期末压轴专题02 解答压轴题50练（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦初中数学期末压轴题，以50道典型题构建几何与代数综合训练体系，融合性质应用、规律探究与实际建模，培养逻辑推理与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰（等边）三角形综合|5题|性质判定、旋转全等|从基础性质到动态旋转，构建全等转化逻辑| |直角三角形综合|5题|勾股定理、等锐角线|结合判定与新定义，强化边角关系推理| |垂直平分线与角平分线|5题|性质应用、轨迹思想|从静态性质到动态交点，培养几何直观| |不等式新定义|5题|定义转化、参数讨论|以新定义为载体，提升符号意识与运算能力| |因式分解特殊方法|5题|分组分解、试根法|从常规到特殊，构建因式分解方法体系| |分式运算规律探究|5题|归纳推理、新定义应用|通过规律提炼，发展数学抽象与表达能力| |分式方程应用|5题|建模思想、验根技巧|从实际问题抽象等量关系，强化应用意识| |平行四边形综合|5题|性质判定、翻折旋转|整合四边形与三角形，培养空间观念|

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题02解答压轴题50练 目录 类型一、等腰（等边)三角形性质和判定的综合问题 类型二、直角三角形性质和判定的综合问题… 15 类型三、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题.，..26 类型四、不等式与不等式组中新定义型综合问题.36 类型五、等腰（等边)三角形的旋转综合问题…….42 类型六、因式分解的特殊分解方法… 52 类型七、分式的混合运算规律探究、新定义型问题 60 类型八、分式方程的规律探究、新定义型问题…… 66 类型九、分式方程的实际应用问题 74 类型十、平行四边形的性质和判定综合问题 80 类型一、等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题 1.(25-26八年级上湖南株洲期末)已知ABC是等边三角形，D是AC边上一点（不与点4，C重合），E是 射线AB上一点（不与点A重合） 图1 图2 图3 (I)如图1，若点E在AB上，且AE=AD,则∠AED的度数是 (2)如图2，若点E在AB上，且BE=AD,BD,CE相交于点F,求∠CFD的度数； (3)如图3，若点E在AB的延长线上，连接BD,CE,且满足LBDC=2LE.若CD=5,BE=4,求 △BCD的面积. 2.(25-26八年级上·四川泸州期末)己知ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点E在射线BC上， 点F在线段AB上，∠FDE=120°. 1/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B B(F E 图1 图2 (1)如图1，若点F与点B重合， ①求证：CD=CE; ②当ABC的面积为S时，用含S的代数式表示△DCE的面积. (2)如图2，若点E在线段BC上，当AB=8时，求AF+CE的值. 3.(25-26八年级上·浙江丽水·期末)如图1，△ABC是等边三角形，BC=2,E是AC上一动点，在BC上 取点D,使BD=CE,AD,BE相交于点F. D 图1 图2 (I)求∠AFE的度数； (2)如图2，过点E作EP‖BC交AB于点P,在BC延长线上截取CQ=AE,连结EQ, ①求证：BE=EQ; ②延长QE交4D于点H,当AEFH是直角三角形时，求1的值， HF 4.(25-26八年级上·湖北荆门期末)ABC、△DBE都是等边三角形. B D 图1 图2 图3 (①)如图1，当C、B、E在一条直线上时，求证：AE=CD; (②)如图2，将aDBE绕着点B旋转，CD延长线与AE交于点F,则∠AFC的度数是多少？为什么？ (3)如图3，当△DBE的边长为4，且∠AEC=120°时，若G为AC边的中点，求EG的长. 2/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26八年级上·福建漳州·期末)已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC 【初步发现】(I)如图I,若点D在线段AB上，连接CD,在CD的右侧作CE⊥CD,CD=CE,连接DE ,BE,先由边角边证明ACD≌BCE,从而得到LA=∠CBE=45°，AD=BE,所以 ∠DBE=LDBC+∠CBE=45+45°=90°，进而得到AD2、BD2、DE2之间满足的数量关系是-： 【深入研究】(2)如图2，若点D在线段AB延长线上，连接CD,在CD的右侧作CE⊥CD,CD=CE, 则(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由： 【拓展研究】(3)若点D在直线AB上，连接CD,在CD的左侧作CE⊥CD,CD=CE,当AD=3, 4B=9时，求c的值. SACDE 图1 图2 备用图 类型二、直角三角形性质和判定的综合问题 6.(25-26八年级上江苏连云港期末)如图，AD,BC相交于点O,AB=CD,AM⊥BC于点M, DNI‖AM,与BC交于点N,BN=CM. C (1)求证：∠B=∠C; (2)若AB=5,BC=6,BN=2,求线段AD的长. 7.(25-26八年级上·安微六安·期末)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,点F在AC上， 连接BF与CD交于点G,且CF=CG,过点A作AE⊥BF与BF的延长线交于点E, 3/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (I)求证：BE平分∠ABC; (2)如图2，若AC=BC,求证：BF=2AE; (3)如图1，若△ABE的面积为5，AB-AC=1,求AB+AC的值. 8.(25-26八年级上·江苏扬州期末)【概念】直角三角形中，过直角顶点和斜边上一点的线段将直角分成两 个锐角，若这两个锐角的度数分别等于此直角三角形中的另外两个内角的度数，则称此线段为直角三角形 的“等锐角线”. B 459 209 图1 图2 B 30° 30°个 A 图3 备用图 【辨析】图1中Rt△ABC有 条“等锐角线”； 图2中若AD是Rt△ABC的“等锐角线”，则∠BAD= ; 【探究】如图3，ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，ABC的等锐角线”AD交BC于点D,画出示意图， 写出线段BD与BC的数量关系，并说明理由， 9.(25-26八年级上·上海普陀期末)如图1，在ABC中，AC=BC,点E在边AB上，连接CE,过点B作 BF⊥CE,垂足为点F,过点A作AG⊥CE,交CE的延长线于点G,BF=CG. 4/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G B 图1 图2 备用图 (1)求证：LACB=90°； (②)如图2，点D是AB的中点，点E在线段AD上，连接DF· ①当BE=BC时，求证：∠EDF=∠BCF; ②连接AF,设AC=a,如果AF⊥DF,用含a的代数式表示DF的长 10.(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨期末)己知：在ABC中，∠C=90°，点D,E分别在射线BA,CA上， 连接DE,∠AED=LABC. 【教材再现】如图1，点D,E分别在边AB,AC上，ADE是直角三角形吗？为什么？ 【变式应用】如图2，点D,E分别在BA的延长线，CA的延长线上，∠DAC的平分线AF交ED的延长线 于点F,连接BF交CE于点G,且∠EFG=∠EGF,求∠AFG的度数 【拓展延伸】如图3，在【变式应用】中的条件下，延长EF交BC的延长线于点H,点P在EC的延长线上， 连接FP,且∠PFG=∠AFG,若∠HFP=2∠P,求∠CBG的度数. D B 图1 图2 图3 类型三、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 11.(25-26八年级上·福建福州·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于点D, 交BC于点E,连接CD,AE. 5/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E (I)若∠B=30°，求∠CAE的度数： (2)在(1)的条件下，求证：点E在线段CD的垂直平分线上. 12.(25-26八年级上甘肃天水期末)如图，DE⊥AB于E,DF1AC于F,若BD=CD,BE=CF. (1)求证：AD平分∠BAC; (2)已知AD=13,DE=5,CF=3,求AB的长. 13.(25-26八年级上河北邢台期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=60°，D为AC上一点， CD=CE,∠ACE=60°， D (I)求证：△BCD≌△ACE; (②)延长BD交AE于F,连接CF,且AF=CF. ①求证：BF为边AC的垂直平分线： ②直接写出线段BF与DF之间的数量关系， 14.(25-26八年级上·福建龙岩·期末)在ABC和△CEF中，AB=AC,EC=EF. B 图1 图2 (I)如图1，若∠BAC=∠CEF=60°，连接BE,AF 6/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①求证：BE=AF; ②设BE和AF的交点为点P,求证：PC平分∠BPF; (②)如图2，若∠BAC+∠CEF=180°，连接BF,设BF的中点为点M,连接AM,EM,求证：AM⊥EM 15.(25-26八年级上·福建厦门期末)在ABC中，AB=AC,点E在BC上，点H在AC上，连接AE和 BH交于点F,∠ABH=∠CAE. D H E E 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠AFB=2∠ACB; (2)如图2，连接FC,若FC平分∠EFH,求证：AH=CH; (3)如图3，在(2)的条件下，点D在BH的延长线上，连接CD,∠ACD+3LEFC=180°时，若 AE+DF=14,BH+AF=16,求HF的长. 类型四、不等式与不等式组中新定义型综合问题 16.(24-25七年级下.陕西西安期末)用※定义一种新运算：对于任意实数m和n,规定m※n=m2n-mn, 如：1※2=12×2-1×2=0. 1)-2※3 3※-2)；（填“>“<”或“=”） (2)若3※m≥-6，求m的取值范围. 17.(24-25八年级上，全国·期末)定义新运算为：对于任意实数a、b都有a⊕b=(a-b)b-1,等式右边都 是通常的加法、减法、乘法运算，比如1©2=(1-2)×2-1=-3. (1)求3⊕4的值. (2)若x⊕2<5，求x的取值范围. x⊕1≤2 (3)若不等式组 2x⊕3>a 恰有三个整数解，求实数a的取值范围. 18.(24-25七年级下·江苏泰州期末)定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解， 7/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不 是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”. x>2 x>4 ()根据上述定义，判断不等式组 x<3 是不等式组 (填序号①“相容不等式组”或②“相斥不 等式组”)； x>2x>a-1 (2)若关于x的不等式组 x<3是x<a+i 的“相斥不等式组”，求a的范围； x≥1.8 x≥1.8 「1 (3)若关于x的不等式组 x≤4 是 x 2a+1的相容不等式组，且 和 x≤4 >2a+1的整数解相同，求 x>- x<2a+1 x<2a+1 a的范围. 19.(23-24八年级下·辽宁辽阳期末)新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则 x-1>1 称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”.例如：方程x-1=3的解为x=4,而不等式组 x2s3的解 x-1>1 集为2<x<5,恰好x=4在2<x<5的范围内，所以方程x-1=3是不等式组 x-2<3的“关联方程.结合 新定义，按要求解答下面问题： 0方程04小-9@4-1=0：@号1=巾，不等式组54奇关联方程是 2x-2>x-1 ；(只填序号) 3x+12x① (2)若关于x的方程2x+k=5是不等式组 2 x-1>2x+1-2② 的关联方程”，求k的取值范围？ 2 3 20.(24-25七年级下·江西宜春期末)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称 该一元一次方程为该一元一次不等式组的“从属方程” 例如：x+3=5的解为x=2, -x+15>3x+3 的解集为-1≤x<3,发现x=2在-1≤x<3的范围内，所以一元一次方程x+3=5是一元一 3x-3≤5x-1 -x+15>3x+3 次不等式组 的“从属方程” 3x-3≤5x-1 【问题解决】 x+l≥3x-1-1 (1)判断方程3x+2(1-x)=8是不是不等式组 24的“从属方程”； 3x-1>2 8/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x-3<2x+1 (2)若方程x-m=2是不等式组 9-4x≥x-1 的“从属方程”，求m的取值范围. 类型五、等腰（等边）三角形的旋转综合问题 21.(25-26九年级上湖北随州期末)如图，将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE,点B,C的对应点分 别为点D,E,点D在线段BC的延长线上 D (1)求证：∠ACD+∠E=180°： (2)若∠BAD=100°，求∠CDE的大小。 22.(25-26八年级上辽宁大连期末)如图，ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，将ABC绕着顶点A 顺时针旋转60°，得到△AED.点F,G分别在AD,AE上，且AF=AG,连接CF并延长交线段DG于点 H G E (I)求证：AB=2AD; (2)求∠FHD的大小. 23.(25-26九年级上·四川广安期末)Rt△ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C顺时针旋转得到 △A'B'C,点A的对应点为A. 9/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B B 图① 图② 图③ (1)如图①，当LACB'=20°时，ABC绕点C顺时针旋转了 (②)如图②，当点B在AB上时，若A'B'∥BC,求∠A的度数： (3)如图③，当点P为A'B的中点时，连接BP,若BC=2,AC=4,在ABC绕点C顺时针旋转一周的过 程中，直接写出线段BP的最大值和最小值. 24.(25-26九年级上湖北武汉·期末)已知RtAABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D为直线BC上一点. D 图1 图2 图3 (1)如图1，若点D与点C重合，点E为AB上一点，将线段ED绕点D顺时针旋转90°后得到线段DF,连 接AF,直接写出AF与BE的关系： (②)如图2，点D在BC的延长线上，E为∠ABC的角平分线上一点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°后得 到线段DF,连接AF,若AF∥BC,求证：AF=√2CD; (3)如图3，点D在BC边上，点E在直线AB左侧，连接BE,∠DBE=75°，将线段DE绕点D顺时针旋转 90°后得到线段DF,连接AF若BE=5,CD=2√2，则线段AF的长为 (直接写出结果). 25.(25-26八年级上上海普陀期末)等腰ABC中，AB=AC,将∠BAC绕点A旋转一定角度后得到 ∠B'AC',点D、E分别是射线AB'、AC'上的点，且AD=AE,连接DE、BD、CE,我们把BD、CE所 在直线的夹角叫做ABC和ADE的底联角.如图I,∠BFC就是ABC和ADE的底联角； 图1 备用图 图2 10/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)如图1，当点D在ABC内部时，求证：两个等腰三角形的底联角与它们的顶角度数相等； (2)当点D在ABC内部时，如果∠BAC=∠DAE=90°，∠DCE=63°，那么∠BDC= (3)如图2，当点D在ABC外部时，如果∠BAC=∠DAE=90°，BC=6,CD=4,DE=5,求BE的长. 类型六、因式分解的特殊分解方法 26.(25-26八年级上·江西·期末)整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法 (x+p(x+q=x2+(p+qx+pg,反过来为x2+(p+q)x+pg=(x+p)(x+q),恰好是因式分解.基于上述 原理，将式子x2-x-6分解因式如下： x2-x-6 二次项x2 常数项-6分 分解为xx 解为2×(-3) 一次项-x=x-3)+x·2,①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项x·2+x(-3)=-x;③横 向写出两因式：x2-x-6=(x+2)(x-3). 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：x2-3x+2= (2)若x2+px-8可分解为(x+a(x+b)(a,b均为整数)，求出整数p的所有可能值有哪些？ 27.(25-26八年级上江西赣州期末)要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它进行分组再分解 因式：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=am+n+b(m+n=(m+n(a+b),这种分解因式的方法叫 做分组分解法. (1)请用上述方法分解因式：x2-y2+x-y; (2)已知a-b=3,a+c=-5,求式子ac-bc+a2-ab的值； (3)已知ABC的三边长a,b,c,满足ac+a2-ab-bc=0,试判断ABC的形状. 28.(25-26八年级下·湖南衡阳·期末)方法探究： 己知二次多项式x2-4x-21,我们把x=-3代入多项式，发现x2-4x-21=0,由此可以推断多项式中有因 式(x+3).设另一个因式为x+),多项式可以表示成x2-4x-21=(x+3)(x+k),则有 11/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x2-4x-21=x2+(k+3)x+3k,因为对应项的系数是对应相等的，即k+3=-4,解得k=-7,因此多项式分 解因式得：x2-4x-21=x+3)(x-7. 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”. 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：x2-2x-8. (2)对于三次多项式x3-x2-3x+3,，我们把x=1代入多项式，发现x3-x2-3x+3=0,由此可以推断多项式 中有因式(x-1),设另一个因式为x2+ax+b),多项式可以表示成x3-x2-3x+3=（x-1)x2+ax+b),试 求出题目中a,b. 29.(25-26八年级上·福建泉州·期末)阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问 题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的 联系，从而找到解决问题的新途径， 例如：已知x2-x-1=0,求代数式2x2-2x+2024的值.我们把x2-x看作一个整体代入求值，原式 =2x2-x+2024=2×1+2024=2026 又如：因式分解x2+3x)-4x2+3x+4. 我们把x2+3x看作一个整体，令x2+3x=a,则原式=a2-4a+4=(a-2,再把a还原成x2+3x得，原式 =(x2+3x-2°. 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：(x-y)-2(x-y)+1= (2)已知m2-3m-1=0,求m4-3m3+m2-6m的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方. 30.(25-26八年级上·广东珠海期末)【综合应用】材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分 解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及 “3+3”分法等。 如“2+2”分法： ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y+b(x+y=(x+y(a+b) 再如“3+1”分法： 12/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x2-2xy+y2-9=x2-2xy+y2）-9=(x-y)2-32=(x-y+3)(x-y-3】 请根据上述材料的启发解决下列问题： ()【理解】分解因式： ①9x2-6xy+y2-16; ②4a2b2+4ab2+b2-4a2-4a-1; (2)【应用】a,b,c是ABC的三条边的长，试判断式子(a+b)(a-b)+c(c-2a的值能否大于0？并说明 理由； (3)【拓展】a,b,c是ABC的三条边的长，若a2+b2+c2-ab-bc-aC=0,请判断ABC的形状并说明 理由 类型七、分式的混合运算规律探究、新定义型问题 31.(24-25七年级下·安微合肥期末)观察以下等式： 第1个等式：1×1+3-2=0， 2 第2个等式：号×4兮-1 14+5 1 第3个等式： 1.9+722 3X4331 第4个等式： 1,16+913 4×5-241 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：-： (2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并说明等式的正确性. 32.(24-25七年级下·安微六安期末)观察下列等式： 1 1 第1个等式： 11 (111 x(x+1)(xx+1 ×1;第2个等式： x(x+2)(xx+22 1 11 1 1 (11）1 第3个等式： x(x+3)(xx+3x3:第4个等式： x(x+4xx+44 按照以上规律，解决问题； 13/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)写出第5个等式： (2)写出第n个等式（用含的式子表示，n为正整数）； 1 1 1 1 (3)利用上述规律计算：mm+3m+3m+6(m+6m+9 +…+ (m+18)(m+21 33.(24-25八年级上广东湛江期末)我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数， 那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值” 血分式1A兵3名，1B2红之+22x+2.圆A是B的雅中式，A关于B x+11 x+1x+1x+1x+1 的“雅中值”为2. ()已知分式C=1 +)，D=+5x+6,判断C是否为D的雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C x2+4x+4 关于D的“雅中值”； E 2已知分式P5gQ3P是Q的“雅中式，且P关于的”雅中值是2，请求出E所代表的代 数式 34.(24-25八年级上江西上饶期末)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的 宽，那么称这个分式为和谐分式如：411+21之上名则是和仙谐分式理 x-1x-1x-1x-1 (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 (填序号)： m华华兰，0 ②将“和谐分式口-2a+3化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： a2-2a+3 ； a-1 a-1 ③)应用：先化简3x+6_x=1+r-,并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ x+1 x x2+2x 35.(24-25八年级上·广东汕头·期末)定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M-N=MN,则 称分式》是分式M的关联分式，如中与2因为中2 11 1 11 1 x+Xx+2x+1x+2: -X- 所以中2是右的关联分式 ①)请判断分式2与分式2是否为关联分式”，并说明理由： x+3 x+5 ②小明在求分式之十一的“关联分式时，用了以下方法 1 1 1 设+y的关联分式”为N,则+yN= xN. x2+y2 14/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 1 1 +yN=+,N x2+y2+1 请你仿照小明的方法求分式一3的关联分式”， x+2 (3)①观察(1)、(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的关联分式： ②用发现的规律解决问题：若3-1是3m+5的关联分式，求实数m,n的值。 mx+m mx+n 类型八、分式方程的规律探究、新定义型问题 36.(24-25八年级下山东枣庄期末)新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程+1=b的解是 三石十成立，那么我们就把实数a,b组成的数西，称为送于x的分式方得巴+1正h的一个严关联数型 例如：a=2,b=-5使得关于x的分式方程2+1=-5的解是x 1 2+-3成立，所以数对2，-5列就是关于 x的分式方程“+1=b的一个“关联数对” (①)下列数对是关于x的分式方程“+1=b的“关联数对”有 (填字母) A.[-2,4;B.[3,-5] -,2+m是关于x的分式方程+1=b的“关联数对，求的值. 1, (2)若数对 37.(25-26八年级上广西防城港期末)探究与应用 【特例分析】 (1)填空： ①12 -1的解为x=- x+1x+1 ②24 -1的解为x=- x+1x+1 ③3=6 x+1x+ -1的解为x=-: … 【总结规律】 (2)根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解：-· 【解决问题】 15/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)请你按照上述规律写出第n(n为正整数)个分式方程，并求出它的解.（写出解答过程） 38.(24-25七年级下山东济南期末)观察下列各式： ,1=1- 1×2 2 111 2×3239 111 3×4349 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： 1 ()nn+ ； ②请你利用发现的规计算：++ 111 n(n+1): 1 1 1 1 (6)利用上面规律解方程：(x-2x+xx+2(x+2x+4(x+2024x+2026x+2026 39.(25-26八年级上湖南长沙期末)不妨定义：如果两个代数式A,B的值满足A+B=1,则称A,B具 有和谐关系.当具有和谐关系的两个代数式A,B都是整式时，则称A,B互为和谐整式；当具有和谐关系 的两个代数式A,B都是分式时，则称A,B互为和谐分式 (①)判断下列说法的正误，对的打“V,错误的打“×”. ①整式x-1与x+2对任意x都具有和谐关系；() ②分式2n-1与1-”互为和谐分式：（) n n @如果分式与名互为和谐分式，测=.〔) 回当时、如果分式与，之；始终互为和嘴分式，求口和6的值： (3)已知x,y都是整数，当整式(x+y)与-4y2+1)互为和谐整式时，求x、y的值. 40.(24-25八年级下.甘肃张掖期末)我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k=m×n(m, n是正整数，且m≤n),在k的所有这种分解中，如果m,n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k 的最佳分解，并规定：f()=m.例如：18可以分解成1×18,2×9或3x6,因为18-1>9-2>6-3，所 以3×6是18的最佳分解，所以18)=62 31 【探索规律】 (1)f(20)= ；f(36)= (2)若x是正整数，猜想fx2+2x= 16/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【应用规律】 (3)若f(x2+2x= 2021 022 其中x是正整数，求x的值； (4)若f(x2-48)=1,其中x是正整数，尝试直接写出所有x的值 类型九、分式方程的实际应用问题 41.（25-26八年级上·河北沧州期末)商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多 2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍. (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2 倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 42.（25-26八年级上·黑龙江双鸭山期末)近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注.小明家里计划 购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，己知B款车每千米行驶费用比A款车多 0.45元. (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为7.5元，B款车的总行驶费用为18.75元.求 纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用： (2)己知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/ 千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 43.(24-25八年级上四川绵阳期末)“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研学 活动.为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动.活动中甲、乙两队均 需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所 需时间的1.5倍 (①)求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？ (②)制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下 的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要 多做多少件才能保证在乘车前完成任务。 44.(25-26八年级上湖南长沙.期末)“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一.某校数 学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 17/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量：80kW·h 油价：8元L 电价：0.6元/kW.h 续航里程：a千米 续航里程：a千米 50×8 每千米行驶费用： 每千米行驶费用： 元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元. (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用 元. (②)分别求出这两款车的每千米行驶费用. (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源 车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 45.（24-25八年级上·重庆北碚·期末)随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新 购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐. 已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高号且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元 购进的B款电热毯的床数多20床. (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后， A、B两款电热毯均按高于进价的20%定价出售.若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯α床，总利润 为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润. 类型十、平行四边形的性质和判定综合问题 46C25-26八年级上江苏盐城期末)如图，在梯形ABFE中，AE∥BF，AE=)BF,若点C为BF的中 点，连接AC,BE交于点D. 18/20 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求证：四边形ACFE是平行四边形： (2)若ABC是等边三角形，且AE=3,求EF的长. 47.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在口ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，EF过点O且 垂直于AD. D (1)求证：OE=OF; (2)若S△4o=3,AD=3,则AD与BC之间的距离为 (3)若。ABCD的周长是24，OE=2,则四边形ABFE的周长为 48.(25-26八年级上·福建泉州期末)如图，在口ABCD中，点E是BC的中点，连接AE.将AB沿AE翻 折至AF,点B的对应点F,落在口ABCD内.射线AF交DC于G,与射线BC相交于P.延长EF交DC于 0. D (I)求证：△EFP≌△ECQ; (2)连接AQ,若AB=AE,AP平分∠DAE. ①求证：∠AQD=90°； ②若CG=a,GQ=b,求证：b2-a2=ab. 49.(25-26九年级上·山西吕梁期末)综合与探究 问题情境：如图1，在ABCD中，BD⊥AD,将△ADB绕点D顺时针旋转C(0°<a<90°)，得到FDE ,点A,B的对应点分别为点F,E. 猜想证明：(1)如图2，当DE⊥AB于点P时，EF分别与线段AB,AD交于点G,H.猜想线段FD与FG 19/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的数量关系，并说明理由。 数学思考：(2)如图3，当B的对应点E恰好在线段AB上时，连接AF,判断CD与AF的位置关系，并说 明理由， 拓展探究：(3)在图3的基础上，连接CF,若AB=5,AD=4,请直接写出线段CF的长度. 图1 图2 图3 50.(25-26九年级上·湖北孝感期末)我们在平面几何的学习中，会碰到许多常见的几何模型，“手拉手”模 型就是其中之一，面对题目时我们常会“寻模而入，破模而出”. E D B B 图1 图2 图3 (I)如图1，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,求证：△ABD≌△ACE; (②)如图2，在口ABCD中，∠ADC=120°，∠BCD的平分线CE交AD于点E,将点E绕点A逆时针旋转60°， 得到点F,分别连接AF,FD,BD. ①求证：AB=ED: ②试探究线段FD和线段BD的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在ABC中，∠A=60°，点D,E分别在AC,AB上，且CD=BE,∠CED=30°，若BC=7, CE=5,请直接写出线段ED的长度， 20/20 期末压轴专题02 解答压轴题50练 目录 类型一、等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题 2 类型二、直角三角形性质和判定的综合问题 15 类型三、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 26 类型四、不等式与不等式组中新定义型综合问题 36 类型五、等腰（等边）三角形的旋转综合问题 42 类型六、因式分解的特殊分解方法 52 类型七、分式的混合运算规律探究、新定义型问题 60 类型八、分式方程的规律探究、新定义型问题 66 类型九、分式方程的实际应用问题 74 类型十、平行四边形的性质和判定综合问题 80 类型一、等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题 1．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知是等边三角形，是边上一点(不与点重合)，是射线上一点(不与点重合)． (1)如图，若点在上，且，则的度数是________； (2)如图，若点在上，且，，相交于点，求的度数； (3)如图，若点在的延长线上，连接，，且满足．若，，求的面积． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)的面积是 【分析】（1）利用等边三角形的内角为，结合等腰三角形“等边对等角”三角形内角和定理，直接求出的度数； （2）根据等边三角形的边相等、角相等的性质，结合已知条件，通过证明，再利用三角形外角的性质，将转化为等边三角形的内角，从而求出其度数； （3）通过构造辅助线，结合已知条件证明角相等，再通过证明得到线段相等关系；设未知数后利用勾股定理列方程求解边长，最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：， ， ∵在等边中，， ； （2）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ． （3）解：延长到点，使得，连接，过点作于点． ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ∴， ， 令，则， ，，， ， 在中， ，， ，则， 由得，，则， 在中，， 由勾股定理得， 则，解得， ， ， ， 的面积是． 2．（25-26八年级上·四川泸州·期末）已知是等边三角形，点D是的中点，点E在射线上，点F在线段上，． (1)如图1，若点F与点B重合， ①求证：； ②当的面积为S时，用含S的代数式表示的面积． (2)如图2，若点E在线段上，当时，求的值． 【答案】(1)①见解析；②的面积为 (2)4 【分析】（1）①利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出相关角的度数，即可得证； ②根据等边三角形的性质得出，，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，从而得出，即可得出答案； （2）过点D作，构造全等三角形，将和转化到同一直线上即可解答． 【详解】（1）①证明：是等边三角形，点D是的中点， ∴，， ∴， ，点F与点B重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：是等边三角形，点D是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点D作交于点G， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，是等边三角形，，是上一动点，在上取点，使，，相交于点． (1)求的度数； (2)如图2，过点作交于点，在延长线上截取，连结， ①求证：； ②延长交于点，当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或 【分析】（1）根据等边三角形的性质，即可得，，又由，利用，即可判定，可得，由三角形外角的性质可求的度数； （2）①先证是等边三角形，再证（），即可得证；②先证是等腰三角形，然后分类讨论，根据（）可知，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：∵，是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形． 如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的值是或． 4．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）、都是等边三角形． (1)如图1，当、、在一条直线上时，求证：； (2)如图2，将绕着点旋转，延长线与交于点，则的度数是多少？为什么？ (3)如图3，当的边长为，且时，若为边的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用． （1）证明，即可得证； （2）同理可得，根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）延长交于点，延长至，使得，同理可得得出，，进而证明是等边三角形，得出，证明得出，即可证明，得出，进而证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴； （3）解：如图所示，延长交于点，延长至，使得， 同理可得， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知：在中，，． 【初步发现】（1）如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，，连接，，先由边角边证明，从而得到，，所以，进而得到、、之间满足的数量关系是 ； 【深入研究】（2）如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展研究】（3）若点D在直线上．连接，在的左侧作，，当，时，求的值． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立；理由见解析；（3）或 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）先求出，再进行分类讨论且逐个情况作图，运用等腰直角三角形的判定与性质进行分析，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴ ∴ ， ∴， 当点在线段上时，连接，如图所示：，    由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 则； 当点在线段的延长线上时，连接，如图所示： 由（2）的结论知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则 则， 综上：或 类型二、直角三角形性质和判定的综合问题 6．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点，，于点，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先通过线段和差关系证明，根据平行线的性质结合证明，进而证明，最后根据全等三角形的对应角相等即可得证； （2）先通过线段和差关系求解，的长，在中，由勾股定理求解的长，证明，得到的长，以及，在中，由勾股定理求解的长，进而根据求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ． 于点，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ． 7．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图1，在中，，于点D，点F在上，连接与交于点G，且，过点A作与的延长线交于点E． (1)求证：平分； (2)如图2，若，求证：； (3)如图1，若的面积为5，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)9 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，利用完全平方公式解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据对等边对等角得出相等的角，根据直角三角形的性质以及等量代换得出，即可得出结论； （2）延长、交于点，根据条件证明和，得出相等的边即可得出结论； （3）延长、交于点，设，，根据面积得出，，最后利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， ，， ， ， ， 即平分； （2）证明：如图2，延长、交于点， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 在和中 ，，， ， ； （3）证明：如图3，延长、交于点， 由（2）得：， ，， ， 设，， ，， ， （舍负）, 即． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【概念】直角三角形中，过直角顶点和斜边上一点的线段将直角分成两个锐角，若这两个锐角的度数分别等于此直角三角形中的另外两个内角的度数，则称此线段为直角三角形的“等锐角线”． 【辨析】图1中有_________条“等锐角线”； 图2中若是的“等锐角线”，则_________； 【探究】如图3，中，，，的“等锐角线”交于点，画出示意图，写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】【辨析】1；70或20；【探究】或，图和理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质． 【辨析】根据“等锐角线”的定义可知的“等锐角线”是的平分线，所以有条“等锐角线”；当时，根据“等锐角线”的定义可知或； 【探究】当时，根据含角的直角三角形的性质，可得；当时，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，根据等角对等边可得，所以可得． 【详解】【辨析】解：中，，， ， 的“等锐角线”是的平分线， 有条“等锐角线”； 如下图所示， 是的“等锐角线”， ； 如下图所示， 是的“等锐角线”， ， ； 综上所述，或； 故答案为：，或； 【探究】解：或 理由如下： 在中，，， ， 如下图所示，当时， ， ， ，， ， ； 如下图所示，当时， 可知， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述，或. 9．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图1，在中，，点在边上，连接，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，点是的中点，点在线段上，连接． ①当时，求证：； ②连接，设，如果，用含的代数式表示的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用证明（直角三角形全等的判定定理） 即可． （2）①连接，证明，，，继而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得到，等量代换证明即可． ②过点D作交于点P，连接，证明，则，得，从而得，则，在中利用勾股定理求得，从而求得，再用三勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①解：∵，， ∴，， 连接，如图， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②解：如图，过点D作交于点P，连接， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，勾股定理得， 即， ∴， 即， 在中，由勾股定理得， ∵点D为线段的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在中，，点，分别在射线，上，连接，． 【教材再现】如图1，点，分别在边，上，是直角三角形吗？为什么？ 【变式应用】如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连接交于点，且，求的度数． 【拓展延伸】如图3，在【变式应用】中的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连接，且，若，求的度数． 【答案】（1）是直角三角形，见解析 （2） （3） 【分析】本题考查直角三角形的判定，三角形内角和，三角形外角定理，角平分线的性质． （1）由，得即可； （2）根据三角形内角和，三角形外角定理，角平分线的性质做等量代换，引入参数，由解题； （3）由，三角形外角定理，根据的两种不同表示方式求出，由解题． 【详解】解：（1）如图1，是直角三角形， 理由如下： 在中，∵，， ， ， 是直角三角形；                                                    （2）如图2，令，， ， 平分， ， 在中，， 又， ， ， 在中，， ， ； （3）， 由（2）可知， ， ，， ， ， ， ， ， ． 类型三、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 11．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查垂直平分线判定及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握好相关知识是关键． （1）由垂直平分线的性质可得，则，结合三角形内角和定理求出的度数； （2）通过证明可得，利用垂直平分线的判定定理可证明． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵垂直平分， ∴， 由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 12．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线性质定理的逆定理得出答案； （2）先根据勾股定理求出，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴平分； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 13．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，为上一点，， (1)求证：； (2)延长交于，连接，且． ①求证：为边的垂直平分线； ②直接写出线段与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；② 【分析】（1）先证明是等边三角形，利用即可证明； （2）①利用线段垂直平分线的判定定理即可证明； ②利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 在和中， ， ∴； （2）①证明：∵，， ∴点B，F均在边的垂直平分线上， ∴为边的垂直平分线； ②解：． 由（2）①可知且平分， ∴为等边三角形中边上的高， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴． 14．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）在和中，，． (1)如图1，若，连接，． ①求证：； ②设和的交点为点，求证：平分； (2)如图2，若，连接，设的中点为点，连接，求证：． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据题意，易得和都是等边三角形，进而利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； ②过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明，由全等三角形的性质可得，根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）延长至点，使得，连接，，，首先证明，易得，，进而可得，，，证明，由“”证明，可得，结合，由等腰三角形“三线合一”的性质，即可证明结论． 【详解】（1）证明：①∵，，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图， 则， 由①可知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在的平分线上，即平分； （2）延长至点，使得，连接，，， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ∴， ，， 又， ， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 又∵， ∴，即． 15．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据等边对等角得出，再利用外角的性质推出，，等量代换即可求解； （2）过点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于，根据角平分线的性质，得出，结合已知条件分别证明、即可求解； （3）过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点，根据平行的性质结合已知条件分别证明、，推出，再结合（1）的中和（2）中平分，推出， 然后根据，推出，推出，再等量代换推出，证明，推出，最后等量代换得到，，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∵为的外角， ∴； （2）证明：如图，点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于， 则， ∵平分，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵由（1）得， 又∵， ∴， ∵由（2）知平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 类型四、不等式与不等式组中新定义型综合问题 16．（24-25七年级下·陕西西安·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：． (1)______；（填“＞”“＜”或“＝”） (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查对新定义的理解与应用，以及解一元一次不等式的能力．解题的关键是根据新运算的定义，正确列出算式和不等式进行求解． （1）根据新定义列出算式和，再进一步计算比较即可； （2）根据新定义列出不等式，解之即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ， 则． 17．（24-25八年级上·全国·期末）定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． (3)若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式、一元一次不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键． （1）利用新运算的规则直接进行计算即可; （2）根据新运算的定义可得，从而可得，解不等式即可得； （3）根据新运算的定义可得不等式组，分别解两个不等式，再根据不等式组恰有三个整数解可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：． （3）解：由题意得：， ， ∴不等式组可转化为 ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组恰有三个整数解， ∴， 解得． 18．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 19．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查新定义，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式组等知识，理解新定义的“关联方程”是解决问题的关键． （1）解题中给出的三个一元一次方程及不等式组的解集，根据“关联方程”验证即可得到答案； （2）解一元一次方程得到，解不等式组得到，根据“关联方程”的定义得到求解即可确定答案． 【详解】（1）解：①，解得； ②，解得； ③，解得； ， 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为； 、在范围内；不在范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； （2）解：，解得； 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为； 关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ，解得． 20．（24-25七年级下·江西宜春·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“从属方程”． 例如：的解为， 的解集为，发现在的范围内，所以一元一次方程是一元一次不等式组的“从属方程”． 【问题解决】 (1)判断方程是不是不等式组的“从属方程”； (2)若方程是不等式组的“从属方程”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组． （1）先分别求出一元一次方程的解，一元一次不等式组的解，再根据“从属方程”的定义判断即可； （2）将m当作常数，求出一元一次方程的解，再求出一元一次不等式的解，再根据“从属方程”的定义得关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：解方程，得， ， 解不等式得，， 解不等式得，， 原不等式组的解集为， ∵在范围内， 是不等式组的“从属方程”； （2）解：解方程，得， ， 解不等式得，， 解不等式得，， 原不等式组的解集为， 方程是不等式组的“从属方程”， ， 解得． 类型五、等腰（等边）三角形的旋转综合问题 21．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）解：证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，，，将绕着顶点A顺时针旋转，得到．点F，G分别在上，且，连接并延长交线段于点H． (1)求证：； (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)60° 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知旋转的性质是解题的关键． （1）求出，得到，由旋转的性质得到，据此可证明结论； （2）由旋转的性质可得，，证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，即． （2）解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 24．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知中，，，点D为直线上一点． (1)如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________； (2)如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：； (3)如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理和旋转的性质，通过旋转的性质构造全等三角形（手拉手旋转模型），从而建立线段之间的联系是解题关键． （1）利用旋转的性质，通过证明全等即可找到线段关系； （2）作垂线构造全等三角形，再利用角平分线和等腰直角三角形的性质建立线段关系即可； （3）作垂线构造全等三角形，找到线段关系，再通过角度运算，得到特殊角，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， 如图，延长，与交于点H，过点E作于点G， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作于点M，过点M作于点N，连接，过点A作于点G， 同（2）理可知，和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质，可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 25．（25-26八年级上·上海普陀·期末）等腰中，，将绕点旋转一定角度后得到，点、分别是射线、上的点，且，连接、、，我们把、所在直线的夹角叫做和的底联角．如图1，就是和的底联角； (1)如图1，当点在内部时，求证：两个等腰三角形的底联角与它们的顶角度数相等； (2)当点在内部时，如果，那么___________； (3)如图2，当点在外部时，如果，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，由判定，由全等三角形的性质及等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可得证； （2）由（1）得，由三角形的外角性质得，即可求解； （3）连接、交于点，由判定，结合全等三角形的性质得 ，由勾股定理得，， ，，即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转得， ， ， ，， （）， ， ， ， ， ， ， 故两个等腰三角形的底联角与它们的顶角度数相等； （2）解：如图， 由（1）得， ， ， 故答案为； （3）解：如图，连接、交于点， ， ， ， ， ，， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 类型六、因式分解的特殊分解方法 26．（25-26八年级上·江西·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 27．（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形． 【分析】（1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解后，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： ． （2），， ． （3） ∵的三边长， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰三角形． 28．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将代入，可得多项式含有因式，设并将其展开进行求解即可； （2）将展开进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入多项式，得 ， ∴多项式含有因式， 设， ∴ ∴一次项系数： 解得， 常数项：， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴二次项系数： 解得， 常数项： 解得． 29．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 30．（25-26八年级上·广东珠海·期末）【综合应用】材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 再如“”分法： 请根据上述材料的启发解决下列问题： (1)【理解】分解因式： ①； ②； (2)【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由； (3)【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①，② (2)不可能大于，理由见解析 (3)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查利用公式法分组进行因式分解，因式分解的应用，三角形的三边关系，平方差公式，完全平方公式，判断三角形的形状； （1）根据材料的方法因式分解即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式，将目标公式因式分解，再根据三角形三边关系即可解答； （3）先将目标公式因式分解，再结合非负性即可解答． 【详解】（1）解：① ② （2）解：不可能大于，理由： ， ， 不可能大于； （3）解：为等边三角形，理由如下： ，， ，， ，， 为等边三角形 类型七、分式的混合运算规律探究、新定义型问题 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并说明等式的正确性． 【答案】(1) (2)（，且为整数），证明见解析 【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的混合运算，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． （1）根据前个等式的规律求解此题； （2）根据前个等式归纳出此题规律进行求解，再证明即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： ∴第个等式：， 故答案为：； （2）解：由（1）归纳可得： 第n个等式：（，且为整数） 证明如下：左边右边， ∴成立. 32．（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的运算，正确得出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （2）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （3）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：第个等式：； （3）解：原式 33．（24-25八年级上·广东湛江·期末）我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式． 【答案】(1)C不是D的“雅中式” (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式作差并计算后进行判断即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴不是D的“雅中式”； （2）解：∵分式，，P是Q的“雅中式”， 且P关于Q的“雅中值”是2， ∴ ． 34．（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：；故①是和谐分式； 不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式； ；故③是和谐分式； ；故④是和谐分式； 故答案为：①③④ （2）； 故答案为：； （3）原式 ； ∵， ∴当时，分式的值为整数， ∴， ∵时，分式无意义， ∴当时，分式的值为整数． 35．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)与分式是“关联分式”，理由见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题属于创新探究类试题，主要考查了分式的混合运算、解不等式组等知识点，理解“关联分式”的定义是解决本题的关键． （1）根据关联分式的定义进行判断即可； （2）仿照题目中给到的方法进行求解即可； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：是的“关联分式”，理由如下： ∵，， ∴是的“关联分式”． （2）解：设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． （3）解：①设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得，解得． 类型八、分式方程的规律探究、新定义型问题 36．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 37．（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 【详解】（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 38．（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 39．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）不妨定义：如果两个代数式A，B的值满足，则称A，B具有和谐关系．当具有和谐关系的两个代数式A，B都是整式时，则称A，B互为和谐整式；当具有和谐关系的两个代数式A，B都是分式时，则称A，B互为和谐分式． (1)判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”． ①整式与对任意x都具有和谐关系；（  ） ②分式 与 互为和谐分式；（  ） ③如果分式与互为和谐分式，则．（  ） (2)当时， 如果分式与始终互为和谐分式，求a和b的值； (3)已知x，y都是整数，当整式与互为和谐整式时，求x、y的值． 【答案】(1)① ×；②√；③ × (2) (3)或 或或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解二元一次方程组，因式分解的应用，分式的加法运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据和谐分式和和谐整式的定义可判断①②；根据和谐分式的定义可得方程，解方程可判断③； （2）根据和谐分式的定义可得，则可得到，进而得到，解之即可得到答案； （3）根据题意可得，则可推出，再把5分解成2个整数的乘积，则可得到关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：①， ∵对于任意的x，的值不一定为1， ∴整式与对任意x不一定具有和谐关系，故错； ②， ∴分式 与 互为和谐分式，故对； ③当分式与互为和谐分式时，则， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，故错； （2）解：∵当时， 如果分式与始终互为和谐分式， ， ∴， ∴， ∵当时，等式恒成立， ∴， ∴； （3）解：∵与互为和谐整式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或 或 或 解得或 或或． 40．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． 【探索规律】 （1）__________；__________； （2）若x是正整数，猜想__________． 【应用规律】 （3）若，其中x是正整数，求x的值； （4）若，其中x是正整数，尝试直接写出所有x的值__________． 【答案】（1）；1；（2）；（3）4042；（4）7或8或13 【分析】（1）理解题意，根据“最佳分解”的定义进行计算即可； （2）由，结合“最佳分解”的定义即可得出答案； （3）结合（2）可得出关于x的分式方程，解出x，再验算即可； （4）根据题意可设，且t为正整数，可得，再由t，x均为正整数，，然后分类建立方程组求解即可． 【详解】解：（1）20可以分解成，或，因为， 所以是20的最佳分解， 所以； 36可以分解成，，，或，因为， 所以是的最佳分解， 所以； 故答案为：；1； （2）∵，且， ∴； 故答案为：； （3）∵ ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴x的值为4042； （4）∵， ∴可设，且t为正整数， ∴， ∴， ∵t，x均为正整数，， ∴或或或或 ∴（舍去）或或（舍去）或或， ∴所有x的值为7或8或13． 故答案为：7或8或13 类型九、分式方程的实际应用问题 41．（25-26八年级上·河北沧州·期末）商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍． (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 【答案】(1)A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元 (2)17个 【分析】（1）设B玩具进价为元，则A玩具进价为元，结合用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍，再建立方程求解即可； （2）设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，结合总的利润超过120元，再建立不等式求解即可. 【详解】（1）解：设B玩具进价为元，则A玩具进价为元， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解 ∴A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元． （2）解：设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，由题意得： 解得 的最小值是17 所以最少购进A玩具17个． 42．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 【答案】(1)纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元 (2)小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算 【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式在实际购车费用问题中的应用，解题关键是根据 “行驶里程相同”“费用比较” 等条件建立方程或不等式，理清费用的组成部分． （1）根据两款车行驶里程相同，建立分式方程求解每千米行驶费用，注意分式方程解完后必须检验； （2）根据年使用费用的构成（行驶费用 + 保险费 + 保养费），分别列出两款车的年费用表达式，再根据 “电动车更划算” 的条件建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， , 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元． （2）解：设小明家年平均行使里程为， 纯电动汽车的年使用费用为元， 燃油车的年使用费用为元， 根据题意得：， 解得：， 答：当小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算． 43．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的倍． (1)求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？ (2)制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少件才能保证在乘车前完成任务． 【答案】(1)甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿 (2)不能，12件 【分析】（1）设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作件青铜器皿，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲队的工作效率，再将其代入中，即可求出乙队的工作效率； （2）求出甲、乙两队两小时可完成的工作量，将其与剩下的任务比较后，可得出如果速度保持不变他们不能在乘车前完成任务，设两队合作后每小时需要多做y件才能保证在乘车前完成任务，根据两队要在乘车前完成任务，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作件青铜器皿， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 件 答：甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿； （2）解：第1小时甲、乙两队共制作：（件）， 总任务为（件）， 剩下的任务为（件）． 合作时，甲、乙两队每小时共制作（件）， 因为，所以他们不能在乘车前完成任务． 设两队合作后每小时需要多做件才能保证在乘车前完成任务， 根据题意得：， 解得：． 所以的最小值为12． 答：不能在乘车前完成任务，两队合作后每小时至少需要多做12件才能保证在乘车前完成任务． 44．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量： 油价：8元 电价：元 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用________元． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1) (2)燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元 (3)每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表格进行求解即可； （2）根据“燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可； （3）设每年行驶的里程为m千米，根据“新能源车的年费用更低”建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为（元）； （2）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ，， ∴燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； （3）解：设每年行驶的里程为m千米， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 45．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 【答案】(1)A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元 (2)最大利润为1998元 【分析】（1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元． （2）解：根据题意，得：， 解得：， A款电热毯的售价为（元）， B款电热毯的售价为（元）， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵且x为正整数， ∴当时，W的值最大，． 答：最大利润为1998元． 类型十、平行四边形的性质和判定综合问题 46．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 47．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 48．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：； (2)连接，若，平分． ①求证：； ②若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是根据平行四边形的性质与全等三角形的性质找边、角之间的关系． （1）因为四边形是平行四边形，所以，可得内错角相等；由折叠的性质得，得到，推出，因为点E是中点，所以，又由翻折知，所以；利用全等三角形的判定定理即可证明； （2）①因为，所以是等腰三角形，由翻折可得；因为平分，所以；再结合平行四边形的性质，可得角的关系，进而推出；②由（1）的全等可得相关线段相等，结合平行四边形的性质得到线段间的关系；再结合①中，利用勾股定理建立线段的等式，通过等量代换推导得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴，即， ∵点E是中点， ∴， 由翻折知， ∴； ∵， ∴； （2）①证明：如图， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 由翻折可得，，即， ∵平分， ∴； ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知， ∴， ∴， ∴， ∵点E是中点， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 49．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，将绕点D顺时针旋转（），得到，点A，B的对应点分别为点F，E． 猜想证明：（1）如图2，当于点P时，分别与线段交于点G，H．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 数学思考：（2）如图3，当B的对应点E恰好在线段上时，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 拓展探究：（3）在图3的基础上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）．理由见解析；（2），理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作合适的辅助线是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，进而得到，则，，即，然后可得； （2）由，则，进而得到，即，再由平行四边形性质可得； （3）过作交于，延长交于，连接，根据勾股定理可得，进而可得，再由勾股定理求即可． 【详解】（1），理由如下： 连接， ， ， 由旋转的性质可知，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ，即； （3）过作交于，延长交于，连接， ，，， ， ， ，解得， ， ， ，则四边形为矩形， ，， ， 由（2）知，，， 为的中点， ， ． 50．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）我们在平面几何的学习中，会碰到许多常见的几何模型，“手拉手”模型就是其中之一，面对题目时我们常会“寻模而入，破模而出”． (1)如图1，在和中，，，，求证：； (2)如图2，在中，的平分线交于点，将点绕点逆时针旋转，得到点，分别连接，，． ①求证：； ②试探究线段和线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，点，分别在，上，且，，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理； （1）根据已知条件证明， （2）①根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，得出，则，结合平行四边形的 性质，即可得证； ②分别连接，，根据旋转的性质得出是等边三角形，进而证明，再证明是等边三角形，即可得出结论； （3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中： ； （2）①四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ； ②，理由如下： 如图，分别连接，， 点绕点逆时针旋转，得到点， ，， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， 在和中： ； ，， ， 即， 是等边三角形， ； （3）解：如图，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，， 设，则， ， ， 又， 是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， 即， ， 即的长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $