北京市解答题（3-3）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题

**基本信息** 聚焦中考解答题高频模块，以题载法构建代数几何融合的方法体系，通过名校模拟题培养方程思想、数形结合等数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|4题|化简求值用整体代入，方程不等式抓等量关系|从整式运算到实际应用，形成“概念-运算-应用”链条| |函数综合|6题|函数图象分析关键点，综合题抓对称轴与最值|一次函数与几何变换结合，二次函数与动态问题联动| |几何证明|12题|圆中用切线性质，四边形证矩形用判定定理|三角形全等/相似为基础，拓展到圆与几何变换综合| |实际应用|3题|比的应用设参数，图表问题抓数据关联|从生活情境抽象数学模型，提升用数学语言表达能力|

【三轮复习】2026年北京市中考数学名校模拟优选好题-解答题（3-3） 一．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 1．（2026•东城区校级模拟）已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求代数式（m﹣3）2+（m+1）（m﹣1）的值． 二．分式的值（共1小题） 2．（2026•门头沟区二模）已知m﹣2n+1＝0，求代数式的值． 三．一元一次方程的应用（共2小题） 3．（2026•丰台区一模）用一张长为33cm，宽为30cm的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计），图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为3：2．求包装盒的高． 4．（2026•顺义区一模）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是1：3：2，左、右两侧的耳翼宽都是10cm，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 四．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 5．（2026•东城区校级模拟）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 五．动点问题的函数图象（共1小题） 6．（2026•丰台区一模）某校兴趣小组在研究防水剂用量对某种材质的一次性餐具降解的影响时，查阅资料后选择降解失重率W（单位：%）作为降解评价指标，，其中M0（单位：g）为餐具未降解时的质量，Mt（单位：g）为餐具降解天数为t时的质量．在实验过程中除防水剂用量外其余实验条件均相同．在降解温度为100℃的条件下，记餐具降解天数为t时，未添加防水剂的餐具降解失重率为W0，防水剂用量6%的餐具降解失重率为W1，防水剂用量10%的餐具降解失重率为W2．该小组记录的前16天的部分数据如下： t/天 0 1 2 6 8 10 12 16 W0/% 0 7.6 8.8 11.5 12.9 13.6 14.0 14.5 W1/% 0 5.9 6.5 8.8 9.9 10.7 11.2 11.4 W2/% 0 a 5.5 7.0 7.9 8.3 8.9 9.9 （1）实验测得防水剂用量10%的餐具在未降解时质量为30.0g，降解天数为1时质量为28.5g，直接写出表格中a的值； （2）在平面直角坐标系xOy中，描出了各数对（t，W0），（t，W1）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线C0，C1，请补全数对（t，W2）所对应的点，并画出对应曲线C2； （3）根据以上实验数据和结果，回答下列问题：①防水剂用量6%和10%的餐具同时开始降解，在前16天内降解失重率的差持续超过2%的天数为　 　 （结果保留整数）； ②小组成员在老师帮助下，进一步实验获得了当降解天数为4时，添加防水剂用量一定的该餐具在不同温度下的降解失重率： 温度/℃ 100 120 140 160 W/% 6.2 7.9 10.2 12.6 判断上面实验所用餐具的防水剂用量为　 　 （填“6%”或“10%”）．当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到100℃条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是　 　 ℃． 六．一次函数图象与几何变换（共1小题） 7．（2026•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣2x的图象平移得到，且经过点（2，﹣2）． （1）求k，b的值； （2）当x≤﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣3（m≠0）的值小于y＝kx+b的值，且大于y＝bx+k的值，直接写出m的取值范围． 七．两条直线相交或平行问题（共1小题） 8．（2026•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）． （1）求k和b的值； （2）当x≥3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+1（m≠0）的值大于y＝﹣kx+3的值，且小于y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围． 八．一次函数的应用（共1小题） 9．（2026•东城区校级模拟）室内装修常会产生多种有害气体，某研究小组探究A，B两种常见观叶绿植对装修产生的有害气体吸收情况，部分内容如下： 测量得到某刚装修完的房间内有害气体含量为18毫克，将A，B两种绿植放置在房间内，记绿植吸收有害气体的时间为x（单位：天），绿植A吸收有害气体的量为y1（单位：毫克），绿植B吸收有害气体的量为y2（单位：毫克）．记录的部分实验数据如下： x 0.0 1.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 y1 0.00 1.50 4.00 7.45 8.75 9.30 9.75 y2 0.00 2.74 4.17 4.49 4.50 4.50 4.50 （1）可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，如图在同一平面直角坐标系xOy中，请分别描出绿植A和绿植B吸收有害气体量与时间对应的点，并绘制出它们的大致函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当绿植吸收有害气体的时间约为 　 　 天时，A，B两种绿植吸收有害气体的量相同，当有害气体吸收量首次达到10毫克时，绿植吸收有害气体的时间约为 　 　 天（结果保留小数点后一位）； ②经测算可得，该房屋有害气体总含量要低于2.4毫克才可用于居住，若装修完的第12天为房屋验收日，则验收日当天，房屋能否成功通过验收：　 　 （填“是”或“否”）． 九．一次函数综合题（共1小题） 10．（2026•北京二模）对于平面内任意一点P，作点P关于直线l1的对称点P1和关于直线l2的对称点P2，连接P1P2，则称直线P1P2为点P关于l1和l2的“镜像线”． （1）点M（1，1）关于x轴和y轴的“镜像线”的解析式为　 　 ； （2）已知N是直线上的动点，当点N关于x轴和y轴的“镜像线”与直线平行时，求点N的坐标； （3）如图，点A（a，﹣1）位于第四象限，直线l的解析式为y＝kx（0＜k＜1），记点A关于y轴和直线l的“镜像线”与直线l相交所得的较小的夹角为α．若30°≤α＜45°，直接写出α的取值范围． 十．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 11．（2026•西城区校级模拟）已知点A（1，5），C（5，1）在直线y＝kx+b上，反比例函数的图象经过点B（1，6）． （1）求m和k的值； （2）平行于x轴的直线y＝n交线段AC于点E，与反比例函数的图象交于点F，若EF≥1，直接写出n的取值范围． 十一．二次函数的应用（共1小题） 12．（2026•通州区一模）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量yA（克）和yB（克）与时间x（分钟）（0≤x≤20）的部分数据： x（分钟） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 yA（克） 21.0 20.5 19.5 18.0 16.0 13.5 10.5 7.0 3.0 yB（克） 21.0 18.5 16.0 13.5 11.0 8.5 m 3.5 1.0 经研究发现，可以分别用函数刻画yA，yB与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量yA与时间x近似满足函数关系：yA＝﹣0.04x2+bx+c，yB与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． （1）写出表中m的值：　 　 ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量yA（克）与时间x（分钟）的函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是　 　 ； A．匀速变化B．先快后慢C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景　 　 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； （3）当5≤x≤15时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第　 　 分钟． 十二．二次函数综合题（共2小题） 13．（2026•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点O（0，0）和点A（1，a﹣a2）． （1）用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax﹣2a（a﹣1）于点N． ①若a＝2，t＝4，求MN的长； ②已知当a≤t≤a+3时，线段MN的长随t的增大而增大，求a的取值范围． 14．（2026•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣3ax（a＞0）． （1）求抛物线的对称轴； （2）已知抛物线上两点M，N的横坐标分别为t，2t，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点P． ①若a＝1，t＝2，求NP的长； ②当t取t1，t2时，NP的长分别为d1，d2，若存在，使得d1＝d2，求a的取值范围． 十三．三角形综合题（共1小题） 15．（2026•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，给定∠MON＝60°（O为顶点，OM在x轴正半轴上，点N在第一象限），对于点P，若存在点A在OM上、点B在射线ON上，使得△PAB为等边三角形，则称点P为∠MON的“含角点”，称等边△PAB的边长为点P的“含角边长”．（本定义中的点均不与原点O重合，边长为正数） （1）如图，在点，P2（2，0），中，是△MON的“含角点”的有　 　 ，请直接写出其中一个“含角点”的“含角边长”； （2）已知点在第一象限，且为∠MON的“含角点”． ①直接写出t的取值范围； ②当t改变时，直接写出△QAB面积的最小值． 十四．矩形的判定与性质（共2小题） 16．（2026•东城区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，取OC中点F，连接BF并延长，使得EF＝BF，连接CE，DE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若∠EBD＝15°，，过点F作BE的垂线交BD于点G，连接GE．求菱形ABCD的面积． 17．（2026•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，E是CD的中点，过点O，E分别作直线BC的垂线，垂足分别为G，F． （1）求证：四边形OGFE是矩形； （2）若∠BCO＝45°，OD，OG＝1，求CF的长． 十五．圆的综合题（共10小题） 18．（2026•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于⊙O的弦AB和点C给出如下定义：若点C在弦AB的垂直平分线上，且点C关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点C是弦AB的“圆梦点”． （1）如图，点，在点C1（0，0），C2（﹣2，0），C3（﹣2，2），C4（﹣4，0）中，弦AB的“圆梦点”是　 　 ； （2）若点C（﹣1，0）是弦AB的“圆梦点”，直接写出AB的长； （3）已知直线与x轴、y轴分别交于点E、F，对于线段EF上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“圆梦点”．记PQ的长为t，当点S在线段EF上运动时，直接写出t的取值范围． 19．（2026•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN和点P，Q（点P，Q不在直线MN上），给出如下定义：如果∠MPN+∠MQN＝180°，那么称点Q是点P关于线段MN的“补角点”． （1）如图1，已知点M（﹣1，0），N（1，0），． ①在点中，点P关于线段MN的“补角点”是　 　 ； ②如果点Q是点P关于线段MN的“补角点”，那么点Q的纵坐标的最大值为　 　 ． （2）如图2，已知⊙O的半径为2，线段MN是⊙O的一条弦，且∠MON＝60°，一次函数y＝x+b的图象与x轴，y轴分别交于点B，C．如果线段BC上存在点Q是点O关于线段MN的“补角点”，直接写出b的取值范围． 20．（2026•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O的弦AB和点C，给出如下定义：若△ABC为锐角三角形，且直线CA，CB中有一条是⊙O的切线，则称点C是⊙O的弦AB的“锐切点”． （1）如图，⊙O的半径为1． ①点A（0，1），B（1，0），在点，中，点　 　 是⊙O的弦AB的“锐切点”； ②若OC＝2，点C是⊙O的弦AB的“锐切点”，则弦AB的长的取值范围是　 　 ； （2）已知点T（t，0）（t＞0），⊙O经过点T，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是⊙O的长为t的弦的“锐切点”，直接写出t的取值范围． 21．（2026•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，对于⊙O的弦AB和弦AB外一点P，给出如下定义：对于给定的角度α，若在弦AB上存在两个不同的点M，N，使得∠MPN＝α，则称点P是弦AB的α关联点，称MN的长的最大值为点P与弦AB的α关联值． （1）若⊙O与y轴的正半轴交于点B，在点P1（3，0），P2（2，2），P3（0，﹣2）中，点　 　 是弦AB的90°关联点，该点与弦AB的90°关联值为　 　 ； （2）当弦AB的长为2时，若直线上存在弦AB的60°关联点，直接写出b的取值范围； （3）设弦AB的长为m（m≥2）．对于每一个m的值，点P是弦AB的60°关联点，且点P与弦AB的60°关联值为，记此时满足条件的所有点P到弦AB中点的距离的最大值为d．当点B在⊙O上运动时，直接写出d的取值范围． 22．（2026•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙C和⊙C外一点A给出如下定义：若点P在⊙C上，且对圆上任意一点Q，都有∠PAC≥∠QAC，则称线段AP是点A关于⊙C的关联线段，称∠PAC的大小是点A关于⊙C的关联角度． （1）如图，⊙O的半径为1． ①已知点，则点A关于⊙O的关联线段的长为　 　 ，点A关于⊙O的关联角度为　 　 °； ②已知⊙O上一点，点D在直线上，线段DB是点D关于⊙O的关联线段，则点D的坐标为　 　 ； （2）已知点T（t，0），⊙T的半径为2，直线上的所有点都有关于⊙T的关联线段，记这些点关于⊙T的关联角度的最大值为α，若45°≤α＜90°，直接写出t的取值范围． 23．（2026•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于⊙O的弦AB和点E，给出如下定义：若⊙O上存在一点F，使得EF的中点在弦AB上，则称点E为弦AB的“中称点”；若点P和Q都是弦AB的“中称点”，且∠POQ能取到的最大值为α（0＜α＜180°），则称弦AB为⊙O的“α中称弦”． （1）如图，点A（0，2），B（2，0）． ①在点C1（﹣1，3），C2（3，4），C3（6，0）中，点　 　 是弦AB的“中称点”； ②若弦AD为⊙O的“α中称弦”，则点D的纵坐标yD的取值范围是　 　 ； （2）点M和点N分别是直线与x轴和y轴的交点，若线段MN上存在弦ST的“中称点”，且弦ST为⊙O的“120°中称弦”．直接写出b的取值范围． 24．（2026•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和点C给出如下定义：若点C在弦AB的垂直平分线上，且点C关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）直线与⊙O交于A，B两点．写出一个弦AB的“关联点”的坐标为 　 　 ； （2）若点是弦AB的“关联点”，直接写出AB的长； （3）已知点M（0，2），.对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围． 25．（2026•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段PQ和直线l（点P，Q均不在直线l上且直线PQ不与直线l平行），给出如下定义：过线段PQ的两个端点分别作直线l的平行线，交y轴于点P1和Q1，称线段P1Q1的长为线段PQ关于直线l的纵影长． （1）如图，已知点P（1，1），点Q（0，3），线段PQ关于直线y＝x﹣5的纵影长为　 　 ； （2）已知点M（﹣1，2），点N（1，4），线段MN关于直线y＝kx+2（k≠0）的纵影长为4，则k的值为　 　 ； （3）已知A（1，0），⊙A的半径为r．若⊙A上存在点T，使线段OT关于直线y＝2x﹣10的纵影长与线段OT关于直线y＝﹣x﹣10的纵影长的和为6，直接写出r的取值范围． 26．（2026•西城区校级模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作⊙O的切线BM． （1）求证：∠ABM＝∠ACB； （2）连接CO并延长，交AB于点H，交⊙O于点E，交BM于点F．若BF＝15，，求半径和CH的长． 27．（2026•昌平区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义： 将线段BC绕点A顺时针旋转α可以得到线段B′C′，（B′，C′分别是B，C的对应点），点P为线段B′C′上任意一点，若OP最小值为1，则称线段BC是⊙O的以点A为中心关于“α”的“关联线段”． （1）若α＝90°． ①当A（﹣1，1）时，如图点B1，C1，B2，C2，B3，C3，B4，C4的横、纵坐标都是整数，在线段B1C1，B2C2，B3C3，B4C4中，⊙O的以点A为中心关于“90°”的“关联线段”是　 　 ； ②当A（﹣3，2）时，且在直线上（点B在点C左侧），线段BC是⊙O的以点A为中心关于“90°”的“关联线段”，直接写出点B横坐标xB的取值范围； （2）若α＝45°，M（﹣4，0），N（0，4），点A在线段MN上，BC＝2，直线y＝x+b与线段BC有交点，且线段BC是⊙O的以点A为中心关于“45°”的“关联线段”，直接写出b的取值范围． 十六．几何变换综合题（共4小题） 28．（2026•东城区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D在线段AC上，E在线段BC上，连接AE和BD交于点F，∠ABD＝∠CAE． （1）求∠BFE的度数； （2）作点B关于直线AC的对称点G，连接FG，取FG的中点M． ①依题意补全图形； ②连接AM，猜想线段BF，AF，AM的数量关系，并证明． 29．（2026•门头沟区一模）在△ABC中，AB＝AC且∠ACB＝α（0°＜α＜90°），点D在线段BC上（点D与点B，C不重合），连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转180°﹣2α得到线段AE，过点E作EF∥AC交直线BC于点F． （1）如图1，当点D与点F重合时，求证：AC＝DE； （2）如图2，当点D与点F不重合时，过点E作EG⊥EF交直线BC于点G， ①依题意补全图2； ②用等式表示GF与DC之间的数量关系，并证明． 30．（2026•北京二模）已知，∠AOB＝60°，点C在边OB上，P是边OA上一动点，且OP＞OC，连接CP，点E在线段CP上（不与端点重合），连接OE并延长，将射线OE绕点O逆时针旋转60°得到射线OE′，并取射线OE′上一点为F，连接FC交边OA于点D． （1）依题意补全题图1； （2）若∠OFC＝∠POE，判断△OCD的形状，并证明； （3）在（2）的条件下，若点E为线段CP的中点，探究DF，DP与OC的数量关系，并证明． 31．（2026•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，a），B（3，4），OB的半径为1，线段PQ的长度为1，将线段PQ绕点A逆时针旋转90°，得到线段MN，若线段MN与⊙B有公共点，则称线段PQ为点A的旋转线段，并称AM，AN的较小值为线段PQ关于点A的旋转距离，记为d． （1）如图，a＝3． ①点C1（0，0），D1（1，0），C2（2，0），D2（3，0），C3（﹣2，0），D3（﹣1，0），在线段C1D1，C2D2，C3D3中，点A的旋转线段为　 　 ； ②点，若线段CD为点A的旋转线段，直接写出b的取值范围； （2）已知线段CD平行于x轴，中点为（a﹣3，a﹣3），若线段CD为点A的旋转线段，直接写出a的取值范围及d的最大值． 十七．相似三角形的判定与性质（共1小题） 32．（2026•东城区一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，AD的中点，连接EF交AC于点G，延长FE与CB的延长线交于点H，且AE＝AF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠H＝30°，BH＝4，求CG的长． 十八．比的应用（共3小题） 33．（2026•门头沟区一模）屏风是一种传统的中式家具，具有防风、隔断、遮隐、点缀环境和美化空间的作用．折屏是一种能折叠的屏风，又称曲屏．某家具厂为制作一款折屏，画出了单扇折屏的示意图，如图1，已知折屏的上段高、中段高与下段高的比是1：5：4，横楣条的长度是上段高的2倍．屏芯为装饰区，其高AB比中段高短27厘米，宽BC是横楣条的一半，如果屏芯的高AB是宽BC的．求该单扇折屏的总高． 34．（2026•北京二模）毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎．如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高之比为7：3：5，包带长为51cm，宽为3.5cm（包带缝合处忽略不计），该款毛毡包在制作时，要为需缝合走线的边预留0.5cm宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽度不包含在包体的长宽高内．现有一块长比宽多28cm的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2（虚线为缝合时的走线位置），求该毛毡包的长、宽、高分别是多少？ 35．（2026•朝阳区校级模拟）中国结是中国传统手工编织工艺品，由一根绳线绾结而成，造型对称精致．它承载吉祥寓意，象征团圆、平安与福寿，是中华民俗文化与美好祈愿的象征．如图，有一个中国结挂件，它是由挂绳、主体结体、圆盘、小流苏、细流苏和宽流苏组成．其中挂绳的长度、主体结体的长度与细流苏的长度比是6：4：15，圆盘周长为9πcm，小流苏的长度是细流苏的长度的，宽流苏比小流苏长13cm，宽流苏的长度是圆盘的直径的2倍．求这个挂件的总长． 【三轮复习】2026年北京市中考数学名校模拟优选好题-解答题（3-3） 参考答案与试题解析 一．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 1．（2026•东城区校级模拟）已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求代数式（m﹣3）2+（m+1）（m﹣1）的值． 【解答】解：（m﹣3）2+（m+1）（m﹣1） ＝m2﹣6m+9+m2﹣1 ＝2m2﹣6m+8， ∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根， ∴m2﹣3m+1＝0， ∴m2﹣3m＝﹣1， ∴2m2﹣6m＝﹣2， 则原式＝﹣2+8＝6． 二．分式的值（共1小题） 2．（2026•门头沟区二模）已知m﹣2n+1＝0，求代数式的值． 【解答】解： ， ∵m﹣2n+1＝0， ∴m﹣2n＝﹣1， ∴原式． 三．一元一次方程的应用（共2小题） 3．（2026•丰台区一模）用一张长为33cm，宽为30cm的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计），图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为3：2．求包装盒的高． 【解答】解：∵高与底面边长的比为3：2， 设包装盒高为3xcm，底面边长为2xcm． 由图可得，2×（33﹣4×2x）＝30﹣3x﹣2×2x， 2×（33﹣8x）＝30﹣3x﹣4x， 66﹣16x＝30﹣7x， ﹣9x＝﹣36， 解得x＝4， ∴3×4＝12（cm）． 答：包装盒的高为12cm． 4．（2026•顺义区一模）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是1：3：2，左、右两侧的耳翼宽都是10cm，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 【解答】解：设挂绳高为xcm、结体内部高为3xcm、流苏高为2xcm，结体内部宽为3ccm， 3x+x+2x＝1.5×（10+10+3x）， 解得：x＝20， 3×20+20+2×20＝120（cm）， 答：该中国结的总高为120cm． 四．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 5．（2026•东城区校级模拟）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【解答】解：解不等式①得，x， 解不等式②得，x＜4， 所以不等式组的解集为：， 则不等式的所有整数解为0，1，2，3． 五．动点问题的函数图象（共1小题） 6．（2026•丰台区一模）某校兴趣小组在研究防水剂用量对某种材质的一次性餐具降解的影响时，查阅资料后选择降解失重率W（单位：%）作为降解评价指标，，其中M0（单位：g）为餐具未降解时的质量，Mt（单位：g）为餐具降解天数为t时的质量．在实验过程中除防水剂用量外其余实验条件均相同．在降解温度为100℃的条件下，记餐具降解天数为t时，未添加防水剂的餐具降解失重率为W0，防水剂用量6%的餐具降解失重率为W1，防水剂用量10%的餐具降解失重率为W2．该小组记录的前16天的部分数据如下： t/天 0 1 2 6 8 10 12 16 W0/% 0 7.6 8.8 11.5 12.9 13.6 14.0 14.5 W1/% 0 5.9 6.5 8.8 9.9 10.7 11.2 11.4 W2/% 0 a 5.5 7.0 7.9 8.3 8.9 9.9 （1）实验测得防水剂用量10%的餐具在未降解时质量为30.0g，降解天数为1时质量为28.5g，直接写出表格中a的值； （2）在平面直角坐标系xOy中，描出了各数对（t，W0），（t，W1）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线C0，C1，请补全数对（t，W2）所对应的点，并画出对应曲线C2； （3）根据以上实验数据和结果，回答下列问题：①防水剂用量6%和10%的餐具同时开始降解，在前16天内降解失重率的差持续超过2%的天数为　6　 （结果保留整数）； ②小组成员在老师帮助下，进一步实验获得了当降解天数为4时，添加防水剂用量一定的该餐具在不同温度下的降解失重率： 温度/℃ 100 120 140 160 W/% 6.2 7.9 10.2 12.6 判断上面实验所用餐具的防水剂用量为　10%　 （填“6%”或“10%”）．当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到100℃条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是　140　 ℃． 【解答】解：（1）∵实验测得防水剂用量10%的餐具在未降解时质量为30.0g，降解天数为1时质量为28.5g， ∴， ∴a＝5.0； （2）如图，即为所求； （3）①结合表格与图象，可知，从第8天开始，到第13天，降解失重率的差持续超过2%， 故在前16天内降解失重率的差持续超过2%的天数为13﹣8+1＝6（天）， 故答案为：6； ②从图象可知，降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在10%，所用餐具的防水剂用量为6%时，该餐具降解失重率在7～8之间，而所用餐具的防水剂用量为10%时，该餐具降解失重率在6～7之间， ∵从实验数据，100℃时，该餐的降解失重率为6.2， ∴判断上面实验所用餐具的防水剂用量为10%， ∵降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在10%， ∴当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到100℃条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是140℃， 故答案为：10%，140． 六．一次函数图象与几何变换（共1小题） 7．（2026•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣2x的图象平移得到，且经过点（2，﹣2）． （1）求k，b的值； （2）当x≤﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣3（m≠0）的值小于y＝kx+b的值，且大于y＝bx+k的值，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵函数y＝kx+b的图象由y＝﹣2x平移得到， ∴k＝﹣2． 将点（2，﹣2）代入y＝2x+b： ﹣2＝﹣2×2+b， 解得：b＝2， ∴k＝﹣2，b＝2； （2）由（1）知k＝﹣2，b＝2，则： y＝kx+b＝﹣2x+2，y＝bx+k＝2x﹣2， 当x≤﹣1时，2x﹣2＜mx﹣3＜﹣2x+2恒成立， ①先解mx﹣3＜﹣2x+2： 整理得（m+2）x＜5， 当m＝﹣2时，不等式为0＜5，恒成立， 当m＞﹣2时，x，结合x≤﹣1，得m＞﹣2， 故m≥﹣2， ②再解2x﹣2＜mx﹣3： 整理得（2﹣m）x＜﹣1， ∵x≤﹣1，l两边除以负数，不等号方向改变，得2﹣m＞0，即m＜2；且当x＝﹣1时， （2﹣m）（﹣1）＜﹣1，解得m＜1， 综上，m的取值范围为﹣2≤m＜1且m≠0． 七．两条直线相交或平行问题（共1小题） 8．（2026•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）． （1）求k和b的值； （2）当x≥3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+1（m≠0）的值大于y＝﹣kx+3的值，且小于y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣kx+3点（2，1）， ∴﹣2k+3＝1， 解得k＝1， 将点（2，1）代入y＝x+b得：2+b＝1， 解得b＝﹣1． （2）当x＝3时，y＝﹣x+3＝0，y＝x﹣1＝2， ∵当x≥3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+1（m≠0）的值大于y＝﹣kx+3的值，且小于y＝kx+b的值， ∴0＜3m+1＜2， ∴． ∴m的取值范围是且m≠0． 八．一次函数的应用（共1小题） 9．（2026•东城区校级模拟）室内装修常会产生多种有害气体，某研究小组探究A，B两种常见观叶绿植对装修产生的有害气体吸收情况，部分内容如下： 测量得到某刚装修完的房间内有害气体含量为18毫克，将A，B两种绿植放置在房间内，记绿植吸收有害气体的时间为x（单位：天），绿植A吸收有害气体的量为y1（单位：毫克），绿植B吸收有害气体的量为y2（单位：毫克）．记录的部分实验数据如下： x 0.0 1.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 y1 0.00 1.50 4.00 7.45 8.75 9.30 9.75 y2 0.00 2.74 4.17 4.49 4.50 4.50 4.50 （1）可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，如图在同一平面直角坐标系xOy中，请分别描出绿植A和绿植B吸收有害气体量与时间对应的点，并绘制出它们的大致函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当绿植吸收有害气体的时间约为 　2.2　 天时，A，B两种绿植吸收有害气体的量相同，当有害气体吸收量首次达到10毫克时，绿植吸收有害气体的时间约为 　2.7（答案不唯一）　 天（结果保留小数点后一位）； ②经测算可得，该房屋有害气体总含量要低于2.4毫克才可用于居住，若装修完的第12天为房屋验收日，则验收日当天，房屋能否成功通过验收：　否　 （填“是”或“否”）． 【解答】解：（1）描点、绘制出大致图象如图， （2）①由图象可得： 当绿植吸收有害气体的时间约为2.2天时，A，B两种绿植吸收有害气体的量相同，当有害气体吸收量首次达到10毫克时，绿植吸收有害气体的时间约为2.7天； 故答案为：2.2；2.7（答案不唯一）； ②否．理由如下： 18﹣2.4＝15.6（毫克）， 绿植A从第10天到第12天的有害气体吸收量低于0.45毫克， ∴第12天A绿植的吸收量小于10.2毫克，绿植B第12天的有害气体吸收量约为4.5毫克， ∴总的吸收量约为10.2+4.5＝14.7＜15.6， 因此不能成功通过验收． 故答案为：否． 九．一次函数综合题（共1小题） 10．（2026•北京二模）对于平面内任意一点P，作点P关于直线l1的对称点P1和关于直线l2的对称点P2，连接P1P2，则称直线P1P2为点P关于l1和l2的“镜像线”． （1）点M（1，1）关于x轴和y轴的“镜像线”的解析式为y＝﹣x ； （2）已知N是直线上的动点，当点N关于x轴和y轴的“镜像线”与直线平行时，求点N的坐标； （3）如图，点A（a，﹣1）位于第四象限，直线l的解析式为y＝kx（0＜k＜1），记点A关于y轴和直线l的“镜像线”与直线l相交所得的较小的夹角为α．若30°≤α＜45°，直接写出α的取值范围． 【解答】解：（1）如图1，点M（1，1），点M关于x轴的对称点记为点M1，点M关于y轴的对称点记为M2， ∴点M1（1，﹣1），点M2（﹣1，1）， 设M1M2所在直线的解析式为y＝mx+b（m≠0），将点M1，点M2的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴M1M2所在直线的解析式为y＝﹣x， 即点M（1，1）关于x轴和y轴的“镜像线”的解析式为y＝﹣x， 故答案为：y＝﹣x； （2）∵N是直线上的动点， ∴设点N的坐标为， 如图2，记点N关于x轴的对称点为N1，关于y轴的对称点为N2， ∴N1的坐标为，N2的坐标为， ∵xn+（﹣xn）＝0，， ∴点N1和点N2的横坐标、纵坐标均互为相反数， ∴点N1和点N2关于原点对称， ∴直线N1N2经过原点，即点N关于x轴和y轴的“镜像线”经过原点． ∵点N关于x轴和y轴的“镜像线”与直线平行， ∴直线N1N2的解析式为， 将点代入，得： ， 解得：xn＝1， ∴， ∴点N的坐标为； （3）a的取值范围是．理由如下： 如图3，点A关于y轴的对称点记为点A1，点A关于直线l的对称点记为点A2，作直线A1A2， 则直线A1A2为点A关于y轴和直线l的“镜像线”， 记直线A1A2与直线l的交点为B，则∠A2BO＝α，连接AA2， 由对称性可得直线l为AA2的垂直平分线， ∴直线l⊥AA2， ∴∠BA2A＝90°﹣∠A2BO＝90°﹣α．连接OA，OA1， ∵点A，点A1关于y轴对称，由对称性可得OA＝OA1，连接OA2， ∵直线l的解析式为y＝kx（0＜k＜1）， ∴直线l经过原点O， ∵点A，点A2关于直线l对称， ∴OA＝OA2， ∴OA＝OA1＝OA2， ∴点A，A1，A2在以点O为圆心，以OA长为半径的圆上，记⊙O与y轴正半轴交于点C， 连接A1C，A2C，由圆周角定理可得∠A1A2A＝∠A1CA，即∠A1CA＝∠BA2A＝90°﹣α， 得∠A1OA＝2∠A1CA＝180°﹣2α．连接AA1，交y轴于点D， ∵OA＝OA1， ∴∠A1OD＝∠AOD， ∴．过点A作AE⊥x轴于点E， ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOE＝90°﹣∠AOD＝α， ∴∠AOE＝∠A2BO＝α， ∴无论k在0＜k＜1范围内取何值，都存在∠AOE＝∠A2BO＝α， ∵点A的坐标为（a，﹣1），点A在第四象限， ∴AE＝1，OE＝a． 在Rt△AOE中，， 当30°≤α＜45°时， ∵tanα随α的增大而增大， ∴tan30°≤tanα＜tan45°，即， ∴，即30°≤α＜45°时，a的取值范围是． 十．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 11．（2026•西城区校级模拟）已知点A（1，5），C（5，1）在直线y＝kx+b上，反比例函数的图象经过点B（1，6）． （1）求m和k的值； （2）平行于x轴的直线y＝n交线段AC于点E，与反比例函数的图象交于点F，若EF≥1，直接写出n的取值范围． 【解答】解：（1）由条件可得， 解得， 把B（1，6）代入， 可得， 解得m＝6； （2）由（1）可得直线解析式为y＝﹣x+6，反比例函数解析式为， 如图，根据题意可得1≤n≤5， 根据n＝﹣x+6，可得x＝﹣n+6， ∴E（﹣n+6，n）， 根据，可得， ∴， ∴， 当时，解得n1＝2，n2＝3，n3＝1，n4＝6（舍）， 根据图象可得若EF≥1时，2≤n≤3或n＝1． 十一．二次函数的应用（共1小题） 12．（2026•通州区一模）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量yA（克）和yB（克）与时间x（分钟）（0≤x≤20）的部分数据： x（分钟） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 yA（克） 21.0 20.5 19.5 18.0 16.0 13.5 10.5 7.0 3.0 yB（克） 21.0 18.5 16.0 13.5 11.0 8.5 m 3.5 1.0 经研究发现，可以分别用函数刻画yA，yB与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量yA与时间x近似满足函数关系：yA＝﹣0.04x2+bx+c，yB与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． （1）写出表中m的值：　6　 ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量yA（克）与时间x（分钟）的函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是C ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景A （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； （3）当5≤x≤15时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第　11.25　 分钟． 【解答】解：（1）设yB与x的函数关系式为yB＝kx+b， 由表可知，图象经过点（0，21.0）和（20，1.0）， 代入得， 解得：， ∴yB＝﹣x+21， 当x＝15时，m＝﹣15+21＝6， 根据表格中yA的数据，在坐标系中描点（0，21），（2.5，20.5），（5，19.5），（7.5，18.0），（10，16.0），（12.5，13.5），（15，10.5），（17.5，7.0），（20，3.0），并用平滑曲线连接； （2）①观察表格中yA的数据： 当x从0增加到2.5时，yA减少了0.5； 当x从2.5增加到5时，yA减少了1.0； 当x从5增加到7.5时，yA减少了1.5； ..． 随着时间x的增加，相同时间间隔内yA减少的量越来越大，说明挥发速度越来越快， 故选：C； ②对于场景A：由表可知，当x＝20时，yA＝3，即0≤x≤20时，yA≥3，发挥作用的时间为20分钟， 对于场景B：令yB≥3，即﹣x+21≥3，解得x≤18，即0≤x≤18时，yB≥3，发挥作用的时间为18分钟， 因为20＞18， 所以在场景A下发挥作用的时间更长， 故答案为：A； （3）设yA＝﹣0.04x2+bx+c， 由表可知，图象经过（0，21）和（20，3）， 代入得：， 解得， ∴yA＝﹣0.04x2﹣0.1x+21， 设两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值为W， 当5≤x≤15时，由图象及数据可知yA＞yB， ∴W＝yA﹣yB＝（﹣0.04x2﹣0.1x+21）﹣（﹣x+21）， W＝﹣0.04x2+0.9x， ∵a＝﹣0.04＜0，抛物线开口向下，有最大值， 对称轴为直线x11.25， ∵5≤11.25≤15， ∴当x＝11.25时，W取得最大值， 即此时对应的时间是第11.25分钟， 故答案为：11.25． 十二．二次函数综合题（共2小题） 13．（2026•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点O（0，0）和点A（1，a﹣a2）． （1）用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax﹣2a（a﹣1）于点N． ①若a＝2，t＝4，求MN的长； ②已知当a≤t≤a+3时，线段MN的长随t的增大而增大，求a的取值范围． 【解答】解：（1）∵经过原点O（0，0）， ∴c＝0， ∵经过A（1，a﹣a2）， ∴a+b＝a﹣a2， ∴b＝﹣a2； （2）①∵b＝﹣a2； ∴y＝ax2﹣a2x， ∵a＝2，t＝4， ∴P（4，0）， ∴M（4，16），N（4，4）， ∴MN＝12； ②∵P（t，0）， ∴M（t，at2﹣a2t），N（t，at﹣2a2+2a）， ∴MN＝|at2﹣a2t﹣at+2a2﹣2a|＝|a（t）2|， ∴线段MN是关于t的函数， ∴对称轴为直线x， 当at2﹣a2t﹣at+2a2﹣2a＝0时，解得t＝2或t＝a﹣1， 当a≥2时，线段MN的长随t的增大而增大； 当a+3时，即a≤﹣5，线段MN的长随t的增大而增大； 综上所述：a≥2或a≤﹣5． 14．（2026•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣3ax（a＞0）． （1）求抛物线的对称轴； （2）已知抛物线上两点M，N的横坐标分别为t，2t，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点P． ①若a＝1，t＝2，求NP的长； ②当t取t1，t2时，NP的长分别为d1，d2，若存在，使得d1＝d2，求a的取值范围． 【解答】解：（1）对称轴为直线x； （2）①若a＝1，t＝2，则抛物线为y＝x2﹣3x， 此时M（2，﹣2），N（4，4），P（4，﹣2）， 故NP＝4﹣（﹣2）＝6； ②由题意知点M（t，at2﹣3at），点N（2t，4at2﹣6at）， P（2t，at2﹣3at）， 故NP＝3at2﹣3ata． 令y＝a，其图象如图所示，对称轴为直线x， ∵存在，使得d1＝d2， ∴表明其图象上在上述自变量范围内有两个相同的函数值， 则当1时，y随t的增大而增大，不符合题意； 当时，即时，符合题意； 当时，即时，符合题意， 综上，a的取值范围为或． 十三．三角形综合题（共1小题） 15．（2026•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，给定∠MON＝60°（O为顶点，OM在x轴正半轴上，点N在第一象限），对于点P，若存在点A在OM上、点B在射线ON上，使得△PAB为等边三角形，则称点P为∠MON的“含角点”，称等边△PAB的边长为点P的“含角边长”．（本定义中的点均不与原点O重合，边长为正数） （1）如图，在点，P2（2，0），中，是△MON的“含角点”的有P1，P3 ，请直接写出其中一个“含角点”的“含角边长”； （2）已知点在第一象限，且为∠MON的“含角点”． ①直接写出t的取值范围； ②当t改变时，直接写出△QAB面积的最小值． 【解答】解：（1）P1，P3；点P1的“含角边长”为，点P3的“含角边长”为2；理由如下： ∵点P2与点A均在x轴上，点A不与原点O重合， ∴以线段P2A为边构造等边三角形时，有一边与ON平行，即点B不在ON上， ∴点P2不是∠MON的“含角点”； 如图，在OM上取点C，连接P1C，使得∠P1CO＝∠MON＝60°， 在OM上截取OA＝P1C，连接P1A，在ON上截取OB＝AC，连接AB，P1B， ∴△BOA≌△ACP1（SAS）， ∴BA＝AP1，∠OBA＝∠P1AC， ∵∠BOA＝60°， ∴∠OBA+∠OAB＝120°， ∴∠P1AC+∠OAB＝120°， ∴∠BAP1＝60°， ∴△ABP1是等边三角形，AB＝BP1＝AP1＝x， ∴OA＝x， 如图1，过点P1作P1D⊥AC于点D， 则P1D＝1，， ∴， 在Rt△P1CD中，∠P1CD＝60°， ∴， ∴， ∴， ∴点P1是∠MON的“含角点”，“含角边长”为； 如图2，过点P3作P3H∥x轴，作P3E⊥x轴于点E， ∵点P3的坐标为， 则OE＝3，， ∵△GHP3是等边三角形， ∴∠P3HG＝∠P3GH＝60°， ∴∠HGO＝∠P3HG＝60°， 又∵∠HOG＝60°， ∴△HOG是等边三角形，且HO＝GO＝HG＝P3G＝HP3， ∴∠P3EG＝180°﹣∠PGH﹣∠HG0＝60°， ∴∠GP3E＝30°， 设HO＝GO＝HG＝P3G＝HP3＝x， 则GE＝OE﹣OG＝3﹣x， ∴P3G＝2GE＝2（3﹣x）， ∵， ∴， 解得：x＝2， ∴P3G＝2， ∴点P3也是∠MON的“含角点”，“含角边长”为2， 故答案为：P1，P3； （2）①t＞1；理由如下： ∵， ∴Q是直线在第一象限的部分上的点， 如图3，在OM上取点C，连接QC，使得∠QCO＝∠MON＝60°， 在OM上截取OA＝QC，连接QA，在ON上截取OB＝AC，连接AB，QB， 同理（1）可证得△QAB是等边三角形， ∴点Q是∠MON的“含角点”，过点Q作QD⊥x轴于点D， 则，在Rt△QDC中，∠QCD＝60°， ∴QC＝2， ∴OA＝2， 设直线与y轴的交点为G，与ON的交点为H，连接AH， 则GQ＝t，， ∵∠MON＝60°， ∴∠HOG＝30°， 在Rt△OGH中，GH＝1，OH＝2， ∴OH＝OA， ∵∠AOH＝60°， ∴△HOA是等边三角形， ∴∠HAO＝60°，OA＝HA， ∴∠HAO＝∠QCA＝60°， ∴QC∥HA， 又∵HQ∥AC， ∴四边形HACQ是平行四边形， ∴HQ＝AC； 如图4，当点Q与点H重合时，t＝1，点C与点A重合， 此时QA＝HA， ∴BA＝QA＝HA＝OA， ∴点B与点O重合，不符合题意，故t≠1； 如图5，当点Q在点G，H之间时，0＜t＜1，∠QAO＜∠QCO，即∠QAO＜60°， 此时点B在QA的垂直平分线l上，此时直线l与射线ON没有交点，故此时点B不在射线ON上， ∴当0＜t＜1时，点Q不是∠MON的“含角点”； 如图3，当点Q在点H的右侧时，t＞1，始终存在△QAB是等边三角形，且点B在射线ON上， ∴当t＞1时，点Q是∠MON的“含角点”， 综上所述，点在第一象限，且为∠MON的“含角点”时，t的取值范围t＞1； ②△QAB面积的最小值为．理由如下： 如图6，当AQ垂直于直线时，AQ的长最小，最小值为， 此时t的值为2，符合题意， ∴△QAB面积的最小值为． 十四．矩形的判定与性质（共2小题） 16．（2026•东城区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，取OC中点F，连接BF并延长，使得EF＝BF，连接CE，DE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若∠EBD＝15°，，过点F作BE的垂线交BD于点G，连接GE．求菱形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵F是OC的中点， ∴OF是△BDE的中位线，OF＝CFOC， ∴OF∥DE，OFDE， ∴OC＝DE， ∴△OCED是平行四边形， 又∵∠COD＝90°， ∴平行四边形OCED为矩形； （2）解：如图，∵BF＝EF，BO＝OD， ∴DE＝OC＝2OF＝1， ∴AC＝2OC＝2， ∵FG⊥BE， ∴BG＝EG， ∴∠GEB＝∠GBE＝15°， ∴∠DGE＝∠GBE+∠GEB＝30°， ∵∠EDG＝90°， ∴GE＝2DE＝2， ∴BG＝EG＝2， ∴DG， ∴BD＝BG+DG＝2， ∴菱形ABCD的面积BD•AC2． 17．（2026•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，E是CD的中点，过点O，E分别作直线BC的垂线，垂足分别为G，F． （1）求证：四边形OGFE是矩形； （2）若∠BCO＝45°，OD，OG＝1，求CF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝OD， ∵E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥BC， ∵OG⊥BC，EF⊥BC， ∴OG∥EF，∠OGF＝90°， ∴四边形OGFE是平行四边形， 又∵∠OGF＝90°， ∴平行四边形OGFE是矩形； （2）解：∵OG⊥BC， ∴∠OGB＝∠OGC＝90°， ∵OB＝OD，OG＝1， ∴BG2， ∵∠BCO＝45°， ∴△OGC是等腰直角三角形， ∴CG＝OG＝1， ∴BC＝BG+CG＝2+1＝3， 由（1）可知，OE是△BCD的中位线，四边形OGFE是矩形， ∴OEBC，GF＝OE， ∴CF＝GF﹣CG1， 答：CF的长为． 十五．圆的综合题（共10小题） 18．（2026•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于⊙O的弦AB和点C给出如下定义：若点C在弦AB的垂直平分线上，且点C关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点C是弦AB的“圆梦点”． （1）如图，点，在点C1（0，0），C2（﹣2，0），C3（﹣2，2），C4（﹣4，0）中，弦AB的“圆梦点”是C1和C4　 ； （2）若点C（﹣1，0）是弦AB的“圆梦点”，直接写出AB的长； （3）已知直线与x轴、y轴分别交于点E、F，对于线段EF上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“圆梦点”．记PQ的长为t，当点S在线段EF上运动时，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）各个坐标点的位置如图所示： 根据弦AB的“圆梦点”的定义，点C在弦AB的垂直平分线上且点C关于AB的对称点还在⊙O上． ∵点C1，C2，C4在弦AB的垂直平分线上，其中只有C1关于弦AB的对称点为（﹣2，0），C4关于弦AB的对称点为（2，0）， 且（﹣2，0）和（2，0）在⊙O上， ∴C1和C4是弦AB的“圆梦点”． 故答案为：C1和C4． （2）如图，点C（﹣1，0）是弦AB的“圆梦点”，根据垂径定理可知弦AB的垂直平分线为x轴，AB＝2AF． 由于点C关于弦AB的对称点在⊙O上，则对称点坐为D（2，0）或E（﹣2，0）． ①当对称点坐为D（2，0）时： 连接AD，AE，AB交x轴于点F． ∴xF， ∵ED为⊙O的直径， ∴∠DAE＝90°． ∵∠AEF＝90°﹣∠EAF＝∠DAF， ∴tan∠AEF＝tan∠DAF，即：． ∴AF2＝EF•DF． ∴AB＝2AF＝2． ②同理，当点C关于弦AB的对称点为E（﹣2，0）时，点F的坐标为（，0）， ∴EF，DF， ∴AB＝2AF＝2． 故AB的长度为或． （3）如图，作直线SO交⊙O于点D、G． 对于直线，易得点E（，0），F（0，4）． ∴EF． 令SO＝m， ①当点S在⊙O以内时， 由（2）可知PQ＝t＝2或2． ∵GS＝2﹣m，DS＝2+m． ∴PQ＝t或． 当OS⊥EF时，m取最小值h． ∵S△EOFEO•FOEF•h， ∴h1． ∴1≤m＜2． 对于二次函数y＝﹣m2﹣4m+12，对称轴为x＝﹣2，抛物线开口向下， 当1≤m＜2时，y随x的增大而减小，0＜y≤7， 对于二次函数y＝﹣m2+4m+12，对称轴为x＝2，抛物线开口向下， 当1≤m＜2时，y随x的增大而增大，15≤y＜16， ∴t的范围为：0＜t或t＜4， ②当点S在⊙O上时，m＝2．此时PQ为⊙O的直径，PQ＝t＝4． ③当点S在⊙O外面时，2＜m≤4，如图： 同理可得：PQ＝t． 对于二次函数y＝﹣m2+4m+12，对称轴为x＝2，抛物线开口向下， 当2＜m≤4时，y随x的增大而减小，12≤y＜16， ∴2t＜4． 综上可得：0＜t或2t≤4． 19．（2026•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN和点P，Q（点P，Q不在直线MN上），给出如下定义：如果∠MPN+∠MQN＝180°，那么称点Q是点P关于线段MN的“补角点”． （1）如图1，已知点M（﹣1，0），N（1，0），． ①在点中，点P关于线段MN的“补角点”是Q1，Q3 ； ②如果点Q是点P关于线段MN的“补角点”，那么点Q的纵坐标的最大值为　　 ． （2）如图2，已知⊙O的半径为2，线段MN是⊙O的一条弦，且∠MON＝60°，一次函数y＝x+b的图象与x轴，y轴分别交于点B，C．如果线段BC上存在点Q是点O关于线段MN的“补角点”，直接写出b的取值范围． 【解答】解：（1）①若点Q和点P在线段MN的两边，根据∠MPN+∠MQN＝180°以及圆周角定理，可知点M，N，P，Q在同一圆上，又圆心在MN中垂线上，则圆心在y轴上， 由M（﹣1，0），N（1，0），，则MN关于y轴对称， ∴∠NPO＝∠MPO，， ∴∠MPO＝60°， ∴∠MPN＝2∠MPO＝120°，故圆心在x轴下方， 设圆的半径为r，圆心为点H，则MH＝NH＝PH＝QH＝r，， 在Rt△HON 中，有HN2＝OH2+ON2，即， 解得， ∴，， 若点Q和点P在线段MN的同一侧，则点Q的可能坐标在第一种情况所求圆在MN下方圆弧关于MN翻折到MN上方所得圆弧上， 设圆心为点H1，则，； 点到点H的距离为：，故点是点P关于线段MN的“补角点”； 点Q2（0，1）到点H的距离为：， 点Q2（0，1）到点H1的距离为：，故点Q2（0，1）不是点P关于线段MN的“补角点”； 点到点H3的距离为：，故点是点P关于线段MN的“补角点”； 故答案为：Q1，Q3； ②画出①中所得点Q可能坐标组成的两段圆弧，如图所示，可得点Q的纵坐标的最大值为若点Q和点P在线段MN的同一侧时所得圆弧与y轴交点，此时点Q的纵坐标，即最大值为， 故答案为：； （2）根据点Q是点O关于线段MN的“补角点”，∠MON+∠MQN＝180°，∠MON＝60°，得到∠MQN＝120°，点M，N，O，Q在同一圆上， 由∠MON＝60°，可知△MON是等边三角形，MN＝ON＝OM＝2，且点O在MN中垂线上， 因此，点Q在以MN为弦、圆周角为120°的圆上，圆心为H， 由∠MQN＝120°，故该圆心在O与MN之间， 设MN位置如图，作OT⊥MN于T，H在OT上，，， 设圆H的半径为r，MH＝NH＝OH＝r，， 在Rt△HTM中，有HM2＝TH2+MT2，即， 解得， 点O到MN的距离为：， ∵r＜d， 故该圆心在O与MN之间， ∴， 设y＝x+b图象如图，设与x，y轴交于B，C两点，则B（﹣b，0），C（0，b）， ∴OB＝OC＝|b|，，， 作OG⊥CB于G，CB•OG2，OG＝＝|b|， O与一次函数y＝x+b的距离， ∴， ∴， ∴或． 20．（2026•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O的弦AB和点C，给出如下定义：若△ABC为锐角三角形，且直线CA，CB中有一条是⊙O的切线，则称点C是⊙O的弦AB的“锐切点”． （1）如图，⊙O的半径为1． ①点A（0，1），B（1，0），在点，中，点C2，C3 是⊙O的弦AB的“锐切点”； ②若OC＝2，点C是⊙O的弦AB的“锐切点”，则弦AB的长的取值范围是　　 ； （2）已知点T（t，0）（t＞0），⊙O经过点T，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是⊙O的长为t的弦的“锐切点”，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）①如图， △ABC1为钝角三角形，则C1（﹣1，1）不符合题意； △ABC2为锐角三角形，且BC2是⊙O的切线，则符合题意； △ABC3为锐角三角形，且AC3是⊙O的切线，则符合题意， 故答案为：C2，C3； ②∵OC＝2， ∴点C在以点O为圆心，2为半径的圆上， 设A（0，1），， 则此时AC一定是⊙O的切线，只需满足△ABC为锐角三角形，则△ABC为直角三角形即可找到临界值， 如图，当∠B1AC＝90°时， AB1为圆的直径，即AB1＝2， 如图，当∠AB2C＝90°时，过点O作OD⊥AB于D， ∵OD⊥AB2， ∴设AD＝B2D＝x，则AB2＝2x， ∵∠OAC＝∠AB2C＝90°， ∴∠OAD＝∠ACB2＝90°﹣∠CAB2， ∴， ∵OA＝1，AD＝x， ∴， 则， 解得，x（不符题意，舍去）， 则AB2＝2x， 则当时，△ABC为锐角三角形，即点C是⊙O的弦AB的“锐切点”， 故答案为：； （2）已知点T（t，0）（t＞0），⊙O经过点T，则⊙O的半径为t， 由题可知，AB＝t，则△ABO为等边三角形， 如图，过点B分别作BC1∥y轴，BC2⊥AB交过点A垂直于y轴的直线于点C1C2， 连接OC1OC2， ∵∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°， ∴∠BAC1＝30°， ∴， 则，A， 当点C位于C1，C2之间时，△ABC为锐角三角形，此时，， 以点O为圆心，分别以，O为半径画圆，长为的线段在圆弧区域内时，线段上的任意一点都是⊙O的长为的弦的“锐切点”， 如图，与圆环内圆相切时，是线段在此范围内的最长状态，仅有此时存在EF使得条件成立时，圆的半径最小，连接OF； ∴， ∴， 在 Rt△FDO 中，， 解得t（不符合题意，舍去）， 即． 21．（2026•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，对于⊙O的弦AB和弦AB外一点P，给出如下定义：对于给定的角度α，若在弦AB上存在两个不同的点M，N，使得∠MPN＝α，则称点P是弦AB的α关联点，称MN的长的最大值为点P与弦AB的α关联值． （1）若⊙O与y轴的正半轴交于点B，在点P1（3，0），P2（2，2），P3（0，﹣2）中，点P2 是弦AB的90°关联点，该点与弦AB的90°关联值为　2　 ； （2）当弦AB的长为2时，若直线上存在弦AB的60°关联点，直接写出b的取值范围； （3）设弦AB的长为m（m≥2）．对于每一个m的值，点P是弦AB的60°关联点，且点P与弦AB的60°关联值为，记此时满足条件的所有点P到弦AB中点的距离的最大值为d．当点B在⊙O上运动时，直接写出d的取值范围． 【解答】解：（1）如图1， 以AB为直径作⊙I，点P在⊙I上（不包括A，B两点）， 可得P1，P3不在⊙I上，P2在⊙I上， AB， 故答案为：P2，2； （2）如图2， 当点B在第四象限B′处时，△AOB是等边三角形，以AB′为边作等边三角形AB′C，作△AOB和△AB′C的外接圆， 除点A和B′外，圆上的点是AB的60°关联点， 同样当点B在第一象限的B″处时，作等边三角形AOB″和等边三角形AB″D的外接圆， 除点A和B″外，圆上的点是AB的60°关联点， 当直线yb和圆切于点C处时， ∵OC＝2×2•sin60°＝2，∠CEO＝30°， ∴OE＝2OC＝4， 此时b＝﹣4， 当直线yb和圆切于点C′处时， OC′， 此时b， ∴； （3）如图3， 设AB的中点为H，在AB上截取AC＝BD，作等边三角形ACF和等边三角形BED，并作它们的外接圆，两圆交于点P， 则d＝PH， 设△ACF的外接圆为⊙I，作IG⊥AB于G，连接IP，作IQ⊥PH，连接AI， 在Rt△AIG中，AGACm，∠IAG＝30°， ∴IG，AI＝2IGm， ∵∠IQH＝∠PHG＝∠IGH＝90°， ∴四边形IQHG是矩形， ∴QH＝IGm，IQ＝GH＝AH﹣AGAB﹣AGm， 在Rt△PIQ中，IP＝AI， ∴PQ， ∴d＝PH＝PQ+QH， ∵2≤m≤4， ∴． 22．（2026•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙C和⊙C外一点A给出如下定义：若点P在⊙C上，且对圆上任意一点Q，都有∠PAC≥∠QAC，则称线段AP是点A关于⊙C的关联线段，称∠PAC的大小是点A关于⊙C的关联角度． （1）如图，⊙O的半径为1． ①已知点，则点A关于⊙O的关联线段的长为　　 ，点A关于⊙O的关联角度为　30　 °； ②已知⊙O上一点，点D在直线上，线段DB是点D关于⊙O的关联线段，则点D的坐标为　（，﹣2）　 ； （2）已知点T（t，0），⊙T的半径为2，直线上的所有点都有关于⊙T的关联线段，记这些点关于⊙T的关联角度的最大值为α，若45°≤α＜90°，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）①由题意得：当点A与⊙O相切于点P时，PA为点A关于⊙O的关联线段，∠PAO的大小为点A关于⊙O的关联角度，连接OP，如图， ∵点， ∴OA2， ∴PA， ∴点A关于⊙O的关联线段的长为． ∵sin∠PAO， ∴∠PAO＝30°， ∴点A关于⊙O的关联角度为30°． 故答案为：；30； ②∵点B在⊙O上，线段DB是点D关于⊙O的关联线段， ∴DB为⊙O的切线， ∴OB⊥BD， 连接OB，过点B作BG⊥x轴于点G，设DB交y轴于点C，如图， ∵点， ∴BG＝OG， ∴∠GOB＝45°， ∴∠BOC＝45°， ∵OB⊥BD，OB＝1， ∴OC， ∴C（0，）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BD的解析式为y＝x， ∴， ∴， ∴D（，﹣2）． 故答案为：（，﹣2）； （2）设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令x＝0，则y＝6， ∴B（0，6）， ∴OB＝6， 令y＝0，则x＝2， ∴A（2，0）． ∴OA＝2， ∴tan∠BAO， ∴∠BAO＝60°， 当点T在点A右侧时，过点T作TC⊥AB于点C，过点C作⊙T的切线CD，连接TD，如图， 则TD＝2，CD⊥TD， ∵点T（t，0）， ∴OT＝t， ∴AT＝OT﹣OA＝t﹣2， ∵∠TAC＝∠BAO＝60°， ∴TC＝AT•sin60°（t﹣2）， ∵直线上的所有点都有关于⊙T的关联线段，记这些点关于⊙T的关联角度的最大值为α， ∴此时∠TCD＝α， ∵45°≤α＜90°， ∴sin45°≤sinα＜sin90°， ∴sinα＜1， ∵sinα， ∴1， ∴t． 当点T在点A左侧时，过点T作TC⊥AB于点C，过点C作⊙T的切线CD，连接TD，如图， 则TD＝2，CD⊥TD， ∵点T（t，0）， ∴AT＝2t， ∵∠TAC＝∠BAO＝60°， ∴TC＝AT•sin60°（2t）， ∵直线上的所有点都有关于⊙T的关联线段，记这些点关于⊙T的关联角度的最大值为α， ∴此时∠TCD＝α， ∵45°≤α＜90°， ∴sin45°≤sinα＜sin90°， ∴sinα＜1， ∵sinα， ∴1， ∴t． 综上，t的取值范围为t或t． 23．（2026•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于⊙O的弦AB和点E，给出如下定义：若⊙O上存在一点F，使得EF的中点在弦AB上，则称点E为弦AB的“中称点”；若点P和Q都是弦AB的“中称点”，且∠POQ能取到的最大值为α（0＜α＜180°），则称弦AB为⊙O的“α中称弦”． （1）如图，点A（0，2），B（2，0）． ①在点C1（﹣1，3），C2（3，4），C3（6，0）中，点C1，C3 是弦AB的“中称点”； ②若弦AD为⊙O的“α中称弦”，则点D的纵坐标yD的取值范围是　﹣1＜yD＜2　 ； （2）点M和点N分别是直线与x轴和y轴的交点，若线段MN上存在弦ST的“中称点”，且弦ST为⊙O的“120°中称弦”．直接写出b的取值范围． 【解答】解：（1）①以O1（0，4）为圆心，2为半径画圆，以（4，0）为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线KL，GH，且满足KL∥O1O2∥GH， 则弦AB的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）， ∵O2C3＝6﹣4＝2，， ∴点C3（6，0）在⊙O2上，点C1（﹣1，3）在⊙O1内， ∴点C1，C3是弦AB的“中称点”； 延长HG交y轴于点R，连接O1G， ∵GH是⊙O1的切线， ∴O1G⊥GH， ∴∠O1GR＝∠O1GH＝90°， ∵∠O1OO2＝90°，OO1＝OO2＝4， ∴∠OO1O2＝45°， ∵O1O2∥GH， ∴∠O1RG＝∠OO1O2＝45°， ∴，△O1RG是等腰直角三角形， ∴， 设直线O1O2的解析式为y＝kx+m， 则，解得， ∴直线O1O2的解析式为y＝﹣x+4， 又∵，O1O2∥GH， ∴直线GH的解析式为， 当x＝3时，， ∴点C2（3，4）在直线GH的上方， ∴点C2不是弦AB的“中称点”； 综上，点C1，C3是弦AB的“中称点”， 故答案为：C1，C3； ②以O1（0，4）为圆心，2为半径画圆，延长OD至O3使得O3D＝OD，以O3为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线KL，GH，且满足KL∥O1O3∥GH， 则弦AD的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）； 当直线KL恰好经过点O时，此时α＝180°， 作DW⊥y轴于W，连接O3L，O1K， 则∠OWD＝90°， ∵OD＝OA＝2， ∴OO3＝2OD＝4＝OO1， ∵KL是⊙O1和⊙O3的切线， ∴∠O1KO＝∠O3LO＝90°， 又∵OO3＝OO1，O3L＝O1K＝2， ∴Rt△O3LO≌Rt△O1KO（HL）， ∴∠O3OL＝∠O1OK， ∵， ∴∠O1OK＝30°， ∴∠O3OL＝30°， ∵∠WOL＝∠O1OK＝30° ∴∠WOD＝∠WOL+∠O3OL＝30°+30°＝60°， ∴OW＝ODcos∠WOD＝2cos60°＝1， ∴点D的纵坐标为﹣1； 当直线GH恰好经过点O时，此时α＝180°， 作DW⊥y轴于W，连接O1G，O3H， 同理可得，点D的纵坐标为﹣1； ∵弦AD为⊙O的“α中称弦”，且0＜α＜180°， ∴yD＞﹣1， 又∵yD＜2， ∴点D的纵坐标yD的取值范围是﹣1＜yD＜2， 故答案为：﹣1＜yD＜2； （2）将⊙O分别绕点S，T旋转180°得到⊙O4，⊙O5，连接OO4，OO5，O4O5， 此时点T在OO5上，点S在OO4上，且OO4＝OO5＝2×2＝4， 如图，过点O作⊙O4和⊙O5的切线，分别交⊙O4，⊙O5于I，J，作⊙O4和⊙O5的外公切线KL，连接O4I，O5J， 同理（1）的方法可得∠O4OI＝∠O5OJ＝30°， ∵弦ST为⊙O的“120°中称弦”， ∴∠IOJ＝120°， ∴∠O4OO5＝120°﹣30°﹣30°＝60°， ∴△OO4O5是等边三角形， ∴O4O5＝OO4＝4， 又∵⊙O4与⊙O5的半径都为2，且2+2＝4， ∴⊙O4与⊙O5的位置关系为外切， 设⊙O4与⊙O5外切于点W，连接OW交KL于点G， ∵O4W＝O5W＝2，OO4＝OO5＝4， ∴OW⊥O4O5，即∠OWO4＝90°， ∴， ∵KL是⊙O4和⊙O5的外公切线， ∴WG＝2， ∴， ∴弦ST的“中称点”在以点O为圆心，分别以6为半径，为半径的圆环上（包含边界）； 对于，当y＝0，；当x＝0时，y＝b； ∴，N（0，b）， 若b＞0， 当直线MN恰好与以点O为圆心，6为半径的圆相切时，b有最大值， 记此时点M为M1，点N为N1， 设切点为X，连接OX，则OX⊥M1N1，OX＝6， ∴∠OXN1＝90°， ∵ON1＝b，， ∴， ∴∠M1N1O＝30°， ∴ON1＝2OX＝2×6＝12， ∴b＝12； 当点N恰好在以点O为圆心，为半径的圆上时，b有最小值， 记此时点N为N2，则， ∴b的取值范围为； 若b＜0，由对称性可知，，ON4＝12， ∴b的取值范围为； 综上，b的取值范围为或． 24．（2026•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和点C给出如下定义：若点C在弦AB的垂直平分线上，且点C关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）直线与⊙O交于A，B两点．写出一个弦AB的“关联点”的坐标为 　（0，0）　 ； （2）若点是弦AB的“关联点”，直接写出AB的长； （3）已知点M（0，2），.对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围． 【解答】解：∵点C在弦AB的垂直平分线，AB为⊙O的弦， ∴AB的垂直平分线过点O， ∴CO⊥AB． 若点C在⊙C外或者圆上， 则连接CO并延长交⊙O于点D，作CD的垂直平分线与⊙O交于AB即为所求． 若点C在⊙C内， 则直线CO与⊙O交于点D，E，CD垂直平分线交⊙O于A，B，CE垂直平分线交⊙O于A′，B′ （1）如图， 由定义可知O（0，0）是弦AB的“关联点”， 故答案为：（0，0）； （2）由垂径定理可知，弦AB的垂直平分线过圆心O， ∵点是弦AB的“关联点”， ∴OC为弦AB的垂直平分线， ∴点关于直线AB的对称点为（﹣1，0）或（1，0）， 当对称点为（﹣1，0）时，直线AB为，如图1，线段A1B1， 则，A1B1＝2A1M， 由勾股定理得，， ∴； 当对称点为（1，0）时，直线AB为，如图1，线段A2B2， 则，A2B2＝2A2N， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述，AB的长为； （3）如图，设MN交⊙O于K， 当OS⊥MN于S时，设OS交⊙O于S，作线段SS′的垂直平分线交⊙O于P，Q，OS交PQ于E，连接OP， 在Rt△MNO中，， ∵∠OSN＝∠MON＝90°， ∴OS•MN＝OM•ON， ∴． ∴，， ∵E是SS'的中点， ∴， ∴， ∴， ∵半径OS'⊥PQ， ∴， ∵当点S沿线段NM运动到接近⊙O上时，PQ逐渐减小， ∴； 当点S与M重合时，则S′（0，﹣1），PQ与SS'互相垂直平分，如图，连接OP， ，OP＝1， ∴OE＝SO﹣SE， 在Rt△OPE中，PE， ∴t＝PQ＝2PE， 当点S运动到点K时，如图，SS'经过点O，PQ与SS'互相垂直平分， ∴t＝PQ＝2， ∴； 综上所述，t的取值范围为； 25．（2026•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段PQ和直线l（点P，Q均不在直线l上且直线PQ不与直线l平行），给出如下定义：过线段PQ的两个端点分别作直线l的平行线，交y轴于点P1和Q1，称线段P1Q1的长为线段PQ关于直线l的纵影长． （1）如图，已知点P（1，1），点Q（0，3），线段PQ关于直线y＝x﹣5的纵影长为　3　 ； （2）已知点M（﹣1，2），点N（1，4），线段MN关于直线y＝kx+2（k≠0）的纵影长为4，则k的值为　﹣1或3　 ； （3）已知A（1，0），⊙A的半径为r．若⊙A上存在点T，使线段OT关于直线y＝2x﹣10的纵影长与线段OT关于直线y＝﹣x﹣10的纵影长的和为6，直接写出r的取值范围． 【解答】解：（1）∵过线段PQ的两个端点分别作直线l的平行线，交y轴于点P1和Q1，称线段P1Q1的长为线段PQ关于直线l：y＝x﹣5的纵影长， ∴PP1∥l，QQ1∥l， 设PP1为y＝x+b，QQ1为y＝x+m， 将点P（1，1），点Q（0，3）分别代入上面两个式子，即1＝1+b，3＝0+m， ∴b＝0，m＝3， ∴PP1为y＝x，QQ1为y＝x+3， 将x＝0分别代入上面两个式子，即y＝0，y＝0+3＝3， ∴点P1（0，0）和Q1（0，3）， ∴P1Q1＝3﹣0＝3， ∴线段PQ 关于直线y＝x﹣5的纵影长为3， 故答案为：3； （2）y＝kx+2（k≠0）是一条过点（0，2）旋转的直线， 如图，根据定义可知，当线段MN关于直线y＝kx+2（k≠0）的纵影长为4时，NH＝4，则H（1，0）或H（1，8）， 将M（﹣1，2），H（1，0）代入y＝ax+b， 得：， 解得， 根据纵影长的定义可知，k＝a＝﹣1， 将M（﹣1，2），H（1，8）代入y＝ax+b， 得：， 解得， 根据纵影长的定义可知，k＝a＝3， 综上所述，k＝﹣1或k＝3， 故答案为：﹣1或3； （3）过点T分别作直线y＝2x﹣10和直线y＝﹣x﹣10的平行线，分别交y轴于点T1，T2， 当线段OT关于直线y＝2x﹣10的纵影长与线段OT关于直线y＝﹣x﹣10的纵影长的和为6时，OT1+OT2＝6， 如图，当T1，T2位于点O两侧时，T1T2＝6，过点T作TH⊥TT2，y＝2x﹣10与y轴交于C（0，﹣10），与x轴交于B（5，0）， 设TH＝h， ∵TT1与y＝﹣x﹣10平行； ∴∠T1TH＝45°， ∴T1H＝TH＝h， ∵TT2与y＝2x﹣10平行， ∴△HTT2∽△BOC， ∴， ∴HT2＝2h， 则T1T2＝HT1+HT2＝h+2h＝6， h＝2，即点T的横坐标为±2， 当点T的横坐标为2时，令T1与O重合，T的纵坐标为﹣2，令T2与O重合，T的纵坐标为4， 当点T的横坐标为﹣2时，令T1与O重合，T的纵坐标为2，令T2与O重合，T的纵坐标为﹣4， 此时点T的运动轨迹如图所示， 如图，当T1，T2位于点O同侧时，设T（m，n）， 当T在第一象限，设过点T分别与直线y＝2x﹣10和直线y＝﹣x﹣10平行的直线为y1＝2x+b1，y2＝﹣x+b2， 代入得， 则， 故y1＝2x+n﹣2m，y2＝﹣x+n+m， 令x＝0，得，T1（0，n﹣2m），T2（0，m+n）， ∵OT1+OT2＝6， ∴n﹣2m+m+n＝﹣m+2n＝6，即T在直线上运动， ∵﹣2m+n＞0， ∴0＜m＜2， 同理可以找到T在第二象限，第三象限和第四象限的运动轨迹，如图， 整理可得T完整的运动轨迹，以A（1，0）为圆心，r为半径的圆需与此轨迹有交点， 当⊙A刚好与轨迹相切时，r＝1， 当⊙A过点（﹣2，﹣4）时，r＝5， 综上，1≤r＜5． 26．（2026•西城区校级模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作⊙O的切线BM． （1）求证：∠ABM＝∠ACB； （2）连接CO并延长，交AB于点H，交⊙O于点E，交BM于点F．若BF＝15，，求半径和CH的长． 【解答】解：（1）连接BO并延长，交AC于点D，如下图所示： ∵AB＝BC， 由垂径定理得BD垂直平分AC，∠ACB＝∠BAC， ∴∠BDC＝90°， ∵BM为⊙O的切线， ∴∠MBD＝90°＝∠BDC， ∴BM∥AC， ∴∠ABM＝∠BAC， ∴∠ABM＝∠ACB． （2）连接BE，作图如下： ∵CE为⊙O的直径， ∴，OB＝OC， 令BE＝x，则BC＝3 x， ∴， ∴ ∵OB＝OC， ∴∠BCE＝∠DBC， 又∵∠EBC＝∠BDC＝90°， ∴△BEC∽△DCB， ∴， 故， ∴，， ∴， ∵BM∥AC， ∴△COD∽△FOB， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ，， ∵BM∥AC， ∴△ACH∽△BFH， ∴， ∴， ∴， ∵∠EHB＝∠CHA，∠EBH＝∠HCA， ∴△EHB∽△AHC， ∴， ∴， ∴． 27．（2026•昌平区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义： 将线段BC绕点A顺时针旋转α可以得到线段B′C′，（B′，C′分别是B，C的对应点），点P为线段B′C′上任意一点，若OP最小值为1，则称线段BC是⊙O的以点A为中心关于“α”的“关联线段”． （1）若α＝90°． ①当A（﹣1，1）时，如图点B1，C1，B2，C2，B3，C3，B4，C4的横、纵坐标都是整数，在线段B1C1，B2C2，B3C3，B4C4中，⊙O的以点A为中心关于“90°”的“关联线段”是B1C1；B3C3 ； ②当A（﹣3，2）时，且在直线上（点B在点C左侧），线段BC是⊙O的以点A为中心关于“90°”的“关联线段”，直接写出点B横坐标xB的取值范围； （2）若α＝45°，M（﹣4，0），N（0，4），点A在线段MN上，BC＝2，直线y＝x+b与线段BC有交点，且线段BC是⊙O的以点A为中心关于“45°”的“关联线段”，直接写出b的取值范围． 【解答】解：（1）①根据题意，得A（﹣1，1），B1（﹣2，2），C1（﹣1，2），B2（﹣1，3），C2（0，2），B3（1，3），C3（1，1），B4（0，﹣2），C4（2，﹣1）， 旋转α＝90°后，B1′（0，2），C1′（0，1），B2'（1，1），C2'（0，0），B3'（1，﹣1），C3′（﹣1，﹣1），B4′（﹣4，0），C4′（﹣3，﹣2）， 点O到B1′C1′的最小距离为OC1'＝1﹣0＝1，满足定义，此时符合要求； 点O到B2'C2'的最小距离为OC2'＝0≠1，不满足定义，此时不符合要求； 点O到B3'C3'的最小距离为点O到B3'C3'的距离，B3'C3'与圆相切，距离等于半径1，满足定义，此时符合要求； 点O到B4′C4′的最小距离大于1，不满足定义，此时不符合要求； 故⊙O的以点A为中心关于“90°”的“关联线段”是B1C1；B3C3， 故答案为：B1C1；B3C3； ②设直线与x轴交于点G，与y轴交于点E， 则，， ∴， ∴∠EGO＝30°， ∴∠OEG＝60°， 将点O绕点A（﹣3，2）逆时针旋转90°，得到T（﹣1，5）， 连接ET，过点T作TZ⊥y轴于点Z，则TZ＝1，， 故， ∴∠TEN＝30°， 过点T作TH⊥EG于点H， ∴∠TEH＝30°，且TH＝ETsin30°＝1，此时直线与圆T相切， ∴∠HTE＝60°， 过点H作HY⊥y轴于点Y，交圆T于点X，则△HTX是等边三角形， ∴∠HTX＝60°，HX＝TH＝TX＝1， 过点T作TQ⊥HY于点Q，则， 故， ∴， 根据题意，得，故点C的横坐标为， 故， 解得， 故点B横坐标xB的取值范围为； （2）设MN的解析式为y＝kx+4， 根据题意，得﹣4k+4＝0， 解得k＝1， 故线段MN的解析式为y＝x+4（﹣4≤x≤0）， 当点N与点A重合，且y＝x+4与y＝x+b之间的距离为3时，如图所示， 则AH1⊥H1I1，AH1＝H1I1＝3， 此时， 故， 当点M与点A重合，且y＝x+4与y＝x+b之间的距离为2﹣（﹣4）+1＝7时，同理可得； 故． 十六．几何变换综合题（共4小题） 28．（2026•东城区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D在线段AC上，E在线段BC上，连接AE和BD交于点F，∠ABD＝∠CAE． （1）求∠BFE的度数； （2）作点B关于直线AC的对称点G，连接FG，取FG的中点M． ①依题意补全图形； ②连接AM，猜想线段BF，AF，AM的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）∵∠A＝45°， ∴∠BAF+∠CAE＝45°， ∵∠ABD＝∠CAE， ∴∠BAF+∠ABD＝45°， ∴∠BFE＝∠BAF+∠ABD＝45°； （2）①作点B关于直线AC的对称点G，连接FG，取FG的中点M，如图所示： ②，证明如下： 如图所示，过点B，G，M分别作直线AE的垂线，垂足分别为P、Q、S， ∴∠APB＝∠AQG＝∠FQG＝∠FSM＝90°，MS∥QG； 由轴对称的性质可得AB＝AG，∠CAG＝∠CAB＝45°， ∴∠BAG＝∠CAG+∠CAB＝90°， ∴∠QAG+∠PAB＝90°， ∵∠QAG+∠QGA＝90°， ∴∠PAB＝∠QGA， 在△PAB与△QGA中， ， ∴△PAB≌△QGA（AAS）， ∴AQ＝BP，QG＝AP， ∵∠A＝45°， ∴∠BAF+∠CAE＝45°， ∵∠ABD＝∠CAE， ∴∠BAF+∠ABD＝45°， ∴∠BFE＝∠BAF+∠ABD＝45°， ∴△BFP是等腰直角三角形， ∴BP＝PF， ∴， ∴； ∵点M为FG的中点， ∴； ∵MS∥QG， ∴△FSM∽△FQG， ∴， ∴，， ∵AP＝AF+PF，AS＝AQ+QS，， ∴， ， ∴AS＝MS， 在Rt△ASM中，由勾股定理得， ∴． 29．（2026•门头沟区一模）在△ABC中，AB＝AC且∠ACB＝α（0°＜α＜90°），点D在线段BC上（点D与点B，C不重合），连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转180°﹣2α得到线段AE，过点E作EF∥AC交直线BC于点F． （1）如图1，当点D与点F重合时，求证：AC＝DE； （2）如图2，当点D与点F不重合时，过点E作EG⊥EF交直线BC于点G， ①依题意补全图2； ②用等式表示GF与DC之间的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC且∠ACB＝α， ∴∠ABC＝∠ACB＝α， ∵将线段AD绕点A顺时针旋转180°﹣2α得到线段AE， ∴AE＝AD，∠EAD＝180°﹣2α， ∴∠AED＝∠ADE＝α， ∵DE∥AC， ∴∠ACB＝∠EDB＝α， ∴∠AED＝∠BDE＝α， ∴AE∥CD， ∴四边形AEDC是平行四边形， ∴AC＝DE； （2）解：①如图所示； ②FG＝2CD， 证明：连接BE， 由①知，AB＝AC，AE＝AD，∠EAD＝∠BAC＝180°﹣2α， ∴∠EAB＝∠DAC， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACB＝α， ∴∠EBC＝2α， 取FG的中点H，连接EH， ∵EG⊥EF， ∴∠GEF＝90°， ∴EH＝GH＝HFGF， ∴∠HFE＝∠HEF， ∵AC∥EF， ∴∠EFH＝∠ACB＝α， ∴∠HEF＝∠HFE＝α， ∴∠EHB＝∠HEF+∠HFE＝2α， ∴∠EBH＝∠EHB， ∴EH＝CD， ∴CDFG， 即GF＝2CD． 30．（2026•北京二模）已知，∠AOB＝60°，点C在边OB上，P是边OA上一动点，且OP＞OC，连接CP，点E在线段CP上（不与端点重合），连接OE并延长，将射线OE绕点O逆时针旋转60°得到射线OE′，并取射线OE′上一点为F，连接FC交边OA于点D． （1）依题意补全题图1； （2）若∠OFC＝∠POE，判断△OCD的形状，并证明； （3）在（2）的条件下，若点E为线段CP的中点，探究DF，DP与OC的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）补全题图，如图1即为所求； （2）△OCD为等边三角形； 证明：∵将射线OE绕点O逆时针旋转60°得到射线OE′，取射线OE′上一点为F， ∴∠EOF＝60°， ∴∠DOF+∠POE＝60°， ∵∠OFC＝∠POE， ∴∠DOF+∠OFC＝60°， ∴∠ODC＝∠DOF+∠OFC＝60°， 又∵∠AOB＝60°， ∴△OCD为等边三角形； （3）DF＝OC+DP； 证明：如图2，∠AOB＝60°，过点P作PG∥OC交射线OE于点G， ∴∠OPG+∠AOB＝180°，∠GPE＝∠OCE，∠PGE＝∠COE， ∴∠OPG＝120°， ∵点E为线段CP的中点， ∴PE＝CE， 在△PEG和△CEO中， ， ∴△PEG≌△CEO（ASA）， ∴PG＝OC， 由（2）可知△OCD为等边三角形， ∴∠ODC＝60°，OC＝DO， ∴DO＝PG，∠FDO＝180°﹣∠ODC＝120°， ∴∠FDO＝∠OPG， ∵∠FOE＝∠POC＝60°， ∴∠FOE﹣∠POG＝∠POC﹣∠POG， ∴∠FOD＝∠COE， ∵∠PGE＝∠COE， ∴∠FOD＝∠OGP， 在△FOD和△OGP中， ， ∴△FOD≌△OGP（ASA）， ∴FD＝OP， ∵OP＝OD+DP， ∴DF＝OC+DP． 31．（2026•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，a），B（3，4），OB的半径为1，线段PQ的长度为1，将线段PQ绕点A逆时针旋转90°，得到线段MN，若线段MN与⊙B有公共点，则称线段PQ为点A的旋转线段，并称AM，AN的较小值为线段PQ关于点A的旋转距离，记为d． （1）如图，a＝3． ①点C1（0，0），D1（1，0），C2（2，0），D2（3，0），C3（﹣2，0），D3（﹣1，0），在线段C1D1，C2D2，C3D3中，点A的旋转线段为C1D1，C2D2 ； ②点，若线段CD为点A的旋转线段，直接写出b的取值范围； （2）已知线段CD平行于x轴，中点为（a﹣3，a﹣3），若线段CD为点A的旋转线段，直接写出a的取值范围及d的最大值． 【解答】解：（1）①逆向思维，将⊙B绕A（0，3）顺时针旋转90°得到⊙B′，其中B′（1，0）， 若线段与⊙B'有交点，即为点A的旋转线段， 显然C1D1与C2D2符合题意． 故答案为：C1D1，C2D2； ②如图， 若CD与⊙B'有交点，找到临界位置即可，分别为D在⊙B′上与C在⊙B′上． 当D在⊙B′上时， 则， 解得b＝1或； 当C在⊙B'上时，b＝0或2， ∴或1≤b≤2． （2）∵CD∥x轴，中点为（a﹣3，a﹣3），且CD＝1， ∴，， 当CD绕点A逆时针旋转90°，其中点对应点为（3，2a﹣3）， ∴，， 若C′D′与⊙B有交点，则或， 即或， ∵AC′与AD′横向距离都是3， ∴只需要比较其纵向距离即可判断A'C'与A'D'长度大小． 过点A作AH⊥C′D′，则H（3，a）， 当， 若a＝2a﹣3时，即a＝3， 此时H到C′，D′距离相同， 此时有； 当，此时a＜2a﹣3，此时AC′＜AD′； 当时，有． 综上，或，d的最大值为． 十七．相似三角形的判定与性质（共1小题） 32．（2026•东城区一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，AD的中点，连接EF交AC于点G，延长FE与CB的延长线交于点H，且AE＝AF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠H＝30°，BH＝4，求CG的长． 【解答】（1）证明：∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∵AE＝AF， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵HF∥BD， ∴AC⊥HF， ∴∠CGH＝90°， ∵HF∥BD，DF∥BH， ∴四边形BDFH为平行四边形， ∴DF＝BH＝4， ∴AD＝2DF＝8， ∴BC＝AD＝8， 在Rt△CGH中，∵∠H＝30°，CH＝BH+BC＝12， ∴CGCH＝6． 十八．比的应用（共3小题） 33．（2026•门头沟区一模）屏风是一种传统的中式家具，具有防风、隔断、遮隐、点缀环境和美化空间的作用．折屏是一种能折叠的屏风，又称曲屏．某家具厂为制作一款折屏，画出了单扇折屏的示意图，如图1，已知折屏的上段高、中段高与下段高的比是1：5：4，横楣条的长度是上段高的2倍．屏芯为装饰区，其高AB比中段高短27厘米，宽BC是横楣条的一半，如果屏芯的高AB是宽BC的．求该单扇折屏的总高． 【解答】解：设上段高为xcm，中段高为5xcm，下段高为4xcm， 则横楣条的长度为2xcm，AB＝（5x﹣27）cm，BC＝xcm， 5x﹣27x， 解得：x＝18， （1+5+4）x＝10×18＝180（cm）， 答：该单扇折屏的总高为180cm． 34．（2026•北京二模）毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎．如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高之比为7：3：5，包带长为51cm，宽为3.5cm（包带缝合处忽略不计），该款毛毡包在制作时，要为需缝合走线的边预留0.5cm宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽度不包含在包体的长宽高内．现有一块长比宽多28cm的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2（虚线为缝合时的走线位置），求该毛毡包的长、宽、高分别是多少？ 【解答】解：现有一块长比宽多28cm的长方形毛毡料， 设这款毛毡包的长、宽、高分别是7xcm，3xcm，5xcm， 根据题意，得，3.5×2+0.5×5+7x+5x+7x＝（5x+0.5+51）+28， 解得x＝5． ∴7x＝35，3x＝15，5x＝25． 答：该毛毡包的长、宽、高分别是35cm，15cm，25cm． 35．（2026•朝阳区校级模拟）中国结是中国传统手工编织工艺品，由一根绳线绾结而成，造型对称精致．它承载吉祥寓意，象征团圆、平安与福寿，是中华民俗文化与美好祈愿的象征．如图，有一个中国结挂件，它是由挂绳、主体结体、圆盘、小流苏、细流苏和宽流苏组成．其中挂绳的长度、主体结体的长度与细流苏的长度比是6：4：15，圆盘周长为9πcm，小流苏的长度是细流苏的长度的，宽流苏比小流苏长13cm，宽流苏的长度是圆盘的直径的2倍．求这个挂件的总长． 【解答】解：9π÷π＝9（cm）， 2×9＝18（cm）， 18﹣13＝5（cm）， ， ， ， 3+2+9+18＝32（cm）， 答：这个挂件的总长为32cm． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $