北京市选择题（3-1）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题

**基本信息** 聚焦北京中考数学高频考点，以选择题型系统覆盖函数、几何、概率等26个核心模块，通过名校模拟题实现概念理解与解题技巧的融合训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数综合|8题|含动点与图象、k几何意义等|从坐标特征到综合应用，构建函数与几何转化逻辑| |几何证明|12题|涉及全等、圆、作图等|以基本性质为起点，递进至复杂图形推理| |计算与概率|5题|含根的判别式、概率公式|强化代数运算与统计思想的应用|

【三轮复习】2026年北京市中考数学名校模拟优选好题-选择题（3-1） 一．根的判别式（共1小题） 1．（2026•东城区校级模拟）若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个实数根，则k的值可以是（　　） A． B．1 C．﹣1 D． 二．动点问题的函数图象（共1小题） 2．（2026•北京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是函数图象上的动点，点B在x轴上，OA＝AB，以OA，OB为边的平行四边形AOBC的边BC交该函数的图象于点D，连接AD，OD． 给出下面四个结论：①四边形AOBC可能是菱形；②△AOD的面积始终等于4；③点D可能是BC的中点；④△AOD不可能是直角三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 三．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 3．（2026•石景山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），，四边形ABCD为正方形，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得到正方形AB′C′D′．给出下面四个结论：①当α＝45°时，点C′的纵坐标是10；②点C′与原点距离的最小值是；③若点D′在y轴正半轴上，则点C′的横坐标是6；④若直线y＝x将正方形AB′C′D′分为面积相等的两部分，则点B′的纵坐标是1．上述结论中，所有正确的结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 4．（2026•丰台区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．给出下面四个结论：①AB与AC可能相等；②AC与AD一定不相等；③△AOB与△AOC的面积一定相等；④△BOC与△ABC的面积可能相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 5．（2026•房山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是反比例函数与图象上的动点，AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，点C在y轴的正半轴上，连接AB，若四边形OACB是平行四边形，给出下面四个结论：①；②若A（2，1），OC＝4，则k2＝﹣4；③S▱OACB＝|k1|+|k2|；④当k1+k2＝0时，四边形OACB一定是正方形．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 6．（2026•通州区一模）如图，函数的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连结BM分别交x轴，y轴于点E，F，连结OM．给出下面四个结论：①若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°； ②△OCD可能是等腰直角三角形；③△ODM与△OCA面积相等；④若，则MD＝MA． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③ 7．（2026•朝阳区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+3的图象与函数的图象存在两个交点A，B（A，B）不重合，点A在点B的左侧），与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接OA，OB．给出下面四个结论：①AB一定大于AD；②OA可能等于OB；③△AOB的面积可能小于△BOC的面积；④△AOD的面积一定等于△BOC的面积．上述结论中，所有正确结论的序号为（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 七．反比例函数综合题（共2小题） 8．（2026•平谷区一模）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E．若点M为反比例函数图象在A，B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N．给出下面四个结论： ①；②四边形ADEB的面积为；③当点M的坐标为（2，2）时，线段MN的长度最大； ④当点N的坐标为（3，2）时，线段MN的长度最大．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 9．（2026•西城区校级模拟）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点E、F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE、OF、EF，FD与OE相交于点G．下列结论：①OF＝OE；②∠EOF＝60°；③四边形AEGD与△FOG面积相等；④EF＝CF+AE；⑤若∠EOF＝45°，EF＝4，则直线FE的函数解析式为y＝﹣x+4+2．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 八．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 10．（2026•大兴区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线y＝x2上，四边形ABCD是矩形，连接BD，设A的横坐标为m，给出下面三个结论：①当矩形ABCD为正方形时，m＝2；②抛物线上O，B两点之间的部分与线段AB，OA围成的图形面积小于；③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段CB围成的图形面积为S1，抛物线上O，B两点之间的部分与线段BD，OD围成的图形面积为S2，则S1＝2S2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．（2026•海淀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，n）是抛物线上一点．以点C（0，1）为圆心，CA长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和⊙C在点A，B之间的部分分别记为G1，G2．M，N分别是G1，G2上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论： ①当MN⊥x轴时，MN长的最大值为；②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形ABMO的面积等于△ABQ的面积；③△AMN可能是等边三角形；④以为中点的线段MN恰有两条．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 九．抛物线与x轴的交点（共1小题） 12．（2026•西城区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 … y … 0 ﹣1.5 ﹣2 0 … 根据表格中的信息，得到了如下的结论： ①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式； ②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下； ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2； ④若y＞0，则x＞3； 其中所有正确的结论为（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 十．全等三角形的判定（共1小题） 13．（2026•西城区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别为x轴，y轴正半轴上的定点，四边形OACB为矩形，函数的图象与边AC交于点D，与边BC交于点E，直线DE与x轴交于点F，与y轴交于点G，连接OD，OE． 给出下面四个结论：①△OED一定为锐角三角形；②△EBG≌△FAD；③当△EGB的面积为2时，k的值可能是4；④△OEB与△OED的面积可能相等．上述结论中，所有正确选项的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 十一．全等三角形的判定与性质（共1小题） 14．（2026•门头沟区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B，C是x轴上方的两个动点，四边形OABC是菱形，函数的图象与对角线OB交于点P（点P，B不重合），过点P作PD⊥x轴于点D，连接AP，CP．给出下面四个结论：①△OPD的面积一定为2；②△OAP和△BCP的面积一定不相等；③△ABP一定为锐角三角形；④△ABP可能为等腰三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 十二．角平分线的性质（共1小题） 15．（2026•顺义区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，E是AD上一动点（不与A，D重合），EF⊥AC于点F．设CE＝a，EF＝b，BC＝c．给出下面三个结论：①a﹣b＞0； ②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 十三．线段垂直平分线的性质（共1小题） 16．（2026•朝阳区校级模拟）如图，在△ABC中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，直线MN交AC于点E，连接BE，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点F，连接AF并延长，交BC于点G，若∠ABE＝86°，则∠AGB的大小是（　　） A．43° B．45° C．47° D．48° 十四．多边形内角与外角 十五．正方形的性质（共2小题） 17．（2026•东城区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为4．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（2026•门头沟区二模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E，F分别是BC，CD边的中点，作点E关于CD的对称点G，连接DE，AF，CG，DG，AF交BD于点P，延长AF交DG于点Q． 给出下面四个结论：①AF＝DG；②AF⊥DE；③BG＝2BP；④AP＝DQ．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 十六．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 19．（2026•昌平区一模）如图，点A为射线OM上一点，将射线OM绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到射线ON，以O为圆心，OA长为半径画圆，交射线ON于点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交⊙O于点C（A，C不重合），连接AC交OB于点D，连接OC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（　　） A．AC⊥OB B．AD＝CD C．∠AOB＝∠BOC D．OD＞BD 十七．圆周角定理（共1小题） 20．（2026•朝阳区一模）如图，O是∠BAC内部一点．若以O为圆心，OA长为半径画弧，分别与射线AB，AC交于点M，N（点M，N均不与点A重合），连接OM，ON，若∠BAC＝40°，则∠MON的大小为（　　） A．100° B．80° C．50° D．40° 十八．切线的性质 十九．正多边形和圆（共2小题） 21．（2026•海淀区校级模拟）如图，将△A1B1O绕点O顺时针旋转α，再将得到的△A2B2O绕点O顺时针旋转α，…依次旋转下去，最终将△A5B5O绕点O顺时针旋转α，得到△A1B1O．若点Bi+1在线段AiBi上（i＝1，2，3，4），点B1在线段A5B5上，且OB1＝1，则下列结论中正确的是（　　） ①α＝72°；②若A2、O、B1三点共线，则∠A1＝18°；③五边形B1B2B3B4B5是正五边形；④点O到直线B1B2的距离为cos54°． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 22．（2026•昌平区一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′．顺次连接AB′，A′D，CD′，C′B．对八边形AB′A′DCD′C′B给出下面四个结论：①该八边形各边都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各边所在直线的距离都相等；④该八边形为正八边形时，矩形ABCD的长宽比为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二十．作图—基本作图（共7小题） 23．（2026•门头沟区二模）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝6，以点C为圆心，AC长为半径画弧交AC的延长线于点D，分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，连接PQ交BC于点E，连接DE，则△CDE的周长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 24．（2026•通州区一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝40°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ交AC于点D，连结BD并延长交⊙O于点E，连结OA、OE，则∠AOE的度数是（　　） A．40° B．60° C．80° D．90° 25．（2026•东城区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，连接AE；②分别以点B，E为圆心，大于BE长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线AF，交BC于点G．若AB＝10，AD＝6，则BG的长为（　　） A． B． C．2 D． 26．（2026•门头沟区一模）如图，直线m∥n，直线l分别交直线m，n于点A，B，∠1＝62°．如果以点A为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直线m上方交于点D，画直线AD交直线n于点E，那么∠AEB的大小为（　　） A．28° B．31° C．38° D．62° 27．（2026•海淀区校级模拟）已知锐角∠AOB．如图， （1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①∠COM＝∠COD；②MN∥CD；③MN＜3CD；④若∠OCD＝2∠MOB，则OM＝MN．所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 28．（2026•房山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝35°，分别以点A，B为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN与BC交于点D，连接AD，则∠CAD的大小为（　　） A．70° B．55° C．20° D．15° 29．（2026•平谷区一模）如图，△ABC中，∠ABC＝56°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，若分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点M，作射线BM，再以点A为圆心，AB长为半径画弧交射线BM于点D，则∠BAD的度数为（　　） A．152° B．114° C．124° D．134° 二十一．轴对称-最短路线问题（共1小题） 30．（2026•东城区一模）如图，等边三角形ABC的三个顶点都在边长为1的正方形的边上．对于这样的等边三角形，给出以下结论：①等边三角形有无数个；②等边三角形的周长的最小值为3；③等边三角形的面积的最大值为．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二十二．相似三角形的判定（共1小题） 31．（2026•北京一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴正半轴上，点B坐标为（2m，m）．点M是边BC上的动点（不与B，C重合），函数的图象经过点M且与边AB交于点N，给出下面四个结论：①△BOM与△BON的面积一定相等； ②若点M是边BC的中点，则点N一定为AB的中点；③在点M的运动过程中，是一个定值； ④△OCM∽△OAN．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二十三．相似三角形的判定与性质（共2小题） 32．（2026•海淀区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上任意一点（不与A，B重合），CD⊥AB于点D．以CD为直径作圆，分别交AC，BC于点E，F（点E，F均不与C重合），连接EF，给出下面三个结论：①AC•CE＝CF•BC；②当C为弧AB的中点时，△CEF的面积最大；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 33．（2026•朝阳区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K，则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二十四．射影定理 二十五．解直角三角形的应用（共1小题） 34．（2026•东城区一模）人字梯为家庭常用工具．如图，若AB，AC的长都为2m，当α＝53°时，人字梯顶端A离地面BC的高度是（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）（　　） A．1.0m B．1.2m C．1.6m D．1.8m 二十六．概率公式（共1小题） 35．（2026•章丘区模拟）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（　　） A． B． C． D． 【三轮复习】2026年北京市中考数学名校模拟优选好题-选择题（3-1） 参考答案与试题解析 一．根的判别式（共1小题） 1．（2026•东城区校级模拟）若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个实数根，则k的值可以是（　　） A． B．1 C．﹣1 D． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个实数根， ∴， ∴， ∴对照四个选项，k的值可以是，其余不合题意． 故选：D． 二．动点问题的函数图象（共1小题） 2．（2026•北京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是函数图象上的动点，点B在x轴上，OA＝AB，以OA，OB为边的平行四边形AOBC的边BC交该函数的图象于点D，连接AD，OD． 给出下面四个结论： ①四边形AOBC可能是菱形； ②△AOD的面积始终等于4； ③点D可能是BC的中点； ④△AOD不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【解答】解：①∵△AOB是等腰三角形，OA＝AB， ∵点A是函数图象上的动点， ∴∠AOB可能等于60°，当∠AOB＝60°时，△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB， ∴平行四边形AOBC是菱形，故①正确； ②∵四边形AOBC是平行四边形， ∴OA∥BC， ∴S△AOD＝S△AOB； 如图，过点A作AE⊥x轴于点E， ∵OA＝AB， ∴OE＝BE， ∴S△AOB＝2S△AOE， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∴S△AOD＝S△AOB＝2S△AOE＝4，故②正确； ③如图，假设点D是BC的中点，则， 过点D作DF⊥x轴于点F， ∵四边形AOBC是平行四边形， ∴OA∥BC，OA＝BC， ∴∠AOE＝∠DBF，， ∵AE⊥x轴，DF⊥x轴， ∴∠AEO＝∠DFB＝90°， ∴△AEO∽△DFB， ∴， 设点A的坐标为， ∴OE＝a，， ∴BE＝OE＝a，，， ∴， ∴点D的坐标为，将点D的横坐标代入中，得， ∵， ∴点D不在函数的图象上， ∴点D不可能是BC的中点，故③错误； ④在△AOD中，∠AOD不可能为直角，在点A运动的过程中，∠OAD可能为直角， 如图， 当OA在直线y＝x下方时，∠OAD为钝角， 如图， 当OD在直线y＝x上方时，∠ADO为钝角，则∠OAD是锐角， ∴∠OAD可能为直角，即△AOD可能为直角三角形， 故④错误． 故选：A． 三．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 3．（2026•石景山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），，四边形ABCD为正方形，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得到正方形AB′C′D′．给出下面四个结论： ①当α＝45°时，点C′的纵坐标是10； ②点C′与原点距离的最小值是； ③若点D′在y轴正半轴上，则点C′的横坐标是6； ④若直线y＝x将正方形AB′C′D′分为面积相等的两部分，则点B′的纵坐标是1． 上述结论中，所有正确的结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：由题意，∵A（1，0），， ∴正方形边长，对角线AC＝10， ∴旋转后AC'＝AC＝10，旋转后所有点C'在以A为圆心，半径为10的圆上． ①当α＝45°时，旋转后AC'与x轴夹角为45°+45°＝90°，即AC'沿y轴正方向，C'坐标为（1，10），纵坐标为10，故①正确； ②：原点O到圆心A的距离OA＝1，圆上点到原点的最小距离为r﹣OA＝10﹣1＝9，而，故②错误； ③：点D′在y轴正半轴，，可求得D′（0，7）， ∴C'横坐标为7，不是6，故③错误． ④过中心对称图形对称中心的直线平分图形面积， ∴直线y＝x必过正方形AB'C'D'的中心（对角线交点）． 设旋转角为α，计算正方形中心坐标，代入y＝x整理后， ∴B'的纵坐标为1，故④正确． 综上，正确结论为①④． 故选：B． 四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 4．（2026•丰台区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．给出下面四个结论： ①AB与AC可能相等； ②AC与AD一定不相等； ③△AOB与△AOC的面积一定相等； ④△BOC与△ABC的面积可能相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：由题意，∵反比例函数y的图象关于y＝x对称，且点A是反比例函数的图象上的动点， ∴当A在y＝x上时，AB＝AC，故①正确，可排除C、D选项， 对于③如图，分别延长AB、AC交y轴于E，交x轴于F，作BG⊥x轴于G， ∴由反比例函数的几何意义，S△AOB＝S△AOE﹣S△BOE，S△AOC＝S△AOF﹣S△COF， ∵S△AOE＝S△AOF＝2，S△BOE＝S△COF＝1， ∴S△AOB＝S△AOC＝1，故③正确， 综上，正确的是①③． 故选：A． 五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 5．（2026•房山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是反比例函数与图象上的动点，AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，点C在y轴的正半轴上，连接AB，若四边形OACB是平行四边形，给出下面四个结论： ①； ②若A（2，1），OC＝4，则k2＝﹣4； ③S▱OACB＝|k1|+|k2|； ④当k1+k2＝0时，四边形OACB一定是正方形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【解答】解：①∵四边形OACB是平行四边形，OC中点在y轴上， ∴xB+xA＝0． 设， 则， ∴，故①正确； ②由题意，设OC的中点为H， ∵OC＝4， ∴OC的中点H（0，2）， ∵A（2，1）， ∴B（﹣2，3）， ∴k2＝﹣2×3＝﹣6，故②错误； ③S四边形OACB＝2S△OBA＝2（S△OBH+S△OAH）＝22m＝k1﹣k2＝|k1|+|k2|，故③正确； ④由题意，∵k1+k2＝0， ∴yA＝yB． 又可得，△OEB≌△ODA， ∴∠BOE＝∠AOD，但不一定是45°． ∴四边形OACB不一定是正方形，故④错误． 综上所述，正确结论为①③， 故选：A． 六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 6．（2026•通州区一模）如图，函数的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连结BM分别交x轴，y轴于点E，F，连结OM．给出下面四个结论： ①若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°； ②△OCD可能是等腰直角三角形； ③△ODM与△OCA面积相等； ④若，则MD＝MA． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③ 【解答】解：①设点，， 设直线AC的解析式为 y＝kx+b， 则， 解得：，， 则直线AC的解析式为， 令x＝0，则， 令y＝0，则， 解得：x＝m+n， ∴C（m+n，0），， ∴，， ∴△ODM与△OCA的面积相等，故③正确； 当△OCD是等腰直角三角形时，OC＝OD， 即， ∴k＝mn， 该式可以成立（如k＝2，m＝1，n＝2，此时OC＝OD＝3），故△OCD可以是等腰直角三角形，②正确． ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称， ∴O是AB的中点， ∵BM⊥AM， ∴OM＝OA， ∴， ∴k＝mn， ∴A（m，n），M（n，m）， ∴，， ∴AM不一定等于OM，即△AMO不一定是等边三角形， ∴∠BAM不一定是60°， ∴∠MBA不一定是30°，故①错误； 如图，作MK∥OD交OA于K， ∵OF∥MK， ∴， ∴， ∵OA＝OB， ∴， ∴， ∵KM∥OD， ∴， ∴MD＝MA，故④正确． 综上，正确的结论是②③④， 故选：B． 7．（2026•朝阳区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+3的图象与函数的图象存在两个交点A，B（A，B）不重合，点A在点B的左侧），与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接OA，OB．给出下面四个结论： ①AB一定大于AD； ②OA可能等于OB； ③△AOB的面积可能小于△BOC的面积； ④△AOD的面积一定等于△BOC的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：由ax+3得， ax2+3x﹣2＝0． 因为两个函数图象有两个交点， 所以9﹣4×a×（﹣2）＞0， 解得a． 又因为a＜0， 所以． 设点A（x1，y1），点B（x2，y2）， 则，． 一次函数y＝ax+3与x轴交于点C（），与y轴交于点D（0，3）． 因为AD2， AB2（x2﹣x1）2（a2+1）， 当a＝﹣1时，方程为﹣x2+3x﹣2＝0， 此时x1＝1，x2＝2， 则AD2＝AB2， 所以AD＝AB． 故①错误； 若OA＝OB， 则， 即， 整理得，． 因为x1≠x2， 所以， 则x1x2＝2（舍负）， 所以， 解得a＝﹣1， 所以当a＝﹣1时，OA＝OB， 即OA可能等于OB． 故②正确； 因为， ， 则由得， ， 因为， 所以x2﹣x1＜﹣x2+x1+x2， 则x2＜2x1， 所以当x2＜2x1时，△AOB的面积小于△BOC的面积， 即△AOB的面积可能小于△BOC的面积． 故③正确； 由上述过程可知， ，． 因为， 所以， 所以S△AOD＝S△BOC． 故④正确． 故选：D． 七．反比例函数综合题（共2小题） 8．（2026•平谷区一模）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E．若点M为反比例函数图象在A，B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N．给出下面四个结论： ①； ②四边形ADEB的面积为； ③当点M的坐标为（2，2）时，线段MN的长度最大； ④当点N的坐标为（3，2）时，线段MN的长度最大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：①在y＝﹣x+5中，当x＝0时，y＝5， ∴C（0，5）， ∴OC＝5， 解得或， ∴A（1，4），B（4，1）， ∵AD⊥y轴，BE⊥y轴， ∴OE＝1，OD＝4， ∴CE＝5﹣1＝4，CD＝5﹣4＝1， ∴；故①正确； ②∵AD＝1，BE＝4，DE＝4﹣1＝3， ∴四边形ADEB的面积为（1+4）×3，故②错误； ③）∵点A与点B关于直线y＝x对称，反比例函数y关于y＝x对称， ∴当OM的解析式为y＝x时，MN的长度最大， 解方程组得或， ∴此时M点的坐标为（2，2）， ∴当点M的坐标为（2，2）时，线段MN的长度最大；故③正确； ④当OM的解析式为y＝x时，MN的长度最大， 解方程组得， ∴此时N点的坐标为（，）， ∴当N点的坐标为（，），时，线段MN的长度最大；故④错误， 故选：A． 9．（2026•西城区校级模拟）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点E、F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE、OF、EF，FD与OE相交于点G．下列结论：①OF＝OE；②∠EOF＝60°；③四边形AEGD与△FOG面积相等；④EF＝CF+AE；⑤若∠EOF＝45°，EF＝4，则直线FE的函数解析式为y＝﹣x+4+2．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：①S△OCF＝S△AOEk， 而OC＝OA，故CF＝AE， 又∠OCF＝∠OAE＝90°， ∴△OCF≌△OAE（SAS）， ∴OF＝OE； 故①正确，符合题意； ②由①知，OF＝OE，而EF不一定和OE或OF相等， 即△EFO不一定是等边三角形，故∠EFO不一定等于60°， 故②不一定正确，不符合题意； ③四边形AEGD的面积＝S△AEO﹣S△ODGk﹣S△ODG， △FOG面积＝S△ODF﹣S△ODGk﹣S△ODG， 故四边形AEGD与△FOG面积相等，故③正确，符合题意； ④将△OAE绕点O旋转到OCE′时，即CE′＝AE， 若∠EOF＝45°，则∠EOA+∠FOC＝45°， 故∠FOE′＝∠E′OC+∠FOC＝45°＝∠EOF， 而OE＝OE′，FO＝FO， ∴△FOE′≌△FOE（SAS）， ∴EF＝E′F＝CF+CE′＝AE+CF， 即当∠EOF＝45°时，才有EF＝CF+AE成立， 故④错误，不符合题意； ⑤若∠EOF＝45°，由④得EF＝CF+AE，由①知CF＝AEEF＝2， 则BF＝BE，故△BEF为等腰直角三角形， 则BE＝BFEF＝2， 则OA＝AB＝AE+BE＝2+2， 故点E的坐标为（2+2，2）， ∵△BEF为等腰直角三角形，故∠BFE＝45°，故设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b， 将点E的坐标代入上式并解得：b＝4+2， 故直线FE的函数解析式为y＝﹣x+4+2，故⑤正确，符合题意， 故正确的为①③⑤， 故选：B． 八．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 10．（2026•大兴区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线y＝x2上，四边形ABCD是矩形，连接BD，设A的横坐标为m，给出下面三个结论： ①当矩形ABCD为正方形时，m＝2； ②抛物线上O，B两点之间的部分与线段AB，OA围成的图形面积小于； ③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段CB围成的图形面积为S1，抛物线上O，B两点之间的部分与线段BD，OD围成的图形面积为S2，则S1＝2S2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：由题意，A（m，0），B（m，m2）， ∵BC∥x轴， ∴B，C关于y轴对称， ∴C（﹣m，m2）， ∴AB＝m2，BC＝2m， 当AB＝BC时，即m2＝2m时，矩形ABCD为正方形， 解得m＝0（舍去）或m＝2；故①正确； 连接OB，则， 观察可知O，B两点之间的部分与线段AB，OA围成的图形在△AOB的内部， 故抛物线上O，B两点之间的部分与线段AB，OA围成的图形面积小于，故②正确； 连接OC，由对称性可知O，C两点之间的部分与线段OC组成的图形面积和O，B两点之间的部分与线段OB组成的图形面积相等， ，， ∵S1等于O，C两点之间的部分与线段OC组成的图形面积和O，B两点之间的部分与线段OB组成的图形面积以及△BOC的面积之和，S2等于O，B两点之间的部分与线段OB组成的图形面积与△BOD的面积之和， ∴S1＝2S2，故③正确； 故选：D． 11．（2026•海淀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，n）是抛物线上一点．以点C（0，1）为圆心，CA长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和⊙C在点A，B之间的部分分别记为G1，G2．M，N分别是G1，G2上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论： ①当MN⊥x轴时，MN长的最大值为； ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形ABMO的面积等于△ABQ的面积； ③△AMN可能是等边三角形； ④以为中点的线段MN恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：①由题意，当MN与y轴重合时，MN的长取得最大值，最大值为，故①正确，排除选项C和D； ②如图，对于x轴上的任意一点Q，由于AB∥x轴，可得△ABQ的面积等于△ABO的面积， ∵点M在抛物线上，如图所示，抛物线在第一象限曲线上的任意一点M，都可以画出△OBM， ∴四边形ABMO的面积大于△ABQ的面积，故结论②错误； ③如图所示， ， 可以尝试改变AM的长度和位置，寻找合适的位置，可以使得△AMN是等边三角形，故③正确； ④如图所示， 以点为圆心，TO和TA为半径分别画圆，不存在以点T为中点的弦MN，故④错误． 综上可得，正确的是①③． 故选：A． 九．抛物线与x轴的交点（共1小题） 12．（2026•西城区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 … y … 0 ﹣1.5 ﹣2 0 … 根据表格中的信息，得到了如下的结论： ①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式； ②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下； ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2； ④若y＞0，则x＞3； 其中所有正确的结论为（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【解答】解：∵x＝﹣1和x＝3时的函数值相同，都是1， ∴抛物线的对称轴为直线， 当x＝1时，y＝﹣2， ∴抛物线的顶点为（1，﹣2）， ∴y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式， 所以①正确； ∵由表格可知x＝1时函数的值最小， ∴抛物线的开口向上， 故②错误； ∵x＝0与x＝2关于对称轴对称， ∴x＝0时，y＝﹣1.5，x＝2时，y＝﹣1.5， ∴ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2， 故③正确； ∵抛物线的开口向上，x＝﹣1和x＝3时，y＝0， ∴若y＞0，则x＞3或x＜﹣1， 故④错误； 故选：D． 十．全等三角形的判定（共1小题） 13．（2026•西城区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别为x轴，y轴正半轴上的定点，四边形OACB为矩形，函数的图象与边AC交于点D，与边BC交于点E，直线DE与x轴交于点F，与y轴交于点G，连接OD，OE． 给出下面四个结论： ①△OED一定为锐角三角形； ②△EBG≌△FAD； ③当△EGB的面积为2时，k的值可能是4； ④△OEB与△OED的面积可能相等． 上述结论中，所有正确选项的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：当BE＞OB，EC＞CD时，∠OEB＜45°，∠CED＜45°， ∴∠OED＝180°﹣∠OEB﹣∠CED＞90°， ∴△OED有可能是钝角三角形， 故①中结论错误； 设点C的坐标为（a，b）， 则OA＝a，OB＝b， ∴0＜k＜ab， 当y＝b时，可得， ∴点E的坐标为， 当x＝a时，可得， ∴点D的坐标为， 设直线ED的解析式为y＝mx+n（m≠0）， 可得：， 解得：， ∴直线ED的解析式为， 当y＝0时，可得：， 解得：， ∴点F的坐标为， ∴，， ∴BE＝AF， ∵四边形OACB是矩形， ∴∠GBE＝∠DAF＝90°，BC∥OF， ∴∠GEB＝∠DFA， 在△GBE和△DAF中， ， ∴△EBG≌△FAD（ASA）， 故②中结论正确； 由②可知直线ED的解析式为， 当x＝0时，可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴k2＝4ab， ∵k＜ab， ∴， 故③中结论错误； ∵点E的坐标是，点D的坐标是，点C的坐标是（a，b）， ∴，，，， ∴， S△OED＝S梯形OECA﹣S△AOD﹣S△ECD ， 若△OEB与△OED的面积相等， 则有， 整理得：k2+abk﹣a2b2＝0， ∵Δ＝（ab）2﹣4×（﹣a2b2）＝5a2b2＞0， ∴方程一定有解， ∴△OEB与△OED的面积可能相等， 故④的结论正确； ∴结论正确的有②④， 故选：D． 十一．全等三角形的判定与性质（共1小题） 14．（2026•门头沟区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B，C是x轴上方的两个动点，四边形OABC是菱形，函数的图象与对角线OB交于点P（点P，B不重合），过点P作PD⊥x轴于点D，连接AP，CP．给出下面四个结论： ①△OPD的面积一定为2； ②△OAP和△BCP的面积一定不相等； ③△ABP一定为锐角三角形； ④△ABP可能为等腰三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：设点P的坐标为（xP，yP）， ∴OD＝xP，PD＝yP， ∵点P在函数的图象上， ∴xP•yP＝4， ∴，故①正确； ∵四边形OABC是菱形， ∴AB＝BC、∠ABP＝∠CBP， 在△ABP和△CBP中， ， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴S△ABP＝S△BCP，故②错误； 举反例，当点P位于OB的中点时， ∵四边形OABC是菱形， ∴AP⊥OB，即∠APB＝90°， ∴此时△ABP为直角三角形，故③错误； 当点P运动到使得PA＝AB或PA＝PB或AB＝PB的位置时，△ABP为等腰三角形， 由于点P是动点，则△ABP 可能为等腰三角形，故④正确； 综上所述，正确的有①④． 故选：B． 十二．角平分线的性质（共1小题） 15．（2026•顺义区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，E是AD上一动点（不与A，D重合），EF⊥AC于点F．设CE＝a，EF＝b，BC＝c．给出下面三个结论： ①a﹣b＞0； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：∵EF⊥AC， ∴∠EFC＝90°，∴CE＞EF， ∴a﹣b＞0，所以①正确； 在Rt△CEF中，CF， ∵AC＝BC， ∴AC＝c， ∵AF＞EF， ∴c﹣CF＞b， ∴c﹣b，所以②错误； 过E点作EH⊥AB于H点，CM⊥AB于M点，如图， ∵AD平分∠BAC， ∴EH＝EF， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴CMABcc， ∵CE+EH≥CM， ∴a+bc， ∴（a+b）≥c，所以③正确． 故选：B． 十三．线段垂直平分线的性质（共1小题） 16．（2026•朝阳区校级模拟）如图，在△ABC中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，直线MN交AC于点E，连接BE，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点F，连接AF并延长，交BC于点G，若∠ABE＝86°，则∠AGB的大小是（　　） A．43° B．45° C．47° D．48° 【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线， ∴EB＝EC， ∴∠EBC＝∠C， 由作图过程可知，AG是∠BAC的平分线， ∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ABE＝86°， ∴∠ABC＝86°+∠C（角平分线的性质）∠CAG＝∠BAG∠BAC， ∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ABE＝86°， ∴∠ABC＝86°+∠C， 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠BAC+86°+∠C+∠C＝180°， ∴∠BAC+2∠C＝94°， ∴， ∵∠AGB是△ACG的外角， ∴， 则∠AGB的大小是47°， 故选：C． 十四．多边形内角与外角 十五．正方形的性质（共2小题） 17．（2026•东城区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为4．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝6，∠ADC＝90°， ∴AC． ∴DEAC＝3． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为3， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 18．（2026•门头沟区二模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E，F分别是BC，CD边的中点，作点E关于CD的对称点G，连接DE，AF，CG，DG，AF交BD于点P，延长AF交DG于点Q． 给出下面四个结论： ①AF＝DG； ②AF⊥DE； ③BG＝2BP； ④AP＝DQ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADF＝∠DCE＝90°，AD＝CD＝BC， ∵E，F分别是BC，CD边的中点， ∴DF＝CE， ∴△ADF≌△DCE（SSS）， ∴AF＝DE， ∵点E，G关于CD对称， ∴DE＝DG， ∴AF＝DG，故①正确； ②如图，记AF交DE于点H， 由①知△ADF≌△DCE， ∴∠AFD＝∠DEC， ∵∠CDE+∠DEC＝180°﹣∠DCE＝90°， ∴∠AFD+∠CDE＝90°， ∴∠DHF＝90°， ∴AF⊥DE，故②正确； ③∵四边形ABCD是正方形， ∴DF∥AB， ∴∠DFP＝∠BAP，∠FDP＝∠ABP， ∴△DPF∽△BPA， ∴， ∴， ∵BD是正方形的对角线， ∴， ∴， ∵E，G关于CD对称， ∴CE＝CG，∠DCE＝∠DCG＝90°， ∴E，C，G三点共线， ∵E是BC的中点， ∴BE＝EC＝CG， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④如图，连接CP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADP＝∠CDP，AD＝CD， 又∵DP＝DP， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴AP＝CP，∠DAP＝∠DCP， 由①知△ADF≌△DCE， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵点E，G关于CD对称， ∴∠CDE＝∠CDG， ∴∠CDG＝∠DAF＝∠DCP， 又∵∠DFQ＝∠CFP，DF＝CF， ∴△DFQ≌△CFP（ASA）， ∴DQ＝PC， ∴DQ＝AP，故④正确， 故选：C． 十六．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 19．（2026•昌平区一模）如图，点A为射线OM上一点，将射线OM绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到射线ON，以O为圆心，OA长为半径画圆，交射线ON于点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交⊙O于点C（A，C不重合），连接AC交OB于点D，连接OC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（　　） A．AC⊥OB B．AD＝CD C．∠AOB＝∠BOC D．OD＞BD 【解答】解：由题意可知，OA＝OC，BC＝BA， ∴OB是AC的垂直平分线， ∴OB⊥AC，AD＝CD， 因此选项A不符合题意，选项B不符合题意； ∵OA＝OC，OD⊥AC， ∴∠AOB＝∠BOC， 因此选项C不符合题意； 当α为钝角时，如图， 此时OD＜BD， 因此选项D符合题意， 故选：D． 十七．圆周角定理（共1小题） 20．（2026•朝阳区一模）如图，O是∠BAC内部一点．若以O为圆心，OA长为半径画弧，分别与射线AB，AC交于点M，N（点M，N均不与点A重合），连接OM，ON，若∠BAC＝40°，则∠MON的大小为（　　） A．100° B．80° C．50° D．40° 【解答】解：如图，∵∠BAC＝40°， ∴∠MON＝2∠BAC＝80°． 故选：B． 十八．切线的性质 十九．正多边形和圆（共2小题） 21．（2026•海淀区校级模拟）如图，将△A1B1O绕点O顺时针旋转α，再将得到的△A2B2O绕点O顺时针旋转α，…依次旋转下去，最终将△A5B5O绕点O顺时针旋转α，得到△A1B1O．若点Bi+1在线段AiBi上（i＝1，2，3，4），点B1在线段A5B5上，且OB1＝1，则下列结论中正确的是（　　） ①α＝72°； ②若A2、O、B1三点共线，则∠A1＝18°； ③五边形B1B2B3B4B5是正五边形； ④点O到直线B1B2的距离为cos54°． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【解答】解：①α＝360°÷5＝72°，故①正确； ②由旋转的性质得，∠A2OA1＝72°， ∵A、O、B三点共线， ∴∠A1OB1＝180°﹣72°＝108°， ∴∠A1＝180°﹣108°﹣54°＝18°，故②正确； ③∵OB1＝OB2＝OB3，∠B1OB2＝∠B2OB3＝72°， ∴△B1OB2≌△B2OB3， ∴B1B2＝B2B3； 同理可证，B1B2＝B2B3＝B3B4＝B4B5＝B5B1， ∵∠OB2B1＝∠OB2B3＝54°， ∴∠B1B2B3＝54°+54°＝108°， 同理可证，∠B1B2B3＝∠B2B3B4＝∠B3B4B＝∠B1B3B1＝∠B3BB2＝108°， ∴五边形B1B2B3B4B5是正五边形，故③正确． ④由旋转的性质得OB1＝OB2＝OB3＝OB4＝OB5＝1， ∴∠OB1B2＝∠OB2B1＝∠OB2B3＝∠OB3B254°， 作OH⊥B1B2于点H， ∴OH＝sin54°×1＝sin54°，故④不正确； 故选：A． 22．（2026•昌平区一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′．顺次连接AB′，A′D，CD′，C′B．对八边形AB′A′DCD′C′B给出下面四个结论： ①该八边形各边都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各边所在直线的距离都相等； ④该八边形为正八边形时，矩形ABCD的长宽比为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：结论①：由题意可知八边形的边长受矩形ABCD长、宽关系的影响， 如图1所示，显然八边形的各边并不相等，故结论①错误； 结论②：如图1，由条件易知四边形FGHI是正方形，进而可证△AFB'，△BGC′，△CHD'，△DIA'为4个全等的等腰直角三角形，由此可知八边形的各个内角均为135°，故结论②正确； 结论③：如图2，连接OB'，过点O分别作OJ⊥AB'，OK⊥AB， 由条件易知△OAB'，△OAB均为等腰三角形，且， 在Rt△AJO和Rt△AKO中，OK2＝OA2﹣AK2，OJ2＝OA2﹣AJ2， 由结论①易知AK和AJ不一定相等，因此OK和OJ也不一定相等，故结论③错误； 结论④：如图3，结合结论②， 设AF＝B'F＝ID＝x，则， 当八边形为正八边形时，则， 所以， 所以矩形ABCD的长宽比为，所以结论④正确． 综上，所有正确结论的序号是②④． 故选：D． 二十．作图—基本作图（共7小题） 23．（2026•门头沟区二模）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝6，以点C为圆心，AC长为半径画弧交AC的延长线于点D，分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，连接PQ交BC于点E，连接DE，则△CDE的周长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【解答】解：如图，连接BD， 由作图可知CD＝AC＝2，PQ是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∴△CDE的周长为CD+DE+CE＝CD+BE+CE＝CD+BC＝2+6＝8， 故选：A． 24．（2026•通州区一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝40°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ交AC于点D，连结BD并延长交⊙O于点E，连结OA、OE，则∠AOE的度数是（　　） A．40° B．60° C．80° D．90° 【解答】解：由作图过程可知，直线PQ为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠BAD＝40°， ∴∠AOE＝2∠ABD＝80°． 故选：C． 25．（2026•东城区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，连接AE；②分别以点B，E为圆心，大于BE长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线AF，交BC于点G．若AB＝10，AD＝6，则BG的长为（　　） A． B． C．2 D． 【解答】解：如图，连接AE，EG． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠C＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6， ∵AD＝6，AB＝AE＝10， ∴DE8， ∴EC＝CD﹣DE＝10﹣8＝2， ∵∠GAE＝∠GAB，AB＝AE，AG＝AG， ∴△GAE≌△GAB（SAS）， ∴GB＝GE， 设GB＝GE＝x，则有x2＝22+（6﹣x）2， 解得x， ∴BG． 故选：B． 26．（2026•门头沟区一模）如图，直线m∥n，直线l分别交直线m，n于点A，B，∠1＝62°．如果以点A为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直线m上方交于点D，画直线AD交直线n于点E，那么∠AEB的大小为（　　） A．28° B．31° C．38° D．62° 【解答】解：根据作图步骤： 以A为圆心、AB为半径画弧交直线l得C，得AC＝AB，即A是线段BC的中点； 再分别以B、C为圆心画弧得交点D，直线AD是线段BC的垂直平分线， ∴AD⊥l（BC在直线l上），即∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝∠1＝62°， 在△ABE中，内角和为180°， ∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝180°﹣90°﹣62°＝28°． 故选：A． 27．（2026•海淀区校级模拟）已知锐角∠AOB．如图， （1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： ①∠COM＝∠COD； ②MN∥CD； ③MN＜3CD； ④若∠OCD＝2∠MOB，则OM＝MN． 所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【解答】解：由作图可知， ∴∠COM＝∠COD，故①正确； 连接DM，则∠CDM＝∠DMN， ∴MN∥CD，故②正确， ∵， ∴CM＝DC＝DN， ∵CM+CD+DN＞MN， ∴MN＜3CD，故③正确； 连接ON． ∵∠OCD＝2∠MOB，∠COD＝∠COM， ∴∠OCD＝4∠OCD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝4∠COD， ∵∠COD+∠OCD+∠ODC＝180°， ∴9∠COD＝180°， ∴∠COD＝20°， ∵∠COD＝∠COM＝∠DON， ∴∠MON＝60°， ∵OM＝ON， ∴△OMN是等边三角形， ∴OM＝MN．故④正确， 故选：D． 28．（2026•房山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝35°，分别以点A，B为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN与BC交于点D，连接AD，则∠CAD的大小为（　　） A．70° B．55° C．20° D．15° 【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD＝35°， ∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝20°． 故选：C． 29．（2026•平谷区一模）如图，△ABC中，∠ABC＝56°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，若分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点M，作射线BM，再以点A为圆心，AB长为半径画弧交射线BM于点D，则∠BAD的度数为（　　） A．152° B．114° C．124° D．134° 【解答】解：由作图可得，BD平分∠ABC，AD＝AB， ∴， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝124°， 故选：C． 二十一．轴对称-最短路线问题（共1小题） 30．（2026•东城区一模）如图，等边三角形ABC的三个顶点都在边长为1的正方形的边上．对于这样的等边三角形，给出以下结论： ①等边三角形有无数个； ②等边三角形的周长的最小值为3； ③等边三角形的面积的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：如图所示，连接正方形对角交于点O，以点O为圆心，以OD为半径画圆，则点D，E，F，G在圆O上，连接OA，OB，OC，并延长，交圆O于点M，N，P， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴MN＝MP＝NP，即△MNP是等边三角形， ∴当点M，N，P在圆上运动时，对应的△ABC在正方形内部运动， ∴等边三角形有无数个，故①正确； 如图所示，过点A作AM⊥DG，则∠D＝∠E＝∠AMD＝90°， ∴四边形AMDE是矩形， ∴AM＝DE＝1， ∵AB≥AM，且等边三角形的周长C△ABC＝3AB， ∴AB最小值为1， ∴等边三角形的周长的最小值为3，故②正确； 如图所示，过点A作AN⊥BC，， ∴， ∴， 当AB最大时，等边三角形的面积最大， 如图所示，当三角形一个顶点与正方形的一个顶点重合时， ∴， 又∵AD＝AF，AB＝AC， ∴△ADB≌△AFC（SAS）， ∴BD＝CF， 设BD＝CF＝x（0＜x＜1），则BG＝CG＝1﹣x， 在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2＝1+x2， 在Rt△BCG中，BC2＝2BG2＝2×（1﹣x）2＝2x2﹣4x+2， ∵AB＝BC， ∴AB2＝BC2 ∴1+x2＝2x2﹣4x+2， 整理得，x2﹣4x+1＝0， 解得，，（舍去）， ∴， ∴， 根据上述计算可知，AB≥1， ∴AB2的最大值为， ∴，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：A． 二十二．相似三角形的判定（共1小题） 31．（2026•北京一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴正半轴上，点B坐标为（2m，m）．点M是边BC上的动点（不与B，C重合），函数的图象经过点M且与边AB交于点N，给出下面四个结论： ①△BOM与△BON的面积一定相等； ②若点M是边BC的中点，则点N一定为AB的中点； ③在点M的运动过程中，是一个定值； ④△OCM∽△OAN． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点M与点N， ∴， ∵四边形OABC为矩形， ∴S△COB＝S△AOB， ∴S△COB﹣S△COM＝S△AOB﹣S△AON，即S△BOM＝S△BON，故①正确； ∵点M是边BC的中点， ∴， ∴， ∵，且S△COM＝S△AON， ∴， ∵四边形OABC为矩形， ∴OA＝BCAB＝OC， ∴，即， ∴若点M是边BC的中点，则点N一定为AB的中点，故②正确； 由点B的坐标为（2m，m）， 可知点，点，点A（2m，0）， ∴，， ∴，即是一个定值，故③正确； 在△OCM与△OAN只有∠OCM＝∠OAN＝90°， 根据已知条件无法证明△OCM∽△OAN，故④无法确定． 综上，上述结论中，所有正确结论的序号是①②③， 故选：B． 二十三．相似三角形的判定与性质（共2小题） 32．（2026•海淀区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上任意一点（不与A，B重合），CD⊥AB于点D．以CD为直径作圆，分别交AC，BC于点E，F（点E，F均不与C重合），连接EF，给出下面三个结论： ①AC•CE＝CF•BC； ②当C为弧AB的中点时，△CEF的面积最大； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：如图，设CD的中点为M，连接DE，DF， 依题意，MC＝ME，∠ACB＝∠CDB＝90°， ∴∠FEC＝∠DCA＝90°﹣∠DCB＝∠B， 又∵∠ECF＝∠BCA＝90°， ∴△ECF∽△BCA， ∴， ∴AC•CE＝CF•BC， 故①正确，符合题意； ∵CD⊥AB，AB为直径， ∴CD为半径时，CD最大， ∴， ∵CD＝EF， ∴， 又∵∠ECF＝90°， ∴， 故③正确，符合题意； ∵△ECF∽△BCA ∴， ∵AB为定值，则当EF最大时△CEF的面积最大， ∵EF＝CD， ∴当CD最大时，即CD为半径时，△CEF的面积最大， ∴D，O重合，此时AD＝DB， ∴AC＝BC， ∴， 即当C为弧AB的中点时，△CEF的面积最大， 故②正确，符合题意， 故选：D． 33．（2026•朝阳区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K，则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【解答】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2， ∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点， ∴AD＝4，AH＝2， ∠BAD＝90°， ∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG， ∵∠ANH＝∠GNF， ∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确； ∴∠AHN＝∠HFG， ∵AG＝FG＝2＝AH， ∴AFFGAH， ∴∠AFH≠∠AHF， ∴∠AFN≠∠HFG，故②错误； ∵△ANH≌△GNF， ∴ANAG＝1， ∵GM＝BC＝4， ∴2． ∵∠HAN＝∠AGM＝90°， ∴△AHN∽△GMA， ∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA， ∴AK＝NK， ∵AD∥GM， ∴∠HAK＝∠AMG， ∴∠AHK＝∠HAK， ∴AK＝HK， ∴AK＝HK＝NK， ∵FN＝HN， ∴FN＝2NK，故③正确； ∵延长FG交DC于M， ∴四边形ADMG是矩形， ∴DM＝AG＝2， ∵S△AFNAN•FG2×1＝1， S△ADMAD•DM4×2＝4， ∴S△AFN：S△ADM＝1：4，故④正确， 综上，正确的是①③④． 故选：B． 二十四．射影定理 二十五．解直角三角形的应用（共1小题） 34．（2026•东城区一模）人字梯为家庭常用工具．如图，若AB，AC的长都为2m，当α＝53°时，人字梯顶端A离地面BC的高度是（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）（　　） A．1.0m B．1.2m C．1.6m D．1.8m 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∴∠ADC＝90°， ∵AC＝2m，∠C＝α＝53°， ∵， ∴AD＝AC•sin53°≈2×0.8＝1.6（m）． ∴人字梯顶端A离地面BC的高度是1.6m． 故选：C． 二十六．概率公式（共1小题） 35．（2026•章丘区模拟）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：随机抽取两张共有：文明，文自，文由，明自，明由，自由，共6种等可能的结果，其中这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的结果只有1种， ∴P． 故选：C． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $