押题09 期末复习解答题压轴题综合（期末预测40题）-2025-2026学年八年级数学下学期期末总复习押题预测（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦期末压轴题，以模型应用与动态探究为核心，系统整合几何综合与函数综合，提炼构造辅助线、分类讨论等解题方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|1-9题、17题等|构造全等/等腰直角模型、旋转性质应用|从三角形/四边形性质到动态图形变换，形成“性质-模型-综合应用”链条| |函数综合|10题、13-18题等|函数图像分析、分段函数应用|从函数定义到图像性质，结合方程思想解决交点/面积问题| |动态与存在性|19-40题等|动点轨迹分析、分类讨论存在性|以坐标法为工具，建立几何图形与函数关系，体现数形结合逻辑|

押题09 期末复习解答题压轴题综合（期末预测40题） 一、解答题 1．如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 2．【建立模型】如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 (1)如图1，若，则_____； (2)如图2，等腰中，，点的坐标为，求点的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，线段，点A的坐标为． (1)如图1，求点B的坐标． (2)如图2，点C在的延长线上，点D在x轴的负半轴上，连接，，连接，作垂直x轴于点H，若的面积为S，点C的横坐标为t，求S与t的关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，点E是的中点，过点E作的垂线交y轴于F，求点F的坐标． 4．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“灵动距离”，定义如下：若，则“灵动距离”为；若，则“灵动距离”为． (1)已知点，，则点M与点N的“灵动距离”是______ (2)已知点，B为坐标系内的一个动点． ①若点A与点B的“灵动距离”为5，且B点的横坐标与纵坐标相等；求满足条件的点B的坐标； ②若点B在y轴上，求点A与点B的“灵动距离”的最小值． 5．如图，的直角顶点在轴正半轴上，为坐标原点，面积为，且， (1)求的长； (2)为轴正半轴上的动点，如图，． ①若时，直线与轴交于点，与轴交于点，求点的坐标； ②若，时，如图2，直接写出点的坐标． 6．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，并且实数a、b满足，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形．点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)求点C的坐标； (2)如图1，当点D落在线段上时，求点H的坐标； (3)如图2，点K是的三等分点（靠近点B处），点T、点M是线段上的动点，且，求出的最小值． 7．按要求完成各题： (1)如图1，已知等腰直角三角形中，，在三角形内取一点，使得，，求的度数； 小亮通过挖掘已知条件，获得，线段，这样本题就具备了一边一角的图形特征，所以小明果断的在上截取，构造出全等三角形，从而使问题得以解决．请按照小亮的思路完整解答； (2)如图2，在四边形中，，，求证：；小亮深入研究已知条件，迅速想到：延长到点，使得，连接，从而使问题得以解决．请按照小亮的思路完整解答； (3)如图3，在中，，，射线于点．若点，分别是射线，边上的动点，，连接，，直接写出最小值． 8．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，求证：平分． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 10．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发 s，乙提速前的速度是每秒 ， ， ； (2)当为 时，乙追上了甲； (3)何时乙在甲的前面？ 11．如图，在平面直角坐标系中，点，，点为直线上一点，横坐标为．点为平面内一动点，当点不在直线上时，以为边向左作正方形． (1)求直线的函数关系式； (2)当线段时，求的值； (3)求正方形的周长（用含的代数式表示）； (4)若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式： (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 13．综合与实践． 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量、函数图象的增减性、函数图象的最值等．由此方法我们来探究的图像和性质． (1)函数自变量的取值范围是____________； (2)①函数中、部分对应值如表，其中____________； 0 1 2 3 … 0 1 2 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图像，任意写出函数图像的一条性质：____________； (4)已知直线，若直线的图像与函数的图像有交点，直接写出的取值范围为____________． 14．如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 15．如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴负半轴交于点C，与y轴正半轴交于点D，直线和直线交于点，． (1)如图1，请求出直线的解析式： (2)如图2，点P是线段上一点（不与A，B重合），点M，N是直线上两动点（点M在点N的上方），且，点Q是x轴上一动点，连接，，．当四边形的面积为时，求的最小值； (3)如图3，点G为y轴负半轴上一点，且，点K为直线上一动点，连接．若，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 17．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，点的坐标为，点的坐标为，平分，交于点，将绕点沿顺时针方向旋转得到，交于点，点的坐标为，连接． (1)求的长； (2)求点的坐标； (3)设的面积为，且，求的取值范围． 18．已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)将该一次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个“V”字形的新图象．求新图象与直线的交点坐标； (3)设点为轴上一动点，过点作垂直于轴的直线，直线与（2）中新图象交于点，，与直线交于点，如果，请结合图象直接写出的取值范围． 19．深圳某科技公司计划生产智能手表和智能手环两种产品共150件，用于参加“深圳国际智能硬件展”．已知生产一件智能手表的成本为2000元，生产一件智能手环的成本为1200元，智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍． (1)该公司最少生产多少件智能手表？ (2)假设该公司的生产总成本为w元，如何安排生产才能使总成本w最小？ 20．在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究． 【发现】在数轴上，表示一个点，则表示这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，表示一条直线，则表示直线及其右侧所有点组成的平面区域． 【探究】 (1)直线 如图1所示，它表示为以方程的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点在直线上，是方程的一个解；点在直线上方，是不等式的一个解，从而发现结论：不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域． 【应用】 (2)图2阴影部分（含边界）是______（填写不等式组）表示的平面区域； (3)已知不等式组， ①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G，并求出该阴影部分的面积． ②请直接写出与区域G有交点时b的取值范围． 21．如图，在平面直角坐标系中有一点，将点向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点，直线过点A、B，交轴于点，交轴于点，通过研究发现直线上所有点的横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解．例如：若点在直线上，横坐标，则其纵坐标为；若点在直线上，纵坐标，则其横坐标为． (1)直接写出点B，C，D的坐标：________，________，________； (2)将绕点顺时针旋转得到，求与轴的交点的坐标． (3)若点是轴上的一个动点，当三角形是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标． 22．解决以下问题： (1)借助网格，用无刻度直尺作； (2)如图，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且． ①P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； ②在①的条件下，Q为直线上的一个动点，连接，若，求Q点的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴负半轴交于点，，直线与直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点，使得与新直线的夹角为，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由 24．如图，已知直线分别与轴，轴交于两点，直线交于点． (1)求两点的坐标； (2)如图，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，使的值最小，求出点坐标． (3)如图，若，过点，交轴于点，此时在轴上存在点，使，请直接写出点的坐标． 25．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与双曲线（k是常数）和轴相交于点和点，且点的纵坐标为3．点在双曲线上，其横坐标为． (1)求双曲线对应的函数表达式； (2)不等式的解集为_____； (3)当的面积与面积相等时，求点的坐标； (4)连结．将绕点顺时针旋转得到，连结，当与直线有交点时，直接写出的取值范围． 26．反比例函数的图象经过点和点．    (1)求、的值； (2)如图①，在反比例函数的图象上有一点，小明发现将点绕原点顺时针方向旋转后得到的点在另一个反比例函数图象上，求出点所在的函数表达式，并写出自变量取值范围； (3)如图②，已知直线和，将反比例函数的图象绕原点旋转后得到新图象，在新图象上任取一点，过点作，垂足分别为点，点．求四边形的面积． 27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式． (2)当时，直接写出的取值范围． (3)若点是第二象限内双曲线上一点，且，求点的坐标． 28．曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． (1)如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； (2)若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； (3)如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 29．如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点在线段上，过作轴于点，交反比例函数图象于点，当时，在正半轴上有一点，满足，是线段上的一个动点，连接，求的最小值； (3)如图2，第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，将直线向下平移8个单位得直线，点为直线上一点，点为第二、四象限的角平分线上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标及所有情况中平行四边形面积的最大值． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)在轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，交直线于点． ①当时，求线段的长； ②当点在点下方时，若，结合函数图象，求出的取值范围． 31．如图，点、是反比例函数的图象上位于第一象限内不同的两点，直线交函数图象另一支于点，连接、． (1)若反比例函数的图象经过点，点横坐标为．求证：； (2)若恒成立，试猜想点与点横坐标满足的数量关系，并说明理由． 32．【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （）初步思考：自变量的取值范围是______； （）探索发现：当时，，当时，．由此我们可猜想，该函数图象在第______象限； （）深入思考：当时，，于是，当时，即时，有最小值是． 请仿照上述过程，猜想：当时，的最大值是 ． 【实际应用】如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值． 33．如图，点是反比例函数图象上不重合的两个点，作直线交轴于点．设点的横坐标分别为，直线的函数表达式为． (1)当时， ①求直线的函数表达式； ②若，直接写出的取值范围； (2)若点和点关于原点对称，作直线交轴于点，求证：． 34．如图1，一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，点是直线上一点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于点D，与y轴交于点E，连接． (1)求反比例函数表达式； (2)若直线上存在点G，它到直线的距离与到y轴的距离相等，求点G的坐标； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，点Q是反比函数上一点，连接，，若四边形是平行四边形，则点Q的坐标为________． 35．已知直线（为常数，且）与双曲线（为常数，且）相交于A，B两点． (1)若点A的坐标是，求点B的坐标． (2)若点A，B的横坐标分别为m，． ①求m的值． ②若点在直线上，点在双曲线上，且，请比较与的大小，并说明理由． 36．在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 37．直线：分别与x轴，y轴交于点D、C，与反比例函数的图象交于点、． (1)若，则x的取值范围是 ； (2)若点P是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为6时，求点P坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分，包含边界），若直线：与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的t的取值范围． 38．一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 39．在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“制导点”． (1)如图1，点坐标为． ①当点时，点的“制导点”的坐标为_____________； ②若点为点的“制导点”，则点的坐标为_____________． (2)如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“制导点”，求的取值范围； (3)如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“制导点”，直接写出的取值范围_____________． 40．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别落在，轴上，点的坐标为，反比例函数的图像分别与边，交于点，，将沿翻折，得到． (1)连接，用含的代数式表示的面积；判断与的位置关系，并证明． (2)如图，当点落在上时，求的值． (3)点为边上的中点，在点的运动过程中，求的最小值直接写出答案． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 押题09 期末复习解答题压轴题综合（期末预测40题） 一、解答题 1．如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形性质及勾股定理，求得，得 ，进而得 ． （2）利用同高三角形面积比等于底边比，得出． （3）由 得 ，推出 为等腰三角形．利用平行线性质转化角，结合题设角关系，推导出 为 的角平分线．再利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形的面积比得出 ，求得 ，从而算出 的横坐标． 【详解】（1）解：由得， 又∵，故． ∵四边形为平行四边形， ∴且． ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴ （2）解：如图，连接， ∵， ∴的面积为 （3）解：当时，即，解得，即， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴， 即是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即点E的横坐标为． 【点睛】这道题是一道典型的初中几何综合压轴题，融合了坐标系、平行四边形性质、勾股定理以及角平分线性质． 1．数形结合：第（1）、（2） 问充分利用了坐标系的特点，将几何长度转化为坐标运算，体现了“以数解形”的思想． 2．转化思想：第 （3） 问中，面对复杂的角关系式，通过平行线性质和等腰三角形性质，将其转化为“角平分线”这一几何模型，是解题的关键突破点． 3．面积法：利用“等高三角形面积比等于底边比”建立面积关系，进而求出线段比，是处理此类几何难题的常用高级技巧． 2．【建立模型】如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 (1)如图1，若，则_____； (2)如图2，等腰中，，点的坐标为，求点的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为或． 【分析】（1）由“”可证可得，，据此计算即可求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求得，，据此求解即可； （3）分两种情况，结合全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为； （3）解：存在点Q，使得是等腰直角三角形， 如图，当点Q在第二象限内时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点； 如图，当点Q在第三象限内时，过点作轴于，过点作交的延长线于， 同理， ∵， ∴，， ∴， ∴点， 综上所述：点坐标为或． 3．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，线段，点A的坐标为． (1)如图1，求点B的坐标． (2)如图2，点C在的延长线上，点D在x轴的负半轴上，连接，，连接，作垂直x轴于点H，若的面积为S，点C的横坐标为t，求S与t的关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，点E是的中点，过点E作的垂线交y轴于F，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由点A的坐标得到，再由勾股定理求出，即可解答； （2）由点C的横坐标为t，且轴得到，因此，根据得到，再由即可求解； （3）连接，过点C作轴于点G，则，根据得到，从而．求出的长，得到，根据点E是的中点，得到．延长至点M，使得，连接，，根据点E是的中点得到．，根据两点间的距离公式表示出，的长，根据垂直平分线的性质得到，因此列出方程，求解得到n的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴在中，， ∴点B的坐标为． （2）解：∵点C的横坐标为t，轴， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴S与t的关系式为． （3）解：连接，过点C作轴于点G，则， ∵， ∴ 即， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴， ∵，点E是的中点， ∴． 延长至点M，使得，连接，， 设点M的坐标为， ∵， ∴点E是的中点， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 整理，得， ∴， ∴点F的坐标为． 4．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“灵动距离”，定义如下：若，则“灵动距离”为；若，则“灵动距离”为． (1)已知点，，则点M与点N的“灵动距离”是______ (2)已知点，B为坐标系内的一个动点． ①若点A与点B的“灵动距离”为5，且B点的横坐标与纵坐标相等；求满足条件的点B的坐标； ②若点B在y轴上，求点A与点B的“灵动距离”的最小值． 【答案】(1)4 (2)①或② 【分析】（1）根据定义，得，， 满足，求解即可； （2）①不妨设，B为坐标系内的一个动点，且B点的横坐标与纵坐标相等．不妨设，根据定义，分类求解即可； ②点，不妨设，因为点B在y轴上，不妨设，则，，设两点的灵动距离为，分类求解即可． 【详解】（1）解：因为点，，则，根据定义，得，， 满足， 故点M与点N的“灵动距离”是4； （2）解：因为点，不妨设， B为坐标系内的一个动点，且B点的横坐标与纵坐标相等．不妨设， ①则，， 因为点A与点B的“灵动距离”为5， 当时，则， 解得或， 当时，满足，此时； 当时，不满足，舍去； 当时，则， 解得或， 当时，满足，此时； 当时，不满足，舍去； 故满足条件的点B的坐标为或； ②解：点，不妨设，因为点B在y轴上，不妨设， 则，，设两点的灵动距离为， 当时，； 当时，，根据题意，得， 故， 故点A与点B的“灵动距离”的最小值为． 5．如图，的直角顶点在轴正半轴上，为坐标原点，面积为，且， (1)求的长； (2)为轴正半轴上的动点，如图，． ①若时，直线与轴交于点，与轴交于点，求点的坐标； ②若，时，如图2，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先根据的面积公式列出等式，再将代入等式，解方程求出的长度，进而得到的长度，最后利用勾股定理即可计算出的长； （2）①过点作轴，延长与交于点，先证四边形是矩形，再证，设，用含的式子表示出和，证是等腰直角三角形，进而证是等腰直角三角形，求出的长度，结合的位置即可确定其坐标； ②连接，，交于点，过点作轴于点，先证是等边三角形，得垂直平分，求出、、及的长，再证是等腰直角三角形，求出和的长度，结合点在第一象限即可确定其坐标． 【详解】（1）解：∵面积为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点作轴，延长与交于点， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵在轴负半轴， ∴； ②如图，连接，，交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，则是的中点， ∵在中，， 又是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，轴 ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵点在第一象限， ∴． 6．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，并且实数a、b满足，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形．点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)求点C的坐标； (2)如图1，当点D落在线段上时，求点H的坐标； (3)如图2，点K是的三等分点（靠近点B处），点T、点M是线段上的动点，且，求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得，即可求解； （2）先证明，可得，再证明，可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解； （3）连接交于点P，结合矩形的性质可得为等边三角形，从而得到，作，交y轴上于点G，连接，则，根据直角三角形可得，从而得到，进而得到，，可证明四边形为平行四边形，可得，从而得到，即当点A，T，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴点； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）得：点， ∴ 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴点； （3）解：如图，连接交于点P， ∵点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 如图，作，交y轴于点G，连接，则， ∴， ∴， ∵点K是的三等分点（靠近点B处）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即当点A，T，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∴， ∴的最小值为． 7．按要求完成各题： (1)如图1，已知等腰直角三角形中，，在三角形内取一点，使得，，求的度数； 小亮通过挖掘已知条件，获得，线段，这样本题就具备了一边一角的图形特征，所以小明果断的在上截取，构造出全等三角形，从而使问题得以解决．请按照小亮的思路完整解答； (2)如图2，在四边形中，，，求证：；小亮深入研究已知条件，迅速想到：延长到点，使得，连接，从而使问题得以解决．请按照小亮的思路完整解答； (3)如图3，在中，，，射线于点．若点，分别是射线，边上的动点，，连接，，直接写出最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）在对应边上截取线段，通过证明，利用全等得等腰三角形，推导目标角度； （2）由，可推出；按思路延长到点，使得，连接，通过证明，得到、；再结合，得，利用等角对等边得，进而得； （3）利用，建立直角坐标系，设，写出的表达式，将分别表示为两点间距离，从而求出最小值． 【详解】（1）解：已知等腰中，，， ， , 且， 在中，，     ， , ， 在上截取,连接， 在和中： ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 在 中，内角和为， ， 解得， ． （2）解：延长到点，使得，连接， ，， ， 在和中： ， ， ， 又， ， ， ． （3）解：设， 建立平面直角坐标系：设 ，，，射线作为x轴正半轴，射线作为y轴正半轴， 射线为直线，则点坐标为 ，点坐标为 ， 的长度为， 的长度为， 将其转化为几何意义：轴上的点到点和的距离之和，最小值为点关于轴的对称点到点的距离，计算得： ， 故 的最小值为 ． 8．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，求证：平分． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可； ②在上取点P，使得，证明即可； （2）过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，先证明，得到，然后证明，得到，再计算的长即可； （3）延长到点A，使得，连接，先证明，再证明，得到，进一步推得，然后过点M作于点P，即可逐步证明． 【详解】（1）解：①， ， 四边形是正方形， 轴， 点C的坐标是； ②证明：在上取点P，使得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点N分别作轴于点H，于点Q，连接， 由（1）知， 又 四边形是正方形 ， ，， 四边形是平行四边形， ， 点P的坐标为； （3）证明：如图，延长到点A，使得，连接， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点M作于点P， ， ， ， ， 由（1）知， 又， ， 即平分． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，割补法求三角形的面积，熟练掌握待定系数法，并运用数形结合是解题的关键． （1）根据题意易得，，从而可求出，由于点是直线与线段的交点，则，根据待定系数法求解即可； （2）根据题意可求得，设，根据割补法求三角形的面积即可求解； （3）根据待定系数法求出的解析式为，从而推得，，为等腰直角三角形，由推得，连接交于点，作关于的对称角，交于点，通过角度计算得此时，为所求，通过计算直线和直线的交点即可求出点的坐标，利用中点公式即可求解． 【详解】（1）解：令得，，解得，则， 令得，，则， ∵， ∴， ∵点是直线与线段的交点， ∴， ∴， 将，代入得， ，解得， 则直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 令得，，则， ∵，，， ∴， ∴， 设， 当在直线下方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，则， 当时，同理可得（舍去）， 当在直线上方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，即， 当时，同理可得，（舍去）； 综上所述，点的坐标为，； （3）解：存在， 由（2）可知，，， 将其代入得， ，解得， 则的解析式为， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 连接交于点，作关于的对称角，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点，为所求， 设的解析式为 将，代入得， ，解得， 则的解析式为， 则，解得， 即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, 综上，点的坐标为，． 10．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发 s，乙提速前的速度是每秒 ， ， ； (2)当为 时，乙追上了甲； (3)何时乙在甲的前面？ 【答案】(1)15；15；31；45 (2)24 (3)时，乙在甲的前面 【分析】（1）根据图像时，可知：乙比甲晚；由时，可求得提速前速度；根据时间等于路程除以速度可求提速后所用时间，即可得到m值，进而得出n的值； （2）先分别求得段、段对应的函数关系式，根据题意列一元一次方程求解即可； （3）先根据（2）得结论得到和的交点横坐标，再根据函数图像即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，可知乙比甲晚； 当时，；当时，； 故乙提速前的速度是； ∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴乙提速后速度为， 故提速后乙行走所用时间为：， ∴， ∵甲的速度是； ∴． （2）解：设段对应的函数关系式为， ∵在上， ∴，解得， ∴y=10x． 设段对应的函数关系式为， ∵在BC上， ∴，解得：， ∴， 由乙追上了甲，得，解得． 答：当x为24秒时，乙追上了甲． （3）解：由（2）可知：当x为24秒时，乙追上了甲，即和的交点横坐标为24， 由函数图像可知：当时乙在甲的前面． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，，点为直线上一点，横坐标为．点为平面内一动点，当点不在直线上时，以为边向左作正方形． (1)求直线的函数关系式； (2)当线段时，求的值； (3)求正方形的周长（用含的代数式表示）； (4)若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，周长为；当时，周长为 (4)或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2），而为平面内一动点，故轴，再由列方程求解即可； （3）先用m的代数式表示出，即可求解周长； （4）先求出线段，再分类讨论，画图求解即可． 【详解】（1）解：设直线 代入点，，则 解得 ∴直线的函数关系式为； （2）解：由题意得，， ∵为平面内一动点， ∴轴， ∴时， 解得或； （3）解：∵由题意得，， ∵为平面内一动点， ∴轴， ∴ ∴正方形的周长 ∴当时，周长为；当时，周长为； （4）解：∵， ∴设线段， 代入，则 ∴线段 当点落在上时， 把代入得， 解得； 随着值的增大，如图，符合题意； 点P与点A重合时，如图，符合题意 ∴， ∴满足正方形相邻两边与线段只有两个交点时，； 当正方形顶点落在线段上时，如图，符合题意， ∴， ∵ ∴，即 将点代入得，， 解得； 随着的增大，如图，符合题意， 当点落在线段上时，如图： ∴， ∵ ∴，即， 将点代入，则 解得， ∴满足正方形相邻两边与线段只有两个交点时，； 当点再次落在线段上时，如图： 此时 ∵ ∴，即 把代入得， 解得， 随着的增大，符合题意，如图： 当经过点时，符合题意，如图： 此时，解得， ∴满足正方形相邻两边与线段只有两个交点时，， 综上：或或． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式： (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)存在，或 【分析】（1）根据直线的表达式得到点的坐标，进而得出点、点的坐标，即可求解； （2）根据题意得出点的坐标，，，设，根据点在直线下方和在直线上方时分情况讨论，列出关于的表达式，根据的取值范围分情况讨论，即可求解； （3）过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接，通过证明四边形是平行四边形，得到点即为所求，再通过证明直线垂直平分，得到，继而得到点的两种情况下的坐标. 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交点， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴，则， ∵点是直线与线段的交点， ∴当时，， ∴， 设直线的表达式为：， ∴代入点，，得，解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：由（1）可知直线的表达式为：， ∴当时，，则， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点为直线上一动点，且直线的表达式为， ∴设， 当点在直线下方时，此时，如图所示，连接，，， ∴， ， ， ， 当时，，此时，解得，， ∴， 当时，此时，解得，（不合题意，舍去）， 当点在直线上时，点与点重合，不存在，不符合题意， 当点（）在直线上方时，如图所示，连接，，， ， ， 当时，，，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，，，解得：， ， 综上所述，点的坐标或； （3）解：存在， 设直线的表达式为：， 代入点、得，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴直线沿轴向下平移个单位后，直线的表达式为， 如图，过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求， ∵， ∴设直线的表达式为：， 代入点到直线的表达式，得：，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：， ∴点， ∵,， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：， ∴点， ∵，， ∴点的横坐标为：， ∴点的纵坐标为：， ∴点， 综上所述，满足条件的点的坐标为或. 13．综合与实践． 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量、函数图象的增减性、函数图象的最值等．由此方法我们来探究的图像和性质． (1)函数自变量的取值范围是____________； (2)①函数中、部分对应值如表，其中____________； 0 1 2 3 … 0 1 2 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图像，任意写出函数图像的一条性质：____________； (4)已知直线，若直线的图像与函数的图像有交点，直接写出的取值范围为____________． 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3)当时，y随x的增大而增大（不唯一） (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可； （2）①将代入求解即可；②根据列表进行描点、连线即可解答； （3）根据函数图像的增减性写出一条性质即可； （4）求出一次函数经过定点，据此结合函数图像即可解答． 【详解】（1）解：∵函数， ∴，即． （2）解：①当时，； ②先描点、再连线，作图如下： （3）解：由（2）的函数图像可知：当时，y随x的增大而增大． （4）解：如图：由题意可得：当直线l：，若直线l的图像经过， ∴，即． ∴结合函数的图像可得，． 14．如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；直线的表达式为 (2) (3)， 【分析】（1）先求出的坐标，作轴，作轴，求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，作轴，进而求出点的坐标，再利用面积公式进行计算即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； 同理：， ∴， ∴， ∴， 同法可得直线的表达式为； （2）解：∵的图象分别与轴，轴交于点，， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴， 同（1）法可得：， ∴， ∴的面积； （3）解：连接， 当，则， 同（1）法：，， 直线的解析式为， ∵正方形， ∴，， ∴点为直线与直线的交点， 联立，解得； ∴； 延长至点，使，连接，则， ∴， ∴当点为直线与直线的交点时，也满足题意， ∵，，， ∴， 此时点恰好在上，即点与点重合； ∴， 综上：或. 15．如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形 【分析】（1）把代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为，得到，即可得出线段的长，由勾股定理确定，求出，即求得，在中，利用勾股定理即可得出的长； （2）①设，利用待定系数法直线的解析式为，由，根据代入数值即可求出的值； ②当点在轴下方时，得到，设，过P点作直线轴，作，，根据全等三角形的判定定理可得：，得到，，再证明，得到，，求得，则，根据，得到，列出方程求出的值，即可得到点的坐标；当点在轴上方时，点与关于对称，得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴， 把代入得：， 一次函数解析式为， 令，得， ∴，则 在中，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ； （2）解：①设， ∴在线段上， ∴， 设直线的解析式为，代入，得： ， ∴， ∴， 又∵轴，则， ∴， ， 又∵， ∴得． ②如图所示，当点在轴下方时， ∵， ∴， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， 当时，，， 设， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴． 当点在轴上方时，如图所示： 点与关于对称， 则，即， 综上：存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴负半轴交于点C，与y轴正半轴交于点D，直线和直线交于点，． (1)如图1，请求出直线的解析式： (2)如图2，点P是线段上一点（不与A，B重合），点M，N是直线上两动点（点M在点N的上方），且，点Q是x轴上一动点，连接，，．当四边形的面积为时，求的最小值； (3)如图3，点G为y轴负半轴上一点，且，点K为直线上一动点，连接．若，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】（1）先求出，，推导出，设直线解析式：，将，代入，求出，即可解答； （2）先求出，连接，设，推导出，推导出是直角三角形，且，作点关于直线的对称点，连接，此时点在直线上，且点E为的中点，求出，过点作，交轴于点，求出直线的解析式为，推导出四边形为平行四边形，得到取得最小值为，此时点、、在同一直线上，且当轴，即点与点重合时，取得最小值，为，即可解答． （3）推导出，，分类讨论：①当点K在x轴的上方时，②当点K在x轴下方时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ，即， 又， ， ． 将点代入直线中，得 可得， ． 设直线解析式：， 将，代入中得： ，， ． （2）解：在中，当时，， ∴， 连接，如图 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 作点关于直线的对称点，连接，如图 此时点在直线上，且点E为的中点， ∴，即， 过点作，交轴于点，如图，设直线的解析式为， 将代入，得，解得 ， 直线的解析式为， 当时， ， ∴， ， ， 四边形为平行四边形 ， ∵取得最小值， ∴取得最小值为，此时点、、在同一直线上，且当轴，即点与点重合时，取得最小值，为． （3）解：或，理由如下： ∵， ∴， ，， ． ①当点K在x轴的上方时，如图 ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得． ∴直线的解析式为， 令， 解得， ； ②当点K在x轴下方时，如图， 令交于点F，过点G作轴， 交于点H，过点F作轴于点R，交于点S， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点F横坐标为， 即， ∴， 同理，可得直线的解析式为， 令， 解得， 综上所述，或． 17．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，点的坐标为，点的坐标为，平分，交于点，将绕点沿顺时针方向旋转得到，交于点，点的坐标为，连接． (1)求的长； (2)求点的坐标； (3)设的面积为，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据等腰三角形性质得，利用勾股定理计算长度，即可得长； （2）过点作于点，于点，根据角平分线定理及求出的长，求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （3）在轴上截取，连接，证明，求出点的坐标，用表示，即可求的取值范围． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， ． 为等腰三角形，， ． 在中，． （2）解：如图1， 过点作于点，于点， 平分， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则 将点的坐标，点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，则，解得， 点的坐标为． （3）解：如图2，在轴上截取，连接， 是由旋转得到的， ． ， ，， 由（2）得，， ， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为． ， ， ， ， 解得． 18．已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)将该一次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个“V”字形的新图象．求新图象与直线的交点坐标； (3)设点为轴上一动点，过点作垂直于轴的直线，直线与（2）中新图象交于点，，与直线交于点，如果，请结合图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，即可得到一次函数的表达式； （2）首先求出翻折后点右边的图象的表达式为，然后分两种情况，分别和直线联立求解； （3）根据题意画出图象，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 由题意得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵ ∴当时， 解得 ∴与x轴的交点坐标为 点关于x轴对称的点的坐标为 设翻折后点右边的图象的表达式为 将，代入得， 解得 ∴ 如图， ∴当时，联立和得， 解得； 当时，联立和得， 解得； ∴新图象与的交点坐标为和； （3）解：如图，由（2）可得新图象与的交点坐标为和， ∵，， ∴由图象可得，当直线l和线段有交点时， ∴． 19．深圳某科技公司计划生产智能手表和智能手环两种产品共150件，用于参加“深圳国际智能硬件展”．已知生产一件智能手表的成本为2000元，生产一件智能手环的成本为1200元，智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍． (1)该公司最少生产多少件智能手表？ (2)假设该公司的生产总成本为w元，如何安排生产才能使总成本w最小？ 【答案】(1) 最少生产100件智能手表 (2) 安排生产100件智能手表，50件智能手环可使总成本w最小 【分析】本题考查了一元一次不等式与一次函数的实际应用；解题的关键是根据题意列出不等式和函数关系式，结合函数的增减性求解最值． （1）设智能手表的生产数量为件，根据“智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍”列出不等式求解； （2）根据成本公式建立总成本关于的一次函数，结合函数的增减性和（1）中的取值范围，求的最小值． 【详解】（1）解：设生产智能手表件，则生产智能手环件． 由题意得：, , , ∴， 答：该公司最少生产100件智能手表． （2）解：由题意得：， ， ， 随的增大而增大， 又， 当时，取得最小值， 此时． 答：当生产智能手表100件、智能手环50件时，总成本最小． 20．在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究． 【发现】在数轴上，表示一个点，则表示这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，表示一条直线，则表示直线及其右侧所有点组成的平面区域． 【探究】 (1)直线 如图1所示，它表示为以方程的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点在直线上，是方程的一个解；点在直线上方，是不等式的一个解，从而发现结论：不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域． 【应用】 (2)图2阴影部分（含边界）是______（填写不等式组）表示的平面区域； (3)已知不等式组， ①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G，并求出该阴影部分的面积． ②请直接写出与区域G有交点时b的取值范围． 【答案】(1)上方，下方 (2) (3)①；② 【分析】（1）理解题意并结合图象即可解答； （2）根据图象即可得阴影部分在直线的上方，直线的下方，即可得对应的不等式组； （3）①在平面直角坐标系中，画出和的图象，再求出两直线的交点，结合图象，根据三角形的面积公式即可求解； ②由图可知，当过点时，b取最小值；当过点时，b取最大值；分别求出对应的b值，即可得b的取值范围． 【详解】（1）解：不等式可以表示为直线及其上方的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其下方的所有点组成的平面区域； 故答案为：上方，下方； （2）解：由图象可知，阴影部分在直线的上方，直线的下方， ∴图2阴影部分（含边界）是（填写不等式组）表示的平面区域； （3）解：①不等式组， 在平面直角坐标系中，画出和的图象，如图， 由图得，即为不等式组的解集所在的区域G， 区域G的面积， 解，得， ∴， ∴区域G的面积； ②由图可知，当过点时，b取最小值，； 当过点时，b取最大值， 将代入得，， 解得． ∴与区域G有交点时b的取值范围为． 21．如图，在平面直角坐标系中有一点，将点向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点，直线过点A、B，交轴于点，交轴于点，通过研究发现直线上所有点的横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解．例如：若点在直线上，横坐标，则其纵坐标为；若点在直线上，纵坐标，则其横坐标为． (1)直接写出点B，C，D的坐标：________，________，________； (2)将绕点顺时针旋转得到，求与轴的交点的坐标． (3)若点是轴上的一个动点，当三角形是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)或或 【分析】（1）根据平移的性质可得的坐标，分别求出时，的值和时，的值即可得到答案； （2）根据等边对等角得到，结合旋转的性质可知轴，根据平行于y轴的线上的点横坐标相同可知与轴的交点的坐标； （3）根据等腰三角形的定义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点，将点向左平移个单位再向上平移个单位得到点， ∴点， ∵直线上所有点的横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解． ∴直线的解析式为：， ∴当时，， 当时，， ∴点，点； （2）解：∵点，点， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 即轴， ∵， ∴与轴的交点的坐标为； （3）解：∵点， ∴， 当时，如图，过作轴于点， 则， ∴； 当时，如图， 此时点或； 综上，或或． 22．解决以下问题： (1)借助网格，用无刻度直尺作； (2)如图，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且． ①P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； ②在①的条件下，Q为直线上的一个动点，连接，若，求Q点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)①；②或． 【分析】（1）以为直角顶点，构造等腰直角三角形即可； （2）①根据，得到，进而求出点坐标即可； ②以为直角顶点，构造等腰直角三角形，进而求出的坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和直线的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图易得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴； ②以为直角顶点，在直线的下方构造等腰直角三角形，如图，过点作轴，作于点，作于点，则，， ∴，， ∴点在射线上，， ∴， 由①知：， ∴， ∴，即， 同①法可得：直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 以为直角顶点，在直线的上方构造等腰直角三角形，如图，作轴，轴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 综上：或． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴负半轴交于点，，直线与直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点，使得与新直线的夹角为，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出点和，设，然后分第一象限和第三象限两种情况，利用铅锤法求面积，列式进行计算即可求解； （3）将直线沿射线方向平移个单位长度，相当于将直线向右和向上分别平移了4个单位，则，设该直线交y轴于点，设符合条件的点为点M、，过点A作交于点H，过点H作轴交y轴于点G，交过点M与y轴的平行线于点N，证明，求出点M、H的坐标，即可求解． 【详解】（1）解；∵， ∴点， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）解：∵直线的表达式为， ∴令，则， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴， 设， 当点P在第一象限时，设直线解析式为：， 将，代入，得， 解得， ∴， 令，则， 设直线与y轴交于点D， 则D坐标为， ， 解得或5， ∵， ∴， ∴； 当点P在第三象限时，如图， 设直线解析式为：， 将，代入，得， 解得， ∴直线解析式， 令，则， 设直线与y轴交于点E， 则E坐标为， ， 解得， ∴； 综上所述，点或． （3）解：存在，理由如下： 如图，等腰直角，， ∴，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴将直线沿射线方向平移个单位长度，相当于将直线向右和向上分别平移了4个单位，则，该直线交y轴于点， 设符合条件的点为点M、， 过点A作交于点H，过点H作轴交y轴于点G，交过点M与y轴的平行线于点N， 则为等腰直角三角形，则，， 设点，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则，且， 解得且， 则点，， 由题意得，点M和点关于点H对称， ∴由中点坐标公式，得； 综上所述，点M或． 24．如图，已知直线分别与轴，轴交于两点，直线交于点． (1)求两点的坐标； (2)如图，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，使的值最小，求出点坐标． (3)如图，若，过点，交轴于点，此时在轴上存在点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（）根据题意列方程即可得出结论； （）由（）可得，求得，过点作轴于点，易证，则有，进而根据勾股定理可求解；作点关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，则与轴的交点即为点，进而求出的解析式，最后求解即可； （）根据题意得到点的坐标，如图，当点在点的左侧，根据全等三角形的性质得到，当点在点的右侧时，根据三角形的面积即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于两点， 令，得，故， 令，得，故； （2）解：过点作轴于点，作点关于轴的对称点，连接，如图所示： 由轴对称的性质可得垂直平分，则有点到点的距离相等，再由两点之间线段最短可得即为的最小值，此时与轴的交点即为点， 由（）可得，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点与点重合， ∴点，则点， 设解析式为， 将，代入得 ∴解析式为： 解得： ∴点， 设的解析式为， 则有： 解得： ∴解析式为， 令时，则， 解得：， ∴当为最小值时，点的坐标为； （3）解：∵ ∴直线：， ∵， ∴设的解析式为，把代入得， ， 所以直线的解析式为， 当时，即 解得： ∴ 如图，当点在点的左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 当点在点的右侧时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， 综上所述，点的坐标为或 25．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与双曲线（k是常数）和轴相交于点和点，且点的纵坐标为3．点在双曲线上，其横坐标为． (1)求双曲线对应的函数表达式； (2)不等式的解集为_____； (3)当的面积与面积相等时，求点的坐标； (4)连结．将绕点顺时针旋转得到，连结，当与直线有交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或； (4)或． 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据待定系数法求出的值即可； （2）先求出直线与双曲线的两个交点的横坐标，再结合图象找出直线在双曲线上方部分对应的自变量取值范围即可； （3）过点作直线，则直线，由平行线间距离相等可知，直线与双曲线的交点为点，联立直线和双曲线，求出交点；在轴上截取，过点作直线，同理求出交点即可； （4）讨论两个临界点：①当点在第一象限双曲线的图象上，点在直线上时，设，过点作轴于点，过点作延长线于点，证明，得到，，从而得到点的坐标，求出的值；②当点在第三象限双曲线和直线的交点上时，此时，即可求解． 【详解】（1）解：点在直线的图象上，且纵坐标为3， 则，解得：， ， 点在双曲线的图象上， ， 双曲线对应的函数表达式为； （2）解：联立，整理得：， 解得：，， 即直线与双曲线的两个交点的横坐标分别为和， 由图象可知，当或时，直线在双曲线上方， 即不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：的面积与面积相等， 点到直线的距离等于点到直线的距离， 如图，过点作直线，则直线， 平行线间距离相等， 直线与双曲线的交点为点， 联立，整理得：， 解得：， 点的坐标为或； 如图，在轴上截取，过点作直线， 令，则， ， ， ， 直线， 联立，整理得：， 解得：， 点的坐标为或； 综上可知，点的坐标为或或或； （4）解：由旋转的性质可知，，， ①当点在第一象限双曲线的图象上，点在直线上时， 设， 过点作轴于点，过点作延长线于点，则，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在直线上， ， 解得：， 则当时， 与直线有交点，   ②当点在第三象限双曲线和直线的交点上时，此时， 则当时， 与直线有交点， 综上可知，与直线有交点时，的取值范围为或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 26．反比例函数的图象经过点和点．    (1)求、的值； (2)如图①，在反比例函数的图象上有一点，小明发现将点绕原点顺时针方向旋转后得到的点在另一个反比例函数图象上，求出点所在的函数表达式，并写出自变量取值范围； (3)如图②，已知直线和，将反比例函数的图象绕原点旋转后得到新图象，在新图象上任取一点，过点作，垂足分别为点，点．求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)点所在的函数表达式为 (3)矩形的面积为6 【分析】（1）将点和点代入，解答即可． （2）作轴，轴，构造一线三垂直全等模型，确定Q的坐标解答即可． （3）在上取点，使得，作轴，轴，根据旋转性质，三角形全等的判定和性质，反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：将点和点代入，得： ， 解得． （2）解：作轴，轴，    根据题意，得 ， ， 轴，轴， ， ， ， 设，则， 设， ， 点所在的函数表达式为． （3）解：方法①：    在上取点，使得，作轴，轴， 由旋转得， ， ， 即四边形和四边形为矩形， ， 设， 矩形的面积矩形的面积． 方法②：    设，作，交延长线于点， 为等腰直角三角形， 点， 直线的函数表达式为， 设， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握性质，待定系数法是解题的关键． 27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式． (2)当时，直接写出的取值范围． (3)若点是第二象限内双曲线上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）先把代入一次函数解析式求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）求出点坐标，再结合函数图象解答即可求解； （）设直线与轴相交于点，可得，进而可得，即得，由得点到的垂线段长，再分当点在直线上方和下方两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析，反比例函数与一次函数图象的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 由图象可知，当时，或； （3）解：设直线与轴相交于点， ∵一次函数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设点到的垂线段长为，则， ∴， 当点在直线上方时，如图，过点作的平行线，交轴于点，过点作于点， 则为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 由，解得或， ∵点是第二象限内双曲线上一点， ∴， 同理，当点在直线下方时，经过点且与平行的直线解析式为， 由，解得或， ∵点是第二象限内双曲线上一点， ∴； 综上，点的坐标为或． 28．曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． (1)如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； (2)若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； (3)如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 【答案】(1)见解析 (2)对角线所在直线经过原点，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求出点，，得出，,再求出直线的解析式为：，证明在直线上，即可得出结论； （2）设点，，同（1）即可求解； （3）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点，证明，设，则，得出，进而根据完全平方公式变形得出，再根据三角形的面积公式以及勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵A、C的横坐标分别是和3，且点A、C在反比例函数图像上， ∴点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （2）证明：∵点A、C在反比例函数图像上， 设点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （3）解：如图所示， 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵点A、C在反比例函数图像上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴ 29．如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点在线段上，过作轴于点，交反比例函数图象于点，当时，在正半轴上有一点，满足，是线段上的一个动点，连接，求的最小值； (3)如图2，第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，将直线向下平移8个单位得直线，点为直线上一点，点为第二、四象限的角平分线上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标及所有情况中平行四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标或或，平行四边形面积的最大值为 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，反比例函数中平行四边形的存在性，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）将代入，求出，将代入，即可求解； （2）求出，利用，求出，可得，则，则，过点在轴下方作，过点作于点，则，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，取得最小值，最小值为如图，求解即可； （3）求出，直线的解析式为，由点为直线上一点，设，由点为第二、四象限的角平分线上一点，设， 分当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，三种情况讨论，利用中点坐标列式即可求出坐标，再计算面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 将代入， 得：， ∴， 将代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， 则， ∵轴于点，交反比例函数图象于点， ∴， 即， 解得：， 当时，，得， 则， 当时，， 则， ∴， 如图，过点在轴下方作，过点作于点， ∴， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，取得最小值，最小值为如图的长，设交轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； （3）解：由第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，即直线与交第四象限的函数图象于点， ∴， 解得：（负值舍）， ∴， 由将直线向下平移8个单位得直线， ∴直线的解析式为， 由点为直线上一点， ∴设， 由点为第二、四象限的角平分线上一点， ∴设， 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 此时如图，过点作直线于点，过点作轴交直线于点， 则， 当时，得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 同理， ∴； 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 同理， ∴； 综上所述，点的坐标或或，平行四边形面积的最大值为． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)在轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，交直线于点． ①当时，求线段的长； ②当点在点下方时，若，结合函数图象，求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①②． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由直线经过点，求出点坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）①由点，得到直线的解析式，求出点、坐标即可求解； ②过点作交反比例函数于点，过点作轴，交于点，根据平行四边形，得到，求出直线的解析式，联立得点的坐标，得到直线的表达式，当时，结合图象可知，当直线在轴与之间，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，把点的坐标代入直线，得： ， ∴， 代入反比例函数，得： ，解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：①当时，， ∴直线的解析式为：， 代入中，得：， 解得：， ∴， 把代入，得： ， 解得：， ∴， ∴； ②过点作交反比例函数于点，过点作轴，交于点，如图2： ∵，轴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，且过原点， ∴直线的解析式为：， 联立得：， 解得：或（舍去）， 代入，得， ∴， ∴直线的表达式为：， 当时，结合图象可知，当直线在轴与之间（可重合），且点在点下方， ∴． 31．如图，点、是反比例函数的图象上位于第一象限内不同的两点，直线交函数图象另一支于点，连接、． (1)若反比例函数的图象经过点，点横坐标为．求证：； (2)若恒成立，试猜想点与点横坐标满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点和点横坐标之积为反比例系数，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数交点问题，勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； （1）将，代入反比例函数，待定系数法求得，进而得出，，根据勾股定理及逆定理，即可求解； （2）设， ，，，，则，根据点和点关于原点对称，得出，即，整理得出，进而可得，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， 把，代入得   的横坐标是，把代入得 ，，     ，， （2）解：点和点横坐标之积为反比例系数， 理由：设， ，，， 点和点关于原点对称， ， ， ， ，， ．即点和点横坐标之积为反比例系数． 32．【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （）初步思考：自变量的取值范围是______； （）探索发现：当时，，当时，．由此我们可猜想，该函数图象在第______象限； （）深入思考：当时，，于是，当时，即时，有最小值是． 请仿照上述过程，猜想：当时，的最大值是 ． 【实际应用】如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值． 【答案】（）；（）一、三；（）；实际应用： 【分析】（）根据分母不等于即可求解； （）根据题意即可判断求解； （）仿照深入思考解答即可求解； 实际应用：设，由等高三角形可得，即可得，得到，再利用配方法解答即可求解； 本题考查了配方法在最值问题中的应用，函数的基本知识和等高三角形的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：（）函数的自变量的取值范围是， 故答案为：； （）∵当时，，当时，， ∴该函数的函数图象在第一、三象限， 故答案为：一、三； （）当时， ， ∴当时，即时，有最大值是， 故答案为：； 实际应用：设， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即时，有最小值是， ∴四边形面积的最小值为． 33．如图，点是反比例函数图象上不重合的两个点，作直线交轴于点．设点的横坐标分别为，直线的函数表达式为． (1)当时， ①求直线的函数表达式； ②若，直接写出的取值范围； (2)若点和点关于原点对称，作直线交轴于点，求证：． 【答案】(1)①；②或； (2)详见解析 【分析】（1）①求得可得，，再用待定系数法可得直线的函数表达式； ②求出，观察函数图象可得x的取值范围； （2）取的中点K，连接，求出直线解析式为，可得，求得，可得直线的函数表达式为，即可得，故，从而，． 【详解】（1）解：①当时，，， 将这两点坐标分别代入中， 得：， 解得， ∴直线的函数表达式为； ②在中，令，则， ∴， 由图可知，若，则的取值范围为或； （2）证明：取的中点K，连接，如图： 由题意，得，， ∵点B与点A关于原点O中心对称， ∴， 将，分别代入中， 得：， 解得， ∴直线解析式为， 令，则， ∴； 设直线的函数表达式为， 将，分别代入中， 得：， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，则， ∴； ∵K为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法，反比例函数与一次函数交点问题，垂直平分线的判定与性质等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关直线解析式． 34．如图1，一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，点是直线上一点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于点D，与y轴交于点E，连接． (1)求反比例函数表达式； (2)若直线上存在点G，它到直线的距离与到y轴的距离相等，求点G的坐标； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，点Q是反比函数上一点，连接，，若四边形是平行四边形，则点Q的坐标为________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）待定系数法求出直线的解析式，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）先求出的坐标，进而求出的长，设，作于点，连接，进而得到，，根据等积法，列出方程进行求解即可； （3）先确定平移规则，设向右平移个单位，再向上平移个单位得到，求出，根据平行四边形的性质和平移思想，求出点坐标，再代入到反比例函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得， ∴， ∴当时，， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2， ∴， 把点A的坐标代入反比例函数解析式中，得， ∴， ∴； （2）∵轴，与y轴交于点E，， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴设，则：，， 作于点，则：， ∴，解得：或， ∴或； （3）∵，设直线交轴与点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵将沿射线方向平移一定的距离后，得到， ∴设向右平移个单位，再向上平移个单位得到， ∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是点向左平移5个单位得到的， ∴点向左平移个单位，得到点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象和反比例函数的图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，平行四边形的性质，图形的平移，勾股定理等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 35．已知直线（为常数，且）与双曲线（为常数，且）相交于A，B两点． (1)若点A的坐标是，求点B的坐标． (2)若点A，B的横坐标分别为m，． ①求m的值． ②若点在直线上，点在双曲线上，且，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数和一次函数的性质． （1）根据正比例函数和反比例函数的性质，求出点的坐标． （2）①利用正比例函数和反比例函数的交点性质列出方程，求解的值． ②根据函数性质，结合的取值范围，比较与的大小． 【详解】（1）解：直线与双曲线的交点关于原点对称，已知点的坐标是， 点的坐标为； （2）解：①联立直线与反比例函数解析式， 得， 消去得：，， 点A横坐标为，代入得：， 点B横坐标为，代入得：， 联立得：， 解得：； ②∵点在直线上， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 由第（2）题①知， 故， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 36．在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)①4；②1，3 (2)，理由见解析 (3)6 【分析】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数的图象和性质，求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）①利用待定系数法进行求解即可； ②过点D作轴于点M，根据条件证明，得出，然后利用点坐标列出方程组进行求解即可； （2）过点C作轴于点N，同（1）证明，得出对应边相等，然后列出，求解即可； （3）过点E作轴于点H，得出是等腰直角三角形，设，得出，得出即可求解． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ∴； 即的值为4； ②如图，过点D作轴于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴m，n的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点C作轴于点N， 同（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 若，则， ∵， ∴， 即当时，； （3）解：如图，过点E作轴于点H， 由（2）得，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵点G是的中点， ∴； ∵， ∴， ∵点在上， ∴， 整理得，， 故答案为：6． 37．直线：分别与x轴，y轴交于点D、C，与反比例函数的图象交于点、． (1)若，则x的取值范围是 ； (2)若点P是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为6时，求点P坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分，包含边界），若直线：与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的t的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数，可得a，进一步利用反比例函数的解析式求得点B，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）依据题意，画出图形，分两种情况，情况一：直线与反比例函数的图象交于点，，在点A上方的双曲线上取一点P，过点P作轴于点E，过点A作轴于点F，过点B作轴于点G，连接；情况二：直线与反比例函数的图象交于点，，在点B右侧的双曲线上取一点P，过点P作轴于点G，过点B作轴于点F，过点A作轴于点E，连接，根据面积列式求解即可得到答案； （3）根据题意分析出是平行于的动直线，上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点G的时候，此时直线与y轴的交点是点E；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点H的时候，此时直线与y轴的交点是点F；在这两者之间的与封闭图形有交点，G、H关于点M对称，即有M为的中点，如图所示，求出点G，再借助于G、H关于点E对称，得到，求出过点G、点H时的t的值，即可得解． 【详解】（1）解：点在反比例函数， 将点A的坐标代入，得， ， 反比例函数为， 又在反比例函数， ，即， 由图可知当时，或； （2）点，在直线上 ，解得：， 直线的解析式为； ①直线与反比例函数的图象交于点，，在点A上方的双曲线上取一点P，过点P作轴于点E，过点A作轴于点F，过点B作轴于点G，连接，如图所示： 设点， ， 面积为6， ，则， 解得：； ②直线与反比例函数的图象交于点，，在点B右侧的双曲线上取一点P，过点P作轴于点G，过点B作轴于点F，过点A作轴于点E，连接，如图所示： 设点， ， 面积为6， ，则， 解得：， ， 或； （3）依据题意，直线平行于直线，上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点G的时候，此时直线与y轴的交点是点E；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点H的时候，此时直线与y轴的交点是点F；在这两者之间的与封闭图形有交点，G、H关于点M对称，即有M为的中点，如图所示： 由题意，则， 当与反比例函数有且只有一个交点时，有两个相等的实数根， ，解得：或（由图可知，负数舍去）， 此时，与y轴的交点， ， ， ∴由直线的对称性可知，， 此时，与y轴交点． ． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法确定函数解析式、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积方法、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、函数交点个数与一元二次方程解的关系、直线平行的性质、点的对称等知识，熟记一次函数及反比例函数图象与性质、数形结合，熟练掌握并能灵活运用相关性质求解是解决问题的关键． 38．一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段： 解析式为，自变量取值范围 ． (2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键． （1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域． （2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内． 【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得 ， 解得，， ∴，自变量取值范围 ． 衰减段：设解析式为，代入得 ， ∴解析式为，自变量取值范围 ． （2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）． 当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当 时，有， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 39．在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“制导点”． (1)如图1，点坐标为． ①当点时，点的“制导点”的坐标为_____________； ②若点为点的“制导点”，则点的坐标为_____________． (2)如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“制导点”，求的取值范围； (3)如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“制导点”，直接写出的取值范围_____________． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或 【分析】（1）①②直接根据“制导点”的定义求解即可； （2）设S的坐标为，，，由“制导点”的定义可得，，则，然后再跟点S在三角形的边上分别根据直角坐标系、一次函数解析式以及“制导点”的定义求解即可． （3）先求出线段的解析式为；设，S的坐标为，，则，进而得到，即，，则；再把点代入可得；然后分点S在上四组情况，分别列出关于n的方程求出n，然后再结合相关取值范围即可解答． 【详解】（1）解：①设点T的“制导点”的坐标为， ∵点，点T坐标为， ∴，，解得：，， ∴的坐标为； ②设点S的坐标为， ∵T坐标为，点为点T的“制导点”， ∴，， ∴点S的坐标为． （2）解：设S的坐标为，，， ∴，，则， ∵点在边上，点，，， ∴当S在上时，，，即 ∴， ∴； ∴ 把代入可得，即； 当S在上时，设直线的解析式为， 则，解得：， ∴线段的解析式为，即 ， ∴， ∴， 把代入可得， ∴ ∵， ∴； 当S在上时，设直线的解析式为， ，，， 则，解得：， ∴线段的解析式为，即， ， ∴，即， 把代入可得， ∴， ∵， ∴； 综上，m的取值范围为． （3）解：设直线的解析式为，，． 则，解得：， ∴线段的解析式为， 设，S的坐标为，，则， ∴，即，， ∴， 把代入可得：， ∴， ∵点S在正方形边上， ∴当点S在线段上时，，， ∴，解得：， ∵ ∴； 当点S在线段上时，，， ∴，解得：， ∵， ∴； ∴当点S在线段上时，，， ∴，即， ∵， ∴； ∴当点S在线段上时，，， ∴， 关于n的方程无解． 综上，n的取值范围为或或． 40．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别落在，轴上，点的坐标为，反比例函数的图像分别与边，交于点，，将沿翻折，得到． (1)连接，用含的代数式表示的面积；判断与的位置关系，并证明． (2)如图，当点落在上时，求的值． (3)点为边上的中点，在点的运动过程中，求的最小值直接写出答案． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）连结，根据矩形的性质可得，结合反比例函数的几何意义进而得到；连结，同理可得，进而得到，即可得出结论； （2）连接，由轴对称的性质可得，．由，推出，证明，即可推出，即点是的中点，进而得到点，即可解答； （3）如图，连接，设交于点，过点E分别作轴，轴的垂线，交于点，交轴于点G，交于点F，由勾股定理求出，利用三角形面积公式分别求出，再利用勾股定理求出，同理求出，即可得到，即可解答． 【详解】（1）解：连结， ∵矩形中，， ∴， 连结， 由同理可得， ， ； （2）解：如图，连接，由轴对称的性质可得，． ， ， ， ， ，， ， ， ， 点是的中点， ∵点的坐标为， ∴点， ． （3）解：如图，连接，设交于点，过点E分别作轴，轴的垂线，交于点，交轴于点G，交于点F， ， ， ， ∵， ∴， 由题意可知点的轨迹为过点的的垂线的一部分，最短距离即为点到直线的垂线段， 即当时，有最小值，此时， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点为边上的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，反比例函数的性质，翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $