北京市填空题（3-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题

**基本信息** 聚焦北京中考数学填空题高频考点，以名校模拟题为载体，系统整合代数运算、几何性质及实际应用，通过典例提炼解题通法，构建“概念-方法-应用”递进逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数综合|6题|函数建模（二次函数求最值）、因式分解（提公因式+公式法）、分式方程解法|从整式运算到函数应用，体现“运算-关系-模型”递进| |几何综合|15题|全等/相似转化、圆的切线性质、图形变换（翻折/旋转）|从基本图形性质到综合证明，形成“性质-判定-应用”逻辑| |统计应用|2题|样本估计总体、频数分布分析|数据收集-整理-推断，培养数据意识|

【三轮复习】2026年北京市中考数学名校模拟优选好题-填空题（3-2） 一．有理数的混合运算（共1小题） 1．（2026•门头沟区二模）某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分钟，26分钟，30分钟，14分钟，工作日，每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失． （1）若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，则维修的顺序是　 　 ．（填写编号）； （2）若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为　 　 元． 二．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题） 2．（2026•石景山区一模）分解因式：x2y﹣y＝　 　 ． 3．（2026•朝阳区校级模拟）分解因式：2ax2﹣4axy+2ay2＝　 　 ． 三．根的判别式（共1小题） 4．（2026•东城区一模）若关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是　 　 ． 四．解分式方程（共1小题） 5．（2026•西城区一模）方程的解为　 　 ． 五．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题） 6．（2026•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣2，3）均在函数的图象上，且x1＞x2＞0，则y1　 　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 7．（2026•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，若点A（m，2）与点B（﹣2，n）在函数的图象上，则m+n的值为　 　 ． 六．二次函数的应用（共1小题） 8．（2026•海淀区校级模拟）某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元；加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为　 　 ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为　 　 ． 七．垂线（共1小题） 9．（2026•石景山区一模）中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，并口放置一平面镜MN，太阳光线AO与地面DE的夹角∠AOD＝46°，反射光线OB恰好垂直于地面DE（反射角∠BOC等于入射角∠AOC，OC⊥MN），则平面镜MN与地面DE的夹角∠MOD＝　 　 °． 八．平行线的性质（共1小题） 10．（2026•丰台区一模）如图，将一个直角三角板的直角顶点C放在直尺一边AB上．若∠1＝50°，则∠2的度数为　 　 ． 九．三角形的外角性质（共1小题） 11．（2026•通州区一模）抖空竹，这项集技巧、趣味与健身于一体的传统民族运动，深受大众喜爱．图1是某人抖空竹的瞬间的图示，将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，AB∥CD，E为平行线外一点，连结AE、CE．若∠A＝65°，∠E＝20°，则∠C的度数为　 　 ． 十．勾股定理（共1小题） 12．（2026•西城区一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为　 　 ． 十一．菱形的性质（共1小题） 13．（2026•平谷区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10，对角线BD的长为16，E是AB的中点，F是BD上一点，连接EF．若DF＝3，则EF的长为　 　 ． 十二．正方形的性质（共5小题） 14．（2026•北京二模）如图，在边长为4的正方形ABCD外有一点P，且△PCD是等边三角形，则△PAC的面积为　 　 ． 15．（2026•丰台区一模）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝4，则△ABF的面积为　 　 ． 16．（2026•顺义区一模）如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，BF⊥AE于点F．若AB＝4，∠BAE＝60°，则△DEF的面积为 　 　 ． 17．（2026•潮阳区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是CD中点，连接BE，点F为BE上一点，AF＝AB，若AB＝2，则△ABF的面积为　 　 ． 18．（2026•西城区一模）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F是DE的中点，过点F作GH⊥DE分别交AB，DC于点G，H，连接EG．若AB＝8，DH＝5，则△EFG的面积为　 　 ． 十三．垂径定理（共1小题） 19．（2026•东城区一模）如图，A，B，C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝5，则BC的长为　 　 ． 十四．三角形的外接圆与外心（共1小题） 20．（2026•平谷区一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，若，则的长为　 　 ． 十五．切线的性质（共3小题） 21．（2026•门头沟区二模）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点D的切线与AC的延长线交于点E．若∠E＝65°，则∠B的度数为　 　 ． 22．（2026•顺义区一模）定滑轮在生活中起着改变力的方向的作用．如图，滑轮支架AO竖直向下，且与吊板MN垂直，绳子的BC部分竖直向下，与⊙O相切于点B，绳子的DE部分与⊙O相切于点D．连接OB，OD，若∠BOD＝132°，则绳子的DE部分所在直线与吊板MN所在直线所成的锐角的大小为　 　 °． 23．（2026•海淀区校级模拟）如图，PB，PC为⊙O的切线，点A在圆周上，且∠A＝60°，，连接OP，则OP的长为　 　 ． 十六．正多边形和圆 十七．命题与定理（共2小题） 24．（2026•西城区校级模拟）用一组a，b的值说明命题“若a＜b，则”是错误的，这组值可以是a＝　 　 ，b＝　 　 ． 25．（2026•丰台区一模）能说明命题“若，则a＞b”是假命题的一个实数c的值为　 　 ． 十八．推理与论证（共1小题） 26．（2026•石景山区一模）某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下：①A，B，C完成后才能开始G；②C，D，E完成后才能开始H；③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作．各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要　 　 分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为　 　 ． 十九．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 27．（2026•朝阳区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，点D的坐标为（﹣1，5），CD与y轴交于点E，点F在CD边上，将△BCF沿直线BF翻折，得到△BGF．若点G恰好落在y轴上，则△EFG的面积为　 　 ． 二十．旋转的性质（共1小题） 28．（2026•朝阳区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 　 　 ． 二十一．相似三角形的判定与性质（共4小题） 29．（2026•驻马店二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为　 　 ． 30．（2026•海淀区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为BC延长线一点，且CE＝4．连接AE交边CD于点F，过点D作DH⊥AE于点H，则线段DH的长为　 　 ． 31．（2025•雁塔区四模）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，M，N分别是边AD，BC上的点，连接MN，CM，过点D作MN的垂线交NM的延长线于点E，若MN平分矩形ABCD的面积，且AM＝5，则DE的长为 　 　 ． 32．（2026•门头沟区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一点，AF⊥DE交BC于点F，F是CE的中点．若AD＝6，BF＝2，则AF的长为　 　 ． 二十二．平行投影（共1小题） 33．（2026•房山区一模）我国是世界上最早制造使用水车的国家，筒车（如图1）是水车中的一种类型，是以水流作动力，取水灌田的农具．如图2是筒车的正投影示意图，筒车轮的辐条（圆的半径）将⊙O平均分为若干份，相邻辐条的夹角为15°，固定在轮缘点A处的取水筒，其筒身所在直线AC是⊙O的切线．当辐条OB与水面DE平行时，恰好取水筒的筒口C入水，则∠ACE（取水筒与水面的夹角）的大小为　 　 °． 二十三．频数（率）分布表（共2小题） 34．（2026•东城区校级模拟）某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校2400名学生中成绩不低于80分的人数为　 　 人． 35．（2026•大兴区校级一模）国家规定“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”．某中学有1600名学生，就“一周综合体育活动时间”的问题随机抽取了40名学生进行调查，获得了他们一周综合体育活动时间（单位：小时），数据整理如下： 一周综合体育活动时间 10≤t＜12 12≤t＜14 14≤t＜16 16≤t＜18 18≤t≤20 人数 2 6 14 3 15 根据以上数据，估计该校所有学生中，一周综合体育活动时间在12≤t＜18范围内的学生人数为　 　 人． 【三轮复习】2026年北京市中考数学名校模拟优选好题-填空题（3-2） 参考答案与试题解析 一．有理数的混合运算（共1小题） 1．（2026•门头沟区二模）某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分钟，26分钟，30分钟，14分钟，工作日，每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失． （1）若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，则维修的顺序是　③①⑦②④⑤⑥　 ．（填写编号）； （2）若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为　955　 元． 【解答】解：（1）已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分钟，26分钟，30分钟，14分钟，工作日，每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失． 若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，需要先维修所需时间较短的电脑， 这样安排后面的电脑等候的时间就会短，总待机时间就短， ∵9＜13＜14＜17＜20＜26＜30， ∴维修的顺序是③⑦①②④⑤⑥； 故答案为：③⑦①②④⑤⑥； （2）若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时， 根据题意，使维修时间最短，且先维修时间短的，可以使得经济损失最小， 当这七台电脑由一个人全部维修完的总时长为13+17+9+20+26+30+14＝129（分钟）， 当由三人同时维修时，平均每人维修的时间为129÷3＝43（分钟）， ∴需将这七台电脑分别分配给这三名维修人员，使得3人的维修时间等于43分钟或尽可能接近43分钟，可以使得维修时间最短， ∴第一人可以维修①⑥号，维修时间是13+30＝43（分钟），维修顺序为①⑥， 此时损失最小，为（13×2+30）×5＝280（元）， ①号从故障到修好的时间为其维修时间，⑥号从故障到修好的时间是①号维修时间+其锥修时间； 第二人可以维修②⑤号，维修时间是17+26＝43（分钟），维修顺序为②⑤，此时损失最小，为（17×2+26）×5＝300（元）； ②号从故障到修好的时间为其维修时间，⑤号从故障到修好的时间是②号维修时间+其维修时间； 第三人可以维修③④⑦号，维修时间是9+20+14＝43（分钟），维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为（9×3+14×2+20）×5＝375（元）； ③号从故障到修好的时间为其维修时间，⑦号从故障到修好的时间是③号维修时间+其维修时间，④号从故障到修好的时间是③，⑦号维修时间之和+其维修时间； ∴当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为280+300+375＝955（元）． 故答案为：955． 二．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题） 2．（2026•石景山区一模）分解因式：x2y﹣y＝y（x+1）（x﹣1）　 ． 【解答】解：x2y﹣y ＝y（x2﹣1） ＝y（x+1）（x﹣1）． 故答案为：y（x+1）（x﹣1）． 3．（2026•朝阳区校级模拟）分解因式：2ax2﹣4axy+2ay2＝　2a（x﹣y）2 ． 【解答】解：2ax2﹣4axy+2ay2 ＝2a（x2﹣2xy+y2） ＝2a（x﹣y）2， 故答案为：2a（x﹣y）2． 三．根的判别式（共1小题） 4．（2026•东城区一模）若关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≤2　 ． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4×2×m≥0， 解得m≤2． 故答案为：m≤2． 四．解分式方程（共1小题） 5．（2026•西城区一模）方程的解为x＝4　 ． 【解答】解：原方程移项得：， 去分母得：3x﹣4＝2x， 移项，合并同类项得：x＝4， 检验：当x＝4时，x（3x﹣4）＝4×（3×4﹣4）＝32≠0， ∴x＝4是原分式方程的解． 故答案为：x＝4． 五．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题） 6．（2026•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣2，3）均在函数的图象上，且x1＞x2＞0，则y1　＞　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【解答】解：由条件可知， ∴k＝﹣6＜0， ∴在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵x1＞x2＞0， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 7．（2026•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，若点A（m，2）与点B（﹣2，n）在函数的图象上，则m+n的值为　0　 ． 【解答】解：∵点A（m，2）与点B（﹣2，n）在函数的图象上， ∴2m＝﹣2n＝k即m＝﹣n， ∴m+n＝0． 故答案为：0． 六．二次函数的应用（共1小题） 8．（2026•海淀区校级模拟）某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元；加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为　8　 ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为　24　 ． 【解答】解：（1）设加工A零件的工人数为x，加工C零件的工人数为z， 依题意，得， 解得x＝8， 故答案为：8； （2）设加工A零件的工人数为x名，加工B零件的工人数为y名，加工C零件的工人数为z名，总利润为W元，则3x＝z， ∴x+y+z＝60， ∴x+y+3x＝60， ∴y＝60﹣4x， ∵B零件总数至少8件， ∴y＝60﹣4x≥8， ∴x≤13． ∵A零件每件获利9元，利润为9×3x＝27x； C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元，利润为（20+3）×3x＝69x；B零件总数为y，每件获利为64﹣1×（y﹣8）＝72﹣y，利润为： y（72﹣y） ＝（60﹣4x）（72﹣60+4x） ＝（60﹣4x）（12+4x） ＝﹣16x2+192x+720， ∴总利润：W＝27x+69x+（﹣16x2+192x+720） ＝﹣16x2+288x+720 ＝﹣16（x﹣9）2+2016． ∵﹣16＜0，x为整数，且x≤13， ∴当x＝9时，此时加工B零件的工人人数为：y＝60﹣4x＝60﹣4×9＝24， 即：当加工B零件的工人数为24人时，可获得最大利润，最大利润为2016元． 故答案为：2016． 七．垂线（共1小题） 9．（2026•石景山区一模）中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，并口放置一平面镜MN，太阳光线AO与地面DE的夹角∠AOD＝46°，反射光线OB恰好垂直于地面DE（反射角∠BOC等于入射角∠AOC，OC⊥MN），则平面镜MN与地面DE的夹角∠MOD＝　68　 °． 【解答】解：∵∠BOC＝90°﹣∠COD， ∠AOC＝∠AOD+∠COD， ∠AOD＝46°， ∴∠COD＝22°， ∵OC⊥MN， ∴∠MOD＝90°﹣∠COD＝68°． 故答案为：68． 八．平行线的性质（共1小题） 10．（2026•丰台区一模）如图，将一个直角三角板的直角顶点C放在直尺一边AB上．若∠1＝50°，则∠2的度数为　40°　 ． 【解答】解：如图， ∵∠1＝50°， ∴∠3＝∠1＝50°， ∴∠2＝180°﹣90°﹣50°＝40°． 故答案为：40°． 九．三角形的外角性质（共1小题） 11．（2026•通州区一模）抖空竹，这项集技巧、趣味与健身于一体的传统民族运动，深受大众喜爱．图1是某人抖空竹的瞬间的图示，将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，AB∥CD，E为平行线外一点，连结AE、CE．若∠A＝65°，∠E＝20°，则∠C的度数为　45°　 ． 【解答】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠A＝65°， ∵∠1＝∠C+∠E，∠E＝20°， ∴∠C＝∠1﹣∠E＝45°， 故答案为：45°． 十．勾股定理（共1小题） 12．（2026•西城区一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为　　 ． 【解答】解：如图，连接AC、BC． ∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是， ∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC． 在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知， ∵AC＝2，BC＝4， ∴tan∠ABC， ∴tan∠ADC． 故答案为：． 十一．菱形的性质（共1小题） 13．（2026•平谷区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10，对角线BD的长为16，E是AB的中点，F是BD上一点，连接EF．若DF＝3，则EF的长为　3　 ． 【解答】解：如图所示，取OB的中点G，连接EG， ∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，BD＝16， ∴AC⊥BD，， ∴， ∵点E是AB的中点，点G是OB的中点， ∴EG是△OAB的中位线， ∴EG∥OA，且EG⊥OB，，OGOB＝4， 又∵DF＝3， ∴OF＝OD﹣DF＝5，GF＝OG+OF＝9， ∴EF， 故答案为：3． 十二．正方形的性质（共5小题） 14．（2026•北京二模）如图，在边长为4的正方形ABCD外有一点P，且△PCD是等边三角形，则△PAC的面积为　　 ． 【解答】解：如图，在边长为4的正方形ABCD外有一点P，且△PCD是等边三角形，过点P作PE⊥DC于点E， ∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，PE⊥CD， ∴PD＝CD＝4，， 在Rt△PDE中，由勾股定理得：， ∴S△PAC＝S△ADC+S△PDC﹣S△APD ， 故答案为：． 15．（2026•丰台区一模）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝4，则△ABF的面积为　　 ． 【解答】解：过A作AH⊥BE于H， 在正方形ABCD中，AB＝4， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝AB＝AD＝4， ∵E为AD的中点， ∴AE＝2， ∴BE2， ∴AH， ∵CF⊥BE， ∴∠CFB＝90°， ∴∠ABF+∠CBF＝∠ABE+∠AFB＝90°， ∴∠CBF＝∠BEA， 在△ABH与△FCB中， ， ∴△ABH≌△FCB（AAS）， ∴BF＝AH， ∴△ABF的面积BF•AH． 故答案为：． 16．（2026•顺义区一模）如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，BF⊥AE于点F．若AB＝4，∠BAE＝60°，则△DEF的面积为 　6　 ． 【解答】解：过点D作DH⊥AE于点H，如图所示： ∴∠AHD＝90°， ∴△AHD是直角三角形， ∵四边形ABCD是正方形，且AB＝4， ∴AD＝AB＝4，∠ABE＝∠BAD＝90°， ∴△ABE是直角三角形， 在Rt△ABE中，∠BAE＝60°， ∴∠BEA＝90°﹣∠BAE＝30°， ∴AE＝2AB＝8， ∵BF⊥AE于点F， ∴△ABF是直角三角形， 在Rt△ABF中，∠ABF＝90°﹣∠BAE＝30°， ∴AFAB＝2， ∴EF＝AE﹣AF＝8﹣2＝6， 在Rt△AHD中，∠DAH＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°， ∴DHAD＝2， ∴△DEF的面积为：EF×DH6×2＝6． 故答案为：6． 17．（2026•潮阳区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是CD中点，连接BE，点F为BE上一点，AF＝AB，若AB＝2，则△ABF的面积为　　 ． 【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝2， ∴BC＝AB＝CD＝2，∠ABC＝∠C＝90°， ∵点E是CD中点， ∴CECD＝1， ∴BE， 过A作AH⊥BE于H， ∵AF＝AB， ∴BH＝FH， ∵∠AHB＝∠C＝∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠CEB＝∠CBE+∠ABH＝90°， ∴∠ABH＝∠BEC， ∴△BCE∽△AHB， ∴， ∴， ∴AH，BH， ∴BF＝2BH， ∴△ABF的面积， 故答案为：． 18．（2026•西城区一模）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F是DE的中点，过点F作GH⊥DE分别交AB，DC于点G，H，连接EG．若AB＝8，DH＝5，则△EFG的面积为　15　 ． 【解答】解：如图，点F是DE的中点，GH⊥DE，连接DG，EH， ∴EH＝DH＝5，GD＝GE， ∵正方形ABCD中AB＝BC＝CD＝DA＝8， ∴HC＝DC﹣DH＝3， 在Rt△EHC中，由勾股定理得：， ∴BE＝BC﹣EC＝4， 设AG＝x，则BG＝AB﹣AG＝8﹣x， ∵GD2＝AG2+AD2，GE2＝BG2+BE2， ∴AG2+AD2＝BG2+BE2，即：x2+82＝（8﹣x）2+42， 解得：x＝1， 在直角三角形BEG中，由勾股定理得：， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：，点F是DE的中点， ∴， ∵GH⊥DE， 在直角三角形EFG中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：15． 十三．垂径定理（共1小题） 19．（2026•东城区一模）如图，A，B，C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝5，则BC的长为　5　 ． 【解答】解：连接OB，如图， ∵A，B，C是⊙O上的点，OA＝5， ∴OA＝OB＝5， ∵OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点， ∴AB是OC的垂直平分线， ∴OB＝BC， ∴BC＝OB＝5． 故答案为：5． 十四．三角形的外接圆与外心（共1小题） 20．（2026•平谷区一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，若，则的长为　π　 ． 【解答】解：连接OB，OC， ∵∠A＝45°， ∴∠BOC＝2∠A＝90°， ∵OB＝OC， ∴△OBC 是等腰直角三角形， 由勾股定理得OB2+OC2＝BC2， 设⊙O的半径为R，则， 解得R＝2（舍负）， ∴的长为， 故答案为：π． 十五．切线的性质（共3小题） 21．（2026•门头沟区二模）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点D的切线与AC的延长线交于点E．若∠E＝65°，则∠B的度数为　115°　 ． 【解答】解：如图，AD是⊙O的直径，DE是⊙O的切线，∠E＝65°，连接DC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣65°＝25°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠B＝180°﹣∠ADC＝115°， 故答案为：115°． 22．（2026•顺义区一模）定滑轮在生活中起着改变力的方向的作用．如图，滑轮支架AO竖直向下，且与吊板MN垂直，绳子的BC部分竖直向下，与⊙O相切于点B，绳子的DE部分与⊙O相切于点D．连接OB，OD，若∠BOD＝132°，则绳子的DE部分所在直线与吊板MN所在直线所成的锐角的大小为　42　 °． 【解答】解：如图，延长ED交MN于P，交OA于H， ∵BC与⊙O相切于点B， ∴BC⊥OB， 由题意可知：BC∥OA， ∴OB⊥OA， ∵∠BOD＝132°， ∴∠AOD＝132°﹣90°＝42°， ∵DE与⊙O相切于点D， ∴OD⊥DE， ∵OA⊥MN， ∴∠PAH＝∠ODH， ∵∠PHA＝∠OHD， ∴∠APH＝∠AOD＝42°， ∴绳子的DE部分所在直线与吊板MN所在直线所成的锐角的大小为42°， 故答案为：42． 23．（2026•海淀区校级模拟）如图，PB，PC为⊙O的切线，点A在圆周上，且∠A＝60°，，连接OP，则OP的长为　2　 ． 【解答】解：连接OB，OC， 由条件可知∠A＝60°，∠BOC＝120°， ∵PB，PC为⊙O的切线， ∴∠PBO＝∠PCO＝90°， ∵BO＝CO，PO＝PO， ∴Rt△PBO≌Rt△PCO（HL）， ∴∠BOP＝∠COP＝60°， ∴． 故答案为：2． 十六．正多边形和圆 十七．命题与定理（共2小题） 24．（2026•西城区校级模拟）用一组a，b的值说明命题“若a＜b，则”是错误的，这组值可以是a＝　﹣1　 ，b＝　1　 ． 【解答】解：当a＝﹣1，b＝1时，满足a＜b，但． 故答案为﹣1，1． 25．（2026•丰台区一模）能说明命题“若，则a＞b”是假命题的一个实数c的值为　﹣2（答案不唯一）　 ． 【解答】解：当c＝﹣2时，，而a＜b， 说明命题“若，则a＞b”是假命题， 故答案为：﹣2（答案不唯一）． 十八．推理与论证（共1小题） 26．（2026•石景山区一模）某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要　22　 分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为C，E，G ． 【解答】解：（1）多名学生合作时，满足前置工作要求，前置工作可并行完成，因此： 当做G的前置工作，A，B，C三个都要完成，最长的时间为B：15分钟，G还要7分钟，则G这路需要15+7＝22（分钟）， 当做H的前置工作，C，D，E三个都要完成，最长的时间为D：10分钟，H还要2分钟，则H这路需要10+2＝12（分钟）， 且工作F的时间为1分钟，可以任意安排， 则至少需要22分钟； （2）所有工作总时间为7+15+9+10+5+1+7+2＝56（分钟），甲乙两名学生，最短总时间不低于（分钟），可尝试分配得到刚好总时间为28的方案： 甲先做A（0﹣7分钟），接着做C（7﹣16分钟），再做E（16﹣21分钟），最后做G（21﹣28分钟），总时长28分钟，满足要求， 乙做B（0﹣15分钟），接着做D（15﹣25分钟），再做F（25﹣26分钟），最后做H（26﹣28分钟），总时长28，满足所有前置限制， 因此甲除A以外，还需完成C，E，G． 十九．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 27．（2026•朝阳区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，点D的坐标为（﹣1，5），CD与y轴交于点E，点F在CD边上，将△BCF沿直线BF翻折，得到△BGF．若点G恰好落在y轴上，则△EFG的面积为　　 ． 【解答】解：∵点D的坐标为（﹣1，5），四边形ABCD是正方形， ∴点A的坐标为（﹣1，0），AD＝5， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，OA＝1， ∴OB＝4， 由折叠可知BG＝BC＝5， ∴， ∴OG＝3，GE＝OE﹣OG＝5﹣3＝2， 设EF＝x，则有CF＝CD﹣DE﹣EF＝5﹣1﹣x＝4﹣x，由折叠可知GF＝CF＝4﹣x， ∵EF2+EG2＝GF2∴x2+22＝（4﹣x）2， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 二十．旋转的性质（共1小题） 28．（2026•朝阳区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 　　 ． 【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABP＝∠BAD＝90°， ∵△ABF，△APQ都是等边三角形， ∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA， ∴∠BAP＝∠FAQ， 在△BAP和△FAQ中， ， ∴△BAP≌△FAQ（SAS）， ∴∠ABP＝∠AFQ＝90°， ∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°， ∴点Q在射线FE上运动， ∵AD＝BC＝5， ∴DE＝AD﹣AE， ∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°， ∴DH＝DE•sin60°． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为． 故答案为：． 二十一．相似三角形的判定与性质（共4小题） 29．（2026•驻马店二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵AE＝2， ∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4， ∵G是EF的中点， ∴EG＝BGEF， ∴∠BEG＝∠ABD， ∴∠BEG＝∠BDC， ∴△EBF∽△DCB， ∴， ∴， ∴BF＝6， ∴EF2， ∴BGEF， 故答案为：． 30．（2026•海淀区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为BC延长线一点，且CE＝4．连接AE交边CD于点F，过点D作DH⊥AE于点H，则线段DH的长为　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝∠BCD＝90°， ∴△ECF∽△EBA，EA6， ∴， 即， ∴EF＝2，CF＝2． ∵DH⊥AE， ∴∠DHF＝90°＝∠ECF， 又∵∠DFH＝∠EFC， ∴△DHF∽△ECF， ∴， 即， ∴DH． 故答案为：． 31．（2025•雁塔区四模）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，M，N分别是边AD，BC上的点，连接MN，CM，过点D作MN的垂线交NM的延长线于点E，若MN平分矩形ABCD的面积，且AM＝5，则DE的长为 　　 ． 【解答】解：如图，过点M作MH⊥BC于点H． ∵AD＝2AB＝8， ∴AB＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠ADC＝90°， ∵AM＝5， ∴DM＝AD﹣AM＝3， ∴CM5， ∵MN平分矩形ABCD的面积， ∴CN＝AM＝5，BN＝DM＝3， ∵四边形MHCD是矩形， ∴CH＝DM＝3，CD＝MH＝4， ∴NH＝CN﹣CH＝2， ∴MN2， ∵AD∥BC， ∴∠AMN＝∠CNM， ∵∠AMN＝∠DME， ∴∠DME＝∠MNH， ∵∠E＝∠MHN＝90°， ∴△DEM∽△MHN， ∴， ∴， ∴DE． 故答案为：． 32．（2026•门头沟区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一点，AF⊥DE交BC于点F，F是CE的中点．若AD＝6，BF＝2，则AF的长为　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝6， ∴∠ABC＝∠C＝90°，CD＝AB，BC＝AD＝6， ∵BF＝2， ∴CF＝BC﹣BF＝6﹣2＝4， ∵F是EC的中点， ∴EF＝CF＝4， ∴CE＝EF+FC＝8， ∵∠ABC＝90°， ∴∠AFE+∠BAF＝90°， ∵AF⊥DE， ∴∠E+∠AFE＝90°， ∴∠E＝∠BAF， 又∵∠C＝90°＝∠ABF， ∴△ECD∽△ABF， ∴，即， 解得：AB＝4或AB＝﹣4（舍去）， 在Rt△ABF中，． 故答案为：2． 二十二．平行投影（共1小题） 33．（2026•房山区一模）我国是世界上最早制造使用水车的国家，筒车（如图1）是水车中的一种类型，是以水流作动力，取水灌田的农具．如图2是筒车的正投影示意图，筒车轮的辐条（圆的半径）将⊙O平均分为若干份，相邻辐条的夹角为15°，固定在轮缘点A处的取水筒，其筒身所在直线AC是⊙O的切线．当辐条OB与水面DE平行时，恰好取水筒的筒口C入水，则∠ACE（取水筒与水面的夹角）的大小为　45　 °． 【解答】解：延长OA交DE于点M， ∵OB∥DE，∠AOB＝3×15°＝45°， ∴∠AMC＝∠AOB＝45°． ∵AC与⊙O相切且OA为⊙O的半径， ∴∠OAC＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°． 故答案为：45． 二十三．频数（率）分布表（共2小题） 34．（2026•东城区校级模拟）某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校2400名学生中成绩不低于80分的人数为　1800　 人． 【解答】解：估计全校2400名学生中成绩不低于8（0分）的人数为：24001800（人）． 故答案为：1800． 35．（2026•大兴区校级一模）国家规定“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”．某中学有1600名学生，就“一周综合体育活动时间”的问题随机抽取了40名学生进行调查，获得了他们一周综合体育活动时间（单位：小时），数据整理如下： 一周综合体育活动时间 10≤t＜12 12≤t＜14 14≤t＜16 16≤t＜18 18≤t≤20 人数 2 6 14 3 15 根据以上数据，估计该校所有学生中，一周综合体育活动时间在12≤t＜18范围内的学生人数为　920　 人． 【解答】解：由表格可知，抽取的40名学生中，一周综合体育活动时间在12≤t＜18范围内的人数为：6+14+3＝23 该范围人数占样本容量的比例为， ， 故答案为：920． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $