考点03 平行四边形与最值问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦平行四边形与最值问题，构建“问题类型-转化方法-题型应用”三阶体系，以几何直观和推理能力为核心，提炼线段转化、对称应用等可迁移解题模型。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|3考点|线段转化（构造全等/平行四边形/中位线）、对称应用（将军饮马）、三角形三边关系|从最值类型（线段/和差/面积）到方法原理，形成“问题识别-方法选择-结论推导”逻辑链| |题型突破|15题（含多地区期中/模考题）|垂线段最短、三点共线极值、面积公式与高的关系|题型与方法一一对应，典例覆盖动态几何中动点轨迹分析、图形变换转化等核心考法|

考点03 平行四边形与最值问题 考点一：常见的最值问题 ·线段的最值：线段最小值 ·线段和、差的最值：线段和的最小值、线段差的最大值 ·面积最值 考点二：知识与方法 项目 涉及方法 最终结论 线段最小值 转化线段的方法-找等边： ①构造全等-对应边相等； ②构造平行四边形-对边相等； ③借助中位线 1.应用垂线段最短求最小值； 2.共线求最值：①第三边≤两边之和； ②第三边≥两边之差 线段和的最小值 （含周长最小值） ①根据对称性找相等线段（将军饮马问题）； ②构造全等三角形-转化线段。 n点共线有最值 线段差的最大值 考点三：全等三角形的构造 ·方法1：利用平移、旋转等变换分式构造全等三角形； ·方法2：辅助线-根据等角（等边）补全图形构造两个全等的三角形解决问题。 题型一：转化问题为垂线段最短 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为__________． 【答案】 【难度】0.4 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．连接，过点作于,根据三角形中位线定理得到,根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式、垂线段最短解答即可. 【详解】解：如图，连接，过点作于， 点，点分别是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 当时，最小，此时， ， 解得：， 的最小值为， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·陕西·期末）如图，在中，，点为上一点，连接分别为、上的动点．且交于点，若，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.4 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及垂线段最短，三角形的中位线定理，正确作出辅助线，熟练运用以上知识点是正确解答此题的关键．需要通过构造平行四边形将进行转化，再根据垂线段最短求出其最小值． 【详解】解：连接，如图： ， ， ， ， ， ， ，又， ∴四边形是平行四边形， ， 当时，最短． ， ， ， ， D为线段的中点， ，且， E为线段的中点，又D为线段的中点， ∴是的中位线， ． 故答案为：． 3．（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【分析】连接、、，由中心对称的定义得出，且点、、在同一直线上，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴，且点、、在同一直线上， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的面积是12，，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时， ∴， ∴的最小值为 3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N，则∠ANB=90°， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 故选：C． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，为边上的一个动点，以，为邻边作，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【难度】0.4 【分析】连接交于点，作于点，作于点，根据平行四边形的性质，得到，，进而得到当最小时，的值最小，根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小为的长，根据平行线间的距离处处相等，得到，进而求出的长即可. 【详解】解：连接交于点，作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴点为的中点，当最小时，的值最小，， ∴当点与点重合时，最小为的长， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为. 5．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【难度】0.5 【分析】作于点，作，当，即点在处时，的值最小，为的长，利用勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点，作，当，即点在处时，的值最小，为的长， ，，， ， 由平移得，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 的最小值为． 6．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____． 【答案】 【难度】0.4 【分析】连接，过作于，先根据三角形的中位线性质得到，则要求的最小值只需求的最小值；根据垂线段最短知当时，最小，最小值为的长度；利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可求解． 【详解】解：连接，过作于， 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 则要求的最小值只需求的最小值； 当时，最小，最小值为的长度， 在平行四边形中，，， ， ， ， ， ， ，即的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 7．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，点是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 【答案】/ 【难度】0.4 【分析】过点作，且，连接，利用证明，得出，过点作于，交延长线于，过点作，交延长线于，可得时，取最小值，最小值为的长，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作，且，连接， ∵，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 过点作于，交延长线于，过点作，交延长线于， ∴时，取最小值，最小值为的长，即的最小值为的长， ∵平行四边形中，，， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型二：借助三角形三边关系“共线”求最值 1. 锁定动态线段与定点，将所求线段纳入三角形框架中 2. 运用三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 3. 临界状态为三点共线，共线时取到线段长度最大、最小值 4. 结合平行四边形边角、对角线等量性质，转化对应线段后再判断极值 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，平行四边形中，，，点E是对角线上一动点，点F是边上一动点，连接、，则的最小值是_____． 【答案】 【难度】0.65 【分析】过点B作，交于点，则的最小值为的长；在中，，，即可求解． 【详解】解：过点B作，交于点，如图所示： 根据垂线段最短可知：的最小值为的长； ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作平行四边形，连接，则 （1）的最小值是__________； （2）的最大值是__________． 【答案】 6 6 【难度】0.4 【分析】（1）在延长线上截取，连接，，由平行四边形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，得到，求出，根据三角形三边关系求出的最小值； （2）由（1）求出的最大值即可． 【详解】解：（1）如图，在延长线上截取，连接，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值是； （2）由（1）得， ， 的最大值是． 3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.53 【分析】延长至点，使得，连接，作于点，容易证明，则，因此，当、、三点共线时，取得最小值．利用含角的直角三角形的性质可计算出，则，利用勾股定理计算出，再计算出即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴取得最小值． 题型三：根据对称性转化线段求最值（线段和差的最值） 1. 依托平行四边形中心对称特性，找对应对称点 2. 依据对称性质实现线段等量替换，把折线转化为直线段 3. 线段和最值：两点之间线段最短；线段差最值：三点共线取极值 4. 结合图形动点轨迹，确定最值对应的位置，代入边长角度计算 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为______________． 【答案】13 【难度】0.65 【分析】本题考查了平行四边形的性质，轴对称—最短路线，勾股定理，作于，由题意可得在平行于且与距离为的直线上运动，作关于直线的对称点，连接，，则，、、三点共线，结合，得出当且仅当，，，依次共线时取等号，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴在平行于且与距离为的直线上运动， 作关于直线的对称点，连接，， 则，、、三点共线， ∵， ∴， ∴，当且仅当，，，依次共线时取等号， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为________．    【答案】 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点B作且使，连接，，证明，得进而可得，再由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值为，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点B作且使，连接，，    ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可得： ，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴中，， ∴最小值为：， 故答案为：． 题型四：最大或最小面积问题 1. 核心公式：面积=底×这条底对应的高 2. 固定底边时，高的大小直接决定面积大小 3. 利用平行线间距离、动点轨迹判定高的取值范围，找出极值高度 4. 结合图形旋转、平移、折叠变化，分析高的变化规律，计算对应最值面积 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为_______． 【答案】7 【难度】0.4 【分析】本题考查了勾股定理，三角形和平行四边形面积公式，垂线段最短等定理，解题的关键是把求平行四边形面积转化为求的面积，再转化为何时边上的高最短的问题． 【详解】如图，过点C作，以C为圆心，1为半径画一段弧分别交于G，交于H，设h是的边上的高． 由勾股定理得． 是边上的高， ， ， 以，为边， ， 当h最小时，四边形面积最小． 由垂线段最短可知，当时，h最小， 此时C,D,F三点共线， ， ， 故面积的最小值为７． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）城市规划师小李正在设计一个位于街角的直角三角形公园，其中为连接道路尽头的斜向步道，而南北走向的景观大道和东西走向的生态停车场在控制中心点处汇聚，且．如图①，小李打算在景观大道和生态停车场上分别修建一座云端瞭望塔，，且为结构美观，需要它们到控制中心的距离相等，即．连接，，分别在，，中点处设置志愿者服务站，，． (1)连接，，，小李发现为三个志愿者服务站所构成的图形结构稳定均衡，请帮助他计算______°； (2)由于公园有扩建计划，现决定云端瞭望塔不再局限于只能设计在和上，只需要保持到控制中心的距离相等，且走向互相垂直即可（），小李进行了新的尝试，将瞭望塔建立在了景观大道上，而瞭望塔建立在了的延长线上，如图②，仍然分别在，，中点处设置志愿者服务站，，，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，小李将图②中绕点旋转进行多次测算，记旋转角为，，为方便游客，他希望志愿者服务站之间的距离均不超过1500米，直接写出公园扩建后四边形所需的最大占地面积． 【答案】(1) (2)为等腰直角三角形，理由见解析 (3)平方米 【难度】0.39 【分析】（1）根据三角形的中位线定理和平行线的性质，即可解答； （2）先连接，连接并延长与交于点，与交于点，再根据三角形的中位线定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的内角和定理，即可解答； （3）先连接，，再根据三角形的中位线定理和勾股定理，得出米，再由三角形的三边关系易得，当旋转角，即时，四边形的面积取得最大值，最后利用面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ，，分别为，，中点， ，分别为，的中位线， ，即，， ，． （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接，连接并延长与交于点，与交于点， ，，分别为，，中点， ，分别为，的中位线， ，且， ，且， ，， ． ， ， ． 又，， ， ，， ． ， ， ， ，，即， 为等腰直角三角形． （3）解：如图，连接，， 由（2）可知，为等腰直角三角形，，，，， 由题意得，三边最大边长米， 由勾股定理易得，（米）， 由三角形的中位线定理易得，，， （米）． 由三角形的三边关系易得，当旋转角，即时，四边形的面积取得最大值， 此时，四边形的面积为（平方米）． 1．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，则下列结论错误的是（    ） A．的面积不变 B．的周长的最小值为 C．的最小值为4 D．若点G与点C关于对称，则的最大值为6 【答案】B 【难度】0.4 【分析】过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断A；确定点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，则点为点关于直线的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断B；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断C；当点G在线段的延长线上时，的值最大，即可判断D． 【详解】解：过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故A正确，不符合题意； ∵， ∴的周长， 由上知， ∴点到直线的距离为2，则点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，即周长的最小值为， 故B错误，符合题意； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故C正确，不符合题意； ∵点C，G关于对称，则， ∴点G在以点B为圆心，2为半径的圆上， ∴当点G在线段的延长线上时，如图， 的值最大，最大值为，故D正确，不符合题意． 2．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形判定和性质，三角形中位线的性质等，延长到点，使，连接，由平行四边形的性质和等腰三角形的性质可得，即得，进而可得是等边三角形，得到，即得，又由三角形中位线的性质可得，可知当时，最小，此时为等腰直角三角形，，利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， 当时，最小，此时为等腰直角三角形，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·新疆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接． (1)点的坐标为______； (2)点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)存在最小值，的最小值为； (3)，理由见解析． 【难度】0.65 【分析】（）根据点平移到点的方式与点平移到点的方式相同，只需要求出点平移到点的方式即可求出点的坐标； （）连接，由中位线定理可得，，当取得最小值时，即时，的值最小，然后通过勾股定理和等面积法即可求解； （）连接，由三角形是等腰直角三角形和三角形是等腰直角三角形得，证明，然后通过全等三角形的性质和勾股定理即可求证． 【详解】（1）解：∵点与点对应，点与点对应，点， ∴向右平移个单位，再向上平移个单位得， ∴向右平移个单位，再向上平移个单位得， 故答案为：； （2）解：存在最小值，的最小值为，理由： 连接，过作轴于点，如图， ∵，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴取得最小值时，即时，的值最小， 由（）知：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：，，三者之间有怎样的数量关系为：，理由： 连接，如图， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接，，，点F是线段上一动点，连接． (1)如图1，若，，求平行四边形的面积； (2)如图2，若，连接，求证：； (3)如图3，线段上另有一点G，满足，连接．若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最小值为 【难度】0.65 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）设，则，根据勾股定理求得，进而根据，即可求解； （2）延长交于点H，通过证明及，即可证明； （3）过点D作延长交于点M，过点F作交于点N，连接，得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据，以及垂线段最短，可得取得最小值，最小值为，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵，则， ∵， ∴， ∵， ∴中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积； （2）证明：如图，延长交于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作，延长交于点M，过点F作交于点N，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴当时，且F在上时，取得最小值，最小值为， 又∵中，， ∴， 即 ∴ ∴ 则 过点N作， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴的最小值为． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D为边上任意一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，F为边的中点，连接． (1)如图1，交于点G，若，，求线段的长度； (2)如图2，M为的中点，连接，求证：； (3)连接，点N为直线上一动点（不与点B，C重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，在（2）的条件下，若，当取得最小值时，直接写出线段的长度的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【难度】0.42 【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，推导出，根据勾股定理计算可得，的长，再利用直角三角形30度角的性质即得答案； （2）过点作，交于点，连接，，先证明，得到，，再证明四边形是平行四边形，可进一步推得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得结论； （3）由（2）知，由此当时，取最小值，求出这个最小值为；由轴对称的性质可知，点在以点为圆心，的长为半径的弧上运动，所以当，，三点共线时，线段的长度取得最小值，求出这个最小值，即得答案． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ，， ， ， 为边的中点， ， ， ∴， 设， 根据勾股定理，， ∴， 解得， ∵， ∴； （2）证明：过点作，交于点，连接，，如图2， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，为边的中点， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为的中点， ， ，，三点共线，且， ， ， ； （3）解：由（2）知，， 射线与的夹角为定值， 即射线的方向固定， 当时，取最小值， ， ， ， ∵， ∴ ∴， 在中，， 沿翻折至所在平面内，得到， 点在以点为圆心，的长为半径的弧上运动， 当，，三点共线时，线段的长度取得最小值，如图4， 在中，， 线段的长度的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 平行四边形与最值问题 考点一：常见的最值问题 ·线段的最值：线段最小值 ·线段和、差的最值：线段和的最小值、线段差的最大值 ·面积最值 考点二：知识与方法 项目 涉及方法 最终结论 线段最小值 转化线段的方法-找等边： ①构造全等-对应边相等； ②构造平行四边形-对边相等； ③借助中位线 1.应用垂线段最短求最小值； 2.共线求最值：①第三边≤两边之和； ②第三边≥两边之差 线段和的最小值 （含周长最小值） ①根据对称性找相等线段（将军饮马问题）； ②构造全等三角形-转化线段。 n点共线有最值 线段差的最大值 考点三：全等三角形的构造 ·方法1：利用平移、旋转等变换分式构造全等三角形； ·方法2：辅助线-根据等角（等边）补全图形构造两个全等的三角形解决问题。 题型一：转化问题为垂线段最短 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为__________． 2．（24-25八年级下·陕西·期末）如图，在中，，点为上一点，连接分别为、上的动点．且交于点，若，则的最小值为______． 3．（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，为边上的一个动点，以，为邻边作，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 5．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．2 6．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____． 7．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，点是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 题型二：借助三角形三边关系“共线”求最值 1. 锁定动态线段与定点，将所求线段纳入三角形框架中 2. 运用三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 3. 临界状态为三点共线，共线时取到线段长度最大、最小值 4. 结合平行四边形边角、对角线等量性质，转化对应线段后再判断极值 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，平行四边形中，，，点E是对角线上一动点，点F是边上一动点，连接、，则的最小值是_____． 2．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作平行四边形，连接，则 （1）的最小值是__________； （2）的最大值是__________． 3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为______． 题型三：根据对称性转化线段求最值（线段和差的最值） 1. 依托平行四边形中心对称特性，找对应对称点 2. 依据对称性质实现线段等量替换，把折线转化为直线段 3. 线段和最值：两点之间线段最短；线段差最值：三点共线取极值 4. 结合图形动点轨迹，确定最值对应的位置，代入边长角度计算 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为______________． 2．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为________．    题型四：最大或最小面积问题 1. 核心公式：面积=底×这条底对应的高 2. 固定底边时，高的大小直接决定面积大小 3. 利用平行线间距离、动点轨迹判定高的取值范围，找出极值高度 4. 结合图形旋转、平移、折叠变化，分析高的变化规律，计算对应最值面积 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为_______． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）城市规划师小李正在设计一个位于街角的直角三角形公园，其中为连接道路尽头的斜向步道，而南北走向的景观大道和东西走向的生态停车场在控制中心点处汇聚，且．如图①，小李打算在景观大道和生态停车场上分别修建一座云端瞭望塔，，且为结构美观，需要它们到控制中心的距离相等，即．连接，，分别在，，中点处设置志愿者服务站，，． (1)连接，，，小李发现为三个志愿者服务站所构成的图形结构稳定均衡，请帮助他计算______°； (2)由于公园有扩建计划，现决定云端瞭望塔不再局限于只能设计在和上，只需要保持到控制中心的距离相等，且走向互相垂直即可（），小李进行了新的尝试，将瞭望塔建立在了景观大道上，而瞭望塔建立在了的延长线上，如图②，仍然分别在，，中点处设置志愿者服务站，，，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，小李将图②中绕点旋转进行多次测算，记旋转角为，，为方便游客，他希望志愿者服务站之间的距离均不超过1500米，直接写出公园扩建后四边形所需的最大占地面积． 1．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，则下列结论错误的是（    ） A．的面积不变 B．的周长的最小值为 C．的最小值为4 D．若点G与点C关于对称，则的最大值为6 2．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______． 3．（24-25八年级下·新疆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接． (1)点的坐标为______； (2)点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 4．（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接，，，点F是线段上一动点，连接． (1)如图1，若，，求平行四边形的面积； (2)如图2，若，连接，求证：； (3)如图3，线段上另有一点G，满足，连接．若，，请直接写出的最小值． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D为边上任意一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，F为边的中点，连接． (1)如图1，交于点G，若，，求线段的长度； (2)如图2，M为的中点，连接，求证：； (3)连接，点N为直线上一动点（不与点B，C重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，在（2）的条件下，若，当取得最小值时，直接写出线段的长度的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $