b2）＝a3+ab2﹣a2b﹣b3， ∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+b2）+a2b﹣ab2＝（a﹣b）（a2+b2）+ab（a﹣b）， ∴a3﹣b3＝4×14+（﹣1）×4＝52． 五．二次根式的应用（共1小题） 5．（2026•温州一模）【阅读理解】 我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》，书中记载了“三斜求积术”，即根据三角形的三边长求面积的方法．如果将三角形的三边长分别记为a，b，c，那么三角形的面积． 【推导验证】 已知：如图，在△ABC中，记AB＝c，BC＝a，AC＝b． 求证：△ABC的面积 证明：过点A作AD⊥BC于点D， 设CD＝x，则BD＝a﹣x， ∴AD2＝b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2， … （1）请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 （2）已知△ABC的三边长分别为，2，，请用“三斜求积术”求△ABC的面积． 【解答】（1）证明：过点A作AD⊥BC于点D， 设CD＝x，则BD＝a﹣x， ∴AD2＝b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2， b2﹣x2＝c2﹣（a2﹣2ax+x2）， 2ax＝a2+b2﹣c2， 解得， ∴， ∴ ． （2）解：假设，b＝2，，代入得： ． 六．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 6．（2026•上城区一模）一次函数y＝kx+b（k≠0），当p≤x≤q时，记该函数在区间[p，q]上的最小值与最大值的和为F（p，q）． 如一次函数y＝x+1，当2≤x≤5时，F（2，5）＝（2+1）+（5+1）＝9． （1）若一次函数y＝kx+b满足F（1，3）＝10，F（2，4）＝14，求k和b的值； （2）已知一次函数的图象经过点（2，4），且F（m，m+2）＝8，证明：m＝1． 【解答】（1）解：∵一次函数y＝kx+b满足F（1，3）＝10，F（2，4）＝14， ∴， 解得； （2）证明：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，4）， ∴2k+b＝4， ∴b＝4﹣2k， ∴y＝kx+4﹣2k， ∵F（m，m+2）＝8， ∴mk+4﹣2k+（m+2）k+4﹣2k＝8， 即2mk﹣2k＝0， ∵k≠0， ∴2m﹣2＝0， ∴m＝1． 七．一次函数的应用（共1小题） 7．（2026•台州一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． （1）完成这个光缆铺设工程用了多少天？ （2）求乙队y关于x的函数关系式． （3）甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天？ 【解答】解：（1）由图象得完成这个光缆铺设工程用了14天； （2）设乙队y关于x的函数关系式为y＝kx+b，由条件可得： ， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式y＝﹣200x+6000（0≤x≤14）； （3）由条件可得：甲队y关于x的函数解析式y＝300x， 甲、乙两队完成光缆工程需满足300x＝﹣200x+6000， 解得x＝12， 14﹣12＝2（天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 八．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 8．（2026•杭州一模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）． （1）当点P（2，0）在该二次函数图象上时，求a的值． （2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上． ①若a＜0时，有x1＜2＜x2且x1+x2＞4，求证：y1＞y2． ②若﹣a＜x1＜a，x2＝2a+1，存在y1＝y2，求a的取值范围． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）， 把P（2，0）代入抛物线解析式y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）， 得0＝4a﹣8a+1， 解得； （2）①证明：抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）的对称轴为直线， ∵x1+x2＞4， ∴x2﹣2＞2﹣x1， ∵x1＜2＜x2， ∴x2﹣2为B（x2，y2）到抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）对称轴直线x＝2的距离， 2﹣x1为A（x1，y1）到抛物线对称轴直线x＝2的距离， ∵a＜0， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ∴y1＞y2； ②解：∵y1＝y2 ∴x1＝x2或， 当x1＝x2时，x1＝x2＝2a+1， ∴﹣a＜2a+1＜a， 解﹣a＜2a+1得， 解2a+1＜a得a＜﹣1， ∴不等式组无解； 当时，即x1+x2＝4， ∴x1＝4﹣x2＝4﹣（2a+1）＝3﹣2a， ∴﹣a＜3﹣2a＜a， 解﹣a＜3﹣2a得a＜3， 解3﹣2a＜a得a＞1， ∴不等式组的解集为1＜a＜3， 综上，1＜a＜3． 9．（2026•枣庄模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线为y＝ax2﹣4ax+3a+1（a为常数，a＜0）． （1）当a＝﹣1时，求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线向下平移1个单位后与x轴交于A，B两点，求AB的长； （3）当t≤x≤t+2（0≤t≤1）时，y的最大值与最小值之差为5，求a的取值范围． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线为y＝ax2﹣4ax+3a+1（a为常数，a＜0）． 当a＝﹣1时，抛物线为y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2． ∴抛物线的顶点坐标为（2，2）； （2）抛物线向下平移1个单位后为y＝ax2﹣4ax+3a， 令y＝0，即ax2﹣4ax+3a＝0， ∴a（x2﹣4x+3）＝0 ∴a（x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得x＝1或x＝3， ∴抛物线与x轴的交点分别为（1，0），（3，0）， ∴AB＝3﹣1＝2； （3）y＝ax2﹣4ax+3a+1＝a（x﹣2）2﹣a+1， ∴对称轴为直线x＝2， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵0≤t≤1，t≤x≤t+2， ∴当x＝2时，y取到最大值为1﹣a， 当x＝t时，y取到最小值，最小值为at2﹣4at+3a+1， ∵y的最大值与最小值之差为5， ∴（1﹣a）﹣（at2﹣4at+3a+1）＝5， 化简得：a（t﹣2）2＝﹣5，即， ∵0≤t≤1， ∴﹣2≤t﹣2≤﹣1， ∴1≤（t﹣2）2≤4， ∴． 九．抛物线与x轴的交点（共1小题） 10．（2026•温州一模）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），B（x1，t）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当0≤x1≤k时，﹣4≤t≤﹣3，求k的最大值． （3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C（x2，t），若4≤x2﹣x1≤6，求t的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，∵知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3）， ∴4+2b﹣3＝﹣3，则b＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x﹣3． （2）∵y＝x2﹣2x﹣3，a＝1＞0， ∴对称轴为直线， 又∵抛物线开口向上， ∴当x＝1时，y最小值＝﹣4；而当x＝0或2时，y＝﹣3， ∴由图象可得，当0≤x1≤2时，﹣4≤t≤﹣3， ∴k的最大值为2． （3）∵点B（x1，t）和点C（x2，t）关于对称轴为直线x＝1对称， ∴， ∴x2＝2﹣x1， ∵4≤x2﹣x1≤6， 即4≤2﹣2x1≤6， ∴﹣2≤x1≤﹣1． ∵a＝1＞0，且当x＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣2时，t＝5；x＝﹣1时，t＝0． ∴t的取值范围是0≤t≤5． 十．二次函数的应用（共1小题） 11．（2026•上城区一模）某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长2.7m，球网位于球台正中间，球网高0.15m，球网与原点O的水平距离为1.35m．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当OA＝0.4m时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为0.5m，距离球台水平面的高度为0.45m． （1）求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； （3）乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为0.2m．若最佳击球高度为0.15m，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（0.5，0.45），且经过点A（0，0.4）， 设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣0.5）2+0.45， 将点A（0，0.4）代入，得： 0.4＝a（0﹣0.5）2+0.45， 0.4＝0.25a+0.45， 0.25a＝﹣0.05， a＝﹣0.2， ∴乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式为y＝﹣0.2（x﹣0.5）2+0.45； （2）当x＝1.35时， y＝﹣0.2（1.35﹣0.5）2+0.45， y＝﹣0.2×0.852+0.45， y＝﹣0.2×0.7225+0.45， y＝﹣0.1445+0.45， y＝0.3055， ∵0.3055＞0.15， ∴乒乓球此次飞行能顺利越过球网， 答：乒乓球此次飞行能顺利越过球网； （3）令y＝0，得﹣0.2（x﹣0.5）2+0.45＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1， ∵球向x轴正方向发射， ∴乒乓球首次落台面的位置为P（2，0）， 由题意可知，弹起后的轨迹与原抛物线形状相同，即a＝﹣0.2，且最高点高度为0.2， 设弹起后的抛物线顶点坐标为（h，0.2），则解析式为y＝﹣0.2（x﹣h）2+0.2， 将点P（2，0）代入，得： 0＝﹣0.2（2﹣h）2+0.2， （2﹣h）2＝1， 解得h＝1或h＝3， ∵弹起后球继续向前飞行，顶点应在落点右侧， ∴h＝3， ∴弹起后的抛物线解析式为y＝﹣0.2（x﹣3）2+0.2， 当y＝0.15时， 0.15＝﹣0.2（x﹣3）2+0.2， 0.2（x﹣3）2＝0.05， （x﹣3）2＝0.25， 解得x1＝2.5，x2＝3.5， ∵运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），即球处于上升阶段， ∴取x＝2.5， 答：此时击球点与原点O的水平距离为2.5m． 十一．二次函数综合题（共1小题） 12．（2026•绍兴一模）已知抛物线y＝x2+bx﹣3的对称轴是直线x＝﹣1． （1）求b的值． （2）若点M（x，y）是抛物线上的动点． ①当﹣2≤x≤3时，求y的取值范围． ②当p≤y≤p+3时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣3的对称轴是直线x＝﹣1， ∴， 解得：b＝2； （2）①由（1）知：抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3， ∴抛物线的开口向上， 又∵﹣2≤﹣1≤3， ∴当x＝﹣1时，y取到最小值为﹣4， 当x＝﹣2时，得：y＝﹣3；当x＝3时，得：y＝12， ∴y的取值范围是﹣4≤y≤12； ②如图1，由抛物线开口向上可知，当y＝p+3时，x分别取到最大值与最小值， 由对称性可知，此时对应的两个点关于对称轴对称． 设x的最大值为x1，最小值为x2， ∴x1+x2＝﹣2①． 又∵x1﹣x2＝4②， 联立①②并解得：x1＝1，x2＝﹣3． 此时y＝12+2×1﹣3＝0，即p+3＝0， 解得：p＝﹣3， 由方程x2+2x﹣3＝﹣3， 解得：x3＝0，x4＝﹣2． 由图2可知，x的取值范围为﹣3≤x≤﹣2或0≤x≤1． 十二．全等三角形的判定（共1小题） 13．（2026•绍兴一模）对于题目“如图1，已知AC，BD相交于O，OA＝OB，OC＝OD，证明：△ABC≌△BAD．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 【解答】解：错误步骤的序号为②． 正确证明如下： 由正确步骤①知△AOD≌△BOC， ∴AD＝BC（全等三角形对应边相等）， ∵OA＝OB，OC＝OD． ∴DB＝CA， 在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（SSS）． 十三．勾股数（共1小题） 14．（2026•拱墅区一模）【阅读理解】定义：我们把满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c叫做一组勾股数．如3，4，5就是一组勾股数．小智同学利用图形探索勾股数的一般形式． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作DE⊥AB．设CD＝m，AC＝n（m＜n），BD＝p，BE＝q（其中m，n，p，q都为正整数）．易得DE＝m，AE＝n．由△DEB∽△ACB，可得，即，化简后，获得了关于直角三角形三边关系的漂亮结论：AC：BC：AB＝（n2﹣m2）：2mn：（n2+m2）． 【尝试探究】 （1）当m＝1，n＝4时，求AC：BC：AB． （2）设a＝n2﹣m2，b＝2mn，c＝n2+m2，根据前面的定义判断a，b，c是否为一组勾股数，说明理由． 【变式提升】 （3）小智发现，变换m，n的值，能得到无数组勾股数；也可以根据勾股数还原m，n的值，构造相应的图形．若已知一组勾股数a＝7，b＝24，c＝25，求m，n的值． 【解答】解：（1）由题意得，当m＝1，n＝4时， ∴AC：BC：AB＝（n2﹣m2）：2mn：（n2+m2）＝（16﹣1）：8：（16+1）＝15：8：17； （2）是勾股数，理由如下： 由题意得，a2+b2＝（n2﹣m2）2+（2mn）2＝n4﹣2m2n2+m4+4m2n2＝n4+2m2n2+m4＝（n2+m2）2＝c2， ∵m，n为正整数，且m＜n， ∴a，b，c均为正整数，是一组勾股数； （3）由n2﹣m2＝7，n2+m2＝25， ∴2n2＝32，则n＝4；2m2＝18，则m＝3． ∴2mn＝24＝b，符合题意． 十四．正方形的性质（共1小题） 15．（2026•上城区一模）如图，某手工兴趣小组在正方形纸板ABCD上裁剪十字形装饰纸板，设计了正方形“十字架”结构：在BC上取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE，交AE于点G，交CD于点F． （1）请写出△ABE≌△BCF的证明过程． （2）若正方形纸板的边长AB＝4，且E为BC的中点，求线段GF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC， ∵BF⊥AE， ∴∠AGB＝90°， ∴∠BAG+∠ABG＝∠ABG+∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE与△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）； （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝90°，AB＝BC＝4， ∵E为BC的中点， ∴BE＝2， ∴AE2， ∵△ABE≌△BCF， ∴BF＝AE＝2， ∵BF⊥AE， ∴S△ABEAB•BEAE•BG， ∴BG， ∴GF＝BF﹣BG． 十五．四边形综合题（共3小题） 16．（2026•台州一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点（不包含端点），AG⊥EF于点G，GM⊥AB于点M，EF＝AG． （1）如图1，求证：△AMG≌△ECF． （2）如图2，过点E作HE⊥BC分别交AG，MG于点H，N． ①求证：四边形BMNE为正方形； ②求证：HE+GN＝AB； ③若AB＝1，请直接写出HE的取值范围． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，GM⊥AB， ∴∠C＝∠B＝90°＝∠AMG， ∵AG⊥EF， ∴∠BAG+∠BEG＝360°﹣∠AGB﹣∠B＝180°， ∵∠CEF+∠BEG＝180°， ∴∠BAG＝∠CEF， 在△AMG和△ECF中， ， ∴△AMG≌△ECF（AAS）； （2）①证明：∵HE⊥BC，GM⊥AB， ∴∠BEN＝∠BMN＝∠B＝90°， ∴四边形BMNE为矩形， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∵△AMG≌△ECF， ∴AM＝EC， ∴BE＝BM． ∴四边形BMNE为正方形； ②证明：如图2，四边形ABCD为正方形，延长MG交CD于点K， ∴∠C＝∠B＝90°． 又∵四边形BMNE为正方形， ∴∠CEN＝∠KNE＝90°． ∵四边形NECK为矩形， ∴CK＝NE＝MN，∠FKG＝∠GNH＝90°， ∵△AMG≌△ECF， ∴MG＝CF，∠KFG＝∠HGN， ∴FK＝NG， 在△FKG和△GNH中， ， ∴△FKG≌△GNH（ASA）， ∴HN＝KG， ∴HE+GN＝HN+NE+GN＝KG+MN+GN＝BC＝AB； ③解：HE的取值范围为．理由如下： 如图3，取HE中点O，连接GO， ∵∠HGE＝90°， ∴， 延长EH交AD于P， ∴四边形AMNP是矩形， ∴AP＝MN，∠APH＝90°， ∵四边形BMNE为正方形， ∴MN＝NE， ∴AP＝EN， ∵∠BAP＝∠CEP＝90°，∠BAG＝∠CEF， ∴∠PAG＝∠NEG， 在△PAH和△NEG中， ， ∴△PAH≌△NEG（ASA）， ∴PH＝NG＝1﹣EH， ∴0≤1﹣EH≤1， ∴0≤EH≤1， ∵GO≥NG， ∴， ∴， ∴． 17．（2026•富阳区一模）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝10，点E为线段AB上一动点，点A′与点A关于DE的对称，连结AA′，DE与射线CA′交于点F． （1）如图2，当点E运动到AB中点时，点A′与B重合，求∠DFA′的大小； （2）点E在运动过程中，∠DFA′的大小是否会发生变化？若不变，请求出定值，若变化，请说明理由； （3）求FB+FC的最大值． 【解答】解：（1）∵菱形ABCD中∠BAD＝60°， ∴AB＝BD＝AD，CD∥AB，∠C＝∠A＝60°， ∵AE＝BE， ∴DE⊥AB， ∴CD⊥DF， ∴∠DFC＝90﹣∠C＝30°， ∴∠DFA'＝30°； （2）不变， 理由：如图，记DF交AA'于点L， ∵点A'与点A关于DE的对称， ∴DA＝DA＝DC， ∴点A'，A，C在以D为圆心，DA为半径的圆上， ∵∠ADC＝120°， ∴∠AA'C＝120°， ∴∠EA'F＝60°， ∵DF垂直平分AA'， ∴∠A'LF＝90°， ∴∠DFA'＝30°； （3）∵∠DFA'＝30°，∠DBC＝60°， ∴∠DFC∠DBC， ∴点F的轨迹为以B为圆心，BC为半径的圆上， ∵AB＝BC＝10， ∴BF＝10，CF≤20， 当点E为AB中点时，CF为圆B的直径，CF取到20， ∴BF+CF的最大值为30． 18．（2026•上城区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E为菱形ABCD内部一点，将△BCE绕B点顺时针旋转60°，使边BC与AB重合，得到△BAM，且点M、A、E在同一直线上．延长BE交射线AD于G点，延长CE交射线AD于F点． （1）求∠FEG的度数． （2）若FE＝2，EC＝4，求AF的长． （3）当E在内部运动时，求的最小值． 【解答】解：（1）由题意，BE＝BM，∠EBM＝60°， ∴△MEB为等边三角形， 由旋转可知△ECB≌△MAB， ∴∠CEB＝∠M＝60°， ∴∠FEG＝∠CEB＝60°； （2）连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°， ∴AC＝DA＝AB， ∴∠DAB＝120°， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝60°， 在△AFE中，∠AEF＝180°﹣∠MEB﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠AEF＝∠FAC＝60°， ∵∠AFE＝∠CFA， ∴△AFE∽△CFA， ∴， ∵EF＝2，CE＝4， ∴CF＝6， ∴， ∴AF2＝12， ∴AF＝2； （3）由（2）知AF2＝EF•CF， 在△FEG与△FDC中， ∠GFE＝∠CFD，∠GEF＝∠CDF＝60°， ∴△FEG∽△FDC， ∴， ∴EF•CF＝FD•FG， ∴， 当且仅当FG＝FD＝AF时，取得最小值2． 十六．切线的性质（共2小题） 19．（2026•台州一模）综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径（已知甲的直径小于乙的直径）． 工具：自制的矩形直尺ABCD（边AB长2cm，边AD从点A至点D标有刻度）． 小明的做法：如图1，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边AD，BC分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出AE＝6cm．小明认为线段BE就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出BE长度． 如图2，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边AD与薄板的边缘交于点M，边BC与薄板的边缘相切于点G，从直尺刻度中读出AM＝8cm．接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． （1）请你帮助小明说出图1中BE是圆形薄板甲的直径的理由，并求出BE的长度． （2）按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． 【解答】解：（1）∵90°的圆周角所对的弦是直径， ∴图1中BE是圆形薄板甲的直径； ∵直尺ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， 在直角三角形ABE中，AB＝2，AE＝6， 由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2， ∴BE2＝22+62， ∴； （2）如图，BC与⊙O相切于点G，设圆心为O，连结OG，OM，圆形薄板半径为rcm． ∴OG⊥BC． 又∵矩形直尺ABCD对边平行， ∴OG⊥AD， ∴AE＝EM＝4， 由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2． 解得：r＝5， ∴圆形薄板乙的直径为10cm． 20．（2026•上城区一模）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且DC＝DB．DE与⊙O相切于点D，DE交CA的延长线于点E． （1）求证：DE⊥CE； （2）若∠ACD＝30°，CB＝4，求四边形DECB的面积． 【解答】（1）证明：连接DO，并延长DO交BC于点F，如图所示： ∵DC＝DB， ∴， 根据垂径定理得：DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°，CF＝BFBC， ∵DE是⊙O的切线，OD为⊙O的半径， ∴DF⊥DE， ∴∠FDE＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠DFC＝∠FDE＝∠ACB＝90°， ∴四边形DFCE是矩形， ∴∠E＝90°， ∴DE⊥CE； （2）解：由（1）可知：CF＝BFBC，四边形DFCE是矩形， ∴DE＝CF，DE∥BC，∠E＝90°， ∴四边形DECB是直角梯形，△CDE是直角三角形， ∵BC＝4， ∴CF＝BFBC＝2， ∴DE＝CF＝2， 在Rt△CDE中，∠ACD＝30°， ∴CD＝2DE＝4， 由勾股定理得：CE， ∴四边形DECB的面积为：（DE+BC）•AE． 十七．圆的综合题（共5小题） 21．（2026•杭州一模）如图，在▱ABCD中，以AD为直径作⊙O，交BC于点E，F，交CD于点G．过点E作EH⊥AD于点H，交⊙O于点P，连结PG，交AD于点Q． （1）如图1，若，． ①求∠P的度数． ②求证：． （2）如图2，AD＝2AB，点E为BC中点，若，CG＝3，求PG的长． 【解答】（1）①解：如图1.1，，，连接OE、OF、OG， ∴∠AOE＝∠EOF、∠FOG＝∠DOG， ∴∠EOF+∠FOG＝∠AOE+∠DOG，即∠EOG＝∠AOE+∠DOG， ∵∠EOG+（∠AOE+∠DOG）＝180°， ∴2∠EOG＝180°， ∴∠EOG＝90°， ∴； ②证明：如图1.2，EH⊥BC，连接OE、PF、EQ、EG、AF， ∴∠PEF＝90°， ∴PF为⊙O的直径， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠AFE， ∴， ∵， ∴， ∴∠AOE＝∠EOF＝∠FOD， ∵∠AOE+∠EOF+∠FOD＝180°， ∴∠EOF＝60°， ∵OE＝OF， ∴△EOF是等边三角形， ∴∠EFO＝60°， ∵∠PGE＝∠PFE， ∴∠PGE＝60°， ∵EH⊥AD， ∴PH＝HE， ∵QH⊥PE， ∴△PQE是等腰三角形， ∴PQ＝EQ， 由①知，∠P＝45°， ∴∠P＝∠HEQ＝45°， ∴∠HQE＝90°﹣∠HEQ＝90°﹣45°＝45°， ∴∠PQH＝90°﹣∠P＝45°， ∴∠GQH＝180°﹣∠PQH＝180°﹣45°＝135°， ∴∠EQG＝∠GQH﹣∠HQE＝135°﹣45°＝90°， 在Rt△EQG中，∠QGE＝60°， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，四边形ABCD是平行四边形，连接AE、OE、OC、ED， ∴AB＝DC，AD＝BC， ∵O为AD的中点、E为BC的中点， ∴、， ∴AO＝EC， ∵AD∥BC， ∴四边形AECO是平行四边形， ∴AE＝OC， ∵AD＝2AB， ∴OE＝OD＝CD＝EC， ∴四边形OECD是菱形， ∴∠QDE＝∠GDE，OC⊥ED， ∵∠EPG＝∠EDG， ∴∠HPQ＝∠QDE， ∵∠HPQ+∠HQP＝90°，∠HQP＝∠DQG， ∴∠QDE+∠DQG＝90°， ∴∠QMD＝180°﹣（∠QDE+∠DQG）＝90°， ∴QG⊥ED， ∴QG∥OC， ∵EC＝CD， ∴∠DEC＝∠EDC， ∴， ∵、， ∴， ∴EF＝DG， ∴CF＝CG＝3， 在△QDM和△GDM中， ， ∴△QDM≌△GDM（ASA）， ∴QD＝GD， ∴OD﹣QD＝CD﹣DG， ∴OQ＝CG＝3， ∵， ∴设HQ＝2a，PH＝HE＝3a， ∵AE∥PG， ∴∠AEP＝∠QPE， 在△AHE和△QHP中， ， ∴△AHE≌△QHP（ASA）， ∴AE＝PQ，AH＝HQ＝2a， ∴OC＝PQ＝AE， ∴OA＝OE＝4a﹣3，OH＝2a﹣3， 在Rt△OHE中，由勾股定理得：EH2+OH2＝OE2， ∴（3a）2+（2a﹣3）2＝（4a﹣3）2， 解得：a＝4， ∴AH＝8、HE＝12、OE＝13， 在Rt△AHE中，由勾股定理得：， ∴， ∵QG∥OC， ∴∠DQG＝∠DOC， ∵∠QDG＝∠ODC， ∴△QDG∽△ODC， ∴，即， 解得：， ∴． 22．（2026•温州一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A，B，C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且AD＝AE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若，，AE＝6． ①求四边形ABCD的面积． ②延长BC至点G，连结DG，使．在线段CG上取点F，过点F作FH⊥AF交DG于点H，求GH的最大值． 【解答】（1）证明：∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED． ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DCG， ∴∠AED＝∠DCG． ∵∠AED+∠AEC＝180°，∠B+∠AEC＝180°， ∴∠AED＝∠B， ∴∠DCG＝∠B， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）①如图1，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AE＝6，连结AO并延长交BC于点I． ∴BC＝AD＝6． ∵， ∴AI⊥BC，BI＝IC＝3． ∵， 在直角三角形ABI中，由勾股定理得：， ∴四边形ABCD的面积＝BC×AI＝6×12＝72； ②方法1：如图2，分别过点A，D，H作BG的垂线于点I，M，N，则四边形AIMD为矩形， ∴IM＝AD＝6，DM＝AI＝12． ∴， ∴MG＝8， ∴IG＝14． 设NH＝3a，则NG＝2a， 在直角三角形NGH中，由勾股定理得：GHa． ∵∠AIF＝∠FNH＝90°，∠IAF＝∠NFH， ∴△AIF∽△FNH， ∴， 令IF＝b，则， ∴， ∴， ∴b2+（2a﹣14）b+36a＝0． ∵Δ＝（2a﹣14）2﹣4×36a≥0，即a2﹣50a+49≥0， ∴由二次函数y＝a2﹣50a+49的图象得a≤1（a≥49舍去）， ∴当a＝1时，GH的最大值为，此时b＝6符合题意． 方法2：同上可得， 要使GH最大，只需NG最大，只需最小． ∵， ∴当GH取最大值时，，即， 解得：a＝1， ∴GH的最大值为； 方法3：由比例式可得， ∴， 令b+18＝m，则． ∵， ∴a≤﹣24+25＝1， ∴当a＝1时，GH的最大值为． 23．（2026•金华一模）如图，在矩形ABCD中，以AB为直径的⊙O交CD于点E，F，连结OE，过点O作OG⊥OE交于点G，过点G作GH⊥CD于点H，连结GF，GC． （1）求证：GH＝FH； （2）若FH＝1，BC＝2，求AB的长； （3）若CG是⊙O的切线，求证：FH2＝BC•CF． 【解答】（1）证明：∵OG⊥OE， ∴∠EOG＝90°， ∴∠EFG∠EOG＝45°， ∵GH⊥CD， ∴∠GHF＝90°， ∴∠HGF＝180°﹣∠GHF﹣∠HFG＝45°＝∠HFG， ∴GH＝FH； （2）解：如图，如图，延长GH交AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD∥AB，∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠BMH＝90°， ∴四边形ENBC，四边形HMBC是矩形， ∴EN＝HM＝BC＝2， ∵HG＝FH＝1， ∴GM＝3， ∵∠ENO＝∠EOG＝∠GMO＝90°， ∴∠OEN+∠EON＝∠EON+∠GOM＝90°， ∴∠OEN＝∠GOM， ∵OE＝OG， ∴△OEN≌△GOM（AAS）， ∴ON＝GM＝3， ∴OE， ∴AB＝2OE＝2； （3）证明：∵CG是⊙O的切线， ∴OG⊥CG， ∵OG⊥OE， ∴OE∥CG， ∴∠GCH＝∠OEC， ∵CD∥AB， ∴∠OEC＝∠EON， ∵∠ONE＝∠CHG， ∴△OEN∽△CGH， ∴， 由（1）（2）知，EN＝HM＝BC，ON＝GM＝GN+HM，GH＝FH， ∴， ∴FH2＝BC•CF． 24．（2026•嘉兴一模）综合与实践： 【生活情境】如图1，要将一块形状为平行四边形的木板余料分割成相同的两部分，拼接成一块矩形木板，需要找到合适的分割线． 【数学问题】如图2，已知▱ABCD，AB＝40cm，BC＝60cm，∠B＝53°．作一条直线EF，使直线EF⊥BC，且将▱ABCD分成周长相等的两部分． 【实践操作】如图3，小嘉的作法：①连接AC，BD交于点O；②以AC为直径作半圆交边BC于点H；③连接AH，作∠HAC的角平分线交半圆O于点G；④作直线OG分别交边AD，BC于点E，F，直线EF就是所求作的直线． 【解决问题】 （1）求▱ABCD的面积；（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） （2）根据小嘉的作图过程，说明直线EF⊥BC且将▱ABCD分成周长相等的两部分的理由． 【解答】（1）解：∵以AC为直径作圆交BC于点H， ∴AH⊥BC． ∵AB＝40cm，， ∴AH≈32cm． ∵BC＝60cm， ∴▱ABCD的面积≈60×32＝1920（cm2）， 答：▱ABCD的面积为1920cm2； （2）证明：连接OH，HG，CG，则OH＝OC， ∵AG平分∠HAC， ∴∠HAG＝∠CAG， ∴∠HOG＝∠COG， ∴HG＝CG， ∴OG⊥CH，即EF⊥BC． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴AE＝CF， ∴DE＝BF， ∴AE+AB+BF+EF＝CF+CD+DE+EF． ∴EF⊥BC且将▱ABCD分成周长相等的两部分． 25．（2026•绍兴一模）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB为直径，CD＝CB，AC交BD于点G，CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F． （1）如图1，证明：FC＝FB． （2）如图2，连结OF，若∠CAD＝20°，求∠OFE的度数． （3）如图3，连结OG，若OG＝4，BO＝BG，求四边形OEFG的面积． 【解答】（1）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，∠CAB+∠CBA＝90°， 又∵CE⊥AB， ∴∠BCE+∠CBA＝90°， ∴∠CAB＝∠BCE， ∵CD＝CB， ∴∠CBD＝∠CDB＝∠CAB， ∴∠CBD＝∠BCE， ∴FC＝FB； （2）解：由（1）已知∠FBC＝∠FCB，∠ACB＝90°，CF＝BF， ∴∠FBC+∠CGB＝∠FCB+∠FCG＝90°， ∴∠FCG＝∠CGB． ∴FC＝FG， ∴FG＝FB，即F是BG中点， ∵O是AB的中点， ∴OF∥AG． ∵CD＝CB，∠CAD＝20°， ∴， ∴∠CAB＝∠CAD＝20°． ∵CE⊥OB， ∴∠ACE＝90°﹣∠CAB＝90°﹣20°＝70°， ∴∠OFE＝∠ACE＝70°； （3）解：如图3，连结OF，过O作OH⊥AC，垂足为H，则AH＝HC， 由圆的性质和已知条件得OA＝OB＝BG， 在△AOH和△BGC中， ， ∴△AOH≌△BGC（AAS）， ∴，， ∴G是CH中点，， ∴OH＝HG，设OH＝a， 在直角三角形OGH中，由勾股定理得：OH2+HG2＝OG2， ∴a2＝8， ∴． ∵∠CAB＝∠BCE， ∴，， ∴， ∵AO＝BO， ∴， ∴． ∵F为BG的中点， ∴S△OFG＝S△OBF， ∴， ∴． 十八．作图—复杂作图（共1小题） 26．（2026•杭州一模）如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径作弧，交BC于点E，连结AE，DE． （1）如图1，若EC＝1，DC＝3，求AD的长． （2）如图2，分别以A，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于P，Q，作直线PQ交AE于点F，交BC于点G，连结AG．求证：∠AGB＝4∠EDC． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC＝3，∠ABC＝90°，AD＝BC， 设AD＝BC＝x，则BE＝BC﹣EC＝x﹣1， ∵以A为圆心，AD长为半径作弧，交BC于点E， ∴AE＝AD＝x， ∵AB2+BE2＝AE2， 即32+（x﹣1）2＝x2， 解得x＝5， ∴AD的长为5； （2）证明：由作图可知：PQ是线段AE的垂直平分线， ∴GA＝GE， ∴∠GAE＝∠GEA， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC，∠DAE＝∠GEA， ∴∠DAE＝∠GAE， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， 设∠EDC＝α，则∠DEC＝90°﹣α， ∴∠ADE＝∠DEC＝90°﹣α， ∴∠AED＝90°﹣α， ∴∠DAE＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α， ∴∠GEA＝∠DAE＝∠GAE＝2α， ∵∠AGB是△AGE的外角， ∴∠AGB＝∠GAE+∠GEA＝4α， 即∠AGB＝4∠EDC． 十九．相似三角形的判定（共1小题） 27．（2026•富阳区一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是BC上一点，⊙O是△ACD的外接圆．过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E． （1）若∠BCE＝26°，求∠CAD的度数； （2）求证：△ACE∽△BDA． 【解答】（1）解：连接OC， ∵CE切圆于C， ∴半径OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠COD＝∠BCE+∠COD， ∴∠ACO＝∠BCE＝26°， ∵OC＝OA， ∴∠CAD＝∠ACO＝26°； （2）证明：∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠ABC， ∴∠BAD+∠CAD＝∠E+∠BCE， 由（1）知∠CAD＝∠BCE， ∴∠E＝∠BAD， ∵∠CAE＝∠ABD， ∴△ACE∽△BDA． 二十．相似形综合题（共2小题） 28．（2026•浙江一模）如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，连结AE，CD，DE，AB＝CD，EB＝ED，DE平分∠BDC． （1）求证：∠DEB＝∠AEC． （2）若BE＝4，CE＝6，求AC． （3）如图2，过点A作AB的垂线交ED延长线于点F，作CG⊥AE，垂足为G，求的值． 【解答】（1）证明：∵EB＝ED， ∴∠EBA＝∠EDB， ∵DE平分∠BDC， ∴∠EDC＝∠EDB＝∠EBA， 在△ABE和△CDE中， ， ∴△ABE≌△CDE（SAS）， ∴∠AEB＝∠CED， ∴∠AEB﹣∠AED＝∠CED﹣∠AED， 即∠DEB＝∠AEC． （2）解：如图，过点A作AF⊥BC交BC于点F， ∵△ABE≌△CDE， ∴AE＝CE＝6， ∴∠EAC＝∠ACB， ∵∠DEB＝∠AEC， ∴，即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵BE＝4，CE＝6， ∴BC＝BE+CE＝10，AE＝CE＝6， ∴， ∴EF＝CE﹣CF＝1， ∴， ∴． （3）解：过点A作BC的平行线交FD于点M，作EN⊥AM， ∴∠CEG＝∠EAN，∠CGE＝∠ENA， ∵EA＝EC， ∴△CEG≌△EAN（AAS）， ∴EG＝AN， ∵∠DEB＝∠AEC，∠EMA＝∠DEB， ∴∠EMA＝∠EAM， ∴EM＝EA， ∴AM＝2AN， ∵∠MAD＝∠B＝∠BDE＝∠MDA， ∴MA＝MD， ∵∠FAD＝90°， ∴∠F＝∠FAM， ∴MF＝MA， ∴FD＝2AM＝4AN， ∴． 29．（2026•金华一模）某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法： ①以AB为边构造矩形ABCD，连结AC、BD交点为O； ②过O作OE1⊥AB于点E1，连结CE1交BD于点P1； ③过P1作P1E2⊥AB于点E2，连结CE2交BD于点P2； ④过P2作P2E3⊥AB于点E3，连结CE3交BD于点P3； … 则点E1、E2、E3即为线段AB的等分点； （1）求证：； （2）已知AB＝3BC， ①求∠ACE3的正弦值； ②按上述方法继续画图得到点En（n＞2），若△CBEn∽△DCB，则n的值为　8　 ． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，OE1⊥AB， ∴AD＝BC，OA＝OC＝OB＝OD，∠OE1A＝∠CBA＝90°， ∴OE1∥CB， ∴△OAE1∽△CAB，△OE1P1∽△BCP1， ∴， ∴， ∴， 同理可证，P1E2∥AD， ∴△BE2P1∽△BAD， ∴， ∴； （2）解：①∵，△BE2P1∽△BAD， ∴P1E2ADBC， ∵P1E2∥AD，AD∥BC， ∴P1E2∥BC， ∴△P2E2P1∽△P2CB， ∴， ∴BP2OBOBBD， 类比（1）同理可证BE3AB， ∵AB＝3BC， 设BC＝x，则AB＝3x， ∴BE3x，ACx， ∴CE3x，， 记E3到AC的距离为h，则， 即， 解得， ∴； ②类比（1）同理证得， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝3BC， ∴CD＝AB＝3BC， ∵△CBEn∽△DCB， ∴， ∴， ∴， 解得n＝8． 故答案为：8． 二十一．完全平方数（共1小题） 30．（2026•杭州一模）小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式： （其中a2是与x接近的完全平方数，且a＞0） 其推理过程见表． 推理过程： ∵， ∴， ∴a， 若x接近于a2，则有a， ∴． 例如，估算的近似值，此时x＝5，取a2＝4，即a＝2，则． （1）请用上述方法估算的值． （2）在估算近似值时，小金发现a取6或7，所得估值都相同． ①请验证小金的发现． ②求a取13或14时，所得近似值相同的无理数． 【解答】解：（1）由题意可得此时x＝26，取a2＝25，即a＝5， ∴； （2）在估算近似值时，小金发现a取6或7，所得估值都相同． ①当x＝42，a＝6时， ； 当x＝42，a＝7时， ； 所以小金的发现正确； ②解：当a＝13时， ； 当a＝14时， ； ∴， 解得x＝182， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $