江苏省填空题（3-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题

**基本信息** 聚焦中考高频考点，以题组形式系统覆盖代数运算、函数应用、几何变换等核心模块，注重知识间逻辑关联与解题策略迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|3题|含幻方规律探究、公式化简、方程建模|从代数式到方程应用，构建“概念-运算-建模”递进链条| |函数综合|7题|反比例函数与几何综合、二次函数性质应用|融合函数图像性质与几何直观，强化数形结合思想| |几何变换|12题|折叠旋转综合题、相似三角形判定|以图形变换为主线，串联三角形、四边形、圆的性质应用| |实际应用|2题|电机转速计算、种植园规划|体现数学建模意识，培养用数学语言解决实际问题能力|

【三轮复习】2026年江苏省中考数学名校模拟优选好题-填空题（3-2） 一．列代数式（共1小题） 1．（2026•高新区一模）“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中a，b，c之间的关系为　 　 ． 二．完全平方公式（共1小题） 2．（2026•锡山区一模）计算：（m+1）2﹣m（m﹣2）＝　 　 ． 三．一元一次方程的应用（共1小题） 3．（2026•天宁区校级模拟）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为60的纸条，则a+b＝　 　 ． 四．二元一次方程组的应用（共1小题） 4．（2026•姜堰区一模）一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放．根据图中数据，可求得小正方形边长为　 　 ． 五．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 5．（2026•南京一模）如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20m，宽15m的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为252m2，设步道的宽度为xm，则可列方程　 　 ． 六．配方法的应用（共1小题） 6．（2026•灌南县一模）设m，n为实数，且W＝2m2+2mn+n2﹣m﹣2n+2有最小值，则W的最小值为　 　 ． 七．分式方程的解（共1小题） 7．（2026•南通模拟）已知关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是　 　 ． 八．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 8．（2026•鼓楼区校级模拟）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　 　 ． 九．动点问题的函数图象（共1小题） 9．（2026•姜堰区一模）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点．动点E以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BA﹣AC匀速运动，到达点C后停止，连接DE．设点E的运动时间为x（单位：秒），DE2的值为y．在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所示．则图象最低点的纵坐标a＝　 　 ． 十．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 10．（2026•江宁区校级模拟）如图，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，E是CD的中点，反比例函数的图象经过点A、E．若AB＝2，BC＝3，则k的值为　 　 ． 十一．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题） 11．（2026•仪征市一模）已知点A在反比例函数的图象上，以OA、AB为邻边作矩形OABC，使点B、C在x轴上方，且AB＝3OA，OA与y轴的夹角为α．AB与y轴相交于点D，若，则过点B的反比例函数解析式为　 　 ． 十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题） 12．（2026•海门区校级模拟）如图，函数y（k＞0）在第一象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转60°后，和过点A（2，2），B（1，）的直线相交于点M、N，若△OMN的面积是2，则k的值为　 　 ． 13．（2026•徐州一模）已知直线y＝2x﹣1与双曲线的交点为（m，n），那么代数式2m2n﹣mn2的值为　 　 ． 14．（2026•启东市模拟）如图，直线y＝2x﹣3与双曲线相交于A，B两点，过原点的直线交双曲线于C，D两点，交AB于点E，顺次连接A，D，B，C，若△ABD的面积是△ABC的面积的3倍，则的值为　 　 ，点C的横坐标为　 　 ． 十三．反比例函数的应用（共1小题） 15．（2026•天宁区校级一模）如图，春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转动．已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，k为常数，n为转速（单位：转/分针），U为电源电压（单位：V），φ为电枢磁通（单位：Wb））．当直流电动机的k值与φ值一定时，转数n是电压U的正比例函数．若一台直流电动机在12V的电压下的空载转数为240转/分钟，则在36V的电压下，该电动机的空载转速为 　 　 转/分钟． 十四．二次函数的性质（共1小题） 16．（2026•工业园区模拟）定义：如果一个函数，当a≤x≤b时，函数值y满足m≤y≤n，且n﹣m＝k（b﹣a），则把该函数称为在a≤x≤b范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数y＝3x+1，当1≤x≤3时，4≤y≤10，且由10﹣4＝k（3﹣1），得k＝3，则一次函数y＝3x+1称为在1≤x≤3范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2是在0≤x≤2范围内的“2倍界”函数，则a＝　 　 ． 十五．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 17．（2026•海门区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作⊙O：x2+y2＝m（m＞0）．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与⊙O有且只有两个交点，且抛物线不从⊙O内部穿过，则a的取值范围（用m表示）为　 　 ． 18．（2026•徐州一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为　 　 个． 十六．二次函数图象与几何变换 十七．等边三角形的性质（共1小题） 19．（2026•锡山区一模）如图，等边△ABC边长为1，D为AC上一动点（D不与A、C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，M为线段AB上一点，且BM＝AD，过M作MN∥DE交BD于N．设BE＝x，MN＝y． （1）当BE＝2AM时，x＝　 　 ； （2）在点D运动的过程中，y关于x的函数表达式为　 　 ． 十八．含30度角的直角三角形（共1小题） 20．（2026•江宁区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，点D是BC的中点，点P、Q分别是AC、BD上的动点，且AP＝DQ，则PQ的最小值为　 　 ． 十九．勾股定理（共1小题） 21．（2026•灌南县一模）在如图所示的“赵爽弦图”中，若正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为17：9，直角三角形中∠ADF＝θ，则tan2θ＝　 　 ． 二十．勾股定理的证明（共1小题） 22．（2026•海安市一模）中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG，D、C、E三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形BHIE．若正方形ABCD和正方形CEFG的面积之和为177，阴影部分的面积为165，则DE的长为　 　 ． 二十一．正方形的性质（共2小题） 23．（2026•锡山区一模）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝1，BC＝2，则sin∠AFE＝ 　 　 ． 24．（2026•常州模拟）如图，正方形CEFG的顶点G正方形ABCD的边CD上，AF与CD交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为 　 　 ． 二十二．垂径定理的应用（共1小题） 25．（2026•姑苏区模拟）将直尺和量角器按如图所示方式放置，直尺的一边经过量角器的圆心O，另一边与量角器的圆弧交于A，B两点．若A，B两点分别对应直尺的刻度3cm，8cm，分别对应量角器的刻度10°，70°，则直尺的宽度（即线段CD的长度）为　 　 cm．（结果保留根号） 二十三．圆周角定理（共2小题） 26．（2026•海门区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E、O分别再边AB、BC上，AE＝OB＝2，对角线AC＝14，点Q为⊙O上一动点，⊙O半径为1．若EP+PQ＝7，则AP＝　 　 ． 27．（2026•大丰区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝25°，则∠BCD的度数是　 　 °． 二十四．三角形的内切圆与内心（共1小题） 28．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，正方形MNPQ的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，BN＝3，CN＝4，则△NCP的内切圆的半径为　 　 ． 二十五．正多边形和圆（共2小题） 29．（2026•灌南县一模）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等，在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形GCHF的面积是　 　 ． 30．（2026•徐州一模）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则　 　 ． 二十六．弧长的计算（共1小题） 31．（2026•秦淮区一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是　 　 ． 二十七．扇形面积的计算（共1小题） 32．（2026•江宁区校级模拟）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O．已知AB的长为10cm，和BC的长分别为20cm和8cm，则该砖雕的面积为　 　 cm2． 二十八．圆锥的计算（共1小题） 33．（2026•南通模拟）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角的度数为　 　 °． 二十九．作图—复杂作图（共1小题） 34．（2026•宿城区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若CD＝4，则AC的长为 　 　 ． 三十．翻折变换（折叠问题）（共5小题） 35．（2026•南通模拟）【数学活动】将矩形纸片按如下步骤折叠：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图（1）的方法折出一个正方形，然后把纸片展开；第二步，如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4）展平纸片，按照所得点D折出DE，得到矩形BCDE．若CD＝1，则矩形纸片的宽MN的长为 　 　 ． 36．（2026•桥西区一模）如图，四边形ABCD是一个矩形纸片，AB＝4，AD＝8．E是AD边上一点．将△ABE沿着BE翻折，A点的对应点为A′．在翻折的过程中，当△A′DE是直角三角形时，A′D的长为　 　 ． 37．（2026•天宁区校级一模）如图，将△ABC的边AB沿过点A的直线折叠，使AB落在边AC上，折痕为AD．展开纸片，再次折叠，使点A与点D重合，折痕为EF．展开后连接DE、DF，测得AB＝6，AC＝12．当△BDE是直角三角形时，BD的长为 　 　 ． 38．（2026•姑苏区模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，，将∠B沿EF折叠，使得点B落在AD边上的点G处．当CF的长度取得最大值时，折痕EF的长度为 　 　 ．（结果保留根号） 39．（2026•宿迁校级模拟）如图，在正方形ABCD中，，E是AB中点，连接CE，将△CBE沿CE翻折得到△CFE，连接AF、DF，则DF＝　 　 ． 三十一．旋转的性质（共3小题） 40．（2026•南京一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5．将△ABC绕AC的中点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△A′B′C′，当A′B′经过点C时，BB′的长为 　 　 ． 41．（2026•启东市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，若点A′恰好落在AB边上，则BB′的长为　 　 ． 42．（2026•江都区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，点D是AB的中点，将线段BD绕着点B顺时针旋转90°到BF，点E是上任意一点，连接AE并延长交BC于点P．在此旋转过程中，点P运动的路线长为　 　 ． 三十二．平行线分线段成比例（共1小题） 43．（2026•东台市二模）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出△ABC，且AB、AC与中间的另外两条横线交于D、F、E、G四点，连接CD交FG于点H．若HG＝3，则BC的长为　 　 ． 三十三．相似三角形的判定与性质（共1小题） 44．（2026•江都区一模）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E、F在BC上．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，BE＝7，EF＝4，FC＝5，则四边形ADEF与△ABC的面积比为　 　 ． 【三轮复习】2026年江苏省中考数学名校模拟优选好题-填空题（3-2） 参考答案与试题解析 一．列代数式（共1小题） 1．（2026•高新区一模）“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中a，b，c之间的关系为　2a＝b+c ． 【解答】解：设中间的数为n，则第二行第一个数为2n﹣b，第三行第三个数为2n﹣a，如图所示， 根据题意得：a+2n﹣b＝c+2n﹣a， ∴2a＝b+c． 故答案为：2a＝b+c． 二．完全平方公式（共1小题） 2．（2026•锡山区一模）计算：（m+1）2﹣m（m﹣2）＝　4m+1　 ． 【解答】解：原式＝m2+2m+1﹣（m2﹣2m） ＝m2+2m+1﹣m2+2m ＝4m+1． 故答案为：4m+1． 三．一元一次方程的应用（共1小题） 3．（2026•天宁区校级模拟）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为60的纸条，则a+b＝　70　 ． 【解答】解：根据题意得， 解方程组得， ∴a+b＝70， 故答案为：70． 四．二元一次方程组的应用（共1小题） 4．（2026•姜堰区一模）一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放．根据图中数据，可求得小正方形边长为　1　 ． 【解答】解：设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y， 根据题意得：， 解得：， 即小正方形边长为1， 故答案为：1． 五．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 5．（2026•南京一模）如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20m，宽15m的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为252m2，设步道的宽度为xm，则可列方程　（20﹣2x）（15﹣2x）＝252　 ． 【解答】解：根据改造后种植区的面积为252m2，可列方程（20﹣2x）（15﹣2x）＝252． 故答案为：（20﹣2x）（15﹣2x）＝252． 六．配方法的应用（共1小题） 6．（2026•灌南县一模）设m，n为实数，且W＝2m2+2mn+n2﹣m﹣2n+2有最小值，则W的最小值为　　 ． 【解答】解：由题意得，W＝2m2+2mn+n2﹣m﹣2n+2 ＝2m2+（2n﹣1）m+n2﹣2n+2 ＝2[m2+（n）m]n2n ＝2（m）2（n）2． 又∵（m）2≥0，（n）2≥0， ∴W＝2（m）2（n）2， ∴W的最小值为． 故答案为：． 七．分式方程的解（共1小题） 7．（2026•南通模拟）已知关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是a＞﹣6且a≠﹣4　 ． 【解答】解：将关于x的分式方程的两边都乘以x﹣2得， 2x+a＝3x﹣6， 解得x＝a+6， ∵关于x的分式方程的解为正数，即x＞0， ∴a+6＞0， 解得a＞﹣6， 由于分式方程的增根为x＝2， ∴a+6≠2， 即a≠﹣4， 综上所述，a的取值范围为a＞﹣6且a≠﹣4． 故答案为：a＞﹣6且a≠﹣4． 八．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 8．（2026•鼓楼区校级模拟）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　﹣4＜a≤﹣3　 ． 【解答】解：由不等式组得：， ∵不等式组有5个整数解， ∴这5个整数解为1，0，﹣1，﹣2，﹣3， ∴﹣4＜a≤﹣3， 故答案为：﹣4＜a≤﹣3． 九．动点问题的函数图象（共1小题） 9．（2026•姜堰区一模）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点．动点E以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BA﹣AC匀速运动，到达点C后停止，连接DE．设点E的运动时间为x（单位：秒），DE2的值为y．在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所示．则图象最低点的纵坐标a＝　　 ． 【解答】解：由题意，当x＝4时，y＝DE2取最小值， ∴根据垂线段最短，此时DE⊥AB于E， ∴此时BE＝4，DE2＝9，则DE＝3， ∴BD5． 又结合图2可得，AB＝2BE＝8， ∴当x＝8时，E到达A，此时DE＝AD＝BD＝5， ∵∠C＝90°， ∴AD2﹣CD2＝AC2，AB2﹣（BD+CD）2＝AC2． ∴AD2﹣CD2＝AB2﹣（BD+CD）2． ∴52﹣CD2＝82﹣（5+CD）2． ∴CD． 由题意，当E运动到C时，此时DE＝CE， ∴图象最低点的纵坐标a＝DE2． 故答案为：． 十．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 10．（2026•江宁区校级模拟）如图，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，E是CD的中点，反比例函数的图象经过点A、E．若AB＝2，BC＝3，则k的值为　6　 ． 【解答】解：由条件可知CD＝AB＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵E是CD的中点， ∴， 设OB＝a（a＞0），则OC＝OB+BC＝a+3， ∴A（a，2），E（a+3，1）， ∵反比例函数的图象经过点A，E， ∴k＝2a＝a+3， ∴a＝3， ∴k＝2×3＝6． 故答案为：6． 十一．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题） 11．（2026•仪征市一模）已知点A在反比例函数的图象上，以OA、AB为邻边作矩形OABC，使点B、C在x轴上方，且AB＝3OA，OA与y轴的夹角为α．AB与y轴相交于点D，若，则过点B的反比例函数解析式为　　 ． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B作BF⊥y轴于点F． ∵， ∴， ∵AB＝3OA， 即， ∴， ∵∠ADE＝∠BDF，∠AED＝∠BFD＝90°， ∴△ADE∽△BDF， ∴， ∵， ∴设AE＝x，则OE＝2x， 由条件可知S△AEO＝1， Rt△AEO中， 得AE＝1，则BF＝5， ∴OE＝2， ∵∠AOD＝∠DBF， ∴， ∴， ∴． ∴点B坐标为（﹣5，5）． 设过点B的反比例函数解析式为，代入（﹣5，5）得出m＝﹣25， ∴过点B的反比例函数解析式为． 故答案为：． 十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题） 12．（2026•海门区校级模拟）如图，函数y（k＞0）在第一象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转60°后，和过点A（2，2），B（1，）的直线相交于点M、N，若△OMN的面积是2，则k的值为　　 ． 【解答】解：解法一：连接OA，OB，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F， ∵点A（2，2），B（1，）， ∴OE＝2，AE＝2， ∴OA4，∠EAO＝30°， ∴∠AOE＝60°， 同理得：OB＝2，∠BOF＝30°， ∴∠AOB＝90°， ∴OA⊥OB， ∵函数y（k＞0）在第一象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转60°， ∴建立新的坐标系：OB为x'轴，OA为y'轴， 则旋转后的函数解析式为：y'， 在新的坐标系中，A（0，4），B（2，0）， 设直线AB的解析式为：y'＝mx'+n， 则，解得， ∴直线AB的解析式为：y'＝﹣2x'+4， 设M（x1，﹣2x1+4），N（x2，﹣2x2+4）， 由﹣2x'+4得：2x'2﹣4x'+k＝0， ∴x1+x2＝2，x1x2， ∵S△OMN＝S△AOB﹣S△AOM﹣S△BON2×42， ∴4﹣2x1+2x2﹣4＝2， ∴x1﹣x2， ∴（x1﹣x2）2＝3， ∴x12﹣2x1x2+x22＝3， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝3， ∴4﹣43， ∴k； 解法二：如图，将双曲线和直线AB逆时针旋转60°，点A落在y轴上，点B在x轴上，M和N的对应点分别为M'，N'， ∴OA＝4，OB＝2， 得直线AB的解析式为：y＝﹣2x+4， 设M'（a，），N'（b，）， ﹣2x+4， 2x2﹣4x+k＝0， ∴a+b＝2，ab， 过点M'作M'D⊥y轴于D，过点N'作N'C⊥x轴于C， ∵S△OMN＝2， ∴4×24a22， ∴4﹣2a2①， 4b﹣2ab﹣k＝2b， ∵ab， ∴2②， 把②代入①得：a， ∵a+b＝2， ∴b， ∴k（2）； 故答案为：． 13．（2026•徐州一模）已知直线y＝2x﹣1与双曲线的交点为（m，n），那么代数式2m2n﹣mn2的值为　3　 ． 【解答】解：由题知， 因为直线y＝2x﹣1与双曲线的交点为（m，n）， 所以n＝2m﹣1，， 即2m﹣n＝1，mn＝3， 所以2m2n﹣mn2＝mn（2m﹣n）＝3×1＝3． 故答案为：3． 14．（2026•启东市模拟）如图，直线y＝2x﹣3与双曲线相交于A，B两点，过原点的直线交双曲线于C，D两点，交AB于点E，顺次连接A，D，B，C，若△ABD的面积是△ABC的面积的3倍，则的值为　　 ，点C的横坐标为　4　 ． 【解答】解：分别过C、D两点作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为G、H， ∴CG∥DH． ∴． ∵S△ABDAB•DH，S△ABCAB•CG，△ABD的面积是△ABC的面积的3倍， ∴AB•DH＝3AB•CG， ∴DH＝3CG． ∴． 由反比例函数的图象的特征可得，OD＝OC， ∴OE＝CE． 由题意，设C（m，）（m＞0）， ∴E（，）． ∵E在直线y＝2x﹣3上， ∴23． ∴m＝﹣1（不合题意，舍去）或m＝4． ∴点C的横坐标为4． 故答案为：；4． 十三．反比例函数的应用（共1小题） 15．（2026•天宁区校级一模）如图，春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转动．已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，k为常数，n为转速（单位：转/分针），U为电源电压（单位：V），φ为电枢磁通（单位：Wb））．当直流电动机的k值与φ值一定时，转数n是电压U的正比例函数．若一台直流电动机在12V的电压下的空载转数为240转/分钟，则在36V的电压下，该电动机的空载转速为 　900　 转/分钟． 【解答】解：由条件可知kφ， ∴n＝25U， 当U＝36V时， ∴n＝25U＝25×36＝900， 故答案为：900． 十四．二次函数的性质（共1小题） 16．（2026•工业园区模拟）定义：如果一个函数，当a≤x≤b时，函数值y满足m≤y≤n，且n﹣m＝k（b﹣a），则把该函数称为在a≤x≤b范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数y＝3x+1，当1≤x≤3时，4≤y≤10，且由10﹣4＝k（3﹣1），得k＝3，则一次函数y＝3x+1称为在1≤x≤3范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2是在0≤x≤2范围内的“2倍界”函数，则a＝　±4　 ． 【解答】解：由题知， 因为关于x的二次函数解析式为y＝ax2﹣2ax+a2， 所以抛物线的解析式为直线x． 当a＞0时， 在0≤x≤2范围内，函数的最大值为a2，最小值为a2﹣a， 则a2﹣（a2﹣a）＝2×（2﹣0）， 解得a＝4； 当a＜0时， 在0≤x≤2范围内，函数的最小值为a2，最大值为a2﹣a， 则a2﹣a﹣a2＝2×（2﹣0）， 解得a＝﹣4， 综上所述，a的值为±4． 故答案为：±4． 十五．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 17．（2026•海门区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作⊙O：x2+y2＝m（m＞0）．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与⊙O有且只有两个交点，且抛物线不从⊙O内部穿过，则a的取值范围（用m表示）为　或　 ． 【解答】解：x2+y2＝m（m＞0）可化为， 它表示动点（x，y）到定点O（0，0）的距离为定值， 即x2+y2＝m（m＞0）的几何意义是以原点为圆心，为半径的圆， 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是关于与x轴垂直的直线对称的， 故要使抛物线和圆有且只有两个交点，且抛物线不从⊙O内部穿过， 则抛物线对称轴为y轴，即b＝0，y＝ax2+c，图象可能是： ① 或②， 由y＝ax2+c得，代入x2+y2＝m得， 即ay2+y﹣c﹣am＝0（*）， 则Δ＝1+4a（c+am）＝0，则， 此时方程（*）的根为， ①，解得； ②，解得； 综上，或． 故答案为：或． 18．（2026•徐州一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为　4　 个． 【解答】解：根据函数图象可知，a＞0，c＞0， ∵0， ∴b＜0， ∴abc＜0；故①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， ∴对称轴为直线x，b2﹣4ac＞0，故③正确； ∴﹣b＝4a， ∴4a+b＝0，故②正确； 由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0；故④正确， 故正确的个数为4， 故答案为：4． 十六．二次函数图象与几何变换 十七．等边三角形的性质（共1小题） 19．（2026•锡山区一模）如图，等边△ABC边长为1，D为AC上一动点（D不与A、C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，M为线段AB上一点，且BM＝AD，过M作MN∥DE交BD于N．设BE＝x，MN＝y． （1）当BE＝2AM时，x＝　　 ； （2）在点D运动的过程中，y关于x的函数表达式为y　 ． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝1，∠C＝60°， ∵BE＝x， ∴CE＝1﹣x， ∴CD＝2CE＝2﹣2x，DECE（1﹣x）， ∴AD＝BM＝AC﹣CD＝1﹣（2﹣2x）＝2x﹣1， ∴AM＝AB﹣BM＝1﹣（2x﹣1）＝2﹣2x， ∵BE＝2AM， ∴x＝2×（2﹣2x）＝4﹣4x， ∴x， 故答案为：； （2）如图，延长MN交BC于点F， ∴MFBM（2x﹣1），BFBM（2x﹣1）， ∵MN∥DE， ∴△BNF∽△BDE， ∴， ∴， ∴NF， ∴y＝MN＝MF﹣NF（2x﹣1）， 故答案为：y． 十八．含30度角的直角三角形（共1小题） 20．（2026•江宁区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，点D是BC的中点，点P、Q分别是AC、BD上的动点，且AP＝DQ，则PQ的最小值为　　 ． 【解答】解：作PE⊥BC于点E，设AP＝DQ＝2x， 由条件可知， ∴， ∵点D是BC的中点， ∴， ∵PE⊥BC，∠C＝30°， ∴，， 当点E与点Q重合时，则：， 解得， ∴， 当点Q在点E的左侧时，如图， 则：， ∴ ， ∴抛物线的开口向上，当时， PQ2有最小值为， ∴PQ的最小值为； 当点Q在点E的右侧时，如图， 此时PE的长比E，Q重合时要大，且PQ＞PE， ∴， ∵， ∴PQ的最小值为． 故答案为：2． 十九．勾股定理（共1小题） 21．（2026•灌南县一模）在如图所示的“赵爽弦图”中，若正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为17：9，直角三角形中∠ADF＝θ，则tan2θ＝　　 ． 【解答】解：取AD的中点O，连接OF，再过F作FH⊥AD于H， ∵正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为17：9， ∴正方形ABCD与正方形EFGH的边长之比为：3， 如图，令ADa，EF＝3a， ∵∠AFD＝90°， ∴OA＝OD＝OFa． ∴∠OFD＝∠ADF＝θ． ∴∠AOF＝∠OFD+∠ADF＝2θ． ∵赵爽弦图， ∴AF＝DE， 设AF＝DE＝x，则DF＝EF+DE＝3a+x， ∵在Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2， ∴x2+（3a+x）2＝17a2， ∴x＝a，x＝﹣4a（舍去）， ∴AF＝DE＝a， ∴DF＝4a， ∴HFa． ∴OHa． ∴tan∠AOF＝tan2θ． 故答案为：． 二十．勾股定理的证明（共1小题） 22．（2026•海安市一模）中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG，D、C、E三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形BHIE．若正方形ABCD和正方形CEFG的面积之和为177，阴影部分的面积为165，则DE的长为　15　 ． 【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，由D、C、E三点共线可得DE＝a+b，即所求长度． 根据题意可得两个正方形的面积和为a2+b2＝177． ∵阴影部分的面积为165， ∴空白直角三角形（直角边分别为a、b）的面积为总面积减去阴影面积，即：， 计算得 ab＝24． 根据完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，代入已知数值：（a+b）2＝177+2×24＝225， 因为长度为正数，因此，即DE＝15． 故答案为：15． 二十一．正方形的性质（共2小题） 23．（2026•锡山区一模）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝1，BC＝2，则sin∠AFE＝ 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA，△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2， ∴tan∠BCA， ∴tan∠DAC＝tan∠BCA， ∵四边形EFGH是正方形， ∴设EH＝GH＝GF＝a，∠EHG＝∠FGH＝90°，HG∥EF， ∴顶点G、H都在边AD上， ∴△AEH和△AFG都是直角三角形，AD∥EF， 在Rt△AEH中，tan∠DAC， ∴， ∴AH＝2a， ∴AG＝AH+HG＝3a， 在Rt△AFG中，由勾股定理得：AF， ∴sin∠GAF， ∵AD∥EF， ∴∠AFE＝∠GAF， ∴sin∠AFE＝sin∠GAF． 故答案为：． 24．（2026•常州模拟）如图，正方形CEFG的顶点G正方形ABCD的边CD上，AF与CD交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为 　3　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD＝6，AD∥BC， ∵四边形CEFG是正方形， ∴CE＝GF＝CG＝2，GF∥BC， ∴DG＝CD﹣CG＝4， ∵AD∥BC，GF∥BC， ∴AD∥GF， ∴△ADH∽△FGH， ∴， 即， 解得DH＝3， 故答案为：3． 二十二．垂径定理的应用（共1小题） 25．（2026•姑苏区模拟）将直尺和量角器按如图所示方式放置，直尺的一边经过量角器的圆心O，另一边与量角器的圆弧交于A，B两点．若A，B两点分别对应直尺的刻度3cm，8cm，分别对应量角器的刻度10°，70°，则直尺的宽度（即线段CD的长度）为　　 cm．（结果保留根号） 【解答】解：过点O作OM⊥AB于点M，连接OA、OB． ∴BMAB（8﹣3）cm， 在Rt△OBM中，∠BOM（70°﹣10°）＝30°， ∴tan∠BOM， ∴OM， 根据题意知，∠C＝∠D＝∠OMD＝90°， ∴四边形OCDM是矩形， ∴CD＝OM， 故答案为：． 二十三．圆周角定理（共2小题） 26．（2026•海门区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E、O分别再边AB、BC上，AE＝OB＝2，对角线AC＝14，点Q为⊙O上一动点，⊙O半径为1．若EP+PQ＝7，则AP＝　　 ． 【解答】解：如图，作点E关于AC的对称点G， ∴EP+PQ＝GP+PQ＝7， ∵点Q为⊙O上一动点，⊙O半径为1．AB＝8， ∴G，P，Q，O四点共线， ∴AB∥OG， ∴∠AEP＝∠ABC，∠APE＝∠ACB， ∴△AEP∽△ABC， ∴， ∵对角线AC＝14， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（2026•大丰区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝25°，则∠BCD的度数是　115　 °． 【解答】解：如图，连接AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠AED＝25°，， ∴∠ACD＝∠AED＝25°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝115°， 故答案为：115． 二十四．三角形的内切圆与内心（共1小题） 28．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，正方形MNPQ的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，BN＝3，CN＝4，则△NCP的内切圆的半径为　1　 ． 【解答】解：∵四边形MNPQ是正方形， ∴MN＝NP，∠MNP＝90°， ∴∠BNM+∠CNP＝180°﹣∠MNP＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BNM+∠BMN＝90°， ∴∠BMN＝∠CNP， 在△BMN与△CNP中， ， ∴△BMN≌△CNP（AAS）， ∴CP＝BN＝3， 又CN2+CP2＝NP2，CN＝4， ∴42+32＝NP2， ∴NP＝5（负值舍去）， ∴△NCP的内切圆的半径为， 故答案为：1． 二十五．正多边形和圆（共2小题） 29．（2026•灌南县一模）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等，在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形GCHF的面积是　2　 ． 【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝BC＝AF，120°， ∴∠BAC（180°﹣∠ABC）＝30°， ∴∠GAF＝120°﹣30°＝90°， 同理可得，∠AFB＝30°， 在Rt△FAG中，FG2， 同理可求得，FH＝CG＝CH＝2， ∴FG＝CG＝CH＝FH， ∴四边形GCHF是菱形， ∴四边形GCHF的面积＝CG•AF＝2． 故答案为：． 30．（2026•徐州一模）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则　2　 ． 【解答】解：如图，连接OC，OD，OE，OD交CE于点M，过点O作ON⊥CD于点N，设⊙O的半径为r，则OC＝OD＝OE＝r， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠COD60°， ∵OC＝OD， ∴△COD是正三角形， ∴CD＝OC＝OD＝r， ∵ON⊥CD， ∴CN＝DNCDr， ∴ONr， ∴正六边形ABCDEF的面积为S1＝6S△COD＝6rrr2； 由题意可知，△ACE是⊙O的内接正三角形， ∴∠COM＝60°， ∴OMOCr，CMOCr， ∴CE＝2CMr， ∴△ACE的面积为S2＝3S△OCE＝3rrr2； ∴2． 二十六．弧长的计算（共1小题） 31．（2026•秦淮区一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是　π　 ． 【解答】解：如图，圆心为点O， AO，∠AOC＝90°， 所以经过点B的的长度是π． 故答案为：π． 二十七．扇形面积的计算（共1小题） 32．（2026•江宁区校级模拟）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O．已知AB的长为10cm，和BC的长分别为20cm和8cm，则该砖雕的面积为　140　 cm2． 【解答】解：设扇形OAD的半径为R，扇形OBC的半径为r，圆心角为n°， ∵弧AD的长为20cm，弧BC的长为8cm， ∴20，8， ∴． ∵AB＝10cm， ∴R﹣r＝10， ∴r﹣r＝10， 解得， ∴R， ∴该砖雕的面积为S＝S扇形OAD﹣S扇形OBC ＝140（cm2）． 故答案为：140． 二十八．圆锥的计算（共1小题） 33．（2026•南通模拟）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角的度数为　144　 °． 【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°， ∵圆锥底面半径为2， ∴圆锥底面周长为4π， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为4π， 则4π， 解得：n＝144， 故答案为：144． 二十九．作图—复杂作图（共1小题） 34．（2026•宿城区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若CD＝4，则AC的长为 　12　 ． 【解答】解：过D点作DH⊥AB于H点，如图， 由题中作法得AD平分∠BAC， ∵DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DH＝DC＝4， ∵BC＝9， ∴BD＝BC﹣CD＝5， 在Rt△BDH中，BH3， ∵∠DBH＝∠ABC，∠BHD＝∠BCA， ∴△BHD∽△BCA， ∴，即， ∴AC＝12． 故答案为：12． 三十．翻折变换（折叠问题）（共5小题） 35．（2026•南通模拟）【数学活动】将矩形纸片按如下步骤折叠：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图（1）的方法折出一个正方形，然后把纸片展开；第二步，如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4）展平纸片，按照所得点D折出DE，得到矩形BCDE．若CD＝1，则矩形纸片的宽MN的长为 　　 ． 【解答】解：由第一步折叠可知：四边形MNCB是正方形， 由第二步折叠可知：四边形MNAF和四边形ACBF都是矩形，且MF＝BF， ∴△ABC是直角三角形， 设MF＝BF＝a， ∴NA＝AC＝a，MN＝BC＝2a， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB， 由第三步折叠可知：AD＝AB， ∴AD＝AC+CD， ∵AC＝a，CD＝1， ∴， 解得：， ∴MN＝2a， ∵矩形纸片的宽MN的长为． 故答案为：． 36．（2026•桥西区一模）如图，四边形ABCD是一个矩形纸片，AB＝4，AD＝8．E是AD边上一点．将△ABE沿着BE翻折，A点的对应点为A′．在翻折的过程中，当△A′DE是直角三角形时，A′D的长为　或　 ． 【解答】解：如图，若∠EA′D＝90°， ∵将△ABE沿着BE翻折， ∴AB＝A′B＝4，∠A＝∠EA′B＝90°，AE＝A′E， ∵∠DA′E+∠BA′E＝180°， ∴点A′，点B，点D三点共线， ∵， ∴； 如图，若∠A′ED＝90°， ∴∠A′EA＝90°， ∵∠A＝∠ABA′＝90°＝∠A′EA， ∴四边形AEA′B是矩形， ∵将△ABE沿着BE翻折， ∴AE＝A′E， ∴四边形AEA′B是正方形， ∴AE＝AB＝A′E＝4， ∴DE＝8﹣4＝4， ∴； ③若∠EDA′＝90°， ∵A′B＝4＜BC＝8， ∴点A′不可能落在直线CD上， ∴不存在∠EDA′＝90°， 综上所述：或． 37．（2026•天宁区校级一模）如图，将△ABC的边AB沿过点A的直线折叠，使AB落在边AC上，折痕为AD．展开纸片，再次折叠，使点A与点D重合，折痕为EF．展开后连接DE、DF，测得AB＝6，AC＝12．当△BDE是直角三角形时，BD的长为 　或　 ． 【解答】解：设AD与EF相交于点O，如图所示： 由折叠性质得：∠EAO＝∠FAO，EF是AD的垂直平分线， ∴OA＝OD，ED＝EA，FD＝FA，∠AOF＝∠DOE＝90°， ∴∠EDO＝∠EAO， ∴∠FAO＝∠EDO， 在△FAO和△EDO中， ， ∴△FAO≌△EDO（ASA）， ∴FA＝ED， ∴ED＝EA＝FD＝FA， ∴四边形AEDF是菱形， ∴AE＝DE＝DF＝AF，DE∥AC， 设AE＝a，则DE＝AE＝a， ∵AB＝6， ∴BE＝AB﹣AE＝6﹣a， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BCA， ∴， ∵AC＝12， ∴， 解得：a＝4， ∴DE＝a＝4，BE＝6﹣a＝2， ∵DE＞BE， ∴当△BDE是直角三角形时，有以下三种情况： ①当∠EBD＝90°时，由勾股定理得：BD； ②当∠BED＝90°时，由勾股定理得：BD， 综上所述：BD的长为或． 故答案为：或． 38．（2026•姑苏区模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，，将∠B沿EF折叠，使得点B落在AD边上的点G处．当CF的长度取得最大值时，折痕EF的长度为 　　 ．（结果保留根号） 【解答】解：过点G作GT⊥BC于点T，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图所示： ∴∠H＝90°， ∴△DCH是直角三角形， ∵四边形ABCD是菱形，且AB＝10， ∴BC＝CD＝AB＝10，AB∥CD，AD∥BC， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣BF， 由折叠性质得：GF＝BF， ∴CF＝10﹣GF， ∴当GF为最小时，CF为最大， 根据“垂线段最短”得：GF≥GT， ∴当点F于点T重合时，GF为最小，最小值为线段GT的长， ∵AB∥CD， ∴∠DCH＝∠B， ∴sin∠DCH＝sin∠B， 在Rt△DCH中，sin∠DCH， ∴DHCD8， ∵AD∥BC， ∴根据“平行线间的距离处处相等”得：GT＝DH＝8， ∴GF为最小8， 此时CF的最大值为：CF＝10﹣GF＝10﹣8＝2， 当CF＝2时，BF＝10﹣CF＝8，GF⊥BC， ∴∠GFB＝90°， 过点E作EK⊥BC于点K，如图2所示： ∴△EKF和△EKB都是直角三角形， 在Rt△EKB中，sinB， 设EK＝4a，EB＝5a， 由勾股定理得：BK3a， 由折叠性质得：∠BFE＝∠GFE∠GFB＝45°， ∴△EKF是等腰直角三角形， ∴FK＝EK＝4a， 由勾股定理得：EF， ∴BF＝BK+FK＝7a＝8， ∴a， ∴EF， ∴当CF的长度取得最大值时，折痕EF的长度为． 故答案为：． 39．（2026•宿迁校级模拟）如图，在正方形ABCD中，，E是AB中点，连接CE，将△CBE沿CE翻折得到△CFE，连接AF、DF，则DF＝　　 ． 【解答】解：如图，过点F作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N， ∵，∠B＝90°， ∴， 设ME＝x，则， 由折叠得，∠EFC＝∠B＝90°，，， ∴∠MFE+∠CFN＝90°， ∵MN∥AD， ∴四边形AMND是矩形， ∴∠AMF＝∠EMF＝∠FND＝∠FNC＝90°，， ∴∠MEF+∠MFE＝90°，， ∴∠MEF＝∠NFC， ∴△MEF∽△NFC， ∴， ∴， ∴FN＝2x， ∴在Rt△CFN中，FN2+NC2＝FC2， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， ∴． 故答案为：． 三十一．旋转的性质（共3小题） 40．（2026•南京一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5．将△ABC绕AC的中点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△A′B′C′，当A′B′经过点C时，BB′的长为 　　 ． 【解答】解：连接AA′、OB、OB′，如图， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴AC4， ∵O点为AC的中点， ∴OA＝OC＝2， 在Rt△OBC中，∵BC＝3，OC＝2， ∴OB， ∵△ABC绕AC的中点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△A′B′C′， ∴OA′＝OA＝2，OB＝OB′，∠AOA′＝∠BOB′，∠OAB＝∠OA′C， ∵OC＝OA′＝2， ∴∠OA′C＝∠OCA′， ∴∠OCA′＝∠OAB， ∵OA＝OA′＝OC， ∴点A′在以AC为直径的圆上， ∴∠AA′C＝90°， ∵∠ACA′＝∠BAC， ∴Rt△ACA′∽Rt△BAC， ∴， 即， 解得AA′， ∵，∠AOA′＝∠BOB′， ∴△AOA′∽△BOB′， ∴， 即， 解得BB′． 故答案为：． 41．（2026•启东市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，若点A′恰好落在AB边上，则BB′的长为　　 ． 【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C， ∴∠BCB'＝∠ACA'，AC＝A'C，BC＝B'C， ∵∠A＝60°， ∴△ACA'为等边三角形， ∴∠ACA'＝60°， ∴∠BCB'＝60°， ∴△BCB'为等边三角形， ∴BB'＝BC． ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2， ∴BC＝AB•sin60°， ∴BB'． 42．（2026•江都区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，点D是AB的中点，将线段BD绕着点B顺时针旋转90°到BF，点E是上任意一点，连接AE并延长交BC于点P．在此旋转过程中，点P运动的路线长为　　 ． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，点D是AB的中点， ∴BD＝ADAB＝1， 由旋转得BF＝BD＝1， 如图，当点E运动到直线AP与相切于点E时，则点P的运动路径为线段BP， 连接BE，则AP⊥BE，且BE＝BDAB， ∴∠AEB＝90°， ∵sin∠BAP， ∴∠BAP＝30°， ∵tan30°， ∴BPAB2； 当点E又继续运动到点F时，点P的运动路径为线段PF， ∵PF＝BP﹣BF， ∴BP+PF， ∴点P运动的路线长为， 故答案为：． 三十二．平行线分线段成比例（共1小题） 43．（2026•东台市二模）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出△ABC，且AB、AC与中间的另外两条横线交于D、F、E、G四点，连接CD交FG于点H．若HG＝3，则BC的长为　18　 ． 【解答】解：∵DE∥FG∥BC，，， ∴△ADE∽△ABC，△CHG∽△CDE， ∴，， ∴DE＝6，BC＝18． 故答案为：18． 三十三．相似三角形的判定与性质（共1小题） 44．（2026•江都区一模）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E、F在BC上．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，BE＝7，EF＝4，FC＝5，则四边形ADEF与△ABC的面积比为　　 ． 【解答】解：在△EBD和△FAC中， ， ∴△EBD≌△FAC（ASA）， ∴S△EBD＝S△FAC， ∵BE＝7，EF＝4，FC＝5， ∴BC＝BE+EF+FC＝7+4+5＝16， ∵∠FAC＝∠B，∠C＝∠C， ∴△FAC∽△ABC， ∴， ∴AC2＝FC•BC＝5×16＝80， ∴， 设S△ABC＝16m，则S△EBD＝S△FACS△ABC＝5m， ∴S四边形ADEF＝S△ABC﹣S△EBD﹣S△FAC＝16m﹣5m﹣5m＝6m， ∴， 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $