期末压轴专题01 选填压轴题50练（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题01选填压轴题50练 目录 类型一、等腰（等边）三角形的性质与判定 2 9 类型二、直角三角形的性质与判定…… 类型三、不等式与不等式组中含参数问题，，，，16 类型四、一元一次不等式与一次函数…21 类型五、图形的平移与旋转规律..26 类型六、因式分解的应用… 31 类型七、分式的混合运算… 33 类型八、分式方程解的情况求参数 37 类型九、分式方程无解问题 40 类型十、平行四边形的性质和判定 43 类型一、等腰（等边）三角形的性质与判定 1.(25-26七年级下上海金山期末)如图，∠B,∠C的平分线相交于点D,过点D作EF∥BC,交AB于 点E,交AC于点F,下列结论中：①BE=DE:②DF=ED:国∠B0C=90+号A:④△AEF周长 =AB+AC,正确的有() D A.①② B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 2.(25-26八年级上·安徽六安·期末)如图，ABC是等边三角形，AD是∠BAC的角平分线，点E是射线 AD上一动点，连接CE,以CE为边在下方构造等边△CEF,连接BF,DF;有以下结论：①AE=BF;② 当AE=2DE时，∠ACE=30°；③当AB=12时，则DF的最小值为3；④当B,E,F三点共线时， AE=4DE;其中正确结论个数是() 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26八年级上陕西西安·期末)如图，ABC中，∠ACB=90°，点E、F分别是边AB、AC上的动点， 将ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，如果折叠后CDF与BDE均为等腰三角形，那 么∠B= 折叠 4.(25-26八年级上河南周口期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm,AB=13cm,点P从点 A出发，以2cm/s的速度沿路径A→B行进，到达点B后停止，设移动时间为(s,当△BCP是以BC为腰 的等腰三角形时，t= S. B P C 5.(25-26八年级上福建漳州期末)如图，在ABC中，4B=90°，AB=8,BC=6,点P在AC上，当 点P与ABC中的两个顶点构成等腰三角形时，CP的长为· A D 类型二、直角三角形的性质与判定 6.(25-26八年级上海南省直辖县级单位·期末)如图，在等边ABC中，E为4C的中点，过点E作 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE⊥AB于点D,交BC的延长线于点F,过点F作FG⊥AC,交AC的延长线于点G,若AD=2,则AG 的长为() A.10 B.8 C.6 D.4 7.(24-25八年级上全国·期末)如图，ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D,BE平分∠ABC, BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G,下列结论正确的有() 个 ①BF=AC;②AE= BF;③∠A=67.5°；④△DGF是等腰三角形；⑤S拉形ADGE=S国边形GcE· G H A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 8.(25-26八年级上河南新乡·期末)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=30°，第一步，在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠，点A落在A处，如图2；第二 步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D'处，如图3.当点D'恰好落在原直角三角形纸片的边上时，∠A'CD'的 度数为 图1 图2 图3 9.(25-26八年级上·江西南昌·期末)在钝角ABC中，∠B=40°，过点A作一条直线，将ABC分成两个 新的三角形.若这两个三角形中，一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则∠C的度数为 10.(25-26七年级上·上海·期末)在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍(n为大于1的 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正整数)，则称△ABC为n倍角三角形.例如，在△ABC中，LA=80°，∠B=60°，∠C=40°，可知LA=2LC ,所以△ABC为2倍角三角形.如图，直线MN⊥直线PQ于点O,点A、点B分别在射线OP、OM上；已 知LBA0、∠OAG的角平分线分别与LBOQ的角平分线所在的直线交于点E、F.若△AEF为4倍角三角 形，则∠ABO=· MI B E A 类型三、不等式与不等式组中含参数问题 a-2<x 11.(25-26八年级上陕西西安期末)若关于x的不等式组 x+1≤2 无解，则a的取值范围为() A.a≥3 B.a≤3 C.a>3 D.a<3 -x+a<2 12.(25-26八年级上全国·期末)如果关于x的不等式组 3x-1 恰有2个整数解，符合条件的a的 ≤x+1 取值可以是() A.6 B.3.5 C.4 D.4.5 2a-x>3 13.(24-25七年级下·河南新乡·期末)已知关于x的不等式组 2x+8>2a (1)若该不等式组无解，则a的取值范围是 (2)若该不等式组的解集中，每一个值均不在-1≤x≤5的范围中，则的取值范围是· 14.(24-25八年级上·安徽阜阳·期末)若关于y的不等式组 y-2<y+2 3有且只有4个整数解，且关于x的 4y+1-m≥0 分式方程3-】=m的解为非负数，则符合条件的所有整数m的积为 1-xx-1 15.(24-25七年级下·安徽池州期末)已知关于x的一元一次不等式组 3-x<+1 3的解集为x>2,且关于 x-a>-2 y的分式方程少-5+4 y-33-y =1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、一元一次不等式与一次函数 16.(25-26八年级上·上海期末)一次函数y=kx+b(k≠0)的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表提 供的信息，下列说法正确的是() -2 -1 0 -7 -3 A.y的值随x值的增大而减小： B.y的值随x值的增大而增大： C.不等式kx+b>0的解集为x<1; D.不等式kx+b>1的解集为x<0. 17.(25-26八年级上，甘肃兰州期末)如图所示，一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=mxm≠0)的 图象相交于点M(1,2),下列判断错误的是() y=mx M1,2) y=kx+b A.关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B.关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≤1 C.当x<0时，函数y=+b的值比函数y=mx的值大 x=1 D.关于x,y的方程组 y-x=0 少-=b的解是 y=2 18.(25-26八年级上安微六安期末)已知：函数，=x+2与y2=2x+t的图象相交于点P. (1)点P的横坐标为： (用含有t的代数式表示) (2)过点P作x轴的垂线1，与函数y=my,+y2交于点Q,若m+n>1,且点P在点Q的上方，求t的取 值范围是 19.（25-26八年级上·安徽安庆期末)在平面直角坐标系x0y中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(2,5)和 (1,3. 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)k-b的值为 (②)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mxm≠0)的值既小于函数y=c+b的值，也小于函数y=x+k的 值，请写出m的取值范围 20.(25-26八年级上·安徽合肥期末)定义：对于一次函数=ax+b、y2=cx+d,我们称函数 y=m(ax+b)+ncx+d)(ma+nc≠0)为函数y、的启明函数. (1)若m=4,n=2,则函数y=x-1、y2=2x+1的启明函数是； (2)设函数y,=-x+4b与y2=x-2b-4的图象相交于点P.当m+n<0时，点P在函数片、2的启明函 数图象的上方，则b的取值范围为· 类型五、图形的平移与旋转规律 21.(24-25七年级下·山西长治期末)如图，将三角形ABC平移得到三角形A'B'C',下列结论中，正确的 有() ①AA'∥BB'或AA'与BB'在同一条直线上 ②BB'∥CC'或BB'与CC'在同一条直线上 ③AA'=BB'=CC' ④BC=A'C' B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 22.(25-26九年级上·广西来宾期末)在平面直角坐标系中，等边A0B如图放置，点A的坐标为1,0).每 一次将AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△AOB,第 二次旋转后得到△4，OB2,,以此类推，则点Ao25的坐标为() 6/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B B A A A.（22025,0 B.（-22024,-2024V3 C.（-22025,0 D.（22024,22024V5 23.(25-26九年级上广西柳州期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2),点B在第一象限内， A0=AB,∠0AB=120°，将A0B绕点0顺时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转后，点B的坐标为 24.(25-26七年级上·上海虹口期末)“方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正 方形交错叠合而成、如图，将正方形ABCD沿对角线AC方向平移得到正方形EFGH,形成“方胜”图如果平 移距离为3，且4E=4C,那么点A到点G的距离是一 B D H 25.(25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)在平面直角坐标系中，一个图形向右平移☑个单位长度，再绕 原点按顺时针方向旋转O角度，这样的图形运动叫做图形的y(α，0)变换.现将斜边为1的等腰直角三角形 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ABC放置在如图的平面直角坐标系中，ABC经y(1,180°)变换后得△A,BC,为第一次变换，△A,B,C,经 y(2,180)变换后得△4，B,C2为第二次变换，.，经y(n,180）变换得△4.B.C,则点C6的坐标是 B 旋转 类型六、因式分解的应用 26.(25-26八年级上江苏南通·期末)若实数a、b满足a+b-ab=1,则(a+2)2+(b+2)2的最小值为() A.0 B.8 C.9 D.10 27.(25-26八年级上福建泉州期末)小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息： x+y,x-y,x2-y2,a+b,a-b,a2-b2分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美.现将 (a2-b2)）x2-a2-b2)y2分解因式，结果呈现的密码可能是() A.我爱美 B.惠安美丽 C.我爱惠安 D.我美丽 28.(25-26八年级上山东东营期末)小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将 (x2-y2)a2-x2-y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（) A.我爱美 B.仙河游 C.我爱仙河 D.美我仙河 29.(25-26八年级上新疆乌鲁木齐·期末)若实数x,y,m满足x2-2xy-4y=1+m,2y2+4xy+6=1-m, 则m的值为 30.(25-26八年级上·安微芜糊·期末)我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列.其中“杨辉三角”（图 1)就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.如 图2中虚线标记的一列数：1,3,6,10,15，…，我们把第一个数记为a1,第二个数记为a,第三个数记为 a3,…,第n个数记为a,若a1+an=20272，则的值是 8/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第1行 … 第2行 2 1 … 第3行 3 3 1 … 第4行 4 6 4 1 …第5行 5 10 1051…第6行 10 10 6 15 201561…第7行 1 6 15 20 156 图1 图2 类型七、分式的混合运算 31.(25-26八年级上辽宁大连期末)下列计算正确的是() A.a'+b -=a+b B.+}=2 a+b a b ab C. 1,14 十 D.+1=l+a a+2a-2a2-4 a 1 1 32.(24-25七年级下·安微淮北期末)已知y= 1。1 =x-1-y 八=1-y2 y41- 1一则 ,…,ya1-yn y2025等于（) A B.2-x C.x-1 x-2 D.1 33.(24-25八年级下，重庆万州期末)给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，，第二个数记为a2,第 三个数记为a,以此类推，第个数记为a。(为正整数).已知a,= 2x)并规定：a三2a·以下 结论：@，x7@++++6.2 a az as as as ，®存在4个整数x使得：的值为整数.正确的有 a () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ）a2-9b2 4,2526九年级上四川成格期末)已知0+h:-2,则， 的值为 a 35.(25-26八年级上湖南岳阳期末)小智同学发现有些分式可以转化为一个整式和一个分式（分子为常数） 的和的形式，你232x+252+52差2x+2 x+1x+1 x+1 +x+2a,b为实数)，则b= ，若-+3-0+6 ,则a= -x2+1 -x2+1 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型八、分式方程解的情况求参数 36.(25.26八年级上湖南株洲期末)已知关于x的分式方程2+3=0的解是x=4,则常数4的值是() x x-a A.-4 B.4 C.-10 D.10 37.(25-26八年级上福建福州期未)若关于x的分式方程3x,=,m+1的解为正数，则m的取值范围是 x-22-x () A.m>-2 B.m<-2 C.m>-2且m≠-6 D.m<-2且m≠-6 38.(2526八年级上湖南邵阳期末)若关于x的分式方程m+1=+m的解为非正数，则m的取值范围 x-1 x+1 是() Am2月 B.m≤2 1 C.m≤且m-1 2 D.m2分且 13 39.(25-26八年级上江苏南通期末)若关于x的分式方程x m的解为正数，则m的取值范围是 1- 40.(24-25八年级上·重庆北碚期末)关于x的不等式组 x+2>1 4有且仅有3个整数解，且关于y的分 5x-3≤a-x 式方程2+ 4a4 a的解为整数，则满足条件的整数a的和是 y-44-y 类型九、分式方程无解问题 1(526八年级上河商口期来)若关于分式方程学-无解，则哈值为) A.2 B.0 C.-1 D.-2 225-26八级上医西西安期未)已知关于的分式方程之千”。三3无解，则m的值为()一 A.-12或-30B.10或-30 C.3或-12 D.5或10 43.(2526八年级上河北石家庄期末)关于x的方程3x-2=2+”有塔根，则增根是 x+1 x+1 m- 10/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 44.(2526八年级上山东威海期末)若分式方程L,+2=红有增根，则k的值是 x-2 x-2 1 m 2m+2 45.(25-26八年级上河北邯郸期未)若关于x的方程x一十x-2x-1x-2无解，则m的值 类型十、平行四边形的性质和判定 46.(25-26九年级上山东烟台期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点0，DE平分∠ADC交AB 于点E,∠BCD=60,4D=4B,连接0E.下列结论：①5，=1DBD;②DB平分∠CDE:③ AO=DE;④OE垂直平分BD.其中正确的有() D B A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 47.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在口ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E,BF⊥CD于F, DE,BF相交于H,延长BF交AD的延长线于点G,下列结论：①BD=√BE;②∠A=∠BHE;③ AB=BH;④△BCF≌△DCE；;⑤DE+EC=AD.其中正确的结论有() D G A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 48.(25-26八年级上·山东泰安·期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC 于点E,且∠ADC=60°，AB=BC=1,连接OE.下列结论：①0E⊥AC;②S平F过影4CD=AB×AC:③ OE=BC;④BD=√万.成立的个数有(） 11/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 49.(24-25八年级下.湖北武汉·期末)如图，已知ABC中，AB=AC=4,∠BAC=90°，点D为平面内一 点，满足AD=4,分别以AB,BD为边作ABDE,连接CE,则CE的最小值为· 50.(25-26八年级上山东潍坊期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=8cm,BC=12cm,M 是BC上一点，且BM=8cm,点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点F从点B出发，以3cm/s的 速度向点C运动.当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t,当以A、M、E、F为顶点的 四边形是平行四边形时，t的值为 A-E D B →FM 12/12 期末压轴专题01 选填压轴题50练 目录 类型一、等腰（等边）三角形的性质与判定 2 类型二、直角三角形的性质与判定 9 类型三、不等式与不等式组中含参数问题 16 类型四、一元一次不等式与一次函数 21 类型五、图形的平移与旋转规律 26 类型六、因式分解的应用 31 类型七、分式的混合运算 33 类型八、分式方程解的情况求参数 37 类型九、分式方程无解问题 40 类型十、平行四边形的性质和判定 43 类型一、等腰（等边）三角形的性质与判定 1．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由中，与的平分线交于点，，易证得和都是等腰三角形，继而可得，又由的周长为：；即可得的周长等于与的和． 【详解】解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，，故①正确； 与不一定相等，故②错误； ∵在中，和的平分线相交于点， ∴，， ， ，故③正确； 的周长为： ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，是等边三角形，是的角平分线，点是射线上一动点，连接，以为边在下方构造等边，连接，；有以下结论：①；②当时，；③当时，则的最小值为；④当，，三点共线时，；其中正确结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质证，进而证明线段相等，再结合角平分线的性质和垂线段最短的性质来判断各个结论的正确性即可解答． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； 是等边三角形，是的角平分线， ，，， 当时，设，则，， 在中，， ，， ， 在中，， ， ，故②正确； ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 根据垂线段最短，当时，的值最小， ， ， 在中，， ，故③正确； 当，，三点共线时，如图， 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ，， ，， 设，则， ， ， ，故④正确； 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么______． 【答案】或． 【分析】先确定是等腰三角形，得出，由于不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，需分三种情况，分别利用角的关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 设，由对称性可知，， ∴， ①如图1：当时，， 由，得，解得：． ∴． ②如图2：当时，则． 由得：，解得x＝37．5°， ∴． ③当时，则， 由得，，此方程无解． ∴不成立． 综上所述，或． 4．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点从点出发，以的速度沿路径A→B行进，到达点B后停止，设移动时间为，当是以BC为腰的等腰三角形时，__________s． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长度，以为腰时分点在上两种情况，分别列出等式进行计算即可． 【详解】解：，，， ， 当点在上时，① 点走的路程为：， ． ②， 过点作于点， ， ， 在中，， ，..， ， 点走的路程为：， ， 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 【答案】2或5或6或 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的定义和性质等知识，分情况讨论是解题关键． 首先根据勾股定理确定的长度，然后结合等腰三角形的定义和性质，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据题意，点P与中的两个顶点构成等腰三角形，可分情况讨论， ①当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ②当为等腰三角形，且时，如下图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ④当为等腰三角形，且时，如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为2或5或6或． 故答案为：2或5或6或． 类型二、直角三角形的性质与判定 6．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在等边中，E为的中点，过点E作于点D，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，直角三角形两锐角互余，先由等边三角形的性质得，结合以及直角三角形的两个锐角互余得，，故，，证明得到，证明可得，据此可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，于D，平分，于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③；④是等腰三角形；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义求出，求出，根据全等三角形的判定推出，，根据全等三角形的性质得出，，再逐个判断即可． 【详解】解：平分， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，故①正确； ，，， ， ， ，即，故②正确； ，， ，故③正确； ，H为的中点， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形，故④正确； ， ， 又和的面积不一定相等， ，故⑤错误； 即正确的是①②③④， 故选：B． 8．（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·江西南昌·期末）在钝角中，，过点作一条直线，将分成两个新的三角形．若这两个三角形中，一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质等，解题的关键是综合运用这些性质和定理． 过点A作直线交于点D，分两种情况讨论：一是为直角三角形且为等腰三角形；二是为等腰三角形且为直角三角形，每种情况又分子情况，结合及三角形内角和即可求解． 【详解】解：设过点作的直线交于点D． 情况1：为直角三角形，为等腰三角形。 子情况：． 在中，，， ∴， 则中，， ∴； 子情况：． ∵， ∴， 则中，， ∴； 情况2：为等腰三角形，为直角三角形。 子情况：． ∵， ∴， 则中，， ∴，则与矛盾， ∴此种情况不存在； 子情况：． 在等腰中，若，即，则， ∴； 在等腰中，若，即， ∴， ∵， ∴与三角形内角和为矛盾， ∴此种情况不存在； 在等腰中，若，即，则， ∵， ∴与三角形内角和为矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，可能为或或． 故答案为：或或． 10．（25-26七年级上·上海·期末）在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则=___． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形的性质及倍角三角形的定义，关键是通过角平分线的性质推导的内角关系，再结合倍角三角形的定义求解的度数． 【详解】解：∵平分，平分，且， ∴． ∵， ∴， 在中，． 又平分，故． 在中，，结合， 可得． ∵为4倍角三角形，且， ∴存在两种情况： ①直角是4倍的一个锐角，即，解得，则． ②一个锐角是4倍的另一个锐角，即，解得，则． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 类型三、不等式与不等式组中含参数问题 11．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法． 先解两个不等式，再依据不等式组无解可以得出a的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为， 解不等式①，得 解不等式②，， ∵关于的不等式组无解， ∴时， 解得． ∴不等式组无解时，． 故选：A． 12．（25-26八年级上·全国·期末）如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值可以是（   ） A．6 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，关键是掌握解不等式组的方法．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有且只有2个整数解，求出的取值范围即可求解． 【详解】解：， 两边乘2得，， 解得，； ， 移项得，， 解得，， 不等式组的解集为． 恰有2个整数解， 整数解为2和3， ， 即， 对比选项，只有3.5满足． 故选：B． 13．（24-25七年级下·河南新乡·期末）已知关于的不等式组． （1）若该不等式组无解，则的取值范围是_____； （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中，则的取值范围是_____． 【答案】 或 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，熟练掌握由一元一次不等式组的解集求参数是解题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解，再根据不等式无解的含义列不等式求解即可； （2）首先根据不等式组有解求得 ，再根据题意得到或，分别求解即可． 【详解】解：（1）， 解①，得， 解②，得， 若该不等式组无解，则， 解得． 故答案为：． （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中， 则首先要满足不等式有解， ， 解得， 其次要满足或， 解得或， 的取值范围是或． 故答案为：或． 14．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的积为________． 【答案】0 【分析】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定m的取值范围． 根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数，然后代入原分式方程验证即可得结论． 【详解】解： 解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集为． 不等式组有且只有4个整数解， ． 解得． ， 解得． 关于的分式方程的解为非负数， ，解得． 是分式方程的增根， 此时，无意义，舍去． 且． 符合题意的整数m的值，，0． 当m的值为时， ． 解得∶，是非负数，符合题意． 当m的值为时， ． 解得∶，是非负数，符合题意．． 当m的值为0时， ． 解得∶，是非负数，符合题意．． 符合题意的整数m的值为，，0． 符合条件的所有整数m的积是． 故答案为∶ 0 15．（24-25七年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，有理数的乘法运算，先解不等式组，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数求出整数的值，最后把所有满足条件的整数的值相乘即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 解方程，得， ∵方程的解为正整数，， ∴或或， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为和， ∴所有满足条件的整数的积为， 故答案为：． 类型四、一元一次不等式与一次函数 16．（25-26八年级上·上海·期末）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（    ） … … … … A．的值随值的增大而减小； B．的值随值的增大而增大； C．不等式的解集为； D．不等式的解集为． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数与一元一次不等式的关系，先根据表格数据判断增减性，再求出一次函数解析式，最后逐一判断各选项即可. 【详解】解：由表格可得，点，在一次函数上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； 由函数图象可得，的值随值的增大而增大，A错误，B正确； 由函数图象可得，不等式的解集为，C错误，； 由函数图象可得，不等式的解集为：，D错误； 故选：B． 17．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 18．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：函数与的图象相交于点P． （1）点P的横坐标为：________（用含有t的代数式表示） （2）过点P作x轴的垂线l，与函数交于点Q，若，且点P在点Q的上方，求t的取值范围是________． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线交点坐标问题等知识．点P为两函数图象的交点，联立得到方程即可求解横坐标；根据点P在点Q上方，得出纵坐标不等式，结合条件化简求解t的范围即可． 【详解】解：（1）由与相交于点P， 联立方程得， 解得，故点P的横坐标为． 故答案为：； （2）∴点P的坐标为， 过点P作x轴的垂线l，方程为． 函数化为， 点Q在l上，横坐标为，纵坐标． 由点P在点Q上方，得， 即． 化简得． 已知，即， 故， 解得． 故答案为． 19．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)的值为___________； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，请写出的取值范围___________． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，找准临界值与函数的关系是关键． （1）将点和代入函数解析式求k和b，再计算； （2）根据不等式条件结合求m的取值范围． 【详解】（1）解：函数经过点和， 代入得方程组：， 解得：，， ， 故答案为：1； （2）解：由（1）知，， 即， 即， 对于，有且， 即且， 当，恒成立，且对于恒成立，故成立， 当时，需且对于恒成立，故需且，解得，即， 当时，，不等式可化为， 要使该不等式对任意都成立是不可能的，故不符合题意， 综上，m的取值范围为． 20．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的启明函数． （1）若，则函数、的启明函数是______； （2）设函数与的图象相交于点P．当时，点P在函数、的启明函数图象的上方，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的一次函数运算与不等式求解，熟练掌握一次函数的交点计算、新定义的代入应用以及不等式的性质是解题的关键． （1）直接代入启明函数的定义式，将给定的、和两个一次函数表达式代入计算． （2）先联立两个一次函数求出交点的坐标，再根据启明函数的定义写出表达式，代入点横坐标得到函数值，结合点在启明函数图象上方的条件建立不等式，最后结合的条件求解的取值范围． 【详解】解：（1） ； （2）∵，， ∴联立得， ∴， 代入得， ∴， 启明函数将代入启明函数： ， ∵点在启明函数图象上方 ∴， 移项得 ， 提取公因式得 ， ∵ ， ∴ ， ∴必须有 ， ∴ ， 故答案为：（1）；（2）． 类型五、图形的平移与旋转规律 21．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得或与在同一条直线上，或与在同一条直线上，，故①②③正确， 根据现有条件无法证明，故④错误． 22．（25-26九年级上·广西来宾·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在x轴负半轴，且，即可得到答案． 【详解】解：第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，, 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， ……， 每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴， 而， 在x轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 23．（25-26九年级上·广西柳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，含角的直角三角形的性质，坐标系中点的旋转的坐标规律，发现每旋转4次点B回到初始位置是解题关键． 利用已知条件，先求出点B的坐标，由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈，从而将旋转2026次，等效成旋转2次，从而确定结果． 【详解】解：如图，过点B作轴于点C， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈， ， ， ∴第2026次旋转后，点B从初始位置旋转了， 由坐标系中的点绕原点旋转的坐标规律可知，此时， 故答案为： ． 24．（25-26七年级上·上海虹口·期末）“方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正方形交错叠合而成、如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图如果平移距离为3，且，那么点到点的距离是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：由平移可得， 所以， 所以， 故答案为：． 25．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 类型六、因式分解的应用 26．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先对已知等式移项凑因式分解形式，得到变量的约束条件，再分别代入目标式，结合平方的非负性找到最小值，确定最终答案． 【详解】解：∵， ∴，因式分解得， ∴或． 情况1：当时，， ∵， ∴ 表达式的最小值为； 情况2：当时，， ∵， ∴， 表达式的最小值为． 27．（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 28．（25-26八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河 【答案】C 【分析】先对原式进行因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息即可． 【详解】解：∵ ， ∵对应我，对应爱，对应仙，对应河， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱仙河． 29．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 【答案】3 【分析】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解． 【详解】解：，， 两式相加，得：， ， ， ，， ， ． 30．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查数的规律探索，关键是根据规律推导得出的表达式，再通过代数运算建立方程求解． 【详解】解：观察图2中虚线标记的一列数：可知： ，，，， ； 则， 当时， 整理化简得， 为正整数， ， 解得； 故答案为：． 类型七、分式的混合运算 31．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否正确，即可求解． 【详解】解：A、，，故选项A错误，不符合题目要求； B、，故选项B错误，不符合题目要求； C、，故选项C错误，不符合题目要求； D、，计算正确.，故选项D正确，符合题目要求． 故选：D． 32．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）已知则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字的变化规律与分式的混合运算．先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出，据此得出其循环规律，再进一步求解可得． 【详解】解： 由此得到序列每3项重复一次， ∵， ∴， 故选：B． 33．（24-25八年级下·重庆万州·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：．以下结论：①；②；③存在4个整数使得的值为整数．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式化简、整数解的存在性问题等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． ①先根据题意求得即可判定①；②设，进而得到、，然后求和即可判断②；需逐一验证三个结论的正确性；③先求出，进而得到，即为整数，据此确定x的可能取值即可判定③． 【详解】解：①由递推式，代入得：，故结论①正确． ②设，由递推式得．初始值．依次计算： ，求和得： ，故结论②错误． ③：由，故．比值需为整数．变形为：，要求为整数，即为的约数（）．解得为整数且分母非零的情况有： ，解得：； ，解得：； ，解得：； 共3个整数解，但题目中结论为“存在4个整数”，故结论③错误． 综上，仅结论①正确． 答案选B． 34．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：， ． 35．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）小智同学发现有些分式可以转化为一个整式和一个分式（分子为常数）的和的形式，例．若，则_____，若，则_____． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了分式化简，对于第一个分式，通过将分子表示为分母的倍数加上常数，化简后比较可得的值；对于第二个分式，变形为，然后对比即可得出的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴； ∵， 又∵， ∴． 故答案为：；． 类型八、分式方程解的情况求参数 36．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解后检验即可得到a的值． 【详解】∵ 分式方程的解是， ∴ 将代入原方程，得 ， 整理得 ， 交叉相乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求， ∴ 的值为， 故选D． 37．（25-26八年级上·福建福州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，解一元一次不等式． 先通过去分母求解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为正数且分母不为零的条件，列不等式求参数范围． 【详解】解：， 去分母，得， 解得：； ∵分式方程的解为正数， ∴， 即， 在分式方程中，分母，， 即， 故，得出， 综上，的取值范围是且． 故选：D． 38．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为非正数且分母不为0得到不等式组，解之可得答案． 【详解】解: 去分母得：， 整理得， 解得， ∵关于x的分式方程的解为非正数， ∴， 解得： 又∵ ∴ ∴且 ∴且 故选：D． 39．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为且， 故答案为：且． 40．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______． 【答案】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义进一步确定a的取值范围，确定符合条件的整数a的值即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， 将关于y的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴或或， 解得或或或或或， 又∵分式方程的增根是， ∴， 即， 解得， 又∵， ∴符合条件的整数a的和为． 类型九、分式方程无解问题 41．（25-26八年级上·河南周口·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解的情况，把方程的增根代入去分母后的整式方程求解即可． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴两边同乘（），得， 整理得， ∵分式方程无解，且整式方程必有解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得． 故答案为：B 42．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．10或 C．3或 D．5或10 【答案】A 【分析】本题考查分式方程无解的判定，需结合增根的定义，分析整式方程的解为原分式方程增根的情况，熟练掌握分式方程增根的性质是解题关键． 【详解】解：∵原分式方程分母为、、 ∴最简公分母为 去分母，两边同乘得： 展开整理得： ∵分式方程无解，且整理后的整式方程为一元一次方程（系数不为0，必有解） ∴仅需考虑整式方程的解为原分式方程的增根的情况 令原分式方程分母为0，得增根或 ①将代入，得，∴ ②将代入，得，∴ 综上，的值为或， 故选∶A． 43．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 44．（25-26八年级上·山东威海·期末）若分式方程有增根，则k的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， ， 因为方程有增根， 所以， 所以， 所以把代入整式方程，得， 解得， 故答案为：1． 45．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若关于x的方程无解，则m的值______． 【答案】，， 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：整式方程无解或整式方程的解为增根．先化为整式方程，再分别讨论系数为0时整式方程无解，以及解为增根1或2的情况． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 移项得 当且时，整式方程无解 解得； 当整式方程的解为增根时，原方程无解， 增根为或 若，代入整式方程得 解得； 若，代入整式方程得 解得； 综上，的值为，，． 类型十、平行四边形的性质和判定 46．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 47．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤． 【详解】解：∵中，，于， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵于，于， ∴， ∴， ∵在中， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④错误； ∴， ∵在中，， ∴，故③正确； ∵，故⑤正确； 故选：B ． 48．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出、，进而得到是等边三角形，又根据，证得，易证得是的中位线，进而得到；利用得到，进而得到；根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， 、， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点E是的中点， 是的中位线， 、， ， 故①正确； ， ， 故②正确； 、， ， ， ， 故③正确； 在中，，由勾股定理得， ， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：A． 49．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在延长线上截取，连接，，由平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，进而得出且，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理得出，再由三角形三边关系得出，进而可求出的最小值． 【详解】解：在延长线上截取，连接，， 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 50．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，M是上一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动；点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $