广东省解答题（3-3）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题

**基本信息** 以2026年春晚“哭哭马”等热点为情境载体，通过“问题解决—模型构建—拓展应用”三阶训练，系统整合代数运算、函数应用与几何变换，突出数学建模与逻辑推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数综合|5题|分式化简双解法对比、方程应用增长率模型、不等式组参数取值范围|从运算技巧到实际问题解决，构建“概念—解法—应用”递进链条| |函数综合|8题|一次函数动态分析、二次函数最值与存在性问题、反比例函数几何关联|以坐标系为纽带，融合数形结合与分类讨论思想| |几何综合|12题|三角形旋转放缩、四边形折叠变换、圆的切线判定与性质|从基本图形到复合变换，强化辅助线构造与全等相似转化|

【三轮复习】2026年广东省中考数学名校模拟优选好题-解答题（3-3） 一．分式的化简求值（共1小题） 1．（2026•坪山区二模）在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤： 小深：原式 小圳：原式 （1）小深解法第一步的依据是　 　 ，小圳解法第一步的依据是　 　 ． A．等式的基本性质B．分式的基本性质C．乘法结合律D．乘法分配律 （2）请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，﹣3，1，﹣1”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值． 二．一元二次方程的应用（共1小题） 2．（2026•南山区二模）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 任务1 求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． 任务2 为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 三．解一元一次不等式组（共1小题） 3．（2026•中山市校级二模）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，恰好x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： （1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣7＝0；③中，不等式组的“关联方程”是　 　 ；（只填序号） （2）若关于x的方程2x+k＝5是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围． 四．一次函数的应用（共1小题） 4．（2026•广州校级模拟）【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 时间x/h 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y/cm 6 10 14 18 22 （1）【实验观察】表中是实验记录的圆柱体容器液面高度y（单位：cm）与时间x（单位：h）的数据：在图②所示的平面直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； （2）【探索发现】请你根据表中的数据及图象，用所学过的①一次函数；②二次函数；③反比例函数中的　 　 （填序号），确定y与x之间的函数表达式为　 　 ； （3）【结论应用】如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到20cm时是什么时刻． 五．一次函数综合题（共2小题） 5．（2026•坪山区二模）【综合实践】 【背景】日常出行离不开公共交通，面对公共交通种类日益丰富，乘坐公交车的人逐渐减少，公交车运营面临亏损，某校数学小组调查了某公交车线路的运营情况． 【材料一】图（a）是某公共汽车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，该路线的票价为2元/人． 【材料二】为了扭亏有关部门举行提高票价的听证会． 乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏． 公交公司认为：运营成本难以下降，公司已经尽力，每张票需提高票价才能扭亏． 根据两种意见，可以把图（a）分别改画成图（b）和图（c）． 【问题解决】 （1）根据图中信息填空： ①写出图（a）的函数解析式：y＝　 　 ； ②由图（a）可知，乘客量达到　 　 万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是　 　 万元； ③你认为上述三个图象中，反映乘客代表意见的是图　 　 ． （2）若同时采用乘客代表（成本降低m万元，0＜m＜1）和公交公司（票价提高n元，n＞0）的方案．设收支平衡时（即公交公司的票价总收入＝公交公司的运营成本）的乘客量为x0（万人），则m，n，x0满足的数量关系为　 　 ． （3）若x0与n满足函数关系，且当n＝0.5时，x0＝0.2；当n＝2时，x0＝0.5． ①求a、b的值； ②在（2）的方案下，当时，则m的取值范围是　 　 ． 6．（2026•佛山模拟）已知在平面直角坐标系中，A（2，0），点B是直线y＝x上的动点，以AB为边作正方形ABCD，点A，B，C，D按顺时针方向排序． （1）如图，若点D在x轴上，求点C的坐标； （2）当点B不与原点重合时， ①连接AC，猜想∠OAC与∠ABO的数量关系，直接写出结论； ②过点C作CH⊥y轴，垂足为H，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 六．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题） 7．（2025•河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 七．反比例函数综合题（共1小题） 8．（2026•潮南区一模）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，或，所以BN的长为或． （1）【类比探究】如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点． （2）【知识迁移】如图3，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求证：PA是⊙O的切线． （3）【拓展应用】如图4，点P（a，b）是反比例函数上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点． 八．二次函数的应用（共4小题） 9．（2026•潮南区一模）综合与实践 有趣的“速叠杯” “速叠杯”是一项好玩的手部运动．它的叠放方式如图1：从下往上，最底层摆若干个杯子，每往上一层减少1个杯子，直到顶层只有1个杯子，形成一个“塔”形． 小丽在活动中记录了不同叠放情况下杯子的总数： 最底层杯子数 x 1 2 3 4 5 杯子总数 y 1 3 6 10 15 （1）观察表格，当最底层有6个杯子时，杯子的总数是　 　 个． （2）通过观察杯子的摆放规律，用an表示图n的杯子数，其中n＝1，2，3，…，小丽发现： 当塔有1层时，杯子总数：个杯子； 当塔有2层时，杯子总数：个杯子； 当塔有3层时，杯子总数：个杯子； 当塔有4层时，杯子总数：个杯子； … 根据以上规律： ①当塔有100层时，杯子总数是　 　 个； ②要摆一个n层的“速叠杯”塔，一共需要　 　 个杯子（用含n的式子表示）； ③若现有120个杯子，按照这种叠放方式，能恰好叠放成一个完整的“速叠杯”塔，n＝　 　 ． （3）杯子的侧面展开图如图2所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径，ND∥MA，AB所对的圆心角∠AOB＝120°，OA＝18cm，OD＝8cm．将这样足够数量的杯子按图1中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过108cm，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数． 10．（2026•潮南区一模）如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，N之间的距离为20米，A1，B1两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C1，D1为桥面钢丝的固定点，C1，D1两点相距90米且C1M＝D1N，已知tan∠A1C1D1．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 11．（2026•广州校级模拟） 《观景拱桥的设计》 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点C（0，5），B（10，0）（长度单位：m），求出抛物线的解析式． 任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面EG．已知“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离． 任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在拱桥OC的正上方，其中光线NP所在的直线解析式为y＝﹣x+12，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 12．（2026•东源县一模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4m，宽ON＝12m．现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD．求门高AB的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长． 九．二次函数综合题（共4小题） 13．（2026•广东校级一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标； （3）如图1，点P在x轴上，点D在抛物线上，当P、D、B、C四点能构成平行四边形时，P点坐标是多少，不写过程，直接写出P点坐标． 14．（2026•中山市校级二模）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点P（2，3），把点P绕点D顺时针旋转90°得到的对应点Q． 【构建联系】 （1）直接写出抛物线和双曲线的解析式　 　 ； （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接PE，BQ，求证：∠DPE＝∠DQB； 【深入探究】 （3）如图3，连接CD、CP，将△OCD绕着点O旋转得到△OC'D'，其中点C'、D'分别是C、D两点的对应点，在旋转的过程中，当△OC'D'与△PCD重叠部分恰好是一个点时，求出此时点D'的坐标． 15．（2026•南山区二模）在平面直角坐标系中，平移抛物线Q1：y＝x2﹣2hx+c的图象，若其顶点P始终都在直线y＝kx+b（k，b均为常数）上，则称直线y＝kx+b为抛物线Q1的“k﹣b型亲密线”． （1）当抛物线Q1满足c＝（h+1）2时， ①若此时抛物线Q1的图象恰好经过原点，求顶点P的坐标； ②求该抛物线Q1的“k﹣b型亲密线”的表达式； （2）将抛物线Q1进行平移，得到抛物线Q2，设抛物线Q2与y轴交点的纵坐标为n，顶点P的横坐标为m，当﹣2≤m≤1时，n有最小值1，若此时抛物线Q2有“k﹣3型亲密线”，求k的值． 16．（2026•中山市校级模拟）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，连接BC． （1）抛物线的解析式为　 　 ； （2）如图1，点G是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点G作y轴的平行线交直线BC于点E，作GF⊥BC于点F．当△GEF的周长最大时，求△GEF的面积； （3）如图2，连接BD，点P是线段BD的中点，点Q是线段BC上一动点，连接DQ，将△DPQ沿PQ翻折，且线段D′P的中点恰好落在线段BQ上，将△AOC绕点O逆时针旋转60°得到△A′OC′，点T为坐标平面内一点，当以点Q、A′、C′、T为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点T的坐标． 十．三角形综合题（共3小题） 17．（2026•中山市校级模拟）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°的值为（　 　 ）； A． B．1 C． D．2 （2）对于0°＜A＜180°，则∠A的正对值sadA的取值范围是　 　 ； （3）已知，其中∠A为锐角，求sadA的值． 18．（2026•东源县一模）综合与实践 【问题情境】 在一次数学探究课上，老师给出了一道例题题干，如下：如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC，过点B作AB的垂线BD（D在BC上方），E，F两点分别在AB，BD上且． 【探究实践】 老师带领同学们自己观察图形，进行猜想和假设，找寻图中蕴含的几何关系，经过思考和讨论，小华和小颖同学分享了自己的发现． （1）如图1，小华发现，当点E为AB中点时，AE＝BF，请你给出证明； （2）如图2，小颖发现，当E不是AB中点时，AE＝BF仍成立，请你给出证明； 【拓展应用】 如图3，小聪在EF上取一点M使得CE＝EM，小聪发现∠BCM为固定值，请你给出证明并求∠BCM． 19．（2026•福田区二模）综合与实践 【问题背景】“尖鼻蛙”是“蛙届”跳远之王．对蛙类的立定跳远项目进行比较与测量，可以为研究蛙类跳跃极限、“仿蛙机器人”跳跃性能等，提供参考数据． 【模型构建】如图1，当“尖鼻蛙”以45°倾斜角起跳（以下简称“起跳”）时，若以地面上的起跳点为坐标原点，以地面上水平向右的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则其运动路线可以近似地用公式yx表示，其中，v0（m/s）是起跳时的速度． 【模型应用】 （1）如图1，当“尖鼻蛙”起跳速度v0m/s时，则其跳远距离OA＝ 　 　 m，在这个过程中，“尖鼻蛙”离地的最大高度是 　 　 m． （2）如图1，若“尖鼻蛙”起跳速度为v0，从起跳到落地的过程中： ①求其离地的最大高度是多少？（用含v0的代数式表示） ②记①中离地的最大高度为h，记OA＝l，求证：l＝4h． （3）如图2，“尖鼻蛙”连续两次起跳，共跳了8m远．在起跳点正上方1.25m处，设有一条平行于地面的观测线MN．若在两次跳跃过程中，“尖鼻蛙”均没有触碰到MN．设两次离地的最大高度分别为CD，EF． ①填空：CD+EF＝ 　 　 m； ②设其第一次起跳的速度为v0（m/s），求v0的取值范围． 十一．矩形的判定与性质（共1小题） 20．（2026•龙凤区模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积． 十二．四边形综合题（共5小题） 21．（2026•广东校级一模）小明在学习了矩形与旋转的知识后，对矩形的一条边进行旋转探究，下面是他的探究过程，请你对下列问题进行解答： 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，边AB绕点A顺时针旋转n°（0＜n＜180°）得到AB′，作AP平分∠BAB′交BD于点P，连接B′P． （1）初步探究：如图1，将矩形纸片沿直线l对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，得到折痕GH，当B′落在GH上时，求n的值． （2）深入探究：如图2，当B′落在对角线AC上时，求点B′到BC的距离． （3）拓展探究：若AB′与矩形ABCD的对角线垂直，求BP的长． 22．（2026•潮南区一模）【问题提出】 小丽在AI上自主学习时，看到一个结论：对于任何一个封闭的平面图形，存在一条直线既平分周长，又平分面积．于是小丽利用初中所学知识进行初步验证． 【问题探究】 （1）小丽先选择了圆和等腰三角形特殊图形进行验证，如图①，请你用无刻度的直尺和圆规分别作一条直线，使这条直线既平分所选图形的周长，又平分它的面积；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图②，小丽在直角三角形ABC中，作出一条直线EF，交AC于点E、交BC于点F，若直线EF既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积．请根据小丽所给的数据计算：若∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，CE＝a，用含有a的代数式表示FC＝　 　 ，并求a的值； 【问题解决】 （3）小丽家所在小区平面示意图如图③，小区为方便居民出行，准备修一条笔直的道路MN（路宽不计），使这条道路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．小丽利用所学知识进行思考，通过测量示意图得到AD∥BC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，CD＝5，AD＝3．若该道路的一个出口在DC边上，请通过计算相关线段帮小丽在图③用直尺画出这条直线，并在图中标出所有线段的长度． 23．（2026•南山区校级二模）综合与探究 【探索发现】如图1，可以用两个含30°的直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个直角三角形，那么我们称这个四边形为双垂四边形．如图2，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，此时四边形ABCD是双垂四边形． 【问题解决】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别为线段BC、AB上一点， （1）如图3，若AD平分∠BAC，BE＝2，求证：四边形ACDE是双垂四边形； （2）如图4，若CD＝AC，四边形ACDE是双垂四边形，∠AED＝90°，连接CE，求CE的长； 【拓展应用】（3）如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，D为线段BC中点，E为线段AB上一点，四边形ACDE是双垂四边形，将△ADE沿AD翻折到△ADF处，连接BF，请直接写出BF的长度． 24．（2026•坪山区二模）【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片ABCD为基本图形，探索几何图形折叠变化中的数学问题，其中AB＝15，AD＝20． 【特例探究】如图1，小坪对矩形ABCD进行折叠，使得C和A重合，折痕分别交AD和BC于E、F，点D的对应点是D′，连接AC． ①根据轴对称性质： ∵对应点的连线被对称轴垂直且平分， ∴EF是　 　 的垂直平分线． ②请探究BF和DE的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 ①如图2，小山沿着过点B的直线折叠，使得点C的对应点C′恰好在CA的延长线上，折痕交AD于M，点D的对应点为D′，求线段AC′的长． ②小深沿着与图2中BM平行的直线折叠矩形ABCD，折痕分别交AM、AB于P、Q，点C和点D的对应点分别是C′和D′． 请你借助图3进行分析，当△AC′D′是等腰三角形时，直接写出折痕PQ的长度． 25．（2026•佛山模拟）【问题情境】 如图1，小王将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在折痕BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F． 【实践操作】 （1）尺规作图：当点B′与点D重合时，在图2中作出折痕EF； 【问题解决】 （2）如图3，若AB＝4，BC＝8，点A′，B′，C在同一条直线上，求BB′的长； 【深入探究】 （3）在【问题情境】的折叠操作中，设AB＝a，BC＝b．从下列两个问题中任选一个进行解决： ①连接AC，当a，b满足什么数量关系时，A′B′与AC始终平行？请说明理由； ②若点F是边BC的中点，求的最大值． 十三．圆的综合题（共3小题） 26．（2026•南山区校级二模）在矩形ABCD中，E是AD上一点，且∠ABE＝∠CBD； （1）尺规作图：作⊙O，使点O在对角线BD上，且⊙O经过E、D两点；（保留作图痕迹，标出点O，不写作法） （2）如图2，求证：BE为⊙O的切线； （3）若，CD＝4，求⊙O的半径． 27．（2026•中山市校级模拟）已知AB为⊙O直径，弦CD交AB于点E（点E不与O重合），连接AC、AD，AC＝AD． （1）如图1，求证：AB⊥CD； （2）如图2，过点D作DG⊥AC于点G，DG交AB于点F，求证：EF＝BE； （3）如图3，在（2）的条件下，延长DG交⊙O于点H，Q为弧AD上一点，连接AQ、HQ，HQ交AB于点P，若AQ，DE＝3，∠HPB+2∠CAB＝90°，求圆O半径． 28．（2026•福田区二模）如图，在△ABC中，点O、D在边AB上，且点D在点O右侧．以O为圆心，OA为半径作⊙O交AB于点E，点C恰好在⊙O上．过点D作AB的垂线交BC的延长线于点F，若∠F＝2∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是2，BC＝3，，求DF的长． （3）尺规作图：作△ABC边BC上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 十四．几何变换综合题（共2小题） 29．（2026•汕头一模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE． （1）如图1，当∠ACD＝15°时，求∠BDE的度数； （2）如图2，连接CE、BE，CE与AB交于点O，当∠ACD为锐角时，求证：∠ABE的大小为定值； （3）如图3，点M在CD上，且CM：MD＝2：1，以点C为中心，将线段CM逆时针转120°得到线段CN，连接CE、EN，若AC＝6，求线段EN的取值范围． 30．（2026•福田区二模）【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，点B，C，D分别旋转到点B′，C′，D′． 【初步探究】 （1）如图2，若AB＝5，AD＝3，C′D′恰好经过点B，则D′B＝　 　 ，B′到AB的距离为　 　 ． 【深入探究】 （2）如图3，若C′D′恰好经过点B，连接DB′交AB于E，试判断线段DE与B′E的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若AB＝5，AD＝3，C′D′所在直线恰好经过点B，求BB′的长． 十五．相似形综合题（共3小题） 31．（2025•江西）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　 ，k的值为　 　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）． 32．（2026•南山区二模）如图1，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F与点B关于AE对称，射线AE分别与直线DF、BC分别交于点G、H． （1）如图2，已知∠ABC＝90°，点F恰好落在对角线AC上时， ①∠G＝　 　 ； ②若AD＝4，则AE•AG＝　 　 ； （2）试猜想图1中∠G与∠ABC有怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图3，已知，若点F恰好落在菱形ABCD的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请直接写出此时的值． 33．（2026•广州校级模拟）【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．A4纸是我们常见的矩形打印纸，将A4纸ABCD沿垂直AD的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕EF两侧的两个小矩形称为A5纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形EABF∽矩形ABCD；将A5纸类似的对折，得到与之相似的A6纸…，A4纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． （1）【初探结论】如图1，设AD＝2a，则A4纸的宽AB＝　 　 ；（用a表示） （2）【作图再探】如图1，连接BE，过点E作EG⊥BE交CD于点G．证明：点G为边CD的中点； （3）【拓展应用】在（1）的条件下， ①如图2，再次折叠纸片，使点B落在AD上的点E处，折痕为MN，连接AC．请写出并证明线段MN与AC的关系； ②如图3，若点E为边AD上的一动点，沿BE折叠纸片，使点A落在P处，连接PD，CP，求的最小值． 十六．解直角三角形的应用（共2小题） 34．（2026•汕头一模）我们在物理学科中学过：光线从空气射入玻璃会发生折射现象（如图1），现将一块长方体玻璃砖水平放置（如图2），激光笔从A处射出一束光线，经玻璃上表面B处折射后沿BC方向传播，再经下表面折射后沿CD方向射出，可知CD∥AB，CD与竖直墙面交于点D．经查阅，记玻璃的折射率为n，在空气中玻璃的折射率n的值等于入射角与折射角正弦值的商．例如在图2中，． （1）在图2中，已知∠ABM＝60°，∠BCF＝135°，求该玻璃的折射率n； （2）在（1）的条件下，如果图2中该玻璃砖厚度BH＝6cm，现撤去玻璃砖，光线AB与墙面的交点为G，求D、G两点之间的距离． 35．（2026•佛山模拟）初三（1）班成立项目式学习小组，开展停车位设计研究． 【查阅资料】依据《中华人民共和国行业标准——汽车库建筑设计规范》，如图1，日常停车位有平行式、垂直式和斜停式三种，车位大小及通道最小宽度要求如表（单位：m）： 停车方式 车位长度 车位宽度 通道最小宽度 平行式 6 2.4 3.8 斜停式 30° 5.3 2.4 3.8 45° 5.3 2.4 3.8 60° 5.3 2.4 4.2 垂直式 5.3 2.4 5.5 【整理数据】如图2，关于斜停式车位，通过计算得到如下近似数据（单位：m）： H＝5.3sinθ+2.4cosθ，． θ H L 30° 4.8 4.8 45° 5.5 3.4 60° 5.8 2.8 【设计方案】如图3，现教学楼与围墙之间有一块长42m，宽9m的广场，计划改造为停车场．请帮忙设计停车位，使得车位数量最大，并说明理由． （参考数据：，） 【三轮复习】2026年广东省中考数学名校模拟优选好题-解答题（3-3） 参考答案与试题解析 一．分式的化简求值（共1小题） 1．（2026•坪山区二模）在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤： 小深：原式 小圳：原式 （1）小深解法第一步的依据是B ，小圳解法第一步的依据是D ． A．等式的基本性质 B．分式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，﹣3，1，﹣1”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值． 【解答】解：（1）由题意得，小深解法第一步的依据是分式的基本性质；小圳解法第一步的依据是乘法分配律， 故答案为：B，D； （2）小深：原式 • • ； 小圳：原式 •• ， ∵x﹣3≠0，x+3≠0，x+1≠0， ∴x≠3，﹣3，﹣1， ∴当x＝1时，原式1． 二．一元二次方程的应用（共1小题） 2．（2026•南山区二模）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 任务1 求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． 任务2 为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 【解答】解：任务1：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x， 由题意得：20（1+x）2＝24.2， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， 答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为10%； 任务2：设每件“哭哭马”实际售价应定为y元， 由题意得：（y﹣60）[48+4（80﹣y）]＝1020， 整理得：y2﹣152y+5775＝0， 解得：y1＝75，y2＝77（不符合题意，舍去）， 答：每件“哭哭马”实际售价应定为75元． 三．解一元一次不等式组（共1小题） 3．（2026•中山市校级二模）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，恰好x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： （1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣7＝0；③中，不等式组的“关联方程”是　①②　 ；（只填序号） （2）若关于x的方程2x+k＝5是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围． 【解答】解：（1）①3（x+1）﹣x＝9，解得x＝3； ②4x﹣7＝0，解得； ③，解得x＝1； ， 解不等式①得x＞1； 解不等式②得x≤5； ∴原不等式组的解集为1＜x≤5； ∵x＝3、在1＜x≤5范围内；x＝1不在1＜x≤5范围内， ∴不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； （2）2x+k＝5，解得； ， 解不等式①得x≥﹣1； 解不等式②得x≤7； ∴不等式组的解集为﹣1≤x≤7； ∵关于x的方程2x+k＝5是不等式组的“关联方程”， ∴，解得﹣9≤k≤7． 四．一次函数的应用（共1小题） 4．（2026•广州校级模拟）【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 时间x/h 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y/cm 6 10 14 18 22 （1）【实验观察】表中是实验记录的圆柱体容器液面高度y（单位：cm）与时间x（单位：h）的数据：在图②所示的平面直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； （2）【探索发现】请你根据表中的数据及图象，用所学过的①一次函数；②二次函数；③反比例函数中的　①　 （填序号），确定y与x之间的函数表达式为y＝4x+2　 ； （3）【结论应用】如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到20cm时是什么时刻． 【解答】解：（1）根据表格中的数据，描点，连线画出函数图象，如图所示： （2）由函数图象和表格中的数据可知，该函数为一次函数， 设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），则， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为y＝4x+2； 故答案为：①；y＝4x+2； （3）当y＝20时，x＝4.5， ∴当圆柱体容器液面高度达到20cm时，需要4.5h， ∴当圆柱体容器液面高度达到20cm时，时间为12：30． 五．一次函数综合题（共2小题） 5．（2026•坪山区二模）【综合实践】 【背景】日常出行离不开公共交通，面对公共交通种类日益丰富，乘坐公交车的人逐渐减少，公交车运营面临亏损，某校数学小组调查了某公交车线路的运营情况． 【材料一】图（a）是某公共汽车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，该路线的票价为2元/人． 【材料二】为了扭亏有关部门举行提高票价的听证会． 乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏． 公交公司认为：运营成本难以下降，公司已经尽力，每张票需提高票价才能扭亏． 根据两种意见，可以把图（a）分别改画成图（b）和图（c）． 【问题解决】 （1）根据图中信息填空： ①写出图（a）的函数解析式：y＝　2x﹣1　 ； ②由图（a）可知，乘客量达到　0.5　 万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是　1　 万元； ③你认为上述三个图象中，反映乘客代表意见的是图　（c）　 ． （2）若同时采用乘客代表（成本降低m万元，0＜m＜1）和公交公司（票价提高n元，n＞0）的方案．设收支平衡时（即公交公司的票价总收入＝公交公司的运营成本）的乘客量为x0（万人），则m，n，x0满足的数量关系为　　 ． （3）若x0与n满足函数关系，且当n＝0.5时，x0＝0.2；当n＝2时，x0＝0.5． ①求a、b的值； ②在（2）的方案下，当时，则m的取值范围是　　 ． 【解答】解：（1）①图（a）是一次函数，故设一次函数解析式为y＝kx+c， 由图可知：直线过（0，﹣1）和 （0.5，0）， 把 （0，﹣1）和（0.5，0）代入y＝kx+c， 得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：y＝2x﹣1， 故答案为：2x﹣1； ②由不亏损得y≥0， ∴2x﹣1≥0， 解得x≥0.5， ∴当x＝0.5时不亏损； 令x＝0，则y＝﹣1，即乘客量为0时，运营成本是1万元； ∴乘客量达到0.5万人时不亏损；运营成本是1万元， 故答案为：0.5，1； ③乘客代表通常希望降低成本、不提高票价，对应图象应是票价不变、成本降低，符合图（c）的特征； 公交公司希望提高票价、不降低成本，对应票价提高、运营成本不变，符合图（b）； 图（a）是原方案． 所以反映乘客代表意见的是图（c）， 故答案为：（c）； （2）根据题意得，成本降低m万元，票价提高n元，则新函数解析式为y＝（2+n）x﹣（1﹣m）， 由收支平衡得y＝0，即（2+n）x0＝1﹣m， 整理得：， 故答案为：； （3）①把n＝0.5，x0＝0.2和n＝2，xo＝0.5分别代入， 得：， 解得； ②∵a＝0，b＝2， ∴， 又m＝1﹣（n+2）x0， ∴， 即n＝1﹣m， ∴， ∵， ∴， 解， ∵0＜m＜1， ∴3﹣m＞0， ∴5（1﹣m）≥3﹣m， 解得， ∴； 解， ∴2（1﹣m）＜3﹣m， ∴m＞﹣1， 综上，m的取值范围为， 故答案为：． 6．（2026•佛山模拟）已知在平面直角坐标系中，A（2，0），点B是直线y＝x上的动点，以AB为边作正方形ABCD，点A，B，C，D按顺时针方向排序． （1）如图，若点D在x轴上，求点C的坐标； （2）当点B不与原点重合时， ①连接AC，猜想∠OAC与∠ABO的数量关系，直接写出结论； ②过点C作CH⊥y轴，垂足为H，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵点D在x轴上， ∴AB⊥x轴， ∵点A（2，0）， ∴xB＝2，OA＝2， ∵点B在 y＝x上， ∴当x＝2时，y＝2， ∴B（2，2）， ∵AD＝AB＝2， ∴OD＝OA+AD＝4， ∴D点坐标为（4，0）， ∵CD⊥x轴，CD＝AB＝2， ∴点C的坐标为（4，2）； （2）①猜想：∠OAC+∠ABO＝180°或∠ABO＝∠OAC， 当点B在第一象限时，∠OAC+∠ABO＝180°， 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°， 由（1）知∠AOB＝45°， 在△AOB中，∠ABO+∠AOB+∠OAB＝180°， ∴∠ABO+∠BAC+∠OAB＝180°， ∵∠BAC+∠OAB＝∠OAC， ∴∠OAC+∠ABO＝180°， 当点B在第三象限时，∠ABO＝∠OAC， 如图，在△AOB 中，∠AOB＝45°+90°＝135°， ∴∠ABO+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝45°， Rt△ABC中，由（1）知∠BAC＝45°，即∠OAB+∠OAC＝45°， ∴∠OAB＝45°﹣∠OAC， ∴∠ABO+45°﹣∠OAC＝45°，即∠ABO＝∠OAC， ②是定值，，理由如下： 过点B作BE⊥CH于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥BF交BF于点G， 当点B在第三象限时， ∵∠BEH＝∠EHF＝∠EFH＝90°， ∴四边形EBFH是矩形， ∴BF＝EH，∠EBF＝90°， 在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠ABC＝∠EBF，即∠CBE+∠EBA＝∠ABF+∠EBA， ∴∠CBE＝∠ABF， ∵AG⊥BF， ∴∠AGB＝∠CEB＝90°，∠ABG＝∠CBE， ∴△BCE≌△BAG（AAS）， ∴CE＝AG， ∵∠AGB＝∠GFO＝∠AOF＝90°， ∴四边形AOFG是矩形， ∴AG＝OF， 在Rt△OBF 中， ∵B在直线y＝x上， ∴OF＝BF，， ∴AG＝BF＝EH＝CE， ∴CH＝CE+EH＝2OF， ∴； 当点B在第一象限时，如图， ∵∠BFO＝∠FOA＝∠AGF＝90°， ∴四边形OAFG是矩形， ∴AG＝OF， 同理可证，四边形BEHF是矩形， ∴BF＝EH，∠FBE＝90°， ∵点B在直线y＝x上， ∴BF＝OH＝EH， ∵∠FBE＝∠ABC＝90°， ∴∠FBE﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE，即∠ABG＝∠CBE， ∵∠AGB＝∠BEC＝90°，AB＝BC， ∴△ABG≌△CBE（AAS）， ∴AG＝EC， ∴OF＝FB＝HE＝CE， ∴CH＝HE+CE＝2FB， 在Rt△OBF 中，根据勾股定理， ∴， 综上，为定值，． 六．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题） 7．（2025•河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 【解答】解：（1）∵含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C， ∴k＝2×2＝4， ∴反比例函数的表达式为：； （2）∵C（2，2）， ∴CO2＝22+22＝8， ∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO＝90°， ∴AC＝CO，， 如图，△OAB旋转到△OEF的位置，D点对应G点， ∴OE＝OA＝4， ∵D的对应点G在的图象上， ∴yG＝1， ∴EG＝1， 由旋转可得：AD＝GE＝1， ∴D（﹣1，4）． 七．反比例函数综合题（共1小题） 8．（2026•潮南区一模）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，或，所以BN的长为或． （1）【类比探究】如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点． （2）【知识迁移】如图3，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求证：PA是⊙O的切线． （3）【拓展应用】如图4，点P（a，b）是反比例函数上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点． 【解答】证明：（1）如图2， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，CD＝AD，CE＝BE， ∴CG＝GM，CH＝HN， ∴DGAM，GHMN，EHBN， ∵M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB）， ∴BN2＝MN2+AM2， ∴BN2MN2AM2， ∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2， ∴EH2＝GH2+DG2， ∴G、H是线段DE的勾股点； （2）如图3，连接PD，OP， ∵AC＝PC， ∴∠A＝∠APC， ∴∠PCD＝2∠A， ∵C，D是线段AB的勾股点， ∴AC2+BD2＝CD2， ∴PC2+BD2＝CD2， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CPD＝90°， ∴PC2+PD2＝CD2， ∴PD＝BD， ∴∠PDC＝2∠B， ∵∠A＝2∠B， ∴∠PDC＝∠A， 在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°， ∴2∠A+∠A＝90°， 解得∠A＝30°， 则∠POC＝2∠PDC＝60°， ∴∠APO＝90°， ∴OP⊥AP， ∵OP是圆O的半径， ∴PA是⊙O的切线； （3）∵点P（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）上， ∴ab＝2， ∵A（2，0），B（0，2）， ∴E （a，﹣a+2），C（a，0），F（﹣b+2，b），D（0，b）， 由题知：AC＝CE＝2﹣a，BD＝DF＝2﹣b， ∴AE2+BF2＝2（2﹣a）2+2（2﹣b）2＝2a2+2b2﹣8a﹣8b+16， EF2＝2（a+b﹣2）2 ＝2a2+2b2﹣8a﹣8b+4ab+8 ＝2a2+2b2﹣8a﹣8b+16， ∴AE2+BF2＝EF2， ∴E、F是线段AB的勾股点． 八．二次函数的应用（共4小题） 9．（2026•潮南区一模）综合与实践 有趣的“速叠杯” “速叠杯”是一项好玩的手部运动．它的叠放方式如图1：从下往上，最底层摆若干个杯子，每往上一层减少1个杯子，直到顶层只有1个杯子，形成一个“塔”形． 小丽在活动中记录了不同叠放情况下杯子的总数： 最底层杯子数 x 1 2 3 4 5 杯子总数 y 1 3 6 10 15 （1）观察表格，当最底层有6个杯子时，杯子的总数是　21　 个． （2）通过观察杯子的摆放规律，用an表示图n的杯子数，其中n＝1，2，3，…，小丽发现： 当塔有1层时，杯子总数：个杯子； 当塔有2层时，杯子总数：个杯子； 当塔有3层时，杯子总数：个杯子； 当塔有4层时，杯子总数：个杯子； … 根据以上规律： ①当塔有100层时，杯子总数是　5050　 个； ②要摆一个n层的“速叠杯”塔，一共需要　　 个杯子（用含n的式子表示）； ③若现有120个杯子，按照这种叠放方式，能恰好叠放成一个完整的“速叠杯”塔，n＝　15　 ． （3）杯子的侧面展开图如图2所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径，ND∥MA，AB所对的圆心角∠AOB＝120°，OA＝18cm，OD＝8cm．将这样足够数量的杯子按图1中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过108cm，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数． 【解答】解：（1）观察表格规律，当最底层有6个杯子时，杯子的总数是1+2+3+4+5+6＝21（个）． 故答案为：21； （2）①当塔有1层时，杯子总数：个杯子， 当塔有2层时，杯子总数：个杯子， 当塔有3层时，杯子总数：个杯子， 当塔有4层时，杯子总数：个杯子，… 当塔有100层时，杯子总数是（个）； ②由规律得，要摆一个n层的“速叠杯”塔，一共需要个杯子（用含n的式子表示）． ③令，则n（n+1）＝240， ∵15×16＝240， ∴n＝15． 故答案为：①5050；②；③15； （3）∵，12π＝2π×MA， ∴MA＝6cm； ∵第一层摆放杯子的总长度不超过108cm，设第一层杯子的个数为x个， ∴6×2x≤108，解得：x≤9， ∴x取最大值为9，即第一层摆放杯子9个，杯子的层数也是9． ∴杯子的总数为（9+1）×9＝45（个）， 在图2中，OA＝18cm，OD＝8cm， ∵ND∥MA， ∴△OND∽△OMA， ∴， 在Rt△OAM中，， ∴， ∴， ∴最大高度为：． 10．（2026•潮南区一模）如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，N之间的距离为20米，A1，B1两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C1，D1为桥面钢丝的固定点，C1，D1两点相距90米且C1M＝D1N，已知tan∠A1C1D1．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【解答】解：由题意得，点M（0，0），点N（20，0）． 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣0）（x﹣20）． 作AE⊥C1D于点E，则AE＝30． ∴∠AEC1＝90°． ∵tan∠AC1D1， ∴C1E＝40． ∵C1D1＝90米，MN＝20米，C1M＝D1N， ∴C1M＝35米． ∴ME＝5． ∴点A的坐标为（5，30）． ∴5（﹣15）a＝30． ∴a＝﹣0.4． ∴y＝﹣0.4（x﹣0）（x﹣20）＝﹣0.4x2+8x，即y＝﹣0.4x2+8x． 11．（2026•广州校级模拟） 《观景拱桥的设计》 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点C（0，5），B（10，0）（长度单位：m），求出抛物线的解析式． 任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面EG．已知“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离． 任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在拱桥OC的正上方，其中光线NP所在的直线解析式为y＝﹣x+12，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k， 由题意可得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）知，OB＝10， 根据对称性可得AO＝OB＝10， 设点G的坐标为， 根据题意得HG＝2t，， ∵HG+EH+GF＝18.4， ∴， 解得t1＝6，t2＝14（不合题意，舍去）， ∴HG＝12m，GF＝3.2m， ∴， ∴AE＝AO﹣EO＝4m； （3）在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角， 作直线NP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点H，Q，过点H作HG⊥PN，垂足为G，如图所示， ∵l∥PN，光线NP所在的直线解析式为y＝﹣x+12， ∴设直线l的解析式为y＝﹣x+m， 联立， 整理得x2﹣20x+20m﹣100＝0， ∵直线l与抛物线相切， ∴方程只有一个根， ∴Δ＝（﹣20）2﹣4×1×（20m﹣100）＝0， 解得m＝10， ∴直线l的解析式为y＝﹣x+10， 令y＝0，则x＝10， ∴H（10，0）， ∴HN＝ON﹣OH＝12﹣10＝2， ∵∠PNO＝45°，∠HGN＝90°，， ∴， 即光线与抛物线之间的距离为米． 12．（2026•东源县一模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4m，宽ON＝12m．现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD．求门高AB的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（6，4）， ∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+4． 又抛物线过（0，0）， ∴0＝36a+4． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）由题意，设AB＝BE＝EC＝CD＝m， ∴A（6﹣m，m）． 又A在抛物线， ∴． ∴m＝3或m＝﹣12（舍去）． ∴AB＝3； 答：门高AB为3m； （3）由题意，∵A（3，3），N（12，0）， ∴直线AN为． 又∵MQ∥AN， ∴可设MQ为． ∴． ∴x2﹣15x+9b＝0． ∴Δ＝225﹣36b＝0． ∴． ∴直线MQ为． 令y＝0， ∴．即， 答：此时OQ的长为． 九．二次函数综合题（共4小题） 13．（2026•广东校级一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标； （3）如图1，点P在x轴上，点D在抛物线上，当P、D、B、C四点能构成平行四边形时，P点坐标是多少，不写过程，直接写出P点坐标． 【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C， 当y＝0时，得：﹣x+3＝0， 解得：x＝3； 当x＝0时，得：y＝3， ∴B（3，0），C（0，3）． 抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴另一交点为点A， 当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0， 解得：x＝3或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∴AB＝4． 设D（m，﹣m2+2m+3）， 如图1，过D作DM∥y轴交直线BC于M，过A作AN∥y轴交直线BC于N， 则M（m，﹣m+3）， ∴DM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m． 对y＝﹣x+3， 当x＝﹣1时，得：y＝4， 故N（﹣1，4）， ∴AN＝4， ∵△CDE和△ACE同高， 故， 又∵DM∥AN， ∴△DME∽△ANE， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， 此时D的纵坐标为， ∴最大时，点D坐标为； （3）设P（p，0），D（x，y），（y＝﹣x2+2x+3）， ∵P、D、B、C四点构成平行四边形， ∴分三种对角线情况： 情况1：BC与PD为对角线，如图2， ∵：B（3，0），C（0，3），P（p，0），D（x，y）， ∴BC中点为，即；PD中点为，即， 依题意得：， 解得：， ∴﹣x2+2x+3＝3， 解得：x＝0或x＝2， 当x＝0，p+0＝3，p＝3，D（0，3）与C重合，舍去； 当x＝2，p＝3﹣2＝1，P1（1，0） 情况2：BP与DC为对角线，如图3， ∴PB中点为：，即 DC中点为：，即 依题意得：， 解得：， ∴y＝﹣3， ∴﹣x2+2x+3＝﹣3，x2﹣2x﹣6＝0， 解得：， 当，，； 当，，； 情况3：PC与DB为对角线，如图4， ∴PC中点为：，即；DB中点为：，即， 依题意得：， 解得：， ∴﹣x2+2x+3＝3， 解得：x＝0或x＝2， 当x＝0，p＝0+3＝3，D（0，3）与C重合，舍去； 当x＝2，p＝2+3＝5，P4（5，0）． 综上所述，符合条件的P点坐标为：（1，0）、（5，0）、、． 14．（2026•中山市校级二模）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点P（2，3），把点P绕点D顺时针旋转90°得到的对应点Q． 【构建联系】 （1）直接写出抛物线和双曲线的解析式y＝﹣x2+6x﹣5，y　 ； （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接PE，BQ，求证：∠DPE＝∠DQB； 【深入探究】 （3）如图3，连接CD、CP，将△OCD绕着点O旋转得到△OC'D'，其中点C'、D'分别是C、D两点的对应点，在旋转的过程中，当△OC'D'与△PCD重叠部分恰好是一个点时，求出此时点D'的坐标． 【解答】（1）解：把P（2，3）代入y中， ∴k＝6， ∴双曲线的解析式为y， 把P（2，3），A（1.0）代入y＝﹣x2+bx+c中， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5； 故答案为：y＝﹣x2+6x﹣5，y； （2）证明：∵抛物线的对称轴为直线x＝3， ∴D（3，0）， ∵双曲线与抛物线对称轴交于点E， ∴E（3，2）， ∴DE＝2， ∵A（1，0），抛物线对称轴为直线x＝3，A、B关于对称轴对称， ∴BD＝AD＝2， ∴DE＝BD， ∵∠EDB＝∠PDQ＝90°， ∴∠PDE＝∠QDB， ∵PD＝DQ， ∴△PDE≌△QDB（SAS）， ∴∠DPE＝∠DQB； （3）解：①当△OC'D'与△PCD重叠部分是点P时，如图， 分别作D'M⊥x轴，PN⊥x轴，分别交x轴于M、N两点， ∵∠POD'＝∠PNO＝∠D'MO＝90°， ∴△D'OM∽△APN， ∴D'M：MO＝ON：PN＝2：3， ∵OD'＝OD＝3， ∴，DM， ∴点D′的坐标（，）； ②当△OC′D'与△PCD重叠部分是点D'时，如图， ∴点D'在线段PC上， ∵抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5， ∴C（0，﹣5）， ∵P（2，3）， ∴直线PC的解析式为y＝4x﹣5， ∴设D'的坐标为（m，4m﹣5）， ∵OD'＝OD＝3， ∴m2+（4m﹣5）2＝9， 解得，m2（舍去）， ∴点D'的坐标为（，）； 综上，点D'坐标为（，）或（，）． 15．（2026•南山区二模）在平面直角坐标系中，平移抛物线Q1：y＝x2﹣2hx+c的图象，若其顶点P始终都在直线y＝kx+b（k，b均为常数）上，则称直线y＝kx+b为抛物线Q1的“k﹣b型亲密线”． （1）当抛物线Q1满足c＝（h+1）2时， ①若此时抛物线Q1的图象恰好经过原点，求顶点P的坐标； ②求该抛物线Q1的“k﹣b型亲密线”的表达式； （2）将抛物线Q1进行平移，得到抛物线Q2，设抛物线Q2与y轴交点的纵坐标为n，顶点P的横坐标为m，当﹣2≤m≤1时，n有最小值1，若此时抛物线Q2有“k﹣3型亲密线”，求k的值． 【解答】解：（1）①由题意可得Q1：y＝x2﹣2hx+（h+1）2，且过原点， 故（h+1）2＝0，解得h＝﹣1， 则Q1：y＝x2+2x，顶点P的坐标为（﹣1，﹣1）； ②∵y＝x2﹣2hx+（h+1）2的顶点坐标P（h，2h+1）， ∴点P在直线y＝2x+1上， 故该抛物线Q1的“k﹣b型亲密线”的表达式为y＝2x+1； （2）∵抛物线Q2有“k﹣3型亲密线”， ∴抛物线Q1进行平移后的顶点在直线y＝kx+3上，且顶点P的横坐标为m， 则二次函数可表示为y＝（x﹣m）2+km+3， 令x＝0，则n＝m2+km+3， ∵当﹣2≤m≤1时，n有最小值1，则n为m的二次函数，开口向上，对称轴为m， ∴①当﹣21，即﹣2≤k≤4时，nmin3＝1， 解得k（舍去负值）； ②当2，即k＞4时，nmin＝4﹣2k+3＝1， 解得k＝3（不合题意，舍去）； ③当1，即k＜﹣2时，nmin＝1+k+3＝1， 解得k＝﹣3， 综上，k的值为﹣3或． 16．（2026•中山市校级模拟）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，连接BC． （1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3　 ； （2）如图1，点G是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点G作y轴的平行线交直线BC于点E，作GF⊥BC于点F．当△GEF的周长最大时，求△GEF的面积； （3）如图2，连接BD，点P是线段BD的中点，点Q是线段BC上一动点，连接DQ，将△DPQ沿PQ翻折，且线段D′P的中点恰好落在线段BQ上，将△AOC绕点O逆时针旋转60°得到△A′OC′，点T为坐标平面内一点，当以点Q、A′、C′、T为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点T的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），将点A，点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3， 故答案为：y＝﹣x2+2x+3； （2）设直线CB的解析式为y＝kx+d，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线CB解析式为y＝﹣x+3， ∵OB＝OC＝3， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴∠BCO＝45°， ∵GF⊥BC，GE∥y轴， ∴∠GFE＝90°，∠GEF＝∠BCO＝45°， ∴△GEF是等腰直角三角形， ∴EF＝FG， 由勾股定理得：， 即， ∴△GEF的周长为． 设点G（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3），其中0＜m＜3， ∴， 故当时，GE有最大值为； 当时，得：，， 此时点G，点E， 故当点G，点E时，△GEF的周长最大． 此时， ∴△GEF的面积为； （3）点T的坐标为或或．理由如下： ∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 故顶点D（1，4）； 如图2，将△DPQ沿PQ翻折，且线段D′P的中点恰好落在线段BQ上，连接DD′、D′B，设D′P与BQ交点为点H， ∴DD′⊥PQ，∠DPQ＝∠D′PQ，PD＝PD′，DQ＝D′Q， ∵B（3，0）、D（1，4），点P是线段BD的中点， ∴点P（2，2），PB＝PD＝PD′， ∴∠PBD′＝∠PD′B， ∵∠DPD′＝∠PBD′+∠PD′B＝2∠PBD′，∠DPD′＝∠DPQ+∠D′PQ＝2∠DPQ， ∴∠DPQ＝∠PBD′， ∴QP∥BD′， ∴∠PQH＝∠D′BH， ∵点H为线段D′P的中点， ∴PH＝D′H， 在△PQH和△D′BH中， ， ∴△PQH≌△D′BH（AAS）， ∴PQ＝BD′． ∵PQ＝BD′，QP∥BD′， ∴四边形BPQD′是平行四边形， ∴BP＝D′Q， ∴D′Q＝DQ＝PB＝PD＝PD′， DP2＝（2﹣1）2+（2﹣4）2＝5， 即DQ2＝DP2＝5． ∵点Q是线段BC上一动点，且直线CB解析式为y＝﹣x+3， 设点Q的坐标为（q，﹣q+3），且0＜q＜3，则DQ2＝（q﹣1）2+（﹣q+3﹣4）2， 即（q﹣1）2+（﹣q+3﹣4）2＝5， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为． ∵△AOC绕点O逆时针旋转60°得到△A′OC′， ∴OA＝OA′＝1，OC＝OC′＝3，∠AOA′＝60°，∠COC′＝60°， ∴点A′到y轴的距离为，到x轴的距离为，点C′到y轴的距离为，到x轴的距离为， ∴点A′，点C′， 此时点A′、C′的横坐标相差，纵坐标相差， 点A′、Q的横坐标相差，纵坐标相差， 当四边形TC′A′Q为平行四边形时，如图3：A′C′∥TQ，A′C′＝TQ， 此时点T与点Q的横坐标相差，纵坐标相差，且点Q的坐标为， 故点T的横坐标为，纵坐标为， ∴点T的坐标为； 当四边形TA′C′Q为平行四边形时，如图4：A′C′∥TQ，A′C′＝TQ， 此时点T与点Q的横坐标相差，纵坐标相差，且点Q的坐标为， 故点T的横坐标为，纵坐标为， ∴点T的坐标为； 当四边形TC′QA′为平行四边形时，如图5：TA′∥C′Q，TA′＝C′Q， 此时点T与点C′的横坐标相差，纵坐标相差，且点C′的坐标为， 故点T的横坐标为，纵坐标为， ∴点T的坐标为； 综上所述，以点Q、A′、C′、T为顶点的四边形是平行四边形时，点T的坐标为或或． 十．三角形综合题（共3小题） 17．（2026•中山市校级模拟）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°的值为（B ）； A． B．1 C． D．2 （2）对于0°＜A＜180°，则∠A的正对值sadA的取值范围是　0＜sadA＜2　 ； （3）已知，其中∠A为锐角，求sadA的值． 【解答】解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形的底角为60°，则三角形为等边三角形， ∴， 故答案为：B； （2）当∠A接近0°时，等腰三角形的底边接近0，故sadA接近0， 当∠A接近180°时，等腰三角形的底边接近于腰的2倍，故sadA接近2， 故对于0°＜A＜180°，则∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2， 故答案为：0＜sadA＜2； （3）在△ABC中，∠ACB＝90°，．如图，在AB上取点D，使AD＝AC，作DH⊥AC，H为垂足， 令AD＝AC＝4k，AB＝5k， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴； 在△ADH中，∠AHD＝90°，，， ∴，， 在Rt△CDH中，， 由勾股定理得：． 在△ACD中，AD＝AC＝4k，， 由正对的定义可得：． 18．（2026•东源县一模）综合与实践 【问题情境】 在一次数学探究课上，老师给出了一道例题题干，如下：如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC，过点B作AB的垂线BD（D在BC上方），E，F两点分别在AB，BD上且． 【探究实践】 老师带领同学们自己观察图形，进行猜想和假设，找寻图中蕴含的几何关系，经过思考和讨论，小华和小颖同学分享了自己的发现． （1）如图1，小华发现，当点E为AB中点时，AE＝BF，请你给出证明； （2）如图2，小颖发现，当E不是AB中点时，AE＝BF仍成立，请你给出证明； 【拓展应用】 如图3，小聪在EF上取一点M使得CE＝EM，小聪发现∠BCM为固定值，请你给出证明并求∠BCM． 【解答】解：（1）∵AC⊥BC，AC＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠A＝∠CBA＝45°， ∵点E为AB中点， ∴， ∴∠ACE＝45°， ∴∠AEC＝90°， ∴， ∵， ∴EF＝AC， ∵过点B作AB的垂线BD（D在BC上方），E，F两点分别在AB，BD上， ∴∠EBF＝90°， 在Rt△AEC和Rt△FBE中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△FBE（HL）， ∴AE＝BF； （2）如图2，将△AEC顺时针旋转90°，得△BHC，即点A与点B重合，点E的对应点是H点，连接EH， ∴CE＝CH，∠ECH＝90°，∠CBH＝∠A＝45°，AE＝HB，∠ACE＝∠HCB， ∴∠EBH＝∠CBH+∠CBA＝45°+45°＝90°， 即∠EBH＝∠EBF， ∴， ∵， ∴EF＝AC＝CH， ∵EB＝EB， ∴Rt△EFB≌Rt△EHB（HL）， ∴BF＝HB， ∵AE＝HB， ∴AE＝BF； 【拓展应用】设∠CEB＝x，∠EFB＝y， ∵△EFB≌△EHB， ∴∠EHB＝∠EFB＝y， 由（2）得CE＝CH，∠ECH＝90°，∠ACE＝∠HCB， ∴∠CHE＝45°， 在△CBH中，∠HCB＝180°﹣∠CHE﹣y﹣∠HBC＝90°﹣y， ∴∠ACE＝∠HCB＝90°﹣y， ∴∠CEM＝x+90°﹣y， ∵过点B作AB的垂线BD（D在BC上方），E，F两点分别在AB，BD上， ∴∠EBF＝90°，∠FEB＝90°﹣y， 则∠CEB＝∠A+∠ACE＝45°+90°﹣y＝135°﹣y， 即x＝135°﹣y， ∴x+y＝135°． ∵CE＝EM， ∴， ∴∠BCM＝∠ECB﹣∠ECM ＝22.5°． 19．（2026•福田区二模）综合与实践 【问题背景】“尖鼻蛙”是“蛙届”跳远之王．对蛙类的立定跳远项目进行比较与测量，可以为研究蛙类跳跃极限、“仿蛙机器人”跳跃性能等，提供参考数据． 【模型构建】如图1，当“尖鼻蛙”以45°倾斜角起跳（以下简称“起跳”）时，若以地面上的起跳点为坐标原点，以地面上水平向右的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则其运动路线可以近似地用公式yx表示，其中，v0（m/s）是起跳时的速度． 【模型应用】 （1）如图1，当“尖鼻蛙”起跳速度v0m/s时，则其跳远距离OA＝ 　1　 m，在这个过程中，“尖鼻蛙”离地的最大高度是 　　 m． （2）如图1，若“尖鼻蛙”起跳速度为v0，从起跳到落地的过程中： ①求其离地的最大高度是多少？（用含v0的代数式表示） ②记①中离地的最大高度为h，记OA＝l，求证：l＝4h． （3）如图2，“尖鼻蛙”连续两次起跳，共跳了8m远．在起跳点正上方1.25m处，设有一条平行于地面的观测线MN．若在两次跳跃过程中，“尖鼻蛙”均没有触碰到MN．设两次离地的最大高度分别为CD，EF． ①填空：CD+EF＝ 　2　 m； ②设其第一次起跳的速度为v0（m/s），求v0的取值范围． 【解答】解：（1）当“尖鼻蛙”起跳速度v0m/s时， y＝﹣x2+x，令y＝0， 解得x＝0或1， 即图象与x轴的交点坐标分别为（0，0）和（1，0）， ∴OA＝1， 此时“尖鼻蛙”离地的最大高度即函数的最大值， 当x时，y最大为， 故答案为：1，； （2）①解法一：根据二次函数最值，知最大高度为； 解法二：根据二次函数对称轴，得， 当x时， 最大高度为（）2； ②令y＝0，即x2+x＝0， 解得x1＝0，x2， ∴l＝OA， ∵h，4h， ∴l＝4h； （3）①设第一次跳远距离为l1，最大高度为h1（即CD），第二次跳远距离为l2，最大高度为h2（即EF）， 由（2）知l1＝4h1，l2＝4h2， ∵共跳了8m， ∴l1+l2＝8， ∴4h1+4h2＝8， ∴h1+h2＝8， ∴CD+EF＝2， 故答案为：2； ②由题意得，两次跳跃的高度CD和EF均小于1.25， 由①得，EF＝2﹣CD＜1.25， ∴0.75＜CD＜1.25， 由（2）得，CD， 即0.751.25， 解得：v0＜5． 十一．矩形的判定与性质（共1小题） 20．（2026•龙凤区模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：连接EO，如图所示： ∵O是AC、BD的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△EBD中， ∵O为BD中点， ∴EOBD， ∵O为AC中点， ∴EOAC， ∴AC＝BD， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）∵平行四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD， ∴AO＝OB， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝BO＝AB＝2， ∴AC＝2AO＝4， ∴BC2， ∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝4． 十二．四边形综合题（共5小题） 21．（2026•广东校级一模）小明在学习了矩形与旋转的知识后，对矩形的一条边进行旋转探究，下面是他的探究过程，请你对下列问题进行解答： 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，边AB绕点A顺时针旋转n°（0＜n＜180°）得到AB′，作AP平分∠BAB′交BD于点P，连接B′P． （1）初步探究 如图1，将矩形纸片沿直线l对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，得到折痕GH，当B′落在GH上时，求n的值． （2）深入探究 如图2，当B′落在对角线AC上时，求点B′到BC的距离． （3）拓展探究 若AB′与矩形ABCD的对角线垂直，求BP的长． 【解答】解：（1）∵边AB绕点A顺时针旋转n°（0＜n＜180°）得到AB′， ∴AB′＝AB， ∵GH垂直平分AB， ∴，∠AGH＝90°， 则， ∴∠B′AG＝60°， ∴n＝60； （2）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8， ∴∠ABC＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC＝BD10， ∴B′C＝AC﹣AB′＝4． 如图2，过点B′作B′F⊥BC于点F， ∴∠B′FC＝∠ABC＝90°， ∴AB∥B′F， ∴△CFB′∽△CBA， ∴， ∴， 解得； （3）①如图3，当AB′⊥BD交BD于点M时， 设BP＝y． ∵， ∴． ∵AD＝8， 在直角三角形ADM中，由勾股定理得：，， ∴，． ∵AB＝AB′，AP平分∠BAB′， ∴△ABP≌△AB′P（SAS）， ∴B′P＝BP＝y． ∵PM2+B′M2＝B′P2， ∴， 解得：y＝2，则BP＝2； ②如图4，当AB′⊥AC时，∠B′AC＝90°． ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAP+∠PAD＝∠CAP+∠PAB′＝90°， ∴∠PAD＝∠CAP． 延长AP交CD于点Q，过点Q作QN⊥AC于点N， ∴QN＝QD． 在Rt△ADQ和Rt△ANQ中， ， ∴Rt△ADQ≌Rt△ANQ（HL）， ∴AN＝AD＝8， ∴CN＝2． 在直角三角形CNQ中，由勾股定理得：CQ2＝NQ2+CN2， ∴（6﹣DQ）2＝DQ2+22， 解得：． ∵AB∥DQ， ∴∠PDQ＝∠PBA，∠PQD＝∠PAB， ∴△PBA∽△PDQ， ∴， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 综上所述，BP的长为2或． 22．（2026•潮南区一模）【问题提出】 小丽在AI上自主学习时，看到一个结论：对于任何一个封闭的平面图形，存在一条直线既平分周长，又平分面积．于是小丽利用初中所学知识进行初步验证． 【问题探究】 （1）小丽先选择了圆和等腰三角形特殊图形进行验证，如图①，请你用无刻度的直尺和圆规分别作一条直线，使这条直线既平分所选图形的周长，又平分它的面积；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图②，小丽在直角三角形ABC中，作出一条直线EF，交AC于点E、交BC于点F，若直线EF既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积．请根据小丽所给的数据计算：若∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，CE＝a，用含有a的代数式表示FC＝　6﹣a ，并求a的值； 【问题解决】 （3）小丽家所在小区平面示意图如图③，小区为方便居民出行，准备修一条笔直的道路MN（路宽不计），使这条道路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．小丽利用所学知识进行思考，通过测量示意图得到AD∥BC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，CD＝5，AD＝3．若该道路的一个出口在DC边上，请通过计算相关线段帮小丽在图③用直尺画出这条直线，并在图中标出所有线段的长度． 【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图任选其中两图． （2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4， ∴AC5， ∵CE＝a， ∴AE＝5﹣a， ∵直线EF平分△ABC的周长， ∴AB+AE+BF＝CF+CE， ∴4+5﹣a+BF＝CF+a，即BF﹣CF＝2a﹣9①， ∵BF+CF＝BC＝3②， 由②﹣①，得：CF＝6﹣a， 如图，过点E作EG⊥BC于点G，则GE∥AB， ∴△CEG∽△CAB，，即， 解得EGa，S△CEFEG•CFa×（6﹣a）a（6﹣a）， ∵直线EF平分△ABC的面积， ∴S△CEFS△ABC， 即a（6﹣a）3×4， 解得：a＝3， 故CF的值为：6﹣a． 故答案为：6﹣a． （3）∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A+∠B＝180°． ∴∠A＝90°， ∵AB＝4，BC＝6，CD＝5，AD＝3， ∴四边形ABCD的面积为（3+6）×4＝18， 如图，当出口M在BC边上，出口N在CD边时． 设CN＝x（x≤5），则DN＝5﹣x， 根据题意得：MN平分四边形ABCD的周长， ∴BM+AB+AD+DN＝CN+CM， ∴BM+4+3+5﹣x＝x+6﹣BM， 解得：BM＝x﹣6＜0（负值，舍去）． 如图，当一个出口M在AB边上，另一个出口N在CD边时，过点D，N作BC的垂线，垂足分别为E，G． 设CN＝x（0≤x＜5），则DN＝5﹣x， 根据题意得：MN平分四边形ABCD的周长， ∴AM+AD+DN＝CN+BC+BM， ∴4﹣BM+3+5﹣x＝x+6+BM，解得：BM＝3﹣x， ∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥BC， ∴∠A＝∠ABC＝∠BED＝90°． ∴四边形ABED是矩形， ∴DE＝AB＝4，BE＝AD＝3，sinC， ∴GNx， ∴CGx， S四边形BCNM＝S四边形BGNM+S△GCN （BM+GN）×BGGN•GC （3﹣xx）（6x）x x2x+9． ∵MN平分四边形ABCD的面积， ∴x2x+918， 解得：x＝0或5（舍去）， 即CN＝0，DN＝5﹣x＝5，BM＝3﹣x＝3，AM＝1，标出线段，如图， 23．（2026•南山区校级二模）综合与探究 【探索发现】如图1，可以用两个含30°的直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个直角三角形，那么我们称这个四边形为双垂四边形．如图2，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，此时四边形ABCD是双垂四边形． 【问题解决】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别为线段BC、AB上一点， （1）如图3，若AD平分∠BAC，BE＝2，求证：四边形ACDE是双垂四边形； （2）如图4，若CD＝AC，四边形ACDE是双垂四边形，∠AED＝90°，连接CE，求CE的长； 【拓展应用】 （3）如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，D为线段BC中点，E为线段AB上一点，四边形ACDE是双垂四边形，将△ADE沿AD翻折到△ADF处，连接BF，请直接写出BF的长度． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2＝32+42， ∴AB＝5， ∵BE＝2， ∴AE＝AB﹣BE＝3， ∴AC＝AE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵AD＝AD， ∴△CAD≌△EAD（SAS）， ∴∠AED＝∠C＝90°， ∴四边形ACDE是双垂四边形； （2）解：过点C作CF⊥AB于点F， ∴∠BFC＝90°， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∵S△ABCAC•BCAB•CF， ∴， 在Rt△CBF中，CF2+BF2＝BC2， ∴， ∵DE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠DEB＝∠ACB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BED∽△BCA， ∴， ∵CD＝AC＝3，BC＝4， ∴BD＝1，， ∴， 在Rt△CFE中，CF2+EF2＝CE2， ∴； （3）解：由题可知BD＝CDBC， ∴AD，AB4， ①当∠ACD＝∠AED＝90°时，如图，过F作FH⊥AB于点H， 此时DE＝BEBD＝1， ∴AE＝3， ∴tan∠ADE， ∵∠EAF＝2∠DAE， ∴tan∠EAF， 在Rt△AFH中，tan∠EAF， ∴AF＝AE＝3， ∴AH，FH， ∴BH＝AB﹣AH， ∴； ②当∠ACD＝∠ADE＝90°时，如图，过E作EG⊥BC于点G， ∵∠ADE＝90°＝∠C， ∴∠CAD＝∠EDG＝90°﹣∠ADC， ∴tan∠EDG＝tan∠CAD，即， 设EG＝x，则DG＝2x，BG＝x， ∴BD＝3x， 解得x， ∴DEx，BEBGx， ∴AF＝AE＝AB﹣BE， ∴EF＝2DE， 过F作FH⊥AB于点H， 由等面积可得FH2， ∴AH， ∴BH＝AB﹣AH， ∴BF； ③当∠AEC＝∠CDE＝90°时，如图，过F作FH⊥AB于点H， 此时E为AB中点， ∵点D为BC中点， ∴DE为中位线，即DE∥AC， ∴∠CDE＝90°，即这种情况存在，且符合题意； 则DE＝DB，AE＝BEAB＝2， ∴AF＝AE＝2， 由①知tan∠EAF， 在Rt△AFH中，AF＝2，tan∠EAF， ∴AH，FH， ∴BH＝AB﹣AH， ∴BF； 综上，BF的长度为或或． 24．（2026•坪山区二模）【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片ABCD为基本图形，探索几何图形折叠变化中的数学问题，其中AB＝15，AD＝20． 【特例探究】如图1，小坪对矩形ABCD进行折叠，使得C和A重合，折痕分别交AD和BC于E、F，点D的对应点是D′，连接AC． ①根据轴对称性质： ∵对应点的连线被对称轴垂直且平分， ∴EF是AC 的垂直平分线． ②请探究BF和DE的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 ①如图2，小山沿着过点B的直线折叠，使得点C的对应点C′恰好在CA的延长线上，折痕交AD于M，点D的对应点为D′，求线段AC′的长． ②小深沿着与图2中BM平行的直线折叠矩形ABCD，折痕分别交AM、AB于P、Q，点C和点D的对应点分别是C′和D′． 请你借助图3进行分析，当△AC′D′是等腰三角形时，直接写出折痕PQ的长度． 【解答】【问题情境】①解：由轴对称性质可知EF是AC的中垂线， 故答案为：AC； ②证明：BF＝DE，理由如下： 由折叠可得∠CFE＝∠AFE，AF＝CF， 又∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF＝CF， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即BF＝DE； 【拓展延伸】①解：∵AB＝15，AD＝BC＝20， ∴AC25， ∵∠ACB+∠CBN＝∠ABN+∠CBN＝90°， ∴∠ACB＝∠ABN， ∴sin∠ACB＝sin∠ABN，即， 解得AN＝9，CN＝AC﹣AN＝25﹣9＝16， 由折叠性质知C'N＝CN＝16， 则AC'＝C'N﹣AN＝16﹣9＝7； ②解：由于翻折前后两个图形关于PQ对称，因此可以看作是点A沿PQ折叠的对应点A'落在CA上，△A'DC为等腰三角形，分以下三种情况讨论： 当A'D＝A'C时，作A'E⊥CD于点E，如图3﹣1所示， 故DE＝CE，此时A'为AC中点， 故A'C， ∵PQ∥BM，且BM⊥AC， ∴△APQ∽△AMB， ∴， ∵AFAA'，AN＝9， ∵sin∠ABN， ∴cos∠ABN， ∴BM， ∴PQ， 当A'D＝CD时，如图3﹣2所示， 作DE⊥AC于点E，则CE9， 故A'C＝2CE＝18， 则AF， 同理可得， 则PQ； 当A'C＝DC＝15时，如图3﹣3所示， 则AFAA'5， 同理可得PQ， 综上，PQ的长度为或或． 25．（2026•佛山模拟）【问题情境】 如图1，小王将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在折痕BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F． 【实践操作】 （1）尺规作图：当点B′与点D重合时，在图2中作出折痕EF； 【问题解决】 （2）如图3，若AB＝4，BC＝8，点A′，B′，C在同一条直线上，求BB′的长； 【深入探究】 （3）在【问题情境】的折叠操作中，设AB＝a，BC＝b．从下列两个问题中任选一个进行解决： ①连接AC，当a，b满足什么数量关系时，A′B′与AC始终平行？请说明理由； ②若点F是边BC的中点，求的最大值． 【解答】解：（1）如图，线段EF为所作； （2）过点C作CG⊥BD于点G，如图， ∵矩形ABCD中，CD＝AB＝4，BC＝8，∠BCD＝90°， ∴， ∵∠1＝∠1，∠DCB＝∠DGC＝90°， ∴△CDB∽△GDC， ∴， 即， ∴， ∵矩形ABCD中，AB∥CD， ∴∠1＝∠2， 由折叠知∠2＝∠3＝∠4， ∴∠1＝∠4， ∴CB＝CD， ∴， ∴； （3）选①，记AC与BD的交点为点O，如图， 若A'B'与AC平行，则∠3＝∠AOB， 由FB＝FB'知，∠5＝∠6， ∵∠3+∠6＝90°，∠2+∠5＝90°， ∴∠2＝∠3， ∴∠2＝∠AOB， 又∵OA＝OB， ∴△ABO为等边三角形，故∠BAC＝60°， 在Rt△ABC中，， 即， ∴要使A'B'与AC平行，只需， 故当，且B与B'不重合时，A'B'与AC始终平行； 选②，过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图， ∵∠ABH＝∠BAE＝∠BHE＝90°， ∴四边形ABHE是矩形， ∴EH＝AB＝a，∠DEH＝∠AEH＝90°， ∴∠HEF+∠DEF＝90°， 由折叠得EF⊥BD， ∴∠DEF+∠ADB＝90°， ∴∠HEF＝∠ADB， ∵∠EHF＝∠DAB＝90°， ∴△EHF∽△DAB， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 十三．圆的综合题（共3小题） 26．（2026•南山区校级二模）在矩形ABCD中，E是AD上一点，且∠ABE＝∠CBD； （1）尺规作图：作⊙O，使点O在对角线BD上，且⊙O经过E、D两点；（保留作图痕迹，标出点O，不写作法） （2）如图2，求证：BE为⊙O的切线； （3）若，CD＝4，求⊙O的半径． 【解答】（1）解：作DE的垂直平分线交BD于点O，以点O为圆心，OE为半径画圆，如图， 则⊙O为所画的圆． （2）证明：连接OE，如图， 由（1）知：OE＝OD， ∴∠ODE＝∠OED， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠BAE+∠EBO+∠CBD＝90°， ∵∠ABE＝∠CBD， ∴∠EBO+2∠CBD＝90°． ∵AD∥BC， ∴∠ODE＝∠CBD， ∴∠OED＝∠ODE＝∠CBD， ∵∠EOB＝∠OED+∠ODE＝2∠ODE， ∴∠EOB＝2∠CBD， ∴∠EOB+∠EBO＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∴OE⊥BE， ∵OE为⊙O的半径， ∴BE为⊙O的切线； （3）解：过点O作OH⊥DE于点H，如图， 则EH＝DHDE， 由（2）知：∠ABE＝∠CBD＝∠ADB， ∵， ∴sin∠ADB， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝CD＝4， ∵sin∠ADB， ∴， ∴BD＝12， ∴AD8． ∵， ∴设AE＝k，则BE＝3k， ∴AB2k＝4， ∴k， ∴AE， ∴DE＝AD﹣AE＝7， ∴DH， ∵OH⊥DE， ∴sin∠ADB， ∴设OH＝m，则OD＝3m， ∴DHm， ∴m， ∴OD． ∴⊙O的半径为． 27．（2026•中山市校级模拟）已知AB为⊙O直径，弦CD交AB于点E（点E不与O重合），连接AC、AD，AC＝AD． （1）如图1，求证：AB⊥CD； （2）如图2，过点D作DG⊥AC于点G，DG交AB于点F，求证：EF＝BE； （3）如图3，在（2）的条件下，延长DG交⊙O于点H，Q为弧AD上一点，连接AQ、HQ，HQ交AB于点P，若AQ，DE＝3，∠HPB+2∠CAB＝90°，求圆O半径． 【解答】证明：（1）如图1，连接OC，OD， ∵AC＝AD， ∴A在CD的垂直平分线上， ∵OC＝OD， ∴O在CD的垂直平分上， ∵两点确定一条直线， ∴AO是CD的垂直平分线， ∴AB⊥CD； （2）如图2，连接BD， ∵AB⊥CD，DG⊥AC， ∴∠AED＝∠AGD＝90°， ∵∠AFD＝∠AGD+∠CAE＝∠AED+∠GDC， ∴∠CAE＝∠GDC， ∵， ∴∠CAE＝∠CDB， ∴∠GDC＝∠CDB， ∴CD平分∠FDB， ∵∠GDC+∠DFB＝90°， ∠CDB+∠DBF＝180°﹣∠AED＝90°， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴DF＝DB， ∵CD平分∠FDB， ∴EF＝BE； （3）解：如图3，连接OC，QB， 设∠CAB＝x， ∵DG⊥AC， ∴∠AGF＝90°， ∴∠AFH＝90°﹣x， ∵∠HPF+2∠CAB＝90°， ∴∠HPF＝90°﹣2x， ∴∠H＝190°﹣∠HPF﹣∠AFH＝3x， ∴∠QAD＝∠H＝3x， 连接AD， ∵AC＝AD，AB⊥CD， ∴∠DAB＝∠CAB＝x， ∴∠QAB＝∠QAD+∠DAB＝4x， 延长QA至T，使AT＝AB，连接TB， ∴∠T＝∠ABT＝2x， ∵AB为圆O直径， ∴∠AQB＝90°， 在Rt△AQB中， 设AO＝r，则QB，TQ＝2r， ∴， 同理，tan∠COB＝tan2x， ∴， ∴5r2﹣7r﹣90＝0， 解得r或5， ∵r＞0， ∴r＝5， 即圆O的半径为5． 28．（2026•福田区二模）如图，在△ABC中，点O、D在边AB上，且点D在点O右侧．以O为圆心，OA为半径作⊙O交AB于点E，点C恰好在⊙O上．过点D作AB的垂线交BC的延长线于点F，若∠F＝2∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是2，BC＝3，，求DF的长． （3）尺规作图：作△ABC边BC上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】（1）证明：连接OC， ∵点A在⊙O上， ∴∠EOC＝2∠A， ∵∠F＝2∠A， ∴∠F＝∠EOC． ∵∠B＝∠B， ∴△BOC∽△BFD， ∵FD⊥AB， ∴∠FDB＝90°， ∴∠OCB＝∠FDB＝90°， ∴OC⊥BF， ∵点C在⊙O上， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：在Rt△OCB 中，OC＝2，BC＝3， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，△BOC∽△BFD， ∴， 即， ∴； （3）解：如图，线段AH即为所求． 十四．几何变换综合题（共2小题） 29．（2026•汕头一模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE． （1）如图1，当∠ACD＝15°时，求∠BDE的度数； （2）如图2，连接CE、BE，CE与AB交于点O，当∠ACD为锐角时，求证：∠ABE的大小为定值； （3）如图3，点M在CD上，且CM：MD＝2：1，以点C为中心，将线段CM逆时针转120°得到线段CN，连接CE、EN，若AC＝6，求线段EN的取值范围． 【解答】（1）解：由旋转的性质得∠CDE＝120°， ∵AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴， ∵∠ACD＝15°， ∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝30°+15°＝45°， ∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝120°﹣45°＝75°； （2）证明：由旋转的性质得∠CDE＝120°，CD＝DE， ∴， ∴∠DEO＝∠ABC＝30°， 又∠BOC＝∠EOD， ∴△BOC∽△EOD， ∴， ∴， ∵∠COD＝∠BOE， ∴△COD∽△BOE， ∴∠ABE＝∠DCO＝30°； （3）解：过点C作CH⊥AB于H． ∵AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴， ∵CH⊥AB， ∴． 由旋转的性质得：CD＝DE，∠CDE＝120°，CM＝CN，∠MCN＝120°， 设CD＝DE＝3x， ∵CM：MD＝2：1， ∴． 过点D作DG⊥CE于G， ∵CD＝DE，∠CDE＝120°， ∴∠DCE＝∠DEC＝30°． ∵DG⊥CE， ∴，CE＝2CG． 在Rt△CDG中，由勾股定理得：CGx， ∴． ∵∠DCE＝30°，∠MCN＝120°， ∴∠ECN＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△ECN中，由勾股定理得：， ∴（舍去负根）． ∵点D不与A，B重合， ∴3≤CD＜6，即3≤3x＜6， 解得1≤x＜2， ∴． 30．（2026•福田区二模）【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，点B，C，D分别旋转到点B′，C′，D′． 【初步探究】 （1）如图2，若AB＝5，AD＝3，C′D′恰好经过点B，则D′B＝　4　 ，B′到AB的距离为　3　 ． 【深入探究】 （2）如图3，若C′D′恰好经过点B，连接DB′交AB于E，试判断线段DE与B′E的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若AB＝5，AD＝3，C′D′所在直线恰好经过点B，求BB′的长． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，C′D′恰好经过点B， ∴∠D′＝∠D＝90°，AD′＝AD＝3， ∵AB＝5， ∴BD′4， 过B′作B′H⊥AB于H， ∴∠AHB′＝∠D′＝90°， ∵∠D′AB′＝90°， ∴∠D′AB+∠B′AB＝∠B′AB+∠AB′H＝90°， ∴∠D′AB＝∠AB′H， ∵AB＝AB′， ∴△ABD′≌△B′AH（AAS）， ∴B′H＝AD′＝3， ∴B′到AB的距离为3， 故答案为：4，3； （2）DE＝B′E， 证明：过B′作B′G⊥AB于G， 由（1）知，B′G＝3＝AD， ∵∠DAE＝∠AGB＝90°，∠AED＝∠B′EG， ∴△ADE≌△B′GE（AAS）， ∴DE＝B′E； （3）如图，连接BB′， ∵矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′， ∴B′C′＝BC＝3，∠C′＝∠C＝90°， 由（1）知BD′＝4， ∴BC′＝1， ∴BB′； 如图， ∵矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′， ∴B′C′＝BC＝3，∠C′＝∠C＝90°， 由（1）知BD′＝4， ∴BC′＝9， ∴BB′3； 综上所述，BB′的长为或3． 十五．相似形综合题（共3小题） 31．（2025•江西）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　45°　 ，k的值为　　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAB＝∠DAC＝45°，ADOA， ∴旋转角为45°，k， ∴k， 故答案为：45°，； （2）根据题意得△AEF∽△AOB， ∴∠EAF＝∠OAB，， ∴∠FAB＝∠EAO，， ∴△AFB∽△AEO， ∴， ∠OAB＝45°，∠AOB＝90°， ∴， ∴， （3）的值与α无关，理由如下，如图， 同理可证△AFB∽△AEO， ∴， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∵O是AB的垂直平分线与BD的交点， ∴AO＝BO， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°， 过点O作OG⊥AB于点G， ∴AB＝2BG，cos∠ABO， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （4）同理可证，∠BAO，2cos， ∴BF＝OE•2cos，BA＝OB•2cos， ∵BE＝OE+OB， ∴BF+BA＝OE•2cos ＝2（OE+OB）cos， 即BF+BA＝2BEcos． 32．（2026•南山区二模）如图1，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F与点B关于AE对称，射线AE分别与直线DF、BC分别交于点G、H． （1）如图2，已知∠ABC＝90°，点F恰好落在对角线AC上时， ①∠G＝　45°　 ； ②若AD＝4，则AE•AG＝　16　 ； （2）试猜想图1中∠G与∠ABC有怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图3，已知，若点F恰好落在菱形ABCD的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请直接写出此时的值． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∵点F与点B关于AE对称， ∴AB＝AF，∠BAE＝∠FAE， ∴AF＝AD， ∴∠AFD＝∠ADF， ∵点F在AC上，∠BAC＝∠DAC＝45°， ∴∠BAE＝∠CAE＝22.5°， ∴∠DAF＝90°﹣2×22.5°＝45°； ∴， ∵∠AFD＝∠G+∠FAG，∠FAG＝22.5°， ∴∠G＝67.5°﹣22.5°＝45°， 故答案为：45°； ②连接DG，由①知∠G＝45°，∠ADB＝45°， ∴∠ADB＝∠G， 又∵∠DAE＝∠GAD， ∴△ADE∽△AGD， ∴， ∴AE•AG＝AD2， ∵AD＝4， ∴AE•AG＝42＝16， 故答案为：16； （2），理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC，， ∵点F与点B关于AE对称， ∴AB＝AF，∠BAE＝∠FAE， ∴AF＝AD， ∴∠AFD＝∠ADF． 设∠BAE＝∠FAE＝α，则∠BAF＝2α， ∴∠DAF＝∠BAD﹣2α＝180°﹣∠ABC﹣2α， ∴， 在△DAF中，∠AFD＝∠G+∠FAG，且∠DFA＝∠ADF， ∴， ∴； （3）分三种情况如下： 情况1：点F落在直线BC上， ∵四边形ABCD是菱形，设AB＝AD＝5，， 由轴对称性质，AB＝AF＝5， 在△ABF中，作AH⊥BC于H，则BH＝AB•cos∠ABC＝3，AH＝4， ∴BF＝2BH＝6，CF＝BF﹣BC＝1， ∵AD∥BC， ∴△ADE∽△HBE，△ADG∽△HFG， 由相似比可得：，， 结合BF＝BC+CF＝5+CF，FC＝1， 解得； 情况2：点F落在直线CD上， 由轴对称性质，设AB＝AF＝AD＝5， 作AP⊥CD于P，则DP＝AD•cos∠ADC＝3，AP＝4， ∴DF＝2DP＝6，CF＝DF﹣CD＝1， ∵AB∥CD， ∴∠G＝∠BAH＝∠FAG， ∴FG＝FA＝5， ∵AD∥BC， ∴△ADE∽△HBE，△DAG∽△CHG， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 解得； 情况3：点F落在直线AB上， 由轴对称性质，设AB＝AF＝5，AE⊥BF，F在BA延长线上，AF＝5， 结合菱形边长AD＝5，可得F在A点上方，AF＝5，， 延长BH交FG于M， ∵AD∥BC， ∴△ADF∽△BMF，△ADE∽△HBE，△HMG∽△ADG， ∴，，， ∴BM＝2AD＝10，， ∴，， ∴，， 解得； 综上，的值为或或． 33．（2026•广州校级模拟）【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．A4纸是我们常见的矩形打印纸，将A4纸ABCD沿垂直AD的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕EF两侧的两个小矩形称为A5纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形EABF∽矩形ABCD；将A5纸类似的对折，得到与之相似的A6纸…，A4纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． （1）【初探结论】如图1，设AD＝2a，则A4纸的宽AB＝　a ；（用a表示） （2）【作图再探】如图1，连接BE，过点E作EG⊥BE交CD于点G．证明：点G为边CD的中点； （3）【拓展应用】在（1）的条件下， ①如图2，再次折叠纸片，使点B落在AD上的点E处，折痕为MN，连接AC．请写出并证明线段MN与AC的关系； ②如图3，若点E为边AD上的一动点，沿BE折叠纸片，使点A落在P处，连接PD，CP，求的最小值． 【解答】（1）解：设AB＝x， ∵AD＝2a，矩形EABF∽矩形ABCD， ∴，AD＝BC＝2a，AE＝ED＝a， 即， ∴2a2＝x2， ∵x＞0， ∴， ∴， 故答案为：a； （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∵EG⊥BE， ∴∠BEG＝90°， ∴∠AEB+∠DEG＝90°，∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠DEG， ∴△ABE∽△DEG， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G为边CD的中点； （3）解：①连接BE交AC于点O，如下图： 由翻折变换的性质可知BM＝EM，MN⊥BE， 设BM＝EM＝y， 在Rt△AME中，AM2+AE2＝EM2， 即， 解得：， ∴， ∵∠BAE＝∠D＝90°，， ∴△ABE∽△DAC， ∴∠ABE＝∠DAC， ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DAC+∠AEB＝90°， ∴∠AOE＝90°， ∴BE⊥AC， ∵MN⊥BE， ∴MN∥AC， ∴△BMN∽△BAC， ∴， ∴4MN＝3AC； ②取BC的中点Q，连接PQ， 由折叠的性质知， ∵AD＝BC＝2a， ∴， ∴，， ∴， ∵∠PBQ＝∠CBP， ∴△PBQ∽△CBP， ∴，即， ∴， ∴当D、P、Q三点共线时，DP+PQ取得最小值，最小值为DQ的长， 即取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 十六．解直角三角形的应用（共2小题） 34．（2026•汕头一模）我们在物理学科中学过：光线从空气射入玻璃会发生折射现象（如图1），现将一块长方体玻璃砖水平放置（如图2），激光笔从A处射出一束光线，经玻璃上表面B处折射后沿BC方向传播，再经下表面折射后沿CD方向射出，可知CD∥AB，CD与竖直墙面交于点D．经查阅，记玻璃的折射率为n，在空气中玻璃的折射率n的值等于入射角与折射角正弦值的商．例如在图2中，． （1）在图2中，已知∠ABM＝60°，∠BCF＝135°，求该玻璃的折射率n； （2）在（1）的条件下，如果图2中该玻璃砖厚度BH＝6cm，现撤去玻璃砖，光线AB与墙面的交点为G，求D、G两点之间的距离． 【解答】解：（1）由题意得，∠BHC＝90°， ∴∠CBN＝∠BCF﹣∠BHC＝135°﹣90°＝45°， ∴； （2）如果图2中该玻璃砖厚度BH＝6cm，现撤去玻璃砖，光线AB与墙面的交点为G，延长DC交MN于点T， ∵BH＝6cm，∠CBH＝45°， ∴HC＝BH•tan∠CBH＝6cm， ∵CD∥AB， ∴∠CTH＝∠GBH＝∠ABM＝60°， ∴， ∴， ∵AB∥CD，BN∥FD， ∴， ∴D、G两点之间的距离为． 35．（2026•佛山模拟）初三（1）班成立项目式学习小组，开展停车位设计研究． 【查阅资料】依据《中华人民共和国行业标准——汽车库建筑设计规范》，如图1，日常停车位有平行式、垂直式和斜停式三种，车位大小及通道最小宽度要求如表（单位：m）： 停车方式 车位长度 车位宽度 通道最小宽度 平行式 6 2.4 3.8 斜停式 30° 5.3 2.4 3.8 45° 5.3 2.4 3.8 60° 5.3 2.4 4.2 垂直式 5.3 2.4 5.5 【整理数据】如图2，关于斜停式车位，通过计算得到如下近似数据（单位：m）： H＝5.3sinθ+2.4cosθ，． θ H L 30° 4.8 4.8 45° 5.5 3.4 60° 5.8 2.8 【设计方案】如图3，现教学楼与围墙之间有一块长42m，宽9m的广场，计划改造为停车场．请帮忙设计停车位，使得车位数量最大，并说明理由． （参考数据：，） 【解答】解：方案一：平行式， 沿教学楼设计平行式停车位，最小宽度为：2.4+3.8＝6.2＜9， 可设计42÷6＝7个， 沿教学楼和围墙分别设计平行式停车位，中间通道， 最小宽度为：2.4×2+3.8＝8.6＜9， 所以停车位数量为2×7＝14个； 方案二：垂直式， 沿教学楼设计垂直式停车位，最小宽度为：5.3+5.5＝10.8＞9，不满足条件； 方案三：斜停式，且θ＝30°， 沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：4.8+3.8＝8.6＜9， 设此时车位数为 （x+1）个， 则4.8x+2.4cos30°+5.3sin30°≤42， 解得，， 取x＝7，故可设计停车位数量为8个； 方案四：斜停式，且θ＝45°， 沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：5.5+3.8＝9.3＞9，不满足条件； 方案五：斜停式，且θ＝60°， 沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：5.8+4.2＝10＞9，不满足条件； 综上所述，建议采用平行式车位设计，可设计车位14个． 声明：试 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $