期末压轴专题06 选填压轴题70练（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦初中数学期末选填压轴，以14类核心题型系统覆盖二次根式、勾股定理、四边形、一次函数等模块，通过各地期末真题构建从概念应用到综合拓展的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|5题|含程序框图、新定义运算、海伦公式应用|从运算规则到实际问题，强化符号意识| |勾股定理|15题（3类型）|证明方法、折叠问题、逆定理应用|从定理证明到折叠动态，构建“性质-应用”链条| |四边形|25题（4类型）|平行四边形性质判定、特殊四边形综合|从一般到特殊，形成概念递进关系| |一次函数|25题（5类型）|图象性质、共存问题、几何综合|结合动点与实际应用，体现数形结合思想|

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题06选填压轴题70练 目录 类型一、二次根式的混合运算 .2 类型二、勾股定理的证明方法… .6 类型三、勾股定理与折叠问题， …10 类型四、勾股定理的逆定理及其应用….14 类型五、平行四边形的性质和判定……， 18 类型六、矩形的性质与判定...... 24 类型七、菱形的性质与判定 .34 类型八、正方形的性质和判定，。 ….41 类型九、动点问题的函数图象 47 类型十、一次函数的图象和性质· .53 类型十一、一次函数的图象共存问题. .57 类型十二、一次函数与方程（组)、不等式·. 60 类型十三、利用一次函数解决实际问题 66 类型十四、一次函数与几何的综合问题 71 类型一、二次根式的混合运算 1.(24-25八年级下·河北邢台期末)如图是一个程序框图，若输入x=72,则输出y的值为() 输入x(x≥0) x ×(V2+V3) 输出y A.15+7V6 B.9+56 C.9-56 D.56 2.(25-26八年级上·上海静安期末)某同学做了以下四道习题，①V16a=4a2;②V5a0a=5V2a;③ :a,9二a;④3a-V2a=a,其中做错的题有C aa A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26八年级上湖南益阳期末)对于实数m,n,规定一种新运算※：m※n=√m-m√n,例如 2※18=√2-2√18=√2-6√2=-5√2，则3※27=() A.-8V3 B.8V5 C.7W2 D.7 4.(25-26八年级上·河南许昌·期末)古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的 三边求面积公式，称为海伦一秦九韶公式如果一个三角形的三边长分别是a,b,G,记p=a+h+C,那 2 1/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 么三角形的面积为S=√p(p-a)(p-b)(p-c.在ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c, 若a=8,b=4,c=6,则ABC的面积为() A.315 B.3v35 C.95 D.16 5.(25-26八年级上·重庆期末)已知代数式M=a√+b,N=c√x+d,其中a,b,c,d,x均为正整数， 且x不是完全平方数.若a+b=2",c+d=2”,且m,n为正整数.则下列说法正确的个数() ①若M=N,则m=n, ②若=2，目x=2,则不存在任何的m,n满足条件 ③若M·N=4V3+8,则M,N共有4种结果 A.0 B.1 C.2 D.3 类型二、勾股定理的证明方法 6.(25-26八年级上·湖北武汉·期末)“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一 种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式a2-b2=(a+b)(a-b)成立的是() 6 a-b a b a 6 6 ac D a-b b a a b Q b 7.(25-26八年级上·山东枣庄·期末)下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的 是() b a a b a D C D.C b b A. 6 b a B a b 8.(25-26八年级上河北保定期末)意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中 2/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 空白部分的面积为S,图2中空白部分的面积为S2,则下列判断不正确的是() b 剪开 右边部分 上下翻转 图1 左右 图2 A.a2+b2=c2 B.S2=c2+ab C.S=S2 D.S=a2+b2+2ab 9.(25-26八年级上浙江湖州期末)“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解 决几何问题的重要工具，中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史.勾股定理 目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一，以下四幅图中，无法证明勾股定理 的是() C a b a a b B C cD b ■ 0 10.(24-25八年级上·广东佛山期末)意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不 一样的空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理.小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边 形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成.己知六边形ABCDEF的面积为14， SE方彩4BGF:SE方形cDG=4:1.小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中∠B'A'F'=90°，则四边形B'C'E'F'的 面积为() A F B B E E ① D ② ①D ② 图1 图2 A.12 B.10 C.6 D.4 3/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、勾股定理与折叠问题 11.(24-25八年级上·福建福州·期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=9,AC=15,将△ABC折叠，使点 C与点A重合，折痕为DE,则△ABE的周长为 C 12.（25-26八年级上山东菏泽·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是-3,0)，点B的坐标是 (O,4),点C是OB上一点，将ABC沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点B处，则OC的长为 y B 0 B 13.(25-26八年级上·山西运城期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,点D是BC上 一点，连接AD,将△ACD沿着AD折叠，使点C落在AB上的点E处，过点B作BF⊥AD,交AD的延长 线于点F,则BF的长为 D 14.(25-26八年级上·广西来宾·期末)如图所示，由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿CD折 叠，使点A落在斜边上的点A处，再沿DE折叠，使点B落在DA'的延长线上的点B处.若图中LA=90°， DE=3cm,CD=4cm,则DA'的长为 4/21 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 15.(25-26八年级上河南郑州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点D为边 AC上一动点，DE⊥AB交AB于点E,将∠A沿直线DE折叠，点A的对应点为F,当△DFC是直角三角 形时，AD的长为 D 类型四、勾股定理的逆定理及其应用 16.(25-26八年级上甘肃天水期末)已知a,b,c是ABC的三边长，且满足关系Va2-b2-c2+b-c=0, 则ABC的形状是 17.(25-26八年级上江苏泰州·期末)如图，在ABC中，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、F, AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、G,点E在点D右侧.若BD=I0,DE=6,CE=8,则ABC的面 积为 E 18.(25-26八年级上广东清远期末)如果实数a,b,c满足a2+b2=c2,那么我们称一元二次方程 +c+c=0Q0为方程，已@r-1=0:②r-x+2三0：包+子x+0:@ 4x2+3x=5.上述方程是“勾股”方程的有· (填序号) 19.（25-26八年级上·天津南开期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫 5/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 格点.ABC的顶点A,B,C均在格点上. (1)∠ABC= 度； (2)取格点D,连接AD,BD,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段BD上画出点P,使得 ∠APD=2∠ABD,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 20.(25-26八年级上·湖南·期末)阅读下列内容，设Q,b,c是一个三角形的三条边的长，且Q是最长边， 我们可以利用a,b,c三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2=b+c2,则该三角形是直角三 角形；②若a2>b2+c2,则该三角形是钝角三角形；若③a2<b2+c2,则该三角形是锐角三角形 例如：若一个三角形的三边长分别是4,5,6则最长边是6，由于62=36<42+52，故由上面③可知该三 角形是锐角三角形，请解答以下问题， (1)若一个三角形的三条边长分别是6,7,8则该三角形是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）： (2)若一个三角形的三条边长分别是5,12，x且这个三角形是直角三角形，则x的值为· 类型五、平行四边形的性质和判定 21.(25-26九年级上山东烟台·期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交AB 于点E,∠8CD=60,4D=号4B,连接OE,下列结论：①S=4D-BD:②DB平分∠CDE:@ AO=DE;④OE垂直平分BD.其中正确的有() B A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 22.(25-26八年级上山东烟台·期末)如图，在口ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E,BF⊥CD于F, DE,BF相交于H,延长BF交AD的延长线于点G.下列结论：①BD=√2BE;②∠A=∠BHE;③ 6/21 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=BH;④△BCF≌△DCE;⑤DE+EC=AD,其中正确的结论有() D G A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 23.(25-26八年级上山东泰安期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC 于点E,且∠ADC=60°，AB=)BC=l,连接OB.下列结论：①0E⊥4C;②SEE=B×4C;③ OE=}BC;④BD=V万.成立的个数有(） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 24.(24-25八年级下·湖北武汉·期末)如图，已知ABC中，AB=AC=4,∠BAC=90°，点D为平面内一 点，满足AD=4,分别以AB,BD为边作ABDE,连接CE，则CE的最小值为一· D 25.(25-26八年级上山东潍坊期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm,BC=12cm,M 是BC上一点，且BM=8cm,点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点F从点B出发，以3cm/s的 速度向点C运动.当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，当以A、M、E、F为顶点的 四边形是平行四边形时，t的值为· A→E D >F M 7/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型六、矩形的性质与判定 26.(25-26八年级上·福建福州期末)如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于 点O,点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则EF+EG的值为() D G 号 .0 C.3 n.号 27.(24-25八年级下·四川眉山期末)如图，在矩形ABCD中，AD=√2AB,∠BAD的平分线交BC于点E ,DH⊥AE,垂足为H,连结BH并延长，交CD于点F,连结DE交BF于点O.下列结论： ①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BC-CF=2HE.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 28.(25-26八年级上福建福州·期末)如图，ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D在边AB上 (点D不与点A,B重合)，过点D作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,连接EF,DO为 △DEF的中线，连接A0,当△AOD是直角三角形时，A0的长是· E D 29.(25-26九年级上江苏徐州期末)如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=5,动点E、F分别从点A,C 同时出发，以相同的速度沿AB、CD向终点B、D运动，过点E、F作直线1，过点A作直线1的垂线，垂 足为G. 8/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B (1)当四边形AEFD是矩形时，线段AG的长为 (2)在整个运动过程中AG的最大值为， 30.(25-26九年级上·安徽合肥期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5,动点E从点A出发，沿边 AD,DC向点C运动，A,D关于直线BE的对称点分别为M,N,连接MN, M 备用图1 备用图2 (1)如图，当E在边AD上且DE=1时，∠AEM的度数是 (2)当直线MN恰好经过点C时，DE的长是· 类型七、菱形的性质与判定 31.(25-26八年级上·山东潍坊期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC=10,BD=24.点 P是边BC上的动点，过点P作PM⊥BO,垂足为点M,PN⊥CO,垂足为点N,连接MN,则MN的最 小值为() D 60 24 A. 13 B. 5 c号 D.13 32.(25-26八年级上山东济南期末)如图，矩形ABCD中，分别以A,C为圆心，以大于AC的长为半 径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN分别交AD,BC于点E,F,连接AF和CE,若 BF=3,DC=3√3，以下结论正确的个数是() 9/21 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①四边形AECF是菱形；②AC=6V5:③S四边形PcE=9V3,④若点P是直线EF上的一个动点，则PC+PD 的最小值是9. M D A.1 B.2 C.3 D.4 33.(25-26八年级上山东泰安期末)如图，ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E,作 ED∥AB,EF∥AC,得到四边形EDAF,它的周长记作C;取BE中点E,作E,D,∥FB,·E,E∥EF, 得到四边形ED,FE,它的周长记作C,…,照此规律作下去，则C226=· E D B F 34.(25-26九年级上广东梅州期末)如图，菱形ABCD的边长为4，E,F分别是AB,AD边上的动点， BE=AF,∠BAD=I20°，则下列结论：①△BEC≌△AFC;②△ECF为等边三角形；③若AF=1,则 GE2④∠4GE=∠AFC,其中正确的有一，（填序号） GF 1 A F 35.(25-26九年级上·辽宁辽阳·期末)在菱形ABCD中，∠ABC=120°，边长AB为8，点M是AB边上一 点，点N是AD边上一点，将△AMN沿MN翻折，点A的对应点恰好落在菱形ABCD的一条边上，若 DA'=2,则AM的长为 D M 10/21 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型八、正方形的性质和判定 36. (25-26八年级上山东济南期末)如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直 线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F.若CG=8,EF=4V,则 AB=() G A.4 B.4+6 C.2+26 D.4+2V6 37.(25-26八年级上山东东营期末)如图，正方形ABCD中，AB=12,点E在边BC上，BE=EC,将 △DCE沿DE对折至△DFE,延长EF交边AB于点G,连接DG、BF,给出以下结论：①aDAG≌aDFG ;②BG=2AG;③SAGF=120;④BF∥DE.其中正确结论的个数是() D ------10 A.4 B.3 C.2 D.1 38.(25-26九年级上山西运城期末)在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,延长BD至点E,使 DE=OD,连接AE,点F为AE的中点，连接OF,若AB=4,则OF的长为 E 11/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 39.(25-26八年级上山东东营·期末)如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形0AB,C,的两边在坐 标轴上，以它的对角线OB,为边作正方形OB,BC2,再以正方形OB,B2C,的对角线OB2为边作正方形 OB,BC…以此类推，则正方形的顶点B26的坐标是· B C B A 40.(25-26九年级上·河南许昌·期末)边长为4的正方形ABCD中，点E在边AD上，且AE=1,点F在边 AB上.当以点C、E、F为顶点的三角形是直角三角形时，AF的长为 类型九、动点问题的函数图象 41.(25-26九年级上河南开封·期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，动点P从点A 出发沿AC→CB运动到点B.设点P的运动路程为x,△APD的面积为y,y与x的函数图象如图2所示， 则AB的长为() SA 12 D 0 14市 图1 图2 A.10 B.12 C.14 D.16 42.(25-26九年级上河南省直辖县级单位期末)如图1，在菱形ABCD中，点P为对角线BD上一动点， 沿路径B→D以√3Cm/s的速度运动，同时点Q从B出发沿路径B→C以1cm/s的速度运动.设运动时间 为x(s,BP2的面积为ycm),y与x的函数图象如图2所示.若LBAD=120°，则图2中m的值为() 12/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3v3 2 m 图1 图2 A.3 B.2 C.6 D.25 43.(25-26九年级上·湖北孝感期末)如图1，口ABCD中，连接BD,动点P从点A出发沿折线 AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止.设点P运动的路程为x,线段AP的长为y,图2是y与x的 函数关系的大致图象，则”= ,ABCD的面积为 y B 10 6 P D 6 12 图1 图2 44.(25-26八年级上江苏盐城期末)如图(1)，在长方形ABCD中，E为边DC上一点，现有点P以 lcm/s的速度沿A→B→C→E运动，到达点E停止.△AEP的面积y(单位：cm)与点P运动的时间t(单 位：s)的关系图象如图(2)所示，当点P运动的时间t为 s时，△AEP为直角三角形. v/cmA D 24 18 8 a tls 图(1) 图(2) 45.(24-25七年级下·广东揭阳·期末)如图(1)，在矩形ABCD中，BC=5,动点P从点B出发，沿 BC一CD一DA运动至点A停止.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如 图(2)所示，则DC=一，y的最大值是 13/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11 图(1) 图(2) 类型十、一次函数的图象和性质 46.(25-26八年级上·安徽合肥期末)关于一次函数y=3x-2的性质及其图象，下列说法正确的是（) A.y的值随x值的增大而减小 B.该函数的图象经过第一、二、三象限 C.点(-1，-5)一定在函数图象上 D.（-3,y)和(2，y2)是图象上两点，则>y2 47.（25-26八年级上河南平顶山期末)关于函数y=-5x+√6下列结论正确的是（) A.函数图象一定经过点(V2,-26) B.函数图象与坐标轴围成的三角形面积为√5 C.y的值随x的值的增大而增大 D.函数图象经过第一、二、三象限 48.(25-26八年级上·陕西咸阳·期末)已知一次函数y=x-8(k为常数且k<0)的图象与坐标轴围成的面 积为8，则下列关于一次函数y=x-8的结论错误的是() A.函数值随自变量的增大而减小 B.函数图象经过第二、三、四象限 C.函数图象与x轴的交点坐标是(2,0)D.函数图象可由函数y=-4x的图象平移得到 49.(25-26八年级上陕西汉中期末)己知一次函数y=x+b(k、b为常数，k≠0)的图象经过点(-1,5)和 (2,4),则下列说法正确的是() A.y随x的增大而增大 B.它的图象经过第一、二、三象限 C.将y=-2x的图象经过平移可得到y=kc+b的图象 14/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.它的图象与x轴的交点坐标为 50.(25-26七年级上山东烟台期末)关于x的一次函数y=mx+2-4m(m≠0)，下列说法不正确的是() 1 A.若函数图象经过原点，则m= 2 B.若m=-1,则函数图象经过第一、二、四象限 C.函数图象一定经过点(4,2) D.若m>0,则函数图象经过第一、三、四象限 类型十一、一次函数的图象共存问题 51.(25-26八年级上山东济南期末)在同一平面直角坐标系中，函数y=x(k≠0)和y=-kx+k(k≠0)的 图象可能是() 52.(25-26八年级上·山东青岛期末)一次函数y=x-b与正比例函数y=-bx在同一坐标系中的图象可能 为() 之 53.(25-26八年级上山东青岛·期末)正比例函数y=ax与一次函数y=ax+2a在同一平面直角坐标系中的 图象可能是() 15 /21 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 54.(25-26七年级上山东烟台期末)在同一平面直角坐标系中，函数y=c和y=x+k的图象可能是() 55.(25-26八年级上·陕西西安期末)正比例函数y=mnx(mn≠0)的一次函数y=mx+n在同一平面直角坐 标系中的图象可能是() 衣，品 类型十二、一次函数与方程（组)、不等式 56.（25-26八年级上·上海期末)一次函数y=kx+b(k≠0)的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表提 供的信息，下列说法正确的是() -2 -1 0 -7 -3 A.y的值随x值的增大而减小； B.y的值随x值的增大而增大； C.不等式kx+b>0的解集为x<1; D.不等式kx+b>1的解集为x<0. y=3x+4 57.(25-26八年级上陕西西安期末)若关于x,y的方程组 y=(k+)x-3无解，则下列结论正确的是() A.直线y=3x+4与直线y=(k+1)x-3的交点在第一象限 B.直线y=3x+4与直线y=(k+1)x-3的交点为-1,1) C.直线y=(1-2k)x-3不经过第一象限 D.直线y=x+k交y轴于负半轴 58.(25-26八年级上·福建漳州期末)将正比例函数y=-2x的图象向上平移3个单位长度得到一次函数 16/21 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=-2x+b的图象，下列结论中错误的是(). A.b=3 B.一次函数y=-2x+b的图象经过点(1，) C.对于一次函数y=-2x+b,当x>0时，y<3 D.若点A(-2,y),B(3,y2)均在一次函数y=-2x+b的图象上，则y<y2 59.(25-26八年级上河南平顶山期末)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b,与y=k2x+b的图 象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数y=kx+b的图象中，y的值随着x值的增大而减 x=2 小；②b>b2;③方程kx+b,=0的解为x=1;④方程组 kx+b=y的解是 y=1· 其中正确结论的个数 k,x+b2=y' 是() VA y=k,x+b, 2 y=k x+b A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 60.(25-26八年级上安徽滁州期末)已知直线4：y=c+b与直线么：y=2x+m都经过点E(-1,3),直 线交x轴于点A,交y轴于点B(0,4),直线交y轴于点C,交x轴于点D,直线∥直线Z且经过原点， 且与直线马交于点F,点P为x轴上任意一点，连接PC,PF,对于以下结论，正确的个数有() y=kx+b x=-1 ①方程组{1。的解为 y=- y=3:②90o-2 石：③SE=21;④当PF+PC的值最小时，点P 的坐标为(1,0) 17/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E F D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型十三、利用一次函数解决实际问题 61.(25-26八年级上·河北保定·期末)在一条笔直的公路上，A,B两地相距120km,甲车从A地开往B地， 乙车从B地开往A地，甲比乙先出发.设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y 与x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是() y/km 120 60-- Oa 5 x A.甲车的速度为20km/h B.乙车的速度为30km/h C.a=1 D,当乙车达到A地时，甲车离A地的距离为90km 62.(25-26八年级上河北张家口·期末)在一定条件下某溶液的体积Vml与温度t℃(120)成一次函数关系， 函数图象如图所示，下列判断不正确的是() ◆VmL 4.8 40c A.0℃时，该溶液的体积为4ml B.'与t的函数关系式为∥=0.02t+4 18/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.若要求该溶液的体积不超过5.5m1,则0≤t≤75 D.温度t每增加1℃该溶液体积V就增长4ml 63.(25-26八年级上江苏盐城期末)如图，在平面直角坐标系中，线段0A,BC分别表示1号、2号无人 机在队形变换中飞行高度y,y2(m)与飞行时间x(s的函数关系，其中y2=-4x+150,线段OA与BC相交 于点P,AB⊥y轴于点B,点A的横坐标为25，则在第 秒时1号和2号无人机在同一高度。 个y/米 25 C秒 64.(25-26八年级下·全国·课后作业)甲、乙两车沿同一条平直的公路从A地匀速行驶（中途不停留）至 地，甲、乙两车之间的距离y(单位：k)与甲车行驶的时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示.小 红通过图象得出以下结论：①甲车的速度为45km/h;②A,B两地相距240km;③乙车行驶2h后追上甲 车；④乙车从A地到B地共用h.其中正确的是 (填序号). y/km 30 15 02 28114t/h 3 65.(25-26八年级上·安徽阜阳期末)现有A,B两种品牌的共享电动车，上面图象反映了收费y（元)与骑 行时间x(分钟)之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y,B品牌的收费方式对应，当两种品牌共 享电动车收费相差4元时，x的值是 个元 V 8 6 1020 x/分钟 19/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型十四、一次函数与几何的综合问题 66.(25-26八年级上广东深圳期末)如图，矩形0ABC的顶点0在坐标原点，边OA、0C分别在y、x轴 正半轴上，OA=8,OC=12,D是AB中点，E在y轴上移动，将R1aADE沿DE翻折至△FDE,当OF的 长最小时，此时F点的坐标为 D A C主 67.(25-26八年级上·江苏宿迁期末)如图，正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴上，点B(-7, S)在直线I:y=-2上，直线1分别交x轴，y轴于点E,F,将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位 长度后，点C恰好落在直线l上，则m的值为· 68.(25-26八年级上·天津西青期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(0,3),点B(3,-3),直线m经过点 C(O,-1),且与x轴平行，点M,N分别是x轴和直线m上的动点，且MN⊥x轴，连接AM,MN,NB. M C m (1)线段MN的长是 (2)当AM+MN+NB取得最小值时，点M的坐标是 69.(25-26八年级上浙江宁波期末)如图，一次函数y=-2 x+6的图象分别交y轴正半轴于点A,交x轴 4 20/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正半轴于点B.作LBAO的平分线交x轴于点P,点C在y轴上，点D在射线AB上，若△PCD是以PD为 直角边的等腰直角三角形，则点D的坐标为 · B 70.(25-26八年级上江苏扬州期末)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点P(x,y(xy≠0)是平面内 任意一点.过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点M和点N,若四边形PMON的周长为6，则点 P叫做“调和点”.例如：如图中的P(2,-1)是一个“调和点”.若一次函数y=kx+k-4的图象上存在“调和点”， 求k的取值范围为 y个 M P(2,-1) 21/21 期末压轴专题06 选填压轴题70练 目录 类型一、二次根式的混合运算 2 类型二、勾股定理的证明方法 6 类型三、勾股定理与折叠问题 10 类型四、勾股定理的逆定理及其应用 14 类型五、平行四边形的性质和判定 18 类型六、矩形的性质与判定 24 类型七、菱形的性质与判定 34 类型八、正方形的性质和判定 41 类型九、动点问题的函数图象 47 类型十、一次函数的图象和性质 53 类型十一、一次函数的图象共存问题 57 类型十二、一次函数与方程（组）、不等式 60 类型十三、利用一次函数解决实际问题 66 类型十四、一次函数与几何的综合问题 71 类型一、二次根式的混合运算 1．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海静安·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断各等式的正确性． 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，错误； 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖南益阳·期末）对于实数，，规定一种新运算：，例如，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的运算，理解新定义运算和掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据定义将给定的实数代入规定的新运算公式，再利用二次根式的化简法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：A． 4．（25-26八年级上·河南许昌·期末）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式.如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为.在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算以及化简二次根式． 先根据三角形三边长度计算出的值，再代入海伦—秦九韶公式计算三角形的面积即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴的面积． 故选： 5．（25-26八年级上·重庆·期末）已知代数式，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（   ） ①若，则， ②若，且，则不存在任何的m，n满足条件； ③若，则M，N共有4种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据x不是完全平方数，得到为无理数，得到时，，进而得到判断①；根据且，得到，进而推出，判断②；根据，得到，求出正整数解，进行判断即可． 【详解】解：∵x不是完全平方数， ∴为无理数， ∵，其中a，b，c，d，x均为正整数， ∴当时，， ∵， ∴， ∴；故①正确； 当且时，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵均为正整数， ∴为正整数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 不存在正整数，使； 故不存在任何的m，n满足条件；故②正确； 当时，则， ∴， ∵均为正整数，， ∴或， 当时，则，，， 不存在正整数满足条件； 当时，则或，，，或， ∴或； 当时，；满足题意； 当时，；满足题意； ∴M，N共有2种结果；故③错误； 故选C． 类型二、勾股定理的证明方法 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 7．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的验证方法，关键是利用图形的面积关系，通过等面积法推导，判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：对于选项A，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ，展开化简得，可以验证勾股定理． 对于选项B，梯形的面积可表示为，也可表示为， ， 展开化简得，可以验证勾股定理． 对于选项C，图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，不能用来验证勾股定理． 对于选项D，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ， 化简得，可以验证勾股定理． 故选：C． 8．（25-26八年级上·河北保定·期末）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是读懂图形信息．根据图形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：∵将右半部分翻转，大小不变， ∴，故C正确； ∵，故D不正确， ，故B正确， ∴， ∴，故A正确． 故选：D． 9．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 10．（24-25八年级上·广东佛山·期末）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的几何验证，解题的关键是熟知勾股定理的运用． 根据图形及勾股定理的验证得到，故四边形的面积等于四边形的面积加上四边形的面积，再根据六边形的面积为14，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵六边形的面积为14， ∴ 解得，（舍去）， 根据图形及勾股定理的验证得到， ∴四边形的面积=四边形的面积加上四边形的面积． 故选：B． 类型三、勾股定理与折叠问题 11．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的周长为______． 【答案】21 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据图形翻折变换的性质得出，进而求出的周长． 【详解】解：在中，， ∴， ∵是翻折而成， ∴， ∴， ∴的周长． 12．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________． 【答案】 【分析】先由折叠得，算出，再设，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：由折叠可知，，； ∵点，点， ∴， 则； ∵点，则， ∴； 设，则， 在中，， 即 解方程得：，即． 13．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，由折叠得，，，，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 14．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得出，再利用勾股定理求出，最后根据等面积法求解． 【详解】解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形时，的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．分两种情况讨论，由勾股定理和折叠的性质可求解． 【详解】解：当时， ∵将沿直线折叠，点A的对应点为F． ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，． ∴， ∴， 当时，点F与点B重合，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 类型四、勾股定理的逆定理及其应用 16．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______． 【答案】 等腰直角三角形 【分析】本题考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，判断三边能否构成直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分都为零，得出三边关系，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵a，b，c是的三边长， ∴满足勾股定理且有两边相等， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 17．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为_________． 【答案】96 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理，连接，线段垂直平分线的性质，得到，勾股定理逆定理得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：96． 18．（25-26八年级上·广东清远·期末）如果实数，，满足，那么我们称一元二次方程为“勾股”方程．已知①；②；③；④．上述方程是“勾股”方程的有________．(填序号) 【答案】①②④ 【分析】本题考查新定义“勾股”方程的判断，关键是先将方程化为一元二次方程的标准形式，确定每个方程的、、的值，再验证是否满足． 【详解】解：方程①化为标准形式为，其中，，． ∵，， ∴，故①是“勾股”方程； 方程②为标准形式，其中，，． ∵，， ∴，故②是“勾股”方程； 方程③为标准形式，其中，，． ∵，， 又，∴，故③不是“勾股”方程； 方程④整理为标准形式为，其中，，． ∵，， ∴，故④是“勾股”方程； 综上，是“勾股”方程的有①②④， 故答案为：①②④． 19．（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1）_______度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_________． 【答案】 45 取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理及其逆定理可证明是等腰直角三角形，据此可得答案； （2）取格点E，连接并延长，交于点P，则点P即为所求；可证明，则垂直平分，则，可得，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：（1）由勾股定理和网格的特点可得， ， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图所示，取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 故答案为：取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 20．（25-26八年级上·湖南·期末）阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是，，则最长边是，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是，，则该三角形是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，且这个三角形是直角三角形，则的值为_____． 【答案】 锐角 或 【分析】（1）先确定最长边，计算最长边的平方与另外两边平方和的大小，根据材料中的规则判断三角形形状； （2）分 “是最长边” 和 “ 是最长边” 两种情况，利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：（1）由， 可知， ∴该三角形是锐角三角形； 故答案为：锐角； （2）∵三边长分别为，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或. 故答案为：或. 类型五、平行四边形的性质和判定 21．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 22．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤． 【详解】解：∵中，，于， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵于，于， ∴， ∴， ∵在中， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④错误； ∴， ∵在中，， ∴，故③正确； ∵，故⑤正确； 故选：B ． 23．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出、，进而得到是等边三角形，又根据，证得，易证得是的中位线，进而得到；利用得到，进而得到；根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， 、， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点E是的中点， 是的中位线， 、， ， 故①正确； ， ， 故②正确； 、， ， ， ， 故③正确； 在中，，由勾股定理得， ， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：A． 24．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在延长线上截取，连接，，由平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，进而得出且，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理得出，再由三角形三边关系得出，进而可求出的最小值． 【详解】解：在延长线上截取，连接，， 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 25．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，M是上一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动；点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 类型六、矩形的性质与判定 26．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案． 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 27．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及≌是解题的关键． 由矩形的性质得，，因为，所以，则，则，则，可求得，而，所以，可判断正确；由，得，则，所以，可求得，则，所以，则，所以，再证明，则，可判断正确；再证明≌，得，，可判断正确；由，，推导出，而，则，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 故正确； ，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故正确； ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 故正确； ，， ， ， ， ， 故正确， 故选：D． 28．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，中，，，，点在边上（点不与点，重合），过点作，，垂足分别为点，，连接，为的中线，连接，当是直角三角形时，的长是______． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、二次根式的应用等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 连接，先证出四边形是矩形，经过的中点，利用勾股定理求出，再分两种情况：①当时，②当时，利用三角形的面积公式和勾股定理求出的长，则可得的长，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵为的中线， ∴点是的中点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分，且， ∴经过的中点， ∵在中，，，， ∴， ①如图，当时，是直角三角形， 则， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，； ②如图，当时，是直角三角形， 过点作于点， 同理可得：，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 综上，的长为或， 故答案为：或． 29．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，矩形中，，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿、向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G． （1）当四边形是矩形时，线段的长为______； （2）在整个运动过程中的最大值为______． 【答案】 4 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键． （1）根据矩形的性质，得到，，进而得到的长即为的长即可； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，圆周角定理得到点G在以为直径的圆上，进而得到当为直径时最大，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿、向终点B、D运动， ∴， 当四边形是矩形时，则：，， ∴， ∴， ∵， ∴E，G两点重合， ∴； 故答案为：4； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G在以为直径的圆上， ∴当为直径时，最大，此时为， 故答案为：． 30．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连接． （1）如图，当在边上且时，的度数是________． （2）当直线恰好经过点时，的长是_______． 【答案】 3或1.5 【分析】（１）画出图形，证明是等腰直角三角形，得到，由对称性知，最后根据即可求解； （２）分类讨论①当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上，利用三角形全等求解，②点在边上时，利用勾股定理，列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由对称性知， ∴； （2）①如图2，当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3，点在边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵， 在中，设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为3或1.5． 类型七、菱形的性质与判定 31．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短，根据菱形的性质可知，，，利用勾股定理即可求出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可知四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得：，根据垂线段最短可知当时，最短，利用三角形的面积公式即可求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， 四边形是菱形， ，，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 设中边上的高为， ， ， ， 的最小值是， 即的最小值是. 故选：A． 32．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点E，F，连接和，若，以下结论正确的个数是（   ） ①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，求得，根据作图过程可知：是的垂直平分线，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形；在中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得；根据菱形的面积可得；根据是的垂直平分线，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设交于点 四边形是矩形， ，， ， 由作法得：是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故①正确； 在中，， ∴， ∴，故②正确； ，故③错误； 是的垂直平分线， ∴， ∴， 即的最小值是9，故④正确； 故选：C． 33．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的性质和判定，找出周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴． 故答案为：． 34．（25-26九年级上·广东梅州·期末）如图，菱形的边长为4，E，F分别是边上的动点，，，则下列结论：①；②为等边三角形；③若，则；④．其中正确的有____．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】①根据菱形的性质，证明和是等边三角形，得出相等的角和边，证明即可； ②根据得出相等的边和角，然后根据菱形的性质即可证明为等边三角形； ③过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出高相等，求出三角形的面积比即可得出结论； ④根据三角形的外角定理进行证明即可． 【详解】解：①∵四边形为菱形，且， ∴， ∴和是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 故①正确； ②由①得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 故②正确； ③如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵四边形为菱形，且边长为4， ∴平分，， ∴，， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ④由①得， ∴， 又∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 综上，正确的选项为①②④， 故答案为：①②④． 35．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为________． 【答案】6或7 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 分落在上和落在上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】①当落在上时，如图， ∵菱形中，，边长为8， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当落在上时，如图： 作交的延长线于点，作于点， ∵菱形， ∴， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴； 综上：或； 故答案为：6或7． 类型八、正方形的性质和判定 36．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 37．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 38．（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明，，又因为点为的中点，得出，再根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____． 【答案】 【分析】首先根据图形的规律，计算出的长度，再根据与轴正半轴夹角的变化规律，得出所在的位置，最后根据正方形对角线和边长的关系，求出坐标 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵正方形以正方形的对角线为边， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 由图可得，，， ∴在轴的正半轴上， ∴正方形顶点的坐标为， 故答案为：． 40．（25-26九年级上·河南许昌·期末）边长为4的正方形中，点在边上，且，点在边上．当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 【答案】或2 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．分别计算当、或为直角时的长度． 【详解】解：正方形的边长为4， ， 点在边上，且， ， 令，则， 在中，，， 在中，，， 在中，，， 当时，， ， 解得，， ； 当时，， ， 解得，， ； 当时，， ， 解得，（不合题意，舍去） 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 类型九、动点问题的函数图象 41．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，中，，点D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】从函数图象终点得到直角三角形两直角边之和，从图象峰值得到点到达时的最大面积为12．利用直角三角形斜边中点性质，得到 面积与两直角边的关系，联立两直角边之和的方程，解出两直角边的乘积．结合勾股定理，通过两直角边的和与积，计算出斜边的长度． 【详解】解：动点从沿到，总路程（由图2终点得）． 当到时，面积最大为12； 是中点，故到的高为． 设，， 则 化简得： 根据勾股定理： 代入数值： 开方得：． 【点睛】从函数图象中提取直角边之和与最大面积的信息，再构建方程求解边长． 42．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图1，在菱形中，点P为对角线上一动点，沿路径以的速度运动，同时点Q从B出发沿路径以的速度运动．设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示．若，则图2中m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数图形的性质，根据菱形的性质得到，结合题意，，则，由二次函数图形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 点P的运动路径以的速度运动，点Q的运动路径以的速度运动，设运动时间为， ∴，， 如图所示，过点作于点， 在中，， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 43．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 【答案】 22 【分析】此题主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为E，在下图中标注点M、N，且，结合运动轨迹及运动图象得出，然后利用等腰三角形的性质得出，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积． 【详解】解：如图所示，作，垂足为E， 在下图中标注点M、N，且， 当点P从点A运动到点B时，对应于线段， ∴， 当点P从点B运动到点D时，对应于曲线， ∴， ∴， 当点P到点D时，对应于图中的点N， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：，． 44．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图（1），在长方形中，为边上一点．现有点以的速度沿运动，到达点停止．的面积（单位：）与点运动的时间（单位：）的关系图象如图（2）所示，当点运动的时间为___________时，为直角三角形． 【答案】2或12/12或2 【分析】由图①②的关联信息可知，当点P从点A运动到点B的运动时间为，可求出；当点P运动到点B处，由求得，当点P运动到点C处，由求得，分两种情况：当时，当时，根据勾股定理分别列方程求解，即得t的值． 【详解】解：由图（1）（2）可知，当点P从点A运动到点B的运动距离为； 当点P运动到点B处，， ， 解得， 当点P运动到点C处，， ， 解得， ∴ 当时，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ； 当时， 如图，连接， 此时， ∴， ∴，即点此时点P不在边上， 若点P在上，则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 解得； 当点P运动的时间t为或时为直角三角形． 故答案为：2或12． 45．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图（1），在矩形中，，动点P从点B出发，沿运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图（2）所示，则_____ ，y的最大值是_______ ． 【答案】 6 15 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．注意解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，找到面积不变的开始与结束，得到的具体值． 首先结合题意可得当点P运动到点C，D之间时，的面积不变，则可得当，继而求得答案． 【详解】解：动点P从点B出发，沿运动至点A停止， ∵当点P运动到点C，D之间时，的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程， ∴时，y开始不变，说明时，又开始变化，说明． ∴的面积为：． 故答案为：6，15． 类型十、一次函数的图象和性质 46．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（   ） A．y的值随x值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、二、三象限 C．点一定在函数图象上 D．和是图象上两点，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，灵活运用一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的增减性、图像经过的象限、点与函数图像的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵一次函数为，其中，， ∴A．由，则的值随值的增大而增大，故A错误，不符合题意； B．由，，则该函数图像经过第一、三、四象限，故B错误，不符合题意； C．当时，，即点一定在函数图像上，故C正确，符合题意； D．由，随的增大而增大，且，即，故D错误，不符合题意． 故选C． 47．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）关于函数下列结论正确的是（    ） A．函数图象一定经过点 B．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 C．y的值随x 的值的增大而增大 D．函数图象经过第一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象经过的象限，一次函数与坐标轴的交点问题，求一次函数值，一次函数的增减性问题，求出时的函数值即可判断A；根据直线与坐标轴的交点坐标即可判断B；根据一次函数解析式即可判断C、D． 【详解】解：A、当时，，则函数图象不经过点，原结论错误，不符合题意； B、当时，，当时，，解得， ∴函数图象与坐标轴的两个交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为，原结论正确，符合题意； C、∵一次项系数为， ∴y的值随x 的值的增大而减小，原结论错误，不符合题意； D、∵一次函数解析式为， ∴函数图象经过第一、二、四象限，原结论错误，不符合题意； 故选：B． 48．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8，则下列关于一次函数的结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与x轴的交点坐标是 D．函数图象可由函数的图象平移得到 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，一次函数的增减性和一次函数图象经过的象限，求出一次函数与坐标轴的交点坐标，结合围成的面积求出k的值，再根据一次函数的性质逐一判断选项正误． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴一次函数（k为常数且）的图象与x轴、y轴分别交于点， ∵一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴函数值随自变量的增大而减小，函数图象经过第二、三、四象限，函数图象与x轴的交点坐标是，函数图象可由函数的图象平移得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论错误，符合题意， 故选：C． 49．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）已知一次函数（k、b为常数，）的图象经过点和，则下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．将的图象经过平移可得到的图象 D．它的图象与x轴的交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得． 【详解】解：将点，代入一次函数得， 解得， 则一次函数的解析式为， ∵， ∴这个函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，随着的增大而减小，选项A和选项B说法都不正确； ∵与的k值不同，平移不改变一次函数的k值， ∴将的图象经过平移无法得到的图象，选项C不正确； 当时，，解得， 则这个函数的图象与轴交于，选项D说法正确． 故选：D． 50．（25-26七年级上·山东烟台·期末）关于x的一次函数，下列说法不正确的是(   ) A．若函数图象经过原点，则 B．若，则函数图象经过第一、二、四象限 C．函数图象一定经过点 D．若，则函数图象经过第一、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，涉及一次函数过定点、象限分布、过原点的条件等知识点．关键是熟练掌握一次函数的性质：当时，随增大而增大；时，随增大而减小；时，图象与轴交于正半轴，时交于负半轴，进而判断图象经过的象限． 【详解】解：选项A：函数图象经过原点，将其代入，得，解得，故A正确，不符合题意； 选项B：当时，函数解析式为， ∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，故B正确，不符合题意； 选项C：将代入，得， ∴无论取何非零值，函数图象都经过点，故C正确，不符合题意； 选项D：若，则，但的符号不确定： 当时，，函数图象经过第一、二、三象限； 当时，，函数图象经过第一、三象限； 当时，，函数图象经过第一、三、四象限． 因此“若，则函数图象经过第一、三、四象限”，故D错误，符合题意； 故选：D． 类型十一、一次函数的图象共存问题 51．（25-26八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键，先根据一次函数与坐标轴的交点排除A、B、C，进而可得出D正确． 【详解】解：，一次函数过点． A、一次函数过点， 由一次函数的图象可得，即， 而正比例函数图象可得，不合题意； B、一次函数不过点，不合题意； C、一次函数不过点，不合题意； D、一次函数过点， 由一次函数的图象可得，即， 而正比例函数图象可得，符合题意． 故选：D． 52．（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号是关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 53．（25-26八年级上·山东青岛·期末）正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 根据自变量的系数相同可排除C和D，再分析A和B即可得出答案． 【详解】解：∵自变量的系数相同， ∴两直线平行，故C和D不符合题意； A．由一次函数图象与y轴的正半轴相交得，由一次函数y随x的增大而减小得，矛盾，故A不符合题意； B．由正比例函数图象得，由一次函数图象得，故B符合题意． 故选：B． 54．（25-26七年级上·山东烟台·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布，理解题意是解决本题的关键． 在函数中，当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”，再进行讨论b的情况即可判断． 【详解】解：A由图象得，由图象得，故不符合题意； B由图象得，由图象得，故符合题意； C由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； D由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； 故选：B． 55．（25-26八年级上·陕西西安·期末）正比例函数的一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数和正比例函数的图象可得参数的取值范围，然后进行比较即可． 【详解】解：A.由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； B. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； C. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数一致，符合题意； D. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； 故选：C． 类型十二、一次函数与方程（组）、不等式 56．（25-26八年级上·上海·期末）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（    ） … … … … A．的值随值的增大而减小； B．的值随值的增大而增大； C．不等式的解集为； D．不等式的解集为． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数与一元一次不等式的关系，先根据表格数据判断增减性，再求出一次函数解析式，最后逐一判断各选项即可. 【详解】解：由表格可得，点，在一次函数上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； 由函数图象可得，的值随值的增大而增大，A错误，B正确； 由函数图象可得，不等式的解集为，C错误，； 由函数图象可得，不等式的解集为：，D错误； 故选：B． 57．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的解之间的联系，得到两直线平行是解题的关键． 根据方程组无解得出两直线平行，求出k的值，再逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵关于的方程组无解， ∴直线与直线平行， 即，解得， 两直线平行，无交点，故A、B错误； 将代入，得， ∵斜率，截距， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C正确； 将代入，得，当时，， 即直线交y轴于正半轴，故D错误． 故选：C． 58．（25-26八年级上·福建漳州·期末）将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到一次函数的图象，下列结论中错误的是（    ）． A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，一次函数的性质，掌握好平移规律是关键． 根据平移规律确定的值得到解析式，再逐一验证各选项找出错误结论即可． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移个单位长度，根据“上加下减”的平移规律， ∴得到的一次函数解析式为，即， 对于选项A：由上述推导得，此选项正确，不符合题意； 对于选项B：将代入，得， ∴图象经过点，此选项正确，不符合题意； 对于选项C：∵在中，， ∴随的增大而减小； 又∵当时，， ∴当时，，此选项正确，不符合题意； 对于选项D：∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴，此选项错误，符合题意． 故选：D． 59．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与二元一次方程组的关系．关键是：一次函数的增减性由的正负决定，是函数图象与轴交点的纵坐标；一元一次方程的解对应函数图象与轴交点的横坐标；二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：①∵一次函数的图象从左到右呈下降趋势， ∴，的值随着值的增大而减小，结论①正确； ②∵一次函数的图象与轴交于正半轴，的图象与轴交于负半轴， ∴，，故，结论②正确； ③∵一次函数的图象与轴的交点为， ∴当时，，即方程的解为，结论③正确； ④∵两个一次函数的图象交点坐标为， ∴方程组的解是，结论④正确； 综上，4个结论均正确， 故选：D． 60．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①方程组的解为的解为；②求出三条直线的解析式，得到， 得到，根据三角形的面积公式得到；③直接根据坐标点求出面积；④作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小，得出直线的解析式为， 当时，，得到，符合题意． 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：， ， ，， ，故③错误；； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 类型十三、利用一次函数解决实际问题 61．（25-26八年级上·河北保定·期末）在一条笔直的公路上，A，B两地相距，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度为 B．乙车的速度为 C． D．当乙车达到A地时，甲车离A地的距离为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象，求一次函数的解析式及一次函数的应用，根据图象计算出甲车和乙车的速度，即可判断A、B选项，求出两车的路程y与时间x之间的函数关系式，即可判断C、D选项． 【详解】解：由图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为， ∴甲车的速度为，乙车的速度为，故A、B项说法正确，不符合题意； 设甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入， 得，解得， ∴甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为， 设乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入，， ，解得， ∴乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为， 当时，，解得，即，故C项说法正确，不符合题意； 当时，，故D项说法错误，符合题意， 故选：D． 62．（25-26八年级上·河北张家口·期末）在一定条件下某溶液的体积与温度成一次函数关系，函数图象如图所示，下列判断不正确的是（　　） A．时，该溶液的体积为 B．V与t的函数关系式为 C．若要求该溶液的体积不超过，则 D．温度t每增加该溶液体积V就增长 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的性质逐个选项判断可以得解． 【详解】解：由题意，设一次函数解析式为， ∵一次函数的图象过， ∴． 解得：． ∴该函数解析式为，故B正确，不合题意． ∴当时，，则该溶液的体积为，故A正确，不合题意． ∵当时，，则， ∴要求该溶液的体积不超过，则，故C正确，不合题意． 又∵温度t每增加， ∴体积的增长． ∴该溶液体积V就增长，故D错误，符合题意． 故选：D． 63．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案．解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 由题意可知，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度，为， 故答案为：15． 64．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两车沿同一条平直的公路从地匀速行驶（中途不停留）至地，甲、乙两车之间的距离（单位：）与甲车行驶的时间（单位：h）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出以下结论：①甲车的速度为；②，两地相距；③乙车行驶2h后追上甲车；④乙车从地到地共用．其中正确的是____________（填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了追击问题在实际生活中的运用，行程问题的数量关系路程=速度×时间的运用，解答时认真阅读函数的图象的内涵意义是解答本题的关键． 由函数图象可以得出甲车行驶小时与乙车相遇，而甲车再行驶小时就与乙车相距可以得出乙车比甲车每小时快，得出甲车走完这所用时间为小时，就可以求出甲车的速度为，就可以求出全程距离为，由函数图象可以得出乙车追上甲车的时间是小时，乙车由地去地的时间为小时，则可以得出结论． 【详解】解：由函数图象及题意可得，甲车的速度为，故①结论正确； ，两地相距，故②结论错误； ， 在甲车出发后，乙车开始出发， 乙车追上甲车的时间是，故③结论正确； 乙车从地到地共用，故④结论错误． 综上所述，正确的是①③． 故答案为：①③． 65．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）现有两种品牌的共享电动车，上面图象反映了收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应品牌的收费方式对应，当两种品牌共享电动车收费相差4元时，x的值是________． 【答案】5或40 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数的应用；当、时，用待定系数法求出，再用待定系数法求出，结合两种品牌共享电动车收费相差4元，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，设，则有 ， 解得， ， ， 同理可得：， 当时，， 解得； 当时，， 解得或（舍去）， 综上所述：x的值是或， 故答案为：或． 类型十四、一次函数与几何的综合问题 66．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，矩形的顶点在坐标原点，边、分别在、轴正半轴上，，，是中点，在轴上移动，将沿翻折至．当的长最小时，此时点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，两点距离计算公式，一次函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 连接，，根据矩形的性质可求出，由折叠的性质可得，根据，则当、、三点共线时，有最小值；求出直线解析式为，设，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是中点， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴当、、三点共线时，有最小值； 设直线解析式为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点F的坐标为； 故答案为：． 67．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式的求解、全等三角形的判定与性质以及坐标平移的应用，先利用点的坐标求出直线的解析式，再通过全等三角形确定点的坐标，最后根据平移后点在直线上建立方程求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，过点作轴于点，过点作于点，则，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，则， 同理，证明， ∴，， ∴， ∴点的坐标为. 将正方形沿轴向下平移个单位后，点的对应点坐标为， ∵该点在直线上， ∴， 解得； 故答案为：． 68．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 【答案】 (1)1 (2) 【分析】本题考查两坐标间的距离，两点之间，线段最短，勾股定理，一次函数的解析式即性质，点的平移，将转化为是解题的关键． （1）由直线m与x轴平行，，可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据轴，即可求解； （2）将点向上平移1个单位得到，连接，设，则，求出，则，得到，当最小时，即取得最小值，再根据为定值，进而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵直线m与x轴平行，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵轴， ∴； 故答案为：； （2）将点向上平移1个单位得到，连接， 设，则， 则， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，即取得最小值， ∵为定值， ∴此时，取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， 故答案为：． 69．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点．作的平分线交轴于点，点在轴上，点在射线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，由一次函数解析式可得，，即得，，得到，再根据角平分线的性质可得，即得到，，再分且点在轴的正半轴上，且点在轴的负半轴上和三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：把代入一次函数，得， ∴， ∴， ∴， 把代入一次函数，得， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，， 当且点在轴的正半轴上时，如图，过点作轴于，则， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入一次函数，得， 解得， ∴； 当且点在轴的负半轴上时，如图，过点作轴于，则， 同理可证， ∴， 把代入一次函数，得， 解得， ∴； 当时，如图，过点作轴于，轴于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，把代入一次函数，得， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 70．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点是平面内任意一点．过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，若四边形的周长为，则点叫做“调和点”．例如：如图中的是一个“调和点”．若一次函数的图象上存在“调和点”，求的取值范围为____________ 【答案】或 【分析】先根据调和点的定义和矩形周长公式推导出调和点的坐标满足且、，通过分类讨论，得到调和点在正方形的边(正方形的顶点除外)上，；再对一次函数解析式变形，确定其恒过的定点；接着分别求出直线经过正方形的关键顶点和时的临界值，结合一次函数倾斜度的变化规律分类讨论，判断不同斜率区间内直线与轨迹是否有符合条件的交点，排除无交点的区间和不符合的临界值，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点， ∴四边形为矩形， ∵四边形的周长为，，， ∴，即，且，， 在第一象限内，，原方程可化为，在平面直角坐标系中表现为不含端点的线段； 同理，平面直角坐标系中满足的点在正方形上且不与点、、、重合， 问题转化为直线与正方形的边相交(正方形的顶点除外)， 将一次函数变形为， ∴当时，，即一次函数的图象必经过定点． ①当直线经过点时，将，代入解析式得： ，解得， 此时直线解析式为，线段在该直线上，故符合条件． 当时，直线与线段有交点，故符合条件． 综上，时满足条件． ②当直线经过点时，将，代入解析式得： ，解得， 此时直线解析式为， 当时，直线与线段有交点，故符合条件． 当时，直线与正方形的边相交(正方形的顶点除外)无交点，不满足要求． 综上所述，的取值范围为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $